صيغ علم المثلثات، ما هو جيب يساوي. جيب التمام، جيب التمام، الظل: ما هو؟ كيفية العثور على الجيب وجيب التمام والظل

الأسئلة الأكثر شيوعاً

هل من الممكن عمل ختم على مستند حسب العينة المقدمة؟ إجابة انه من الممكن. أرسل نسخة أو صورة ممسوحة ضوئيًا إلى عنوان بريدنا الإلكتروني جودة جيدة، وسوف نقوم بعمل التكرار اللازم.

ما هي أنواع الدفع التي تقبلونها؟ إجابة يمكنك دفع ثمن الوثيقة عند استلامها عن طريق البريد، بعد التحقق من صحة إكمال الدبلوم وجودته. ويمكن القيام بذلك أيضًا في مكاتب شركات البريد التي تقدم خدمات الدفع نقدًا عند التسليم.
جميع شروط التسليم والدفع للمستندات موضحة في قسم "الدفع والتسليم". نحن أيضًا على استعداد للاستماع إلى اقتراحاتكم فيما يتعلق بشروط التسليم والدفع مقابل المستند.

هل يمكنني التأكد من أنك بعد تقديم الطلب لن تختفي بأموالي؟ إجابة لدينا خبرة طويلة في مجال إنتاج الدبلومات. لدينا العديد من المواقع التي يتم تحديثها باستمرار. يعمل المتخصصون لدينا في أجزاء مختلفة من البلاد، وينتجون أكثر من 10 وثائق يوميًا. على مر السنين، ساعدت وثائقنا العديد من الأشخاص على حل مشاكل التوظيف أو الانتقال إلى وظائف ذات رواتب أعلى. لقد اكتسبنا الثقة والتقدير بين العملاء، لذلك لا يوجد أي سبب على الإطلاق للقيام بذلك. علاوة على ذلك، من المستحيل القيام بذلك جسديا: أنت تدفع ثمن طلبك عندما تستلمه بين يديك، ولا يوجد دفع مسبق.

هل يمكنني طلب دبلوم من أي جامعة؟ إجابة بشكل عام، نعم. نحن نعمل في هذا المجال منذ ما يقرب من 12 عامًا. خلال هذا الوقت، تم تشكيل قاعدة بيانات كاملة تقريبًا للوثائق الصادرة عن جميع الجامعات تقريبًا في الدولة وخارجها. سنوات مختلفةإصدار. كل ما عليك هو اختيار الجامعة والتخصص والمستند وتعبئة نموذج الطلب.

ماذا تفعل إذا وجدت أخطاء مطبعية وأخطاء في المستند؟ إجابة عند استلام مستند من شركة البريد السريع أو البريد لدينا، نوصيك بالتحقق بعناية من جميع التفاصيل. إذا تم العثور على خطأ مطبعي أو خطأ أو عدم دقة، فلديك الحق في عدم استلام الدبلوم، ولكن يجب عليك الإشارة إلى أوجه القصور المكتشفة شخصيًا إلى شركة البريد السريع أو كتابيًا عن طريق إرسال خطاب إلى بريد إلكتروني.
سنقوم بتصحيح المستند في أقرب وقت ممكن وإعادة إرساله إلى العنوان المحدد. وبطبيعة الحال، سيتم دفع تكاليف الشحن من قبل شركتنا.
لتجنب سوء الفهم هذا، قبل ملء النموذج الأصلي، نرسل إلى العميل عبر البريد الإلكتروني نموذجًا بالحجم الطبيعي للوثيقة المستقبلية للتحقق من النسخة النهائية والموافقة عليها. قبل إرسال المستند عن طريق البريد أو البريد، نقوم أيضًا بالتقاط صور ومقاطع فيديو إضافية (بما في ذلك الضوء فوق البنفسجي) حتى يكون لديك فكرة واضحة عما ستحصل عليه في النهاية.

ماذا علي أن أفعل لطلب دبلوم من شركتك؟ إجابة لطلب وثيقة (شهادة، دبلوم، شهادة أكاديمية، وما إلى ذلك)، يجب عليك ملء نموذج الطلب عبر الإنترنت على موقعنا أو تقديم بريدك الإلكتروني حتى نتمكن من إرسال نموذج طلب إليك، والذي يتعين عليك تعبئته وإرساله مرة أخرى لنا.
إذا كنت لا تعرف ما يجب الإشارة إليه في أي حقل من استمارة الطلب/الاستبيان، فاتركها فارغة. لذلك سنوضح كافة المعلومات الناقصة عبر الهاتف.

آخر مراجعات

اليكسي:

كنت بحاجة للحصول على دبلوم للحصول على وظيفة كمدير. والشيء الأكثر أهمية هو أن لدي الخبرة والمهارات، لكن لا يمكنني الحصول على وظيفة بدون وثيقة. بمجرد أن عثرت على موقعك، قررت أخيرًا شراء دبلوم. الدبلومة خلصت في يومين !! الآن لدي وظيفة لم أحلم بها من قبل !! شكرًا لك!

علم المثلثات، كعلم، نشأ في الشرق القديم. تم استخلاص النسب المثلثية الأولى من قبل علماء الفلك لإنشاء تقويم دقيق واتجاه للنجوم. وتتعلق هذه الحسابات بعلم المثلثات الكروية، بينما يدرسون في المقرر الدراسي نسبة أضلاع وزوايا المثلث المستوي.

علم المثلثات هو فرع من فروع الرياضيات يتعامل مع خصائص الدوال المثلثية والعلاقات بين أضلاع المثلثات وزواياها.

وفي ذروة الثقافة والعلم في الألفية الأولى الميلادية، انتشرت المعرفة من الشرق القديمإلى اليونان. لكن الاكتشافات الرئيسية في علم المثلثات هي فضل رجال الخلافة العربية. وعلى وجه الخصوص، قدم العالم التركماني المرزوي دوال مثل الظل وظل التمام، وقام بتجميع الجداول الأولى لقيم الجيب والظل وظل التمام. تم تقديم مفاهيم الجيب وجيب التمام من قبل العلماء الهنود. حظي علم المثلثات باهتمام كبير في أعمال شخصيات عظيمة في العصور القديمة مثل إقليدس وأرخميدس وإراتوستينس.

الكميات الأساسية لعلم المثلثات

أساسي الدوال المثلثيةالوسيطة العددية هي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام. كل واحد منهم لديه الرسم البياني الخاص به: الجيب، وجيب التمام، والظل، وظل التمام.

تعتمد صيغ حساب قيم هذه الكميات على نظرية فيثاغورس. ومن المعروف أكثر لدى تلاميذ المدارس في الصياغة: "بنطال فيثاغورس متساوي في جميع الاتجاهات" ، حيث يتم تقديم الدليل باستخدام مثال المثلث القائم متساوي الساقين.

تحدد علاقات الجيب وجيب التمام وغيرها العلاقة بين الزوايا الحادة وجوانب أي مثلث قائم الزاوية. دعونا نقدم صيغًا لحساب هذه الكميات للزاوية A وتتبع العلاقات بين الدوال المثلثية:

كما ترون، tg وctg هي وظائف عكسية. إذا تخيلنا أن الساق a هي حاصل ضرب sin A والوتر c، والساق b مثل cos A * c، فإننا نحصل على الصيغ التالية للظل وظل التمام:

الدائرة المثلثية

بيانياً يمكن تمثيل العلاقة بين الكميات المذكورة كما يلي:

تمثل الدائرة في هذه الحالة جميع القيم الممكنة للزاوية α - من 0 درجة إلى 360 درجة. وكما يتبين من الشكل، فإن كل دالة تأخذ قيمة سالبة أو موجبة حسب الزاوية. على سبيل المثال، سيكون لـ sin α علامة "+" إذا كانت α تنتمي إلى الربعين الأول والثاني من الدائرة، أي أنها تقع في النطاق من 0° إلى 180°. بالنسبة لـ α من 180° إلى 360° (الربعين الثالث والرابع)، يمكن أن تكون sin α قيمة سالبة فقط.

دعونا نحاول بناء جداول مثلثية لزوايا محددة ومعرفة معنى الكميات.

تسمى قيم α التي تساوي 30 درجة، 45 درجة، 60 درجة، 90 درجة، 180 درجة وما إلى ذلك حالات خاصة. يتم حساب قيم الدوال المثلثية الخاصة بها وتقديمها على شكل جداول خاصة.

لم يتم اختيار هذه الزوايا عشوائيا. التعيين π في الجداول مخصص للراديان. Rad هي الزاوية التي يتوافق عندها طول قوس الدائرة مع نصف قطرها. تم تقديم هذه القيمة من أجل إنشاء اعتماد عالمي؛ عند الحساب بالراديان، لا يهم الطول الفعلي لنصف القطر بالسنتيمتر.

تتوافق الزوايا في جداول الدوال المثلثية مع قيم الراديان:

لذلك، ليس من الصعب تخمين أن 2π عبارة عن دائرة كاملة أو 360 درجة.

خصائص الدوال المثلثية: الجيب وجيب التمام

من أجل النظر في الخصائص الأساسية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام ومقارنتها، من الضروري رسم وظائفها. يمكن القيام بذلك على شكل منحنى يقع في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد.

خذ بعين الاعتبار الجدول المقارن لخصائص الجيب وجيب التمام:

موجة جيبية	جيب التمام
ص = سينكس	ص = كوس س
أودز [-1؛ 1]	أودز [-1؛ 1]
الخطيئة x = 0، لـ x = πk، حيث k ϵ Z	cos x = 0، لـ x = π/2 + πk، حيث k ϵ Z
sin x = 1، لـ x = π/2 + 2πk، حيث k ϵ Z	cos x = 1، عند x = 2πk، حيث k ϵ Z
الخطيئة x = - 1، عند x = 3π/2 + 2πk، حيث k ϵ Z	cos x = - 1، لـ x = π + 2πk، حيث k ϵ Z
sin (-x) = - sin x، أي أن الدالة فردية	cos (-x) = cos x، أي أن الدالة زوجية
	الدالة دورية، وأصغر فترة هي 2π
sin x › 0، حيث x تنتمي إلى الربعين الأول والثاني أو من 0° إلى 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0، مع x تنتمي إلى الربعين الأول والرابع أو من 270° إلى 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0، حيث x تنتمي إلى الربعين الثالث والرابع أو من 180° إلى 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0، حيث x تنتمي إلى الربعين الثاني والثالث أو من 90° إلى 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
الزيادات في الفاصل الزمني [- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk]	الزيادات على الفاصل الزمني [-π + 2πk، 2πk]
يتناقص على فترات [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	يتناقص على فترات
المشتقة (الخطيئة x)' = cos x	مشتق (cos x)' = - sin x

تحديد ما إذا كانت الدالة زوجية أم لا أمر بسيط للغاية. يكفي أن نتخيل دائرة مثلثية مع علامات الكميات المثلثية و "طي" الرسم البياني ذهنيًا بالنسبة لمحور OX. فإذا تطابقت الإشارات كانت الدالة زوجية، وإلا كانت فردية.

يتيح لنا إدخال الراديان وقائمة الخصائص الأساسية لموجات الجيب وجيب التمام تقديم النمط التالي:

من السهل جدًا التحقق من صحة الصيغة. على سبيل المثال، بالنسبة لـ x = π/2، يكون جيب التمام هو 1، كما هو الحال مع جيب تمام x = 0. يمكن إجراء التحقق من خلال استشارة الجداول أو عن طريق تتبع منحنيات الوظائف لقيم معينة.

خصائص الظلال وأشباه التمام

تختلف الرسوم البيانية لوظائف الظل وظل التمام بشكل كبير عن وظائف الجيب وجيب التمام. القيمتان tg وctg متبادلتان.

1. ص = تان س.
2. يميل الظل إلى قيم y عند x = π/2 + πk، لكنه لا يصل إليها أبدًا.
3. أصغر فترة إيجابية للظلال هي π.
4. Tg (- x) = - tg x، أي أن الدالة فردية.
5. Tg x = 0، لـ x = πk.
6. الوظيفة تتزايد.
7. Tg x › 0، لـ x ϵ (πk، π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0، لـ x ϵ (— π/2 + πk، πk).
9. المشتق (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

دعونا نفكر صورة بيانية cotangentoids أدناه في النص.

الخصائص الرئيسية لل cotangentoids:

1. ص = سرير س.
2. على عكس وظائف الجيب وجيب التمام، في الظل Y يمكن أن تأخذ قيم مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.
3. يميل ظل التمام إلى قيم y عند x = πk، لكنه لا يصل إليها أبدًا.
4. أصغر فترة إيجابية لظل التمام هي π.
5. Ctg (- x) = - ctg x، أي أن الدالة فردية.
6. Ctg x = 0، لـ x = π/2 + πk.
7. الوظيفة آخذة في التناقص.
8. Ctg x › 0، لـ x ϵ (πk، π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0، لـ x ϵ (π/2 + πk، πk).
10. المشتق (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x صحيح

البيانات المرجعية للظل (tg x) وظل التمام (ctg x). التعريف الهندسي، الخصائص، الرسوم البيانية، الصيغ. جدول الظلال وظل التمام، المشتقات، التكاملات، توسعات المتسلسلة. التعبيرات من خلال المتغيرات المعقدة. الاتصال مع الوظائف الزائدية.

تعريف هندسي

|دينار بحريني| - طول قوس الدائرة التي مركزها النقطة أ .
α هي الزاوية المعبر عنها بالراديان.

الظل ( تان ألفا) هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المقابل |BC| إلى طول الساق المجاورة |AB| .

ظل التمام ( سي تي جي ألفا) هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المجاور |AB| لطول الساق المقابلة |BC| .

الظل

أين ن- جميع.

في الأدب الغربي، يُشار إلى الظل على النحو التالي:
.
;
;
.

الرسم البياني لدالة الظل، y = tan x

ظل التمام

أين ن- جميع.

في الأدب الغربي، يُشار إلى ظل التمام على النحو التالي:
.
يتم قبول الرموز التالية أيضًا:
;
;
.

رسم بياني لدالة ظل التمام، y = ctg x

خصائص الظل وظل التمام

الدورية

وظائف ص = تيراغرام سو ص = سي تي جي ×تكون دورية مع الفترة π.

التكافؤ

وظائف الظل وظل التمام غريبة.

مجالات التعريف والقيم، متزايدة، متناقصة

دوال الظل وظل التمام متصلة في مجال تعريفها (انظر إثبات الاستمرارية). يتم عرض الخصائص الرئيسية للظل وظل التمام في الجدول ( ن- جميع).

	ص= تيراغرام س	ص= سي تي جي ×
النطاق والاستمرارية
مدى من القيم	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
في ازدياد		-
تنازلي	-
النهايات	-	-
أصفار، ص = 0
نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي x = 0	ص= 0	-

الصيغ

التعبيرات باستخدام الجيب وجيب التمام

; ;
; ;
;

صيغ الظل وظل التمام من المجموع والفرق

من السهل الحصول على الصيغ المتبقية، على سبيل المثال

منتج الظلال

صيغة لمجموع وفرق الظلال

يعرض هذا الجدول قيم الظلال وظل التمام لقيم معينة للوسيطة.

التعبيرات باستخدام الأعداد المركبة

التعبيرات من خلال الوظائف الزائدية

;
;

المشتقات

; .

.
مشتق الترتيب n بالنسبة للمتغير x للدالة:
.
اشتقاق الصيغ للظل > > > ; لظل التمام > > >

التكاملات

توسعات السلسلة

للحصول على مفكوك الظل في قوى x، عليك أن تأخذ عدة حدود للتمدد في متسلسلة القوى للوظائف الخطيئة سو كوس سوتقسيم هذه كثيرات الحدود على بعضها البعض، . وهذا ينتج الصيغ التالية.

في .

في .
أين مليار- أرقام برنولي. يتم تحديدها إما من علاقة التكرار:
;
;
أين .
أو حسب صيغة لابلاس:

وظائف عكسية

الوظائف العكسية للظل وظل التمام هي ظل قوسي وظل ظل قوسي، على التوالي.

قوس قطبي، قوس قطبي

، أين ن- جميع.

ظل التمام القوسي، القوسي

، أين ن- جميع.

مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.
ج. كورن، دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين، 2012.

أحد مجالات الرياضيات التي يواجهها الطلاب أكثر من غيرهم هو علم المثلثات. ليس من المستغرب: من أجل إتقان هذا المجال من المعرفة بحرية، فأنت بحاجة إلى التفكير المكاني، والقدرة على العثور على الجيب، وجيب التمام، والظلال، وظل التمام باستخدام الصيغ، وتبسيط التعبيرات، وتكون قادرًا على استخدام الرقم pi في العمليات الحسابية. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون قادرًا على استخدام علم المثلثات عند إثبات النظريات، وهذا يتطلب إما ذاكرة رياضية متطورة أو القدرة على استخلاص سلاسل منطقية معقدة.

أصول علم المثلثات

يجب أن يبدأ التعرف على هذا العلم بتعريف جيب التمام وجيب التمام وظل الزاوية، ولكن عليك أولاً أن تفهم ما يفعله علم المثلثات بشكل عام.

تاريخيًا، كان الهدف الرئيسي للدراسة في هذا الفرع من العلوم الرياضية هو المثلثات القائمة. إن وجود زاوية قدرها 90 درجة يجعل من الممكن إجراء عمليات مختلفة تسمح بتحديد قيم جميع معلمات الشكل المعني باستخدام ضلعين وزاوية واحدة أو زاويتين وضلع واحد. في الماضي، لاحظ الناس هذا النمط وبدأوا في استخدامه بنشاط في تشييد المباني والملاحة وعلم الفلك وحتى في الفن.

المرحلة الأولى

في البداية، تحدث الناس عن العلاقة بين الزوايا والأضلاع فقط باستخدام مثال المثلثات القائمة. ثم تم اكتشاف صيغ خاصة مكنت من توسيع حدود الاستخدام فيها الحياة اليوميةهذا الفرع من الرياضيات.

تبدأ دراسة علم المثلثات في المدرسة اليوم بالمثلثات القائمة، وبعد ذلك يستخدم الطلاب المعرفة المكتسبة في الفيزياء وحل المشكلات المجردة. المعادلات المثلثية، العمل الذي يبدأ في المدرسة الثانوية.

علم المثلثات الكروية

لاحقًا، عندما وصل العلم إلى المستوى التالي من التطور، بدأ استخدام الصيغ ذات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام في الهندسة الكروية، حيث تنطبق قواعد مختلفة، ويكون مجموع زوايا المثلث دائمًا أكثر من 180 درجة. هذا القسم لا يدرس في المدرسة، لكن من الضروري معرفة وجوده على الأقل لأن سطح الأرض، وسطح أي كوكب آخر، محدب، مما يعني أن أي علامة سطحية ستكون “على شكل قوس” في ثلاث -مساحة الأبعاد.

خذ الكرة الأرضية والخيط. قم بتوصيل الخيط بأي نقطتين على الكرة الأرضية بحيث يكون مشدودًا. يرجى ملاحظة - لقد اتخذ شكل قوس. وتتناول الهندسة الكروية مثل هذه الأشكال، والتي تستخدم في الجيوديسيا وعلم الفلك وغيرها من المجالات النظرية والتطبيقية.

مثلث قائم

بعد أن تعلمنا القليل عن طرق استخدام علم المثلثات، دعنا نعود إلى علم المثلثات الأساسي لفهم المزيد عن ماهية الجيب وجيب التمام والظل، وما هي الحسابات التي يمكن إجراؤها بمساعدتهم وما هي الصيغ التي يجب استخدامها.

الخطوة الأولى هي فهم المفاهيم المتعلقة بالمثلث القائم الزاوية. أولًا، الوتر هو الضلع المقابل للزاوية التي قياسها 90 درجة. إنها الأطول. ونتذكر أنه وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن قيمته العددية تساوي جذر مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

على سبيل المثال، إذا كان طول الضلعين 3 و4 سنتيمترات على التوالي، فإن طول الوتر سيكون 5 سنتيمترات. وبالمناسبة، عرف قدماء المصريين عن ذلك منذ حوالي أربعة آلاف ونصف سنة.

ويسمى الجانبان المتبقيان، اللذان يشكلان زاوية قائمة، بالأرجل. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن نتذكر أن مجموع زوايا المثلث يساوي نظام مستطيلالإحداثيات هي 180 درجة.

تعريف

أخيرًا، مع الفهم العميق للأساس الهندسي، يمكن للمرء أن يتحول إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل للزاوية.

جيب الزاوية هو نسبة الساق المقابلة (أي الجانب المقابل للزاوية المطلوبة) إلى الوتر. جيب تمام الزاوية هو نسبة الضلع المجاور إلى الوتر.

تذكر أنه لا يمكن أن يكون جيب الجيب أو جيب التمام أكبر من واحد! لماذا؟ نظرًا لأن الوتر هو الأطول افتراضيًا، بغض النظر عن طول الساق، فإنه سيكون أقصر من الوتر، مما يعني أن النسبة بينهما ستكون دائمًا أقل من واحد. وبالتالي، إذا حصلت في إجابتك على مشكلة ما على جيب أو جيب التمام بقيمة أكبر من 1، فابحث عن خطأ في الحسابات أو الاستدلال. من الواضح أن هذه الإجابة غير صحيحة.

وأخيرًا، ظل الزاوية هو نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور. قسمة الجيب على جيب التمام سيعطي نفس النتيجة. انظر: حسب الصيغة، نقسم طول الضلع على الوتر، ثم نقسم على طول الضلع الثاني ونضرب في الوتر. وهكذا نحصل على نفس العلاقة كما في تعريف الظل.

وبالتالي فإن ظل التمام هو نسبة الضلع المجاور للزاوية إلى الجانب المقابل. نحصل على نفس النتيجة بقسمة واحد على المماس.

إذن، لقد نظرنا إلى تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، ويمكننا الانتقال إلى الصيغ.

أبسط الصيغ

في علم المثلثات، لا يمكنك الاستغناء عن الصيغ - كيف يمكنك العثور على جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام بدونها؟ ولكن هذا هو بالضبط ما هو مطلوب عند حل المشاكل.

الصيغة الأولى التي تحتاج إلى معرفتها عند البدء في دراسة علم المثلثات تنص على أن مجموع مربعات الجيب وجيب التمام للزاوية يساوي واحدًا. هذه الصيغة هي نتيجة مباشرة لنظرية فيثاغورس، ولكنها توفر الوقت إذا كنت بحاجة إلى معرفة حجم الزاوية بدلا من الجانب.

لا يستطيع العديد من الطلاب تذكر الصيغة الثانية، والتي تحظى أيضًا بشعبية كبيرة عند حل المشكلات المدرسية: مجموع واحد ومربع ظل الزاوية يساوي واحدًا مقسومًا على مربع جيب تمام الزاوية. ألق نظرة فاحصة: هذا هو نفس البيان كما في الصيغة الأولى، فقط طرفي الهوية مقسومان على مربع جيب التمام. اتضح أن عملية رياضية بسيطة تجعل الصيغة المثلثية غير معروفة تمامًا. تذكر: بمعرفة ما هي الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، وقواعد التحويل والعديد من الصيغ الأساسية، يمكنك في أي وقت استخلاص المزيد المطلوب بشكل مستقل الصيغ المعقدةعلى قطعة من الورق.

صيغ الزوايا المزدوجة وإضافة الحجج

هناك صيغتان أخريان تحتاج إلى تعلمهما تتعلقان بقيم الجيب وجيب التمام لمجموع الزوايا والفرق بينها. يتم عرضها في الشكل أدناه. يرجى ملاحظة أنه في الحالة الأولى، يتم ضرب الجيب وجيب التمام في كل مرة، وفي الحالة الثانية، يتم إضافة المنتج الزوجي للجيب وجيب التمام.

هناك أيضًا صيغ مرتبطة بوسائط الزاوية المزدوجة. إنها مشتقة بالكامل من تلك السابقة - كممارسة، حاول الحصول عليها بنفسك عن طريق أخذ زاوية ألفا مساوية لزاوية بيتا.

أخيرًا، لاحظ أنه يمكن إعادة ترتيب صيغ الزاوية المزدوجة لتقليل قوة الجيب وجيب التمام والظل ألفا.

نظريات

النظريتان الرئيسيتان في علم المثلثات الأساسي هما نظرية الجيب ونظرية جيب التمام. بمساعدة هذه النظريات، يمكنك بسهولة فهم كيفية العثور على جيب التمام وجيب التمام والظل، وبالتالي مساحة الشكل وحجم كل جانب، وما إلى ذلك.

تنص نظرية الجيب على أن قسمة طول كل ضلع في المثلث على الزاوية المقابلة له ينتج عنها نفس العدد. علاوة على ذلك، فإن هذا العدد سيكون مساويا لنصفي قطر الدائرة المحددة، أي الدائرة التي تحتوي على جميع نقاط مثلث معين.

تعمل نظرية جيب التمام على تعميم نظرية فيثاغورس، وإسقاطها على أي مثلثات. اتضح أنه من مجموع مربعات الجانبين، قم بطرح منتجهم مضروبا في جيب التمام المزدوج للزاوية المجاورة - القيمة الناتجة ستكون مساوية لمربع الجانب الثالث. وهكذا، فإن نظرية فيثاغورس هي حالة خاصة من نظرية جيب التمام.

أخطاء الإهمال

حتى معرفة ما هو جيب التمام وجيب التمام والظل، فمن السهل ارتكاب خطأ بسبب شرود الذهن أو خطأ في أبسط الحسابات. لتجنب مثل هذه الأخطاء، دعونا نلقي نظرة على الأخطاء الأكثر شعبية.

أولاً، لا ينبغي عليك تحويل الكسور إلى أعداد عشرية حتى تحصل على النتيجة النهائية - يمكنك ترك الإجابة كما هي جزء مشترك، ما لم ينص على خلاف ذلك في الشروط. لا يمكن وصف هذا التحول بأنه خطأ، ولكن يجب أن نتذكر أنه في كل مرحلة من مراحل المشكلة قد تظهر جذور جديدة، والتي ينبغي تقليلها وفقًا لفكرة المؤلف. في هذه الحالة، سوف تضيع وقتك في العمليات الحسابية غير الضرورية. وينطبق هذا بشكل خاص على قيم مثل جذر ثلاثة أو جذر اثنين، لأنها موجودة في المشاكل في كل خطوة. وينطبق الشيء نفسه على تقريب الأرقام "القبيحة".

علاوة على ذلك، لاحظ أن نظرية جيب التمام تنطبق على أي مثلث، ولكن ليس نظرية فيثاغورس! إذا نسيت عن طريق الخطأ طرح حاصل ضرب الجانبين مضروبًا في جيب تمام الزاوية بينهما، فلن تحصل على نتيجة خاطئة تمامًا فحسب، بل ستظهر أيضًا نقصًا تامًا في فهم الموضوع. وهذا أسوأ من خطأ الإهمال.

ثالثًا، لا تخلط بين قيم الزوايا 30 و60 درجة للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. تذكر هذه القيم، لأن جيب الزاوية 30 درجة يساوي جيب التمام 60، والعكس صحيح. من السهل الخلط بينهم، ونتيجة لذلك سوف تحصل حتما على نتيجة خاطئة.

طلب

العديد من الطلاب ليسوا في عجلة من أمرهم لبدء دراسة علم المثلثات لأنهم لا يفهمون معناها العملي. ما هو الجيب وجيب التمام والظل بالنسبة للمهندس أو عالم الفلك؟ هذه هي المفاهيم التي يمكنك من خلالها حساب المسافة إلى النجوم البعيدة، أو التنبؤ بسقوط نيزك، أو إرسال مسبار بحثي إلى كوكب آخر. بدونها، من المستحيل بناء مبنى، تصميم سيارة، حساب الحمل على السطح أو مسار الجسم. وهذه مجرد الأمثلة الأكثر وضوحا! بعد كل شيء، يتم استخدام علم المثلثات بشكل أو بآخر في كل مكان، من الموسيقى إلى الطب.

أخيراً

إذن أنت جيب التمام، وجيب التمام، والظل. يمكنك استخدامها في العمليات الحسابية وحل المشكلات المدرسية بنجاح.

بيت القصيد من علم المثلثات يعود إلى حقيقة أنه باستخدام المعلمات المعروفة للمثلث تحتاج إلى حساب المجهول. هناك ستة معلمات في المجمل: طول الجوانب الثلاثة وحجم الزوايا الثلاث. يكمن الاختلاف الوحيد في المهام في حقيقة تقديم بيانات إدخال مختلفة.

أنت تعرف الآن كيفية العثور على جيب التمام وجيب التمام والظل بناءً على الأطوال المعروفة للساقين أو الوتر. وبما أن هذه المصطلحات لا تعني أكثر من نسبة، والنسبة عبارة عن كسر، الهدف الرئيسيتصبح المشكلة المثلثية هي إيجاد جذور المعادلة العادية أو نظام المعادلات. وهنا سوف تساعدك الرياضيات المدرسية العادية.

سنبدأ دراستنا لعلم المثلثات بالمثلث القائم الزاوية. دعونا نحدد ما هو الجيب وجيب التمام، وكذلك الظل وظل التمام لزاوية حادة. هذه هي أساسيات علم المثلثات.

دعونا نتذكر ذلك زاوية مستقيمةهي زاوية تساوي 90 درجة. وبعبارة أخرى، نصف زاوية منعطفة.

زاوية حادة- أقل من 90 درجة.

زاوية منفرجة- أكبر من 90 درجة. فيما يتعلق بهذه الزاوية، فإن "منفرجة" ليست إهانة، ولكنها مصطلح رياضي :-)

لنرسم مثلثًا قائمًا. عادة ما يتم الإشارة إلى الزاوية اليمنى بواسطة . يرجى ملاحظة أن الجانب المقابل للزاوية يُشار إليه بالحرف نفسه، ولكنه صغير فقط. وبالتالي، يتم تعيين الجانب المقابل للزاوية A .

يُشار إلى الزاوية بالحرف اليوناني المقابل.

الوترللمثلث القائم هو الضلع المقابل للزاوية القائمة.

الساقين- الجوانب المتقابلة بزوايا حادة.

تسمى الساق الواقعة مقابل الزاوية عكس(بالنسبة للزاوية). وتسمى الساق الأخرى التي تقع على أحد جانبي الزاوية مجاور.

التجويفالزاوية الحادة في المثلث القائم هي نسبة الضلع المقابل للوتر:

جيب التمامالزاوية الحادة في المثلث الأيمن - نسبة الساق المجاورة إلى الوتر:

الظلالزاوية الحادة في المثلث القائم - نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور:

تعريف آخر (معادل): ظل الزاوية الحادة هو نسبة جيب الزاوية إلى جيب تمامها:

ظل التمامالزاوية الحادة في المثلث الأيمن - نسبة الجانب المجاور إلى المقابل (أو، وهي نفسها، نسبة جيب التمام إلى الجيب):

لاحظ العلاقات الأساسية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام أدناه. ستكون مفيدة لنا عند حل المشكلات.

دعونا نثبت بعض منهم.

حسنًا، لقد قدمنا ​​تعريفات وكتبنا الصيغ. ولكن لماذا لا نزال بحاجة إلى الجيب وجيب التمام والظل والظل؟

نحن نعرف ذلك مجموع زوايا أي مثلث يساوي.

نحن نعرف العلاقة بين حفلاتمثلث قائم. وهذه هي نظرية فيثاغورس: .

اتضح أنه بمعرفة زاويتين في المثلث، يمكنك العثور على الثالثة. بمعرفة ضلعي المثلث القائم الزاوية، يمكنك العثور على الثالث. هذا يعني أن الزوايا لها نسبها الخاصة، والأضلاع لها نسبها الخاصة. ولكن ماذا يجب أن تفعل إذا كنت تعرف زاوية واحدة (باستثناء الزاوية القائمة) وضلعًا واحدًا في المثلث القائم، لكنك بحاجة إلى العثور على الجوانب الأخرى؟

وهذا ما واجهه الناس في الماضي عند عمل خرائط للمنطقة والسماء المرصعة بالنجوم. ففي النهاية، ليس من الممكن دائمًا قياس جميع أضلاع المثلث بشكل مباشر.

جيب التمام وجيب التمام والظل - يطلق عليهم أيضًا وظائف الزاوية المثلثية- إعطاء العلاقات بين حفلاتو زوايامثلث. بمعرفة الزاوية، يمكنك العثور على جميع دوالها المثلثية باستخدام جداول خاصة. وبمعرفة جيب التمام وجيب التمام وظلال زوايا المثلث وأحد أضلاعه، يمكنك إيجاد الباقي.

سنقوم أيضًا برسم جدول لقيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا "الجيدة" من إلى.

يرجى ملاحظة الشرطتين الأحمرتين في الجدول. عند قيم الزاوية المناسبة، لا يوجد ظل وظل التمام.

دعونا نلقي نظرة على العديد من مسائل علم المثلثات من بنك مهام FIPI.

1. في المثلث، الزاوية هي . يجد .

يتم حل المشكلة في أربع ثوان.

بسبب ال ، .

2. في المثلث تكون الزاوية , . يجد .

دعونا نجدها باستخدام نظرية فيثاغورس.

حلت المشكلة.

غالبًا ما توجد في المشكلات مثلثات بزوايا أو بزوايا و. حفظ النسب الأساسية لهم عن ظهر قلب!

بالنسبة للمثلث ذو الزوايا والساق المقابلة للزاوية تساوي نصف الوتر.

مثلث ذو زوايا وهو متساوي الساقين. فيه يكون الوتر أكبر من الساق مرات.

لقد بحثنا في مسائل حل المثلثات القائمة الزاوية، أي إيجاد جوانب أو زوايا مجهولة. ولكن هذا ليس كل شيء! في خيارات امتحان الدولة الموحدةتوجد في الرياضيات العديد من المشكلات حيث يظهر جيب التمام أو جيب التمام أو الظل أو ظل التمام للزاوية الخارجية للمثلث. المزيد عن هذا في المقالة التالية.