Çubuq dedikdə P=0х[О, /] silindr nəzərdə tutulur, nə zaman mən" diamD. Budur D- Ox 2 x 3 koordinat müstəvisindəki sahə (şək. 62). Çubuğun materialı homojen və izotropdur və Ox oxu bölmənin ağırlıq mərkəzindən keçir. D. Xarici kütlə qüvvələrinin sahəsi f(r, mən)=/(X|, /)e, burada e Ox oxunun vahid vektorudur. Silindirin yan səthində xarici səth qüvvələri sıfıra bərabər olsun, yəni. Ra= 0 dD X
Sonra (4.8) dən sonra gəlir 1=0 bərabərlik
Öz formaları X k(j) funksiyanın aid olduğu /^() fəza normasından istifadə etməklə normallaşdırmaq rahatdır v(s, mən),çünki zamanın hər anında kinetik enerji funksionalı mövcuddur və məhduddur
Harada S- bölgənin ərazisi D. bizdə var
X*(s) = Jj- sin^-l sürət fəzasında I 0 = ji)(s, /): v(s,t) e
Nəticədə |l r *(^)| ortonormal bazis alırıq ,
Harada b - "- Kronecker simvolu: Funksiyalar X k *(s), k= 1,2 təbii vibrasiyaların normal rejimləridir və ω*, k= 1, 2, ..., - sonsuz sayda sərbəstlik dərəcəsi olan sistemin rəqslərinin təbii tezlikləri.
Sonda qeyd edirik ki, u(s, /) funksiyası H sisteminin konfiqurasiya fəzasına aiddir, = (v(s, t): v(s, t.)) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) = 0), burada U^"OO, / ]) interval üzrə birinci törəmələrin kvadratları ilə birlikdə cəmlənən funksiyaların Sobolev fəzasıdır. I fəza potensial enerjinin funksionalının təyini sahəsidir. elastik deformasiyalar
və baxılan problemin ümumiləşdirilmiş həllərini ehtiva edir.
Uzunlamasına dalğalar
Tərif 1
Onun yayılma istiqamətində salınımların baş verdiyi dalğa. Uzunlamasına dalğaya misal olaraq səs dalğasını göstərmək olar.
Şəkil 1. Uzununa dalğa
Mexanik uzununa dalğalara sıxılma dalğaları və ya sıxılma dalğaları da deyilir, çünki onlar bir mühitdə hərəkət edərkən sıxılma yaradırlar. Transvers mexaniki dalğalara "T dalğaları" və ya "kəsmə dalğaları" da deyilir.
Uzunlamasına dalğalara akustik dalğalar (elastik mühitdə hərəkət edən hissəciklərin sürəti) və seysmik P dalğaları (zəlzələ və partlayışlar nəticəsində yaranan) daxildir. Uzunlamasına dalğalarda mühitin yerdəyişməsi dalğanın yayılma istiqamətinə paraleldir.
Səs dalğaları
Uzunlamasına harmonik səs dalğaları vəziyyətində tezlik və dalğa uzunluğu düsturla təsvir edilə bilər:
$y_0-$ salınım amplitüdü;\textit()
$\omega -$ dalğa bucaq tezliyi;
$c-$ dalğa sürəti.
$\left((\rm f)\right)$dalğasının adi tezliyi ilə verilir
Səsin yayılma sürəti onun keçdiyi mühitin növündən, temperaturundan və tərkibindən asılıdır.
Elastik mühitdə harmonik uzununa dalğa ox boyunca müsbət istiqamətdə hərəkət edir.
Transvers dalğalar
Tərif 2
Transvers dalğa- mühitin vibrasiya molekullarının istiqamətinin yayılma istiqamətinə perpendikulyar olduğu dalğa. Eninə dalğalara misal olaraq elektromaqnit dalğasını göstərmək olar.
Şəkil 2. Uzununa və eninə dalğalar
Bir gölməçədəki dalğalar və simdəki dalğalar asanlıqla eninə dalğalar kimi təmsil olunur.
Şəkil 3. İşıq dalğaları eninə dalğaya misaldır
Transvers dalğalar yayılma istiqamətinə perpendikulyar salınan dalğalardır. Dalğa hərəkətlərinin baş verə biləcəyi iki müstəqil istiqamət var.
Tərif 3
İki ölçülü kəsmə dalğaları adlanan bir fenomen nümayiş etdirir polarizasiya.
Elektromaqnit dalğaları bir az daha çətin görünsə də, eyni şəkildə davranır. Elektromaqnit dalğaları da iki ölçülü eninə dalğalardır.
Misal 1
Göstərilən dalğa üçün müstəvi sönümsüz dalğanın tənliyinin $(\rm y=Acos)\left(\omega t-\frac(2\pi )(\lambda )\right)x+(\varphi )_0$ olduğunu sübut edin. şəkildə , $(\rm y=Asin)\left(\frac(2\pi )(\lambda )\right)x$ kimi yazıla bilər. Bunu $\frac(\lambda)(4)$ olan $\ \ x$ koordinat qiymətlərini əvəz etməklə yoxlayın; $\frac(\lambda)(2)$; $\frac(0,75)(\lambda)$.
Şəkil 4.
Müstəvi sönümsüz dalğa üçün $y\left(x\right)$ tənliyi $t$-dan asılı deyil, yəni $t$ zaman anını ixtiyari olaraq seçmək olar. Gəlin $t$ zaman anını belə seçək
\[\omeqa t=\frac(3)(2)\pi -(\varphi )_0\] \
Bu dəyəri tənlikdə əvəz edək:
\ \[=Acos\left(2\pi -\frac(\pi )(2)-\left(\frac(2\pi )(\lambda )\sağ)x\sağ)=Acos\sol(2\ pi -\left(\left(\frac(2\pi )(\lambda )\sağ)x+\frac(\pi )(2)\sağ)=\] \[=Acos\left(\sol) (\ frac(2\pi )(\lambda )\sağ)x+\frac(\pi )(2)\sağ)=Asin\left(\frac(2\pi )(\lambda )\sağ)x\] \ \ \[(\mathbf x)(\mathbf =)\frac((\mathbf 3))((\mathbf 4))(\mathbf \lambda )(\mathbf =)(\mathbf 18),(\mathbf 75)(\mathbf \ cm,\ \ \ )(\mathbf y)(\mathbf =\ )(\mathbf 0),(\mathbf 2)(\cdot)(\mathbf sin)\frac((\mathbf 3) ))((\mathbf 2))(\mathbf \pi )(\mathbf =-)(\mathbf 0),(\mathbf 2)\]
Cavab: $Asin\left(\frac(2\pi )(\lambda )\right)x$
TƏrif
Uzunlamasına dalğa– bu dalğadır, onun yayılması zamanı mühitin hissəcikləri dalğanın yayılma istiqamətində yerdəyişir (şəkil 1, a).
Uzunlamasına dalğanın səbəbi sıxılma/uzatmadır, yəni. mühitin həcminin dəyişməsinə qarşı müqaviməti. Mayelərdə və ya qazlarda belə deformasiya mühitin hissəciklərinin seyrəkləşməsi və ya sıxlaşması ilə müşayiət olunur. Uzunlamasına dalğalar istənilən mühitdə - bərk, maye və qaz halında yayıla bilər.
Uzunlamasına dalğalara misal olaraq elastik çubuqdakı dalğaları və ya qazlardakı səs dalğalarını göstərmək olar.
Transvers dalğalar
TƏrif
Transvers dalğa– bu dalğadır, onun yayılması zamanı mühitin hissəcikləri dalğanın yayılmasına perpendikulyar istiqamətdə yerdəyişir (şəkil 1, b).
Transvers dalğanın səbəbi mühitin bir təbəqəsinin digərinə nisbətən kəsik deformasiyasıdır. Transvers dalğa bir mühitdə yayıldıqda, silsilələr və çökəkliklər əmələ gəlir. Maye və qazlar, bərk cisimlərdən fərqli olaraq, təbəqələrin kəsilməsinə görə elastikliyə malik deyillər, yəni. forma dəyişməsinə müqavimət göstərməyin. Buna görə də, eninə dalğalar yalnız bərk cisimlərdə yayıla bilər.
Eninə dalğalara misal olaraq boyunca hərəkət edən dalğalardır dartılmış ip və ya sim boyunca.
Mayenin səthindəki dalğalar nə uzununa, nə də eninə deyil. Suyun səthinə şamandıra atsanız, onun dalğaların üzərində yırğalanaraq dairəvi şəkildə hərəkət etdiyini görə bilərsiniz. Beləliklə, mayenin səthindəki dalğa həm eninə, həm də uzununa komponentlərə malikdir. Xüsusi tipli dalğalar da mayenin səthində görünə bilər - sözdə səth dalğaları. Onlar səthi gərginliyin təsiri və qüvvəsi nəticəsində yaranır.
Problemin həlli nümunələri
NÜMUNƏ 1
| Məşq edin | Əgər zamanın bir nöqtəsində üzgüçülük şəkildə göstərilən sürət istiqamətinə malikdirsə, eninə dalğanın yayılma istiqamətini təyin edin. |
| Həll | Gəlin rəsm çəkək. Dalğanın səthini müəyyən müddətdən sonra şamandıranın yaxınlığında çəkək, nəzərə alsaq ki, bu zaman anında aşağıya doğru yönəldiyi üçün bu müddət ərzində batdı. Xətti sağa və sola davam etdirərək, zamanla dalğanın mövqeyini göstəririk. Dalğanın zamanın başlanğıc anında (bərk xətt) və zaman anında (kesik xətt) mövqeyini müqayisə edərək, dalğanın sola yayıldığı qənaətinə gəlirik. |
Müəyyən bir qüvvənin tətbiq edilməli olan uzanması və ya əyilməsi üçün silindrik və ya başqa bir formada olan vahid uzunluqlu çubuqları nəzərdən keçirək. Sonuncu vəziyyət, bildiyimiz kimi, sərbəst əyilən ipdən ən nazik çubuğu belə fərqləndirir.
Bu fəsildə biz çubuqun uzununa titrəyişlərinin tədqiqi üçün xarakteristikalar metodunu tətbiq edəcəyik və yalnız çubuğun oxu boyunca hərəkət edən kəsiklərin düz və paralel qaldığı titrəmələri öyrənməklə məhdudlaşacağıq. bir-birinə (şək. 6). Çubuğun eninə ölçüləri uzunluğu ilə müqayisədə kiçik olduqda belə bir fərziyyə əsaslandırılır.
Çubuq uzununa ox boyunca bir az uzanır və ya sıxılırsa və sonra özünə buraxılırsa, onda uzununa vibrasiya yaranacaq. Oxu çubuqun oxu boyunca istiqamətləndirək və fərz edək ki, istirahət vəziyyətində çubuğun ucları nöqtələrdə olsun. Bu hissənin zaman anında yerdəyişməsi ilə işarə edək, onda kəsiyin absis ilə yerdəyişməsi bərabər olacaq.
Buradan aydın olur ki, çubuqun x absis ilə kəsişməsində nisbi uzanması törəmə ilə ifadə edilir.
İndi çubuqun kiçik salınımlara məruz qaldığını fərz etsək, bu hissədə gərginliyi hesablaya bilərik
çubuqun materialının elastiklik modulu haradadır, onun sahəsi en kəsiyi. Qapalı bir çubuq elementini götürək
iki kəsik arasında, onların absisləri müvafiq olaraq bərabərdir
və eyni zamanda istiqamətləndirilir. Digər tərəfdən, elementin sürətlənməsi bərabərdir, bunun nəticəsində bərabərliyi yaza bilərik
çubuqun həcm sıxlığı haradadır. qoymaq
və azaltmaqla bircins çubuğun uzununa vibrasiyalarının diferensial tənliyini əldə edirik.
Bu tənliyin forması göstərir ki, çubuqun uzununa titrəyişləri dalğa xarakteri daşıyır və uzununa dalğaların yayılma sürəti a (4) düsturu ilə müəyyən edilir.
Əgər çubuğa onun həcminin vahidinə hesablanmış xarici qüvvə də təsir edirsə, onda (3) əvəzinə alırıq.
Bu, çubuğun məcburi uzununa vibrasiya tənliyidir. Ümumilikdə dinamikada olduğu kimi, çubuqun hərəkətini tam müəyyən etmək üçün tək hərəkət tənliyi (6) kifayət deyil. Başlanğıc şərtləri təyin etmək lazımdır, yəni çubuq hissələrinin yerdəyişmələrini və vaxtın başlanğıc anında sürətlərini təyin etmək lazımdır.
harada və müəyyən edilmiş funksiyalar intervalda (
Bundan əlavə, çubuğun uclarında sərhəd şərtləri müəyyən edilməlidir. Misal üçün.
MEXANİKA
UDC 531.01/534.112
ÇUBUKLAR PAKETİ BOYUNA VİBRASYONLARI
A.M. Pavlov, A.N. Temnov
MSTU im. N.E. Bauman, Moskva, Rusiya Federasiyası e-poçt: [email protected]; [email protected]
Maye yanacaqlı raketlərin dinamikası məsələlərində uzununa elastik salınımlar baş verdikdə raket hərəkətinin sabitliyi problemi mühüm rol oynayır. Belə salınımların meydana çıxması öz-özünə salınımların yaranmasına gətirib çıxara bilər ki, bu da raket uzununa istiqamətdə qeyri-sabitdirsə, onun sürətlə məhv olmasına səbəb ola bilər. Bir paket raketinin uzunlamasına salınımları problemi hesablama modeli kimi çubuqlar paketi istifadə olunur; Raket tanklarındakı mayenin "donmuş" olduğu qəbul edilir, yəni. öz hərəkətləri mayelər nəzərə alınmır. Baxılan problem üçün ümumi enerji balansı qanunu tərtib edilmiş və onun operator forması verilmişdir. Tezliklərin təyin olunduğu, təbii rəqslərin formalarının qurulduğu və təhlil edildiyi ədədi nümunə verilmişdir.
Açar sözlər: uzununa vibrasiyalar, vibrasiyaların tezliyi və forması, çubuqların paketi, ümumi enerji balansı qanunu, özünə birləşən operator, vibrasiya spektri, POGO.
ÇUBUKLARIN UZUNLAMA VIBRASYONLARI SİSTEMİ A.M. Pavlov, AL. Temnov
Bauman adına Moskva Dövlət Texniki Universiteti, Moskva, Rusiya Federasiyası e-mail: [email protected]; [email protected]
Maye yanacaq raketlərinin dinamikası məsələlərində bu raket üçün hərəkət sabitliyi problemi uzununa elastik vibrasiyaların görünüşü ilə mühüm rol oynayır. Bu cür vibrasiyaların baş verməsi öz-özünə titrəmələrə səbəb ola bilər ki, bu da raketin uzununa istiqamətdə qeyri-sabitliyi halında raketin sürətlə məhv olmasına səbəb ola bilər. Paket sxemi əsasında maye yanacaq raketinin uzununa vibrasiya problemi olub hesablama modeli kimi paket çubuqlarından istifadə etməklə tərtib edilmişdir. Güman edilir ki, raket çənlərindəki maye "donmuşdur", yəni. mayenin düzgün hərəkətləri daxil edilmir. Bu problem üçün enerjiyə qənaət prinsipi formalaşdırılmış və onun operator quruluşu verilmişdir. Tezliklərin təyin olunduğu, Eigen vibrasiya formalarının qurulduğu və təhlil edildiyi bir ədədi nümunə var.
Açar sözlər: uzununa vibrasiyalar, xüsusi rejimlər və tezliklər, çubuqlar modeli, enerjiyə qənaət prinsipi, özünə bitişik operator, vibrasiya spektri, POGO.
Giriş. Hal-hazırda, Rusiyada və xaricdə, mərkəzi blokun ətrafında bərabər paylanmış eyni yan blokları olan paket quruluşunun buraxılış maşınları tez-tez lazımi orbitə faydalı yük çıxarmaq üçün istifadə olunur.
Paket konstruksiyalarının vibrasiyasının tədqiqi yan və mərkəzi blokların dinamik təsiri ilə bağlı müəyyən çətinliklərlə qarşılaşır. Atıcı qurğunun yerləşdirilməsinin simmetriyası vəziyyətində paket konstruksiyasının bloklarının mürəkkəb, məkan qarşılıqlı əlaqəsini məhdud sayda vibrasiya növlərinə bölmək olar ki, onlardan biri də mərkəzi və yan blokların uzununa vibrasiyalarıdır. Uzununa vibrasiyaların riyazi modeli oxşar dizayn nazik divarlı çubuqlar paketi şəklində işdə ətraflı müzakirə olunur. düyü. 1. Mərkəzin sxemi- Bu məqalə uzunlamasına çubuqun nəzəri çubuqunu və hesablama nəticələrini təqdim edir.
A.A. tərəfindən aparılan araşdırmanı tamamlayan çubuqlar paketinin titrəmələri. Yazıq.
Problemin formalaşdırılması. Uzunluğu l0 olan mərkəzi çubuqdan və eyni uzunluqda j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, bərkidilmiş N yan çubuqlardan ibarət olan çubuqlar paketinin digər uzununa vibrasiyalarını nəzərdən keçirək. A nöqtəsində (xA = l) (şək. 1) sərtliyi k olan mərkəzi yay elementləri ilə.
OX stasionar istinad sistemini təqdim edək və tutaq ki, çubuqların sərtliyi EFj (x), paylanmış kütlə mj (x) və q (x,t) pozğunluğu məhdud funksiyalar x koordinatları:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Uzununa titrəmələr zamanı tənliklərlə təyin olunan x koordinatlı çubuqların kəsiklərində Uj (x, t) yerdəyişmələri yaransın. mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) çubuqların uclarında normal qüvvələrin olmaması üçün sərhəd şərtləri 3 =0, x = 0, ^ = 1, 2, 0, x = 0, x = l0; çubuqlarda yaranan normal qüvvələrin bərabərliyi şərtləri, EF-3 = F x = l yay elementlərinin elastik qüvvələri FпPJ = к (ш (ха) - у (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; mərkəzi çubuqun xa nöqtəsində yerdəyişmələrin bərabərliyi şərti Shch (xa-o) = Shch (xa+o) və ilkin şərtlər Shch y (x, 0) - Shch (x); ,_ u(x, 0) = u(x), burada u(x, 0) = "d^1(x, 0). Ümumi enerji balansı qanunu. Gəlin (2) tənliyini u(x,ξ) ilə vuraq, hər bir çubuqun uzunluğuna inteqrasiya edək və sərhəd şərtləri (3) və uyğunluq (4) şərtindən istifadə edərək nəticələri əlavə edək. Nəticədə alırıq (( 1 ^ [ (diL 2 TZ (x) "BT" (x+ dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ i. 1 ^ Г „„ , f dп3\ , 1 ^ Гj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Уо И (x - -)(no - Uj)2 dx = / ^ (x, £) onları y (x, £) (x, (6) burada 8 (x - ¡y) Dirac delta funksiyasıdır. (6) tənliyində qıvrımlı mötərizələrdəki birinci hədd sistemin kinetik enerjisini T (¿), ikincisi çubuqların deformasiyası nəticəsində yaranan potensial enerji Pr (£), üçüncü isə potensial enerjini ifadə edir. Elastik deformasiyalar olduqda çubuqlar şəklində yazıla bilən yay elementlərinin Pk (£) Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu. Tənlik (6) göstərir ki, baxılan mexaniki sistemin vaxt vahidində ümumi enerjinin dəyişməsi gücə bərabərdir. xarici təsir. Xarici q (x,t) pozuntusu olmadıqda, ümumi enerjinin saxlanma qanununu alırıq: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Kinematoqrafiya. Enerji balansı qanunu göstərir ki, istənilən t zamanı üçün Uj (x, t) funksiyaları skalar hasil ilə ¡i uzunluğunda müəyyən edilmiş L2j(; m3 (x)) Hilbert fəzasının elementləri kimi qəbul edilə bilər. (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 və müvafiq norma. L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N ortoqonal cəminə bərabər olan H Hilbert fəzasını, U = (uo, Ui,..., uN)t vektor funksiyasını və A operatorunu təqdim edək. əlaqəyə görə H sahəsi AU = diaq (A00U0, A11U1,..., Annun). mj(x)dx\jdx" üzrə müəyyən edilmiş operatorlar (3) və (4) şərtlərini ödəyən funksiyaların B (A33) С Н çoxluğu. İlkin məsələ (1)-(5) ilkin şərtlərlə birlikdə formada yazılacaq Au = f (*), u (0) = u0, 17(0) = u1, (7) burada f (*) = ((*),51 (*),..., Yam (¿))t. Lemma. 1. Əgər ilk iki şərt (1) yerinə yetirilirsə, onda təkamül məsələsində (7) A operatoru H fəzasında qeyri-məhdud, öz-özünə bitişik, müsbət müəyyən operatordur. (Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i. 2. A operatoru çubuqlar paketinin salınımlarının potensial enerjisinin iki qatına bərabər norma ilə NA enerji fəzasını yaradır. 3\^I h)2 = 2П > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Yuxarıdakı nəticələrdən belə çıxır ki, A operatorunun enerji norması (8) düsturu ilə ifadə edilir. Təkamül probleminin həlli. Aşağıdakı teoremi tərtib edək. Teorem 1. Şərtlər ödənilsin U0 £ D (A1/2), U0 £ H, f (t) £ C (; H), onda (7) məsələnin düsturla müəyyən edilmiş interval üzrə unikal zəif həlli U (t) olur U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 xarici pozulma olmadıqda f (£), enerjinin saxlanması qanunu təmin edilir 1 II A 1/2UI2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Çubuq paketinin təbii vibrasiyası. Fərz edək ki, çubuq sisteminə xarici qüvvələr sahəsi təsir etmir: f (t) = 0. Bu halda çubuqların hərəkətləri sərbəst adlandırılacaqdır. Çubuqların sərbəst hərəkətləri, exp (iwt) qanununa görə t vaxtından asılı olaraq təbii vibrasiya adlanacaqdır. (7) tənliyində U (x, t) = U (x) eiWÍ götürərək A operatoru üçün spektral məsələni alırıq: AU - AEU = 0, L = w2. (9) A operatorunun xassələri xüsusi funksiyaların spektri və xassələri haqqında teoremi formalaşdırmağa imkan verir. Teorem 2. Çubuqlar paketinin təbii vibrasiyaları haqqında spektral məsələ (9) diskret müsbət spektrə malikdir. 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то və xüsusi funksiyalar sistemi (Uk (x))^=0, H və HA fəzalarında tam və ortoqonaldır və aşağıdakı ortoqonallıq düsturları təmin edilir: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk= £/T^) d*+ K (“feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i Çubuqların homojen paketi vəziyyətində spektral problemin öyrənilməsi. m- (x, £) yerdəyişmə funksiyasını m- (x, £) = m- (x) şəklində təqdim etdikdən sonra dəyişənləri ayırdıqdan sonra hər bir çubuq üçün spektral məsələlər əldə edirik: ^Oi + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) matris şəklində yazdığımız 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t « u = (u0, u1, u2,..., u«)t. Alınan nəticələrin həlli və təhlili. Kəsikdə mərkəzi çubuq üçün yerdəyişmə funksiyalarını u01, kəsiyində isə u02 (g) kimi işarə edək. Bu halda, u02 funksiyası üçün koordinatların başlanğıcını / koordinatı olan nöqtəyə köçürürük. Hər bir çubuq üçün (10) tənliyinin həllini formada təqdim edirik (11)-də naməlum sabitləri tapmaq üçün yuxarıda tərtib edilmiş sərhəd şərtlərindən istifadə edirik. Homojen sərhəd şərtlərindən bəzi sabitləri müəyyən etmək olar, yəni: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0. Nəticədə N + 3 sabitlərini tapmaq qalır: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Bunun üçün N + 3 naməlum üçün N + 3 tənliyini həll edirik. Nəticə sistemini matris şəklində yazaq: (A) (C) = (0) . Burada (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t naməlumların vektorudur; (A) - xarakterik matris, cos (A1) EF0 A sin (A1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 y 00 00 0 000Y a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -k co8((.40-01L)1/2 ^ ; 7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; A--: 3 = 0. Qeyri-trivial həll tapmaq üçün dəyişən kimi C01 € M sabitini götürürük: C01 = 0; C01 = 0. C01 = 0 olsun, onda C03 = C04 = 0. Bu halda əlavə şərt yerinə yetirildikdə (12) dən 7 = 0 olarsa, qeyri-trivial həll əldə edilə bilər. £ s-1 = 0, (13) (12) sisteminin üçüncü tənliyindən əldə etmək olar. Nəticədə sadə tezlik tənliyi əldə edirik EP (A"1 L)1/2 Vt ((A"1^1/2 P + zz \V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , birinci qismən sistem hesab edilə bilən bir ucunda elastik şəkildə sabitlənmiş çubuq üçün tezlik tənliyi ilə üst-üstə düşür. Bu halda (13) şərtini ödəyən yan çubuqların hərəkətlərinin bütün mümkün kombinasiyalarını şərti olaraq fazaların müxtəlif kombinasiyalarına uyğun qruplara bölmək olar (baxılan halda mərhələ C.d işarəsi ilə müəyyən edilir). Yan çubuqların eyni olduğunu fərz etsək, iki seçimimiz var: 1) Сд = 0, onda müxtəlif N üçün belə birləşmələrin n sayını n = N 2 düsturu ilə hesablamaq olar, burada qalıqsız bölmə funksiyası; 2) C- sabitlərindən hər hansı (və ya hər hansı biri) 0-a bərabərdir, onda mümkün birləşmələrin sayı artır və düsturla müəyyən edilə bilər. £ [(N - m) div 2]. Coi = 0 olsun, onda Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), burada in və y (12) bəndinə daxil olan komplekslərdir. Sistemdən (12) bizdə də var: C03 = C01 cos (А/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), yəni. bütün sabitlər C01 vasitəsilə ifadə edilir. Tezlik tənliyi formasını alır EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) - K2 cos | í a!-,1 L Nümunə olaraq, dörd yan çubuğu olan bir sistemi nəzərdən keçirin. Yuxarıda təsvir edilən üsula əlavə olaraq, bu misal üçün siz A matrisinin determinantını hesablamaq və onu sıfıra bərabərləşdirməklə bütün sistem üçün tezlik tənliyini yaza bilərsiniz. Gəlin buna baxaq Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+ L cos (L (/o - /)) (EFoЛ sin (L/) + 4v)) - 4av3L cos (L(/0 - /)) = 0. Yuxarıda nəzərdən keçirilən hallar üçün transsendental tezlik tənliklərinin qrafikləri Şek. 2. Aşağıdakılar ilkin məlumat kimi götürülüb: EF = 2,109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kq/m; mo = 6000 kq/m; / = 23; /о = 33 m Nəzərdən keçirilən dövrənin ilk üç salınma tezliyinin dəyərləri aşağıda verilmişdir: n............................................. və şadam.................................. 1 2 3 20,08 31,53 63,50 düyü. 2. Coi = 0 (i) və Coi = 0 (2) üçün transsendental tezlik tənliklərinin qrafikləri Alınan məhlullara uyğun vibrasiya rejimlərini təqdim edək (ümumi halda vibrasiya rejimləri normallaşdırılmır). Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü, 13 və 14 tezliklərə uyğun gələn vibrasiya formaları Şəkildə göstərilmişdir. 3. Birinci vibrasiya tezliyində yan çubuqlar eyni formada, lakin antifazada cüt-cüt titrəyir. Şəkil 3. Yan (1) və mərkəzi (2) çubuqların vibrasiya formaları, birinci V = 3,20 Hz (a), ikinci V = 5,02 Hz (b), üçüncü V = 10,11 Hz (c), dördüncü V = 13,60 Hz (d), 13-cü V = 45,90 Hz (d) və 14-cü V = 50,88 Hz (f) tezlikləri (Şəkil 3, a), ikincisi ilə mərkəzi çubuq salınır, yan olanlar isə fazada eyni formada salınır (şəkil 3, b). Qeyd etmək lazımdır ki, nəzərdən keçirilən çubuq sisteminin birinci və ikinci vibrasiya tezlikləri bərk cisimlərdən ibarət sistemin vibrasiyalarına uyğundur. Sistem üçüncü təbii tezliklə salındıqda ilk dəfə qovşaqlar görünür (şəkil 3c). Üçüncü və sonrakı tezliklər (şəkil 3d) sistemin elastik vibrasiyalarına uyğundur. Elastik elementlərin təsirinin azalması ilə əlaqəli vibrasiya tezliyinin artması ilə titrəmələrin tezlikləri və formaları qismən olur (şəkil 3, e, f). Absis oxu ilə kəsişmə nöqtələri transsendental tənliklərin həlli olan funksiyaların əyriləri Şəkil 1-də təqdim edilmişdir. 4. Şəkilə əsasən sistemin rəqslərinin təbii tezlikləri qismən tezliklərin yaxınlığında yerləşir. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, artan tezliklə, təbii tezliklərin qismən olanlarla yaxınlaşması artır. Nəticədə, bütün sistemin salındığı tezliklər şərti olaraq iki qrupa bölünür: yan çubuqun qismən tezliklərinə yaxın olanlar və mərkəzi çubuğun qismən tezliklərinə yaxın olan tezliklər. Nəticələr. Çubuqlar paketinin uzununa vibrasiya problemi nəzərdən keçirilir. Qoyulan sərhəd probleminin xassələri və onun öz dəyərlərinin spektri təsvir edilmişdir. İxtiyari sayda homojen yan çubuqlar üçün spektral məsələnin həlli təklif olunur. Rəqəmsal misal üçün ilk salınım tezliklərinin dəyərləri tapılır və müvafiq formalar qurulur. Qurulmuş vibrasiya rejimlərinin bəzi xarakterik xüsusiyyətləri də aşkar edilmişdir. düyü. 4. CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) üçün absis oxu ilə kəsişmə nöqtələri transsendental tənliklərin həlli olan funksiyaların əyriləri birinci qismən sistemlə (elastikliyə sabitlənmiş yan çubuq) üst-üstə düşür. x = I nöqtəsindəki element) və ikinci qismən sistem (5) (A nöqtəsində dörd elastik elementə sabitlənmiş mərkəzi çubuq) ƏDƏBİYYAT 1. Kolesnikov K.S. Raketlərin dinamikası. M.: Maşınqayırma, 2003. 520 s. 2. Ballistik raketlər və buraxılış aparatları / O.M. Əlifanov, A.N. Andreev, V.N. Quşçin və b. M.: Bustard, 2004. 511 s. 3. Rabinoviç B.İ. Kosmik aparatların buraxılış vasitələrinin dinamikası ilə tanışlıq. M.: Maşınqayırma, 1974. 396 s. 4. Maye raketlərin POGO sabitliyinə dair parametr tədqiqatı / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Cild. 48. edir. 3. S. 537-541. 5. Balakirev Yu.G. Maye daşıyan raketlərin uzununa vibrasiyasını təhlil etmək üsulları // Kosmonavtika və Raket Elmi. 1995. No 5. S. 50-58. 6. Balakirev Yu.G. Nəzarət obyekti kimi partiya quruluşunun maye raketinin riyazi modelinin xüsusiyyətləri // Müasir maşınqayırmanın gücünə dair seçilmiş problemlər. 2008. səh. 43-55. 7. Dokuçayev L.V. Simmetriyanı nəzərə alaraq paket daşıyıcısının dinamikasının öyrənilməsi üsullarının təkmilləşdirilməsi // Kosmonavtika və Raket Elmi. 2005. No 2. S. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Elastik qabıqların maye ilə təbii və məcburi vibrasiyalarının hesablanması üçün təxmini analitik üsulların işlənməsi: dis. ...Dr.Tech. Sci. M., 2005. 220 s. 9. Kran S.G. Xətti diferensial tənliklər Banach fəzalarında. M.: Nauka, 1967. 464 s. 10. Kopaçevski İ.D. Riyazi fizikanın operator üsulları. Simferopol: MMC "Forma", 2008. 140 s. Kolesnikov K.S. Dinamika raketi. Moskva, Mashinostroenie nəşriyyatı, 2003. 520 s. Əlifanov O.N., Andreev A.N., Quşçin V.N., red. Ballisticheskie rakety və rakety-nositeli. Moskva, Drofa nəşriyyatı, 2003. 511 s. Rabinoviç B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmiçeskix aparat. Moskva, Mashinostroenie nəşriyyatı, 1974. 396 s. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Maye yanacaq raketinin POGO sabitliyinə dair parametrlərin öyrənilməsi. J. Kosmik gəmilər və raketlər, 2011, cild. 48, iss. 3, səh. 537-541. Balakirev Yu.G. Maye yanacaq mühərriki olan daşıyıcı aparatların uzununa vibrasiyalarının təhlili üsulları. Kosm. mən raketostr. , 1995, №. 5, səh. 50-58 (rus dilində). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy model jidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob"ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moskva, Fizmatlit nəşriyyatı, 2008. 204 s. (sitat s. 435). Dokuçayev L.V. Çoxluqlu reaktiv daşıyıcı aparatların simmetriyasını nəzərə alaraq onların dinamikasının öyrənilməsi üsullarının təkmilləşdirilməsi. Kosm. mən raketostr. , 2005, №. 2, səh. 112-121 (rus dilində). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennıx analiticheskix metodov rascheta sobstvennıx i vynuzhdennıx kolebaniy uprugix obolochek s jidkost"yu. Diss. dok. texn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye differensial"nye uravneniya v Banaxovykh prostranstvakh. Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 s. Kopachevskiy I.D. Operatornye metodы matematicheskoy физики. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 s. Məqalə 28 aprel 2014-cü ildə redaktor tərəfindən qəbul edilmişdir Pavlov Arseni Mixayloviç - MSTU-nun Kosmik gəmilər və buraxılış vasitələri kafedrasının tələbəsi. N.E. Bauman. Raket və kosmik texnologiya sahəsində ixtisaslaşmışdır. MSTU im. N.E. Baumaş, Rusiya Federasiyası, 105005, Moskva, 2-ci Baumanskaya küç., 5. Pavlov A.M. - Bauman adına Moskva Dövlət Texniki Universitetinin “Kosmik gəmilər və buraxılış vasitələri” fakültəsinin tələbəsi. Raket-kosmik texnologiya sahəsində mütəxəssis. Bauman adına Moskva Dövlət Texniki Universiteti, Baumanskaya küç. 2-ya. 5, Moskva, 105005 Rusiya Federasiyası. Temnov Aleksandr Nikolayeviç - t.ü.f.d. fizika və riyaziyyat Elmlər, Moskva Dövlət Texniki Universitetinin Kosmik gəmilər və buraxılış vasitələri kafedrasının dosenti. N.E. Bauman. 20 yaşdan yuxarı müəllif elmi əsərlər maye və qaz mexanikası və raket və kosmik texnologiya sahəsində. MSTU im. N.E. Baumaş, Rusiya Federasiyası, 105005, Moskva, 2-ci Baumanskaya küç., 5. Temnov A.N. - Cand. Sci. (fizika-riyaziyyat), dos. Bauman adına Moskva Dövlət Texniki Universitetinin “Kosmik gəmilər və buraxılış vasitələri” kafedrasının professoru. Maye və qaz mexanikası və raket-kosmik texnologiya sahəsində 20-dən çox nəşrin müəllifidir. Bauman adına Moskva Dövlət Texniki Universiteti, Baumanskaya küç. 2-ya. 5, Moskva, 105005 Rusiya Federasiyası.