وظيفة البناء

نحن نقدم انتباهكم إلى خدمة إنشاء الرسوم البيانية للوظائف عبر الإنترنت، وجميع الحقوق مملوكة للشركة ديسموس. استخدم العمود الأيسر لإدخال الوظائف. يمكنك الدخول يدويًا أو باستخدام لوحة المفاتيح الافتراضية الموجودة أسفل النافذة. لتكبير نافذة الرسم البياني، يمكنك إخفاء كل من العمود الأيسر ولوحة المفاتيح الافتراضية.

فوائد الرسم البياني على الانترنت

• عرض مرئي للوظائف المدخلة
• بناء رسوم بيانية معقدة للغاية
• إنشاء الرسوم البيانية المحددة ضمنيًا (على سبيل المثال، القطع الناقص x^2/9+y^2/16=1)
• إمكانية حفظ المخططات والحصول على رابط لها، مما يصبح متاحًا للجميع على الإنترنت
• التحكم في المقياس ولون الخط
• إمكانية رسم الرسوم البيانية بالنقاط باستخدام الثوابت
• رسم العديد من الرسوم البيانية الوظيفية في وقت واحد
• التآمر في الإحداثيات القطبية (استخدم r و θ(\theta))

معنا، من السهل إنشاء مخططات متفاوتة التعقيد عبر الإنترنت. يتم البناء على الفور. الخدمة مطلوبة للعثور على نقاط تقاطع الوظائف، لتصوير الرسوم البيانية لمزيد من نقلها إلى مستند Word كرسوم توضيحية عند حل المشكلات، لتحليل السمات السلوكية للرسوم البيانية الوظيفية. المتصفح الأمثل للعمل مع الرسوم البيانية على هذه الصفحة من الموقع هو جوجل كروم. لا يتم ضمان التشغيل الصحيح عند استخدام متصفحات أخرى.

كيفية دراسة وظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها؟

يبدو أنني بدأت أفهم الوجه الروحي الثاقب لزعيم البروليتاريا العالمية، مؤلف الأعمال المجمعة في 55 مجلدا... بدأت الرحلة الطويلة بالمعلومات الأساسية عنها الوظائف والرسوم البيانيةوالآن العمل على موضوع كثيف العمالة ينتهي بنتيجة منطقية - مقال حول دراسة كاملة للوظيفة. تمت صياغة المهمة التي طال انتظارها على النحو التالي:

استكشاف وظيفة باستخدام الأساليب حساب التفاضلوبناءً على نتائج البحث، قم ببناء رسم بياني

أو باختصار: فحص الوظيفة وإنشاء رسم بياني.

لماذا الاستكشاف؟في الحالات البسيطة، لن يكون من الصعب علينا فهم الوظائف الأولية، ورسم رسم بياني تم الحصول عليه باستخدام التحولات الهندسية الأوليةوما إلى ذلك وهلم جرا. ومع ذلك، خصائص و الصور الرسوميةأكثر وظائف معقدةليست واضحة على الإطلاق، ولهذا السبب هناك حاجة إلى دراسة كاملة.

تم تلخيص الخطوات الرئيسية للحل في المادة المرجعية مخطط دراسة الوظيفة، هذا هو دليلك لهذا القسم. تحتاج الدمى إلى شرح موضوع ما خطوة بخطوة، وبعض القراء لا يعرفون من أين يبدأون أو كيفية تنظيم بحثهم، وقد يهتم الطلاب المتقدمون ببضع نقاط فقط. ولكن أياً كنت عزيزي الزائر، فإن الملخص المقترح مع مؤشرات لمختلف الدروس سوف يوجهك بسرعة ويوجهك في اتجاه اهتمامك. الروبوتات تذرف الدموع =) تم وضع الدليل كملف pdf واحتل مكانه الصحيح على الصفحة الصيغ والجداول الرياضية.

لقد اعتدت على تقسيم بحث الوظيفة إلى 5-6 نقاط:

6) نقاط إضافية ورسم بياني بناءً على نتائج البحث.

فيما يتعلق بالإجراء النهائي، أعتقد أن كل شيء واضح للجميع - سيكون مخيبا للآمال للغاية إذا تم شطبه في غضون ثوان وتم إرجاع المهمة للمراجعة. الرسم الصحيح والدقيق هو النتيجة الرئيسية للحل! فمن المرجح أن "يغطي" الأخطاء التحليلية، في حين أن الجدول الزمني غير الصحيح و/أو الإهمال سوف يسبب مشاكل حتى مع إجراء دراسة مثالية.

تجدر الإشارة إلى أنه في مصادر أخرى، قد يختلف عدد نقاط البحث وترتيب تنفيذها وأسلوب التصميم بشكل كبير عن المخطط الذي اقترحته، ولكنه يكفي في معظم الحالات. تتكون أبسط نسخة من المشكلة من 2-3 مراحل فقط ويتم صياغتها على النحو التالي: "تحقيق الدالة باستخدام المشتق وإنشاء رسم بياني" أو "تحقيق الدالة باستخدام المشتقتين الأولى والثانية، إنشاء رسم بياني".

بطبيعة الحال، إذا كان دليلك يصف خوارزمية أخرى بالتفصيل أو كان معلمك يطلب منك بشدة الالتزام بمحاضراته، فسيتعين عليك إجراء بعض التعديلات على الحل. ليس أكثر صعوبة من استبدال شوكة المنشار بالملعقة.

دعونا نتحقق من الدالة الزوجية/الفردية:

يتبع ذلك رد القالب:
مما يعني أن هذه الدالة ليست زوجية أو فردية.

بما أن الدالة مستمرة على ، فلا توجد خطوط مقاربة رأسية.

لا توجد خطوط تقارب مائلة أيضًا.

ملحوظة : أذكرك أن الأعلى ترتيب النمو، وبالتالي فإن الحد النهائي هو بالضبط " زائدما لا نهاية."

دعنا نكتشف كيف تتصرف الدالة عند اللانهاية:

بمعنى آخر، إذا اتجهنا إلى اليمين، فإن الرسم البياني يتجه إلى الأعلى بشكل لا نهائي، وإذا اتجهنا إلى اليسار، فإنه يتجه إلى ما لا نهاية إلى الأسفل. نعم، هناك أيضًا حدان تحت الإدخال الواحد. إذا كنت تواجه صعوبة في فك رموز العلامات، يرجى زيارة الدرس حول وظائف متناهية الصغر.

وبالتالي فإن الوظيفة لا يقتصر من فوقو لا يقتصر من الأسفل. وبالنظر إلى أنه ليس لدينا نقاط توقف، يصبح الأمر واضحا نطاق الوظيفة: - أي رقم حقيقي .

تقنية فنية مفيدة

تقدم كل مرحلة من المهمة معلومات جديدة حول الرسم البياني للوظيفةلذلك، أثناء الحل، من الملائم استخدام نوع من التخطيط. لنرسم نظام الإحداثيات الديكارتية على المسودة. ما هو معروف بالفعل على وجه اليقين؟ أولاً، الرسم البياني لا يحتوي على خطوط مقاربة، لذلك ليست هناك حاجة لرسم خطوط مستقيمة. ثانيًا، نحن نعرف كيف تتصرف الدالة عند ما لا نهاية. وفقًا للتحليل، نرسم التقريب الأول:

يرجى ملاحظة أنه بسبب استمراريةوظائف وحقيقة أن الرسم البياني يجب أن يعبر المحور مرة واحدة على الأقل. أو ربما هناك عدة نقاط تقاطع؟

3) أصفار الدالة وفواصل الإشارة الثابتة.

أولاً، دعونا نوجد نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور الإحداثي. انه سهل. من الضروري حساب قيمة الدالة في:

واحد ونصف فوق مستوى سطح البحر.

ولإيجاد نقاط التقاطع مع المحور (أصفار الدالة) علينا حل المعادلة، وهنا تنتظرنا مفاجأة غير سارة:

هناك عضو حر كامن في النهاية، مما يجعل المهمة أكثر صعوبة.

تحتوي هذه المعادلة على جذر حقيقي واحد على الأقل، وغالبًا ما يكون هذا الجذر غير نسبي. في أسوأ القصص الخيالية، الخنازير الثلاثة الصغيرة تنتظرنا. المعادلة قابلة للحل باستخدام ما يسمى صيغ كاردانولكن الضرر الذي لحق بالورق يمكن مقارنته بالدراسة بأكملها تقريبًا. وفي هذا الصدد، من الحكمة محاولة اختيار واحد على الأقل، سواء شفهيًا أو في مسودة. جميعجذر. دعونا نتحقق مما إذا كانت هذه الأرقام هي:
- غير مناسب؛
- هنالك!

محظوظ هنا. في حالة الفشل، يمكنك أيضًا الاختبار، وإذا كانت هذه الأرقام غير مناسبة، فأنا أخشى أن فرصة التوصل إلى حل مربح للمعادلة ضئيلة جدًا. ثم من الأفضل تخطي نقطة البحث تمامًا - ربما يصبح شيء ما أكثر وضوحًا في الخطوة الأخيرة، عندما يتم اختراق النقاط الإضافية. وإذا كان الجذر (الجذور) "سيئًا" بشكل واضح، فمن الأفضل أن تظل صامتًا بشكل متواضع بشأن فترات ثبات العلامات وأن ترسم بعناية أكبر.

ومع ذلك، لدينا جذر جميل، لذلك نقسم كثيرة الحدود بدون باقي:

تمت مناقشة خوارزمية قسمة كثيرة الحدود على كثيرة الحدود بالتفصيل في المثال الأول من الدرس الحدود المعقدة.

ونتيجة لذلك، فإن الجانب الأيسر من المعادلة الأصلية يتحلل في المنتج:

والآن قليلا عن صحيححياة. وأنا بالطبع أفهم ذلك المعادلات التربيعيةتحتاج إلى حل كل يوم، ولكن اليوم سنجري استثناءً: المعادلة له جذرين حقيقيين

دعونا نرسم القيم الموجودة على خط الأعداد و طريقة الفاصلدعونا نحدد علامات الوظيفة:


og وهكذا على فترات يقع الجدول الزمني
تحت المحور السيني، وعلى فترات - فوق هذا المحور.

تتيح لنا النتائج تحسين تخطيطنا، ويبدو التقريب الثاني للرسم البياني كما يلي:

برجاء ملاحظة أن الدالة يجب أن يكون لها حد أقصى واحد على الأقل في الفترة، وواحد على الأقل في الفترة. لكننا لا نعرف حتى الآن عدد المرات وأين ومتى سيتم تكرار الجدول الزمني. بالمناسبة، يمكن أن تحتوي الدالة على عدد لا نهائي من العناصر التطرف.

4) تزايد وتناقص وأقصى الدالة.

دعونا نجد النقاط الحرجة:

هذه المعادلةله جذرين حقيقيين لنضعها على خط الأعداد ونحدد علامات المشتقة:


وبالتالي تزيد الدالة بمقدار وينخفض ​​بنسبة .
عند النقطة التي تصل فيها الدالة إلى الحد الأقصى: .
عند هذه النقطة تصل الدالة إلى الحد الأدنى: .

الحقائق الثابتة تجبر قالبنا على وضع إطار جامد إلى حد ما:

وغني عن القول أن حساب التفاضل والتكامل هو شيء قوي. دعونا أخيرًا نفهم شكل الرسم البياني:

5) التحدب والتقعر ونقاط الانعطاف.

دعونا نجد النقاط الحرجة للمشتق الثاني:

دعونا نحدد العلامات:


الرسم البياني للدالة محدب ومقعر. دعونا نحسب إحداثيات نقطة الانقلاب: .

لقد أصبح كل شيء واضحًا تقريبًا.

6) يبقى العثور على نقاط إضافية ستساعدك على إنشاء رسم بياني وإجراء اختبار ذاتي بدقة أكبر. وفي هذه الحالة فهي قليلة ولكننا لن نهملها:

لنقم بالرسم:

أخضريتم تحديد نقطة الانعطاف، ويتم وضع علامة على النقاط الإضافية بالصلبان. الرسم البياني للدالة المكعبة متماثل حول نقطة انعطافها، والتي تقع دائمًا في المنتصف بين الحد الأقصى والحد الأدنى.

ومع تقدم المهمة، قدمت ثلاث رسومات مؤقتة افتراضية. في الممارسة العملية، يكفي رسم نظام الإحداثيات، ووضع علامة على النقاط التي تم العثور عليها، وبعد كل نقطة بحث، قم بتقدير الشكل الذي قد يبدو عليه الرسم البياني للوظيفة. لن يكون من الصعب على الطلاب الذين يتمتعون بمستوى جيد من الإعداد إجراء مثل هذا التحليل في رؤوسهم فقط دون استخدام المسودة.

ل قرار مستقل:

مثال 2

استكشف الوظيفة وأنشئ رسمًا بيانيًا.

كل شيء أسرع وأكثر متعة هنا، مثال تقريبي للتصميم النهائي في نهاية الدرس.

تكشف دراسة الدوال العقلانية الكسرية العديد من الأسرار:

مثال 3

استخدم طرق حساب التفاضل والتكامل لدراسة دالة، وبناءً على نتائج الدراسة، قم ببناء الرسم البياني الخاص بها.

حل: المرحلة الأولى من الدراسة لا تتميز بأي شيء ملحوظ باستثناء وجود ثقب في منطقة التعريف:

1) الدالة محددة ومستمرة على خط الأعداد بأكمله ما عدا النقطة، اِختِصاص: .

مما يعني أن هذه الدالة ليست زوجية أو فردية.

من الواضح أن الوظيفة غير دورية.

يمثل الرسم البياني للدالة فرعين متواصلين يقعان في نصف المستوى الأيسر والأيمن - وربما يكون هذا هو الاستنتاج الأكثر أهمية للنقطة 1.

2) الخطوط المقاربة، سلوك الدالة عند اللانهاية.

أ) باستخدام الحدود من جانب واحد، نقوم بفحص سلوك الدالة بالقرب من نقطة مشبوهة، حيث يجب أن يكون هناك خط مقارب رأسي بوضوح:

في الواقع، تستمر الوظائف فجوة لا نهاية لهاعند هذه النقطة
والخط المستقيم (المحور) هو الخط المقارب الرأسيالفنون التصويرية .

ب) دعونا نتحقق من وجود الخطوط المقاربة المائلة:

نعم، إنه مستقيم الخط المقاربالرسومات إذا .

ليس من المنطقي تحليل النهايات، لأنه من الواضح بالفعل أن الدالة تتضمن خط التقارب المائل لا يقتصر من فوقو لا يقتصر من الأسفل.

النقطة الثانية من الدراسة جلبت الكثير معلومات مهمةحول الوظيفة. لنقم بعمل رسم تقريبي:

الاستنتاج رقم 1 يتعلق بفترات الإشارة الثابتة. عند "ناقص اللانهاية" يقع الرسم البياني للدالة بوضوح أسفل المحور السيني، وعند "زائد اللانهاية" يكون فوق هذا المحور. بالإضافة إلى ذلك، تخبرنا النهايات من جانب واحد أن الدالة على يسار النقطة وعلى يمينها أكبر أيضًا من صفر. يرجى ملاحظة أنه في نصف المستوى الأيسر، يجب أن يعبر الرسم البياني المحور السيني مرة واحدة على الأقل. قد لا يكون هناك أي أصفار للدالة في نصف المستوى الأيمن.

الاستنتاج رقم 2 هو أن الدالة تزداد على يسار النقطة (تنتقل "من الأسفل إلى الأعلى"). على يمين هذه النقطة، تقل الدالة (تنتقل من الأعلى إلى الأسفل). من المؤكد أن الفرع الأيمن من الرسم البياني يجب أن يحتوي على حد أدنى واحد على الأقل. على اليسار، التطرف غير مضمون.

يوفر الاستنتاج رقم 3 معلومات موثوقة حول تقعر الرسم البياني بالقرب من النقطة. لا يمكننا حتى الآن قول أي شيء عن التحدب/التقعر عند اللانهاية، حيث يمكن ضغط الخط باتجاه الخط المقارب له من الأعلى ومن الأسفل. بشكل عام، هناك طريقة تحليلية لمعرفة ذلك في الوقت الحالي، لكن شكل الرسم البياني سيصبح أكثر وضوحًا في مرحلة لاحقة.

لماذا الكثير من الكلمات؟ للتحكم في نقاط البحث اللاحقة وتجنب الأخطاء! يجب ألا تتعارض الحسابات الإضافية مع الاستنتاجات المستخلصة.

3) نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات، فترات الإشارة الثابتة للدالة.

الرسم البياني للدالة لا يتقاطع مع المحور.

باستخدام طريقة الفاصل نحدد العلامات:

، لو ؛
، لو .

نتائج هذه النقطة تتفق تماما مع الاستنتاج رقم 1. بعد كل مرحلة، انظر إلى المسودة، وتحقق من البحث عقليًا وأكمل الرسم البياني للوظيفة.

في المثال قيد النظر، يتم تقسيم البسط حدًا تلو الآخر على المقام، وهو أمر مفيد جدًا للتمايز:

في الواقع، لقد تم ذلك بالفعل عند العثور على الخطوط المقاربة.

- نقطة حرجة.

دعونا نحدد العلامات:

يزيد بنسبة ويتناقص بنسبة

عند هذه النقطة تصل الدالة إلى الحد الأدنى: .

كما لم تكن هناك أي تناقضات مع الاستنتاج رقم 2، وعلى الأرجح أننا نسير على الطريق الصحيح.

وهذا يعني أن الرسم البياني للدالة مقعر في مجال التعريف بأكمله.

رائع - ولست بحاجة إلى رسم أي شيء.

لا توجد نقاط انعطاف.

يتوافق التقعر مع الاستنتاج رقم 3، علاوة على ذلك، فهو يشير إلى أنه عند اللانهاية (هناك وهناك) يوجد الرسم البياني للدالة أعلىخط التقارب المائل.

6) سنثبت المهمة بضمير حي بنقاط إضافية. هذا هو المكان الذي سيتعين علينا أن نعمل فيه بجد، لأننا نعرف نقطتين فقط من البحث.

والصورة التي ربما تخيلها الكثير من الناس منذ زمن طويل:

أثناء تنفيذ المهمة، من الضروري التأكد بعناية من عدم وجود تناقضات بين مراحل البحث، ولكن في بعض الأحيان يكون الوضع عاجلا أو حتى طريق مسدود يائس. التحليلات "لا تضيف ما يصل" - هذا كل شيء. في هذه الحالة، أوصي بتقنية الطوارئ: نجد أكبر عدد ممكن من النقاط التي تنتمي إلى الرسم البياني (طالما لدينا ما يكفي من الصبر) ونضع علامة عليها على المستوى الإحداثي. سيخبرك التحليل الرسومي للقيم الموجودة في معظم الحالات بمكان الحقيقة وأين هو الخطأ. بالإضافة إلى ذلك، يمكن إنشاء الرسم البياني مسبقًا باستخدام بعض البرامج، على سبيل المثال، في Excel (بالطبع، يتطلب هذا مهارات).

مثال 4

استخدم طرق حساب التفاضل والتكامل لدراسة دالة وإنشاء رسمها البياني.

هذا مثال عليك حله بنفسك. فيه، يتم تعزيز ضبط النفس من خلال تكافؤ الوظيفة - الرسم البياني متماثل حول المحور، وإذا كان هناك شيء في بحثك يتناقض مع هذه الحقيقة، فابحث عن الخطأ.

حتى أو وظيفة غريبةيمكن التحقيق فيها فقط في ، ثم استخدام تماثل الرسم البياني. هذا الحل هو الأمثل، ولكن، في رأيي، يبدو غير عادي للغاية. أنا شخصياً أنظر إلى محور الأعداد بأكمله، لكن ما زلت أجد نقاطًا إضافية على اليمين فقط:

مثال 5

إجراء دراسة كاملة للدالة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها.

حل:الأمور أصبحت صعبة:

1) الدالة محددة ومستمرة على خط الأعداد بأكمله: .

وهذا يعني أن هذه الدالة فردية، ورسمها البياني متماثل بالنسبة لنقطة الأصل.

من الواضح أن الوظيفة غير دورية.

2) الخطوط المقاربة، سلوك الدالة عند اللانهاية.

بما أن الدالة مستمرة على ، فلا توجد خطوط مقاربة رأسية

بالنسبة للدالة التي تحتوي على الأس، فهذا أمر نموذجي متفرقدراسة "زائد" و "ناقص اللانهاية"، ومع ذلك، أصبحت حياتنا أسهل بسبب تماثل الرسم البياني - إما أن يكون هناك خط مقارب على اليسار واليمين، أو لا يوجد شيء. لذلك، يمكن كتابة كلا النهايتين اللانهائيتين تحت مدخل واحد. أثناء الحل نستخدم قاعدة لوبيتال:

الخط المستقيم (المحور) هو الخط المقارب الأفقي للرسم البياني عند .

يرجى ملاحظة كيف تجنبت بمكر الخوارزمية الكاملة للعثور على الخط المقارب المائل: الحد قانوني تمامًا ويوضح سلوك الوظيفة عند اللانهاية، وتم اكتشاف الخط المقارب الأفقي "كما لو كان في نفس الوقت".

من الاستمرارية ووجود الخط المقارب الأفقي يترتب على ذلك الدالة يحدها فوقو يحدها أدناه.

3) نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات، فترات الإشارة الثابتة.

وهنا نختصر الحل أيضًا:
الرسم البياني يمر عبر الأصل.

لا توجد نقاط تقاطع أخرى مع محاور الإحداثيات. علاوة على ذلك، فإن فترات ثبات الإشارة واضحة، ولا يلزم رسم المحور: مما يعني أن إشارة الدالة تعتمد فقط على "x":
، لو ؛
، لو .

4) تزايد وتناقص القيم القصوى للدالة.


- نقاط حرجة.

النقاط متناظرة حول الصفر، كما ينبغي أن تكون.

دعونا نحدد علامات المشتق:


تزداد الدالة على فترات وتتناقص على فترات

عند النقطة التي تصل فيها الدالة إلى الحد الأقصى: .

بسبب العقار (غرابة الوظيفة) لا يلزم حساب الحد الأدنى:

نظرًا لأن الدالة تتناقص خلال الفترة، فمن الواضح أن الرسم البياني يقع عند "ناقص اللانهاية" تحتالخط المقارب له. خلال الفاصل الزمني، تنخفض الدالة أيضًا، ولكن هنا العكس هو الصحيح - بعد المرور عبر النقطة القصوى، يقترب الخط من المحور من الأعلى.

ويترتب على ما سبق أيضًا أن الرسم البياني للدالة يكون محدبًا عند "ناقص اللانهاية" ومقعرًا عند "زائد اللانهاية".

بعد هذه النقطة من الدراسة تم رسم نطاق القيم الوظيفية:

إذا كان لديك أي سوء فهم لأي نقطة، فإنني أحثك ​​مرة أخرى على رسم محاور إحداثية في دفتر الملاحظات الخاص بك، ومع وجود قلم رصاص في يديك، قم بإعادة تحليل كل نتيجة للمهمة.

5) التحدب، التقعر، مكامن الخلل في الرسم البياني.

- نقاط حرجة.

تم الحفاظ على تماثل النقاط، وعلى الأرجح أننا لسنا مخطئين.

دعونا نحدد العلامات:


الرسم البياني للدالة محدب ومقعرة على .

تم تأكيد التحدب/التقعر في الفترات القصوى.

في جميع النقاط الحرجة هناك مكامن الخلل في الرسم البياني. لنجد إحداثيات نقاط الانعطاف، ونقوم مرة أخرى بتقليل عدد العمليات الحسابية باستخدام غرابة الوظيفة:

تتكون عملية البحث الوظيفي من عدة مراحل. للحصول على فهم أكمل لسلوك الوظيفة وطبيعة الرسم البياني الخاص بها، من الضروري العثور على:

مجال وجود الدالة.

يشمل هذا المفهوم كلاً من مجال القيم ومجال تعريف الوظيفة.

نقاط الانهيار. (إن وجد).

فترات الزيادة والنقصان.

الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.

القيمة القصوى والدنيا للدالة في مجال تعريفها.

مناطق التحدب والتقعر.

نقاط انعطاف (إن وجدت).

الخطوط المقاربة (إن وجدت).

بناء الرسم البياني.

دعونا نلقي نظرة على تطبيق هذا المخطط باستخدام مثال.

مثال.استكشاف الدالة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها.

نجد مجال وجود الدالة. من الواضح أن مجال التعريفالدالة هي المنطقة (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).

ومن الواضح أن الخطوط المستقيمة x = 1، x = -1 هي الخطوط المقاربة الرأسيةملتوية.

مدى من القيملهذه الوظيفة هي الفترة (-; ).

نقاط الاستراحةالوظائف هي النقاط x = 1، x = -1.

نجد نقاط حرجة.

دعونا نجد مشتقة الدالة

النقاط الحرجة: س = 0؛ س = -;س = ;س = -1; س = 1.

دعونا نجد المشتقة الثانية للدالة

دعونا نحدد تحدب وتقعر المنحنى على فترات.

- < x < -,y < 0, кривая выпуклая

-

1 < x < 0, y >0، منحنى مقعر

0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая

1 < x < ,y >0، منحنى مقعر

< x < , y >0، منحنى مقعر

العثور على الثغرات في ازديادو تنازليالمهام. للقيام بذلك، نحدد علامات مشتقة الدالة على فترات.

- < x < -,y >0، الدالة آخذة في الازدياد

-

1 < x < 0, y < 0, функция убывает

0 < x < 1, y < 0, функция убывает

1 < x < ,y < 0, функция убывает

< x < , y >0، الدالة آخذة في الازدياد

يمكن ملاحظة أن النقطة x = - هي نقطة أقصىوالنقطة x = هي نقطة الحد الأدنى. قيم الدالة عند هذه النقاط تساوي 3/2 و -3/2 على التوالي.

حول العمودي الخطوط المقاربةوقد سبق أن قيل أعلاه. الآن دعونا نجد الخطوط المقاربة المائلة.

في المجمل، معادلة الخط المقارب المائل هي y = x.

لنبني جدولسمات:

سننظر أدناه في عدة أمثلة لدراسة أنواع مختلفة من الوظائف باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

مثال:طرق حساب التفاضل والتكامل

1. مجال تعريف هذه الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية (-; ).

3. نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: مع محور أوي: x = 0؛ ص = 1؛

مع محور الثور: ص = 0؛ س = 1؛

4. نقاط التوقف وخطوط التقارب: لا توجد خطوط تقارب رأسية.

الخطوط المقاربة المنحدرة: المعادلة العامةص = ك س + ب؛

المجموع: y = -x – الخط المقارب المائل.

5. زيادة ونقصان وظيفة، النقاط القصوى.

يمكن أن نرى أن y 0 لأي x  0، وبالتالي، تتناقص الدالة على كامل مجال التعريف وليس لها حدود قصوى. عند النقطة x = 0، يكون المشتق الأول للدالة يساوي الصفر، ولكن عند هذه النقطة لا يتغير النقصان إلى زيادة، وبالتالي، عند النقطة x = 0، من المرجح أن يكون للدالة انعطاف. لإيجاد نقاط الانقلاب، علينا إيجاد المشتقة الثانية للدالة.

y = 0 لـ x =0 و y =  لـ x = 1.

النقاط (0،1) و (1،0) هي نقاط انعطاف، لأن ص(1-ح)< 0; y(1+h) >0; ص(-ح) > 0; ص(ح)< 0 для любого h > 0.

6. لنقم ببناء رسم بياني للوظيفة.

مثال:استكشاف الدالة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها.

1. مجال تعريف الدالة هو جميع قيم x ماعدا x = 0.

2. الوظيفة هي الوظيفة منظر عامبمعنى الزوجي والغريب.

3. نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: مع محور الثور: y = 0؛ س =

مع محور أوي: س = 0؛ ذ - غير موجود.

4. النقطة x = 0 هي نقطة انقطاع، وبالتالي فإن الخط المستقيم x = 0 هو خط مقارب رأسي.

نبحث عن الخطوط المقاربة المائلة بالصيغة: y = kx + b.

الخط المقارب المائل y = x.

5. أوجد النقاط القصوى للدالة.

; y = 0 لـ x = 2، y =  لـ x = 0.

y > 0 لـ x  (-, 0) - تزيد الدالة،

ذ< 0 при х  (0, 2) – функция убывает,

y > 0 لـ x  (2, ) – تزيد الدالة.

وبالتالي فإن النقطة (2، 3) هي نقطة الحد الأدنى.

لتحديد طبيعة تقعر/تقعر الدالة، نجد المشتقة الثانية.

> 0 لأي x  0، وبالتالي تكون الدالة مقعرة في كامل مجال التعريف.

6. لنقم ببناء رسم بياني للوظيفة.

مثال:استكشاف الدالة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها.

مجال تعريف هذه الدالة هو الفاصل الزمني x  (-, ).

بمعنى الزوجي والفرد، فإن الدالة هي دالة ذات شكل عام.

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: مع محور أوي: x = 0, y = 0;

مع محور الثور: ص = 0، س = 0، س = 1.

الخطوط المقاربة للمنحنى.

لا توجد الخطوط المقاربة العمودية.

دعونا نحاول العثور على الخطوط المقاربة المائلة في النموذج y = kx + b.

- لا توجد خطوط مقاربة مائلة.

العثور على النقاط القصوى.

للعثور على النقاط الحرجة، عليك حل المعادلة 4x3 – 9x2 + 6x –1 = 0.

للقيام بذلك، دعونا نحلل كثيرة الحدود هذه من الدرجة الثالثة.

وبالاختيار يمكننا تحديد أن أحد جذور هذه المعادلة هو العدد

س = 1. ثم:

4x 3 - 9x 2 + 6x - 1 x - 1

 4x3 – 4x2 4x2 – 5x+1

بعد ذلك يمكننا أن نكتب (x – 1)(4x 2 – 5x + 1) = 0. وأخيرًا، نحصل على نقطتين حرجتين: x = 1 وx = ¼.

ملحوظة. يمكن تجنب عملية قسمة كثيرات الحدود إذا استخدمنا صيغة مشتقة المنتج عند إيجاد المشتقة:

لنوجد المشتقة الثانية للدالة: 12x 2 - 18x + 6. وبمعادلتها للصفر نجد:

دعونا ننظم المعلومات الواردة في الجدول:

	مشكلة تحت		يزيد مشكلة تحت		يزيد إصدار		يزيد مشكلة تحت

دعونا نبني رسمًا بيانيًا للوظيفة.

وتتمثل المهمة في إجراء دراسة كاملة للوظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها.

لقد مر كل طالب بمهام مماثلة.

مزيد من العرض يفترض معرفة جيدة. ننصحك بالرجوع إلى هذا القسم إذا كانت لديك أي أسئلة.

تتكون خوارزمية البحث الوظيفي من الخطوات التالية.

العثور على مجال تعريف وظيفة.

هذه خطوة مهمة جدًا في دراسة الوظيفة، حيث سيتم تنفيذ جميع الإجراءات الإضافية في مجال التعريف.

في مثالنا، نحتاج إلى إيجاد أصفار المقام واستبعادها من منطقة الأعداد الحقيقية.



(في أمثلة أخرى قد تكون هناك جذور ولوغاريتمات وما إلى ذلك. ولنتذكر أنه في هذه الحالات يتم البحث في مجال التعريف على النحو التالي:
بالنسبة لجذر الدرجة الزوجية، على سبيل المثال، يتم العثور على مجال التعريف من المتباينة؛
بالنسبة للوغاريتم - مجال التعريف موجود من المتراجحة).

دراسة سلوك الدالة على حدود مجال التعريف، وإيجاد الخطوط المقاربة الرأسية.

عند حدود مجال التعريف، تكون الوظيفة الخطوط المقاربة الرأسية، إذا كانت هذه النقاط الحدودية لا حصر لها.

في مثالنا، النقاط الحدودية لمجال التعريف هي .

دعونا نتفحص سلوك الدالة عند الاقتراب من هذه النقاط من اليسار واليمين، والتي نجد لها حدود من جانب واحد:


نظرًا لأن الحدود من جانب واحد لا نهائية، فإن الخطوط المستقيمة هي الخطوط المقاربة الرأسية للرسم البياني.

فحص دالة للتساوي أو الغرابة.

الوظيفة هي حتى، لو . يشير تكافؤ الدالة إلى تماثل الرسم البياني حول الإحداثي.

الوظيفة هي غريب، لو . تشير غرابة الدالة إلى تماثل الرسم البياني بالنسبة إلى الأصل.

إذا لم تتحقق أي من المتساويات، فلدينا دالة ذات شكل عام.

في مثالنا، المساواة صحيحة، وبالتالي فإن الدالة زوجية. سنأخذ هذا في الاعتبار عند إنشاء الرسم البياني - سيكون متماثلًا حول المحور.

إيجاد فترات الدوال المتزايدة والتناقصية والنقاط القصوى.

فترات الزيادة والتناقص هي حلول للمتباينات، على التوالي.

تسمى النقاط التي يختفي عندها المشتق ثابت.

النقاط الحرجة للوظيفةاستدعاء النقاط الداخلية لمجال التعريف الذي يكون فيه مشتق الدالة صفراً أو غير موجود.

تعليق(سواء إدراج النقاط الحرجة في فترات الزيادة والنقصان).

سندرج النقاط الحرجة في فترات التزايد والتناقص إذا كانت تنتمي إلى مجال الدالة.

هكذا، لتحديد فترات زيادة وتناقص الدالة

• أولًا، نوجد المشتقة؛
• ثانيا، نجد النقاط الحرجة؛
• ثالثًا، نقسم مجال التعريف بالنقاط الحرجة إلى فترات؛
• رابعًا، نحدد إشارة المشتقة في كل فترة. سوف تتوافق علامة الزائد مع فترة الزيادة، وعلامة الطرح سوف تتوافق مع فترة النقصان.

يذهب!

نجد المشتق في مجال التعريف (إذا ظهرت صعوبات، راجع القسم).


ونجد نقاطا حرجة لهذا:

نرسم هذه النقاط على محور الأعداد ونحدد إشارة المشتقة في كل فترة ناتجة. بدلًا من ذلك، يمكنك أخذ أي نقطة في الفترة وحساب قيمة المشتقة عند تلك النقطة. إذا كانت القيمة موجبة، فإننا نضع علامة زائد فوق هذه الفجوة وننتقل إلى القيمة التالية، وإذا كانت سلبية، نضع علامة ناقص، وما إلى ذلك. على سبيل المثال، لذلك، وضعنا علامة زائد فوق الفترة الأولى على اليسار.


نستنتج:

من الناحية التخطيطية، تشير الإيجابيات/السلبيات إلى الفترات التي يكون فيها المشتق موجبًا/سلبيًا. تظهر الأسهم المتزايدة/التنازلية اتجاه الزيادة/النقصان.

النقاط القصوى للوظيفةهي النقاط التي يتم عندها تحديد الدالة وتمر من خلالها علامة التغييرات المشتقة.

في مثالنا، النقطة القصوى هي x=0. قيمة الدالة عند هذه النقطة هي . بما أن التغييرات المشتقة تشير من الموجب إلى الناقص عند المرور بالنقطة x=0، فإن (0; 0) هي نقطة الحد الأقصى المحلي. (إذا تغيرت إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد، فسيكون لدينا نقطة صغرى محلية).

إيجاد فترات التحدب والتقعر للدالة ونقاط الانقلاب.

تم العثور على فترات التقعر والتحدب للدالة عن طريق حل المتباينات و، على التوالي.

في بعض الأحيان يسمى التقعر محدبًا للأسفل، ويسمى المحدب محدبًا للأعلى.

هنا، التعليقات المشابهة لتلك الواردة في الفقرة الخاصة بفترات الزيادة والنقصان صالحة أيضًا.

هكذا، لتحديد فترات التقعر والتحدب للدالة:

• أولا، نجد المشتقة الثانية؛
• ثانيا، نجد أصفار البسط والمقام للمشتقة الثانية؛
• ثالثا، نقسم مجال التعريف بالنقاط التي تم الحصول عليها إلى فترات؛
• رابعًا، نحدد إشارة المشتقة الثانية في كل فترة. ستتوافق علامة الزائد مع فترة التقعر، وعلامة الطرح ستتوافق مع فترة التقعر.

يذهب!

نجد المشتقة الثانية في مجال التعريف.


في مثالنا، لا توجد أصفار في البسط، بل أصفار في المقام.

نرسم هذه النقاط على خط الأعداد ونحدد إشارة المشتقة الثانية في كل فترة ناتجة.



نستنتج:

النقطة تسمى نقطة الأنحراف، إذا كان هناك عند نقطة معينة مماس للرسم البياني للدالة وتغير علامة المشتق الثاني للدالة عند المرور.

بمعنى آخر، يمكن أن تكون نقاط الانعطاف عبارة عن نقاط يتم من خلالها الإشارة إلى تغيرات المشتقة الثانية؛ عند النقاط نفسها تكون إما صفرًا أو غير موجودة، ولكن يتم تضمين هذه النقاط في مجال تعريف الدالة.

في مثالنا، لا توجد نقاط انعطاف، حيث أن المشتقة الثانية تتغير عند المرور عبر النقاط، ولا تدخل في مجال تعريف الدالة.

إيجاد الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة.

يجب البحث عن الخطوط المقاربة الأفقية أو المائلة فقط عندما يتم تعريف الدالة عند اللانهاية.

الخطوط المقاربة المائلةيتم البحث على شكل خطوط مستقيمة، أين و .

لو k=0 وb لا يساوي اللانهاية، فيصبح الخط المقارب المائل أفقي.

من هم هؤلاء الخطوط المقاربة على أي حال؟

هذه هي الخطوط التي يقترب منها الرسم البياني للدالة عند اللانهاية. وبالتالي، فهي مفيدة جدًا في رسم دالة بيانيًا.

إذا لم تكن هناك خطوط مقاربة أفقية أو مائلة، ولكن تم تعريف الدالة عند زائد ما لا نهاية و (أو) ناقص ما لا نهاية، فيجب عليك حساب نهاية الدالة عند زائد ما لا نهاية و (أو) ناقص ما لا نهاية من أجل الحصول على فكرة عن سلوك الرسم البياني للوظيفة.

على سبيل المثال لدينا

- الخط المقارب الأفقي.

بهذا ننتهي من دراسة الوظيفة وننتقل إلى رسم الرسم البياني.

نحسب قيم الوظيفة عند النقاط المتوسطة.

لإنشاء رسم بياني أكثر دقة، نوصي بإيجاد عدة قيم للدالة عند نقاط وسيطة (أي عند أي نقاط من مجال تعريف الدالة).

على سبيل المثال، سنجد قيم الدالة عند النقاط x=-2، x=-1، x=-3/4، x=-1/4. ونظرًا لتكافؤ الدالة، فإن هذه القيم ستتزامن مع القيم عند النقاط x=2، x=1، x=3/4، x=1/4.


بناء الرسم البياني.

أولاً، نقوم ببناء الخطوط المقاربة، ونرسم نقاط الحد الأقصى والحد الأدنى المحلي للدالة، ونقاط الانعطاف والنقاط المتوسطة. لتسهيل إنشاء الرسم البياني، يمكنك أيضًا تعيين فترات الزيادة والنقصان والتحدب والتقعر بشكل تخطيطي، فليس من قبيل الصدفة أننا درسنا الدالة =).


يبقى رسم خطوط الرسم البياني من خلال النقاط المحددة، والاقتراب من الخطوط المقاربة واتباع الأسهم.


هذه التحفة الفنون البصريةاكتملت مهمة الفحص الكامل للوظيفة ورسم الرسم البياني.

بعض المخططات وظائف أوليةيمكن بناؤها باستخدام الرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية.

من أهم مهام حساب التفاضل هو وضع أمثلة عامة لدراسة سلوك الدوال.

إذا كانت الدالة y=f(x) متصلة على الفترة، ومشتقتها موجبة أو تساوي 0 على الفترة (a,b)، فإن y=f(x) تزداد بمقدار (f"(x)0) إذا كانت الدالة y=f (x) متصلة على القطعة، ومشتقتها سالبة أو تساوي 0 على الفترة (a,b)، فإن y=f(x) تتناقص بمقدار (f"(x)0. )

تسمى الفترات التي لا تقل أو تزيد فيها الوظيفة بفترات رتابة الوظيفة. يمكن أن تتغير رتابة الدالة فقط عند تلك النقاط من مجال تعريفها حيث تتغير إشارة المشتق الأول. تسمى النقاط التي يختفي عندها المشتق الأول للدالة أو يكون بها انقطاع حرجة.

النظرية 1 (الشرط الكافي الأول لوجود الحد الأقصى).

دع الدالة y=f(x) يتم تعريفها عند النقطة x 0 وليكن هناك حي δ>0 بحيث تكون الوظيفة مستمرة على الفاصل الزمني وقابلة للتفاضل على الفاصل الزمني (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) ومشتقته تحتفظ بإشارة ثابتة في كل فترة من هذه الفترات. ثم إذا كانت علامات المشتقة مختلفة عند x 0 -δ,x 0) و (x 0 , x 0 +δ)، فإن x 0 هي نقطة متطرفة، وإذا تزامنتا، فإن x 0 ليست نقطة متطرفة . علاوة على ذلك، إذا، عند المرور عبر النقطة x0، تشير التغييرات المشتقة من الموجب إلى الناقص (على يسار x 0 f"(x)>0، فإن x 0 هي النقطة القصوى؛ إذا كانت التغييرات المشتقة تشير من ناقص إلى زائد (على يمين x 0 تم تنفيذه f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

تسمى النقاط القصوى والدنيا بالنقاط القصوى للدالة، وتسمى النقاط القصوى والدنيا للدالة بالقيم القصوى.

النظرية 2 (علامة ضرورية على الحد الأقصى المحلي).

إذا كانت الدالة y=f(x) لها حد أقصى عند الوضع الحالي x=x 0، فإما f'(x 0)=0 أو f'(x 0) غير موجود.
عند النقاط القصوى للدالة القابلة للتفاضل، يكون ظل الرسم البياني موازيًا لمحور الثور.

خوارزمية لدراسة دالة للطرف الأقصى:

1) أوجد مشتقة الدالة.
2) البحث عن النقاط الحرجة، أي. النقاط التي تكون فيها الدالة مستمرة ويكون المشتق صفراً أو غير موجود.
3) خذ بعين الاعتبار محيط كل نقطة، وافحص إشارة المشتقة على يسار ويمين هذه النقطة.
4) تحديد إحداثيات النقاط القصوى؛ لذلك، استبدل قيم النقاط الحرجة في هذه الدالة. باستخدام الظروف الكافية للطرف الأقصى، استخلاص الاستنتاجات المناسبة.

مثال 18. افحص الدالة y=x 3 -9x 2 +24x لمعرفة الحد الأقصى

حل.
1) ص"=3س 2 -18س+24=3(س-2)(س-4).
2) بمساواة المشتقة بالصفر نجد x 1 = 2، x 2 = 4. في هذه الحالة، يتم تعريف المشتق في كل مكان؛ وهذا يعني أنه باستثناء النقطتين الموجودتين، لا توجد نقاط حرجة أخرى.
3) تتغير إشارة المشتقة y"=3(x-2)(x-4) تبعاً للفاصل الزمني كما هو موضح في الشكل 1. عند المرور بالنقطة x=2، تتغير إشارة المشتقة من زائد إلى ناقص، وعند المرور بالنقطة x=4 - من ناقص إلى زائد.
4) عند النقطة x=2، يكون للدالة حد أقصى لـ y max =20، وعند النقطة x=4 - حد أدنى لـ y min =16.

النظرية 3. (الشرط الكافي الثاني لوجود الحد الأقصى).

دع f"(x 0) وعند النقطة x 0 يوجد f""(x 0). ثم إذا f""(x 0)>0، فإن x 0 هي النقطة الدنيا، وإذا كانت f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

في مقطع ما، يمكن أن تصل الدالة y=f(x) إلى القيمة الأصغر (y الأقل) أو القيمة الأكبر (y الأعلى) إما عند النقاط الحرجة للدالة الواقعة في الفاصل الزمني (a;b)، أو عند نهايات المقطع.

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة y=f(x) على المقطع:

1) ابحث عن f"(x).
2) ابحث عن النقاط التي لا يوجد عندها f"(x)=0 أو f"(x)، واختر منها تلك التي تقع داخل المقطع.
3) احسب قيمة الدالة y=f(x) عند النقاط التي تم الحصول عليها في الخطوة 2)، وكذلك في نهايات المقطع وحدد الأكبر والأصغر منها: فهي على التوالي الأكبر (y) الأكبر) والأصغر (ص الأقل) قيم الدالة على الفاصل الزمني.

مثال 19. أوجد أكبر قيمة للدالة المستمرة y=x 3 -3x 2 -45+225 على القطعة.

1) لدينا y"=3x 2 -6x-45 على القطعة
2) المشتق y" موجود لجميع x. دعونا نجد النقاط التي عندها y"=0; نحن نحصل:
3س2 -6س-45=0
س 2 -2س-15=0
س 1 =-3؛ × 2 = 5
3) احسب قيمة الدالة عند النقاط x=0 y=225، x=5 y=50، x=6 y=63
يحتوي المقطع فقط على النقطة x=5. أكبر القيم التي تم العثور عليها للدالة هي 225، وأصغرها هو الرقم 50. لذا، y max = 225، y min = 50.

دراسة دالة على التحدب

يوضح الشكل الرسوم البيانية لوظيفتين. الأول محدب للأعلى والثاني محدب للأسفل.

تكون الدالة y=f(x) متصلة على فترة وقابلة للتفاضل في الفترة (a;b)، وتسمى محدبة لأعلى (لأسفل) على هذه الفترة إذا كان الرسم البياني الخاص بها، بالنسبة إلى axb، لا يقع أعلى (وليس أقل) من المماس المرسوم عند أي نقطة M 0 (x 0 ;f(x 0))، حيث axb.

النظرية 4. دع الدالة y=f(x) لها مشتق ثانٍ عند أي نقطة داخلية x من المقطع وتكون مستمرة في نهايات هذا المقطع. ثم إذا كانت المتباينة f""(x)0 ثابتة على الفترة (a;b)، فإن الدالة تكون محدبة للأسفل على الفترة؛ إذا كانت المتراجحة f""(x)0 ثابتة على الفترة (a;b)، فإن الدالة تكون محدبة لأعلى على .

النظرية 5. إذا كانت الدالة y=f(x) لها مشتق ثانٍ في الفترة (a;b) وإذا تغيرت الإشارة عند المرور عبر النقطة x 0، فإن M(x 0 ;f(x 0)) هي نقطة انعطاف.

قواعد العثور على نقاط انعطاف:

1) ابحث عن النقاط التي لا يوجد فيها f""(x) أو تختفي.
2) افحص الإشارة f""(x) الموجودة على يسار ويمين كل نقطة موجودة في الخطوة الأولى.
3) بناءً على النظرية 4، استنتج.

مثال 20. أوجد النقاط القصوى ونقاط انعطاف الرسم البياني للدالة y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

لدينا f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. من الواضح أن f"(x)=0 عندما يكون x 1 =0، x 2 =1. عند المرور بالنقطة x=0، تتغير إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد، ولكن عند المرور بالنقطة x=1 لا تتغير الإشارة. هذا يعني أن x=0 هي النقطة الدنيا (y min =12)، ولا يوجد حد أقصى عند النقطة x=1. التالي نجد . يختفي المشتق الثاني عند النقاط x 1 = 1، x 2 = 1/3. تتغير علامات المشتق الثاني كما يلي: على الشعاع (-∞;) لدينا f""(x)>0، على الفترة (;1) لدينا f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. لذلك، x= هي نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة (الانتقال من التحدب إلى الأسفل إلى التحدب إلى الأعلى) وx=1 هي أيضًا نقطة الانقلاب (الانتقال من التحدب إلى الأعلى إلى التحدب إلى الأسفل). إذا كانت x=، فإن y=; إذا، ثم س = 1، ص = 13.

خوارزمية للعثور على الخط المقارب للرسم البياني

I. إذا كانت y=f(x) كـ x → a، فإن x=a هو خط مقارب رأسي.
ثانيا. إذا كانت y=f(x) بالشكل x → ∞ أو x → -∞، فإن y=A هو خط مقارب أفقي.
ثالثا. للعثور على الخط المقارب المائل، نستخدم الخوارزمية التالية:
1) احسب . إذا كانت النهاية موجودة وتساوي b، فإن y=b هو خط مقارب أفقي؛ إذا، فانتقل إلى الخطوة الثانية.
2) احسب . إذا لم تكن هذه النهاية موجودة، فلا يوجد خط تقارب؛ إذا كان موجودًا ويساوي k، فانتقل إلى الخطوة الثالثة.
3) احسب . إذا لم تكن هذه النهاية موجودة، فلا يوجد خط تقارب؛ إذا كان موجوداً ويساوي b فانتقل إلى الخطوة الرابعة.
4) اكتب معادلة الخط المقارب المائل y=kx+b.

مثال 21: ابحث عن الخط المقارب لدالة

1)
2)
3)
4) معادلة الخط المقارب المائل لها الشكل

مخطط لدراسة وظيفة وبناء الرسم البياني لها

I. ابحث عن مجال تعريف الوظيفة.
ثانيا. أوجد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات.
ثالثا. ابحث عن الخطوط المقاربة.
رابعا. العثور على النقاط القصوى المحتملة.
خامسا: البحث عن النقاط الحرجة.
السادس. باستخدام الشكل المساعد، اكتشف إشارة المشتقتين الأولى والثانية. تحديد مجالات الدالة المتزايدة والمتناقصة، والعثور على اتجاه التحدب في الرسم البياني، ونقاط النقاط القصوى ونقاط الانعطاف.
سابعا. قم بإنشاء رسم بياني، مع مراعاة البحث الذي تم إجراؤه في الفقرات 1-6.

مثال رقم 22: أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة وفقًا للمخطط أعلاه

حل.
I. مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء x=1.
ثانيا. بما أن المعادلة x 2 +1=0 ليس لها جذور حقيقية، فإن الرسم البياني للدالة لا يحتوي على نقاط تقاطع مع محور Ox، ولكنه يتقاطع مع محور Oy عند النقطة (0;-1).
ثالثا. دعونا نوضح مسألة وجود الخطوط المقاربة. دعونا ندرس سلوك الوظيفة بالقرب من نقطة الانقطاع x=1. بما أن y → ∞ مثل x → -∞، y → +∞ مثل x → 1+، فإن الخط المستقيم x=1 هو الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للدالة.
إذا كانت x → +∞(x → -∞)، ثم y → +∞(y → -∞)؛ ولذلك، فإن الرسم البياني لا يحتوي على خط تقارب أفقي. أبعد من وجود الحدود

بحل المعادلة x 2 -2x-1=0 نحصل على نقطتين محتملتين:
س 1 =1-√2 و س 2 =1+√2

V. للعثور على النقاط الحرجة، نحسب المشتقة الثانية:

بما أن f""(x) لا تختفي، فلا توجد نقاط حرجة.
السادس. دعونا نتفحص إشارة المشتقتين الأولى والثانية. النقاط القصوى المحتملة التي يجب أخذها في الاعتبار: x 1 =1-√2 وx 2 =1+√2، قسّم مجال وجود الدالة إلى فترات (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) و (1+√2;+∞).

في كل من هذه الفترات، يحتفظ المشتق بعلامته: في الأول - زائد، في الثانية - ناقص، في الثالث - زائد. سيتم كتابة تسلسل علامات المشتق الأول على النحو التالي: +،-،+.
نجد أن الدالة تزيد عند (-∞;1-√2)، وتنقص عند (1-√2;1+√2)، وتزيد مرة أخرى عند (1+√2;+∞). النقاط القصوى: الحد الأقصى عند x=1-√2، وf(1-√2)=2-2√2 والحد الأدنى عند x=1+√2، وf(1+√2)=2+2√2. عند (-∞;1) يكون الرسم البياني محدبًا لأعلى، وعند (1;+∞) يكون محدبًا لأسفل.
سابعا لنقم بعمل جدول بالقيم التي تم الحصول عليها

VIII بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها، قمنا ببناء رسم بياني للدالة