Formula za izračunavanje udaljenosti od tačke do prave na ravni

Ako je data jednadžba prave Ax + By + C = 0, tada se udaljenost od tačke M(M x , M y) do prave može pronaći pomoću sljedeće formule

Primjeri zadataka za izračunavanje udaljenosti od tačke do prave na ravni

Primjer 1.

Odrediti rastojanje između prave 3x + 4y - 6 = 0 i tačke M(-1, 3).

Rješenje. Zamenimo koeficijente prave i koordinate tačke u formulu

odgovor: udaljenost od tačke do prave je 0,6.

jednadžba ravni koja prolazi kroz tačke okomite na vektor Opća jednadžba ravni

Poziva se vektor različit od nule okomit na datu ravan normalni vektor (ili, ukratko, normalno ) za ovaj avion.

Neka u koordinatnom prostoru (in pravougaoni sistem koordinate) su date:

tačka ;

b) vektor različit od nule (slika 4.8, a).

Morate kreirati jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku okomito na vektor Kraj dokaza.

Hajde sada da razmotrimo Razne vrste jednačine prave na ravni.

1) Opšta jednačina ravniP .

Iz izvođenja jednačine proizilazi da je u isto vrijeme A, B I C nisu jednaki 0 ​​(objasni zašto).

Tačka pripada ravni P samo ako njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu ravni. U zavisnosti od izgleda A, B, C I D avion P zauzima jednu ili drugu poziciju:

- ravan prolazi kroz početak koordinatnog sistema, - ravan ne prolazi kroz početak koordinatnog sistema,

- ravan paralelna sa osom X,

X,

- ravan paralelna sa osom Y,

- ravan nije paralelna sa osom Y,

- ravan paralelna sa osom Z,

- ravan nije paralelna sa osom Z.

Dokažite ove tvrdnje sami.

Jednačina (6) se lako izvodi iz jednačine (5). Zaista, neka tačka leži na ravni P. Tada njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu Oduzimanjem jednačine (7) od jednačine (5) i grupisanjem pojmova, dobijamo jednačinu (6). Razmotrimo sada dva vektora sa koordinatama. Iz formule (6) slijedi da je njihov skalarni proizvod jednak nuli. Dakle, vektor je okomit na vektor. Početak i kraj posljednjeg vektora nalaze se u tačkama koje pripadaju ravni P. Dakle, vektor je okomit na ravan P. Udaljenost od tačke do ravni P, opšta jednačina koji određena formulom Dokaz ove formule je potpuno sličan dokazu formule za rastojanje između tačke i prave (vidi sliku 2).
Rice. 2. Izvesti formulu za rastojanje između ravnine i prave linije.

Zaista, udaljenost d između prave i ravni je jednaka

gdje je tačka koja leži na ravni. Odavde se, kao u predavanju br. 11, dobija gornja formula. Dvije ravni su paralelne ako su njihovi normalni vektori paralelni. Odavde dobijamo uslov paralelnosti dve ravni - koeficijenti opštih jednačina ravnina. Dve ravni su okomite ako su njihovi normalni vektori okomiti, pa stoga dobijamo uslov za okomitost dve ravni ako su poznate njihove opšte jednadžbe

Ugao f između dvije ravni jednak je kutu između njihovih normalnih vektora (vidi sliku 3) i stoga se može izračunati pomoću formule
Određivanje ugla između ravnina.

(11)

Udaljenost od tačke do ravni i metode za njeno pronalaženje

Udaljenost od tačke do avion– dužina okomice spuštene iz tačke na ovu ravan. Postoje najmanje dva načina da pronađete udaljenost od tačke do ravni: geometrijski I algebarski.

Geometrijskom metodom Najprije morate razumjeti kako se nalazi okomica iz tačke na ravan: možda leži u nekoj pogodnoj ravni, visina je u nekom prikladnom (ili ne tako prikladnom) trokutu, ili je možda ova okomica općenito visina u nekoj piramidi.

Nakon ove prve i najsloženije faze, problem se raspada na nekoliko specifičnih planimetrijskih problema (možda u različitim ravnima).

Sa algebarskom metodom da biste pronašli rastojanje od tačke do ravni, potrebno je uneti koordinatni sistem, pronaći koordinate tačke i jednačinu ravni, a zatim primeniti formulu za rastojanje od tačke do ravni.

St. Petersburg State Marine Technical University

Katedra za kompjutersku grafiku i informatičku podršku

LEKCIJA 3

PRAKTIČNI ZADATAK br. 3

Određivanje udaljenosti od tačke do prave linije.

Možete odrediti udaljenost između tačke i prave linije izvođenjem sljedećih konstrukcija (vidi sliku 1):

· iz tačke WITH spustite okomicu na pravu liniju A;

· označite tačku TO presjek okomice sa pravom linijom;

izmjeriti dužinu segmenta KS, čiji je početak data tačka, a kraj označena tačka preseka.

Fig.1. Udaljenost od tačke do prave.

Osnova za rješavanje problema ove vrste je pravilo projekcije pravi ugao: pravi ugao se projektuje bez izobličenja ako je barem jedna njegova strana paralelna s ravninom projekcije(tj. zauzima privatni položaj). Počnimo upravo s takvim slučajem i razmotrimo konstrukcije za određivanje udaljenosti od tačke WITH na pravi segment AB.

U ovom zadatku nema testnih primjera, a date su opcije za izvršavanje pojedinačnih zadataka tabela 1 i tabela 2. Rješenje problema je opisano u nastavku, a odgovarajuće konstrukcije su prikazane na slici 2.

1. Određivanje udaljenosti od tačke do određene linije.

Prvo se konstruišu projekcije tačke i segmenta. Projekcija A1B1 paralelno sa osom X. To znači da segment AB paralelno sa ravninom P2. Ako iz tačke WITH nacrtati okomito na AB, tada se pravi ugao projektuje bez izobličenja na ravan P2. Ovo vam omogućava da nacrtate okomicu iz tačke C2 do projekcije A2B2.

Padajući meni Crtež-Segment (Draw- Linija) . Postavite kursor na tačku C2 i fiksirajte je kao prvu tačku segmenta. Pomjerite kursor u smjeru normale na segment A2B2 i fiksirajte drugu tačku na njoj u trenutku kada se nagoveštaj pojavi normalno (Okomito) . Označite izgrađenu tačku K2. Omogući način rada ORTO(ORTHO) , i sa tačke K2 nacrtajte vertikalnu liniju veze dok se ne ukrsti sa projekcijom A1 B1. Označite točku raskrsnice sa K1. Dot TO, leži na segmentu AB, je presječna tačka okomice povučene iz tačke WITH, sa segmentom AB. Dakle, segment KS je tražena udaljenost od tačke do prave.

Iz konstrukcija je jasno da je segment KS zauzima opšti položaj i stoga su njegove projekcije iskrivljene. Kada govorimo o udaljenosti, uvijek mislimo prava vrijednost segmenta, izražavajući udaljenost. Stoga moramo pronaći pravu vrijednost segmenta KS, rotirajući ga u određeni položaj, npr. KS|| P1. Rezultat konstrukcija je prikazan na slici 2.

Iz konstrukcija prikazanih na slici 2, možemo zaključiti: određeni položaj prave (segment je paralelan P1 ili P2) omogućava vam da brzo izgradite projekcije udaljenosti od tačke do linije, ali su one iskrivljene.

Fig.2. Određivanje udaljenosti od tačke do određene linije.

2. Određivanje udaljenosti od tačke do prave opšti položaj.

Segment ne zauzima uvijek određenu poziciju u početnom stanju. Sa općim početnim položajem, izvode se sljedeće konstrukcije za određivanje udaljenosti od tačke do prave:

a) koristeći metodu transformacije crteža, pretvoriti segment iz opšte pozicije u određeni - to će omogućiti izradu projekcija udaljenosti (iskrivljenih);

b) koristeći ponovo metodu, pretvoriti segment koji odgovara traženoj udaljenosti u određenu poziciju - dobijamo projekciju udaljenosti po veličini jednaku stvarnoj.

Razmotrite slijed konstrukcija kako biste odredili udaljenost od tačke A segmentu u općem položaju Ned(Sl. 3).

Na prvom okretu potrebno je dobiti određenu poziciju segmenta INC. Da biste to učinili u sloju TMR potrebno je povezati tačke U 2, C2 I A2. Koristeći komandu Promjena-Rotiraj (Modify – Rotirajte) trougao V2S2A2 rotirati oko tačke C2 do pozicije na kojoj je nova projekcija B2*C2će se nalaziti striktno horizontalno (tačka WITH je nepomičan i stoga se njegova nova projekcija poklapa sa prvobitnom i oznakom C2* I C1* možda neće biti prikazano na crtežu). Kao rezultat, dobiće se nove projekcije segmenta B2*C2 i bodovi: A2*. Dalje od bodova A2* I NA 2* izvode se vertikalne, a iz tačaka U 1 I A1 horizontalne komunikacijske linije. Presjek odgovarajućih linija odredit će položaj tačaka nove horizontalne projekcije: segmenta B1*C1 i tačke A1*.

U rezultujućoj određenoj poziciji možemo konstruisati projekcije udaljenosti za ovo: iz tačke A1* normalno da B1*C1. Tačka njihovog međusobnog ukrštanja je K1*. Od ove tačke se povlači vertikalna linija veze sve dok se ne ukrsti sa projekcijom B2*C2. Tačka je označena K2*. Kao rezultat, dobijene su projekcije segmenta AK, što je tražena udaljenost od tačke A na pravi segment Ned.

Zatim je potrebno konstruirati projekcije udaljenosti u početnom stanju. Da biste to uradili iz tačke K1* zgodno je nacrtati vodoravnu liniju dok se ne siječe s projekcijom V1S1 i označite tačku raskrsnice K1. Tada se konstruiše tačka K2 na frontalnoj projekciji segmenta i izvode se projekcije A1K1 I A2K2. Kao rezultat konstrukcija dobijene su projekcije udaljenosti, ali i u početnoj i u novom parcijalnom položaju segmenta sunce, linijski segment AK zauzima opšti položaj, a to dovodi do činjenice da su sve njegove projekcije iskrivljene.

U drugoj rotaciji potrebno je rotirati segment AK do određene pozicije, što će nam omogućiti da odredimo pravu vrijednost udaljenosti - projekcije A2*K2**. Rezultat svih konstrukcija je prikazan na slici 3.

ZADATAK br. 3-1. WITH na pravu liniju određenog položaja određenog segmentom AB. Odgovor dajte u mm (Tabela 1).Uklonite projekcijska sočiva

Tabela 1

ZADATAK br. 3-2. Pronađite pravu udaljenost od tačke M na pravu liniju u općem položaju koji je dat segmentom ED. Odgovor dajte u mm (tabela 2).

tabela 2

Provjera i polaganje urađenog ZADATAKA br.3.

Ovaj članak govori o ovoj temi « udaljenost od tačke do prave », Raspravlja o definiciji udaljenosti od tačke do prave sa ilustrovanim primerima koristeći koordinatnu metodu. Svaki teorijski blok na kraju je pokazao primjere rješavanja sličnih problema.

Udaljenost od tačke do prave nalazi se određivanjem udaljenosti od tačke do tačke. Pogledajmo izbliza.

Neka postoji prava a i tačka M 1 koja ne pripada datoj pravoj. Kroz njega povlačimo pravu liniju b, koja se nalazi okomito na pravu liniju a. Uzmimo tačku preseka pravih kao H 1. Dobijamo da je M 1 H 1 okomica koja je spuštena iz tačke M 1 na pravu a.

Definicija 1

Udaljenost od tačke M 1 do prave a se naziva rastojanje između tačaka M 1 i H 1.

Postoje definicije koje uključuju dužinu okomice.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do linije je dužina okomice povučene iz date tačke na datu pravu.

Definicije su ekvivalentne. Razmotrite sliku ispod.

Poznato je da je udaljenost od tačke do prave najmanja od svih mogućih. Pogledajmo ovo na primjeru.

Ako uzmemo tačku Q koja leži na pravoj a, a koja se ne poklapa sa tačkom M 1, onda dobijamo da se segment M 1 Q naziva kosim segmentom, spušten sa M 1 na pravu a. Potrebno je naznačiti da je okomica iz tačke M 1 manja od bilo koje druge kose linije povučene od tačke do prave.

Da bismo to dokazali, razmotrimo trougao M 1 Q 1 H 1, gdje je M 1 Q 1 hipotenuza. Poznato je da je njegova dužina uvijek veća od dužine bilo koje noge. To znači da imamo M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Početni podaci za pronalaženje od tačke do prave omogućavaju vam korištenje nekoliko metoda rješenja: kroz Pitagorinu teoremu, određivanje sinusa, kosinusa, tangenta kuta i drugih. Većina zadataka ovog tipa rješava se u školi na časovima geometrije.

Kada se pri pronalaženju udaljenosti od tačke do prave može uvesti pravougaoni koordinatni sistem, onda se koristi koordinatni metod. U ovom paragrafu ćemo razmotriti dvije glavne metode za pronalaženje potrebne udaljenosti od date tačke.

Prva metoda uključuje traženje udaljenosti kao okomice povučene od M 1 do prave a. Druga metoda koristi normalnu jednadžbu prave a za pronalaženje tražene udaljenosti.

Ako na ravni postoji tačka sa koordinatama M 1 (x 1 , y 1), koja se nalazi u pravougaonom koordinatnom sistemu, pravoj liniji a, i treba da pronađete rastojanje M 1 H 1, možete izračunati na dva načine. Pogledajmo ih.

Prvi način

Ako postoje koordinate tačke H 1 jednake x 2, y 2, tada se udaljenost od tačke do prave izračunava pomoću koordinata iz formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Pređimo sada na pronalaženje koordinata tačke H 1.

Poznato je da prava linija u O x y odgovara jednačini prave linije na ravni. Uzmimo metodu definisanja prave linije a pisanjem opšte jednačine prave ili jednačine sa ugaonim koeficijentom. Sastavljamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 1 okomito na datu pravu a. Označimo pravu liniju slovom b. H 1 je tačka preseka pravih a i b, što znači da za određivanje koordinata trebate koristiti članak koji se bavi koordinatama tačaka preseka dve prave.

Vidi se da se algoritam za pronalaženje udaljenosti od date tačke M 1 (x 1, y 1) do prave a izvodi prema tačkama:

Definicija 3

• nalaženje opšte jednačine prave a, koja ima oblik A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, ili jednačine sa ugaonim koeficijentom, koja ima oblik y = k 1 x + b 1;
• dobijanje opšte jednačine prave b, koja ima oblik A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili jednačine sa ugaonim koeficijentom y = k 2 x + b 2, ako prava b seče tačku M 1 i okomita je na data linija a;
• određivanje koordinata x 2, y 2 tačke H 1, koja je tačka preseka a i b, u tu svrhu se rešava sistem linearne jednačine A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• izračunavanje potrebne udaljenosti od tačke do prave pomoću formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Drugi način

Teorema može pomoći u odgovoru na pitanje pronalaženja udaljenosti od date tačke do date prave linije na ravni.

Teorema

Pravougaoni koordinatni sistem ima O x y ima tačku M 1 (x 1, y 1), iz koje se povlači prava linija u ravan, datu normalnom jednačinom ravni, koja ima oblik cos α x + cos β y - p = 0, jednako Apsolutna vrijednost dobijena na lijevoj strani normalne jednadžbe prave, izračunata po x = x 1, y = y 1, znači da je M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - str.

Dokaz

Prava a odgovara normalnoj jednačini ravni, koja ima oblik cos α x + cos β y - p = 0, tada se n → = (cos α, cos β) smatra normalnim vektorom prave a na udaljenosti od ishodište u liniju a sa p jedinicama . Potrebno je prikazati sve podatke na slici, dodati tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1), gde je vektor radijusa tačke M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Od tačke do prave je potrebno povući pravu liniju koju označavamo sa M 1 H 1 . Potrebno je prikazati projekcije M 2 i H 2 tačaka M 1 i H 2 na pravu koja prolazi kroz tačku O sa vektorom pravca oblika n → = (cos α, cos β), i označiti numerička projekcija vektora kao O M 1 → = (x 1, y 1) na pravac n → = (cos α , cos β) kao n p n → O M 1 → .

Varijacije zavise od lokacije same M1 tačke. Pogledajmo sliku ispod.

Rezultate fiksiramo pomoću formule M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Zatim donosimo jednakost u ovaj oblik M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p da bismo dobili n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Skalarni proizvod vektora rezultira transformiranom formulom oblika n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , što je proizvod u koordinatnom obliku oblika n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . To znači da dobijamo da je n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Iz toga slijedi da je M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teorema je dokazana.

Otkrivamo da da biste pronašli udaljenost od tačke M 1 (x 1 , y 1) do prave linije a na ravni, morate izvršiti nekoliko radnji:

Definicija 4

• dobijanje normalne jednačine prave a cos α · x + cos β · y - p = 0, pod uslovom da nije u zadatku;
• izračunavanje izraza cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, pri čemu rezultirajuća vrijednost uzima M 1 H 1.

Primijenimo ove metode za rješavanje problema s pronalaženjem udaljenosti od tačke do ravni.

Primjer 1

Pronađite udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 1, 2) do prave 4 x - 3 y + 35 = 0.

Rješenje

Koristimo prvi metod za rješavanje.

Da biste to učinili, potrebno je pronaći opštu jednačinu prave b, koja prolazi kroz datu tačku M 1 (- 1, 2), okomito na pravu 4 x - 3 y + 35 = 0. Iz uslova je jasno da je prava b okomita na pravu a, tada njen vektor pravca ima koordinate jednake (4, - 3). Tako imamo priliku da zapišemo kanonsku jednačinu prave b na ravni, pošto postoje koordinate tačke M 1, koja pripada pravoj b. Odredimo koordinate usmjeravajućeg vektora prave b. Dobijamo da je x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Rezultirajuća kanonska jednačina se mora pretvoriti u opštu. Onda to shvatamo

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Nađimo koordinate tačaka presjeka pravih koje ćemo uzeti kao oznaku H 1. Transformacije izgledaju ovako:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Iz gore napisanog imamo da su koordinate tačke H 1 jednake (- 5; 5).

Potrebno je izračunati udaljenost od tačke M 1 do prave a. Imamo da su koordinate tačaka M 1 (- 1, 2) i H 1 (- 5, 5), zatim ih zamjenjujemo u formulu da pronađemo udaljenost i dobijemo to

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Drugo rješenje.

Za rješavanje na drugi način potrebno je dobiti normalnu jednačinu prave. Izračunavamo vrijednost faktora normalizacije i množimo obje strane jednačine 4 x - 3 y + 35 = 0. Odavde dobijamo da je faktor normalizacije jednak - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, a normalna jednačina će biti oblika - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Prema algoritmu proračuna, potrebno je dobiti normalnu jednadžbu linije i izračunati je sa vrijednostima x = - 1, y = 2. Onda to shvatamo

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Iz ovoga dobijamo da rastojanje od tačke M 1 (- 1, 2) do date prave 4 x - 3 y + 35 = 0 ima vrednost - 5 = 5.

odgovor: 5 .

Jasno je da u ovu metodu Važno je koristiti normalnu jednačinu prave, jer je ova metoda najkraća. Ali prva metoda je zgodna jer je dosljedna i logična, iako ima više računskih bodova.

Primjer 2

Na ravni se nalazi pravougaoni koordinatni sistem O x y sa tačkom M 1 (8, 0) i pravom linijom y = 1 2 x + 1. Pronađite udaljenost od date tačke do prave linije.

Rješenje

Prvo rješenje uključuje livenje zadata jednačina sa nagibom jednačine opšti pogled. Da pojednostavimo, možete to učiniti drugačije.

Ako proizvod ugaonih koeficijenata okomitih linija ima vrijednost - 1, tada kutni koeficijent prave okomite na datu jedinicu y = 1 2 x + 1 ima vrijednost 2. Sada dobijamo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku sa koordinatama M 1 (8, 0). Imamo da je y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nastavljamo sa pronalaženjem koordinata tačke H 1, odnosno tačaka preseka y = - 2 x + 16 i y = 1 2 x + 1. Sastavljamo sistem jednačina i dobijamo:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Iz toga slijedi da je udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (8, 0) do prave y = 1 2 x + 1 jednaka udaljenosti od početne i krajnje tačke sa koordinatama M 1 (8, 0) i H 1 (6, 4) . Izračunajmo i nađemo da je M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Rješenje na drugi način je prelazak sa jednadžbe s koeficijentom na njen normalan oblik. Odnosno, dobijamo y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, tada će vrijednost faktora normalizacije biti - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Iz toga slijedi da normalna jednačina prave ima oblik - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Izvršimo proračun od tačke M 1 8, 0 do prave oblika - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Dobijamo:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

odgovor: 2 5 .

Primjer 3

Potrebno je izračunati udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 2, 4) do pravih 2 x - 3 = 0 i y + 1 = 0.

Rješenje

Dobijamo jednačinu normalnog oblika prave linije 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Zatim prelazimo na izračunavanje udaljenosti od tačke M 1 - 2, 4 do prave linije x - 3 2 = 0. Dobijamo:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Jednačina prave linije y + 1 = 0 ima faktor normalizacije sa vrijednošću jednakom -1. To znači da će jednačina imati oblik - y - 1 = 0. Nastavljamo s izračunavanjem udaljenosti od tačke M 1 (- 2, 4) do prave linije - y - 1 = 0. Nalazimo da je jednako - 4 - 1 = 5.

odgovor: 3 1 2 i 5.

Pogledajmo bliže pronalaženje udaljenosti od date tačke na ravni do koordinatnih osa O x i O y.

U pravougaonom koordinatnom sistemu, O osa y ima jednačinu prave linije, koja je nepotpuna i ima oblik x = 0, a O x - y = 0. Jednačine su normalne za koordinatne ose, tada je potrebno pronaći rastojanje od tačke sa koordinatama M 1 x 1, y 1 do pravih. To se radi na osnovu formula M 1 H 1 = x 1 i M 1 H 1 = y 1. Pogledajmo sliku ispod.

Primjer 4

Pronađite udaljenost od tačke M 1 (6, - 7) do koordinatnih linija koje se nalaze u ravni O x y.

Rješenje

Budući da se jednadžba y = 0 odnosi na pravu liniju O x, možete pronaći udaljenost od M 1 sa datim koordinatama do ove prave linije koristeći formulu. Dobijamo da je 6 = 6.

Budući da se jednadžba x = 0 odnosi na pravu liniju O y, možete pronaći udaljenost od M 1 do ove prave linije koristeći formulu. Tada dobijamo da je - 7 = 7.

odgovor: udaljenost od M 1 do O x ima vrijednost 6, a od M 1 do O y vrijednost 7.

Kada u trodimenzionalnom prostoru imamo tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1), potrebno je pronaći rastojanje od tačke A do prave a.

Razmotrimo dvije metode koje vam omogućavaju da izračunate udaljenost od tačke do prave linije a koja se nalazi u prostoru. Prvi slučaj razmatra udaljenost od tačke M 1 do prave, pri čemu se tačka na pravoj naziva H 1 i osnova je okomice povučene iz tačke M 1 na pravu a. Drugi slučaj sugeriše da se tačke ove ravni moraju tražiti kao visina paralelograma.

Prvi način

Iz definicije imamo da je rastojanje od tačke M 1 koja se nalazi na pravoj liniji a dužina okomice M 1 H 1, onda dobijamo da sa pronađenim koordinatama tačke H 1 nalazimo rastojanje između M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) i H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , na osnovu formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Nalazimo da cijelo rješenje ide ka pronalaženju koordinata osnove okomice povučene iz M 1 na pravu a. To se radi na sledeći način: H 1 je tačka u kojoj se prava linija a seče sa ravni koja prolazi kroz datu tačku.

To znači da algoritam za određivanje udaljenosti od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do linije a u prostoru podrazumeva nekoliko tačaka:

Definicija 5

• sastavljanje jednačine ravnine χ kao jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku koja se nalazi okomito na pravu;
• određivanje koordinata (x 2, y 2, z 2) koje pripadaju tački H 1, koja je tačka preseka prave a i ravni χ;
• izračunavanje udaljenosti od tačke do prave pomoću formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Drugi način

Iz uslova imamo pravu a, tada možemo odrediti vektor pravca a → = a x, a y, a z sa koordinatama x 3, y 3, z 3 i određenom tačkom M 3 koja pripada pravoj a. Ako imate koordinate tačaka M 1 (x 1, y 1) i M 3 x 3, y 3, z 3, možete izračunati M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Vektore a → = a x , a y , a z i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 trebamo izdvojiti iz tačke M 3 , povezati ih i dobiti paralelogramsku figuru . M 1 H 1 je visina paralelograma.

Pogledajmo sliku ispod.

Imamo da je visina M 1 H 1 tražena udaljenost, onda je potrebno pronaći pomoću formule. Odnosno, tražimo M 1 H 1.

Označimo površinu paralelograma slovom S, pronađeno formulom pomoću vektora a → = (a x, a y, a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Formula površine je S = a → × M 3 M 1 → . Takođe, površina figure je jednaka proizvodu dužina njenih stranica i visine, dobijamo da je S = a → · M 1 H 1 sa a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, što je dužina vektora a → = (a x, a y, a z), bitak jednaka strana paralelogram. To znači da je M 1 H 1 rastojanje od tačke do prave. Nalazi se pomoću formule M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Da biste pronašli udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do prave linije a u prostoru, potrebno je izvršiti nekoliko koraka algoritma:

Definicija 6

• određivanje vektora pravca prave a - a → = (a x, a y, a z);
• izračunavanje dužine vektora pravca a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• dobijanje koordinata x 3 , y 3 , z 3 koje pripadaju tački M 3 koja se nalazi na pravoj liniji a;
• izračunavanje koordinata vektora M 3 M 1 → ;
• nalaz vektorski proizvod vektori a → (a x , a y , a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 kao a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 da dobijemo dužinu koristeći formulu a → × M 3 M 1 → ;
• izračunavanje udaljenosti od tačke do prave M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Rješavanje problema nalaženja udaljenosti od date tačke do date prave u prostoru

Primjer 5

Pronađite udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 2, - 4, - 1 do prave x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Rješenje

Prva metoda počinje pisanjem jednačine ravni χ koja prolazi kroz M 1 i okomita je na datu tačku. Dobijamo izraz kao:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Potrebno je pronaći koordinate tačke H 1, koja je tačka preseka sa ravninom χ do prave određene uslovom. Trebalo bi da pređete sa kanonskog pogleda na onaj koji se ukršta. Tada dobijamo sistem jednačina oblika:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Potrebno je izračunati sistem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramerovom metodom, onda dobijamo:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z - ∆ 60 = 0

Odavde imamo da je H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Druga metoda mora početi traženjem koordinata u kanonskoj jednadžbi. Da biste to učinili, morate obratiti pažnju na nazivnike razlomka. Tada je a → = 2, - 1, 5 vektor pravca x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Potrebno je izračunati dužinu koristeći formulu a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jasno je da prava linija x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 siječe tačku M 3 (- 1 , 0 , - 5), pa imamo da je vektor sa ishodištem M 3 (- 1 , 0 , - 5) i njegov kraj u tački M 1 2, - 4, - 1 je M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Naći vektorski proizvod a → = (2, - 1, 5) i M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Dobijamo izraz oblika a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

nalazimo da je dužina vektorskog proizvoda jednaka a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Imamo sve podatke da koristimo formulu za izračunavanje udaljenosti od tačke za pravu liniju, pa hajde da je primenimo i dobijemo:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

odgovor: 11 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Uvod

U ovom nastavnom radu bavio sam se temom „udaljenost od tačke do prave“: data je definicija udaljenosti od tačke do prave i date su grafičke ilustracije. Raspravlja se o pronalaženju udaljenosti od tačke do prave na ravni iu prostoru pomoću metode koordinata. Nakon svakog bloka teorije prikazana su detaljna rješenja primjera i zadataka za određivanje udaljenosti od tačke do prave.

Udaljenost od tačke do prave - definicija

Neka su prava a i tačka M 1 koja ne leži na pravoj a date na ravni ili u trodimenzionalnom prostoru. Povučemo pravu b kroz tačku M 1 okomitu na pravu a. Označimo točku presjeka pravih a i b kao H 1 . Segment M 1 H 1 naziva se okomica povučena iz tačke M 1 na pravu a.

Definicija.

Udaljenost od tačke M 1 do prave a je rastojanje između tačaka M 1 i H 1.

Međutim, najčešća definicija udaljenosti od tačke do prave je dužina okomice.

Definicija.

Udaljenost od tačke do prave je dužina okomice povučene od date tačke do date prave.

Ova definicija je ekvivalentna prvoj definiciji udaljenosti od tačke do prave.

Slika 1

Imajte na umu da je udaljenost od tačke do prave najmanja od udaljenosti od ove tačke do tačaka na datoj liniji. Hajde da to pokažemo.

Uzmimo tačku Q na pravoj a koja se ne poklapa sa tačkom M 1 . Segment M 1 Q naziva se kosi segment povučen iz tačke M 1 do prave a. Moramo pokazati da je okomica povučena iz tačke M 1 na pravu a manja od bilo koje kose povučene iz tačke M 1 na pravu a. Ovo je tačno: trougao M 1 QH 1 je pravougaonik sa hipotenuzom M 1 Q, pa je dužina hipotenuze uvek veća od dužine bilo koje katete.