Задача установления закона распределения функции от случайных величин по заданному закону распределения аргументов является основной.
Общая схема рассуждений здесь следующая. Пусть - закон распределения Тогда очевидно имеем
где - полный прообраз полуинтервала, т.е. совокупность тех значений вектора £ из ЗГ, для которых. Последняя вероятность легко может быть найдена, так как закон распределения случайных величин £ известен
Аналогично, в принципе, может быть найден закон распределения и векторной функции случайных аргументов.
Сложность реализации схемы зависит только от конкретного вида функции (р и закона распределения аргументов.
Настоящая глава посвящена реализации схемы в конкретных, важных для приложений, ситуациях.
§1. Функции одного переменного
Пусть £ - случайная величина, закон распределения которой задан функцией распределения F((x), rj = Если F4(y) функция распределения случайной величины rj, то приведенные выше соображения дают
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
где через у) обозначен полный прообраз полу-
прямой (-оо, у). Соотношение (I) является очевидным следствием (*) и для рассматриваемого случая проиллюстрировано на рис. 1. Монотонное преобразование случайной величины Пусть (p(t) - непрерывная монотонная функция (для определенности - монотонно невозрастающая) и г) = - Для функции распределения Fn(y) получаем
(здесь - функция, обратная к существование которой обеспечивается монотонностью и непрерывность. Для монотонно неубывающей) аналогичные выкладки дают
В частности, если - линейна, то при а > О (рис. 2)
Линейные преобразования не меняют характера распределения, а сказываются лишь на его параметрах.
Линейное преобразование равномерной на [а, Ь] случайной величины
Пусть Линейное преобразование нормальной случайной величины
Пусть и вообще, если
Пусть, например, 0. Из (4) заключаем, что
Положим в последнем интеграле Эта замена дает
Важное тождество, являющееся источником многих интересных приложений, может быть получено из соотношения (3) при
Лемма. Если - случайная величина с непрерывной функцией распределения F^(x), то случайная величина г) = - равномерна на .
Имеем
- монотонно не убывает и заключена в пределах о Поэтому
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
На промежутке же получаем
Одним из возможных путей использования доказанной леммы является, например, процедура моделирования случайной величины с произвольным законом распределения F((x). Как следует из леммы, для этого достаточно уметь получать значения равномерной на }