مشتق من دالة لمتغير واحد.

مقدمة.

حقيقي التطورات المنهجيةمخصص لطلاب كلية الهندسة الصناعية والمدنية. تم تجميعها فيما يتعلق ببرنامج دورة الرياضيات في قسم "حساب التفاضل والتكامل لوظائف متغير واحد".

وتمثل التطورات دليلاً منهجياً واحداً، يتضمن: معلومات نظرية مختصرة؛ المسائل والتمارين "القياسية" مع الحلول التفصيلية والشروحات لهذه الحلول؛ خيارات الاختبار.

هناك تمارين إضافية في نهاية كل فقرة. هيكل التطوير هذا يجعلها مناسبة لإتقان القسم بشكل مستقل بأقل قدر من المساعدة من المعلم.

§1. تعريف المشتقة.

المعنى الميكانيكي والهندسي

المشتق.

يعد مفهوم المشتق من أهم المفاهيم في التحليل الرياضي، وقد نشأ في القرن السابع عشر. يرتبط تشكيل مفهوم المشتقة تاريخيًا بمشكلتين: مشكلة سرعة الحركة المتناوبة ومشكلة مماس المنحنى.

وهذه المسائل، على الرغم من اختلاف محتواها، تؤدي إلى نفس العملية الرياضية التي يجب إجراؤها على الدالة. وقد حصلت هذه العملية على اسم خاص في الرياضيات. وتسمى عملية تمايز الوظيفة. نتيجة عملية التمايز تسمى المشتقة.

لذا، فإن مشتق الدالة y=f(x) عند النقطة x0 هو الحد (إن وجد) لنسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة
في
.

عادة ما يتم الإشارة إلى المشتق على النحو التالي:
.

وهكذا بحكم التعريف

تُستخدم الرموز أيضًا للإشارة إلى المشتقات
.

المعنى الميكانيكي للمشتقات.

إذا كان s=s(t) – القانون حركة مستقيمةالنقطة المادية إذن
هي سرعة هذه النقطة عند الزمن t .

المعنى الهندسي للمشتق.

إذا كانت الدالة y=f(x) لها مشتق عند هذه النقطة ، الذي - التي ميلمماس للرسم البياني للدالة عند نقطة ما
يساوي
.

مثال.

العثور على مشتق من وظيفة
عند هذه النقطة =2:

1) دعونا نعطيها نقطة = 2 زيادة
. لاحظ أن.

2) أوجد زيادة الدالة عند النقطة =2:

3) لنقم بإنشاء نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة:

دعونا نجد نهاية النسبة عند
:

.

هكذا،
.

§ 2. مشتقات البعض

أبسط الوظائف.

يحتاج الطالب إلى تعلم كيفية حساب مشتقات دوال محددة: y=x,y= وبشكل عام= .

لنجد مشتقة الدالة y=x.

أولئك. (س)′=1.

دعونا نجد مشتقة الدالة

المشتق

يترك
ثم

من السهل ملاحظة وجود نمط في تعبيرات مشتقات دالة القوة
مع ن = 1،2،3.

لذلك،

. (1)

هذه الصيغة صالحة لأي n حقيقي.

وعلى وجه الخصوص، باستخدام الصيغة (1)، لدينا:

;

.

مثال.

العثور على مشتق من وظيفة

.

.

هذه الوظيفة هي حالة خاصة لوظيفة النموذج

في
.

وباستخدام الصيغة (1)، لدينا

.

مشتقات الدوال y=sin x و y=cos x.

دع y=sinx.

نقسم على ∆x نحصل على

بالمرور إلى الحد الأقصى عند ∆x→0، لدينا

دع y=cosx.

بالمرور إلى الحد عند ∆x→0، نحصل على

;
. (2)

§3. القواعد الأساسية للتمايز.

دعونا ننظر في قواعد التمايز.

نظرية1 . إذا كانت الدالتان u=u(x) وv=v(x) قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة x، فإن مجموعهما يكون قابلاً للاشتقاق عند هذه النقطة، ومشتقة المجموع تساوي مجموع مشتقات الحدود: (u+v)"=u"+v".(3)

الدليل: النظر في الدالة y=f(x)=u(x)+v(x).

الزيادة ∆x للوسيطة x تتوافق مع الزيادات ∆u=u(x+∆x)-u(x)، ∆v=v(x+∆x)-v(x) للوظائف u و v. ثم ستزداد الدالة y

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

لذلك،

لذا، (u+v)"=u"+v".

نظرية2. إذا كانت الدالتان u=u(x) وv=v(x) قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة x، فإن حاصل ضربهما يكون قابلاً للاشتقاق عند نفس النقطة. في هذه الحالة، يتم العثور على مشتق المنتج بالصيغة التالية: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

الدليل: افترض أن y=uv، حيث u وv هما دوال قابلة للتفاضل لـ x. لنعطي x زيادة قدرها ∆x؛ ثم ستحصل u على زيادة قدرها ∆u، وستتلقى v زيادة قدرها ∆v، وستتلقى y زيادة قدرها ∆y.

لدينا y+∆y=(u+∆u)(v+∆v)، أو

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

ولذلك، ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

من هنا

بالمرور إلى الحد عند ∆x→0 ومع الأخذ في الاعتبار أن u وv لا يعتمدان على ∆x، سيكون لدينا

النظرية 3. مشتقة حاصل دالتين يساوي كسرًا مقامه يساوي مربع المقسوم عليه، والبسط هو الفرق بين حاصل ضرب مشتقة المقسوم على المقسوم عليه وحاصل ضرب المقسوم عليه توزيعات الأرباح بواسطة مشتق المقسوم عليه، أي

لو
الذي - التي
(5)

النظرية 4.مشتقة الثابت تساوي الصفر، أي. إذا كانت y=C، حيث C=const، فإن y"=0.

النظرية 5.يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة، أي. إذا y=Cu(x)، حيث C=const، ثم y"=Cu"(x).

مثال 1.

العثور على مشتق من وظيفة

.

هذه الوظيفة لديها النموذج
حيث u=x,v=cosx. وبتطبيق قاعدة التفاضل (4) نجد

.

مثال 2.

العثور على مشتق من وظيفة

.

دعونا نطبق الصيغة (5).

هنا
;
.

مهام.

البحث عن المشتقات الوظائف التالية:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

يُطلق على مشتق الدالة العنصر الأساسي في حساب التفاضل والتكامل. هذا العنصر هو النتيجة المحددة لتطبيق بعض عمليات التمايز المحددة فيما يتعلق بالوظيفة الأصلية.

تعريف المشتقة

لكي تفهم ما هي المشتقة، عليك أن تعرف أن اسم الدالة يأتي مباشرة من كلمة "مشتقة"، أي مكونة من كمية أخرى. في الوقت نفسه، فإن عملية تحديد مشتق وظيفة معينة لها اسم - "التمايز".

الطريقة الأكثر شيوعًا للتمثيل والتعريف هي استخدام نظرية النهايات، على الرغم من أنها ظهرت متأخرة كثيرًا عن حساب التفاضل والتكامل. ووفقا لتعريف هذه النظرية، فإن المشتق هو حد في نسبة زيادة الدوال إلى زيادة الوسيط، إذا كان هناك مثل هذا الحد، وبشرط أن تتجه هذه الوسيطة إلى الصفر.

تمت المراجعة أدناه مثال صغيرسوف تساعدك على فهم ما هو المشتق بوضوح.

1. لإيجاد مشتق الدالة f عند النقطة x، علينا تحديد قيم هذه الدالة مباشرة عند النقطة x، وكذلك عند النقطة x + Δx. علاوة على ذلك، Δx هي زيادة الوسيطة x.
2. أوجد زيادة الدالة y التي تساوي f(x+Δx) – f(x).
3. اكتب المشتقة باستخدام نهاية العلاقة f' = lim(f(x+Δkh) – f(x))/Δkh، واحسبها عند Δkh → 0.

عادةً ما يُشار إلى المشتق بفاصلة عليا - "" مباشرة فوق الدالة التي يتم التفريق بينها. يشير التدوين على شكل فاصلة عليا إلى المشتق الأول، وعلى شكل فاصلتين - إلى المشتق الثاني. المشتق أعلى ترتيبمن المعتاد تحديد الرقم المقابل، على سبيل المثال f^(n) - ماذا يعني مشتق الترتيب n، حيث يكون الحرف "n" عددًا صحيحًا؟ 0. المشتقة ذات الترتيب الصفري هي الدالة القابلة للتفاضل نفسها.

من أجل تسهيل التمييز بين الوظائف المعقدة، تم تطوير واعتماد قواعد معينة للتمييز بين الوظائف:

• C' = 0، حيث C هي تسمية ثابت؛
• x' يساوي 1؛
• (f + g)' يساوي f' + g'؛
• (C*f)' يساوي C*f' وهكذا.
• بالنسبة للتمايز N-fold، يكون من الملائم أكثر استخدام صيغة لايبنيز في النموذج: (f*g) (n) = Σ C(n) k *f (n-k) *g k، حيث تكون C(n) k تعيين المعاملات ذات الحدين.

المشتقة والهندسة

الفهم الهندسي للمشتقة هو أنه إذا كانت الدالة f لها مشتق منتهٍ عند النقطة x، فإن قيمة هذا المشتق ستكون مساوية لظل ميل مماس الدالة f عند تلك النقطة.

لتحدد الدالة عند نقطة ما وبعض جوارها. دعونا نعطي الوسيطة زيادة بحيث تقع النقطة ضمن مجال تعريف الوظيفة. سيتم بعد ذلك زيادة الوظيفة.

تعريف. مشتقة دالة عند نقطة يسمى حد نسبة زيادة الدالة عند هذه النقطة إلى زيادة الوسيطة، عند (إذا كان هذا الحد موجودًا ومحدودًا)، أي.

تعينها: ،،،.

مشتقة دالة عند نقطة على اليمين (يسار) مُسَمًّى

(إذا كان هذا الحد موجودًا ومحدودًا).

تم تحديده بواسطة: - مشتق عند النقطة الموجودة على اليمين،

، هو المشتق عند النقطة على اليسار.

ومن الواضح أن النظرية التالية صحيحة.

نظرية. يكون للدالة مشتق عند نقطة ما، فقط إذا كانت مشتقات الدالة الموجودة على اليمين واليسار موجودة ومتساوية مع بعضها البعض. علاوة على ذلك

تنص النظرية التالية على وجود علاقة بين وجود مشتق للدالة عند نقطة ما واستمرارية الوظيفة عند تلك النقطة.

النظرية (شرط ضروري لوجود مشتقة الدالة عند نقطة ما). إذا كانت الدالة لها مشتقة عند نقطة ما، فإن الدالة عند تلك النقطة تكون متصلة.

دليل

دعها موجودة. ثم

,

حيث هو متناهية الصغر في.

تعليق

مشتق من وظيفة وتدل

تمايز الوظيفة .

المعنى الهندسي والمادي

1) المعنى المادي للمشتق. إذا كانت الوظيفة ووسائطها كميات فيزيائية، فإن المشتق هو معدل تغير المتغير بالنسبة للمتغير عند نقطة ما. على سبيل المثال، إذا - المسافة، اجتازتها نقطةبمرور الوقت، فإن مشتقتها هي السرعة في اللحظة الزمنية. إذا كانت كمية الكهرباء المتدفقة من خلال المقطع العرضيموصل في لحظة من الزمن، إذن هو معدل التغير في كمية الكهرباء في لحظة من الزمن، أي. القوة الحالية في لحظة من الزمن.

2) المعنى الهندسي للمشتق.

اسمحوا أن يكون بعض المنحنى، يكون نقطة على المنحنى.

يسمى أي خط مستقيم يتقاطع مع نقطتين على الأقل قاطع .

مماس لمنحنى عند نقطة ما يتم استدعاء الموضع الحدي للقاطع إذا كانت النقطة تميل إلى التحرك على طول المنحنى.

يتضح من التعريف أنه إذا كان مماس المنحنى موجودًا عند نقطة ما، فهو الوحيد

فكر في منحنى (أي رسم بياني لوظيفة). فليكن لها مماس غير عمودي عند نقطة ما. معادلتها: (معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة وله معامل زاوي).

حسب تعريف المنحدر

أين هي زاوية ميل الخط المستقيم على المحور.

اسمحوا أن تكون زاوية ميل القاطع إلى المحور، حيث. منذ هو الظل، ثم متى

لذلك،

وهكذا حصلنا على ذلك - المعامل الزاوي للمماس للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة (معنى هندسيمشتقة دالة عند نقطة). ومن ثم، يمكن كتابة معادلة المماس للمنحنى عند نقطة ما بالصورة

تعليق . يسمى الخط المستقيم الذي يمر بنقطة عمودية على المماس المرسوم للمنحنى عند تلك النقطة الطبيعي للمنحنى عند هذه النقطة . بما أن المعاملات الزاوية للخطوط المستقيمة المتعامدة مرتبطة بالعلاقة، فإن معادلة العمودي على المنحنى عند نقطة ما سيكون لها الشكل

، لو .

إذا، فإن مماس المنحنى عند النقطة سيكون له الشكل

وعادي.

معادلات الظل والعادية

معادلة الظل

دع الوظيفة تعطى بالمعادلة ذ=F(س)، عليك أن تكتب المعادلة الظلعند هذه النقطة س 0. من تعريف المشتق:

ذ/(س)=ليمΔ س→0Δ ذΔ س

Δ ذ=F(س+Δ س)−F(س).

المعادلة الظلإلى الرسم البياني للوظيفة: ذ=kx+ب (ك,ب=مقدار ثابت). من المعنى الهندسي للمشتق : F/(س 0)=tgα= كلأن س 0 و F(س 0)∈ خط مستقيم، ثم المعادلة الظلمكتوب على النحو التالي: ذ−F(س 0)=F/(س 0)(س−س 0) أو

ذ=F/(س 0)· س+F(س 0)−F/(س 0)· س 0.

معادلة عادية

طبيعي- عمودي على الظل(انظر الصورة). بناء على هذا:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα = 1 tgα = 1 F/(س 0)

لأن زاوية ميل العمودي هي الزاوية β1، فلدينا:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 F/(س).

نقطة ( س 0,F(س 0))∈ عادية، تأخذ المعادلة الشكل:

ذ−F(س 0)=−1F/(س 0)(س−س 0).

دليل

دعها موجودة. ثم

,

حيث هو متناهية الصغر في.

لكن هذا يعني أنها مستمرة عند نقطة ما (انظر التعريف الهندسي للاستمرارية). ∎

تعليق . إن استمرارية الدالة عند نقطة ما لا يعد شرطا كافيا لوجود مشتقة لهذه الدالة عند نقطة ما. على سبيل المثال، الدالة متصلة، ولكن ليس لها مشتقة عند نقطة ما. حقًا،

وبالتالي غير موجود.

من الواضح أن المراسلات هي وظيفة محددة في بعض المجموعات. يسمونها مشتق من وظيفة وتدل

تسمى عملية إيجاد دالة دالة مشتقة منها تمايز الوظيفة .

مشتق من المجموع والفرق

دع الدالتين f(x) وg(x) تعطى مشتقاتهما معروفة لنا. على سبيل المثال، يمكنك أن تأخذ الوظائف الأولية التي تمت مناقشتها أعلاه. ثم يمكنك العثور على مشتق مجموع هذه الوظائف والفرق بينها:

(و + ز)' = و ' + ز '

(و − ز)' = و ’ − ز '

لذا، فإن مشتق مجموع (الفرق) لوظيفتين يساوي مجموع (الفرق) للمشتقات. قد يكون هناك المزيد من الشروط. على سبيل المثال، (f + g + h)' = f' + g' + h'.

بالمعنى الدقيق للكلمة، لا يوجد مفهوم "الطرح" في الجبر. هناك مفهوم "العنصر السلبي". لذلك، يمكن إعادة كتابة الفرق f − g كمجموع f + (−1) g، ثم تبقى صيغة واحدة فقط - مشتق المجموع.

من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا، دعونا لا نذهب بعيدًا، فلنفكر فورًا في الدالة العكسية. ما هي الدالة المعكوسة للدالة الأسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا، الأساس هو الرقم:

يُطلق على مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) اسم "طبيعي" ، ونستخدم له رمزًا خاصًا: نكتب بدلاً من ذلك.

ما هو يساوي؟ بالطبع، .

مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:

أمثلة:

1. العثور على مشتق من وظيفة.
2. ما هو مشتق الدالة؟

الإجابات: اللوغاريتم الأسي والطبيعي هما دالتان بسيطتان بشكل فريد من منظور مشتق. إن الدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي أساس آخر سيكون لها مشتق مختلف، وهو ما سنحلله لاحقا، بعد أن نتعرف على قواعد الاشتقاق.

قواعد التمايز

قواعد ماذا؟ مرة أخرى مصطلح جديد، مرة أخرى؟!...

التفاضلهي عملية العثور على المشتق.

هذا كل شئ. ماذا يمكنك أن تسمي هذه العملية في كلمة واحدة؟ ليست مشتقة... يطلق علماء الرياضيات على التفاضل نفس زيادة الدالة عند. يأتي هذا المصطلح من التمايز اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند استخلاص كل هذه القواعد، سنستخدم دالتين، على سبيل المثال، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة.

إذا - بعض العدد الثابت (ثابت)، إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا على الاختلاف: .

دعونا نثبت ذلك. فليكن، أو أبسط.

أمثلة.

أوجد مشتقات الدوال:

1. عند نقطة ما؛
2. عند نقطة ما؛
3. عند نقطة ما؛
4. عند هذه النقطة.

حلول:

1. (المشتق هو نفسه في جميع النقاط، لأن هذا دالة خطية، يتذكر؟)؛

مشتق من المنتج

كل شيء مشابه هنا: فلنقدم دالة جديدة ونجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

1. أوجد مشتقات الدوال و؛
2. أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما.

حلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتقة أي دالة أسية، وليس فقط الأسس (هل نسيت ما هو حتى الآن؟).

لذلك، أين هو بعض العدد.

نحن نعرف بالفعل مشتقة الدالة، لذا دعونا نحاول اختزال الدالة إلى أساس جديد:

لهذا سوف نستخدم قاعدة بسيطة: . ثم:

حسنًا، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.

حدث؟

وهنا راجع نفسك:

تبين أن الصيغة مشابهة جدًا لمشتقة الأس: كما كانت، ظلت كما هي، ولم يظهر سوى عامل، وهو مجرد رقم، ولكنه ليس متغيرًا.

أمثلة:
أوجد مشتقات الدوال:

الإجابات:

هذا مجرد رقم لا يمكن حسابه بدون آلة حاسبة، أي أنه لا يمكن تدوينه بعد الآن في شكل بسيط. ولذلك نتركها على هذه الصورة في الجواب.

لاحظ أن هنا حاصل ضرب وظيفتين، لذلك نطبق قاعدة التمايز المقابلة:

في هذا المثال، ناتج وظيفتين:

مشتق من دالة لوغاريتمية

الأمر مشابه هنا: أنت تعرف بالفعل مشتقة اللوغاريتم الطبيعي:

ولذلك، للعثور على لوغاريتم اختياري مع قاعدة مختلفة، على سبيل المثال:

علينا اختزال هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف يمكنك تغيير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط سنكتب بدلاً من ذلك:

المقام هو ببساطة ثابت (رقم ثابت، بدون متغير). يتم الحصول على المشتق بكل بساطة:

مشتقات الأسي و وظائف لوغاريتميةلم يظهروا أبدًا في امتحان الدولة الموحدة، ولكن لن يضر معرفتهم.

مشتق من وظيفة معقدة.

ماذا حدث " وظيفة معقدة"؟ لا، هذا ليس لوغاريتمًا، وليس ظلًا قوسيًا. يمكن أن يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنك إذا وجدت اللوغاريتمات صعبة، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وستكون بخير)، ولكن من وجهة نظر رياضية، فإن كلمة "معقدة" لا تعني "صعبة".

تخيل حزامًا ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الإجراءات باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال، يقوم الأول بتغليف قطعة من الشوكولاتة في غلاف، والثاني يربطها بشريط. والنتيجة هي كائن مركب: قطعة من الشوكولاتة ملفوفة ومربوطة بشريط. لتناول قطعة من الشوكولاتة، عليك القيام بالخطوات العكسية بترتيب عكسي.

لنقم بإنشاء مسار رياضي مماثل: أولاً سنجد جيب تمام الرقم، ثم نقوم بتربيع الرقم الناتج. لذلك، حصلنا على رقم (الشوكولاتة)، وأجد جيب تمامها (الغلاف)، ثم قمت بتربيع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ وظيفة. هذا مثال على دالة معقدة: للعثور على قيمتها، نقوم بالإجراء الأول مباشرة مع المتغير، ثم الإجراء الثاني بما نتج عن الأول.

بعبارة أخرى، الدالة المعقدة هي دالة تكون حجتها دالة أخرى: .

على سبيل المثال لدينا، .

يمكننا بسهولة القيام بنفس الخطوات بترتيب عكسي: أولاً تقوم بتربيعه، ثم أبحث عن جيب التمام للرقم الناتج: . من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. ميزة هامةوظائف معقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات، تتغير الوظيفة.

المثال الثاني: (نفس الشيء). .

سيتم استدعاء الإجراء الذي قمنا به أخيرًا وظيفة "خارجية".، ويتم تنفيذ الإجراء أولاً - وفقًا لذلك وظيفة "داخلية".(هذه أسماء غير رسمية، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأي وظيفة داخلية:

الإجابات:إن فصل الوظائف الداخلية والخارجية يشبه إلى حد كبير تغيير المتغيرات: على سبيل المثال، في دالة

1. ما الإجراء الذي سنقوم به أولاً؟ أولاً، دعونا نحسب جيب الجيب، وبعد ذلك فقط نقوم بتكعيبه. وهذا يعني أنها وظيفة داخلية، ولكنها وظيفة خارجية.
   والوظيفة الأصلية هي تركيبها : .
2. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
3. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
4. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .
5. داخلي: ؛ خارجي: .
   فحص: .

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا، الآن سوف نستخرج لوح الشوكولاتة الخاص بنا ونبحث عن المشتق. يتم دائمًا عكس الإجراء: أولاً نبحث عن مشتقة الدالة الخارجية، ثم نضرب النتيجة في مشتقة الدالة الداخلية. تنطبق على المثال الأصليتبدو هكذا:

مثال آخر:

لذا، دعونا أخيرًا صياغة القاعدة الرسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو الأمر بسيطا، أليس كذلك؟

دعونا نتحقق من الأمثلة:

حلول:

1) داخلي: ;

خارجي: ؛

2) داخلي: ;

(فقط لا تحاول قطعها الآن! لا شيء يخرج من تحت جيب التمام، تذكر؟)

3) داخلي: ;

خارجي: ؛

من الواضح على الفور أن هذه وظيفة معقدة من ثلاثة مستويات: فهي بالفعل وظيفة معقدة في حد ذاتها، ونقوم أيضًا باستخراج الجذر منها، أي أننا نقوم بالإجراء الثالث (وضع الشوكولاتة في غلاف) ومع شريط في الحقيبة). ولكن لا يوجد سبب للخوف: مازلنا "نفك" هذه الوظيفة بنفس الترتيب المعتاد: من النهاية.

وهذا يعني أننا نفرق أولاً بين الجذر، ثم جيب التمام، وعندها فقط التعبير بين قوسين. وبعد ذلك نضرب كل شيء.

في مثل هذه الحالات، يكون من المناسب ترقيم الإجراءات. وهذا هو، دعونا نتخيل ما نعرفه. بأي ترتيب سننفذ الإجراءات لحساب قيمة هذا التعبير؟ لنلقي نظرة على مثال:

كلما تم تنفيذ الإجراء لاحقًا، أصبحت الوظيفة المقابلة أكثر "خارجية". تسلسل الإجراءات هو نفسه كما كان من قبل:

هنا يكون التعشيش بشكل عام على مستوى 4. دعونا نحدد ترتيب العمل.

1. التعبير الراديكالي. .

2. الجذر. .

3. جيب. .

4. ساحة. .

5. تجميع كل ذلك معًا:

المشتق. باختصار عن الأشياء الرئيسية

مشتق من وظيفة- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة الوسيطة المتناهية الصغر:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة:

مشتق من المبلغ:

مشتق من المنتج:

مشتق الحاصل:

مشتق من وظيفة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

1. نحدد الدالة "الداخلية" ونجد مشتقتها.
2. نحدد الدالة "الخارجية" ونجد مشتقتها.
3. نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

يخطط:

1. مشتق من وظيفة

2. الوظيفة التفاضلية

3. تطبيق حساب التفاضل والتكامل لدراسة الدوال

مشتق من دالة لمتغير واحد

دع الوظيفة يتم تعريفها على فترة زمنية معينة. نعطي الوسيطة زيادة: ثم ستتلقى الدالة زيادة. لنجد نهاية هذه النسبة عند إذا كانت هذه النهاية موجودة فإنها تسمى مشتقة الدالة. مشتق الدالة له عدة رموز: . في بعض الأحيان، عند تدوين المشتق، يتم استخدام مؤشر، للإشارة إلى المتغير الذي تم أخذ المشتق بالنسبة إليه.

تعريف.مشتق الدالة عند نقطة ما هو حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة عندما تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر (إذا كان هذا الحد موجودًا):

تعريف.تسمى الدالة التي لها مشتقة عند كل نقطة من الفترة قابل للتفاضلفي هذه الفترة.

تعريف.تسمى عملية إيجاد مشتقة الدالة التفاضل.

تتم الإشارة إلى قيمة مشتق الدالة عند نقطة ما بواسطة أحد الرموز: .

مثال.أوجد مشتقة دالة عند نقطة عشوائية.

حل. نعطي القيمة زيادة. لنجد زيادة الدالة عند النقطة: . دعونا نخلق علاقة. لننتقل إلى الحد: . هكذا، .

المعنى الميكانيكي للمشتقات. منذ أو ، أي. إن سرعة الحركة المستقيمة لنقطة مادية في لحظة زمنية هي مشتقة المسار بالنسبة إلى الزمن. هذا هو المعنى الميكانيكي للمشتقات .

إذا كانت الدالة تصف أي عملية فيزيائية، فإن المشتق هو معدل حدوث هذه العملية. هذا هو المعنى الجسديالمشتق .

المعنى الهندسي للمشتق. خذ بعين الاعتبار رسمًا بيانيًا لمنحنى مستمر له مماس غير رأسي عند نقطة ما. دعونا نوجد معاملها الزاوي، حيث زاوية الظل مع المحور. للقيام بذلك، ارسم خطًا قاطعًا عبر النقطة والرسم البياني (الشكل 1).

دعونا نشير إلى - الزاوية بين القاطع والمحور. يوضح الشكل أن المعامل الزاوي للقاطع يساوي

عندما تميل الزيادة أيضًا إلى الصفر بسبب استمرارية الوظيفة؛ لذلك، تقترب النقطة إلى ما لا نهاية من النقطة الواقعة على طول المنحنى، ويصبح القاطع، الذي يدور حول النقطة، مماسًا. زاوية، أي. . وبالتالي فإن ميل المماس يساوي .

ميل المماس للمنحنى

دعونا نعيد كتابة هذه المساواة بالشكل: ، أي. المشتق عند نقطة يساوي ميل المماس للرسم البياني للدالة عند النقطة التي تساوي الإحداثي . هذا هو المعنى الهندسي للمشتق .

إذا كانت نقطة التماس لها إحداثيات (الشكل 2)، فإن المعامل الزاوي للظل يساوي: .

معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة معينة في اتجاه معين لها الشكل: .

ثم معادلة الظلمكتوب على الشكل : .

تعريف.يسمى الخط المستقيم العمودي على المماس عند نقطة التماس طبيعي للمنحنى.

المعامل الزاوي للعمودي يساوي: (لأن العمودي عمودي على المماس).

المعادلة العادية لها الشكل:، لو .

باستبدال القيم التي تم العثور عليها، نحصل على معادلات الظل، أي. .

المعادلة العادية : أو .

إذا كانت الدالة لها مشتقة محدودة عند نقطة ما، فهي قابلة للاشتقاق عند تلك النقطة. إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند كل نقطة من الفترة، فهي قابلة للاشتقاق في تلك الفترة.

نظرية 6.1إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما، فهي متصلة هناك.

النظرية العكسية ليست صحيحة. قد لا يكون للدالة المستمرة مشتقة.

مثال.الدالة مستمرة خلال الفاصل الزمني (الشكل 3).

حل.

مشتق هذه الدالة يساوي:

عند نقطة ما - الوظيفة غير قابلة للتمييز.

تعليق. في الممارسة العملية، غالبا ما يتعين عليك العثور على مشتقات الوظائف المعقدة. لذلك، في جدول صيغ التمايز، يتم استبدال الوسيطة وسيطة وسيطة.

جدول المشتقات

ثابت

وظيفة الطاقة:

2) على وجه الخصوص؛

الدالة الأسية :

3) على وجه الخصوص؛

دالة لوغاريتمية:

4) على وجه الخصوص؛

الدوال المثلثية:

يعكس الدوال المثلثية , , , :

اشتقاق دالة يعني إيجاد مشتقتها، أي حساب النهاية: . ومع ذلك، فإن تحديد الحد في معظم الحالات يعد مهمة مرهقة.

إذا كنت تعرف مشتقات الأساسية وظائف أوليةومعرفة قواعد اشتقاق نتائج العمليات الحسابية على هذه الدوال، ثم يمكنك بسهولة العثور على مشتقات أي دوال أولية، وفقًا لقواعد تحديد المشتقات المعروفة من الدورة المدرسية.

لتكن الدالتان قابلتين للتفاضل في فترة معينة.

نظرية 6.2مشتق مجموع (الفرق) لدالتين يساوي مجموع (الفرق) لمشتقات هذه الوظائف: .

النظرية صالحة لأي عدد محدود من المصطلحات.

مثال.العثور على مشتق من وظيفة.

حل.

نظرية 6.3مشتقة حاصل ضرب دالتين يساوي حاصل ضرب مشتقة العامل الأول والثاني زائد حاصل ضرب العامل الأول ومشتقة الثاني: .

مثال.أوجد مشتقة الدالة .

حل.

نظرية 6.4مشتقة حاصل دالتين إذا كانت مساوية لكسر، بسطه هو الفرق بين منتجات مقام الكسر ومشتقة البسط وبسط الكسر ومشتقة المقام، والمقام هو مربع المقام السابق : .

مثال.أوجد مشتقة الدالة .

حل. .

للعثور على مشتقة دالة معقدة، عليك ضرب مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة في مشتقة الوسيطة بالنسبة إلى الوسيطة المستقلة

تظل هذه القاعدة سارية المفعول إذا كان هناك عدة وسيطات. لذلك، إذا،،، ثم

دع و، ثم تكون دالة معقدة ذات وسيطة وسيطة ووسيطة مستقلة.

نظرية 6.5إذا كانت الدالة لها مشتق عند نقطة ما، والدالة لها مشتق عند النقطة المقابلة، فإن الدالة المعقدة لها مشتق عند نقطة ما، والتي تم العثور عليها بواسطة الصيغة. ، العثور على مشتق من وظيفة ، تعطى بواسطة المعادلة: .

حل. تم تحديد الوظيفة ضمنيًا. دعونا نفرق المعادلة فيما يتعلق ب، تذكر أن: . ثم نجد : .