Bilo bi korisno da svaki učenik koji se priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike ponovi temu „Pronalaženje ugla između pravih“. Kao što pokazuje statistika, prilikom polaganja testa za certifikaciju, zadaci u ovom dijelu stereometrije uzrokuju poteškoće velika količina studenti. Istovremeno, zadaci koji zahtijevaju pronalaženje ugla između pravih nalaze se na Jedinstvenom državnom ispitu i na osnovnom i na specijalizovanom nivou. To znači da bi svi trebali biti u mogućnosti da ih riješe.
Osnovni momenti
Postoje 4 vrste u prostoru relativnu poziciju ravno Mogu da se poklapaju, ukrštaju, budu paralelne ili seku. Ugao između njih može biti oštar ili ravan.
Da bi pronašli ugao između linija na Jedinstvenom državnom ispitu ili, na primjer, u rješavanju, školarci u Moskvi i drugim gradovima mogu koristiti nekoliko načina za rješavanje problema u ovom dijelu stereometrije. Zadatak možete izvršiti pomoću klasičnih konstrukcija. Da biste to učinili, vrijedi naučiti osnovne aksiome i teoreme stereometrije. Učenik treba da bude sposoban da logički rasuđuje i kreira crteže kako bi zadatak doveo do planimetrijskog problema.
Također možete koristiti metodu koordinatnog vektora koristeći jednostavne formule, pravila i algoritame. Glavna stvar u ovom slučaju je ispravno izvršiti sve proračune. Obrazovni projekat Shkolkovo pomoći će vam da usavršite svoje vještine rješavanja problema u stereometriji i drugim dijelovima školskog kursa.
Problem 1
Pronađite kosinus ugla između pravih $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ i $\left\( \begin(niz)(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(niz)\desno $.
Neka su u prostoru date dvije linije: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ i $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Odaberimo proizvoljnu tačku u prostoru i povučemo kroz nju dvije pomoćne linije paralelne sa podacima. Ugao između ovih linija je bilo koji od njih susjedni uglovi, formiran od pomoćnih linija. Kosinus jednog od uglova između pravih može se naći pomoću dobro poznate formule $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Ako je vrijednost $\cos \phi >0$, onda se dobija oštar ugao između linija, ako je $\cos \phi
Kanonske jednadžbe prvog reda: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.
Kanonske jednadžbe druge linije mogu se dobiti iz parametarskih:
\ \ \
Dakle, kanonske jednadžbe ove linije su: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.
Računamo:
\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ lijevo(-3\desno)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\desno)^(2) +3^(2) ) = \ frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \približno 0,9449.\]
Problem 2
Prva linija prolazi kroz date tačke $A\left(2,-4,-1\right)$ i $B\left(-3,5,6\right)$, druga prava prolazi kroz date tačke $ C\levo (1,-2,8\desno)$ i $D\left(6,7,-2\desno)$. Pronađite udaljenost između ovih linija.
Neka je određena prava okomita na prave $AB$ i $CD$ i siječe ih u tačkama $M$ i $N$, redom. Pod ovim uslovima, dužina segmenta $MN$ jednaka je udaljenosti između pravih $AB$ i $CD$.
Konstruišemo vektor $\overline(AB)$:
\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]
Neka segment koji prikazuje rastojanje između pravih prolazi kroz tačku $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ na pravoj $AB$.
Konstruišemo vektor $\overline(AM)$:
\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\desno)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\desno)\cdot \ bar(j)+\left(z_(M) -\left(-1\desno)\desno)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\desno)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\desno)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\desno)\cdot \bar(k).\]
Vektori $\overline(AB)$ i $\overline(AM)$ su isti, stoga su kolinearni.
Poznato je da ako su vektori $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ i $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ su kolinearni, tada su njihove koordinate su proporcionalni, onda postoji $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\ it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.
$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, gdje je $m $ je rezultat dijeljenja.
Odavde dobijamo: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.
Konačno dobijamo izraze za koordinate tačke $M$:
Konstruišemo vektor $\overline(CD)$:
\[\overline(CD)=\left(6-1\desno)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ lijevo(-2-8\desno)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]
Neka segment koji predstavlja rastojanje između pravih prolazi kroz tačku $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ na pravoj $CD$.
Konstruišemo vektor $\overline(CN)$:
\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\desno)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\desno)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\desno)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\desno)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\desno)\cdot \bar(k).\]
Vektori $\overline(CD)$ i $\overline(CN)$ se poklapaju, stoga su kolinearni. Primjenjujemo uvjet kolinearnosti vektora:
$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, gdje je $n $ je rezultat dijeljenja.
Odavde dobijamo: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.
Konačno dobijamo izraze za koordinate tačke $N$:
Konstruišemo vektor $\overline(MN)$:
\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \desno)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \desno)\cdot \bar (j)+\levo(z_(N) -z_(M) \desno)\cdot \bar(k).\]
Zamijenjujemo izraze za koordinate tačaka $M$ i $N$:
\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\desno)\desno)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\desno)\desno)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\desno)\desno)\cdot \bar(k).\]
Po završetku koraka dobijamo:
\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\desno)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\desno )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\desno)\cdot \bar(k).\]
Pošto su prave $AB$ i $MN$ okomite, skalarni proizvod odgovarajućih vektora jednak je nuli, odnosno $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:
\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\desno)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\desno)+7\cdot \ lijevo(9-10\cdot n-7\cdot m\desno)=0;\] \
Po završetku koraka dobijamo prvu jednačinu za određivanje $m$ i $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.
Pošto su prave $CD$ i $MN$ okomite, skalarni proizvod odgovarajućih vektora jednak je nuli, odnosno $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:
\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]
Po završetku koraka dobijamo drugu jednačinu za određivanje $m$ i $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.
$m$ i $n$ pronalazimo rješavanjem sistema jednačina $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206) \cdot n =77)\end(niz)\right$.
Primjenjujemo Cramerovu metodu:
\[\Delta =\left|\begin(niz)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(niz)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(niz)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(niz)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(array)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(array)\right|=10731;\ ]\
Pronađite koordinate tačaka $M$ i $N$:
\ \
konačno:
Konačno, pišemo vektor $\overline(MN)$:
$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\left (4.618-2.6701\desno)\cdot \bar(k)$ ili $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar(j)+1,9479\cdot \bar(k)$ .
Udaljenost između linija $AB$ i $CD$ je dužina vektora $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \ cca 3,8565$ lin. jedinice
UGAO IZMEĐU RAVNI
Razmotrimo dvije ravni α 1 i α 2, definirane jednadžbama:
Ispod ugao između dvije ravni razumjet ćemo jedan od diedarskih uglova koje formiraju ove ravni. Očigledno je da je ugao između vektora normale i ravni α 1 i α 2 jednak jednom od naznačenih susednih diedarskih uglova ili 
. Zbog toga 
. Jer 
I 
, To
.
Primjer. Odredite ugao između ravnina x+2y-3z+4=0 i 2 x+3y+z+8=0.
Uslov za paralelnost dve ravni.
Dvije ravni α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori paralelni, te stoga 
.
Dakle, dvije ravni su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti odgovarajućih koordinata proporcionalni:
ili
Uslov okomitosti ravnina.
Jasno je da su dvije ravni okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, i stoga, ili .
Dakle, .
Primjeri.
PRAVO U PROSTOR.
VEKTORSKA JEDNAČINA ZA PRAVU.
PARAMETRIČKE DIREKTNE JEDNAČINE
Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke M 1 i vektor paralelan ovoj pravoj.
Poziva se vektor paralelan pravoj vodiči vektor ove linije.
Dakle, neka prava linija l prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1), koja leži na pravoj paralelnoj vektoru .
Razmotrite proizvoljnu tačku M(x,y,z) na pravoj liniji. Iz slike je jasno da 
.
Vektori i su kolinearni, tako da postoji takav broj t, šta , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju numeričku vrijednost ovisno o poziciji točke M na pravoj liniji. Faktor t naziva parametar. Nakon što smo odredili radijus vektore tačaka M 1 i M odnosno, kroz i , Dobijamo . Ova jednačina se zove vektor jednačina prave linije. To pokazuje da za svaku vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke tačke M, leži na pravoj liniji.
Zapišimo ovu jednačinu u koordinatnom obliku. Obratite pažnju da, 
i odavde
Rezultirajuće jednačine se nazivaju parametarski jednačine prave linije.
Prilikom promjene parametra t promene koordinata x, y I z i tačka M kreće se pravolinijski.
KANONIČKE JEDNAČINE DIREKTNE
Neka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – tačka koja leži na pravoj liniji l, And 
je njegov vektor smjera. Uzmimo opet proizvoljnu tačku na pravoj M(x,y,z) i razmotrimo vektor .
Jasno je da su i vektori kolinearni, pa njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle,
– kanonski jednačine prave linije.
Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednačine prave mogu dobiti iz parametarskih eliminacijom parametra t. Zaista, iz parametarskih jednačina dobijamo 
ili .
Primjer. Zapišite jednačinu prave 
u parametarskom obliku.
Označimo 
, odavde x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Napomena 2. Neka je prava okomita na jednu od koordinatnih osa, na primjer na os Ox. Tada je vektor smjera prave okomit Ox, dakle, m=0. Shodno tome, parametarske jednačine prave će poprimiti oblik
Isključivanje parametra iz jednačina t, dobijamo jednadžbe prave u obliku
Međutim, i u ovom slučaju pristajemo da formalno zapišemo kanonske jednačine prave u obliku 
. Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, to znači da je prava okomita na odgovarajuću koordinatnu osu.
Slično kanonskim jednačinama 
odgovara pravoj liniji okomitoj na osi Ox I Oy ili paralelno sa osom Oz.
Primjeri.
OPĆE JEDNAČINE PRAVE KAO PRAVE PRESEKA DVIJE RAVNE
Kroz svaku pravu liniju u svemiru postoji bezbroj ravni. Bilo koja dva od njih, ukrštajući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednačine bilo koje dvije takve ravni, razmatrane zajedno, predstavljaju jednačine ove prave.
Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravni date općim jednačinama
odrediti pravu liniju njihovog preseka. Ove jednačine se nazivaju opšte jednačine ravno.
Primjeri.
Konstruirajte pravu zadanu jednadžbama 
Za konstruiranje prave linije dovoljno je pronaći bilo koje dvije njene tačke. Najlakši način je da odaberete tačke preseka prave linije sa koordinatnim ravnima. Na primjer, tačka preseka sa ravninom xOy dobijamo iz jednačina prave linije, pod pretpostavkom z= 0:
Nakon što smo riješili ovaj sistem, nalazimo poentu M 1 (1;2;0).
Slično, pod pretpostavkom y= 0, dobijamo tačku preseka prave sa ravninom xOz:
Od opštih jednačina prave linije može se preći na njene kanonske ili parametarske jednačine. Da biste to učinili, morate pronaći neku tačku M 1 na pravoj liniji i vektor smjera prave linije.
Koordinate tačaka M 1 dobijamo iz ovog sistema jednačina, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora 
I 
. Dakle, izvan vektora smjera prave linije l možeš to uzeti vektorski proizvod normalni vektori:
.
Primjer. Olovo opšte jednačine ravno 
kanonskom obliku.
Nađimo tačku koja leži na pravoj. Da bismo to učinili, proizvoljno biramo jednu od koordinata, na primjer, y= 0 i riješi sistem jednačina:
Vektori normale ravni koje definiraju pravu imaju koordinate 
Stoga će vektor smjera biti ravan
. dakle, l: 
.
UGAO IZMEĐU RAVNIH
Ugao između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.
Neka su u prostoru date dvije linije:
Očigledno, ugao φ između pravih linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda koristeći formulu za kosinus kuta između vektora dobivamo
A. Neka su date dvije prave, kao što je navedeno u poglavlju 1, formiraju različite pozitivne i negativne uglove, koji mogu biti ili oštri ili tupi. Poznavajući jedan od ovih uglova, lako možemo pronaći bilo koji drugi.
Inače, za sve ove uglove numerička vrijednost tangente je ista, razlika može biti samo u predznaku
Jednačine linija. Brojevi su projekcije vektora pravca prve i druge prave linije. Ugao između ovih vektora jednak je jednom od uglova formiranih pravim linijama. Stoga se problem svodi na određivanje ugla između vektora
Radi jednostavnosti, možemo se složiti da je ugao između dve prave linije oštar pozitivan ugao(kao, na primjer, na slici 53).
Tada će tangenta ovog ugla uvijek biti pozitivna. Dakle, ako postoji znak minus na desnoj strani formule (1), onda ga moramo odbaciti, tj. sačuvati samo apsolutnu vrijednost.
Primjer. Odredite ugao između pravih linija
Prema formuli (1) imamo
With. Ako se naznači koja je strana ugla njegov početak, a koja kraj, onda, uvijek računajući smjer ugla u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, možemo izdvojiti nešto više iz formule (1). Kao što je lako vidjeti sa Sl. 53, znak dobijen na desnoj strani formule (1) će pokazati kakav ugao - oštar ili tup - formira druga prava linija sa prvom.
(Zaista, sa slike 53 vidimo da je ugao između prvog i drugog vektora pravca ili jednak željenom uglu između pravih linija, ili se od njega razlikuje za ±180°.)
d. Ako su prave paralelne, onda su njihovi vektori pravca paralelni Primjenom uvjeta paralelnosti dva vektora, dobivamo!
Ovo je neophodan i dovoljan uslov za paralelnost dve prave.
Primjer. Direktno
su paralelne jer
e. Ako su linije okomite onda su i njihovi vektori pravca okomiti. Primjenom uvjeta okomitosti dva vektora dobijamo uvjet okomitosti dvije prave, tj.
Primjer. Direktno
su okomite zbog činjenice da
U vezi sa uslovima paralelizma i okomitosti, rešićemo sledeća dva problema.
f. Povucite pravu kroz tačku paralelnu datoj pravoj
Rješenje se izvodi ovako. Pošto je željena prava paralelna ovoj, onda za njen vektor pravca možemo uzeti isti kao i data prava, tj. vektor sa projekcijama A i B. I tada će jednačina željene prave biti zapisana u obrazac (§ 1)
Primjer. Jednačina prave koja prolazi kroz tačku (1; 3) paralelnu sa pravom
biće sledeće!
g. Povucite pravu kroz tačku okomitu na datu pravu
Ovdje više nije prikladno uzeti vektor sa projekcijama A i kao vodeći vektor, već je potrebno uzeti vektor okomit na njega. Projekcije ovog vektora se stoga moraju birati prema uvjetu okomitosti oba vektora, tj. prema uvjetu
Ovaj uslov se može ispuniti na bezbroj načina, pošto je ovde jedna jednačina sa dve nepoznanice, ali najlakše je uzeti ili Tada će jednačina željene linije biti zapisana u obliku.
Primjer. Jednačina prave koja prolazi kroz tačku (-7; 2) u okomitoj liniji
bit će sljedeće (prema drugoj formuli)!
h. U slučaju kada su linije date jednačinama oblika
prepisujući ove jednačine drugačije, imamo
Definicija. Ako su date dvije prave y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada će oštar ugao između ovih pravih biti definiran kao
Dvije prave su paralelne ako je k 1 = k 2. Dvije prave su okomite ako je k 1 = -1/ k 2.
Teorema. Prave Ax + Bu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelne kada su koeficijenti A 1 = λA, B 1 = λB proporcionalni. Ako je i C 1 = λC, tada se linije poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se kao rešenje sistema jednačina ovih pravih.
Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku
Okomito na datu pravu
Definicija. Prava linija koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomita na pravu liniju y = kx + b predstavljena je jednadžbom:
Udaljenost od tačke do linije
Teorema. Ako je data tačka M(x 0, y 0), tada se udaljenost do prave Ax + Bu + C = 0 određuje kao
.
Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu liniju. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:
(1)
Koordinate x 1 i y 1 se mogu naći rješavanjem sistema jednadžbi:
Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na datu pravu. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
tada, rješavanjem, dobijamo:
Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:
Teorema je dokazana.
Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Primjer. Pokažite da su prave 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomite.
Rješenje. Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, dakle, prave su okomite.
Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Naći jednadžbu visine povučene iz vrha C.
Rješenje. Pronalazimo jednačinu stranice AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Tražena jednačina visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: 
odakle je b = 17. Ukupno: . 
Odgovor: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku u datom pravcu. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke. Ugao između dvije prave linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave. Određivanje tačke preseka dve prave
1. Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku A(x 1 , y 1) u datom pravcu, određenom nagibom k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Ova jednačina definira olovku linija koje prolaze kroz tačku A(x 1 , y 1), koji se naziva centar snopa.
2. Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke: A(x 1 , y 1) i B(x 2 , y 2), napisano ovako:
Ugaoni koeficijent prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke određuje se formulom
3. Ugao između pravih linija A I B je ugao za koji se prva prava linija mora rotirati A oko tačke preseka ovih linija u smeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa drugom linijom B. Ako su dvije prave date jednadžbama sa nagibom
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
tada je ugao između njih određen formulom
Treba napomenuti da se u brojiocu razlomka nagib prve linije oduzima od nagiba druge linije.
Ako su jednačine prave date u opšti pogled
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
ugao između njih određen je formulom
4. Uslovi za paralelizam dve prave:
a) Ako su prave date jednadžbama (4) sa ugaonim koeficijentom, tada je neophodan i dovoljan uslov za njihov paralelizam jednakost njihovih ugaonih koeficijenata:
k 1 = k 2 . (8)
b) Za slučaj kada su prave date jednačinama u opštem obliku (6), neophodan i dovoljan uslov za njihov paralelizam je da su koeficijenti za odgovarajuće strujne koordinate u njihovim jednačinama proporcionalni, tj.
5. Uslovi za okomitost dvije prave:
a) U slučaju kada su prave date jednačinama (4) sa ugaonim koeficijentom, neophodan i dovoljan uslov za njihovu okomitost je da padinama su inverzne veličine i suprotne po predznaku, tj.
Ovaj uslov se takođe može napisati u obliku
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Ako su jednadžbe pravih date u opštem obliku (6), onda je uslov za njihovu okomitost (neophodan i dovoljan) da zadovolji jednakost
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Koordinate tačke preseka dve prave nalaze se rešavanjem sistema jednačina (6). Prave (6) se sijeku ako i samo ako
1. Napišite jednadžbe pravih koje prolaze kroz tačku M, od kojih je jedna paralelna, a druga okomita na datu pravu l.