\(\blacktrianglerright\) \(\) seqmentində funksiyanın ən böyük/kiçik qiymətini tapmaq üçün bu seqmentdə funksiyanın qrafikini sxematik şəkildə təsvir etmək lazımdır.
Bu yarımmövzudan olan məsələlərdə bunu törəmədən istifadə etməklə etmək olar: artan (\(f">0\) ) və azalan (\(f") intervallarını tapın.<0\)
) функции, критические точки (где \(f"=0\)
или \(f"\)
не существует).
\(\blacktrianglerright\) Unutmayın ki, funksiya yalnız \(\) seqmentinin daxili nöqtələrində deyil, həm də uclarında ən böyük/ən kiçik qiymət ala bilər.
\(\blacktrianglerright\) Funksiyanın ən böyük/kiçik qiyməti koordinat dəyəridir \(y=f(x)\) .
\(\blacktrianglerright\) \(f(t(x))\) mürəkkəb funksiyasının törəməsi qaydaya əsasən tapılır: \[(\Böyük(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(massiv)(|r|c|c|) \hline & \text(Funksiya ) f(x) & \text(Törəmə ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(massiv) \quad \quad \quad \quad \begin(massiv)(|r|c|c|) \hline & \text(Funksiya ) f(x) & \text(Törəmə ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(massiv)\]
Tapşırıq 1 №2357
Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir
\([-10; -2]\) seqmentində \(y = e^(x^2 - 4)\) funksiyasının ən kiçik qiymətini tapın.
ODZ: \(x\) – ixtiyari.
1) \
\ Beləliklə, \(x = 0\) üçün \(y" = 0\) .
3) Nəzərdən keçirilən seqmentdə \([-10; -2]\) daimi işarəli \(y"\) intervallarını tapaq:
4) \([-10; -2]\) seqmentində qrafikin eskizi:
Beləliklə, funksiya ən kiçik dəyərinə \([-10; -2]\) nöqtəsində \(x = -2\) nöqtəsində çatır.
\ Cəmi: \(1\) – \([-10; -2]\) üzərində \(y\) funksiyasının ən kiçik qiyməti.
Cavab: 1
Tapşırıq 2 №2355
Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir
\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) seqmentdə \([-1; 1]\) .
ODZ: \(x\) – ixtiyari.
1) \
Gəlin kritik nöqtələri tapaq (yəni, funksiyanın törəməsinin \(0\)-a bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı tərif sahəsinin daxili nöqtələrini): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Törəmə istənilən \(x\) üçün mövcuddur.
2) \(y"\) işarəli sabit intervalları tapın:
3) Nəzərdən keçirilən seqmentdə \([-1; 1]\) sabit işarəli \(y"\) intervallarını tapaq:
4) \([-1; 1]\) seqmentində qrafikin eskizi:
Beləliklə, funksiya ən böyük dəyərinə \([-1; 1]\) nöqtəsində \(x = -1\) və ya \(x = 1\) nöqtəsində çatır. Bu nöqtələrdə funksiya dəyərlərini müqayisə edək.
\ Cəmi: \(2\) – ən yüksək dəyər funksiyaları \(y\) üzərində \([-1; 1]\) .
Cavab: 2
Tapşırıq 3 №2356
Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir
\(\) seqmentində \(y = \cos 2x\) funksiyasının ən kiçik qiymətini tapın.
ODZ: \(x\) – ixtiyari.
1) \
Gəlin kritik nöqtələri tapaq (yəni, funksiyanın törəməsinin \(0\)-a bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı tərif sahəsinin daxili nöqtələrini): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Törəmə istənilən \(x\) üçün mövcuddur.
2) \(y"\) işarəli sabit intervalları tapın:
(burada törəmənin işarələrinin bir-birini əvəz etdiyi sonsuz sayda intervallar var).
3) Baxılan \(\) seqmentində sabit işarəli \(y"\) intervallarını tapaq:
4) \(\) seqmentində qrafikin eskizi:
Beləliklə, funksiya ən kiçik dəyərinə \(\) üzərində \(x = \dfrac(\pi)(2)\) nöqtəsində çatır.
\ Cəmi: \(-1\) – \(\) üzərində \(y\) funksiyasının ən kiçik qiyməti.
Cavab: -1
Tapşırıq 4 №915
Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir
Funksiyanın ən böyük qiymətini tapın
\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).
ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . ODZ haqqında qərar verək:
1) \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , sonra \(y(t)=-\log_(17)t\) işarəsi verək.
Gəlin kritik nöqtələri tapaq (yəni, funksiyanın törəməsinin \(0\)-a bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı tərif sahəsinin daxili nöqtələrini): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Sol sağarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– ODZ-də kökü tapdığımız yerdən \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . \(y\) funksiyasının törəməsi \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) üçün mövcud deyil, lakin bu tənlik üçün mənfi diskriminant, buna görə də heç bir həll yolu yoxdur. Funksiyanın ən böyük/kiçik qiymətini tapmaq üçün onun qrafikinin sxematik şəkildə necə göründüyünü başa düşməlisiniz.
2) \(y"\) işarəli sabit intervalları tapın:
3) Qrafikin eskizi:
Beləliklə, funksiya \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) zamanı ən böyük dəyərinə çatır:
\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\sağ) = -\log_(17)1 = 0\),
Cəmi: \(0\) – funksiyanın ən böyük dəyəri \(y\) .
Cavab: 0
Tapşırıq 5 № 2344
Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir
Funksiyanın ən kiçik qiymətini tapın
\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).
ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . ODZ haqqında qərar verək:
1) \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , sonra \(y(t)=\log_(3)t\) işarəsi verək.
Gəlin kritik nöqtələri tapaq (yəni, funksiyanın törəməsinin \(0\)-a bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı tərif sahəsinin daxili nöqtələrini): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– ODZ-də, kökü tapdığımız yerdən \(x = -4\) . \(y\) funksiyasının törəməsi \(x^2 + 8x + 19 = 0\) olduqda mövcud deyil, lakin bu tənliyin mənfi diskriminantı var, ona görə də onun həlli yoxdur. Funksiyanın ən böyük/kiçik qiymətini tapmaq üçün onun qrafikinin sxematik şəkildə necə göründüyünü başa düşməlisiniz.
2) \(y"\) işarəli sabit intervalları tapın:
3) Qrafikin eskizi:
Beləliklə, \(x = -4\) \(y\) funksiyasının minimum nöqtəsidir və orada ən kiçik qiymət əldə edilir:
\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .
Cəmi: \(1\) – \(y\) funksiyasının ən kiçik qiyməti.
Cavab: 1
Tapşırıq 6 №917
Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanından daha çətindir
Funksiyanın ən böyük qiymətini tapın
\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).
Praktik nöqteyi-nəzərdən, ən böyük maraq funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərlərini tapmaq üçün törəmədən istifadə etməkdir. Bu nə ilə bağlıdır? Mənfəəti maksimuma çatdırmaq, xərcləri minimuma endirmək, avadanlığın optimal yüklənməsini müəyyən etmək... Başqa sözlə, həyatın bir çox sahələrində bəzi parametrlərin optimallaşdırılması problemlərini həll etmək məcburiyyətindəyik. Və bunlar funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərlərini tapmaq vəzifələridir.
Qeyd etmək lazımdır ki, bir funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərləri adətən funksiyanın bütün sahəsi və ya tərif sahəsinin bir hissəsi olan müəyyən bir X intervalında axtarılır. X intervalının özü seqment, açıq interval ola bilər 
, sonsuz interval.
Bu yazıda biz açıq şəkildə ən böyük və ən kiçik dəyərləri tapmaq haqqında danışacağıq verilmiş funksiya bir dəyişən y=f(x) .
Səhifə naviqasiyası.
Funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyəri - təriflər, təsvirlər.
Əsas təriflərə qısaca nəzər salaq.
Funksiyanın ən böyük dəyəri 
ki, hər kəs üçün 
bərabərsizlik doğrudur.
Funksiyanın ən kiçik dəyəri X intervalında y=f(x) belə qiymət adlanır 
ki, hər kəs üçün bərabərsizlik doğrudur.
Bu təriflər intuitivdir: funksiyanın ən böyük (ən kiçik) dəyəri absisdə nəzərdən keçirilən interval üzrə qəbul edilən ən böyük (ən kiçik) qiymətdir.
Stasionar nöqtələr– bunlar funksiyanın törəməsinin sıfıra çevrildiyi arqumentin qiymətləridir.
Ən böyük və ən kiçik dəyərləri taparkən stasionar nöqtələrə niyə ehtiyacımız var? Bu sualın cavabı Fermat teoremi ilə verilir. Bu teoremdən belə nəticə çıxır ki, əgər diferensiallanan funksiya hansısa nöqtədə ekstremuma (lokal minimum və ya lokal maksimum) malikdirsə, bu nöqtə stasionardır. Beləliklə, funksiya çox vaxt X intervalında ən böyük (ən kiçik) qiymətini bu intervaldan stasionar nöqtələrdən birində alır.
Həmçinin, funksiya tez-tez bu funksiyanın ilk törəməsinin mövcud olmadığı və funksiyanın özünün müəyyən edildiyi nöqtələrdə ən böyük və ən kiçik dəyərlərini ala bilər.
Bu mövzuda ən çox yayılmış suallardan birinə dərhal cavab verək: "Funksiyanın ən böyük (ən kiçik) dəyərini təyin etmək həmişə mümkündürmü?" Xeyr həmişə deyil. Bəzən X intervalının hüdudları funksiyanın təyin olunma sahəsinin sərhədləri ilə üst-üstə düşür və ya X intervalı sonsuz olur. Sonsuzluqda və tərif sahəsinin sərhədlərində olan bəzi funksiyalar həm sonsuz böyük, həm də sonsuz kiçik qiymətlər ala bilər. Bu hallarda funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiyməti haqqında heç nə demək olmaz.
Aydınlıq üçün qrafik təsviri verəcəyik. Şəkillərə baxın və çox şey aydın olacaq.
Seqmentdə
Birinci şəkildə, funksiya [-6;6] seqmentinin daxilində yerləşən stasionar nöqtələrdə ən böyük (max y) və ən kiçik (min y) dəyərləri alır.
İkinci şəkildə təsvir olunan işi nəzərdən keçirək. Seqmenti olaraq dəyişdirək. Bu misalda funksiyanın ən kiçik qiyməti stasionar nöqtədə, ən böyüyü isə intervalın sağ sərhəddinə uyğun gələn absis olan nöqtədə əldə edilir.
Şəkil 3-də [-3;2] seqmentinin sərhəd nöqtələri funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərinə uyğun gələn nöqtələrin absisləridir.
Açıq intervalda
Dördüncü şəkildə, funksiya açıq interval (-6;6) daxilində yerləşən stasionar nöqtələrdə ən böyük (max y) və ən kiçik (min y) dəyərləri alır.
İntervalda ən böyük dəyər haqqında heç bir nəticə çıxarmaq olmaz.
Sonsuzluqda
Yeddinci şəkildə təqdim olunan misalda funksiya absis x=1 olan stasionar nöqtədə ən böyük qiyməti (max y) götürür və ən kiçik qiymətə (min y) intervalın sağ sərhəddində nail olunur. Mənfi sonsuzluqda funksiya dəyərləri asimptotik olaraq y=3-ə yaxınlaşır.
İnterval ərzində funksiya nə ən kiçik, nə də ən böyük qiymətə çatır. X=2 sağdan yaxınlaşdıqca, funksiya dəyərləri mənfi sonsuzluğa meyllidir (x=2 xətti şaquli asimptotdur) və absis üstəgəl sonsuzluğa meylləndiyi üçün funksiya dəyərləri asimptotik olaraq y=3-ə yaxınlaşır. Bu nümunənin qrafik təsviri Şəkil 8-də göstərilmişdir.
Seqmentdə fasiləsiz funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapmaq üçün alqoritm.
Bir seqmentdə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapmağa imkan verən bir alqoritm yazaq.
- Biz funksiyanın tərif sahəsini tapırıq və onun bütün seqmenti ehtiva edib-etmədiyini yoxlayırıq.
- Birinci törəmənin olmadığı və seqmentdə olan bütün nöqtələri tapırıq (adətən belə nöqtələr modul işarəsi altında arqumenti olan funksiyalarda və kəsr-rasional eksponentli güc funksiyalarında olur). Belə nöqtələr yoxdursa, növbəti nöqtəyə keçin.
- Seqmentə düşən bütün stasionar nöqtələri təyin edirik. Bunu etmək üçün onu sıfıra bərabərləşdiririk, yaranan tənliyi həll edirik və uyğun kökləri seçirik. Heç bir stasionar nöqtə yoxdursa və ya heç biri seqmentə düşmürsə, növbəti nöqtəyə keçin.
- Seçilmiş stasionar nöqtələrdə (əgər varsa), birinci törəmənin olmadığı nöqtələrdə (əgər varsa), həmçinin x=a və x=b-də funksiyanın dəyərlərini hesablayırıq.
- Funksiyanın əldə edilən dəyərlərindən ən böyüyü və ən kiçikini seçirik - onlar müvafiq olaraq funksiyanın tələb olunan ən böyük və ən kiçik dəyərləri olacaqdır.
Bir seqmentdə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapmaq üçün nümunənin həlli alqoritmini təhlil edək.
Misal.
Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın
- seqment üzrə;
- seqmentdə [-4;-1] .
Həll.
Funksiyanın tərif sahəsi, sıfır istisna olmaqla, bütün həqiqi ədədlər toplusudur, yəni. Hər iki seqment tərif sahəsinə düşür.
Funksiyanın törəməsini tapın: 
Aydındır ki, funksiyanın törəməsi seqmentlərin və [-4;-1] bütün nöqtələrində mövcuddur.
Tənlikdən stasionar nöqtələri təyin edirik. Yeganə həqiqi kök x=2-dir. Bu stasionar nöqtə birinci seqmentə düşür.
Birinci halda, funksiyanın seqmentin uclarında və stasionar nöqtədə, yəni x=1, x=2 və x=4 üçün qiymətlərini hesablayırıq: 
Beləliklə, funksiyanın ən böyük dəyəri 
x=1 və ən kiçik qiymətdə əldə edilir 
– x=2-də.
İkinci halda, funksiya dəyərlərini yalnız seqmentin uclarında hesablayırıq [-4;-1] (çünki bir stasionar nöqtə yoxdur): 
Həll.
Funksiyanın domenindən başlayaq. Kəsrin məxrəcindəki kvadrat üçbucaq itməməlidir: 
Problemin ifadəsindəki bütün intervalların funksiyanın təyini sahəsinə aid olduğunu yoxlamaq asandır.
Funksiyanı fərqləndirək: 
Aydındır ki, törəmə funksiyanın tərifinin bütün sahəsində mövcuddur.
Stasionar nöqtələri tapaq. -də törəmə sıfıra düşür. Bu stasionar nöqtə (-3;1] və (-3;2) intervallarına düşür.
İndi hər bir nöqtədə alınan nəticələri funksiyanın qrafiki ilə müqayisə edə bilərsiniz. Mavi nöqtəli xətlər asimptotları göstərir.
Bu nöqtədə funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərlərini tapmaqla bitirə bilərik. Bu məqalədə müzakirə olunan alqoritmlər minimum hərəkətlərlə nəticə əldə etməyə imkan verir. Bununla belə, əvvəlcə funksiyanın artım və azalma intervallarını müəyyən etmək və yalnız bundan sonra istənilən intervalda funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətləri haqqında nəticə çıxarmaq faydalı ola bilər. Bu, nəticələr üçün daha aydın şəkil və ciddi əsaslandırma verir.
Qoy funksiya olsun y =f(X) intervalında davamlıdır [ a, b]. Məlum olduğu kimi, belə bir funksiya bu seqmentdə maksimum və minimum qiymətlərinə çatır. Funksiya bu dəyərləri ya seqmentin daxili nöqtəsində qəbul edə bilər [ a, b] və ya seqmentin sərhəddində.
Seqmentdə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapmaq üçün [ a, b] zəruri:
1) intervalda funksiyanın kritik nöqtələrini tapın ( a, b);
2) tapılmış kritik nöqtələrdə funksiyanın qiymətlərini hesablamaq;
3) funksiyanın seqmentin sonundakı dəyərlərini hesablayın, yəni nə vaxt x=A və x = b;
4) funksiyanın bütün hesablanmış dəyərlərindən ən böyüyü və ən kiçikini seçin.
Misal.Ən böyük tapın və ən kiçik dəyər funksiyaları
seqmentdə.
Kritik nöqtələrin tapılması:
Bu nöqtələr seqmentin içərisindədir; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
nöqtədə x= 3 və nöqtədə x= 0.
Qabarıqlıq və əyilmə nöqtəsi funksiyasının öyrənilməsi.
Funksiya y = f (x) çağırdı qabarıq arasında (a, b) , əgər onun qrafiki bu intervalın istənilən nöqtəsində çəkilmiş tangensin altında yerləşirsə və deyilir aşağı qabarıq (konkav), əgər onun qrafiki tangensdən yuxarıdırsa.
Qabarıqlığın konkavlik və ya əksinə əvəz olunduğu nöqtə deyilir əyilmə nöqtəsi.
Qabarıqlıq və əyilmə nöqtəsini yoxlamaq üçün alqoritm:
1. İkinci növ kritik nöqtələri, yəni ikinci törəmənin sıfıra bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələri tapın.
2. Ədəd xəttində kritik nöqtələri intervallara bölərək qrafiki tərtib edin. Hər interval üzrə ikinci törəmənin işarəsini tapın; əgər , onda funksiya yuxarıya doğru qabarıqdır, əgər, onda funksiya aşağıya doğru qabarıqdır.
3. Əgər ikinci növ kritik nöqtədən keçərkən işarə dəyişirsə və bu nöqtədə ikinci törəmə sıfra bərabərdirsə, bu nöqtə əyilmə nöqtəsinin absisidir. Onun ordinatını tapın.
Funksiya qrafikinin asimptotları. Asimptotlar üçün funksiyanın öyrənilməsi.
Tərif. Funksiya qrafikinin asimptotuna deyilir düz, bu xüsusiyyətə malikdir ki, qrafikin hər hansı bir nöqtəsindən bu xəttə qədər olan məsafə, qrafikdəki nöqtə başlanğıcdan qeyri-müəyyən müddətə hərəkət etdikcə sıfıra meyl edir.
Üç növ asimptot var: şaquli, üfüqi və meylli.
Tərif. Düz xətt deyilir şaquli asimptot funksiya qrafikası y = f(x), bu nöqtədə funksiyanın birtərəfli hədlərindən ən azı biri sonsuzluğa bərabərdirsə, yəni
funksiyanın kəsilmə nöqtəsi haradadır, yəni təyinetmə sahəsinə aid deyil.
Misal.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 – qırılma nöqtəsi.
Tərif. Düz y =Açağırdı üfüqi asimptot funksiya qrafikası y = f(x), əgər
Misal.
|
x | |||
|
y |
Tərif. Düz y =kx +b (k≠ 0) çağırılır əyri asimptot funksiya qrafikası y = f(x), harada
Funksiyaların öyrənilməsi və qrafiklərin qurulması üçün ümumi sxem.
Funksiya Tədqiqat Alqoritmiy = f(x) :
1. Funksiyanın oblastını tapın D (y).
2. Qrafikin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın (əgər mümkünsə). x= 0 və at y = 0).
3. Funksiyanın təkliyini və təkliyini yoxlayın ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ qəribə).
4. Funksiya qrafikinin asimptotlarını tapın.
5. Funksiyanın monotonluq intervallarını tapın.
6. Funksiyanın ekstremumunu tapın.
7. Funksiya qrafikinin qabarıqlıq (konkavlik) və əyilmə nöqtələri intervallarını tapın.
8. Aparılmış tədqiqatlar əsasında funksiyanın qrafikini qurun.
Misal. Funksiyanı araşdırın və onun qrafikini qurun.
1) D (y) =
x= 4 – qırılma nöqtəsi.
2) Nə vaxt x = 0,
(0; ‒ 5) – ilə kəsişmə nöqtəsi oh.
At y = 0,
3)
y(‒
x)=
funksiyası ümumi görünüş(nə cüt, nə də tək).
4) Asimptotları yoxlayırıq.
a) şaquli
b) üfüqi
c) buradakı əyri asimptotları tapın
‒oblik asimptot tənliyi
5) B verilmiş tənlik funksiyanın monotonluq intervallarını tapmağa ehtiyac yoxdur.
6)
Bu kritik nöqtələr funksiyanın tərifinin bütün sahəsini (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) və (10; +∞) intervalına bölür. Alınan nəticələri aşağıdakı cədvəl şəklində təqdim etmək rahatdır:
|
əlavələr yoxdur |
Cədvəldən aydın olur ki, nöqtə X= ‒2‒maksimum nöqtə, nöqtədə X= 4‒ekstremum yoxdur, X= 10 – minimum xal.
(‒ 3) dəyərini tənliyə əvəz edək:
9 + 24 ‒ 20 > 0
25 ‒ 40 ‒ 20 < 0
121 ‒ 88 ‒ 20 > 0
Bu funksiyanın maksimumu 
(‒ 2; ‒ 4) – maksimum ekstremum.
Bu funksiyanın minimumu bərabərdir 
(10; 20) – minimum ekstremum.
7) funksiya qrafikinin qabarıqlığını və əyilmə nöqtəsini yoxlayın
Bu yazıda mən danışacağam ən böyük və ən kiçik dəyəri tapmaq üçün alqoritm funksiyalar, minimum və maksimum nöqtələr.
Nəzəriyyədən o, bizim üçün mütləq faydalı olacaq törəmə cədvəli Və fərqləndirmə qaydaları. Hamısı bu boşqabdadır:
Ən böyük və ən kiçik dəyəri tapmaq üçün alqoritm.
Mənə izah etmək daha rahatdır konkret misal. Nəzərə alın:
Misal:[–4;0] seqmentində y=x^5+20x^3–65x funksiyasının ən böyük qiymətini tapın.
Addım 1. Törəmə alırıq.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Addım 2. Ekstremal nöqtələrin tapılması.
Ekstremal nöqtə funksiyanın ən böyük və ya minimum qiymətə çatdığı nöqtələri adlandırırıq.
Ekstremum nöqtələrini tapmaq üçün funksiyanın törəməsini sıfıra bərabərləşdirmək lazımdır (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
İndi bu bikvadrat tənliyi həll edirik və tapılan köklər ekstremum nöqtələrimizdir.
Belə tənlikləri t = x^2, sonra 5t^2 + 60t - 65 = 0 əvəz etməklə həll edirəm.
Tənliyi 5-ə endirək, alırıq: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Biz tərs dəyişikliyi edirik x^2 = t:
X_(1 və 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 və 4) = ±sqrt(-13) (istisna edirik, kökün altında mənfi ədədlər ola bilməz, əlbəttə ki, kompleks ədədlərdən söhbət getmirsə)
Cəmi: x_(1) = 1 və x_(2) = -1 - bunlar bizim ekstremum nöqtələrimizdir.
Addım 3.Ən böyük və ən kiçik dəyəri təyin edin.
Əvəzetmə üsulu.
Şərtdə bizə [b][–4;0] seqmenti verildi. x=1 nöqtəsi bu seqmentə daxil deyil. Ona görə də biz bunu nəzərə almırıq. Amma x=-1 nöqtəsindən əlavə, seqmentimizin sol və sağ sərhədlərini, yəni -4 və 0 nöqtələrini də nəzərə almalıyıq. Bunun üçün bütün bu üç nöqtəni orijinal funksiyada əvəz edirik. Diqqət yetirin ki, orijinal (y=x^5+20x^3–65x) şərtində verilmişdir, bəzi insanlar onu törəmə ilə əvəz etməyə başlayırlar...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Bu o deməkdir ki, funksiyanın ən böyük qiyməti [b]44-dür və o, [b]-1 nöqtəsində əldə edilir ki, bu da funksiyanın [-4] seqmentindəki maksimum nöqtəsi adlanır; 0].
Qərara gəldik və cavab aldıq, biz əlayıq, istirahət edə bilərsiniz. Amma dayan! Sizə elə gəlmirmi ki, y(-4)-i hesablamaq nədənsə çox çətindir? Məhdud vaxt şəraitində başqa bir üsuldan istifadə etmək daha yaxşıdır, mən buna belə deyirəm:
İşarənin sabitliyi intervalları vasitəsilə.
Bu intervallar funksiyanın törəməsi üçün, yəni bikvadrat tənliyimiz üçün tapılır.
Mən bunu belə edirəm. Mən istiqamətləndirilmiş bir seqment çəkirəm. Nöqtələri yerləşdirirəm: -4, -1, 0, 1. Verilmiş seqmentə 1 daxil edilməməsinə baxmayaraq, işarənin sabitlik intervallarını düzgün müəyyən etmək üçün yenə də qeyd etmək lazımdır. Gəlin 1-dən dəfələrlə böyük olan bir ədəd götürək, deyək ki, 100 və onu zehni olaraq bikvadrat tənliyimizdə 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 ilə əvəz edək. Heç bir şeyi saymadan belə aydın olur ki, 100 nöqtəsində funksiyanın artı işarəsi var. Bu o deməkdir ki, 1-dən 100-ə qədər intervallar üçün onun artı işarəsi var. 1-dən keçəndə (sağdan sola gedirik) funksiya işarəni mənfiyə dəyişəcək. 0 nöqtəsindən keçərkən funksiya öz işarəsini saxlayacaqdır, çünki bu, tənliyin kökü deyil, yalnız seqmentin sərhədidir. -1-dən keçən zaman funksiya yenidən işarəni artıya dəyişəcək.
Nəzəriyyədən bilirik ki, funksiyanın törəməsi haradadır (və biz bunu məhz bunun üçün çəkdik) işarəsini artıdan mənfiyə dəyişir (bizim vəziyyətimizdə -1 nöqtəsi) funksiyaya çatır onun yerli maksimumu (y(-1)=44, əvvəllər hesablandığı kimi) bu seqmentdə (bu, məntiqi olaraq çox başa düşüləndir, funksiya maksimuma çatdığı və azalmağa başladığı üçün artmağı dayandırdı).
Buna uyğun olaraq funksiyanın törəməsi olduğu yer işarəsini mənfidən artıya dəyişir, əldə edilir funksiyanın yerli minimumu. Bəli, bəli, biz yerli minimum nöqtənin 1 olduğunu da tapdıq və y(1) funksiyanın seqmentdəki minimum qiymətidir, məsələn -1-dən +∞-ə qədər. Nəzərə alın ki, bu, yalnız YERLİ MİNİMUM, yəni müəyyən seqment üzrə minimumdur. Funksiyanın real (qlobal) minimumu haradasa -∞ nöqtəsinə çatacağından.
Məncə, birinci üsul nəzəri cəhətdən daha sadədir, ikincisi isə hesab əməliyyatları baxımından daha sadədir, lakin nəzəriyyə baxımından daha mürəkkəbdir. Axı, bəzən tənliyin kökündən keçərkən funksiyanın işarəni dəyişmədiyi hallar olur və ümumiyyətlə, bu yerli, qlobal maksimum və minimumlarla qarışa bilərsiniz, baxmayaraq ki, hər halda bunu yaxşı mənimsəməli olacaqsınız. texniki universitetə daxil olmağı planlaşdırın (və niyə başqa profil Vahid Dövlət İmtahanını verin və bu vəzifəni həll edin). Ancaq təcrübə və yalnız təcrübə sizə bu cür problemləri birdəfəlik həll etməyi öyrədəcək. Və saytımızda məşq edə bilərsiniz. Budur.
Hər hansı bir sualınız varsa və ya bir şey aydın deyilsə, soruşmağınızdan əmin olun. Mən sizə cavab verməkdən və məqaləyə dəyişiklik və əlavələr etməkdən məmnunam. Unutmayın ki, biz bu saytı birlikdə edirik!