Mašinski rad (rad sile) vam je već poznat iz osnovnog školskog kursa fizike. Podsjetimo se tamo date definicije mehaničkog rada za sljedeće slučajeve.
Ako je sila usmjerena u istom smjeru kao i kretanje tijela, onda je rad koji vrši sila
U ovom slučaju, rad sile je pozitivan.
Ako je sila usmjerena suprotno kretanju tijela, onda je rad koji vrši sila
U ovom slučaju, rad sile je negativan.
Ako je sila f_vec usmjerena okomito na pomak s_vec tijela, tada je rad koji izvrši sila jednak nuli:
Rad je skalarna veličina. Jedinica rada naziva se džul (simbol: J) u čast engleskog naučnika Džejmsa Džoula, koji je odigrao važnu ulogu u otkriću zakona održanja energije. Iz formule (1) slijedi:
1 J = 1 N * m.
1. Blok težine 0,5 kg pomaknut je duž stola 2 m, primjenjujući na njega elastičnu silu od 4 N (slika 28.1). Koeficijent trenja između bloka i stola je 0,2. Kakav je rad koji djeluje na blok?
a) gravitacija m?
b) normalne reakcione sile?
c) elastične sile?
d) sile trenja klizanja tr?
Ukupan rad koji izvrši nekoliko sila koje djeluju na tijelo može se naći na dva načina:
1. Pronađite rad svake sile i saberite ove radove, uzimajući u obzir znakove.
2. Naći rezultantu svih sila primijenjenih na tijelo i izračunati rad rezultante.
Obje metode dovode do istog rezultata. Da biste se u to uvjerili, vratite se na prethodni zadatak i odgovorite na pitanja u zadatku 2.
2. Čemu je jednako:
a) zbir rada svih sila koje djeluju na blok?
b) rezultanta svih sila koje djeluju na blok?
c) rezultat rada? U općem slučaju (kada je sila f_vec usmjerena pod proizvoljnim kutom prema pomaku s_vec) definicija rada sile je sljedeća.
Rad A konstantne sile jednak je umnošku modula sile F na modul pomaka s i kosinus ugla α između smjera sile i smjera pomaka:
A = Fs cos α (4)
3. Pokažite da opšta definicija rada vodi do zaključaka prikazanih na sljedećem dijagramu. Formulirajte ih usmeno i zapišite u svoju bilježnicu.
4. Na blok na stolu djeluje sila, čiji je modul 10 N. Koliki je ugao između ove sile i kretanja bloka ako pri pomicanju bloka 60 cm duž stola ta sila čini rad: a) 3 J; b) –3 J; c) –3 J; d) –6 J? Napravite crteže sa objašnjenjima.
2. Rad gravitacije
Neka se tijelo mase m kreće okomito od početne visine h n do konačne visine h k.
Ako se tijelo kreće naniže (h n > h k, sl. 28.2, a), smjer kretanja se poklapa sa smjerom gravitacije, pa je rad gravitacije pozitivan. Ako se tijelo kreće prema gore (h n< h к, рис. 28.2, б), то работа силы тяжести отрицательна.
U oba slučaja, rad koji obavlja gravitacija
A = mg(h n – h k). (5)
Nađimo sada rad gravitacije kada se kreće pod uglom u odnosu na vertikalu.
5. Mali blok mase m klizio je duž nagnute ravni dužine s i visine h (slika 28.3). Kosa ravan čini ugao α sa vertikalom.
a) Koliki je ugao između smjera gravitacije i smjera kretanja bloka? Napravite crtež objašnjenja.
b) Rad gravitacije izraziti u terminima m, g, s, α.
c) Izraziti s u terminima h i α.
d) Rad gravitacije izraziti u m, g, h.
e) Koliki je rad gravitacije kada se blok kreće prema gore duž cijele iste ravni?
Nakon što ste obavili ovaj zadatak, uvjerili ste se da se rad gravitacije izražava formulom (5) čak i kada se tijelo kreće pod uglom u odnosu na vertikalu - i dolje i gore.
Ali tada formula (5) za rad gravitacije vrijedi kada se tijelo kreće duž bilo koje putanje, jer se bilo koja putanja (slika 28.4, a) može predstaviti kao skup malih „kosih ravnina“ (slika 28.4, b) . 
dakle,
rad koji vrši gravitacija pri kretanju duž bilo koje putanje izražava se formulom
A t = mg(h n – h k),
gdje je h n početna visina tijela, h k je njegova konačna visina.
Rad gravitacije ne zavisi od oblika putanje.
Na primjer, rad gravitacije pri kretanju tijela od tačke A do tačke B (slika 28.5) duž putanje 1, 2 ili 3 je isti. Odavde, posebno, slijedi da je sila gravitacije pri kretanju po zatvorenoj putanji (kada se tijelo vrati u početnu tačku) jednaka nuli. 
6. Kuglica mase m, koja visi o niti dužine l, skrenuta je za 90º, držeći nit zategnutom, i puštena bez guranja.
a) Koliki je rad gravitacije za vrijeme u kojem se lopta kreće u ravnotežni položaj (slika 28.6)?
b) Koliki rad izvrši sila elastičnosti niti za isto vrijeme?
c) Koliki je rad rezultantnih sila primijenjenih na loptu za isto vrijeme?
3. Rad elastične sile
Kada se opruga vrati u nedeformisano stanje, elastična sila uvek radi pozitivan rad: njen smer se poklapa sa smerom kretanja (slika 28.7). 
Nađimo rad elastične sile.
Modul ove sile povezan je sa modulom deformacije x relacijom (vidi § 15)
Rad takve sile može se naći grafički.
Zapazimo prvo da je rad konstantne sile brojčano jednak površini pravougaonika ispod grafika zavisnosti sile od pomaka (slika 28.8). 
Slika 28.9 prikazuje grafik F(x) za elastičnu silu. Podijelimo mentalno cjelokupno kretanje tijela na tako male intervale da se sila na svakom od njih može smatrati konstantnom. 
Tada je rad na svakom od ovih intervala numerički jednak površini figure ispod odgovarajućeg dijela grafikona. Sav rad jednak je zbiru rada u ovim oblastima.
Posljedično, u ovom slučaju, rad je numerički jednak površini figure ispod grafa zavisnosti F(x). 
7. Dokažite to koristeći sliku 28.10
rad koji izvrši sila elastičnosti kada se opruga vrati u nedeformisano stanje izražava se formulom
A = (kx 2)/2. (7)
8. Koristeći grafik na slici 28.11, dokazati da kada se deformacija opruge promijeni sa x n na x k, rad elastične sile izražava se formulom
Iz formule (8) vidimo da rad elastične sile zavisi samo od početne i konačne deformacije opruge.Dakle, ako se tijelo prvo deformiše, a zatim se vrati u početno stanje, tada je rad elastične sile jednak nula. Podsjetimo da rad gravitacije ima isto svojstvo.
9. U početnom trenutku napetost opruge krutosti 400 N/m iznosi 3 cm, a opruga se rasteže za još 2 cm.
a) Kolika je konačna deformacija opruge?
b) Koliki je rad elastične sile opruge?
10. U početnom trenutku opruga krutosti 200 N/m rastegnuta je za 2 cm, a u krajnjem trenutku je sabijena za 1 cm Koliki je rad elastične sile opruge?
4. Rad sile trenja
Neka tijelo klizi duž fiksnog oslonca. Sila trenja klizanja koja djeluje na tijelo uvijek je usmjerena suprotno kretanju i stoga je rad sile trenja klizanja negativan u bilo kojem smjeru kretanja (slika 28.12). 
Stoga, ako pomaknete blok udesno, a klin za istu udaljenost ulijevo, tada, iako će se vratiti u početni položaj, ukupan rad koji izvrši sila trenja klizanja neće biti jednak nuli. Ovo je najvažnija razlika između rada trenja klizanja i rada gravitacije i elastičnosti. Podsjetimo da je rad ovih sila pri kretanju tijela po zatvorenoj putanji jednak nuli.
11. Blok mase 1 kg pomaknut je duž stola tako da je njegova putanja ispala kvadrat sa stranicom od 50 cm.
a) Da li se blok vratio na svoju početnu tačku?
b) Koliki je ukupan rad koji izvrši sila trenja koja djeluje na blok? Koeficijent trenja između bloka i stola je 0,3.
5.Snaga
Često nije važan samo posao koji se obavlja, već i brzina kojom se posao obavlja. Odlikuje se snagom.
Snaga P je omjer obavljenog posla A i vremenskog perioda t tokom kojeg je ovaj rad obavljen:
(Ponekad se snaga u mehanici označava slovom N, a u elektrodinamici slovom P. Smatramo da je zgodnije koristiti istu oznaku za snagu.)
Jedinica za snagu je vat (simbol: W), nazvana po engleskom pronalazaču Džejmsu Vatu. Iz formule (9) slijedi da
1 W = 1 J/s.
12. Koju snagu razvija osoba ravnomjerno podižući kantu vode težine 10 kg na visinu od 1 m u trajanju od 2 s?
Često je zgodno izraziti moć ne kroz rad i vrijeme, već kroz silu i brzinu.
Razmotrimo slučaj kada je sila usmjerena duž pomaka. Tada je rad koji izvrši sila A = Fs. Zamjenom ovog izraza u formulu (9) za stepen dobijamo:
P = (Fs)/t = F(s/t) = Fv. (10)
13. Automobil se kreće po horizontalnom putu brzinom od 72 km/h. Istovremeno, njegov motor razvija snagu od 20 kW. Kolika je sila otpora kretanju automobila?
Clue. Kada se automobil kreće po horizontalnom putu konstantnom brzinom, vučna sila je po veličini jednaka sili otpora kretanju automobila.
14. Koliko će vremena biti potrebno da se betonski blok težine 4 tone ravnomjerno podigne na visinu od 30 m ako je snaga motora dizalice 20 kW, a efikasnost elektromotora dizalice 75%?
Clue. Efikasnost elektromotora jednaka je omjeru rada podizanja tereta i rada motora. 
Dodatna pitanja i zadaci
15. Lopta mase 200 g bačena je sa balkona visine 10 i pod uglom od 45º prema horizontali. Postigavši maksimalnu visinu od 15 m u letu, lopta je pala na tlo.
a) Koliki je rad sile teže pri podizanju lopte?
b) Koliki je rad sile teže kada je lopta spuštena?
c) Koliki je rad gravitacije tokom cijelog leta lopte?
d) Ima li dodatnih podataka u stanju?
16. Lopta mase 0,5 kg okačena je na oprugu krutosti 250 N/m i nalazi se u ravnoteži. Lopta se podiže tako da opruga postaje nedeformisana i oslobađa se bez guranja.
a) Na koju visinu je lopta podignuta?
b) Koliki je rad koji je izvršila gravitacija za vrijeme u kojem se lopta kreće u ravnotežni položaj?
c) Koliki je rad koji je izvršila elastična sila za vrijeme u kojem se lopta pomjera u ravnotežni položaj?
d) Koliki rad izvrši rezultanta svih sila koje djeluju na lopticu za vrijeme dok se lopta kreće u ravnotežni položaj?
17. Sanke težine 10 kg klize niz snježnu planinu sa uglom nagiba α = 30º bez početne brzine i putuju određenu udaljenost duž horizontalne površine (slika 28.13). Koeficijent trenja između sanki i snijega je 0,1. Dužina osnove planine je l = 15 m. 
a) Kolika je sila trenja kada se sanke kreću po horizontalnoj površini?
b) Koliki je rad sile trenja kada se sanke kreću duž vodoravne površine na udaljenosti od 20 m?
c) Kolika je sila trenja kada se sanke kreću uz planinu?
d) Koliki je rad sile trenja pri spuštanju saonica?
e) Koliki je rad gravitacije pri spuštanju saonica?
f) Koliki je rad rezultantnih sila koje djeluju na sanke dok se spuštaju s planine?
18. Automobil težine 1 tona kreće se brzinom od 50 km/h. Motor razvija snagu od 10 kW. Potrošnja benzina je 8 litara na 100 km. Gustina benzina je 750 kg/m 3, a specifična toplota sagorevanja je 45 MJ/kg. Kolika je efikasnost motora? Ima li dodatnih podataka u stanju?
Clue. Efikasnost toplotnog motora jednaka je omjeru rada motora i količine topline koja se oslobađa tokom sagorijevanja goriva.
gde je put koji pređe telo tokom dejstva sile.
Nakon zamjene brojčanih vrijednosti dobijamo:
Primer 3. Lopta mase =100 g pala je sa visine =2,5 m na horizontalnu ploču i odbila se od nje usled elastičnog udara bez gubitka brzine. Odredite prosječnu brzinu
Rješenje. Prema drugom Newtonovom zakonu, proizvod prosječne sile i vremena njenog djelovanja jednak je promjeni impulsa tijela uzrokovanom ovom silom, tj.
gdje su i su brzine tijela prije i poslije djelovanja sile; - vrijeme tokom kojeg je sila primijenjena.
Iz (1) dobijamo
Ako uzmemo u obzir da je brzina brojčano jednaka brzini i suprotna joj po smjeru, tada će formula (2) poprimiti oblik:
Pošto je lopta pala sa visine, njena brzina pri udaru je
Uzimajući ovo u obzir, dobijamo
Zamjenom numeričkih vrijednosti ovdje nalazimo
Znak minus pokazuje da je sila usmjerena suprotno brzini pada lopte.
Primjer 4. Za podizanje vode iz bunara dubine =20 m ugrađena je pumpa snage =3,7 kW. Odrediti masu i zapreminu vode podignute u vremenu = 7 sati, ako je efikasnost. pumpa =80%.
Rješenje. Poznato je da snaga pumpe uzima u obzir efikasnost određuje se formulom
gdje je posao obavljen tokom vremena; - faktor efikasnosti.
Rad pri podizanju tereta bez ubrzanja do visine jednak je potencijalnoj energiji koju teret ima na ovoj visini, tj.
gdje je ubrzanje slobodnog pada.
Zamjenom izraza za rad prema (2) u (1), dobijamo
Izrazimo numeričke vrijednosti veličina uključenih u formulu (3) u SI jedinicama: =3,7 kW = 3,7 103 W; =7 h = 2,52 104 s; =80%=0,8; =20 m.
kg kg m2 s2/(s3 m m), kg=kg
Hajde da izračunamo
kg=3,80 105 kg=380 t.
Da biste odredili zapreminu vode, morate podijeliti njenu masu s njenom gustinom
Primjer 5. Vještački Zemljin satelit kreće se po kružnoj orbiti na visini od =700 km. Odredite brzinu njegovog kretanja. Poluprečnik Zemlje = 6,37 106 m, njena masa = 5,98 1024 kg.
Rješenje. Na satelit, kao i na svako tijelo koje se kreće po kružnoj orbiti, djeluje centripetalna sila
gdje je masa satelita; V je brzina njegovog kretanja; - radijus zakrivljenosti putanje.
Ako zanemarimo otpor okoline i gravitacijske sile svih nebeskih tijela, onda možemo pretpostaviti da je jedina sila sila privlačenja između satelita i Zemlje. Ova sila igra ulogu centripetalne sile.
Prema zakonu univerzalne gravitacije
gdje je gravitaciona konstanta.
Izjednačavajući desnu stranu (1) i (2), dobijamo
Otuda i brzina satelita
Zapišimo numeričke vrijednosti količina u SI: = 6,67*10-11 m3/(kg s2); =5,98 1024 kg; = 6,37 106 m; = 700 km = 7.105 m.
Provjerimo jedinice desne i lijeve strane formule za izračunavanje (3) kako bismo bili sigurni da se te jedinice poklapaju. Da biste to učinili, u formulu umjesto količina zamenite njihove dimenzije u međunarodnom sistemu:
Hajde da izračunamo
Primer 6. Zamajac u obliku čvrstog diska mase m = 80 kg i poluprečnika = 50 cm počeo je da se okreće jednoliko ubrzano pod uticajem obrtnog momenta = 20 N m. Odrediti: 1) ugaono ubrzanje; 2) kinetička energija koju dobija zamajac tokom vremena = 10 s od početka rotacije.
Rješenje. 1. Iz osnovne jednadžbe dinamike rotacionog kretanja,
gdje je moment inercije zamašnjaka; - ugaono ubrzanje, dobijamo
Poznato je da je moment inercije diska određen formulom
Zamjenom izraza za iz (2) u (1), dobijamo
Izrazimo vrijednosti u SI jedinicama: = 20 N m; t = 80 kg; = 50 cm = 0,5 m.
Provjerimo jedinice desne i lijeve strane formule za izračunavanje (3):
1/s2 = kg x m2/(s2x kg x m2) = 1/s2
Hajde da izračunamo
2. Kinetička energija rotirajućeg tijela izražava se formulom:
gdje je ugaona brzina tijela.
Kod ravnomjerno ubrzane rotacije, ugaona brzina je povezana s ugaonim ubrzanjem relacijom
gdje je ugaona brzina u trenutku; - početna ugaona brzina.
Kako je prema uslovima zadatka =0, iz (5) slijedi
Zamjenom izraza za iz (6), iz (2) u (4), dobijamo
Provjerimo jedinice desne i lijeve strane formule (7):
Hajde da izračunamo
Primjer 7. Jednačina oscilirajuće tačke ima oblik (pomak u centimetrima, vrijeme u sekundama). Odrediti: 1) amplitudu vibracije, kružnu frekvenciju, period i početnu fazu; 2) pomeranje tačke u vreme s; 3) maksimalna brzina i maksimalno ubrzanje.
Rješenje. 1. Zapišimo jednačinu harmonijskog oscilatornog kretanja u opštem obliku
gdje je x pomak oscilirajuće tačke; A - amplituda vibracije; - kružna frekvencija; - vrijeme oscilovanja; - početna faza.
Upoređujući datu jednačinu sa jednačinom (1), pišemo: A = 3 cm,
Period oscilovanja se određuje iz relacije
Zamjenom vrijednosti u (2) dobijamo
2. Da bismo odredili pomak, zamjenjujemo vrijednost vremena u datu jednačinu:
3. Brzinu oscilatornog kretanja nalazimo uzimajući prvi izvod pomaka oscilirajuće tačke:
(Brzina će imati svoju maksimalnu vrijednost na =1:
Ubrzanje je prvi izvod brzine u odnosu na vrijeme:
Maksimalna vrijednost ubrzanja
Znak minus označava da je ubrzanje usmjereno u smjeru suprotnom od pomaka.
1 Ovako O.D. definiše suštinu svog rada. Khvolson „Sila radi kada se njena tačka primene pomeri... ...treba razlikovati dva slučaja proizvodnje rada: u prvom, suština rada leži u prevazilaženju spoljašnjeg otpora kretanju, koji se javlja bez povećanja brzina tijela; u drugom, rad se otkriva povećanjem brzine kretanja, prema kojem je vanjski svijet indiferentan. U stvari, obično imamo kombinaciju oba slučaja: sila savladava svaki otpor i istovremeno mijenja brzinu tijela.”Za izračunavanje rada konstantne sile predlaže se formula:
Gdje S- kretanje tela pod dejstvom sile F, a- ugao između pravaca sile i pomaka. Istovremeno, kažu da „ako je sila okomita na pomak, tada je rad koji vrši sila jednak nuli. Ako se, uprkos dejstvu sile, tačka primene sile ne pomera, tada sila ne vrši nikakav rad. Na primjer, ako bilo koji teret nepomično visi na ovjesu, tada sila gravitacije koja djeluje na njega ne radi nikakav posao.”
Takođe se kaže: „Koncept rada kao fizičke veličine, uveden u mehaniku, samo je u izvesnoj meri u skladu sa idejom rada u svakodnevnom smislu. Zaista, na primjer, rad utovarivača pri dizanju utega se procjenjuje više, što je veći teret koji se podiže i što je veća visina koju treba podići. Međutim, sa istog svakodnevnog gledišta, skloni smo nazvati “fizičkim radom” svaku ljudsku aktivnost u kojoj on čini određene fizičke napore. Ali, prema definiciji datoj u mehanici, ova aktivnost ne može biti praćena radom. U dobro poznatom mitu o Atlasu koji podupire nebeski svod na svojim ramenima, ljudi su govorili o naporima potrebnim da se izdrži ogromna težina, i smatrali su te napore kao kolosalan posao. Ovdje nema posla za mehaničare, a Atlasove mišiće jednostavno bi mogao zamijeniti jak stub.”
Ovi argumenti podsjećaju na poznatu izjavu I.V. Staljin: "Ako postoji osoba, postoji problem, ako nema osobe, nema problema."
Udžbenik fizike za 10. razred nudi sljedeći izlaz iz ove situacije: „Kada osoba drži teret nepomično u Zemljinom gravitacijskom polju, posao je obavljen i ruka doživljava umor, iako je vidljivo kretanje tereta nula. Razlog za to je što ljudski mišići doživljavaju stalne kontrakcije i istezanja, što dovodi do mikroskopskih pokreta tereta.” Sve je u redu, ali kako izračunati te kontrakcije i istezanja?
Ispostavilo se da je ova situacija: osoba pokušava pomaknuti ormar na daljinu S zašto deluje na silu? F na neko vrijeme t, tj. prenosi impuls sile. Ako kućište ima malu masu i nema sila trenja, onda se orman pomiče i to znači da je posao obavljen. Ali ako je kabinet velike mase i ima velike sile trenja, onda osoba, djelujući istim impulsom sile, ne pomjera ormar, tj. nijedan posao nije obavljen. Nešto se ovdje ne uklapa u takozvane zakone o očuvanju. Ili uzmite primjer prikazan na sl. 1. Ako snaga F a, To . Budući da se prirodno postavlja pitanje, gdje je nestala energija jednaka razlici rada ()?
Slika 1. Force F je usmjeren horizontalno (), tada je rad , a ako je pod kutom a, To
Navedimo primjer koji pokazuje da je rad obavljen ako tijelo ostane nepomično. Uzmimo električni krug koji se sastoji od izvora struje, reostata i ampermetra magnetoelektričnog sistema. Kada je reostat potpuno umetnut, jačina struje je beskonačno mala i igla ampermetra je na nuli. Počinjemo postupno pomicati reohord reostata. Igla ampermetra počinje odstupati, uvijajući spiralne opruge uređaja. To radi sila Ampera: sila interakcije između strujnog okvira i magnetnog polja. Ako zaustavite reohord, uspostavlja se konstantna jačina struje i strelica prestaje da se kreće. Kažu da ako je tijelo nepomično, onda sila ne radi. Ali ampermetar, držeći iglu u istom položaju, i dalje troši energiju, gdje U- napon koji se dovodi do okvira ampermetra, - jačina struje u okviru. One. Amperova sila, koja drži strelicu, još uvijek radi na održavanju opruge u uvrnutom stanju.
Hajde da pokažemo zašto nastaju takvi paradoksi. Prvo, hajde da dobijemo opšteprihvaćen izraz za rad. Razmotrimo rad ubrzanja duž horizontalne glatke površine prvobitno stacionarnog tijela mase m zbog uticaja horizontalne sile na njega F na neko vrijeme t. Ovaj slučaj odgovara uglu na slici 1. Zapišimo Newtonov II zakon u obliku. Pomnožite obje strane jednakosti s prijeđenom udaljenosti S: . Od , dobijamo ili . Imajte na umu da množenje obje strane jednačine sa S, time uskraćujemo rad onim silama koje ne pokreću tijelo (). Štaviše, ako je sila F deluje pod uglom a do horizonta, time poričemo rad sve moći F, „dopuštajući“ rad samo njegove horizontalne komponente: .
Hajde da izvedemo još jednu derivaciju formule za rad. Napišimo Newtonov II zakon u diferencijalnom obliku
Lijeva strana jednačine je elementarni impuls sile, a desna elementarni impuls tijela (količina kretanja). Imajte na umu da desna strana jednačine može biti jednaka nuli ako tijelo miruje () ili se ravnomjerno kreće (), dok lijeva strana nije jednaka nuli. Posljednji slučaj odgovara slučaju ravnomjernog kretanja, kada sila uravnotežuje silu trenja 
.
Međutim, vratimo se našem problemu ubrzavanja nepokretnog tijela. Nakon integracije jednačine (2) dobijamo, tj. impuls sile jednak je impulsu (kolicini kretanja) koji primi tijelo. Dobijamo kvadriranje i dijeljenje s obje strane jednačine
Na ovaj način dobijamo još jedan izraz za računanje rada
(4)
gdje je impuls sile. Ovaj izraz nije povezan s putanjom S koje tijelo prolazi kroz vrijeme t, stoga se može koristiti za izračunavanje rada impulsa sile čak i ako tijelo ostane nepomično.
U slučaju snage F deluje pod uglom a(Sl. 1), zatim je razlažemo na dvije komponente: vučnu silu i silu, koju nazivamo sila levitacije, teži da smanji silu gravitacije. Ako je jednako , tada će tijelo biti u kvazi bestežinskom stanju (stanje levitacije). Koristeći Pitagorinu teoremu: 
, hajde da nađemo rad koji je izvršila sila F
ili (5)
Budući da , i , tada se rad vučne sile može predstaviti u općeprihvaćenom obliku: .
Ako je sila levitacije , tada će rad levitacije biti jednak
(6)
To je upravo posao koji je Atlas radio, držeći nebeski svod na svojim ramenima.
Pogledajmo sada rad sila trenja. Ako je sila trenja jedina sila koja djeluje duž linije kretanja (na primjer, automobil koji se kreće vodoravnim putem brzinom ugasio je motor i počeo kočiti), tada će rad sile trenja biti jednak razlika u kinetičkim energijama i može se izračunati korištenjem općeprihvaćene formule:
(7)
Međutim, ako se tijelo kreće duž hrapave horizontalne površine određenom konstantnom brzinom, tada se rad sile trenja ne može izračunati primjenom općeprihvaćene formule, jer se u ovom slučaju kretanja moraju smatrati kretanjem slobodnog tijela ( ), tj. kako kretanje po inerciji, a brzina V nije stvorena silom, već je stečena ranije. Na primjer, tijelo se kretalo po savršeno glatkoj površini konstantnom brzinom, a u trenutku kada uđe u hrapavu površinu, aktivira se vučna sila. U ovom slučaju, putanja S nije povezana s djelovanjem sile. Ako krenemo putem m, tada će pri brzini m/s vrijeme djelovanja sile biti s, u m/s vrijeme će biti s, pri m/s vrijeme će biti s. Pošto se sila trenja smatra nezavisnom od brzine, onda će, očito, na istom segmentu puta m sila obaviti mnogo više posla za 200 s nego za 10 s, jer u prvom slučaju, impuls sile je , au drugom - . One. u ovom slučaju, rad sile trenja mora se izračunati pomoću formule:
(8)
Označavajući „običan“ rad trenja kroz 
i uzimajući u obzir da , formula (8), izostavljajući znak minus, može se predstaviti u obliku
Ostaje nam da razmotrimo rad treće mehaničke sile - sile trenja klizanja. U zemaljskim uslovima, sila trenja se manifestuje u jednom ili drugom stepenu tokom svih kretanja tela.
Sila trenja klizanja razlikuje se od sile gravitacije i sile elastičnosti po tome što ne ovisi o koordinatama i uvijek nastaje relativnim kretanjem tijela u dodiru.
Razmotrimo rad sile trenja kada se tijelo kreće u odnosu na stacionarnu površinu s kojom dolazi u dodir. U ovom slučaju, sila trenja je usmjerena protiv kretanja tijela. Jasno je da u odnosu na smjer kretanja takvog tijela, sila trenja ne može biti usmjerena ni pod kojim drugim uglom osim pod uglom od 180°. Stoga je rad sile trenja negativan. Rad koji vrši sila trenja mora se izračunati pomoću formule
gdje je sila trenja, je dužina putanje duž koje djeluje sila trenja
Kada na tijelo djeluje gravitacija ili elastična sila, ono se može kretati i u smjeru sile i protiv smjera sile. U prvom slučaju, rad sile je pozitivan, u drugom - negativan. Kada se tijelo kreće naprijed-nazad, ukupan rad je nula.
Isto se ne može reći za rad sile trenja. Rad sile trenja je negativan i kada se kreće "tamo" i kada se kreće natrag." Dakle, rad sile trenja nakon što se tijelo vrati u početnu tačku (kada se kreće po zatvorenoj putanji) nije jednak nuli.
Zadatak. Izračunajte rad sile trenja pri kočenju voza težine 1200 tona do potpunog zaustavljanja, ako je brzina voza u trenutku gašenja motora bila 72 km/h. Rješenje. Koristimo formulu
Ovdje je masa voza, jednaka kg, konačna brzina voza, jednaka nuli, i njegova početna brzina, jednaka 72 km/h = 20 m/sec. Zamjenom ovih vrijednosti dobijamo:
Vježba 51
1. Na tijelo djeluje sila trenja. Može li rad ove sile biti nula?
2. Ako se tijelo na koje djeluje sila trenja, nakon što prođe određenu putanju, vrati u početnu tačku, da li će rad trenja biti jednak nuli?
3. Kako se mijenja kinetička energija tijela kada djeluje sila trenja?
4. Saonice težine 60 kg, koje su se kotrljale niz planinu, vozile su 20 m horizontalnim dijelom puta. Nađite rad sile trenja na ovoj dionici ako je koeficijent trenja trkača saonica na snijeg je 0,02.
5. Dio koji se naoštrava pritisne se na kamen za oštrenje radijusa 20 cm sa silom od 20 N. Odredite koliki rad obavi motor za 2 minute ako žrvnjeva radi 180 o/min, a koeficijent trenja dijela o kamen je 0,3.
6. Vozač automobila gasi motor i počinje kočiti 20 m od semafora. Uz pretpostavku da je sila trenja jednaka 4000 k, pronađite pri kojoj maksimalnoj brzini automobila će imati vremena da se zaustavi ispred semafora ako je masa automobila 1,6 tona?
1Ako postoji masa na tijelu m, koji se nalazi na glatkoj horizontalnoj površini, djeluje
konstantna sila F, usmjerena pod određenim uglom α
prema horizontu a istovremeno se tijelo pomiče na određenu udaljenost S, onda kažu da je snaga F uradio posao A. Količina posla određena je formulom:
A= F× S cos α (1)
Međutim, u prirodi ne postoje savršeno glatke površine, a sile trenja uvijek nastaju na dodirnoj površini dva tijela. Ovako piše u udžbeniku: „Rad sile statičkog trenja je nula, jer nema kretanja. Prilikom klizanja čvrstih površina, sila trenja je usmjerena protiv kretanja. Njen učinak je negativan. Kao rezultat toga, kinetička energija tijela koja trljaju pretvara se u unutrašnju energiju – površine koje se trljaju se zagrijavaju.”
A TP = FTP ×S = μNS (2)
Gdje μ - koeficijent trenja klizanja.
Samo u udžbeniku O.D. Khvolson je razmatrao slučaj UBRZANOG KRETANJA u prisustvu sila trenja: „Dakle, treba razlikovati dva slučaja stvaranja rada: u prvom, suština rada leži u savladavanju vanjskog otpora kretanju, koji se javlja bez povećanja brzine kretanja. tijelo; u drugom, rad se otkriva povećanjem brzine kretanja, prema kojem je vanjski svijet indiferentan.
U stvari, obično imamo VEZU OBA SLUČAJA: sila f savladava svaki otpor i istovremeno mijenja brzinu tijela.
Pretpostavimo to f„nije jednako f, naime, to f"< f. U ovom slučaju na tijelo djeluje sila
f- f“, Job ρ
što uzrokuje povećanje tjelesne brzine. Imamo ρ
=(f- f")S,
gdje
fS= f"S+ ρ (*)
Posao r= fS sastoji se iz dva dela: f"S troši se na savladavanje vanjskog otpora, ρ za povećanje tjelesne brzine."
Zamislimo ovo u modernoj interpretaciji (slika 1). Po tjelesnoj masi m vučna sila koja deluje F T koja je veća od sile trenja F TP = μN = μmg. Rad vučne sile u skladu s formulom (*) može se zapisati na sljedeći način
A=F T S=F TP S+F a S= A TP+ Aa(3)
Gdje F a=F T - F T - sila koja uzrokuje ubrzano kretanje tijela u skladu s Newtonovim II zakonom: F a= ma. Rad sile trenja je negativan, ali ovdje i dalje ćemo koristiti silu trenja i modul rada trenja. Za dalja razmatranja potrebna je numerička analiza. Uzmimo sljedeće podatke: m=10 kg; g=10 m/s 2 ; F T=100 N; μ = 0,5; t=10 s. Vršimo sljedeće proračune: F TP= μmg= 50 N; F a= 50 N; a=F a/m=5 m/s 2 ; V= at= 50 m/s; K= mV 2 /2 =12,5 kJ; S= at 2 /2 = 250 m; Aa= F a S=12,5 kJ; A TP=F TP S=12,5 kJ. Dakle, ukupan rad A= A TP+ Aa=12,5 +12,5 = 25 kJ
Sada izračunajmo rad vučne sile F T za slučaj kada nema trenja ( μ =0).
Provodeći slične proračune, dobijamo: a =10 m/s 2 ; V=100m/s; K = 50 kJ; S = 500 m; A = 50 kJ. U drugom slučaju, za istih 10 s dobili smo duplo više posla. Može se prigovoriti da je put duplo duži. Međutim, ma šta oni rekli, nastaje paradoksalna situacija: moći koje razvija ista sila razlikuju se za faktor dva, iako su impulsi sila isti I =F T t =1 kN.s. Kako je napisao M.V Lomonosov davne 1748. godine: „...ali sve promene koje se dešavaju u prirodi dešavaju se tako da se sve što se nečemu doda, drugome će oduzeti ista količina...”. Stoga, hajde da pokušamo dobiti drugi izraz za definiranje rada.
Zapišimo Newtonov II zakon u diferencijalnom obliku:
F. dt = d(mV ) (4)
i razmotrimo problem ubrzanja inicijalno nepokretnog tijela (nema trenja). Integracijom (4) dobijamo: F × t = mV . Kvadrat i podijeljen sa 2 m obe strane jednakosti, dobijamo:
F 2 t 2 / 2m = mV 2 / 2 A= K (5)
Tako smo dobili još jedan izraz za izračunavanje rada
A=F 2 t 2 / 2m = I 2/2m (6)
Gdje I = F × t - impuls sile. Ovaj izraz nije povezan s putanjom S koje tijelo prolazi kroz vrijeme t, tj. može se koristiti za izračunavanje rada koji je izvršio impuls sile čak i ako tijelo ostane nepomično, iako se, kako se navodi u svim predmetima fizike, u ovom slučaju ne radi nikakav rad.
Prelazeći na naš problem ubrzanog kretanja s trenjem, zapisujemo zbir impulsa sile: I T = I a + I TP, Gdje I T = F T t; Ia= Debeo; ITP = F TP t. Kvadriranjem zbira impulsa dobijamo:
F T 2 t 2= F a 2 t 2+ 2F a F TP t 2 + F TP 2 t 2
Dijeljenje svih članova jednačine sa 2m, dobijamo:
ili A= A a + A UT + A TP
Gdje Aa=F a 2 t 2 / 2 m- rad utrošen na ubrzanje; A TP = F TP 2 t 2 /2 m - rad utrošen na savladavanje sile trenja pri ravnomjernom kretanju, i A UT =F a F TP t 2 / m- rad utrošen na savladavanje sile trenja pri ubrzanom kretanju. Numerički proračun daje sljedeći rezultat:
A=Aa +AUt + A TP = 12,5 + 25 +12,5 = 50 kJ,
one. dobili smo istu količinu posla od strane sile F T u odsustvu trenja.
Razmotrimo opštiji slučaj kretanja tijela sa trenjem, kada na tijelo djeluje sila F, usmjerena pod uglom α do horizonta (slika 2). Sada vučna sila F T = F cos α, i snagu F L= F sin α - nazovimo to sila levitacije, ona smanjuje silu gravitacije P=mg, iu slučaju F L = mg tijelo neće vršiti pritisak na oslonac i biće u kvazi bestežinskom stanju (stanje levitacije). Sila trenja F TP = μ N = μ (P - F L) . Vučna sila se može napisati u obliku F T= F a+ F TP, a iz pravouglog trougla (slika 2) dobijamo: F 2 =F T 2 + F L 2 . Množenje posljednjeg omjera sa t 2 , dobijamo ravnotežu impulsa sile, i dijeljenjem sa 2m, dobijamo energetski bilans (work-bot):
Predstavimo numerički proračun za silu F = 100 N i α = 30o pod istim uslovima (m = 10 kg; μ = 0,5; t = 10 Sa). Rad sile F biće jednaki A=F 2 t 2 /2m= 50, a formula (8) daje sljedeći rezultat (precizan do treće decimale):
50=15,625+18,974-15,4-12,5+30,8+12,5 kJ.
Kao što pokazuju proračuni, sila F = 100 N, koji djeluje na tijelo mase m = 10 kg pod bilo kojim uglom α za 10 s obavlja isti posao od 50 kJ.
Poslednji član u formuli (8) predstavlja rad sile trenja pri ravnomernom kretanju tela duž horizontalne površine brzinom V
Dakle, bez obzira pod kojim uglom ova sila djeluje F za dato tijelo mase m, sa ili bez trenja, u vremenu t isti će se posao obaviti (čak i ako je tijelo nepomično):
Fig.1
Fig.2
BIBLIOGRAFIJA
- Matveev A.N. mehanika i teorija relativnosti. Udžbenik za fizičke i specijalističke univerzitete. -M.: Viša škola, 1986.
- Strelkov SP. Mehanika. Kurs opšte fizike. T. 1. - M.: GITTL, 1956.
- Khvolson O.D. Kurs fizike. T. 1. Državna izdavačka kuća RSFSR, Berlin, 1923.
Bibliografska veza
IVANOV E.M. RAD U KRETANJU TIJELA S TRENJEM // Savremeni problemi nauke i obrazovanja. – 2005. – br. 2.;URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=1468 (datum pristupa: 14.07.2019.). Predstavljamo Vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Akademija prirodnih nauka"