И все траектории из некоторой окрестности texvc стремятся к Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): L при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): t\to\infty (отсюда название).
Аттрактор Лоренца был найден в численных экспериментах Лоренца , исследовавшего поведение траекторий нелинейной системы:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \begin{cases} \dot x = \sigma (y - x) \\ \dot y = x (r - z) - y \\ \dot z = x y - b z \end{cases}
при следующих значениях параметров: σ=10, r =28, b =8/3, x(0)=1, y(0)=0, z(0)=0. Эта система вначале была введена как первое нетривиальное галёркинское приближение для задачи о конвекции морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, r и b , но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:
- конвекция в замкнутой петле;
- вращение водяного колеса;
- модель одномодового лазера ;
- диссипативный гармонический осциллятор с инерционной нелинейностью.
Исходная гидродинамическая система уравнений:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \begin{cases} \frac { \partial \vec v }{\partial t} + \left(\vec v \nabla \right) \vec v = -\frac {\nabla p}{\rho} + \nu \nabla ^2 \vec v + \vec g \\ \frac { \partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho \vec v \right) = 0 \\ \frac { \partial T }{\partial t} + \nabla \cdot \left(T \vec v \right) = \chi \nabla ^2 T \\ \rho = \rho_0 \left(1 - \gamma \left(T - T_0 \right) \right) \end{cases},
где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \vec v - скорость течения, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T - температура жидкости, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_0 - температура верхней границы (на нижней поддерживается Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_0 + \Delta T ), Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \rho - плотность, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p - давление, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \vec g - сила тяжести, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \gamma,\ \chi,\ \nu - соответственно коэффициент теплового расширения , коэффициент температуропроводности и кинематической вязкости .
В задаче о конвекции модель возникает при разложении скорости течения и температуры в двумерные ряды Фурье и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник. Кроме того, приведённая полная система уравнений гидродинамики записывается в приближении Буссинеска . Обрезка рядов в определённой мере оправдана, так как Сольцмен в своих работах продемонстрировал отсутствие каких-либо интересных особенностей в поведении большинства гармоник .
Применимость и соответствие реальности
Обозначим физический смысл переменных и параметров в системе уравнений применительно к упомянутым задачам.
- Конвекция в плоском слое. Здесь x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z - за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r - нормированное число Рэлея , σ - число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.
- Конвекция в замкнутой петле. Здесь x - скорость течения, y - отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на 90°, z - то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.
- Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.
- Одномодовый лазер. Здесь x - амплитуда волн в резонаторе лазера, y - поляризация , z - инверсия населённостей энергетических уровней , b и σ - отношения коэффициентов релаксации инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r - интенсивность накачки .
Стоит указать, что применительно к задаче о конвекции модель Лоренца является очень грубым приближением, весьма далёким от реальности. Более-менее адекватное соответствие существует в области регулярных режимов, где устойчивые решения качественно отображают экспериментально наблюдаемую картину равномерно вращающихся конвективных валов (Ячейки Бенара). Хаотический режим, присущий модели, не описывает турбулентной конвекции в силу существенной обрезки исходных тригонометрических рядов.
Интересным является существенно большая точность модели при некоторой её модификации, применяемая в частности для описания конвекции в слое, подвергаемом вибрации в вертикальном направлении либо переменному тепловому воздействию. Такие изменения внешних условий приводят к модулированию коэффициентов в уравнениях. При этом высокочастотные Фурье-компоненты температуры и скорости существенно подавляются, улучшая соответствие модели Лоренца и реальной системы.
Примечательно везение Лоренца при выборе значения параметра Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r , так как система приходит к странному аттрактору только при значениях, больших 24,74, при меньших поведение оказывается совершенно иным.
Поведение решения системыРассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r. На иллюстрациях к статье приведены результаты численного моделирования для точек с начальными координатами (10,10,10) и (-10,-10,10). Моделирование производилось с помощью приведённой ниже программы, написанной на языке Фортран , построение графиков по полученным таблицам - из-за слабых графических возможностей Фортрана с помощью Compaq Array Viewer.
- r
load(draw)$
draw3d(point_size=0.01, points_joined=true,
point_type=filled_circle,points(x,y,z))$
Напишите отзыв о статье "Аттрактор Лоренца"Примечания
Литература
- Кузнецов С. П. , Лекция 3. Система Лоренца; Лекция 4. Динамика системы Лоренца. // - М.: Физматлит, 2001.
- Saltzman B . Finite amplitude free convection as an initial value problem. // Journal of the atmospheric science, № 7, 1962 - p. 329-341.
- Лоренц Э . Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. - М., 1981. - С. 88-116.
– Как же они могли допустить такое? Я всегда думала, что Думающие Тёмные достаточно умны и осторожны? Это ведь могло помочь людям увидеть ложь, преподносимую им «святыми» отцами церкви. Разве не так?
– Задумался ли кто-то, Изидора?.. – Я грустно покачала головой. – Вот видишь... Люди не доставляют им слишком большого беспокойства...
– Можешь ли ты показать мне, как она учила, Север?..
Я, как дитя, спешила задавать вопросы, перескакивая с темы на тему, желая увидеть и узнать как можно больше за отпущенное мне, уже почти полностью истёкшее, время...
И тут я снова увидела Магдалину... Вокруг неё сидели люди. Они были разного возраста – молодые и старые, все без исключения длинноволосые, одетые в простые тёмно-синие одежды. Магдалина же была в белом, с распущенными по плечам волосами, покрывавшими её чудесным золотым плащом. Помещение, в котором все они в тот момент находились, напоминало произведение сумасшедшего архитектора, воплотившего в застывшем камне свою самую потрясающую мечту...Как я потом узнала, пещера и вправду называется – Кафедральная (Сathedral) и существует до сих пор.
Пещеры Лонгрив (Longrives), LanguedocЭто была пещера, похожая на величественный кафедральный собор... который, по странной прихоти, зачем-то построила там природа. Высота этого «собора» достигала невероятных размеров, уносясь прямо «в небо» удивительными, «плачущими» каменными сосульками, которые, где-то наверху слившись в чудотворный узор, снова падали вниз, зависая прямо над головами сидящих... Природного освещения в пещере, естественно, не было. Также не горели и свечи, и не просачивался, как обычно, в щели слабый дневной свет. Но несмотря на это, по всему необычному «залу» мягко разливалось приятное и равномерное золотистое сияние, приходившее неизвестно откуда и позволявшее свободно общаться и даже читать...
Сидящие вокруг Магдалины люди очень сосредоточенно и внимательно наблюдали за вытянутыми вперёд руками Магдалины. Вдруг между её ладонями начало появляться яркое золотое свечение, которое, всё уплотняясь, начало сгущаться в огромный голубоватый шар, который на глазах упрочнялся, пока не стал похожим на... планету!..
– Север, что это?.. – удивлённо прошептала я. – Это ведь наша Земля, не так ли?
Но он лишь дружески улыбнулся, не отвечая и ничего не объясняя. А я продолжала завороженно смотреть на удивительную женщину, в руках которой так просто и легко «рождались» планеты!.. Я никогда не видела Землю со стороны, лишь на рисунках, но почему-то была абсолютно уверена, что это была именно она. А в это время уже появилась вторая планета, потом ещё одна... и ещё... Они кружились вокруг Магдалины, будто волшебные, а она спокойно, с улыбкой что-то объясняла собравшимся, вроде бы совершенно не уставая и не обращая внимания на удивлённые лица, будто говорила о чём-то обычном и каждодневном. Я поняла – она учила их астрономии!.. За которую даже в моё время не «гладили» по голове, и за которую можно было ещё всё так же легко угодить прямиком в костёр... А Магдалина играючи учила этому уже тогда – долгих пятьсот лет тому назад!!!
Видение исчезло. А я, совершенно ошеломлённая, никак не могла очнуться, чтобы задать Северу свой следующий вопрос...
– Кто были эти люди, Север? Они выглядят одинаково и странно... Их как бы объединяет общая энергетическая волна. И одежда у них одинаковая, будто у монахов. Кто они?..
– О, это знаменитые Катары, Изидора, или как их ещё называют – чистые. Люди дали им это название за строгость их нравов, чистоту их взглядов и честность их помыслов. Сами же катары называли себя «детьми» или «Рыцарями Магдалины»... коими в реальности они и являлись. Этот народ был по-настоящему СОЗДАН ею, чтобы после (когда её уже не будет) он нёс людям Свет и Знание, противопоставляя это ложному учению «святейшей» церкви. Они были самыми верными и самыми талантливыми учениками Магдалины. Удивительный и чистый народ – они несли миру ЕЁ учение, посвящая этому свои жизни. Они становились магами и алхимиками, волшебниками и учёными, врачами и философами... Им подчинялись тайны мироздания, они стали хранителями мудрости Радомира – сокровенных Знаний наших далёких предков, наших Богов... А ещё, все они несли в своём сердце негаснущую любовь к их «прекрасной Даме»... Золотой Марии... их Светлой и загадочной Магдалине... Катары свято хранили в своих сердцах истинную историю прерванной жизни Радомира, и клялись сохранить его жену и детей, чего бы им это ни стоило... За что, позже, два столетия спустя, все до одного поплатились жизнью... Это по-настоящему великая и очень печальная история, Изидора. Я не уверен, нужно ли тебе её слушать.
– Но я хочу узнать о них, Север!.. Скажи, откуда же они появились, все одарённые? Не из долины ли Магов, случаем?
– Ну, конечно же, Изидора, ведь это было их домом! И именно туда вернулась Магдалина. Но было бы неправильно отдавать должное лишь одарённым. Ведь даже простые крестьяне учились у Катаров чтению и письменности. Многие из них наизусть знали поэтов, как бы дико сейчас для тебя это не звучало. Это была настоящая Страна Мечты. Страна Света, Знания и Веры, создаваемая Магдалиной. И эта Вера распространялась на удивление быстро, привлекая в свои ряды тысячи новых «катар», которые так же яро готовы были защищать даримое им Знание, как и дарившую его Золотую Марию... Учение Магдалины ураганом проносилось по странам, не оставляя в стороне ни одного думающего человека. В ряды Катар вступали аристократы и учёные, художники и пастухи, землепашцы и короли. Те, кто имели, легко отдавали катарской «церкви» свои богатства и земли, чтобы укрепилась её великая мощь, и чтобы по всей Земле разнёсся Свет её Души.
– Прости, что прерву, Север, но разве у Катар тоже была своя церковь?.. Разве их учение также являлось религией?
– Понятие «церковь» очень разнообразно, Изидора. Это не была та церковь, как понимаем её мы. Церковью катаров была сама Магдалина и её Духовный Храм. То бишь – Храм Света и Знания, как и Храм Радомира, рыцарями которого вначале были Тамплиеры (Тамплиерами Рыцарей Храма назвал король Иерусалима Болдуин II. Temple – по-французски – Храм.) У них не было определённого здания, в которое люди приходили бы молиться. Церковь катар находилась у них в душе. Но в ней всё же имелись свои апостолы (или, как их называли – Совершенные), первым из которых, конечно же, была Магдалина. Совершенными же были люди, достигшие самых высших ступеней Знания, и посвятившие себя абсолютному служению ему. Они непрерывно совершенствовали свой Дух, почти отказываясь от физической пищи и физической любви. Совершенные служили людям, уча их своему знанию, леча нуждающихся и защищая своих подопечных от цепких и опасных лап католической церкви. Они были удивительными и самоотверженными людьми, готовыми до последнего защищать своё Знание и Веру, и давшую им это Магдалину. Жаль, что почти не осталось дневников катар. Всё, что у нас осталось – это записи Радомира и Магдалины, но они не дают нам точных событий последних трагичных дней мужественного и светлого катарского народа, так как происходили эти события уже спустя две сотни лет после гибели Иисуса и Магдалины.
– Скажи, Север, как же погибла Золотая Мария? У кого хватило столь чёрного духу, чтобы поднять свою грязную руку на эту чудесную женщину?..
– Церковь, Изидора... К сожалению, всё та же церковь!.. Она взбесилась, видя в лице катар опаснейшего врага, постепенно и очень уверенно занимавшего её «святое» место. И осознавая своё скорое крушение, уже не успокаивалась более, пытаясь любым способом уничтожить Магдалину, справедливо считая её основным виновником «преступного» учения и надеясь, что без своей Путеводной Звезды катары исчезнут, не имея ни вождя, ни Веры. Церковь не понимала, насколько сильно и глубоко было Учение и Знание катар. Что это была не слепая «вера», а образ их жизни, суть того, ДЛЯ ЧЕГО они жили. И поэтому, как бы ни старались «святые» отцы привлечь на свою сторону катар, в Чистой Стране Окситании не нашлось даже пяди земли для лживой и преступной христианской церкви...
– Получается, подобное творил не только Караффа?!.. Неужели же такое было всегда, Север?..
Меня объял настоящий ужас, когда я представила всю глобальную картину предательств, лжи и убийств, которые свершала, пытаясь выжить, «святая» и «всепрощающая» христианская вера!..
– Как же такое возможно?! Как вы могли наблюдать и не вмешиваться? Как вы могли с этим жить, не сходя с ума, Север?!!
Он ничего не ответил, хорошо понимая, что это всего лишь «крик души» возмущённого человека. Да и я ведь прекрасно знала его ответ... Потому мы какое-то время молчали, как заблудшие в темноте, одинокие души...
– Так как же всё-таки погибла Золотая Мария? Можешь ли ты рассказать мне об этом? – не выдержав затянувшейся паузы, снова спросила я.
Север печально кивнул, показывая, что понял...
– После того, как учение Магдалины заняло большую половину тогдашней Европы, Папа Урбан II решил, что дальнейшее промедление будет смерти подобно для его любимой «святейшей» церкви. Хорошенько продумав свой дьявольский план, он, не откладывая, послал в Окситанию двух верных «выкормышей» Рима, которых, как «друзей» катар, знала Магдалина. И опять же, как это слишком часто бывало, чудесные, светлые люди стали жертвами своей чистоты и чести... Магдалина приняла их в свои дружеские объятия, щедро предоставляя им еду и крышу. И хотя горькая судьба научила её быть не слишком доверчивым человеком, подозревать любого было невозможно, иначе её жизнь и её Учение потеряли бы всякий смысл. Она всё ещё верила в ДОБРО, несмотря ни на что...До настоящего момента мы изучали фракталы, которые являются статическими фигурами. Наш подход вполне приемлем до тех пор, пока не возникает необходимость рассмотрения таких природных явлений, как падающие потоки воды, турбулентные завихрения дыма, метеосистемы и потоки на выходе реактивных двигателей. В этих случаях один-единственный фрактал соответствует моментальному снимку данного феномена. Структуры, изменяющиеся во времени, мы определяем как динамические системы. Интуитивно понятно, что динамической противоположностью фрактала является хаос. Это означает, что хаос описывает состояние крайней непредсказуемости, возникающей в динамической системе, в то время как фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность, присущую геометрической конфигурации.
Достаточно скоро стало ясно, что многие хаотические динамические системы, описыващие феномены окружащего нас мира, устроены очень сложно и не могут быть в полной мере представлены традиционными методами математического анализа. По-видимому, нет никакой возможности получить математические выражения для решений в замкнутом виде, даже если использовать бесконечные ряды или специальные функции.
Рассмотрим знаменитый пример, весьма наглядно демонстрирующий, что стоит за термином «хаотическая динамика». Эдвард Лоренц из Массачусетского технологического института в 1961 году занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекционных токов в атмосфере.
Рис. 6.1. Аттрактор Лоренца
Он написал программу для решения следующей системы дифференциальных уравнений:
В дальнейших расчетах параметры постоянны и принимают значения
Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала где-то в середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счета, если бы начальные значения для повторного счета в точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени.
Рис. 6.2. Результаты численного эксперимента Лоренца
Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Но самое неожиданное было впереди. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое (см. рис. 6.1, 6.2).
Лоренц вновь повторял и проверял вычисления (вероятно, не доверяя компьютеру), прежде чем осознал важность эксперимента. То, что он наблюдал, теперь называется существенной зависимостью от начальных условий - основной чертой, присущей хаотической динамике. Существенную зависимость иногда называют эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать долго статье «Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в опубликованной в 1979 году .
Несмотря на большую значимость эксперимента Лоренца, в настоящем тексте не будут рассматриваться модели, связанные с динамическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями. Напротив, мы будем рассматривать наиболее простые модели хаотической динамики. Это означает, что мы ограничимся изучением только дискретных динамических систем, а не непрерывных типа странного аттрактора Лоренца, описанного выше. Но не расстраивайтесь. Обнаружение хаотической динамики в поведении дискретных динамических систем столь же неожиданно, как и в непрерывном случае. Многие известные и эффектные графические примеры соответсвуют именно дискретным системам. В числе их можно упомянуть знаменитое и вездесущее множество Мандельброта и сопутствующие ему множества Жюлиа.
ЛОРЕНЦА СИСТЕМА
ЛОРЕНЦА СИСТЕМА
Система трёх нелинейных дифференц. ур-ний первого порядка:
решения к-рой в широкой области параметров являются нерегулярными ф-циями времени и по мн. своим характеристикам неотличимы от случайных. Л. с. была получена Э. Лоренцем (Е. Lorenz) из ур-ний гидродинамики как модель для описания тепловой конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемой снизу ( Р r - Прандтля число,
-
приведённое Р э -лея число, b
- определяется выбором в Фурье-разложении поля скорости и темп-ры).
Рис. 1. Иллюстрация последовательных бифуркаций в системе Лоренца при увеличении параметра r : а) ; б) ; в) г) д) е)
Л. с.- один из примеров динамической системы, имеющей простой физ. смысл; она демонстрирует стохастич. поведение системы. В фазовом пространстве этой системы в области параметров, указанных на рис. 1, существует странный аттрактор, движение изображающей точки на к-ром соответствует "случайному" - турбулентному течению жидкости при тепловой конвекции.
Рис. 2. Конвективная петля - физическая модель, для которой выводятся уравнения Лоренца.
Л. с. (при b =l) описывает, в частности, движение жидкости в конвективной петле, расположенной в вертикальной плоскости в однородном тяжести тороидальной полости, заполненной жидкостью (рис. 2). На стенках полости поддерживается не зависящая от времени (но зависящая от угла ) темп-pa Т(); ниж. часть петли теплее верхней. Ур-ния движения жидкости в конвективной петле сводятся к Л. с., где x(t] - скорость движения жидкости, у (t) - темп-pa в точке N , a z(t) - темп-pa в точке М при больших t. С ростом г характер движения жидкости меняется: сначала (при г