Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M x , M y) до прямой можно найти, используя следующую формулу

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости

Пример 1.

Найти расстояние между прямой 3x + 4y - 6 = 0 и точкой M(-1, 3).

Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.

уравнение плоскости проходящей через точки перпендикулярно векторуОбщее уравнение плоскости

Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной плоскости, называетсянормальным вектором (или, короче, нормалью ) для этой плоскости.

Пусть в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы:

а) точка ;

б) ненулевой вектор (рис.4.8,а).

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно векторуКонец доказательства.

Рассмотрим теперь различные типы уравнений прямой на плоскости.

1) Общее уравнение плоскости P .

Из вывода уравнения следует, что одновременно A , B и C не равны 0 (объясните почему).

Точка принадлежит плоскостиP только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В зависимости от коэффициентов A , B , C и D плоскость P занимает то или иное положение:

‑ плоскость проходит через начало системы координат, ‑ плоскость не проходит через начало системы координат,

‑ плоскость параллельна оси X ,

X ,

‑ плоскость параллельна оси Y ,

‑ плоскость не параллельна оси Y ,

‑ плоскость параллельна оси Z ,

‑ плоскость не параллельна оси Z .

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Уравнение (6) легко выводится из уравнения (5). Действительно, пусть точка лежит на плоскости P . Тогда ее координаты удовлетворяют уравнениюВычитая из уравнения (5) уравнение (7) и группируя слагаемые, получим уравнение (6). Рассмотрим теперь два вектора с координатами соответственно. Из формулы (6) следует, что их скалярное произведение равно нулю. Следовательно, вектор перпендикулярен вектору Начало и конец последнего вектора находятся соответственно в точках которые принадлежат плоскости P . Следовательно, вектор перпендикулярен плоскости P . Расстояние от точкидо плоскости P , общее уравнение которой определяется по формулеДоказательство этой формулы полностью аналогично доказательству формулы расстояния между точкой и прямой (см. рис. 2).
Рис. 2. К выводу формулы расстояния между плоскостью и прямой.

Действительно, расстояние d между прямой и плоскостью равно

где ‑ точка лежащая на плоскости. Отсюда, как и в лекции № 11, получается выше приведенная формула. Две плоскости параллельны, если параллельны их нормальные вектора. Отсюда получаем условие параллельности двух плоскостей‑ коэффициенты общих уравнений плоскостей . Две плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные вектора, отсюда получаем условие перпендикулярности двух плоскостей, если известны их общие уравнения

Угол f между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами (см. рис. 3) и может, поэтому, быть вычислен по формуле
Определение угла между плоскостями.

(11)

Расстояние от точки до плоскости и способы его нахождения

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости:геометрический и алгебраический .

При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.

После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Кафедра компьютерной графики и информационного обеспечения

ЗАНЯТИЕ 3

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №3

Определение расстояния от точки до прямой линии.

Определить расстояние между точкой и прямой линией можно, выполнив следующие построения (см. рис.1):

· из точки С опустить перпендикуляр на прямую а ;

· отметить точку К пересечения перпендикуляра с прямой;

· измерить величину отрезка КС , началом которого является заданная точка, а концом отмеченная точка пересечения.

Рис.1. Расстояние от точки до прямой.

В основе решения задач такого типа лежит правило проецирования прямого угла: прямой угол проецируется без искажения, если хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций (т.е. занимает частное положение). Начнем именно с такого случая и рассмотрим построения для определения расстояния от точки С до отрезка прямой АВ .

В данном задании нет тестовых примеров, а варианты для выполнения индивидуальных заданий приведены в таблице1 и таблице2 . Ниже описано решение задачи, а соответствующие построения показаны на рис.2.

1. Определение расстояния от точки до прямой частного положения.

Сначала строятся проекции точки и отрезка. Проекция А1В1 параллельна оси Х . Это означает, что отрезок АВ параллелен плоскости П2 . Если из точки С провести перпендикуляр к АВ , то прямой угол проецируется без искажения именно на плоскость П2 . Это позволяет провести перпендикуляр из точки С2 на проекцию А2В2 .

Падающее меню Чертеж-Отрезок (Draw - Line ) . Установить курсор в точку С2 и зафиксировать ее как первую точку отрезка. Сдвинуть курсор по направлению нормали к отрезку А2В2 и зафиксировать на нем вторую точку в момент появления подсказки Нормаль (Perpendicular ) . Обозначить построенную точку К2 . Включить режим ОРТО(ORTHO ) , и из точки К2 провести вертикальную линию связи до пересечения с проекцией А1 В1 . Точку пересечения обозначить через К1 . Точка К , лежащая на отрезке АВ , является точкой пересечения перпендикуляра, проведенного из точки С , с отрезок АВ . Таким образом, отрезок КС является искомым расстоянием от точки до прямой.

Из построений видно, что отрезок КС занимает общее положение и, следовательно, его проекции искажены. Говоря о расстоянии, всегда имеется в виду истинная величина отрезка , выражающего расстояние. Следовательно, надо найти истинную величину отрезка КС, повернув его до частного положения, например, КС || П1 . Результат построений показан на рис.2.

Из приведенных на рис.2 построений, можно сделать вывод: частное положение прямой (отрезок параллелен П1 или П2 ) позволяет быстро строить проекции расстояния от точки до прямой, но при этом они искажены.

Рис.2. Определение расстояния от точки до прямой частного положения.

2. Определение расстояния от точки до прямой общего положения.

Не всегда в начальном условии отрезок занимает частное положение. При общем начальном положении выполняются следующие построения для определения расстояния от точки до прямой:

a) используя метод преобразования чертежа, перевести отрезок из общего положения в частное – это позволит построить проекции расстояния (искаженные);

b) вторично используя метод, перевести отрезок, соответствующий искомому расстоянию в частное положение – получим проекцию расстояния по величине, равной действительной.

Рассмотрим последовательность построений для определения расстояния от точки А до отрезка общего положения ВС (рис.3).

При первом вращении необходимо получить частное положение отрезка В C . Для этого в слое ТМР надо соединить точки В2 , С2 и А2 . Используя команду Изменить-Повернуть (Modify – Rotate ) треугольник В2С2А2 повернуть вокруг точки С2 до положения, когда новая проекция В2*С2 будет располагаться строго горизонтально (точка С неподвижна и, следовательно, ее новая проекция совпадает с первоначальной и обозначения С2* и С1* можно на чертеже не показывать). В результате будут получены новые проекции отрезка В2*С2 и точки: А2*. Далее из точек А2* и В2* проводятся вертикальные, а из точек В1 и А1 горизонтальные линии связи. Пересечение соответствующих линий определит положение точек новой горизонтальной проекции: отрезка В1*С1 и точки А1*.

В полученном частном положении можно построить проекции расстояния для этого: из точки А1* строится нормаль к В1*С1. Точка их взаимного пересечения – К1*. Из этой точки проводится вертикальная линия связи до пересечения с проекцией В2*С2. Отмечается точка К2*. В результате получены проекции отрезка АК , являющегося искомым расстоянием от точки А до отрезка прямой ВС .

Далее необходимо построить проекции расстояния в начальном условии. Для этого из точки К1* удобно провести горизонтальную линию до пересечения с проекцией В1С1 и обозначить точку пересечения К1. Затем строится точка К2 на фронтальной проекции отрезка и проводятся проекции А1К1 и А2К2. В результате построений получены проекции расстояния, но и в начальном и в новом частном положении отрезка ВС, отрезок АК занимает общее положение, а это приводит к тому, что все его проекции искажены.

При втором вращении необходимо повернуть отрезок АК в частное положение, что позволит определить истинную величину расстояния – проекция А2*К2**. Результат всех построений показан на рис.3.

ЗАДАНИЕ №3-1. С до прямой линии частного положения, заданной отрезком АВ . Ответ дать в мм (таблица 1). Убрать проецирующие прмые

Таблица 1

ЗАДАНИЕ №3-2. Найти истинную величину расстояния от точки M до прямой линии общего положения, заданной отрезком ED . Ответ дать в мм (таблица 2).

Таблица 2

Проверка и зачет выполненного ЗАДАНИЯ №3.

Данная статья рассказывает о теме « расстояния от точки до прямой», рассматриваются определения расстояния от точки к прямой с иллюстрированными примерами методом координат. Каждый блок теории в конце имеет показанные примеры решения подобных задач.

Расстояние от точки до прямой находится через определение расстояния от точки до точки. Рассмотрим подробней.

Пусть имеется прямая a и точка М 1 , не принадлежащая заданной прямой. Через нее проведем прямую b , расположенную перпендикулярно относительно прямой a . Точка пересечения прямых возьмем за Н 1 . Получим, что М 1 Н 1 является перпендикуляром, который опустили из точки М 1 к прямой a .

Определение 1

Расстоянием от точки М 1 к прямой a называется расстояние между точками М 1 и Н 1 .

Бывают записи определения с фигурированием длины перпендикуляра.

Определение 2

Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Определения эквивалентны. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Известно, что расстояние от точки до прямой является наименьшим из всех возможных. Рассмотрим это на примере.

Если взять точку Q , лежащую на прямой a , не совпадающую с точкой М 1 , тогда получим, что отрезок М 1 Q называется наклонной, опущенной из М 1 к прямой a . Необходимо обозначить, что перпендикуляр из точки М 1 является меньше, чем любая другая наклонная, проведенная из точки к прямой.

Чтобы доказать это, рассмотрим треугольник М 1 Q 1 Н 1 , где М 1 Q 1 является гипотенузой. Известно, что ее длина всегда больше длины любого из катетов. Значим, имеем, что M 1 H 1 < M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Исходные данные для нахождения от точки до прямой позволяют использовать несколько методов решения: через теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла и другими. Большинство заданий такого типа решают в школе на уроках геометрии.

Когда при нахождении расстояния от точки до прямой можно ввести прямоугольную систему координат, то применяют метод координат. В данном пункте рассмотрим основных два метода нахождения искомого расстояния от заданной точки.

Первый способ подразумевает поиск расстояния как перпендикуляра, проведенного из М 1 к прямой a . Во втором способе используется нормальное уравнение прямой а для нахождения искомого расстояния.

Если на плоскости имеется точка с координатами M 1 (x 1 , y 1) , расположенная в прямоугольной системе координат, прямая a , а необходимо найти расстояние M 1 H 1 , можно произвести вычисление двумя способами. Рассмотрим их.

Первый способ

Если имеются координаты точки H 1 , равные x 2 , y 2 , тогда расстояние от точки до прямой вычисляется по координатам из формулы M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .

Теперь перейдем к нахождению координат точки Н 1 .

Известно, что прямая линия в О х у соответствует уравнению прямой на плоскости. Возьмем способ задания прямой a через написание общего уравнения прямой или уравнения с угловым коэффициентом. Составляем уравнение прямой, которая проходит через точку М 1 перпендикулярно заданной прямой a . Прямую обозначим буковой b . Н 1 является точкой пересечения прямых a и b , значит для определения координат необходимо воспользоваться статьей, в которой идет речь о координатах точек пересечения двух прямых.

Видно, что алгоритм нахождения расстояния от заданной точки M 1 (x 1 , y 1) до прямой a проводится согласно пунктам:

Определение 3

• нахождение общего уравнения прямой a , имеющее вид A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ,или уравнение с угловым коэффициентом, имеющее вид y = k 1 x + b 1 ;
• получение общего уравнения прямой b , имеющее вид A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или уравнение с угловым коэффициентом y = k 2 x + b 2 , если прямая b пересекает точку М 1 и является перпендикулярной к заданной прямой a ;
• определение координат x 2 , y 2 точки Н 1 , являющейся точкой пересечения a и b , для этого производится решение системы линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• вычисление искомого расстояния от точки до прямой, используя формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .

Второй способ

Теорема способна помочь ответить на вопрос о нахождении расстояния от заданной точки дот заданной прямой на плоскости.

Теорема

Прямоугольная система координат имеет О х у имеет точку M 1 (x 1 , y 1) , из которой проведена прямая а к плоскости, задаваемая нормальным уравнением плоскости, имеющее вид cos α · x + cos β · y - p = 0 , равно по модулю значению, получаемому в левой части нормального уравнения прямой, вычисляемому при x = x 1 , y = y 1 , значит, что M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p .

Доказательство

Прямой а соответствует нормальное уравнение плоскости, имеющее вид cos α · x + cos β · y - p = 0 , тогда n → = (cos α , cos β) считается нормальным вектором прямой a при расстоянии от начала координат до прямой a с p единицами. Необходимо изобразить все данные на рисунке, добавить точку с координатами M 1 (x 1 , y 1) , где радиус-вектор точки М 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Необходимо провести прямую от точки до прямой, которое обозначим M 1 H 1 . Необходимо показать проекции М 2 и Н 2 точек М 1 и Н 2 на прямую, проходящую через точку O с направляющим вектором вида n → = (cos α , cos β) , а числовую проекцию вектора обозначим как O M 1 → = (x 1 , y 1) к направлению n → = (cos α , cos β) как n p n → O M 1 → .

Вариации зависят от расположения самой точки М 1 . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Результаты фиксируем при помощи формулы M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . После чего приводим равенство к такому виду M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p для того, чтобы получить n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Скалярное произведение векторов в результате дает преобразованную формулу вида n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , которая является произведением в координатной форме вида n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Значит, получаем, что n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Отсюда следует, что M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Теорема доказана.

Получаем, что для нахождения расстояния от точки M 1 (x 1 , y 1) к прямой a на плоскости необходимо выполнить несколько действий:

Определение 4

• получение нормального уравнения прямой a cos α · x + cos β · y - p = 0 , при условии, что его нет в задании;
• вычисление выражения cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , где полученное значение принимает M 1 H 1 .

Применим данные методы на решении задач с нахождением расстояния от точки до плоскости.

Пример 1

Найти расстояние от точки с координатами M 1 (- 1 , 2) к прямой 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Решение

Применим первый способ для решения.

Для этого необходимо найти общее уравнение прямой b , которая проходит через заданную точку M 1 (- 1 , 2) , перпендикулярно прямой 4 x - 3 y + 35 = 0 . Из условия видно, что прямая b является перпендикулярной прямой a , тогда ее направляющий вектор имеет координаты, равные (4 , - 3) . Таким образом имеем возможность записать каноническое уравнение прямой b на плоскости, так как имеются координаты точки М 1 , принадлежит прямой b . Определим координаты направляющего вектора прямой b . Получим, что x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Полученное каноническое уравнение необходимо преобразовать к общему. Тогда получаем, что

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Произведем нахождение координат точек пересечения прямых, которое примем за обозначение Н 1 . Преобразования выглядят таким образом:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 · 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 · 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Из выше написанного имеем, что координаты точки Н 1 равны (- 5 ; 5) .

Необходимо вычислить расстояние от точки М 1 к прямой a . Имеем, что координаты точек M 1 (- 1 , 2) и H 1 (- 5 , 5) , тогда подставляем в формулу для нахождения расстояния и получаем, что

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Второй способ решения.

Для того, чтобы решить другим способом, необходимо получить нормальное уравнение прямой. Вычисляем значение нормирующего множителя и умножаем обе части уравнения 4 x - 3 y + 35 = 0 . Отсюда получим, что нормирующий множитель равен - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , а нормальное уравнение будет вида - 1 5 · 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 · 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

По алгоритму вычисления необходимо получить нормальное уравнение прямой и вычислить его со значениями x = - 1 , y = 2 . Тогда получаем, что

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Отсюда получаем, что расстояние от точки M 1 (- 1 , 2) к заданной прямой 4 x - 3 y + 35 = 0 имеет значение - 5 = 5 .

Ответ: 5 .

Видно, что в данном методе важно использование нормального уравнения прямой, так как такой способ является наиболее коротким. Но первый метод удобен тем, что последователен и логичен, хотя имеет больше пунктов вычисления.

Пример 2

На плоскости имеется прямоугольная система координат О х у с точкой M 1 (8 , 0) и прямой y = 1 2 x + 1 . Найти расстояние от заданной точки до прямой.

Решение

Решение первым способом подразумевает приведение заданного уравнения с угловым коэффициентом к уравнению общего вида. Для упрощения можно сделать иначе.

Если произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых имеют значение - 1 , значит угловой коэффициент прямой перпендикулярной заданной y = 1 2 x + 1 имеет значение 2 . Теперь получим уравнение прямой, проходящее через точку с координатами M 1 (8 , 0) . Имеем, что y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Переходим к нахождению координат точки Н 1 , то есть точкам пересечения y = - 2 x + 16 и y = 1 2 x + 1 . Составляем систему уравнений и получаем:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6 , 4)

Отсюда следует, что расстояние от точки с координатами M 1 (8 , 0) к прямой y = 1 2 x + 1 равно расстоянию от точки начала и точки конца с координатами M 1 (8 , 0) и H 1 (6 , 4) . Вычислим и получим, что M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Решение вторым способом заключается в переходе от уравнения с коэффициентом к нормальному его виду. То есть получим y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 , тогда значение нормирующего множителя будет - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 . Отсюда следует, что нормальное уравнение прямой принимает вид - 2 5 · 1 2 x - y + 1 = - 2 5 · 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Произведем вычисление от точки M 1 8 , 0 к прямой вида - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Получаем:

M 1 H 1 = - 1 5 · 8 + 2 5 · 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Ответ: 2 5 .

Пример 3

Необходимо вычислить расстояние от точки с координатами M 1 (- 2 , 4) к прямым 2 x - 3 = 0 и y + 1 = 0 .

Решение

Получаем уравнение нормального вида прямой 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 · 2 x - 3 = 1 2 · 0 ⇔ x - 3 2 = 0

После чего переходим к вычислению расстояния от точки M 1 - 2 , 4 к прямой x - 3 2 = 0 . Получаем:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Уравнение прямой y + 1 = 0 имеет нормирующий множитель со значением равным -1. Это означает, что уравнение примет вид - y - 1 = 0 . Переходим к вычислению расстояния от точки M 1 (- 2 , 4) к прямой - y - 1 = 0 . Получим, что оно равняется - 4 - 1 = 5 .

Ответ: 3 1 2 и 5 .

Подробно рассмотрим нахождение расстояния от заданной точки плоскости к координатным осям О х и О у.

В прямоугольной системе координат у оси О у имеется уравнение прямой, которое является неполным имеет вида х = 0 , а О х - y = 0 . Уравнения являются нормальными для осей координат, тогда необходимо найти расстояние от точки с координатами M 1 x 1 , y 1 до прямых. Это производится, исходя из формул M 1 H 1 = x 1 и M 1 H 1 = y 1 . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Пример 4

Найти расстояние от точки M 1 (6 , - 7) до координатных прямых, расположенных в плоскости О х у.

Решение

Так как уравнение у = 0 относится к прямой О х, можно найти расстояние от M 1 с заданными координатами, до этой прямой, используя формулу. Получаем, что 6 = 6 .

Так как уравнение х = 0 относится к прямой О у, то можно найти расстояние от М 1 к этой прямой по формуле. Тогда получим, что - 7 = 7 .

Ответ: расстояние от М 1 к О х имеет значение 6 , а от М 1 к О у имеет значение 7 .

Когда в трехмерном пространстве имеем точку с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , необходимо найти расстояние от точки A до прямой a .

Рассмотрим два способа, которые позволяют производить вычисление расстояние от точки до прямой a , расположенной в пространстве. Первый случай рассматривает расстояние от точки М 1 к прямой, где точка на прямой называется Н 1 и является основанием перпендикуляра, проведенного из точки М 1 на прямую a . Второй случай говорит о том, что точки этой плоскости необходимо искать в качестве высоты параллелограмма.

Первый способ

Из определения имеем, что расстояние от точки М 1 , расположенной на прямой а, является длиной перпендикуляра М 1 Н 1 , тогда получим, что при найденных координатах точки Н 1 , тогда найдем расстояние между M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , исходя из формулы M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Получаем, что все решение идет к тому, чтобы найти координаты основания перпендикуляра, проведенного из М 1 на прямую a . Это производится следующим образом: Н 1 является точкой, где пересекаются прямая a с плоскостью, которая проходит через заданную точку.

Значит, алгоритм определения расстояния от точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) к прямой a пространства подразумевает несколько пунктов:

Определение 5

• составление уравнение плоскости χ в качестве уравнения плоскости, проходящего через заданную точку, находящуюся перпендикулярно прямой;
• определение координат (x 2 , y 2 , z 2) , принадлежавших точке Н 1 , которая является точкой пересечения прямой a и плоскости χ ;
• вычисление расстояния от точки до прямой при помощи формулы M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Второй способ

Из условия имеем прямую a , тогда можем определить направляющий вектор a → = a x , a y , a z с координатами x 3 , y 3 , z 3 и определенной точки М 3 , принадлежащей прямой a . При наличии координат точек M 1 (x 1 , y 1) и M 3 x 3 , y 3 , z 3 можно произвести вычисление M 3 M 1 → :

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3)

Следует отложить векторы a → = a x , a y , a z и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 из точки М 3 , соединим и получим фигуру параллелограмма. М 1 Н 1 является высотой параллелограмма.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Имеем, что высота М 1 Н 1 является искомым расстоянием, тогда необходимо найти его по формуле. То есть ищем M 1 H 1 .

Обозначим площадь параллелограмма за букву S , находится по формуле, используя вектор a → = (a x , a y , a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Формула площади имеет вид S = a → × M 3 M 1 → . Также площадь фигуры равняется произведению длин его сторон на высоту, получим, что S = a → · M 1 H 1 с a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , являющимся длиной вектора a → = (a x , a y , a z) , являющейся равной стороне параллелограмма. Значит, M 1 H 1 является расстоянием от точки до прямой. Ее нахождение производится по формуле M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Для нахождения расстояния от точки с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямой a в пространстве, необходимо выполнить несколько пунктов алгоритма:

Определение 6

• определение направляющего вектора прямой a - a → = (a x , a y , a z) ;
• вычисление длины направляющего вектора a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• получение координат x 3 , y 3 , z 3 , принадлежавших точке М 3 , находящейся на прямой а;
• вычисление координат вектора M 3 M 1 → ;
• нахождение векторного произведения векторов a → (a x , a y , a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 в качестве a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 для получения длины по формуле a → × M 3 M 1 → ;
• вычисление расстояния от точки до прямой M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве

Пример 5

Найти расстояние от точки с координатами M 1 2 , - 4 , - 1 к прямой x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Решение

Первый способ начинается с записи уравнения плоскости χ , проходящей через М 1 и перпендикулярно заданной точке. Получаем выражение вида:

2 · (x - 2) - 1 · (y - (- 4)) + 5 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Нужно найти координаты точки H 1 , являющейся точкой пересечения с плоскостью χ к заданной по условию прямой. Следует переходить от канонического вида к пересекающемуся. Тогда получаем систему уравнений вида:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Необходимо вычислить систему x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 по методу Крамера, тогда получаем, что:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Отсюда имеем, что H 1 (1 , - 1 , 0) .

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Второй способ необходимо начать с поиска координат в каноническом уравнении. Для этого необходимо обратит внимание на знаменатели дроби. Тогда a → = 2 , - 1 , 5 является направляющим вектором прямой x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Необходимо вычислить длину по формуле a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 .

Понятно, что прямая x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 пересекает точку M 3 (- 1 , 0 , - 5) , отсюда имеем, что вектор с началом координат M 3 (- 1 , 0 , - 5) и его концом в точке M 1 2 , - 4 , - 1 является M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Находим векторное произведение a → = (2 , - 1 , 5) и M 3 M 1 → = (3 , - 4 , 4) .

Мы получаем выражение вида a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 · i → + 15 · j → - 8 · k → + 20 · i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

получаем, что длина векторного произведения равняется a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Имеются все данные для использования формулы вычисления расстояния от точки для прямлой, поэтому применим ее и получим:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Ответ: 11 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Введение

В этой курсовой я рассмотрел тему «расстояние от точки до прямой»: дано определение расстояния от точки до прямой, приведены графические иллюстрации. Разобрано нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости и в пространстве методом координат. После каждого блока теории показаны подробные решения примеров и задач на нахождение расстояния от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой - определение

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M 1 , не лежащая на прямой a. Проведем через точку M 1 прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H 1 . Отрезок M 1 H 1 называется перпендикуляром, проведенным из точки M 1 к прямой a.

Определение.

Расстоянием от точки M 1 до прямой a называют расстояние между точками M 1 и H 1 .

Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.

Рисунок 1

Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой - это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M 1 . Отрезок M 1 Q называют наклонной, проведенной из точки M 1 к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M 1 к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M 1 к прямой a. Это действительно так: треугольник M 1 QH 1 прямоугольный с гипотенузой M 1 Q, а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .