Parametrik şəkildə müəyyən edilmiş funksiyanın törəməsi üçün düstur. Bu formulun tətbiqinin sübutu və nümunələri. Birinci, ikinci və üçüncü dərəcəli törəmələrin hesablanması nümunələri.
Funksiya parametrik şəkildə təyin olunsun:
(1)
parametr adlanan dəyişən haradadır. Və funksiyaların dəyişənin müəyyən qiymətində törəmələri olsun. Üstəlik, funksiya nöqtənin müəyyən qonşuluğunda da tərs funksiyaya malikdir. Sonra (1) funksiyasının nöqtədə törəməsi var ki, bu da parametrik formada düsturlarla müəyyən edilir:
(2)
Burada və funksiyaların və dəyişənə (parametrə) görə törəmələridir. Çox vaxt onlar aşağıdakı kimi yazılır:
;
.
Sonra (2) sistemi aşağıdakı kimi yazıla bilər:
Sübut
Şərtə görə, funksiya tərs funksiyaya malikdir. kimi işarə edək
.
Sonra orijinal funksiya kompleks funksiya kimi təqdim edilə bilər:
.
Mürəkkəb və tərs funksiyaların diferensiallaşdırılması qaydalarından istifadə edərək onun törəməsini tapaq:
.
Qayda sübut olunub.
İkinci şəkildə sübut
Nöqtədəki funksiyanın törəməsinin tərifinə əsaslanaraq, törəməni ikinci üsulla tapaq:
.
Qeydi təqdim edək:
.
Sonra əvvəlki düstur aşağıdakı formanı alır:
.
Funksiyanın nöqtənin qonşuluğunda tərs funksiyaya malik olmasından istifadə edək.
Aşağıdakı qeydi təqdim edək:
;
;
;
.
Kəsrin payını və məxrəcini aşağıdakılara bölün:
.
, .
.
Qayda sübut olunub.
Sonra
Daha yüksək dərəcəli törəmələr
(1)
Daha yüksək dərəcəli törəmələri tapmaq üçün bir neçə dəfə diferensiasiya etmək lazımdır. Tutaq ki, parametrik olaraq təyin edilmiş funksiyanın aşağıdakı formada ikinci dərəcəli törəməsini tapmalıyıq:
(2)
Formula (2) istifadə edərək, parametrik olaraq təyin olunan birinci törəməni tapırıq:
.
Birinci törəməni dəyişənlə işarə edək:
(3)
Sonra funksiyanın dəyişənə görə ikinci törəməsini tapmaq üçün funksiyanın dəyişənə görə birinci törəməni tapmaq lazımdır. Bir dəyişənin dəyişəndən asılılığı da parametrik şəkildə müəyyən edilir:
(3) düsturları (1) və (2) ilə müqayisə edərək tapırıq:
.
İndi isə nəticəni və funksiyaları vasitəsilə ifadə edək. Bunun üçün törəmə kəsr düsturunu əvəz edək və tətbiq edək:
.
Sonra 
Buradan dəyişənə münasibətdə funksiyanın ikinci törəməsini alırıq:
.
Prosesi davam etdirərək, üçüncü və daha yüksək dərəcəli dəyişənlərdən funksiyaların törəmələrini əldə edə bilərsiniz.
Nəzərə alın ki, törəmə üçün notasiya təqdim etmək məcburiyyətində deyilik. Bunu belə yaza bilərsiniz:
;
.
Misal 1
Parametrik olaraq təyin edilmiş funksiyanın törəməsini tapın:
Həll
ilə bağlı törəmələri tapırıq.
Törəmələr cədvəlindən tapırıq:
;
.
Biz müraciət edirik:
.
Budur.
.
Budur.
Tələb olunan törəmə:
.
Cavab verin
Misal 2
Parametr vasitəsilə ifadə olunan funksiyanın törəməsini tapın:
Həll
Güc funksiyaları və köklər üçün düsturlardan istifadə edərək mötərizələri açaq:
.
Törəməni tapmaq:
.
Törəmənin tapılması. Bunun üçün bir dəyişən təqdim edirik və mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düstur tətbiq edirik.
.
İstədiyiniz törəməni tapırıq:
.
Cavab verin
Misal 3
Nümunə 1-də parametrik olaraq təyin edilmiş funksiyanın ikinci və üçüncü dərəcəli törəmələrini tapın:
Həll
Nümunə 1-də birinci dərəcəli törəməni tapdıq:
Təyinatı təqdim edək. Onda funksiya ilə bağlı törəmə olur. Bu parametrik olaraq müəyyən edilir:
-ə görə ikinci törəməni tapmaq üçün -ə görə birinci törəməni tapmaq lazımdır.
ilə fərqləndirək.
.
Nümunə 1-də törəməni tapdıq:
.
Aşağıdakılara görə ikinci dərəcəli törəmə birinci dərəcəli törəmə ilə bərabərdir:
.
Beləliklə, parametrik formaya görə ikinci dərəcəli törəmə tapdıq:
İndi üçüncü dərəcəli törəməni tapırıq. Təyinatı təqdim edək. Sonra parametrik şəkildə təyin olunan funksiyanın birinci dərəcəli törəməsini tapmalıyıq:
-ə nisbətdə törəməni tapın. Bunu etmək üçün onu ekvivalent formada yenidən yazırıq:
.
From
.
Üçüncü dərəcəli törəmə aşağıdakılara görə birinci dərəcəli törəmə ilə bərabərdir:
.
Şərh
Siz müvafiq olaraq və -nin törəmələri olan və dəyişənlərini daxil etməli deyilsiniz. Sonra bunu belə yaza bilərsiniz:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Cavab verin
Parametrik təsvirdə ikinci dərəcəli törəmə var növbəti görünüş:
Üçüncü dərəcəli törəmə:
X, y dəyişənlərinin üçüncü t dəyişəninin (parametr adlanır) funksiyaları olduğu müstəvidə xətti müəyyən etməyi nəzərdən keçirək:
Hər bir dəyər üçün t müəyyən intervaldan müəyyən dəyərlər uyğun gəlir x Və y, a, deməli, müstəvinin müəyyən M (x, y) nöqtəsi. Nə vaxt t verilmiş intervaldan bütün dəyərlərdən keçir, sonra nöqtə M (x, y) bəzi xətti təsvir edir L. (2.2) tənliklər parametrik xətt tənlikləri adlanır L.
Əgər x = φ(t) funksiyası tərs t = Ф(x) olarsa, bu ifadəni y = g(t) tənliyində əvəz edərək, y = g(Ф(x)) alırıq, bu da müəyyən edir. y funksiyası kimi x. Bu halda deyirik ki, (2.2) tənliklər funksiyanı təyin edir y parametrik olaraq.
Misal 1. Qoy M(x,y)– radiuslu dairədə ixtiyari nöqtə R və mənşəyində mərkəzləşmişdir. Qoy t- oxlar arasındakı bucaq öküz və radius OM(şək. 2.3-ə baxın). Sonra x, y vasitəsilə ifadə olunur t:
(2.3) tənliklər çevrənin parametrik tənlikləridir. (2.3) tənliklərindən t parametrini xaric edək. Bunun üçün hər bir tənliyi kvadrata alıb əlavə edirik, alırıq: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) və ya x 2 + y 2 = R 2 – dekartda çevrənin tənliyi koordinat sistemi. O, iki funksiyanı müəyyən edir: Bu funksiyaların hər biri parametrik tənliklərlə (2.3) verilir, lakin birinci funksiya üçün , ikincisi üçün .
Misal 2. Parametrik tənliklər
yarımoxlu ellipsi təyin edin a, b(Şəkil 2.4). Parametri tənliklərdən çıxarmaqla t, ellipsin kanonik tənliyini əldə edirik:
Misal 3. Sikloid dairənin üzərində uzanan nöqtə ilə təsvir edilən xəttdir, əgər bu dairə düz xətt üzrə sürüşmədən yuvarlanırsa (şək. 2.5). Sikloidin parametrik tənliklərini təqdim edək. Yuvarlanan dairənin radiusu olsun a, nöqtə M, sikloidi təsvir edən hərəkətin başlanğıcında koordinatların mənşəyi ilə üst-üstə düşdü. 
Koordinatları təyin edək x, y nöqtələri M dairə bir bucaqla fırlandıqdan sonra t
(Şəkil 2.5), t = ÐMCB. Qövs uzunluğu M.B. seqmentin uzunluğuna bərabərdir O.B.çünki dairə sürüşmədən yuvarlanır, buna görə də
OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),
y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – xərc).
Beləliklə, sikloidin parametrik tənlikləri əldə edilir:
Parametri dəyişdirərkən t 0-dan 2π dairə bir inqilab fırlanır və nöqtə M sikloidin bir qövsünü təsvir edir. (2.5) tənlikləri verir y funksiyası kimi x. Baxmayaraq ki, funksiyası x = a(t – sint) tərs funksiyaya malikdir, lakin ifadəsi ilə ifadə olunmur elementar funksiyalar, belə ki, funksiyası y = f(x) elementar funksiyalar vasitəsilə ifadə olunmur.
(2.2) tənlikləri ilə parametrik təyin olunmuş funksiyanın diferensiasiyasını nəzərdən keçirək. Müəyyən t dəyişmə intervalında x = φ(t) funksiyası tərs funksiyaya malikdir t = Ф(x), Sonra y = g(Ф(x)). Qoy x = φ(t), y = g(t) törəmələri var və x"t≠0. Diferensiasiya qaydasına görə mürəkkəb funksiya y"x=y"t×t"x. Tərs funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasına əsasən:
Nəticə düstur (2.6) parametrik olaraq təyin edilmiş funksiya üçün törəməni tapmağa imkan verir.
Nümunə 4. Funksiya edək y, asılı olaraq x, parametrik olaraq müəyyən edilir:
Həll. 
.
Misal 5. Yamacı tapın k parametrin qiymətinə uyğun gələn M 0 nöqtəsində sikloidə toxunan.
Həll. Sikloid tənliklərindən: y" t = asint, x" t = a(1 – xərc), Buna görə də 
Yamac faktoru bir nöqtədə tangens M0 dəyərinə bərabərdir t 0 = π/4:
DİFFERENTİAL FUNKSİYA
Funksiya nöqtədə olsun x 0 törəməsi var. A-prior: 
buna görə də limitin xassələrinə görə (Bölmə 1.8), burada a- sonsuz kiçik at Δx → 0. Buradan
Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)
Δx → 0 olduğu üçün (2.7) bərabərliyində ikinci hədd sonsuz kiçikdir daha yüksək sifariş, ilə müqayisədə 
, buna görə də Δy və f " (x 0)×Δx ekvivalentdir, sonsuz kiçikdir (f "(x 0) ≠ 0 üçün).
Beləliklə, Δy funksiyasının artımı iki hədddən ibarətdir, bunlardan birinci f "(x 0)×Δx Əsas hissə artım Δy, Δx ilə əlaqədar xətti (f "(x 0)≠ 0 üçün).
Diferensial x 0 nöqtəsində f(x) funksiyası çağırılır Əsas hissə funksiyanın artımları və ilə işarələnir: dy və ya df(x0). Beləliklə,
df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)
Misal 1. Funksiyanın diferensialını tapın dy və y = x 2 funksiyası üçün Δy funksiyasının artımı:
1) ixtiyari x və Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.
Həll
1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.
2) x 0 = 20, Δx = 0,1 olarsa, Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.
(2.7) bərabərliyini aşağıdakı formada yazaq:
Δy = dy + a×Δx. (2.9)
Δy artımı diferensialdan fərqlidir dyΔx ilə müqayisədə daha yüksək nizamlı sonsuz kiçikə, buna görə də təxmini hesablamalarda Δx kifayət qədər kiçik olduqda Δy ≈ dy təxmini bərabərliyindən istifadə olunur.
Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0) olduğunu nəzərə alsaq, təxmini düstur alırıq:
f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)
Misal 2. Təxminən hesablayın.
Həll. Nəzərə alın:
(2.10) düsturundan istifadə edərək əldə edirik:
Beləliklə, ≈ 2.025.
Gəlin nəzərdən keçirək həndəsi məna diferensial df(x 0)(Şəkil 2.6). 
M 0 (x0, f(x 0)) nöqtəsində y = f(x) funksiyasının qrafikinə tangens çəkək, φ tangensi KM0 ilə Ox oxu arasındakı bucaq olsun, sonra f"( x 0) = tanφ ΔM0NP-dən:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Lakin PN x-in x 0-dan x 0 + Δx-ə dəyişdiyi zaman tangens ordinatının artımıdır.
Deməli, f(x) funksiyasının x 0 nöqtəsindəki diferensialı tangensin ordinatının artımına bərabərdir.
Funksiyanın diferensialını tapaq
y = x. (x)" = 1 olduğundan, dx = 1×Δx = Δx. Biz fərz edəcəyik ki, x müstəqil dəyişənin diferensialı onun artımına bərabərdir, yəni dx = Δx.
Əgər x ixtiyari ədəddirsə, onda (2.8) bərabərliyindən df(x) = f "(x)dx alırıq, buradan 
.
Beləliklə, y = f(x) funksiyasının törəməsi onun diferensialının arqumentin diferensialına nisbətinə bərabərdir.
Funksiyanın diferensialının xassələrini nəzərdən keçirək.
Əgər u(x), v(x) diferensiallana bilən funksiyalardırsa, aşağıdakı düsturlar etibarlıdır:
Bu düsturları sübut etmək üçün funksiyanın cəmi, hasili və bölməsi üçün törəmə düsturlardan istifadə olunur. Məsələn, (2.12) düsturu sübut edək:
d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.
Mürəkkəb funksiyanın diferensialını nəzərdən keçirək: y = f(x), x = φ(t), yəni. y = f(φ(t)).
Onda dy = y" t dt, lakin y" t = y" x ×x" t, belə ki, dy =y" x x" t dt. nəzərə alaraq,
ki, x" t = dx, biz dy = y" x dx =f "(x)dx alırıq.
Beləliklə, x =φ(t) olan y = f(x) mürəkkəb funksiyasının diferensialı, x-in müstəqil dəyişən olması halında olduğu kimi, dy = f "(x)dx formasına malikdir. Bu xassə adlanır diferensialın formasının dəyişməzliyi A.
Vurğulamayaq, bu paraqrafdakı hər şey də olduqca sadədir. Siz parametrik təyin olunmuş funksiyanın ümumi düsturunu yaza bilərsiniz, amma aydın olması üçün mən dərhal yazacam. konkret misal. Parametrik formada funksiya iki tənliklə verilir: . Çox vaxt tənliklər əyri mötərizədə deyil, ardıcıl olaraq yazılır: , .
Dəyişən parametr adlanır və “mənfi sonsuzluqdan” “plus sonsuzluğa” qədər dəyərlər qəbul edə bilər. Məsələn, dəyəri nəzərdən keçirin və onu hər iki bərabərliklə əvəz edin: 
. Və ya insan dilində: "x dördə bərabərdirsə, y birə bərabərdir." Koordinat müstəvisində bir nöqtəni qeyd edə bilərsiniz və bu nöqtə parametrin dəyərinə uyğun olacaq. Eynilə, "te" parametrinin istənilən dəyəri üçün bir nöqtə tapa bilərsiniz. "Normal" funksiyaya gəldikdə, parametrik olaraq müəyyən edilmiş bir funksiyanın Amerika hinduları üçün bütün hüquqlara da riayət olunur: qrafik qura, törəmələri tapa bilərsiniz və s. Yeri gəlmişkən, parametrik olaraq təyin edilmiş bir funksiyanın qrafikini çəkmək lazımdırsa, səhifədəki həndəsi proqramımı yükləyin. Riyazi düsturlar və cədvəllər.
Ən sadə hallarda funksiyanı açıq şəkildə təmsil etmək mümkündür. Birinci tənlikdən parametri ifadə edək: 
– və onu ikinci tənliyə əvəz edin: 
. Nəticə adi kub funksiyasıdır.
Daha "ağır" hallarda bu hiylə işləmir. Ancaq bunun əhəmiyyəti yoxdur, çünki parametrik funksiyanın törəməsini tapmaq üçün bir düstur var:
“te dəyişəninə münasibətdə oyunun” törəməsini tapırıq:
Bütün fərqləndirmə qaydaları və törəmələr cədvəli təbii olaraq hərf üçün etibarlıdır, beləliklə, törəmələrin tapılması prosesində heç bir yenilik yoxdur. Cədvəldəki bütün "X"ləri zehni olaraq "Te" hərfi ilə əvəz edin.
“te” dəyişəninə görə x-in törəməsini tapırıq: 
İndi yalnız tapılan törəmələri düsturumuza əvəz etmək qalır: 
Hazır. Törəmə, funksiyanın özü kimi, parametrdən də asılıdır.
Qeydə gəlincə, onu düsturda yazmaq əvəzinə, sadəcə alt yazı olmadan yazmaq olar, çünki bu, "X-ə münasibətdə" "müntəzəm" törəmədir. Amma ədəbiyyatda həmişə variant var, ona görə də standartdan kənara çıxmayacağam.
Misal 6
Formuladan istifadə edirik
Bu halda:
Beləliklə: 
Parametrik funksiyanın törəməsinin tapılmasının xüsusi xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki hər addımda nəticəni mümkün qədər sadələşdirmək faydalıdır. Beləliklə, nəzərdən keçirilən nümunədə onu tapanda kökün altındakı mötərizələri açdım (baxmayaraq ki, bunu etməmişəm). Düsturu əvəz edərkən çox şey yaxşı azalacaq ki, yaxşı bir şans var. Baxmayaraq ki, əlbəttə ki, yöndəmsiz cavablarla nümunələr var.
Misal 7
Parametrik təyin olunmuş funksiyanın törəməsini tapın 
Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir.
Məqalədə Törəmələrlə ən sadə tipik problemlər funksiyanın ikinci törəməsini tapmaq üçün lazım olan nümunələrə baxdıq. Parametrik olaraq təyin edilmiş funksiya üçün ikinci törəməni də tapa bilərsiniz və o, aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapılır: . Tamamilə aydındır ki, ikinci törəməni tapmaq üçün ilk növbədə birinci törəməni tapmaq lazımdır.
Misal 8
Parametrik verilmiş funksiyanın birinci və ikinci törəmələrini tapın
Əvvəlcə birinci törəməni tapaq.
Formuladan istifadə edirik
Bu halda: 
Tapılan törəmələri düsturda əvəz edir. Sadələşdirmə məqsədləri üçün triqonometrik düsturdan istifadə edirik: 
Diqqət etdim ki, parametrik funksiyanın törəməsinin tapılması məsələsində çox vaxt sadələşdirmə məqsədilə istifadə etmək lazımdır. triqonometrik düsturlar . Onları yadda saxlayın və ya əlinizdə saxlayın və hər bir ara nəticə və cavabı sadələşdirmək fürsətini qaçırmayın. Nə üçün? İndi biz -in törəməsini götürməliyik və bu, -nin törəməsini tapmaqdan daha yaxşıdır.
İkinci törəməni tapaq.
Düsturdan istifadə edirik: .
Gəlin düsturumuza baxaq. Məxrəc artıq əvvəlki addımda tapılıb. Numeratoru tapmaq qalır - "te" dəyişəninə münasibətdə birinci törəmənin törəməsi:
Formuldan istifadə etmək qalır: 
Materialı gücləndirmək üçün özünüz həll etməyiniz üçün daha bir neçə nümunə təklif edirəm.
Misal 9
Misal 10
Parametrik olaraq təyin edilmiş funksiyanı tapın 
Sənə uğurlar arzu edirəm!
Ümid edirəm ki, bu dərs faydalı oldu və siz indi gizli və parametrik funksiyalardan təyin olunmuş funksiyaların törəmələrini asanlıqla tapa bilərsiniz.
Həll və cavablar:
Misal 3: Həlli:
Beləliklə:
Funksiya bir neçə yolla təyin edilə bilər. Onu müəyyən etmək üçün istifadə olunan qaydadan asılıdır. Funksiyanı təyin etməyin açıq forması y = f (x) şəklindədir. Onun təsvirinin qeyri-mümkün və ya əlverişsiz olduğu vaxtlar olur. (a; b) intervalında t parametri üçün hesablanması lazım olan çoxlu cüt (x; y) varsa. Sistemi həll etmək üçün x = 3 cos t y = 3 sin t 0 ≤ t ilə< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Parametrik funksiyanın tərifi
Buradan əldə edirik ki, x = φ (t), y = ψ (t) t ∈ (a; b) qiyməti üçün müəyyən edilir və x = φ (t) üçün tərs funksiyası t = Θ (x) olur, onda y = ψ (Θ (x)) formalı funksiyanın parametrik tənliyini təyin etməkdən söhbət gedir.
Elə hallar olur ki, funksiyanı öyrənmək üçün x-ə münasibətdə törəməni axtarmaq lazımdır. y x " = ψ " (t) φ " (t) formasının parametrik təyin olunmuş funksiyasının törəməsinin düsturunu nəzərdən keçirək, 2-ci və n-ci tərtibli törəmə haqqında danışaq.
Parametrli təyin olunmuş funksiyanın törəməsi üçün düsturun törəməsi
Bizdə x = φ (t), y = ψ (t), t ∈ a üçün müəyyən edilmiş və diferensiallana bilən; b, burada x t " = φ " (t) ≠ 0 və x = φ (t), onda t = Θ (x) formasının tərs funksiyası var.
Başlamaq üçün parametrik tapşırıqdan açıq birinə keçməlisiniz. Bunun üçün x arqumentinin olduğu y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) formasının mürəkkəb funksiyasını əldə etmək lazımdır.
Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması qaydasına əsaslanaraq, əldə edirik ki, y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .
Bu onu göstərir ki, t = Θ (x) və x = φ (t) tərs funksiya düsturundan Θ " (x) = 1 φ " (t), onda y " x = ψ " Θ (x) Θ " tərs funksiyalardır. (x) = ψ " (t) φ " (t) .
Diferensiasiya qaydasına uyğun olaraq törəmələr cədvəlindən istifadə edərək bir neçə nümunənin həllini nəzərdən keçirək.
Misal 1
x = t 2 + 1 y = t funksiyası üçün törəməni tapın.
Həll
Şərtə görə φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, buradan alırıq ki, φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Alınan düsturdan istifadə etməli və cavabı formada yazmalısınız:
y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t
Cavab: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
h funksiyasının törəməsi ilə işləyərkən t parametri törəmənin qiymətləri ilə parametrik olaraq təyin edilmiş funksiya arasında arqumentlə əlaqəni itirməmək üçün eyni t parametri vasitəsilə x arqumentinin ifadəsini təyin edir. hansı bu dəyərlərə uyğun gəlir.
Parametrli verilmiş funksiyanın ikinci dərəcəli törəməsini təyin etmək üçün nəticədə yaranan funksiya üzrə birinci dərəcəli törəmə üçün düsturdan istifadə etmək lazımdır, onda biz bunu alırıq.
y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .
Misal 2
Verilmiş x = cos (2 t) y = t 2 funksiyasının 2-ci və 2-ci dərəcəli törəmələrini tapın.
Həll
Şərtə görə tapırıq ki, φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.
Sonra transformasiyadan sonra
φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t
Buradan belə nəticə çıxır ki, y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
Alırıq ki, 1-ci dərəcəli törəmənin forması x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .
Həll etmək üçün ikinci dərəcəli törəmə düsturunu tətbiq etmək lazımdır. Formanın ifadəsini alırıq
y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Sonra parametrik funksiyadan istifadə edərək 2-ci dərəcəli törəmənin təyin edilməsi
x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Bənzər bir həll başqa bir üsulla həll edilə bilər. Sonra
φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2) t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2
Buradan bunu alırıq
y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos) (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Cavab: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Parametrik olaraq təyin edilmiş funksiyaları olan daha yüksək dərəcəli törəmələr də oxşar şəkildə tapılır.
Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
İndiyə qədər biz bu xətlərin nöqtələrinin cari koordinatlarını birbaşa birləşdirən müstəvidə xətlərin tənliklərini nəzərdən keçirirdik. Bununla belə, tez-tez xətti müəyyən etmək üçün başqa bir üsul istifadə olunur, burada cari koordinatlar üçüncü dəyişənin funksiyaları kimi qəbul edilir.
Bir dəyişənin iki funksiyası verilsin
t-nin eyni dəyərləri üçün nəzərə alınır. Sonra t-nin bu dəyərlərindən hər hansı biri müəyyən bir dəyərə və y-nin müəyyən bir dəyərinə və buna görə də müəyyən bir nöqtəyə uyğun gəlir. Dəyişən t funksiyaların təyini sahəsindən (73) bütün dəyərləri keçdikdə, müstəvidə müəyyən bir C xəttini təsvir edən tənliklər (73) bu xəttin parametrik tənlikləri adlanır və dəyişən deyilir bir parametr.
Fərz edək ki, funksiya tərs funksiyaya malikdir (73)
y-nin funksiya kimi ifadə edilməsi
Razılaşaq ki, bu funksiya (73) tənlikləri ilə parametrik verilir. Bu tənliklərdən (74) tənliyinə keçid parametrin ləğvi adlanır. Parametrlə müəyyən edilmiş funksiyaları nəzərdən keçirərkən, parametrin xaric edilməsi nəinki zəruri deyil, həm də həmişə praktiki olaraq mümkün deyil.
Bir çox hallarda, parametrin müxtəlif qiymətlərini nəzərə alaraq, düsturlardan (73) istifadə edərək, arqumentin və y funksiyasının uyğun qiymətlərini hesablamaq daha rahatdır.
Nümunələrə baxaq.
Misal 1. Mərkəzinin başlanğıcında və radiusu R olan çevrənin ixtiyari nöqtəsi olsun. Bu nöqtənin x və y dekart koordinatları onun qütb radiusu və qütb bucağı vasitəsilə ifadə edilir ki, biz burada t ilə işarə edirik, aşağıdakı kimi ( I Fəsil, § 3, paraqraf 3-ə baxın):
(75) tənliklər çevrənin parametrik tənlikləri adlanır. Onlardakı parametr 0-dan -ə qədər dəyişən qütb bucağıdır.
Əgər (75) tənliklər həd-həd kvadratına çevrilir və əlavə edilirsə, eynilik sayəsində parametr ləğv edilir və iki elementar funksiyanı təyin edən Dekart koordinat sistemində dairənin tənliyi alınır:
Bu funksiyaların hər biri parametrik olaraq (75) tənlikləri ilə müəyyən edilir, lakin bu funksiyalar üçün parametr diapazonları fərqlidir. Bunlardan birincisi üçün; Bu funksiyanın qrafiki yuxarı yarımdairədir. İkinci funksiya üçün onun qrafiki aşağı yarımdairədir.
Misal 2. Eyni zamanda ellipsi nəzərdən keçirək
və başlanğıcda mərkəzi və radiusu a olan dairə (şək. 138).
Ellipsin hər bir M nöqtəsi ilə M nöqtəsi ilə eyni absissaya malik olan və onunla Ox oxunun eyni tərəfində yerləşən dairənin N nöqtəsini əlaqələndiririk. N nöqtəsinin və buna görə də M nöqtəsinin mövqeyi nöqtənin t qütb bucağı ilə tam müəyyən edilir Bu halda onların ümumi absisi üçün aşağıdakı ifadəni alırıq: x = a. Ellipsin tənliyindən M nöqtəsindəki ordinatı tapırıq:
İşarə ona görə seçilmişdir ki, M nöqtəsinin ordinatı ilə N nöqtəsinin ordinatı eyni işarələrə malik olmalıdır.
Beləliklə, ellips üçün aşağıdakı parametrik tənliklər əldə edilir:
Burada t parametri 0-dan dəyişir.
Nümunə 3. Mərkəzi a) nöqtəsində və radiusu a olan çevrəni nəzərdən keçirək ki, o, açıq şəkildə başlanğıcda x oxuna toxunur (şək. 139). Tutaq ki, bu çevrə x oxu boyunca sürüşmədən yuvarlanır. Onda ilkin anda koordinatların başlanğıcı ilə üst-üstə düşən dairənin M nöqtəsi sikloid adlanan xətti təsvir edir.
Dairənin sabit nöqtəsini O mövqeyindən M vəziyyətinə köçürərkən t parametri kimi dairənin MSV fırlanma bucağını götürərək sikloidin parametrik tənliklərini çıxaraq. Sonra M nöqtəsinin koordinatları və y üçün aşağıdakı ifadələri alırıq:
Dairə ox boyunca sürüşmədən yuvarlandığına görə OB seqmentinin uzunluğu BM qövsünün uzunluğuna bərabərdir. BM qövsünün uzunluğu a radiusunun və mərkəzi bucağın t hasilinə bərabər olduğundan, onda . Buna görə də . Lakin buna görə də,
Bu tənliklər sikloidin parametrik tənlikləridir. Parametr t 0-dan dairəyə dəyişdikdə, bir tam inqilab edəcək. M nöqtəsi sikloidin bir qövsünü təsvir edəcəkdir.
Burada t parametrini istisna etmək çətin ifadələrə gətirib çıxarır və praktiki olaraq qeyri-mümkündür.
Xətlərin parametrik tərifi mexanikada xüsusilə tez-tez istifadə olunur və parametrin rolunu zaman oynayır.
Nümunə 4. İlkin sürəti üfüqi a bucaq altında tapançadan atılan mərminin trayektoriyasını təyin edək. Biz hava müqavimətinə və mərminin ölçülərinə əhəmiyyət vermirik, onu maddi nöqtə hesab edirik.
Bir koordinat sistemi seçək. Koordinatların başlanğıcı kimi mərminin ağızdan çıxma nöqtəsini götürək. Ox oxunu üfüqi, Oy oxunu isə şaquli istiqamətləndirək, onları silahın ağzı ilə eyni müstəvidə yerləşdirək. Əgər cazibə qüvvəsi olmasaydı, o zaman mərmi Öküz oxu ilə a bucağı yaradaraq düz bir xətt üzrə hərəkət edərdi və t zamanında mərminin t anındakı koordinatları müvafiq olaraq bərabər olardı üçün: . Cazibə qüvvəsinə görə, mərmi bu anda şaquli olaraq bir miqdar aşağı düşməlidir.
Bu tənliklər sabit kəmiyyətləri ehtiva edir. t dəyişdikdə, mərminin trayektoriya nöqtəsindəki koordinatlar da dəyişəcək. Tənliklər mərmi trayektoriyasının parametrik tənlikləridir, burada parametr zamandır
Birinci tənlikdən ifadə etmək və onu əvəz etmək
ikinci tənlikdə mərmi trayektoriyasının tənliyini formada alırıq Bu parabolanın tənliyidir.