Predavanja iz algebre i geometrije. Semestar 1.
Predavanje 2. Polje kompleksnih brojeva.
Poglavlje 2. Polje kompleksnih brojeva.
klauzula 1. Konstrukcija polja kompleksnih brojeva.
Neka je Dekartov kvadrat polja realnih brojeva, tj. 
– skup uređenih parova realnih brojeva. Definirajmo dvije interne binarne algebarske operacije na ovom skupu – zbrajanje i množenje prema sljedećim pravilima: 
stavimo po definiciji
(1)
(2)
.
Očigledno, zbir i proizvod dva para od 
opet ima par mnogo 
, jer zbir, proizvod i razlika realnih brojeva su realni brojevi. dakle, 
– algebarska struktura sa dvije interne binarne algebarske operacije.
Teorema. 
- polje.
Dokaz. Uzastopno provjeravamo ispunjenje svih devet aksioma polja.
1. Zakon asocijativnosti u vezi sa sabiranjem:
.
Neka . Zatim, po definiciji sabiranja parova 
i .
Na drugoj strani, 
i .
Pošto je R polje, sabiranje realnih brojeva je u skladu sa zakonom asocijativnosti i stoga . To implicira jednakost parova, a iz toga, pak, slijedi jednakost itd.
2. Postojanje nultog elementa:
.
Označimo 
, gdje je 0 nulti element polja realnih brojeva, tj. broj nula. Neka 
– proizvoljan par 
. Zatim, po definiciji zbrajanja parova i . dakle, 
i par 
postoji nulti element u odnosu na operaciju sabiranja, čije postojanje je trebalo dokazati.
3. Postojanje suprotnog elementa:
.
Neka 
– proizvoljan par 
.
Pokažimo da je suprotni element par
. Zaista, po definiciji
dodavanjem parova imamo:
I . To implicira jednakost itd.
4. Zakon komutativnosti u odnosu na sabiranje:
.
Neka 
– dva proizvoljna para. Tada, po definiciji sabiranja parova, imamo:
I . Kako je R polje, zakon komutativnog sabiranja i 
,
, što implicira jednakost parova: i 
, itd.
5. Zakon asocijativnosti u pogledu množenja:
.
Neka . Zatim, po definiciji množenja parova
,
I
Rezultat su bili jednaki parovi. dakle, 
, itd.
6. Postojanje jednog elementa:
.
Recimo po definiciji 
i pokaži to 
– jedinični element u odnosu na množenje. Neka 
. Zatim, po definiciji množenja parova , . dakle, 
, itd.
7. Postojanje inverznog elementa:
.
Neka 
I 
, tj. brojevi a i b nisu u isto vrijeme jednaki nuli, što znači 
. Recimo po definiciji 
i pokazati da ovaj element zadovoljava jednakost 
. Zaista, po definiciji množenja parova 
,
Tako smo provjerili jednakost 
, itd.
8. Zakon komutativnosti u pogledu množenja:
.
Neka 
– dva proizvoljna para. Zatim, po definiciji množenja parova
Pošto je R polje, množenje i sabiranje realnih brojeva pokorava se zakonu komutativnosti i
,
, što implicira jednakost 
, itd.
9. Zakon distributivnosti množenja u odnosu na sabiranje:
I 
.
Neka . Zatim, po definiciji sabiranja i množenja parova
,
Ovdje smo koristili zakon distributivnosti množenja u odnosu na sabiranje, kojem realni brojevi poštuju. Isto tako,
,
I
Odavde to vidimo 
.
Da bismo dokazali drugi zakon distributivnosti, koristićemo upravo dokazani zakon distributivnosti i zakon komutativnosti u odnosu na množenje, što smo takođe već dokazali:
Teorema je dokazana.
Definicija. Polje 
se naziva polje kompleksnih brojeva, a njegovi elementi - uređeni parovi realnih brojeva - nazivaju se kompleksnim brojevima.
klauzula 2. Algebarski oblik pisanja kompleksnih brojeva.
Označimo sa 
– podskup polja 
, koji se sastoji od onih parova realnih brojeva čiji je drugi element nula. Neka 
. Zatim, prema pravilima sabiranja i množenja parova 
,
. Ovo nam daje priliku da identifikujemo takve parove sa njihovim prvim elementom i samim skupom 
sa setom R.
Recimo po definiciji 
. Stoga, posebno, 
,
.
Za par 
Hajde da uvedemo posebnu notaciju. Recimo po definiciji 
. Onda 
(3)
.
Ovaj oblik pisanja kompleksnog broja naziva se algebarski.
Samo polje kompleksnih brojeva je označeno slovom C.
.
Napominjemo dalje da . To znači da je kompleksan broj 
je korijen kvadratne jednadžbe 
. Lako je vidjeti da je drugi korijen ove jednadžbe kompleksan broj 
. Zaista, .
Dakle, možemo dati sljedeću definiciju kompleksnih brojeva.
Definicija. Kompleksni broj je uređeni par realnih brojeva 
, koji se obično piše u obliku 
, gdje je element i korijen kvadratne jednadžbe 
, tj. 
.
Definicija. Neka 
– algebarski oblik pisanja kompleksnog broja. Element i naziva se imaginarna jedinica. Realni broj a naziva se realnim dijelom kompleksnog broja z i označava se 
. Realni broj b naziva se imaginarni dio kompleksnog broja z i označava se 
.
Definicija. Kompleksni broj čiji je stvarni dio nula naziva se čisto imaginaran.
Iz definicije algebarskog oblika pisanja kompleksnog broja (vidi jednakost (3)), odmah slijedi uvjet jednakosti dva kompleksna broja:
Dva kompleksna broja su jednaka ako i samo ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki, tj.
.
Ovdje & je znak veznika, logički veznik "i".
Komentar. Iz definicija proizilazi da 
, tj. bilo koji realan broj je kompleksan broj sa nultim imaginarnim dijelom. Bilo koji kompleksni broj može se smatrati rezultatom zbrajanja dva kompleksna broja, od kojih je jedan realan broj (njegov imaginarni dio je nula), drugi je čisto imaginaran:
klauzula 3. Operacije s kompleksnim brojevima u algebarskom zapisu.
Iz definicije sabiranja parova (1) i algebarskog oblika pisanja kompleksnog broja (3), slijede pravila za sabiranje i množenje kompleksnih brojeva u algebarskom obliku pisanja. Neka 
,
– proizvoljni kompleksni brojevi. Onda
Imajte na umu da se isti rezultat može dobiti korištenjem dokazane teoreme. Skup kompleksnih brojeva formira polje. U tom području vrijede zakoni asocijativnosti, komutativnosti i distributivnosti. Svaki kompleksni broj razmatramo kao u napomeni na kraju 2. paragrafa. – kao rezultat sabiranja dva kompleksna broja. Onda
Ovdje smo koristili jednakost 
.
Dakle, nema potrebe pamtiti pravila sabiranja (4), a posebno množenja (5). Dalje, jasno je da 
– nulti element, – suprotno.
Definiramo operaciju oduzimanja kao sabiranje s njegovom suprotnošću:
Primjeri. 1)., 
,
,
2). Riješite jednačinu u polju kompleksnih brojeva:
.
Rješenje. Pronalaženje diskriminanta 
. Koristeći formulu za korijene kvadratne jednadžbe, nalazimo korijene:
. odgovor: 
.
Komentar. Ovdje smo koristili jednakost 
, gdje 
.
Definirajmo operaciju dijeljenja u bilo kojem polju K kao množenje njegovim inverznim elementom: 
stavimo po definiciji 
I 
.
Lako je to provjeriti 
,
stvarno,
Međutim, nema potrebe za pamćenjem formule (6). Bolje je koristiti jedno jednostavno pravilo. Ali da bismo to uradili, hajde da prvo uvedemo jedan koncept.
Definicija. Kompleksni broj 
naziva se kompleksnim konjugatom kompleksnog broja 
.
Iz definicije odmah slijedi da je broj 
je kompleksni konjugat broja 
, tj. takvi brojevi koji se međusobno razlikuju samo predznakom imaginarnog dijela su složeni konjugati jedan drugog.
primjer: 
I 
, i i – i, 
i tako dalje.
Pravilo za dijeljenje kompleksnih brojeva.
Da biste jedan kompleksni broj podijelili drugim, potrebno je pomnožiti brojilac i nazivnik razlomka s kompleksnim konjugatom nazivnika.
.
Primjeri. ,
,
,
.
Komentar. Ako 
, tada se označava njegov kompleksno konjugirani broj 
.
klauzula 4. Svojstva kompleksnih konjugiranih brojeva.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
6.
.
7.
.
8.
9. Za bilo koji polinom 
sa realnim koeficijentima kompleksne varijable z
.
Dokaz. 1) Neka 
– proizvoljan kompleksni broj. Zatim po definiciji kompleksnog konjugiranog broja 
i , itd.
2) Neka . Onda 
. Na drugoj strani, 
I 
, iz čega proizlazi da 
.
3) Dokažimo metodom matematičke indukcije da je jednakost tačna za bilo koji broj članova n.
a) Baza indukcije.
At 
,
jednakost 
upravo dokazano.
b) Hipoteza indukcije.
Pretpostavimo da je tvrdnja tačna ako je broj pojmova jednak 
:.
c) Indukcijski prijelaz.
Pošto je izjava tačna za dva člana, onda
Ovdje slijedi jednakost koja se dokazuje.
4) Neka . Onda 
. S druge strane, to slijedi 
.
5) Dokazuje se slično kao u tački 3) metodom matematičke indukcije.
6) Neka 
i k – proizvoljan prirodni broj. Zatim, po definiciji prirodnog stepena broja 
, itd.
7) Neka je a realan broj. Onda 
i po definiciji kompleksnog konjugiranog broja 
, itd.
8) Neka 
. Prema svojstvima već dokazanim u stavovima 4) i 7) 
, itd.
9) Neka je z kompleksna varijabla i 
je polinom u kompleksnoj varijabli z sa realnim koeficijentima:, gdje
– realni brojevi. Zatim, koristeći već dokazana svojstva, dobijamo:
Teorema je dokazana.
Primjer. Izračunati 
.
Rješenje. Označimo 
. Onda 
,
,
. Odavde, .
klauzula 5. Pojam korijena prirodnog stepena kompleksnog broja.
Definicija. Neka 
– proizvoljan prirodan broj. Root n-ti stepen iz kompleksnog broja z je kompleksan broj 
, takav da 
.
Kasnije će se dokazati sljedeća teorema koju ćemo za sada prihvatiti bez dokaza.
Teorema. (O postojanju i broju n-tih korijena kompleksnog broja.)
Postoji tačno n-ti korijen kompleksnog broja.
Da bi se označili n-ti korijeni kompleksnog broja, koristi se uobičajeni znak radikala. Ali postoji jedna bitna razlika. Ako je a pozitivan realan broj, onda 
po definiciji označava pozitivan korijen n-tog stepena, naziva se aritmetički korijen.
Ako je n neparan broj, tada postoji jedinstveni n-ti korijen svakog realnog broja a. At 
ovaj jedini koren 
je po definiciji aritmetika, sa 
ovaj jedini koren 
nije aritmetički, ali se može izraziti u terminima aritmetičkog korijena suprotnog broja: 
, Gdje 
je aritmetika, jer 
.
Aksiomi polja. Polje kompleksnih brojeva. Trigonometrijska notacija kompleksnog broja.
Kompleksni broj je broj oblika , gdje su i realni brojevi, tzv imaginarna jedinica. Broj je pozvan pravi deo ( ) kompleksni broj, broj se zove imaginarni deo ( ) kompleksni broj.
Gomila isto kompleksni brojevi obično se označava "podebljanim" ili zadebljanim slovom
Kompleksni brojevi su predstavljeni sa složena ravan :
Kompleksna ravan se sastoji od dve ose:
– realna os (x)
– imaginarna os (y)
Skup realnih brojeva je podskup skupa kompleksnih brojeva
Radnje sa kompleksnim brojevima
Da biste sabrali dva kompleksna broja, potrebno je sabrati njihove stvarne i imaginarne dijelove.
Oduzimanje kompleksnih brojeva
Radnja je slična sabiranju, jedina posebnost je što se oduzimanje mora staviti u zagrade, a zatim se zagrade moraju otvoriti na standardni način, mijenjajući predznak
Množenje kompleksnih brojeva
otvorite zagrade prema pravilu za množenje polinoma
Podjela kompleksnih brojeva
Izvodi se podjela brojeva množenjem nazivnika i brojioca konjugiranim izrazom nazivnika.
Kompleksni brojevi imaju mnoga svojstva svojstvena realnim brojevima, od kojih napominjemo sljedeće, tzv main.
1) (a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost sabiranja);
2) a + b = b + a (komutativnost sabiranja);
3) a + 0 = 0 + a = a (postojanje neutralnog elementa dodavanjem);
4) a + (−a) = (−a) + a = 0 (postojanje suprotnog elementa);
5) a(b + c) = ab + ac ();
6) (a + b)c = ac + bc (distributivnost množenja u odnosu na sabiranje);
7) (ab)c = a(bc) (asocijativnost množenja);
8) ab = ba (komutativnost množenja);
9) a∙1 = 1∙a = a (postojanje neutralnog elementa pri množenju);
10) za bilo koga a≠ 0 tako nešto postoji b, Šta ab = ba = 1 (postojanje inverznog elementa);
11) 0 ≠ 1 (bez imena).
Skup objekata proizvoljne prirode na kojima su definirane operacije sabiranja i množenja, koji posjeduju naznačenih 11 svojstava (koja su u ovom slučaju aksiomi), naziva se polje.
Polje kompleksnih brojeva može se shvatiti kao proširenje polja realnih brojeva u kojem polinom ima korijen
Bilo koji kompleksni broj (osim nule) može se napisati u trigonometrijskom obliku: 
, gdje je modul kompleksnog broja, A - argument kompleksnog broja.
Modul kompleksnog broja je rastojanje od početka do odgovarajuće tačke u kompleksnoj ravni. jednostavno rečeno, modul je dužina radijus vektor, koji je na crtežu označen crvenom bojom.
Modul kompleksnog broja obično se označava sa: ili
Koristeći Pitagorinu teoremu, lako je izvesti formulu za pronalaženje modula kompleksnog broja: . Ova formula je tačna za bilo koji značenja "a" i "biti".
Argument kompleksnog broja pozvao ugao između pozitivna polu-osa realnu os i radijus vektor povučen od početka do odgovarajuće tačke. Argument nije definiran za singular: .
Argument kompleksnog broja standardno se označava: ili
Neka je φ = arg z. Tada, po definiciji argumenta, imamo:
Prsten matrica nad poljem realnih brojeva. Osnovne operacije nad matricama. Svojstva operacija.
Matrix veličina m´n, gdje je m broj redova, n broj kolona, naziva se tabela brojeva raspoređenih određenim redoslijedom. Ovi brojevi se nazivaju matričnim elementima. Lokacija svakog elementa je jedinstveno određena brojem reda i stupca na čijem se presjeku nalazi. Elementi matrice su označeni sa ij, gdje je i broj reda, a j broj kolone.
Definicija. Ako je broj stupaca matrice jednak broju redova (m=n), tada se matrica naziva kvadrat.
Definicija. Matrični prikaz:
= E,
pozvao matrica identiteta.
Definicija. Ako a mn = a nm, tada se matrica zove simetrično.
Primjer. 
- simetrična matrica
Definicija.
Kvadratna matrica oblika 
pozvao dijagonala matrica.
Množenje matrice brojem
Množenje matrice brojem(oznaka: ) sastoji se od konstruisanja matrice čiji se elementi dobijaju množenjem svakog elementa matrice ovim brojem, odnosno svaki element matrice je jednak
Svojstva množenja matrica brojem:
· jedanaest A = A;
· 2. (λβ)A = λ(βA)
· 3. (λ+β)A = λA + βA
· 4. λ(A+B) = λA + λB
Sabiranje matrice
Sabiranje matrice je operacija pronalaženja matrice čiji su svi elementi jednaki parnom zbroju svih odgovarajućih elemenata matrice i, to jest, svaki element matrice je jednak
Svojstva sabiranja matrice:
· 1.komutativnost: A+B = B+A;
· 2. asocijativnost: (A+B)+C =A+(B+C);
· 3.sabiranje sa nultom matricom: A + Θ = A;
· 4.postojanje suprotne matrice: A + (-A) = Θ;
Sva svojstva linearnih operacija ponavljaju aksiome linearnog prostora i stoga vrijedi teorema:
Skup svih matrica iste veličine m x n sa elementima sa terena P(polje svih realnih ili kompleksnih brojeva) formira linearni prostor nad poljem P (svaka takva matrica je vektor ovog prostora). Međutim, prije svega, kako bi se izbjegla terminološka zabuna, izbjegavaju se matrice u uobičajenim kontekstima bez potrebe (koja nije prisutna u najčešćim standardnim aplikacijama) i jasnog pojašnjenja upotrebe termina koji se naziva vektori.
Množenje matrice
Množenje matrice(oznaka: , rjeđe sa znakom množenja) - je operacija izračunavanja matrice, čiji je svaki element jednak zbroju proizvoda elemenata u odgovarajućem redu prvog faktora i stupcu drugog.
Broj kolona u matrici mora odgovarati broju redova u matrici, drugim riječima, matrica mora biti ugovoren sa matricom. Ako matrica ima dimenziju , - , tada je dimenzija njihovog proizvoda .
Svojstva množenja matrice:
· 1. asocijativnost (AB)C = A(BC);
· 2.nekomutativnost (u opštem slučaju): AB BA;
· 3. proizvod je komutativan u slučaju množenja sa matricom identiteta: AI = IA;
· 4.distributivnost: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
· 5. asocijativnost i komutativnost u odnosu na množenje brojem: (λA)B = λ(AB) = A(λB);
Matrix Transpose.
Pronalaženje inverzne matrice.
Kvadratna matrica je inverzibilna ako i samo ako je nesingularna, odnosno, njena determinanta nije jednaka nuli. Za nekvadratne matrice i singularne matrice ne postoje inverzne matrice.
Teorema o rangu matrice
Rang matrice A je maksimalni red različitog od nule minor
Minor koji određuje rang matrice naziva se osnovni minor. Redovi i stupci koji čine BM nazivaju se osnovnim redovima i stupcima.
Oznake: r(A), R(A), Rang A.
Komentar. Očigledno, rang matrice ne može premašiti manju od njenih dimenzija.
Za bilo koju matricu, njeni manji, redovi i stupci su isti.
Dokaz. Neka je manji rang matrice A jednaki r . Pokažimo da je rang reda također jednak r . Da bismo to učinili, možemo pretpostaviti da je invertibilni minor M red r je u prvom r redove matrice A . Iz toga slijedi da je prvi r matrični redovi A linearno nezavisni i skup sporednih redova M linearno nezavisna. Neka a -- dužina niza r , sastavljena od elemenata i th redova matrice, koji se nalaze u istim kolonama kao i minor M . Pošto su linije minorne M formiraju bazu u k r , To a -- linearna kombinacija molskih žica M . Oduzmi od i -th line A ista linearna kombinacija prvog r matrični redovi A . Ako završite sa nizom koji sadrži element koji nije nula u broju stupca t , zatim razmotrite manji M 1 red r+1 matrice A dodavanjem th reda matrice redovima minora A i na kolone manjeg stupca matrice A (kažu da je minorna M 1 primljeno graniči sa maloletnikom M korišćenjem i -ti red i t th kolona matrice A ). Po našem izboru t , ovaj mol je inverzibilan (dovoljno je oduzeti od posljednjeg reda ovog mola linearnu kombinaciju prvih odabranih gore r redove, a zatim proširi svoju determinantu duž posljednjeg reda kako bi se osiguralo da se ova determinanta poklapa s determinantom minora, sve do skalarnog faktora različitog od nule M . A-prioritet r takva situacija je nemoguća i, dakle, nakon transformacije i -th line A postaće nula. Drugim riječima, original i -th linija je linearna kombinacija prvog r matrični redovi A . To smo pokazali prvim r redovi čine osnovu skupa redova matrice A , odnosno string rang A jednaki r . Da dokaže da je rang kolone r , dovoljno je zamijeniti "redove" i "kolone" u gornjem rezonovanju. Teorema je dokazana.
Ova teorema pokazuje da nema smisla praviti razliku između tri ranga matrice, a u nastavku, pod rangom matrice ćemo razumjeti rang reda, imajući na umu da je jednak i stupcu i manjim rangovima (zapis r(A) -- rang matrice A ). Imajte na umu da iz dokaza teoreme o rangu slijedi da se rang matrice poklapa s dimenzijom bilo kojeg invertibilnog minora matrice tako da su svi minori koji graniče s njom (ako uopće postoje) degenerirani.
Kronecker-Capelli teorem
Linearni sistem algebarske jednačine je konzistentan ako i samo ako je rang njegove glavne matrice jednak rangu njene proširene matrice, a sistem ima jedina odluka, ako je rang jednak broju nepoznatih, i beskonačan skup rješenja ako je rang manji od broja nepoznatih.
Nužnost
Neka sistem bude kooperativan. Zatim postoje brojevi takvi da . Dakle, kolona je linearna kombinacija stupaca matrice. Iz činjenice da se rang matrice neće promeniti ako se red (kolona) izbriše ili doda iz sistema njenih redova (kolona), koji je linearna kombinacija drugih redova (kolona), sledi da .
Adekvatnost
Neka . Uzmimo neki osnovni mol u matrici. Budući da će to biti i bazni mol matrice. Tada će, prema teoremi o osnovnom malom, posljednji stupac matrice biti linearna kombinacija osnovnih stupaca, odnosno stupaca matrice. Dakle, kolona slobodnih termina sistema je linearna kombinacija kolona matrice.
Posljedice
· Broj glavnih varijabli sistema jednak je rangu sistema.
· Konzistentan sistem će biti definisan (njegovo rešenje je jedinstveno) ako je rang sistema jednak broju svih njegovih varijabli.
Teorema o baznom molu.
Teorema. U proizvoljnoj matrici A, svaka kolona (red) je linearna kombinacija kolona (redova) u kojoj se nalazi bazni minor.
Dakle, rang proizvoljne matrice A jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih redova (kolona) u matrici.
Ako je A kvadratna matrica i detA = 0, tada je barem jedan od stupaca linearna kombinacija preostalih stupaca. Isto važi i za žice. Ova izjava proizlazi iz svojstva linearne zavisnosti kada je determinanta jednaka nuli.
7. SLU rješenje. Cramerova metoda, matrična metoda, Gaussova metoda.
Cramerova metoda.
Ova metoda je također primjenjiva samo u slučaju sistema linearne jednačine, pri čemu se broj varijabli poklapa sa brojem jednačina. Pored toga, potrebno je uvesti ograničenja na sistemske koeficijente. Neophodno je da sve jednačine budu linearno nezavisne, tj. nijedna jednadžba ne bi bila linearna kombinacija ostalih.
Da biste to učinili, potrebno je da determinanta sistemske matrice nije jednaka 0.
Zaista, ako je bilo koja jednačina sistema linearna kombinacija ostalih, onda ako elementima jednog reda dodate elemente drugog reda, pomnožene nekim brojem, koristeći linearne transformacije, možete dobiti nulti red. Determinanta će u ovom slučaju biti jednaka nuli.
Teorema. (Cramerovo pravilo):
Teorema. Sistem od n jednačina sa n nepoznatih
ako determinanta sistemske matrice nije jednaka nuli, ona ima jedinstveno rješenje i ovo rješenje se nalazi prema formulama:
x i = D i /D, gdje je
D = det A, a D i je determinanta matrice dobijene iz sistemske matrice zamjenom stupca i stupcem slobodnih termina b i.
D i = 
Matrična metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina.
Matrična metoda je primjenjiva za rješavanje sistema jednačina gdje je broj jednačina jednak broju nepoznatih.
Metoda je pogodna za rješavanje sistema nižeg reda.
Metoda se zasniva na primjeni svojstava množenja matrice.
Neka je zadan sistem jednačina:
Sastavimo matrice: A = 
; B = ; X = .
Sistem jednačina se može napisati: A×X = B.
Napravimo sljedeću transformaciju: A -1 ×A×X = A -1 ×B, jer A -1 ×A = E, zatim E×X = A -1 ×B
X = A -1 × B
Za upotrebu ovu metodu potrebno je pronaći inverznu matricu, što može biti povezano sa računskim poteškoćama pri rješavanju sistema visokog reda.
Definicija. Sistem m jednačina sa n nepoznatih u opšti pogled je napisano kako slijedi:
, (1)
gdje su a ij koeficijenti, a b i konstante. Rješenja sistema su n brojeva, koji, kada se zamijene u sistem, pretvaraju svaku od njegovih jednačina u identitet.
Definicija. Ako sistem ima barem jedno rješenje, onda se ono zove joint. Ako sistem nema jedno rješenje, onda se zove non-joint.
Definicija. Sistem se zove siguran, ako ima samo jedno rješenje i neizvjesno, ako je više od jednog.
Definicija. Za sistem linearnih jednadžbi oblika (1), matrica
A = 
naziva se matrica sistema, a matrica
A * = 
nazvana proširena matrica sistema
Definicija. Ako je b 1, b 2, …,b m = 0, sistem se zove homogena. homogen sistem je uvek konzistentan.
Elementarne transformacije sistema.
Elementarne transformacije uključuju:
1) Dodavanje na obje strane jedne jednačine relevantne dijelove drugi, pomnožen istim brojem, nije jednak nuli.
2) Preuređenje jednačina.
3) Uklanjanje iz sistema jednačina koje su identični za sve x.
Gaussova metoda - klasična metoda rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE). Ovo je metoda sekvencijalne eliminacije varijabli, kada se pomoću elementarnih transformacija sistem jednačina svodi na ekvivalentni trouglasti sistem, iz kojeg se sve ostale varijable pronalaze sekvencijalno, počevši od posljednjih (po broju) varijabli
Neka originalni sistem izgleda ovako
Matrica se naziva glavna matrica sistema - kolona slobodnih pojmova.
Tada se, prema svojstvu elementarnih transformacija nad redovima, glavna matrica ovog sistema može svesti na ešalonski oblik (iste transformacije moraju se primijeniti na kolonu slobodnih termina):
Tada se pozivaju varijable glavne varijable. Svi ostali su pozvani besplatno.
Ako je barem jedan broj , gdje je , tada je sistem koji se razmatra nekonzistentan, tj. ona nema jedinstveno rešenje.
Neka bude za bilo koga.
Pomerimo slobodne varijable izvan predznaka jednakosti i podelimo svaku od sistemskih jednačina sa njenim koeficijentom na krajnjem levom uglu ( , gde je broj reda):
Ako slobodnim varijablama sistema (2) damo sve moguće vrijednosti i riješimo novi sistem u odnosu na glavne nepoznanice odozdo prema gore (tj. od donje jednadžbe prema gornjoj), onda ćemo dobiti sve rješenja za ovaj SLAE. Pošto je ovaj sistem dobijen elementarnim transformacijama nad originalnim sistemom (1), onda su prema teoremi ekvivalencije pod elementarnim transformacijama sistemi (1) i (2) ekvivalentni, odnosno njihovi skupovi rješenja se poklapaju.
Posljedice:
1: Ako su u zajedničkom sistemu sve varijable glavne, onda je takav sistem definitivan.
2: Ako je broj varijabli u sistemu veći od broja jednačina, onda je takav sistem ili neizvjestan ili nekonzistentan.
Algoritam
Algoritam za rješavanje SLAE pomoću Gaussove metode podijeljen je u dvije faze.
U prvoj fazi se izvodi takozvani direktni pokret, kada se elementarnim transformacijama preko redova sistem dovodi u stepenasti ili trouglasti oblik, ili se utvrdi da je sistem nekompatibilan. Naime, među elementima prve kolone matrice odaberite jedan različit od nule, pomaknite ga na najgornju poziciju preuređivanjem redova i oduzmite rezultirajući prvi red od preostalih redova nakon preuređivanja, množeći ga vrijednošću jednak omjeru prvog elementa svakog od ovih redova prema prvom elementu prvog reda, čime se nula stupac ispod njega. Nakon što su ove transformacije završene, prvi red i prvi stupac se mentalno precrtavaju i nastavljaju sve dok ne ostane matrica nulte veličine. Ako u bilo kojoj iteraciji nema elementa različitog od nule među elementima prve kolone, onda idite na sljedeću kolonu i izvedite sličnu operaciju.
U drugoj fazi izvodi se takozvani obrnuti potez, čija je suština da se sve rezultirajuće osnovne varijable izraze u terminima nebaznih i izgradi fundamentalni sistem rješenja, odnosno, ako su sve varijable osnovne varijable. , zatim numerički izraziti jedino rješenje sistema linearnih jednačina. Ovaj postupak počinje posljednjom jednadžbom, iz koje se izražava odgovarajuća osnovna varijabla (a postoji samo jedna) i zamjenjuje se u prethodne jednačine, i tako dalje, idući uz „stepenice“. Svaki red odgovara tačno jednoj bazičnoj varijabli, tako da na svakom koraku osim posljednjeg (najgornjeg), situacija tačno ponavlja slučaj posljednje linije.
Vektori. Osnovni koncepti. Tačkasti proizvod, njegova svojstva.
Vector naziva se usmjereni segment (uređeni par tačaka). Vektori takođe uključuju null vektor čiji se početak i kraj podudaraju.
dužina (modul) vektor je udaljenost između početka i kraja vektora.
Vektori se nazivaju kolinearno, ako se nalaze na istim ili paralelnim linijama. Nulti vektor je kolinearan sa bilo kojim vektorom.
Vektori se nazivaju komplanarno, ako postoji ravan s kojom su paralelne.
Kolinearni vektori su uvijek koplanarni, ali nisu svi koplanarni vektori kolinearni.
Vektori se nazivaju jednaka, ako su kolinearni, identično usmjereni i imaju iste module.
Svi vektori se mogu dovesti do zajedničkog porekla, tj. konstruisati vektore koji su odgovarajuće jednaki podacima i koji imaju opšti početak. Iz definicije jednakosti vektora slijedi da svaki vektor ima beskonačno mnogo vektora jednakih njemu.
Linearne operacije preko vektora naziva se sabiranje i množenje brojem.
Zbir vektora je vektor - 
posao - 
, i kolinearna je.
Vektor je kosmjeran s vektorom ( ) ako je a > 0.
Vektor je suprotno usmjeren od vektora ( ¯ ), ako je a< 0.
Svojstva vektora.
1) + = + - komutativnost.
2) + ( + ) = ( + )+
5) (a×b) = a(b) – asocijativnost
6) (a+b) = a + b - distributivnost
7) a( + ) = a + a
1) Osnova u prostoru se nazivaju bilo koja 3 nekoplanarna vektora uzeta određenim redom.
2) Osnova na ravni se nazivaju bilo koja 2 nekolinearna vektora uzeta određenim redom.
3)Osnova Poziva se bilo koji vektor koji nije nula na liniji.
Ako 
je osnova u prostoru i , tada se nazivaju brojevi a, b i g komponente ili koordinate vektori u ovoj osnovi.
S tim u vezi možemo napisati sljedeće svojstva:
jednaki vektori imaju identične koordinate,
kada se vektor pomnoži sa brojem, njegove komponente se također pomnože ovim brojem,
Prilikom sabiranja vektora, dodaju se njihove odgovarajuće komponente.
; 
;
Linearna zavisnost vektora.
Definicija.
Vektori 
su pozvani linearno zavisna, ako takva linearna kombinacija postoji, pri čemu a i nije jednako nuli u isto vrijeme, tj. 
.
Ako je samo zadovoljen a i = 0, vektori se nazivaju linearno nezavisnim.
Nekretnina 1. Ako među vektorima postoji nulti vektor, onda su ovi vektori linearno zavisni.
Nekretnina 2. Ako se jedan ili više vektora dodaju sistemu linearno zavisnih vektora, onda će rezultujući sistem takođe biti linearno zavisan.
Nekretnina 3. Sistem vektora je linearno zavisan ako i samo ako je jedan od vektora razložen u linearnu kombinaciju preostalih vektora.
Nekretnina 4. Bilo koja 2 kolinearna vektora su linearno zavisna i, obrnuto, bilo koja 2 linearno zavisna vektora su kolinearna.
Svojstvo 5. Bilo koja 3 koplanarna vektora su linearno zavisna i, obrnuto, bilo koja 3 linearno zavisna vektora su koplanarna.
Nekretnina 6. Bilo koja 4 vektora su linearno zavisna.
Dužina vektora u koordinatama definira se kao udaljenost između početne i krajnje točke vektora. Ako su dvije tačke date u prostoru A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2), onda.
Ako je tačka M(x, y, z) dijeli segment AB u omjeru l/m, tada se koordinate ove tačke određuju kao:
U posebnom slučaju, koordinate središnja tačka segmenta nalaze se kao:
x = (x 1 + x 2)/2; y = (y 1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.
Linearne operacije nad vektorima u koordinatama.
Rotirajuće koordinatne ose
Ispod okretanje Koordinatne ose znače transformaciju koordinata u kojoj su obe ose rotirane za isti ugao, ali ishodište i razmera ostaju nepromenjeni.
Neka novi sistem O 1 x 1 y 1 se dobija rotacijom Oxy sistema za ugao α.
Neka je M proizvoljna tačka na ravni, (x;y) njene koordinate u stari sistem i (x";y") - u novom sistemu.
Uvedimo dva polarna koordinatna sistema sa zajedničkim polom O i polarnim osama Ox i Οx 1 (razmjer je isti). Polarni radijus r je isti u oba sistema, a polarni uglovi su respektivno jednaki α + j i φ, gde je φ polarni ugao u novom polarnom sistemu.
Prema formulama za prijelaz iz polarnih u pravokutne koordinate imamo
Ali rcosj = x" i rsinφ = y". Zbog toga
Rezultirajuće formule se pozivaju formule rotacije osi . Oni vam omogućavaju da odredite stare koordinate (x; y) proizvoljne tačke M kroz nove koordinate (x"; y") iste tačke M, i obrnuto.
Ako se novi koordinatni sistem O 1 x 1 y 1 dobije iz starog Oxy paralelnim prijenosom koordinatnih osa i naknadnom rotacijom osi za ugao α (vidi sliku 30), onda je uvođenjem pomoćnog sistema lako dobiti formule
izražavajući stare x i y koordinate proizvoljne tačke u smislu njenih novih x" i y" koordinata.
Elipsa
Elipsa je skup tačaka na ravni, zbir udaljenosti svake od njih
koja je konstantna do dvije date tačke. Ove tačke se nazivaju fokusi i
su naznačeni F1 I F2, udaljenost između njih 2s, i zbir udaljenosti od svake tačke do
fokusira - 2a(po stanju 2a>2c). Konstruirajmo kartezijanski koordinatni sistem tako da F1 I F2 bili na x-osi, a ishodište se poklapalo sa sredinom segmenta F1F2. Izvedemo jednačinu elipse. Da biste to učinili, razmotrite proizvoljnu tačku M(x, y) elipsa. A-prioritet: | F1M |+| F2M |=2a. F1M =(x+c; y);F2M =(x-c; y).
|F1M|=(x+ c)2 + y 2 ; |F2M| = (x- c)2 + y 2
(x+ c)2 + y 2 + (x- c)2 + y 2 =2a(5)
x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(x- c)2 + y 2 +x2-2cx+c2+y2
4cx-4a2=4a(x- c)2 + y 2
a2-cx=a(x- c)2 + y 2
a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)
jer 2a>2c(zbir dviju stranica trougla je veći od treće strane), tada a2-c2>0.
Neka a2-c2=b2
Tačke sa koordinatama (a, 0), (−a, 0), (b, 0) i (−b, 0) nazivaju se vrhovi elipse, vrijednost a je velika poluosa elipse, a vrijednost b je njegova mala osa. Tačke F1(c, 0) i F2(−c, 0) nazivaju se fokusi
elipsa, a fokus F1 se naziva desnim, a fokus F2 levim. Ako tačka M pripada elipsi, tada su udaljenosti |F1M| i |F2M| nazivaju se žarišnim radijusima i označavaju sa r1 i r2, respektivno. Veličina e =c/a naziva se ekscentricitet elipse. Prave sa jednadžbama x =a/e
i x = −a/e se nazivaju direktrise elipse (za e = 0 ne postoje direktrise elipse).
Jednačina opće ravni
Hajde da razmotrimo opšta jednačina prvi stepen sa tri varijable x, y i z:
Pod pretpostavkom da barem jedan od koeficijenata A, B ili C nije jednak nuli, na primjer, prepisujemo jednačinu (12.4) u obliku
Kompleksni broj z pozvao izraz gde A I V– realni brojevi, i– imaginarna jedinica ili poseban znak.
U ovom slučaju su ispunjeni sljedeći dogovori:
1) sa izrazom a+bi možete izvoditi aritmetičke operacije prema pravilima koja su prihvaćena za literalne izraze u algebri;
5) jednakost a+bi=c+di, gdje su a, b, c, d realni brojevi, se javlja ako i samo ako je a=c i b=d.
Poziva se broj 0+bi=bi imaginarni ili čisto imaginarno.
Svaki realan broj a je poseban slučaj kompleksni broj, jer se može napisati u obliku a=a+ 0i. Konkretno, 0=0+0i, ali onda ako je a+bi=0, onda je a+bi=0+0i, dakle, a=b=0.
Dakle, kompleksni broj a+bi=0 ako i samo ako je a=0 i b=0.
Iz sporazuma slijede zakoni transformacije kompleksnih brojeva:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;
Vidimo da je zbir, razlika, proizvod i količnik (gdje djelitelj nije jednak nuli) kompleksnih brojeva, zauzvrat, kompleksan broj.
Broj A pozvao realni dio kompleksnog broja z(označeno sa ), V– imaginarni dio kompleksnog broja z (označen sa ).
Kompleksni broj z sa nula realnog dijela se zove. čisto imaginarno, sa nula imaginarnih – čisto stvarno.
Pozivaju se dva kompleksna broja. jednaka ako im se stvarni i imaginarni dijelovi poklapaju.
Pozivaju se dva kompleksna broja. konjugirani, ako imaju supstance. dijelovi se poklapaju, ali imaginarni dijelovi se razlikuju po znacima. , zatim njegov konjugat.
Zbir konjugiranih brojeva je broj supstanci, a razlika je čisto imaginarni broj. Operacije množenja i sabiranja brojeva prirodno su definirane na skupu kompleksnih brojeva. Naime, ako su i dva kompleksna broja, onda je zbroj: ; rad: .
Definirajmo sada operacije oduzimanja i dijeljenja.
Imajte na umu da je proizvod dva kompleksna broja broj supstanci.
(pošto je i=-1). Ovaj broj se zove. kvadratni modul brojevi. Dakle, ako je broj , tada je njegov modul realan broj.
Za razliku od realnih brojeva, koncepti "više" i "manje" nisu uvedeni za kompleksne brojeve.
Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su predstavljeni tačkama na brojevnoj pravoj:
Ovdje je poenta A znači broj –3, tačka B– broj 2, i O- nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni tačkama na koordinatnoj ravni. U tu svrhu biramo pravokutne (kartezijanske) koordinate sa istim razmjerima na obje ose. Zatim kompleksni broj a+ biće biti predstavljena tačkom P sa apscisom a i ordinatom b(pirinač.). Ovaj koordinatni sistem se zove složena ravan.
Modul kompleksni broj je dužina vektora OP, koji predstavlja kompleksan broj na koordinati ( sveobuhvatan) avion. Modul kompleksnog broja a+ bi označeno | a+ bi| ili pismo r i jednak je:
Konjugirani kompleksni brojevi imaju isti modul. __
Argument kompleksni broj je ugao između osa OX i vektor OP, koji predstavlja ovaj kompleksni broj. Dakle, tan = b / a .
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Uz pisanje kompleksnog broja u algebarskom obliku, koristi se i drugi oblik tzv trigonometrijski.
Neka kompleksni broj z=a+bi bude predstavljen vektorom OA sa koordinatama (a,b). Označimo dužinu OA vektora sa buk r: r=|OA|, a ugao koji formira sa pozitivnim smjerom ose Ox uglom φ.
Koristeći definicije funkcija sinφ=b/r, cosφ=a/r, kompleksni broj z=a+bi se može napisati kao z=r(cosφ+i*sinφ), gdje je , a ugao φ određen iz uslove
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja z je njegov prikaz u obliku z=r(cosφ+i*sinφ), gdje su r i φ realni brojevi i r≥0.
Zaista, broj r se zove modul kompleksni broj i označava se sa |z|, a ugao φ je argument kompleksnog broja z. Argument φ kompleksnog broja z je označen sa Arg z.
Operacije s kompleksnim brojevima predstavljenim u trigonometrijskom obliku:
Ovo je poznato Moivreova formula.
8 .Vektorski prostor. Primjeri i najjednostavnija svojstva vektorskih prostora. Linearna zavisnost i nezavisnost sistema vektora. Osnova i rang konačnog sistema vektora
Vektorski prostor - matematički koncept koji generalizira koncept skupa svih (slobodnih) vektora običnog trodimenzionalnog prostora.
Za vektore u trodimenzionalnom prostoru navedena su pravila za sabiranje vektora i njihovo množenje realnim brojevima. Primjenjivo na sve vektore x, y, z i bilo koje brojeve α, β ova pravila zadovoljavaju sledećim uslovima:
1) X+at=at+X(komutativnost sabiranja);
2)(X+at)+z=x+(y+z) (asocijativnost sabiranja);
3) postoji nulti vektor 0 (ili nulti vektor) koji zadovoljava uslov x+0 =x: za bilo koji vektor x;
4) za bilo koji vektor X postoji suprotan vektor at takav da X+at =0 ,
5) 1 x=X,gdje je 1 jedinica polja
6) α (βx)=(αβ )X(asocijativnost množenja), gdje je proizvod αβ je proizvod skalara
7) (α +β )X=αh+βh(distributivna svojstva u odnosu na numerički faktor);
8) α (X+at)=αh+αu(distributivno svojstvo u odnosu na vektorski množitelj).
Vektorski (ili linearni) prostor je skup R, koji se sastoje od elemenata bilo koje prirode (zvani vektori), u kojima su definisane operacije sabiranja elemenata i množenja elemenata realnim brojevima koji zadovoljavaju uslove 1-8.
Primjeri takvih prostora su skup realnih brojeva, skup vektora na ravni i u prostoru, matrice itd.
Teorema "Najjednostavnija svojstva vektorskih prostora"
1. Postoji samo jedan nulti vektor u vektorskom prostoru.
2. U vektorskom prostoru, svaki vektor ima jedinstvenu suprotnost.
4. .
Dokument
Neka je 0 nulti vektor vektorskog prostora V. Tada je . Neka je drugi nulti vektor. Onda . Uzmimo u prvom slučaju , au drugom - . Tada i , Odakle slijedi da , itd.
Prvo ćemo dokazati da je proizvod nultog skalara i bilo kojeg vektora jednak nultom vektoru.
Neka . Zatim, primjenom aksioma vektorskog prostora, dobijamo:
Što se tiče sabiranja, vektorski prostor je Abelova grupa, a zakon poništavanja vrijedi u bilo kojoj grupi. Primjenjujući zakon redukcije, posljednja jednakost implicira 0*x=0
Sada dokazujemo tvrdnju 4). Neka je proizvoljan vektor. Onda
Odmah slijedi da je vektor (-1)x suprotan vektoru x.
Neka je sada x=0. Zatim, primjenom aksioma vektorskog prostora, dobijamo:
Pretpostavimo da . Budući da je , gdje je K polje, onda . Pomnožimo jednakost na lijevoj strani sa: , što implicira ili 1*x=0 ili x=0
Linearna zavisnost i nezavisnost sistema vektora. Skup vektora naziva se vektorski sistem.
Sistem vektora naziva se linearno zavisnim ako takvi brojevi postoje, a ne svi jednaka nuli u isto vrijeme kada (1)
Sistem od k vektora naziva se linearno nezavisnim ako je jednakost (1) moguća samo za , tj. kada je linearna kombinacija na lijevoj strani jednakosti (1) trivijalna.
napomene:
1. Jedan vektor takođe formira sistem: na linearno zavisan, i linearno nezavisan na.
2. Bilo koji dio sistema vektora naziva se podsistem.
Svojstva linearno zavisnih i linearno nezavisnih vektora:
1. Ako sistem vektora uključuje nulti vektor, onda je on linearno zavisan.
2. Ako sistem vektora ima dva jednaka vektora, onda je on linearno zavisan.
3. Ako sistem vektora ima dva proporcionalna vektora, onda je on linearno zavisan.
4. Sistem k>1 vektora je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan od vektora linearna kombinacija ostalih.
5. Svi vektori uključeni u linearno nezavisan sistem formiraju linearno nezavisan podsistem.
6. Sistem vektora koji sadrži linearno zavisan podsistem je linearno zavisan.
7. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, a nakon što mu se doda vektor ispostavi se da je linearno zavisan, tada se vektor može proširiti u vektore i, štaviše, na jedinstven način, tj. koeficijenti ekspanzije se mogu naći jedinstveno.
Dokažimo, na primjer, posljednju osobinu. Pošto je sistem vektora linearno zavisan, postoje brojevi koji nisu svi jednaki 0, što. U ovoj jednakosti. U stvari, ako , onda. To znači da je netrivijalna linearna kombinacija vektora jednaka nultom vektoru, što je u suprotnosti sa linearnom nezavisnošću sistema. Shodno tome, i tada, tj. vektor je linearna kombinacija vektora. Ostaje da se pokaže jedinstvenost takve reprezentacije. Pretpostavimo suprotno. Neka postoje dva proširenja i , a nisu svi koeficijenti proširenja međusobno jednaki (na primjer, ).
Tada iz jednakosti dobivamo .
Stoga je linearna kombinacija vektora jednaka nultom vektoru. Pošto nisu svi njegovi koeficijenti jednaki nuli (najmanje), ova kombinacija je netrivijalna, što je u suprotnosti sa uslovom linearne nezavisnosti vektora. Nastala kontradikcija potvrđuje jedinstvenost ekspanzije.
Rang i osnova vektorskog sistema. Rang sistema vektora se naziva maksimalan broj linearno nezavisni vektori sistema.
Osnova vektorskog sistema naziva se maksimalni linearno nezavisni podsistem datog sistema vektora.
Teorema. Bilo koji sistemski vektor može se predstaviti kao linearna kombinacija bazičnih vektora sistema. (Svaki sistemski vektor se može proširiti u bazne vektore.) Koeficijenti proširenja određuju se jedinstveno za dati vektor i datu bazu.
Dokument:
Neka sistem ima osnovu.
1 slučaj. Vektor - od osnove. Dakle, jednak je jednom od baznih vektora, recimo . Tada = .
Slučaj 2. Vektor nije iz baze. Tada je r>k.
Razmotrimo sistem vektora. Ovaj sistem je linearno zavisan, jer je osnova, tj. maksimalni linearno nezavisni podsistem. Prema tome, postoje brojevi sa 1, sa 2, ..., sa k, sa, nisu svi jednaki nuli, tako da
Očigledno je da (ako je c = 0, onda je baza sistema linearno zavisna).
Dokažimo da je proširenje vektora u odnosu na bazu jedinstveno. Pretpostavimo suprotno: postoje dva proširenja vektora u odnosu na bazu.
Oduzimajući ove jednakosti, dobijamo
Uzimajući u obzir linearnu nezavisnost baznih vektora, dobijamo
Prema tome, proširenje vektora u smislu baze je jedinstveno.
Broj vektora u bilo kojoj bazi sistema je isti i jednak je rangu sistema vektora.