Bir dəyişənli funksiyanın törəməsi.
Giriş.
Real metodoloji inkişaflar sənaye və inşaat fakültəsinin tələbələri üçün nəzərdə tutulmuşdur. Onlar riyaziyyat kursunun proqramına uyğun olaraq “Bir dəyişənli funksiyaların diferensial hesabı” bölməsində tərtib edilmişdir.
Təkliflər vahid metodoloji təlimatı təmsil edir, o cümlədən: qısa nəzəri məlumat; “standart” problemlər və bu həllərin ətraflı həlli və izahları ilə məşqlər; test variantları.
Hər bəndin sonunda əlavə məşqlər var. İnkişafların bu strukturu onları müəllimin minimal köməyi ilə bölmənin müstəqil mənimsənilməsi üçün əlverişli edir.
§1. Törəmənin tərifi.
Mexanik və həndəsi məna
törəmə.
Törəmə anlayışı riyazi analizin ən mühüm anlayışlarından biridir. O, 17-ci əsrdə yaranmışdır. Törəmə anlayışının formalaşması tarixən iki problemlə əlaqələndirilir: dəyişən hərəkətin sürəti problemi və əyriyə toxunan problem.
Bu məsələlər müxtəlif məzmunlara baxmayaraq, funksiya üzərində yerinə yetirilməli olan eyni riyazi əməliyyata gətirib çıxarır. Bu əməliyyat riyaziyyatda xüsusi ad almışdır. Buna funksiyanın diferensiallaşdırılması əməliyyatı deyilir. Fərqləndirmə əməliyyatının nəticəsi törəmə adlanır.
Deməli, y=f(x) funksiyasının x0 nöqtəsində törəməsi funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi (əgər varsa)dır. 
saat 
.
Törəmə adətən aşağıdakı kimi işarələnir: 
.
Beləliklə, tərifə görə
Simvollar törəmələri ifadə etmək üçün də istifadə olunur 
.
Törəmənin mexaniki mənası.
Əgər s=s(t) – qanun düzxətli hərəkət maddi baxımdan 
bu nöqtənin t zamanındakı sürətidir.
Törəmənin həndəsi mənası.
y=f(x) funksiyasının nöqtəsində törəməsi varsa 
, Bu yamac bir nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan 
bərabərdir 
.
Misal.
Funksiyanın törəməsini tapın 
nöqtədə 
=2:
1) Gəlin bir nöqtə verək 
=2 artım 
. Diqqət edin.
2) nöqtədə funksiyanın artımını tapın 
=2:
3) Funksiya artımının arqumentin artımına nisbətini yaradaq:
nisbətinin limitini tapaq 
:
.
Beləliklə, 
.
§ 2. Bəzilərinin törəmələri
ən sadə funksiyalar.
Tələbə xüsusi funksiyaların törəmələrinin hesablanmasını öyrənməlidir: y=x,y= 
və ümumiyyətlə = 
.
y=x funksiyasının törəməsini tapaq.
olanlar. (x)′=1.
Funksiyanın törəməsini tapaq
törəmə 
Qoy 
Sonra
Güc funksiyasının törəmələri üçün ifadələrdə nümunəni görmək asandır 
n=1,2,3 ilə.
Beləliklə,
. (1)
Bu düstur istənilən real n üçün etibarlıdır.
Xüsusilə, (1) düsturundan istifadə edərək, biz:
;
.
Misal.
Funksiyanın törəməsini tapın
.
.
Bu funksiya formanın funksiyasının xüsusi halıdır
saat 
.
(1) düsturundan istifadə edərək əldə edirik
.
y=sin x və y=cos x funksiyalarının törəmələri.
y=sinx olsun.
∆x-ə bölün, alırıq
∆x→0-da limitə keçməklə, bizdə var
y=cosx olsun.
∆x→0 həddinə keçərək, əldə edirik
;
.
(2)
§3. Fərqləndirmənin əsas qaydaları.
Diferensiasiya qaydalarını nəzərdən keçirək.
Teorem1 . Əgər u=u(x) və v=v(x) funksiyaları verilmiş x nöqtəsində diferensiallanarsa, bu nöqtədə onların cəmi diferensiallana bilir və cəminin törəməsi isə şərtlərin törəmələrinin cəminə bərabərdir. : (u+v)"=u"+v".(3 )
Sübut: y=f(x)=u(x)+v(x) funksiyasını nəzərdən keçirək.
x arqumentinin ∆x artımı u və v funksiyalarının ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) artımlarına uyğun gəlir. Sonra y funksiyası artacaq
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=--=∆u+∆v.
Beləliklə,
Beləliklə, (u+v)"=u"+v".
Teorem2. Əgər u=u(x) və v=v(x) funksiyaları verilmiş x nöqtəsində diferensiallanırsa, onda onların hasili eyni nöqtədə diferensiallaşdırılır. Bu halda hasilin törəməsi aşağıdakı düsturla tapılır: uv)"=u"v+uv". (4)
Sübut: Qoy y=uv, burada u və v x-in bəzi diferensiallanan funksiyalarıdır. x-ə ∆x artımı verək, onda u ∆u artımını, v ∆v artımını, y isə ∆y artımını alacaq.
Bizdə y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), və ya var
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Deməli, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Buradan 
∆x→0-da limitə keçsək və u və v-nin ∆x-dən asılı olmadığını nəzərə alsaq, əldə edəcəyik.
Teorem 3. İki funksiyanın bölgüsünün törəməsi kəsrə bərabərdir, onun məxrəci bölənin kvadratına bərabərdir, pay isə divident törəməsinin bölücü ilə hasilinin fərqidir. bölənin törəməsi ilə dividend, yəni.
Əgər 
Bu 
(5)
Teorem 4. Sabitin törəməsi sıfırdır, yəni. əgər y=C, burada C=const, onda y"=0.
Teorem 5. Daimi amil törəmənin işarəsindən çıxarıla bilər, yəni. əgər y=Cu(x), burada C=const, onda y"=Cu"(x).
Misal 1.
Funksiyanın törəməsini tapın
.
Bu funksiya formaya malikdir 
, burada u=x,v=cosx. Diferensiasiya qaydasını (4) tətbiq edərək tapırıq
.
Misal 2.
Funksiyanın törəməsini tapın
.
(5) düsturu tətbiq edək.
Budur 
;
.
Tapşırıqlar.
Törəmələri tapın aşağıdakı funksiyalar:
;
11)
2)
;
12)
;
3)
13)
4)
14)
5)
15)
6)
16)
7
)
17)
8)
18)
9)
19)
10)
20)
Funksiyanın törəməsi diferensial hesablamada əsas element adlanır. Bu element orijinal funksiyaya münasibətdə bəzi xüsusi fərqləndirmə əməliyyatının tətbiqinin xüsusi nəticəsidir.
Törəmənin tərifi
Törəmənin nə olduğunu başa düşmək üçün bilmək lazımdır ki, funksiyanın adı birbaşa “törəmə” sözündən gəlir, yəni hansısa başqa kəmiyyətdən əmələ gəlib. Eyni zamanda, müəyyən bir funksiyanın törəməsinin müəyyən edilməsi prosesinin özünün bir adı var - "fərqlənmə".
Diferensial hesablamadan çox sonra ortaya çıxmasına baxmayaraq, məhdudiyyətlər nəzəriyyəsindən istifadə edərkən ən çox yayılmış təmsil və tərif üsulu. Bu nəzəriyyənin tərifinə görə törəmə funksiyaların artımının arqument artımına nisbətində hədddir, əgər belə bir hədd varsa və bu arqumentin sıfıra meyl etməsi şərti ilə.
Aşağıda nəzərdən keçirilmişdir kiçik misal törəmənin nə olduğunu aydın başa düşməyə kömək edəcək.
- X nöqtəsində f funksiyasının törəməsini tapmaq üçün bu funksiyanın birbaşa x nöqtəsində, həmçinin x + Δx nöqtəsində qiymətlərini təyin etməliyik. Üstəlik, Δx x arqumentinin artımıdır.
- f(x+Δx) – f(x) funksiyasına bərabər olan y funksiyasının artımını tapın.
- f’ = lim(f(x+Δх) – f(x))/Δх münasibətinin limitindən istifadə edərək törəməni yazın, onu Δх → 0-da hesablayın.
Adətən törəmə differensiallaşdırılan funksiyanın birbaşa üstündə apostrofla - “’” işarəsi ilə işarələnir. Bir apostrof şəklində qeyd birinci törəməni, iki şəklində isə ikincini bildirir. törəmə ən yüksək sifariş Müvafiq nömrəni göstərmək adətdir, məsələn, f^(n) - n-ci dərəcəli törəmə nə deməkdir, burada “n” hərfi tam ədəddir? 0. Sıfır tərtibli törəmə diferensiallanan funksiyanın özüdür.
Mürəkkəb funksiyaların fərqləndirilməsini asanlaşdırmaq üçün funksiyaları fərqləndirmək üçün müəyyən qaydalar hazırlanmış və qəbul edilmişdir:
- C’ = 0, burada C sabitin təyinidir;
- x' 1-ə bərabərdir;
- (f + g)' f' + g'-ə bərabərdir;
- (C*f)’ C*f’-ə bərabərdir və s.
- N-qat diferensiasiyası üçün Leybniz düsturunu aşağıdakı formada istifadə etmək daha rahatdır: (f*g) (n) = Σ C(n) k *f (n-k) *g k, burada C(n) k binomial əmsalların təyini.
Törəmə və həndəsə
Törəmənin həndəsi anlayışı ondan ibarətdir ki, əgər f funksiyasının x nöqtəsində sonlu törəməsi varsa, onda bu törəmənin qiyməti həmin nöqtədə f funksiyasına toxunan meylin mailliyinin tangensinə bərabər olacaqdır.
Funksiya bir nöqtədə və onun qonşuluğunda müəyyən edilsin. Arqumentə elə bir artım verək ki, nöqtə funksiyanın təyini sahəsinə düşsün. Bundan sonra funksiya artırılacaq.
TƏrif. Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi funksiyanın bu nöqtədəki artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi adlanır, at (əgər bu hədd mövcuddursa və sonludursa), yəni.
İşarə edin: ,,,.
Sağdakı nöqtədə funksiyanın törəməsi (sol) çağırdı
(əgər bu limit mövcuddursa və sonludursa).
Təyin olunur: , – sağdakı nöqtədə törəmə,
, soldakı nöqtədə törəmədir.
Aydındır ki, aşağıdakı teorem doğrudur.
TEOREM. Funksiyanın bir nöqtədə törəməsi o halda olur ki, bu nöqtədə funksiyanın sağ və sol tərəfdəki törəmələri mövcud olsun və bir-birinə bərabər olsun. Üstəlik
Aşağıdakı teorem bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin mövcudluğu ilə bu nöqtədə funksiyanın davamlılığı arasında əlaqə qurur.
TEOREM (bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin olması üçün zəruri şərt). Əgər funksiyanın bir nöqtədə törəməsi varsa, bu nöqtədəki funksiya davamlıdır.
SÜBUT
Qoy var olsun. Sonra
,
sonsuz kiçik haradadır.
Şərh
funksiyanın törəməsi və işarə edir
funksiyanın diferensiallaşdırılması .
HƏNDƏSİ VƏ FİZİKİ MƏNA
1) Törəmənin fiziki mənası. Əgər funksiya və onun arqumentləri olarsa fiziki kəmiyyətlər, onda törəmə dəyişənin bir nöqtədə dəyişənə nisbətən dəyişmə sürətidir. Məsələn, əgər – məsafə, bir nöqtə ilə keçdi zamanla, onda onun törəməsi zaman anındakı sürətdir. Əgər keçən elektrik cərəyanının miqdarıdır en kəsiyi zamanın bir anında keçirici, onda bir anda elektrik miqdarının dəyişmə sürəti, yəni. bir anda cari güc.
2) Törəmənin həndəsi mənası.
Bir az əyri olsun, əyri üzərində bir nöqtə olsun. 
Ən azı iki nöqtəni kəsən istənilən düz xətt deyilir sekant .
Bir nöqtədə əyriyə toxunan əyri boyunca hərəkət edən nöqtə meyl edirsə, sekantın limit mövqeyi adlanır.
Tərifdən aydın olur ki, əyriyə toxunan bir nöqtədə mövcuddursa, o, yeganədir.
Bir əyri (yəni, funksiyanın qrafiki) nəzərdən keçirin. Bir nöqtədə şaquli olmayan tangens olsun. Onun tənliyi: (nöqtədən keçən və bucaq əmsalı olan düz xəttin tənliyi). 
Yamacın tərifinə görə
düz xəttin oxa meyl bucağı haradadır.
Sekantın oxa meyl bucağı olsun, burada. Bir tangens olduğundan, nə vaxt
Beləliklə,
Beləliklə, biz bunu əldə etdik – nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan bucaq əmsalı (həndəsi məna nöqtədə funksiyanın törəməsi). Buna görə də bir nöqtədə əyriyə toxunan tənliyi formada yazmaq olar
Şərh . Nöqtədə əyriyə çəkilmiş tangensə perpendikulyar nöqtədən keçən düz xətt deyilir nöqtədəki əyriyə normaldır . Perpendikulyar düz xətlərin bucaq əmsalları əlaqə ilə əlaqəli olduğundan, bir nöqtədə əyriyə normalın tənliyi formaya sahib olacaqdır.
, Əgər .
Əgər olarsa, onda nöqtədəki əyriyə toxunan formaya sahib olacaqdır
və normal.
TƏNGENT VƏ NORMAL TƏNLİKLƏR
Tangens tənliyi
Funksiya tənliklə verilsin y=f(x), tənliyi yazmalısınız tangens nöqtədə x 0. Törəmə tərifindən:
y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x
Δ y=f(x+Δ x)−f(x).
tənlik tangens funksiya qrafikinə: y=kx+b (k,b=const). Törəmənin həndəsi mənasından: f/(x 0)=tgα= kÇünki x 0 və f(x 0)∈ düz xətt, sonra tənlik tangens kimi yazılır: y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0) və ya
y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.
Normal tənlik
Normal-ə perpendikulyardır tangens(şəkilə bax). Buna əsaslanaraq:
tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 f/(x 0)
Çünki normalın meyl bucağı β1 bucağıdır, onda bizdə:
tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 f/(x).
Nöqtə ( x 0,f(x 0))∈ normal, tənlik formasını alır:
y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).
SÜBUT
Qoy var olsun. Sonra
,
sonsuz kiçik haradadır.
Amma bu o deməkdir ki, o, bir nöqtədə davamlıdır (fasiləsizliyin həndəsi tərifinə bax). ∎
Şərh . Bir nöqtədə funksiyanın davamlılığı bu funksiyanın bir nöqtədə törəməsinin mövcudluğu üçün kifayət qədər şərt deyil. Məsələn, funksiya davamlıdır, lakin bir nöqtədə törəməsi yoxdur. Həqiqətən,
və buna görə də mövcud deyil.
Aydındır ki, yazışma bəzi çoxluqda müəyyən edilmiş funksiyadır. Onu çağırırlar funksiyanın törəməsi və işarə edir
Bir funksiyanın törəmə funksiyasını tapmaq əməliyyatı adlanır funksiyanın diferensiallaşdırılması .
Cəm və fərqin törəməsi
Törəmələri bizə məlum olan f(x) və g(x) funksiyaları verilsin. Məsələn, yuxarıda müzakirə olunan elementar funksiyaları götürə bilərsiniz. Onda bu funksiyaların cəmi və fərqinin törəməsini tapa bilərsiniz:
(f + g)' = f ' + g '
(f - g)' = f ' - g '
Deməli, iki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Daha çox şərtlər ola bilər. Məsələn, (f + g + h)' = f' + g' + h'.
Düzünü desək, cəbrdə “çıxma” anlayışı yoxdur. “Mənfi element” anlayışı var. Buna görə də, f − g fərqi f + (−1) g cəmi kimi yenidən yazıla bilər və sonra yalnız bir düstur qalır - cəminin törəməsi.
Yadda saxlamaq çox asandır.
Yaxşı, uzağa getməyək, dərhal tərs funksiyanı nəzərdən keçirək. Hansı funksiya eksponensial funksiyanın tərsidir? Loqarifm:
Bizim vəziyyətimizdə əsas rəqəmdir:
Belə bir loqarifmə (yəni əsası olan loqarifmə) “təbii” deyilir və biz bunun üçün xüsusi qeyddən istifadə edirik: əvəzinə yazırıq.
Nəyə bərabərdir? Əlbəttə, .
Təbii loqarifmin törəməsi də çox sadədir:
Nümunələr:
- Funksiyanın törəməsini tapın.
- Funksiyanın törəməsi nədir?
Cavablar: Eksponensial və təbii loqarifm törəmə nöqteyi-nəzərdən bənzərsiz sadə funksiyalardır. İstənilən digər baza ilə eksponensial və loqarifmik funksiyalar fərqli törəmələrə sahib olacaqlar ki, biz diferensiasiya qaydalarından keçdikdən sonra onu daha sonra təhlil edəcəyik.
Fərqləndirmə qaydaları
Nəyin qaydaları? Yenə yeni termin, yenə?!...
Fərqləndirmə törəmənin tapılması prosesidir.
Hamısı budur. Bu prosesi bir sözlə başqa nə adlandırmaq olar? Törəmə deyil... Riyaziyyatçılar diferensialı funksiyanın eyni artımı adlandırırlar. Bu termin Latın diferensiyası - fərqdən gəlir. Budur.
Bütün bu qaydaları çıxararkən iki funksiyadan istifadə edəcəyik, məsələn, və. Onların artımları üçün düsturlara da ehtiyacımız olacaq:
Ümumilikdə 5 qayda var.
Sabit törəmə işarədən çıxarılır.
Əgər - bəzi sabit ədəd (sabit), onda.
Aydındır ki, bu qayda fərq üçün də işləyir: .
Gəlin bunu sübut edək. Qoy olsun, ya da daha sadə.
Nümunələr.
Funksiyaların törəmələrini tapın:
- bir nöqtədə;
- bir nöqtədə;
- bir nöqtədə;
- nöqtədə.
Həll yolları:
- (törəmə bütün nöqtələrdə eynidir, çünki bundan xətti funksiya, yadınızdadır?);
Məhsulun törəməsi
Burada hər şey oxşardır: gəlin yeni bir funksiya təqdim edək və onun artımını tapaq:
Törəmə:
Nümunələr:
- və funksiyalarının törəmələrini tapın;
- Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.
Həll yolları:
Eksponensial funksiyanın törəməsi
İndi sizin bilikləriniz sadəcə eksponentləri deyil, hər hansı eksponensial funksiyanın törəməsini necə tapmağı öyrənmək üçün kifayətdir (bunun nə olduğunu hələ unutmusunuz?).
Beləliklə, bir nömrə haradadır.
Biz artıq funksiyanın törəməsini bilirik, ona görə də funksiyamızı yeni bazaya gətirməyə çalışaq:
Bunun üçün istifadə edəcəyik sadə qayda: . Sonra:
Yaxşı, işlədi. İndi törəməni tapmağa çalışın və bu funksiyanın mürəkkəb olduğunu unutmayın.
baş verdi?
Budur, özünüzü yoxlayın:
Düstur bir eksponentin törəməsinə çox bənzədi: olduğu kimi, eyni qalır, yalnız bir amil meydana çıxdı, bu sadəcə bir rəqəmdir, lakin dəyişən deyil.
Nümunələr:
Funksiyaların törəmələrini tapın:
Cavablar:
Bu, sadəcə olaraq, kalkulyator olmadan hesablana bilməyən bir rəqəmdir, yəni bir daha yazmaq mümkün deyil. sadə formada. Ona görə də cavabda onu bu formada qoyuruq.
Qeyd edək ki, burada iki funksiyanın bölünməsi var, ona görə də müvafiq diferensiallaşdırma qaydasını tətbiq edirik:
Bu nümunədə iki funksiyanın məhsulu:
Loqarifmik funksiyanın törəməsi
Burada da oxşardır: təbii loqarifmin törəməsini artıq bilirsiniz:
Buna görə də, fərqli əsaslı ixtiyari loqarifm tapmaq üçün, məsələn:
Bu loqarifmi bazaya endirməliyik. Loqarifmin əsasını necə dəyişdirmək olar? Ümid edirəm ki, bu formulu xatırlayırsınız:
Yalnız indi əvəzinə yazacağıq:
Məxrəc sadəcə olaraq sabitdir (dəyişənsiz sabit ədəddir). Törəmə çox sadə şəkildə alınır:
Eksponensial və törəmələri loqarifmik funksiyalar Vahid Dövlət İmtahanında demək olar ki, heç vaxt görünmürlər, amma onları bilmək zərər verməz.
Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.
Nə baş verdi " mürəkkəb funksiya"? Xeyr, bu loqarifm deyil, arktangent deyil. Bu funksiyaları başa düşmək çətin ola bilər (baxmayaraq ki, loqarifmi çətin hesab edirsinizsə, “Loqarifmlər” mövzusunu oxuyun və yaxşı olacaqsınız), lakin riyazi baxımdan “mürəkkəb” sözü “çətin” mənasını vermir.
Kiçik bir konveyer kəmərini təsəvvür edin: iki nəfər oturub bəzi əşyalarla bəzi hərəkətlər edir. Məsələn, birincisi şokolad çubuğunu paketə bükür, ikincisi isə lentlə bağlayır. Nəticə kompozit obyektdir: bir şokolad çubuğu bükülmüş və lentlə bağlanmışdır. Şokolad çubuğu yemək üçün tərs ardıcıllıqla əks addımları yerinə yetirmək lazımdır.
Bənzər bir riyazi boru xətti yaradaq: əvvəlcə ədədin kosinusunu tapacağıq, sonra isə alınan ədədin kvadratını alacağıq. Beləliklə, bizə bir nömrə (şokolad) verilir, mən onun kosinusunu (sarğısını) tapıram, sonra mənim aldığımı kvadrat edirsiniz (lentlə bağlayın). Nə olub? Funksiya. Bu, mürəkkəb funksiyaya misaldır: onun dəyərini tapmaq üçün ilk hərəkəti birbaşa dəyişənlə, sonra isə birincinin nəticəsi ilə ikinci hərəkəti yerinə yetirdikdə.
Başqa sözlə, mürəkkəb funksiya arqumenti başqa funksiya olan funksiyadır: .
Bizim misal üçün, .
Eyni addımları tərs qaydada asanlıqla yerinə yetirə bilərik: əvvəlcə siz onun kvadratını çəkirsiniz, sonra isə çıxan ədədin kosinusunu axtarıram: . Nəticənin demək olar ki, həmişə fərqli olacağını təxmin etmək asandır. Əhəmiyyətli Xüsusiyyət mürəkkəb funksiyalar: hərəkətlərin sırası dəyişdikdə funksiya dəyişir.
İkinci misal: (eyni şey). .
Ən son etdiyimiz hərəkət çağırılacaq "xarici" funksiya, və ilk həyata keçirilən hərəkət - müvafiq olaraq "daxili" funksiya(bunlar qeyri-rəsmi adlardır, mən onlardan yalnız materialı sadə dildə izah etmək üçün istifadə edirəm).
Hansı funksiyanın xarici və hansı daxili olduğunu özünüz müəyyənləşdirməyə çalışın:
Cavablar: Daxili və xarici funksiyaları ayırmaq dəyişənləri dəyişməyə çox bənzəyir: məsələn, funksiyada
- Əvvəlcə hansı hərəkəti edəcəyik? Əvvəlcə sinusu hesablayaq və yalnız bundan sonra onu kublara ayıraq. Bu o deməkdir ki, o, daxili funksiyadır, lakin xarici funksiyadır.
Və orijinal funksiyası onların tərkibidir: . - Daxili: ; xarici: .
İmtahan: . - Daxili: ; xarici: .
İmtahan: . - Daxili: ; xarici: .
İmtahan: . - Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Dəyişənləri dəyişirik və funksiya alırıq.
Yaxşı, indi şokolad çubuğumuzu çıxaracağıq və törəməni axtaracağıq. Prosedur həmişə tərsinə çevrilir: əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini axtarırıq, sonra nəticəni daxili funksiyanın törəməsi ilə çarpırıq. -a müraciət edib orijinal nümunə belə görünür:
Başqa bir misal:
Beləliklə, nəhayət rəsmi qaydanı formalaşdıraq:
Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:
Sadə görünür, elə deyilmi?
Nümunələrlə yoxlayaq:
Həll yolları:
1) Daxili: ;
Xarici: ;
2) Daxili: ;
(Yalnız indiyə qədər onu kəsməyə çalışmayın! Kosinusun altından heç nə çıxmır, xatırlayırsınız?)
3) Daxili: ;
Xarici: ;
Dərhal aydın olur ki, bu, üç səviyyəli mürəkkəb funksiyadır: axı, bu, artıq özlüyündə mürəkkəb bir funksiyadır və biz də ondan kök çıxarırıq, yəni üçüncü hərəkəti edirik (şokoladı qablaşdırmaya qoyun) və portfeldə lentlə). Ancaq qorxmaq üçün heç bir səbəb yoxdur: biz yenə də bu funksiyanı həmişəki qaydada "açacağıq": sondan.
Yəni əvvəlcə kökü, sonra kosinusu və yalnız bundan sonra mötərizədə ifadəni fərqləndiririk. Və sonra hamısını çoxaldırıq.
Belə hallarda hərəkətləri nömrələmək rahatdır. Yəni bildiyimizi təsəvvür edək. Bu ifadənin dəyərini hesablamaq üçün hərəkətləri hansı ardıcıllıqla yerinə yetirəcəyik? Bir misala baxaq:
Hərəkət nə qədər gec yerinə yetirilərsə, müvafiq funksiya bir o qədər “xarici” olacaqdır. Hərəkətlərin ardıcıllığı əvvəlki kimidir:
Burada yuvalama ümumiyyətlə 4 səviyyəlidir. Fəaliyyət qaydasını müəyyən edək.
1. Radikal ifadə. .
2. Kök. .
3. Sinus. .
4. Kvadrat. .
5. Hamısını bir yerə toplamaq:
TÖRƏVVƏ. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA
Funksiya törəməsi- funksiyanın artımının arqumentin sonsuz kiçik artımı üçün arqumentin artımına nisbəti:
Əsas törəmələr:
Fərqləndirmə qaydaları:
Sabit törəmə işarədən çıxarılır:
Cəmin törəməsi:
Məhsulun törəməsi:
Hissənin törəməsi:
Kompleks funksiyanın törəməsi:
Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:
- “Daxili” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
- “Xarici” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
- Birinci və ikinci nöqtələrin nəticələrini çoxaldırıq.
Plan:
1. Funksiyanın törəməsi
2. Diferensial funksiya
3. Diferensial hesablamanın funksiyaların öyrənilməsində tətbiqi
Bir dəyişənli funksiyanın törəməsi
Funksiya müəyyən intervalda təyin olunsun. Arqumentə artım veririk: , onda funksiya artım alacaq. Bu nisbətin həddini tapaq Əgər bu hədd varsa, o zaman funksiyanın törəməsi adlanır. Funksiya törəməsinin bir neçə qeydi var: . Bəzən törəmənin qeydində törəmənin hansı dəyişənə münasibətdə götürüldüyünü göstərən indeksdən istifadə olunur.
Tərif. Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi, arqumentin artımı sıfıra meyl etdikdə (əgər bu hədd varsa) funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddidir:
Tərif.İntervalın hər bir nöqtəsində törəməsi olan funksiya çağırılır diferensiallaşan bu intervalda.
Tərif. Funksiyanın törəməsinin tapılması əməliyyatı adlanır fərqləndirmə.
Bir nöqtədə funksiyanın törəməsinin qiyməti simvollardan biri ilə göstərilir: .
Misal.İxtiyari nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.
Həll. Dəyəri bir artım veririk. Nöqtədə funksiyanın artımını tapaq: . Gəlin münasibət yaradaq. Gəlin limitə keçək: . Beləliklə, .
Törəmənin mexaniki mənası. O vaxtdan və ya, yəni. maddi nöqtənin zamanın anında düzxətli hərəkət sürəti yolun zamana görə törəməsidir. Budur törəmənin mexaniki mənası .
Əgər funksiya hər hansı fiziki prosesi təsvir edirsə, törəmə bu prosesin baş vermə sürətidir. Budur fiziki məna törəmə .
Törəmənin həndəsi mənası. Bir nöqtədə şaquli olmayan tangensi olan davamlı əyrinin qrafikini nəzərdən keçirək. Onun bucaq əmsalını tapaq, burada oxu ilə toxunan bucaqdır. Bunu etmək üçün nöqtə və qrafikdən kəsici xətt çəkin (Şəkil 1).
Sekant və ox arasındakı bucağı - ilə işarə edək. Şəkil sekantın bucaq əmsalının bərabər olduğunu göstərir
Funksiyanın davamlılığına görə artım da sıfıra meyl etdikdə; buna görə də nöqtə qeyri-müəyyən müddətə əyri boyunca nöqtəyə yaxınlaşır və sekant nöqtə ətrafında dönərək tangensə çevrilir. Bucaq, yəni. . Buna görə də, , deməli, tangensin yamacı bərabərdir.
Bir əyriyə toxunan meyl
Bu bərabərliyi aşağıdakı formada yenidən yazırıq: , yəni. bir nöqtədə törəmə absissası bərabər olan nöqtədə funksiyanın qrafikinə toxunan meylin mailliyinə bərabərdir. Budur törəmənin həndəsi mənası .
Əgər toxunma nöqtəsinin koordinatları varsa (Şəkil 2), tangensin bucaq əmsalı bərabərdir: .
Verilmiş nöqtədən verilmiş istiqamətdə keçən düz xəttin tənliyi aşağıdakı formaya malikdir: .
Sonra tangens tənliyişəklində yazılır: .
Tərif. Təmas nöqtəsindəki tangensə perpendikulyar düz xətt deyilir əyri üçün normal.
Normalın bucaq əmsalı bərabərdir: (çünki normal tangensə perpendikulyardır).
Normal tənliyin forması var:, Əgər .
Tapılmış dəyərləri əvəz edərək, tangens tənlikləri əldə edirik, yəni. .
Normal tənlik: və ya .
Əgər bir nöqtədə funksiyanın sonlu törəməsi varsa, o zaman həmin nöqtədə diferensiallana bilir. Əgər funksiya intervalın hər nöqtəsində diferensiallana bilirsə, o zaman həmin intervalda diferensiallana bilir.
Teorem 6.1 Funksiya müəyyən nöqtədə diferensiallana bilirsə, o, orada davamlıdır.
Əks teorem doğru deyil. Davamlı funksiyanın törəməsi olmaya bilər.
Misal. Funksiya intervalda fasiləsizdir (Şəkil 3).
Həll.
Bu funksiyanın törəməsi bərabərdir:
Bir nöqtədə - funksiya diferensiallaşmır.
Şərh. Praktikada çox vaxt mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapmalı olursunuz. Buna görə də diferensiasiya düsturları cədvəlində arqument aralıq arqumentlə əvəz olunur.
Törəmələr cədvəli
Sabit
Güc funksiyası:
2) xüsusilə;
Eksponensial funksiya:
3) xüsusilə;
Loqarifmik funksiya:
4) xüsusilə;
Triqonometrik funksiyalar:
Ters triqonometrik funksiyalar , , , :
Funksiyanı diferensiallaşdırmaq onun törəməsini tapmaq, yəni həddi hesablamaq deməkdir: . Bununla belə, əksər hallarda limitin müəyyən edilməsi çətin bir işdir.
Əsas törəmələri bilirsinizsə elementar funksiyalar və bu funksiyalar üzərində arifmetik əməllərin nəticələrinin diferensiallaşdırılması qaydalarını bilsəniz, məktəb kursundan yaxşı məlum olan törəmələrin təyin edilməsi qaydalarına əsasən istənilən elementar funksiyaların törəmələrini asanlıqla tapa bilərsiniz.
Funksiyaları müəyyən intervalda iki diferensiallanan funksiya olsun.
Teorem 6.2İki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəminə (fərqinə) bərabərdir: .
Teorem istənilən sonlu sayda termin üçün etibarlıdır.
Misal. Funksiyanın törəməsini tapın.
Həll.
Teorem 6.3İki funksiyanın hasilinin törəməsi birinci amilin törəməsi ilə ikincinin üstəgəl birinci amilin hasilinə və ikincinin törəməsinin hasilinə bərabərdir: .
Misal. Funksiyanın törəməsini tapın .
Həll.
Teorem 6.4İki funksiyanın bölünməsinin törəməsi, əgər kəsrə bərabərdirsə, onun payı kəsrin məxrəci ilə payın törəməsi və kəsrin payı ilə məxrəcin törəməsi arasındakı fərqdir; məxrəc isə əvvəlki məxrəcin kvadratıdır: .
Misal. Funksiyanın törəməsini tapın .
Həll. .
Mürəkkəb funksiyanın törəməsini tapmaq üçün bu funksiyanın ara arqumentə görə törəməsini müstəqil arqumentə görə aralıq arqumentin törəməsi ilə vurmaq lazımdır.
Bir neçə aralıq arqument olduqda bu qayda qüvvədə qalır. Deməli, əgər , , , onda
Qoy və, onda - aralıq arqumenti və müstəqil arqumenti olan mürəkkəb funksiya.
Teorem 6.5Əgər funksiyanın nöqtədə törəməsi, funksiyanın isə müvafiq nöqtədə törəməsi varsa, mürəkkəb funksiyanın düsturla tapılan nöqtədə törəməsi var. , funksiyasının törəməsini tapın, tənliyi ilə verilir: .
Həll. Funksiya gizli şəkildə müəyyən edilir. -ə görə tənliyi diferensiallayaq ki, bunu xatırlayaq: . Sonra tapırıq: .