Проделаем несколько несложных преобразований с формулами. По второму закону Ньютона силу можно найти: F=m*a. Ускорение находится следующим образом: a=v⁄t . Таким образом получаем: F=m*v /t.
Определение импульса тела: формула
Выходит, что сила характеризуется изменением произведения массы на скорость во времени. Если обозначить это произведение некой величиной, то мы получим изменение этой величины во времени как характеристику силы. Эту величину назвали импульсом тела. Импульс тела выражается формулой:
где p импульс тела, m масса, v скорость.
Импульс это векторная величина, при этом его направление всегда совпадает с направлением скорости. Единицей импульса является килограмм на метр в секунду (1 кг*м/с).
Что же такое импульс тела: как понять?
Попробуем по-простому, «на пальцах» разобраться, что такое импульс тела. Если тело покоится, то его импульс равен нулю. Логично. Если скорость тела изменяется, то у тела появляется некий импульс, который характеризует величину приложенной к нему силы.
Если воздействие на тело отсутствует, но оно движется с некоторой скоростью, то есть имеет некий импульс, то его импульс означает, какое воздействие способно оказать данное тело при взаимодействии с другим телом.
В формулу импульса входит масса тела и его скорость. То есть чем большей массой и/или скоростью обладает тело, тем большее воздействие оно может оказать. Это понятно и из жизненного опыта.
Чтобы сдвинуть тело небольшой массы, нужна небольшая сила. Чем больше масса тела, тем большее придется приложить усилие. То же самое касается и скорости, которую сообщают телу. В случае же воздействия самого тела на другое, импульс также показывает величину, с которой тело способно действовать на другие тела. Эта величина напрямую зависит от скорости и массы исходного тела.
Импульс при взаимодействии тел
Возникает еще один вопрос: что произойдет с импульсом тела при его взаимодействии с другим телом? Масса тела измениться не может, если оно остается целым, а вот скорость может измениться запросто. При этом скорость тела изменится в зависимости от его массы.
В самом деле, понятно, что при столкновении тел с очень разными массами, скорость их изменится по-разному. Если летящий на большой скорости футбольный мяч врежется в неготового к этому человека, например зрителя, то зритель может упасть, то есть приобретет некоторую небольшую скорость, но точно не полетит как мячик.
А все потому, что масса зрителя намного больше массы мяча. Но при этом сохранится неизменным общий импульс этих двух тел.
Закон сохранения импульса: формула
В этом и заключается закон сохранения импульса: при взаимодействии двух тел их общий импульс остается неизменным. Закон сохранения импульса действует только в замкнутой системе, то есть в такой системе, в которой нет воздействия внешних сил или их суммарное действие равно нулю.
В реальности практически всегда на систему тел оказывается стороннее воздействие, но общий импульс, как и энергия, не пропадает в никуда и не возникает из ниоткуда, он распределяется между всеми участниками взаимодействия.
Подробности Категория: Механика Опубликовано 21.04.2014 14:29 Просмотров: 53268В классической механике существуют два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии .
Импульс тела
Впервые понятие импульса ввёл французский математик, физик, механик и философ Декарт, назвавший импульс количеством движения .
С латинского «импульс» переводится как «толкать, двигать».
Любое тело, которое движется, обладает импульсом.
Представим себе тележку, стоящую неподвижно. Её импульс равен нулю. Но как только тележка начнёт двигаться, её импульс перестанет быть нулевым. Он начнёт изменяться, так как будет изменяться скорость.
Импульс материальной точки, или количество движения, – векторная величина, равная произведению массы точки на её скорость. Направление вектора импульса точки совпадает с направлением вектора скорости.
Если говорят о твёрдом физическом теле, то импульсом такого тела называют произведение массы этого тела на скорость центра масс.
Как вычислить импульс тела? Можно представить, что тело состоит из множества материальных точек, или системы материальных точек.
Если - импульс одной материальной точки, то импульс системы материальных точек
То есть, импульс системы материальных точек – это векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих в систему. Она равна произведению масс этих точек на их скорости.
Единица измерения импульса в международной системе единиц СИ – килограмм-метр в секунду (кг · м/сек).
Импульс силы
В механике существует тесная связь между импульсом тела и силой. Эти две величины связывает величина, которая называется импульсом силы .
Если на тело действует постоянная сила F в течение промежутка времени t , то согласно второму закону Ньютона
Эта формула показывает связь между силой, которая действует на тело, временем действия этой силы и изменением скорости тела.
Величина, равная произведению силы, действующей на тело, на время, в течение которого она действует, называется импульсом силы .
Как мы видим из уравнения, импульс силы равен разности импульсов тела в начальный и конечный момент времени, или изменению импульса за какое-то время.
Второй закон Ньютона в импульсной форме формулируется следующим образом: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы. Нужно сказать, что сам Ньютон именно так и сформулировал первоначально свой закон.
Импульс силы – это также векторная величина.
Закон сохранения импульса вытекает из третьего закона Ньютона.
Нужно помнить, что этот закон действует только в замкнутой, или изолированной, физической системе. А замкнутой называют такую систему, в которой тела взаимодействуют только между собой и не взаимодействуют с внешними телами.
Представим замкнутую систему из двух физических тел. Силы взаимодействия тел друг с другом называют внутренними силами.
Импульс силы для первого тела равен
Согласно третьему закону Ньютона силы, которые действуют на тела при их взаимодействии, равны по величине и противоположны по направлению.
Следовательно, для второго тела импульс силы равен
Путём простых вычислений получаем математическое выражение закона сохранения импульса:
где m 1 и m 2 – массы тел,
v 1 и v 2 – скорости первого и второго тел до взаимодействия,
v 1 " и v 2 " – скорости первого и второго тел после взаимодействия.
p 1 = m 1 · v 1 - импульс первого тела до взаимодействия;
p 2 = m 2 · v 2 - импульс второго тела до взаимодействия;
p 1 "= m 1 · v 1 " - импульс первого тела после взаимодействия;
p 2 "= m 2 · v 2 " - импульс второго тела после взаимодействия;
То есть
p 1 + p 2 = p 1 " + p 2 "
В замкнутой системе тела только обмениваются импульсами. А векторная сумма импульсов этих тел до их взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.
Так, в результате выстрела из ружья импульс самого ружья и импульс пули изменятся. Но сумма импульсов ружья и находящейся в нём пули до выстрела останется равной сумме импульсов ружья и летящей пули после выстрела.
При стрельбе из пушки возникает отдача. Снаряд летит вперёд, а само орудие откатывается назад. Снаряд и пушка – замкнутая система, в которой действует закон сохранения импульса.
Импульс каждого из тел в замкнутой системе может изменяться в результате их взаимодействия друг с другом. Но векторная сумма импульсов тел, входящих в замкнутую систему, не изменяется при взаимодействии этих тел с течением времени, то есть остаётся постоянной величиной. Это и есть закон сохранения импульса .
Более точно закон сохранения импульса формулируется следующим образом: векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы – величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют, или же их векторная сумма равна нулю.
Импульс системы тел может измениться только в результате действия на систему внешних сил. И тогда закон сохранения импульса действовать не будет.
Нужно сказать, что в природе замкнутых систем не существует. Но, если время действия внешних сил очень мало, например, во время взрыва, выстрела и т.п., то в этом случае воздействием внешних сил на систему пренебрегают, а саму систему рассматривают как замкнутую.
Кроме того, если на систему действуют внешние силы, но сумма их проекций на одну из координатных осей равна нулю, (то есть силы уравновешены в направлении этой оси), то в этом направлении закон сохранения импульса выполняется.
Закон сохранения импульса называют также законом сохранения количества движения .
Самый яркий пример применения закона сохранения импульса – реактивное движение.
Реактивное движение
Реактивным движением называют движение тела, которое возникает при отделении от него с определённой скоростью какой-то его части. Само тело получает при этом противоположно направленный импульс.
Самый простой пример реактивного движения – полёт воздушного шарика, из которого выходит воздух. Если мы надуем шарик и отпустим его, он начнёт лететь в сторону, противоположную движению выходящего из него воздуха.
Пример реактивного движения в природе – выброс жидкости из плода бешеного огурца, когда он лопается. При этом сам огурец летит в противоположную сторону.
Медузы, каракатицы и другие обитатели морских глубин передвигаются, вбирая воду, а затем выбрасывая её.
На законе сохранения импульса основана реактивная тяга. Мы знаем, что при движении ракеты с реактивным двигателем в результате сгорания топлива из сопла выбрасывается струя жидкости или газа (реактивная струя ). В результате взаимодействия двигателя с вытекающим веществом появляется реактивная сила . Так как ракета вместе с выбрасываемым веществом является замкнутой системой, то импульс такой системы не меняется со временем.
Реактивная сила возникает в результате взаимодействия только частей системы. Внешние силы не оказывают никакого влияния на её появление.
До того, как ракета начала двигаться, сумма импульсов ракеты и горючего была равна нулю. Следовательно, по закону сохранения импульса после включения двигателей сумма этих импульсов тоже равна нулю.
где - масса ракеты
Скорость истечени газа
Изменение скорости ракеты
∆ m f - расход массы топлива
Предположим, ракета работала в течение времени t .
Разделив обе части уравнения на ∆ t , получим выражение
По второму закону Ньютона реактивная сила равна
Реактивная сила, или реактивная тяга, обеспечивает движение реактивного двигателя и объекта, связанного с ним, в сторону, противоположную направлению реактивной струи.
Реактивные двигатели применяются в современных самолётах и различных ракетах, военных, космических и др.
При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. Если на систему тел не действуют внешние силы со стороны других тел, то такая система называется замкнутой .
В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.
Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса . Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.
Рассмотрим какие-либо два взаимодействующих тела, входящих в состав замкнутой системы. Силы взаимодействия между этими телами обозначим через и По третьему закону Ньютона
Если эти тела взаимодействуют в течение времени t , то импульсы сил взаимодействия одинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны:
Применим к этим телам второй закон Ньютона:
Где и - импульсы тел в начальный момент времени, и - импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений следует, что в результате взаимодействия двух тел их суммарный импульс не изменился:
Закон сохранения импульса:
Рассматривая теперь всевозможные парные взаимодействия тел, входящих в замкнутую систему, можно сделать вывод, что внутренние силы замкнутой системы не могут изменить ее суммарный импульс, т. е. векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.
Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон сохранения импульса на примере нецентрального соударения двух шаров разных масс, один из которых до соударения находился в состоянии покоя.
Изображенные на рис. 1.17.1 вектора импульсов шаров до и после соударения можно спроектировать на координатные оси OX и OY . Закон сохранения импульса выполняется и для проекций векторов на каждую ось. В частности, из диаграммы импульсов (рис. 1.17.1) следует, что проекции векторов и импульсов обоих шаров после соударения на ось OY должны быть одинаковы по модулю и иметь разные знаки, чтобы их сумма равнялась нулю.
Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение .
При стрельбе из орудия возникает отдача - снаряд движется вперед, а орудие - откатывается назад. Снаряд и орудие - два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс (рис. 1.17.2). Если скорости орудия и снаряда обозначить через и а их массы через M и m , то на основании закона сохранения импульса можно записать в проекциях на ось OX
На принципе отдачи основано реактивное движение
. В ракете
при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью относительно ракеты. Обозначим массу выброшенных газов через m
, а массу ракеты после истечения газов через M
. Тогда для замкнутой системы «ракета + газы» на основании закона сохранения импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия) можно записать:
где V - скорость ракеты после истечения газов. В данном случае предполагается, что начальная скорость ракеты равнялась нулю.
Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно . На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.
Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t
имеет массу M
и движется со скоростью (рис. 1.17.3 (1)). В течение малого промежутка времени Δt
из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относительной скоростью Ракета в момент t
+ Δt
будет иметь скорость а ее масса станет равной M
+ ΔM
, где ΔM
< 0 (рис. 1.17.3 (2)). Масса выброшенных газов будет, очевидно, равна -ΔM
> 0. Скорость газов в инерциальной системе OX
будет равна Применим закон сохранения импульса. В момент времени t
+ Δt
импульс ракеты равен , а импульс испущенных газов равен 
. В момент времени t
импульс всей системы был равен Предполагая систему «ракета + газы» замкнутой, можно записать:
Величиной можно пренебречь, так как |ΔM | << M . Разделив обе части последнего соотношения на Δt и перейдя к пределу при Δt →0, получаем:
|
|
|
Рисунок 1.17.3. Ракета, движущаяся в свободном пространстве (без гравитации). 1 - в момент времени t . Масса ракеты М, ее скорость 2 - Ракета в момент времени t + Δt . Масса ракеты M + ΔM , где ΔM < 0, ее скорость масса выброшенных газов -ΔM > 0, относительная скорость газов скорость газов в инерциальной системе |
Величина 
есть расход топлива в единицу времени. Величина называется реактивной силой тяги
Реактивная сила тяги действует на ракету со стороны истекающих газов, она направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Соотношение
выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад (рис. 1.17.3), то в скалярной форме это соотношение принимает вид:
где u - модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу Циолковского для конечной скорости υ ракеты:
где - отношение начальной и конечной масс ракеты.
Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы ракеты. Например, для достижения первой космической скорости υ = υ 1 = 7,9·10 3 м/с при u = 3·10 3 м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива бывают порядка 2-4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14 раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости υ = 4u отношение должно быть равно 50.
Реактивное движение основано на законе сохранения импульса и это бесспорно. Только многие задачи решаются разными способами. Я предлагаю следующий. Простейший реактивный двигатель: камера, в которой с помощью сжигания топлива поддерживается постоянное давление, в нижнем днище камеры отверстие, через которое с определенной скоростью происходит истечение газа. Согласно закону сохранения импульса камера приходит в движение (прописные истины). Другой способ. В нижнем днище камеры отверстие, т.е. площадь нижнего днища меньше площади верхнего днища на площадь отверстия. Произведение давления на площадь дает силу. Сила, действующая на верхнее днище больше чем на нижнее (из-за разности площадей), получаем неуравновешенную силу, которая приводит камеру в движение. F = p (S1-S2) = pSотверстия, где S1 площадь верхнего днища, S2 площадь нижнего днища, Sотверстия площадь отверстия. Если решать задачи традиционным методом и предложенным мной результат будет один и тот же. Предложенный мной способ более сложен, но он объясняет динамику реактивного движения. Решение задач с помощью закона сохранения импульса более простое, но оно не дает понять откуда берется сила, приводящая камеру в движение.
И́мпульс (Количество движения) - векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этой точки на её скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:
Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.
В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.
Вывод из законов Ньютона
Рассмотрим выражение определения силы
Перепишем его для системы из N частиц:
где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида и будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть 
Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:
Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:
(постоянный вектор).
То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.
Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.
Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия.
Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой . Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются - внутренними . Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними . Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной ). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m 1 , m 2 , .... m n , и v 1 , v 2 ,..., v n . Пусть - равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a - равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:
Складывая почленно эти уравнения, получаем
Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то
(9.1)
где - импульс системы. Таким образом, производная по времени от импульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.
В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)
Последнее выражение и является законом сохранения импульса : импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.
Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы.
Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симметрии пространства - его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.
Отметим, что, согласно (9.1), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.
В механике Галилея-Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С ,положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен
где m i и r i - соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n - число материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс
Учитывая, что pi = m i v i , a есть импульс р системы, можно написать
т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.
Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим
(9.3)
т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собойзакон движения центра масс.
На этом уроке все желающие смогут изучить тему «Импульс. Закон сохранения импульса». Вначале мы дадим определение понятию импульса. Затем определим, в чём заключается закон сохранения импульса - один из главных законов, соблюдение которого необходимо, чтобы ракета могла двигаться, летать. Рассмотрим, как он записывается для двух тел и какие буквы и выражения используются в записи. Также обсудим его применение на практике.
Тема: Законы взаимодействия и движения тел
Урок 24. Импульс. Закон сохранения импульса
Ерюткин Евгений Сергеевич
Урок посвящен теме «Импульс и «закон сохранения импульса». Чтобы запускать спутники, нужно строить ракеты. Чтобы ракеты двигались, летали, мы должны совершенно точно соблюдать законы, по которым эти тела будут двигаться. Самым главным законом в этом смысле является закон сохранения импульса. Чтобы перейти непосредственно к закону сохранения импульса, давайте сначала определимся с тем, что такое импульс .
называют произведение массы тела на его скорость: . Импульс - векторная величина, направлен он всегда в ту сторону, в которую направлена скорость. Само слово «импульс» латинское и переводится на русский язык как «толкать», «двигать». Импульс обозначается маленькой буквой , а единицей измерения импульса является .
Первым человеком, который использовал понятие импульс, был . Импульс он попытался использовать как величину, заменяющую силу. Причина такого подхода очевидна: измерять силу достаточно сложно, а измерение массы и скорости - вещь достаточно простая. Именно поэтому часто говорят, что импульс - это количество движения. А раз измерение импульса является альтернативой измерения силы, значит, нужно связать эти две величины.
Рис. 1. Рене Декарт
Эти величины - импульс и силу - связывает между собой понятие . Импульс силы записывается как произведение силы на время, в течение которого эта сила действует: импульс силы . Специального обозначения для импульса силы нет.
Давайте рассмотрим взаимосвязь импульса и импульса силы. Рассмотрим такую величину, как изменение импульса тела, 
. Именно изменение импульса тела равно импульсу силы. Таким образом, мы можем записать: 
.
Теперь перейдем к следующему важному вопросу - закону сохранения импульса . Этот закон справедлив для замкнутой изолированной системы.
Определение: замкнутой изолированной системой называют такую, в которой тела взаимодействуют только друг с другом и не взаимодействуют с внешними телами.
Для замкнутой системы справедлив закон сохранения импульса: в замкнутой системе импульс всех тел остается величиной постоянной.
Обратимся к тому, как записывается закон сохранения импульса для системы из двух тел: .
Эту же формулу мы можем записать следующим образом: 
.
Рис. 2. Суммарный импульс системы из двух шариков сохраняется после их столкновения
Обратите внимание: данный закон дает возможность, избегая рассмотрения действия сил, определять скорость и направление движения тел. Этот закон дает возможность говорить о таком важном явлении, как реактивное движение.
Вывод второго закона Ньютона
С помощью закона сохранения импульса и взаимосвязи импульса силы и импульса тела можно получить второй и третий законы Ньютона. Импульс силы равен изменению импульса тела: 
. Затем массу выносим за скобки, в скобках остается . Перенесем время из левой части уравнения в правую и запишем уравнение следующим образом: .
Вспомните, что ускорение определяется как отношение изменения скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло. Если теперь вместо выражения подставить символ ускорения , то мы получаем выражение: - второй закон Ньютона.
Вывод третьего закона Ньютона
Запишем закон сохранения импульса: . Перенесем все величины, связанные с m 1 , в левую часть уравнения, а с m 2 - в правую часть: .
Вынесем массу за скобки: . Взаимодействие тел происходило не мгновенно, а за определенный промежуток. И этот промежуток времени для первого и для второго тел в замкнутой системе был величиной одинаковой: 
.
Разделив правую и левую часть на время t, мы получаем отношение изменения скорости ко времени - это будет ускорение первого и второго тела соответственно. Исходя из этого, перепишем уравнение следующим образом: 
. Это и есть хорошо известный нам третий закон Ньютона: . Два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по величине и противоположными по направлению.
Список дополнительной литературы:
А так ли хорошо знакомо вам количество движения? // Квант. — 1991. — №6. — С. 40-41. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: Учеб. для 9 кл. сред. школы. — М.: Просвещение, 1990. — С. 110-118 Кикоин А.К. Импульс и кинетическая энергия // Квант. — 1985. — № 5. — С. 28-29. Физика: Механика. 10 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики / М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др.; Под ред. Г.Я. Мякишева. - М.: Дрофа, 2002. - C. 284-307.