Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke. U članku" " Obećao sam vam da ćete pogledati drugi način rješavanja predstavljenih problema nalaženja derivacije, s obzirom na graf funkcije i tangentu na ovaj graf. O ovoj metodi ćemo raspravljati u , Ne propustite! Zašto u sledećoj?
Činjenica je da će se tu koristiti formula za jednadžbu ravne linije. Naravno, mogli bismo jednostavno pokazati ovu formulu i savjetovati vas da je naučite. Ali bolje je objasniti odakle dolazi (kako je izvedeno). To je neophodno! Ako ga zaboravite, možete ga brzo vratitineće biti teško. Sve je detaljno opisano u nastavku. Dakle, imamo dvije tačke A na koordinatnoj ravni(x 1;y 1) i B(x 2;y 2), kroz naznačene tačke povlači se prava linija: 
Evo same direktne formule:
*Odnosno, prilikom zamjene određenih koordinata tačaka, dobijamo jednačinu oblika y=kx+b.
**Ako jednostavno "zapamtite" ovu formulu, postoji velika vjerovatnoća da ćete se pomiješati s indeksima kada X. Osim toga, indeksi se mogu označiti na različite načine, na primjer:
Zato je važno razumjeti značenje.
Sada izvođenje ove formule. Sve je vrlo jednostavno!
Trouglovi ABE i ACF su slični po oštrom uglu (prvi znak sličnosti pravokutnih trokuta). Iz ovoga slijedi da su omjeri odgovarajućih elemenata jednaki, odnosno:
Sada jednostavno izražavamo ove segmente kroz razliku u koordinatama tačaka:
Naravno, neće biti greške ako napišete odnose elemenata drugačijim redoslijedom (glavno je održati konzistentnost):
Rezultat će biti ista jednadžba linije. Ovo je sve!
To jest, bez obzira na to kako su same tačke (i njihove koordinate) označene, razumijevanjem ove formule uvijek ćete pronaći jednadžbu prave linije.
Formula se može izvesti korištenjem svojstava vektora, ali princip izvođenja će biti isti, jer ćemo govoriti o proporcionalnosti njihovih koordinata. U ovom slučaju radi ista sličnost pravokutnih trokuta. Po mom mišljenju, gore opisani zaključak je jasniji)).
Pogledajte izlaz preko vektorskih koordinata >>>
Neka se na koordinatnoj ravni konstruiše prava linija koja prolazi kroz dve date tačke A(x 1;y 1) i B(x 2;y 2). Označimo proizvoljnu tačku C na pravoj sa koordinatama ( x; y). Takođe označavamo dva vektora:
Poznato je da su za vektore koji leže na paralelnim linijama (ili na istoj pravoj) njihove odgovarajuće koordinate proporcionalne, odnosno:
— zapisujemo jednakost omjera odgovarajućih koordinata:
Pogledajmo primjer:
Naći jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama (2;5) i (7:3).
Ne morate čak ni da gradite samu pravu liniju. Primjenjujemo formulu:
Važno je da shvatite korespondenciju prilikom sastavljanja omjera. Ne možete pogriješiti ako napišete:
Odgovor: y=-2/5x+29/5 idi y=-0,4x+5,8
Da biste bili sigurni da je rezultirajuća jednadžba ispravno pronađena, obavezno provjerite - zamijenite koordinate podataka u stanju tačaka u nju. Jednačine bi trebale biti tačne.
To je sve. Nadam se da vam je materijal bio koristan.
S poštovanjem, Alexander.
P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.
Usmjeravajući vektor prave l svaki vektor različit od nule ( m, n), paralelno sa ovom linijom.
Neka zadata tačka M 1 (x 1 , y 1) i vektor smjera ( m, n), zatim jednačina prave koja prolazi kroz tačku M 1 u smjeru vektora izgleda ovako: 
. Ova jednačina se zove kanonska jednačina prave.
Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).
Tražit ćemo jednadžbu željene linije u obliku: Ax+By+C= 0. Zapišimo kanonsku jednačinu prave i transformirajmo je. Dobijamo x + y - 3 = 0
Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke
Neka su date dvije tačke na ravni M 1 (x 1 , y 1) i M 2 (x 2, y 2), tada jednačina prave koja prolazi kroz ove tačke ima oblik: 
. Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli.
Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).
Primjenom formule napisane iznad, dobijamo: ,
Jednačina prave linije iz tačke i nagiba
Ako opšta jednačina ravno Ah + Wu + S= 0 se svodi na oblik: i označava se sa , tada se rezultirajuća jednačina naziva jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom k.
Jednačina prave u segmentima
Ako u opštoj jednačini prave Ah + Wu + S= 0 koeficijent WITH¹ 0, zatim podijelimo sa C, dobijemo: 
ili gde 
Geometrijsko značenje koeficijenti je taj koeficijent A je koordinata tačke preseka prave sa osom Oh, A b– koordinata tačke preseka prave sa osom OU.
Primjer. Daje se opšta jednačina prave linije X – at+ 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima. A = -1, B = 1, C = 1, onda A = -1, b= 1. Jednačina prave linije u segmentima će imati oblik .
Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Naći jednadžbu visine povučene iz vrha C.
Pronalazimo jednačinu stranice AB: 
;
4x = 6y– 6; 2x – 3y + 3 = 0;
Tražena jednadžba visine ima oblik: Ax+By+C= 0 ili y = kx + b.
k= . Onda y= . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: 
gdje b= 17. Ukupno: .
Odgovor: 3 x + 2y – 34 = 0.
Naziv lekcije: Krivulje drugog reda.
Svrha lekcije: Naučite nacrtati krivulje 2. reda i konstruirati ih.
Priprema za nastavu: Pregledajte teorijski materijal na temu “Krivulje 2. reda”
književnost:
- Dadayan A.A. "Matematika", 2004
Zadatak lekcije:
Procedura izvođenja nastave:
- Dobijte dozvolu za rad
- Završite zadatke
- Odgovorite na sigurnosna pitanja.
- Naziv, svrha lekcije, zadatak;
- Završen zadatak;
- Odgovori na sigurnosna pitanja.
Test pitanja za testiranje:
- Definirajte krivulje drugog reda (krug, elipsa, hiperbola, parabola), zapišite njihove kanonske jednadžbe.
- Koliki je ekscentricitet elipse ili hiperbole? Kako ga pronaći?
- Napišite jednačinu jednakostranične hiperbole
PRIMJENA
Obim je skup svih tačaka ravni jednako udaljenih od jedne tačke koja se zove centar.
Neka središte kruga bude tačka O(a; b), i udaljenost do bilo koje tačke M(x;y) krug je jednak R. Zatim ( x–a) 2 + (y–b) 2 = R 2 – kanonska jednadžba kružnice sa centrom O(a; b) i radijus R.
Primjer. Pronađite koordinate centra i polumjer kružnice ako je njegova jednadžba data u obliku: 2 x 2 + 2y 2 – 8x + 5 y – 4 = 0.
Da bismo pronašli koordinate centra i polumjera kruga, ova jednadžba se mora svesti na kanonski oblik. Da biste to učinili, odaberite kompletne kvadrate:
x 2 + y 2 – 4x + 2,5y – 2 = 0
x 2 – 4x + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
(x– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0
(x – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16
Odavde nalazimo koordinate centra O(2; -5/4); radijus R = 11/4.
Elipsa je skup tačaka na ravni, zbir udaljenosti od svake do dvije date tačke (zvane žarišta) je konstantna vrijednost veća od udaljenosti između žarišta.
Fokusi su označeni slovima F 1 , F With, zbir udaljenosti od bilo koje tačke elipse do žarišta je 2 A (2A > 2c), a– velika poluosa; b– mala poluosa.
Kanonska jednadžba elipse ima oblik: , gdje a, b I c povezani su sljedećim jednakostima: a 2 – b 2 = c 2 (ili b 2 – a 2 = c 2).
Oblik elipse određen je karakteristikom koja je omjer žižne daljine i dužine glavne ose i naziva se ekscentricitet. ili .
Jer po definiciji 2 A> 2c, tada se ekscentricitet uvijek izražava kao pravi razlomak, tj. .
Primjer. Napišite jednačinu za elipsu ako su njena žarišta F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), glavna osovina jednako 2.
Jednačina elipse ima oblik: .
Udaljenost fokusa: 2 c= 
, Dakle, a 2 – b 2 = c 2 = . Prema uslovu 2 A= 2, dakle, A = 1, b= Tražena jednačina elipse će imati oblik: .
Hiperbola je skup tačaka na ravni, razlika u udaljenosti od svake do dvije date tačke, koje se nazivaju fokusi, je konstantna vrijednost manja od udaljenosti između žarišta.
Kanonska jednadžba hiperbole ima oblik: ili , gdje a, b I c povezane jednakošću a 2 + b 2 = c 2 . Hiperbola je simetrična oko sredine segmenta koji povezuje žarišta i oko koordinatnih osa. Fokusi su označeni slovima F 1 , F 2, udaljenost između fokusa – 2 With, razlika u udaljenostima od bilo koje tačke hiperbole do žarišta je 2 A (2A < 2c). Osa 2 A naziva se realna os hiperbole, os 2 b– imaginarna osa hiperbole. Hiperbola ima dvije asimptote, čije su jednačine
Ekscentricitet hiperbole je omjer udaljenosti između žarišta i dužine realne ose: ili. Jer po definiciji 2 A < 2c, tada se ekscentricitet hiperbole uvijek izražava kao nepravilan razlomak, tj. .
Ako je dužina realne ose jednaka dužini imaginarne ose, tj. a = b, ε = , tada se naziva hiperbola equilateral.
Primjer. Sastavite kanonsku jednadžbu hiperbole ako je njen ekscentricitet 2 i njena žarišta se poklapaju sa žarištima elipse sa jednačinom
Pronalaženje žižne daljine c 2 = 25 – 9 = 16.
Za hiperbolu: c 2 = a 2 + b 2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a; c 2 = 4a 2 ; a 2 = 4; b 2 = 16 – 4 = 12.
Tada je tražena jednačina hiperbole.
Parabola je skup tačaka u ravni jednako udaljenih od date tačke, koja se zove fokus, i date prave, koja se zove direktrisa.
Fokus parabole je označen slovom F, direktor - d, udaljenost od fokusa do direktrise – R.
Kanonska jednadžba parabole, čiji se fokus nalazi na x-osi, ima oblik:
y 2 = 2px ili y 2 = -2px
x = -str/2, x = str/2
Kanonska jednadžba parabole, čiji se fokus nalazi na ordinatnoj osi, ima oblik:
X 2 = 2ru ili X 2 = -2ru
Direktrix jednadžbe respektivno at = -str/2, at = str/2
Primjer. Na paraboli at 2 = 8X pronaći tačke čija je udaljenost od direktrise 4.
Iz jednačine parabole to dobijamo R = 4. r = x + str/2 = 4; dakle:
x = 2; y 2 = 16; y= ±4. Pretražene tačke: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).
Praktična lekcija br. 8
Naziv lekcije: Radnje na kompleksni brojevi u algebarskom obliku. Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva.
Svrha lekcije: Naučite da izvodite operacije nad kompleksnim brojevima.
Priprema za nastavu: Pregledajte teorijski materijal na temu “Kompleksni brojevi”.
književnost:
- Grigoriev V.P., Dubinski Yu.A. „Elementi višu matematiku“, 2008
Zadatak lekcije:
- Izračunati:
1) i 145 + i 147 + i 264 + i 345 + i 117 ;
2) (i 64 + i 17 + i 13 + i 82)·( i 72 – i 34);
U ovom članku ćemo naučiti kako sastaviti jednadžbe prave linije koja prolazi ovu tačku na ravni okomitoj na datu pravu. Proučimo teorijske informacije i predstavimo ilustrativni primjeri, gdje je potrebno napisati takvu jednačinu.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Prije pronalaženja jednačine prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu. O teoremi se govori u srednja škola. Kroz datu tačku koja leži na ravni, može se povući jedna prava prava okomita na datu. Ako postoji trodimenzionalni prostor, tada će se broj takvih linija povećati do beskonačnosti.
Definicija 1
Ako ravan α prolazi kroz datu tačku M 1 okomito na datu pravu b, tada su prave koje leže u ovoj ravni, uključujući i onu koja prolazi kroz M 1, okomite na datu pravu b.
Iz ovoga možemo doći do zaključka da je sastavljanje jednadžbe za pravu koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu primjenjivo samo za slučaj na ravni.
Problemi sa trodimenzionalnim prostorom uključuju traženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu.
Ako na ravni sa koordinatnim sistemom O x y z imamo pravu b, onda ona odgovara jednačini prave na ravni, određena je tačka sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) i ona je potrebno da se napravi jednačina prave a, koja prolazi kroz tačku M 1, i okomita na pravu b.
Po uslovu imamo koordinate tačke M 1. Da biste napisali jednadžbu prave linije, morate imati koordinate usmjeravajućeg vektora prave a, ili koordinate vektora normale prave a, ili kutni koeficijent prave a.
Treba dobiti podatke od zadata jednačina ravno b. Po uslovu, linije a i b su okomite, što znači da se vektor pravca prave b smatra normalnim vektorom prave a. Odavde dobijamo da su ugaoni koeficijenti označeni kao k b i k a. Oni su povezani pomoću relacije k b · k a = - 1 .
Otkrili smo da vektor pravca prave b ima oblik b → = (b x, b y), pa je vektor normale n a → = (A 2, B 2), gdje su vrijednosti A 2 = b x, B 2 = b y. Zatim napišemo opštu jednačinu prave koja prolazi kroz tačku sa koordinatama M 1 (x 1 , y 1), koja ima vektor normale n a → = (A 2 , B 2), koja ima oblik A 2 (x - x 1 ) + B 2 (y - y 1) = 0 .
Vektor normale prave b je definisan i ima oblik n b → = (A 1, B 1), tada je vektor pravca linije a vektor a → = (a x, a y), gde su vrednosti a x = A 1, a y = B 1. To znači da ostaje da se sastavi kanonska ili parametarska jednačina prave a, koja prolazi kroz tačku sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) sa vektorom pravca a → = (a x, a y), koja ima oblik x - x 1 a x = y - y 1 a y ili x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ respektivno.
Nakon što pronađete nagib k b prave linije b, možete izračunati nagib prave a. Biće jednako - 1 k b . Iz toga slijedi da jednačinu prave a koja prolazi kroz M 1 (x 1 , y 1) sa ugaonim koeficijentom od - 1 k b možemo napisati u obliku y - y 1 = - 1 k b · (x - x 1) .
Rezultirajuća jednačina prave linije koja prolazi kroz datu tačku ravnine koja je okomita na datu. Ako okolnosti to zahtijevaju, možete prijeći na drugi oblik ove jednadžbe.
Primjeri rješavanja
Razmotrimo sastavljanje jednačine prave linije koja prolazi kroz datu tačku ravni i okomita je na datu pravu liniju.
Primjer 1
Zapišite jednačinu prave a, koja prolazi kroz tačku sa koordinatama M 1 (7, - 9) i okomita je na pravu b, koja je data kanonskom jednačinom prave x - 2 3 = y + 4 1.
Rješenje
Iz uslova imamo da je b → = (3, 1) vektor pravca x - 2 3 = y + 4 1. Koordinate vektora b → = 3, 1 su koordinate vektora normale prave a, pošto su prave a i b međusobno okomite. To znači da dobijamo n a → = (3, 1) . Sada je potrebno zapisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 1 (7, - 9), koja ima vektor normale sa koordinatama n a → = (3, 1).
Dobijamo jednačinu oblika: 3 · (x - 7) + 1 · (y - (- 9)) = 0 ⇔ 3 x + y - 12 = 0
Rezultirajuća jednačina je željena.
Odgovor: 3 x + y - 12 = 0.
Primjer 2
Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz početak koordinatnog sistema O x y z, okomitu na pravu 2 x - y + 1 = 0.
Rješenje
Imamo da je n b → = (2, - 1) vektor normale date prave. Dakle, a → = (2, - 1) su koordinate željenog usmjeravajućeg vektora prave linije.
Popravimo jednačinu prave koja prolazi kroz početak koordinata sa vektorom smjera a → = (2, - 1) . Dobijamo da je x - 0 2 = y + 0 - 1 ⇔ x 2 = y - 1 . Rezultirajući izraz je jednačina prave koja prolazi kroz ishodište koordinata okomito na pravu 2 x - y + 1 = 0.
Odgovor: x 2 = y - 1.
Primjer 3
Zapišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku sa koordinatama M 1 (5, - 3) okomito na pravu y = - 5 2 x + 6.
Rješenje
Iz jednačine y = - 5 2 x + 6 nagib ima vrijednost - 5 2 . Ugaoni koeficijent prave linije koja je okomita na nju ima vrijednost - 1 - 5 2 = 2 5. Odavde zaključujemo da je prava koja prolazi kroz tačku sa koordinatama M 1 (5, - 3) okomita na pravu y = - 5 2 x + 6 jednaka y - (- 3) = 2 5 x - 5 ⇔ y = 2 5 x - 5 .
Odgovor: y = 2 5 x - 5 .
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Neka prava prolazi kroz tačke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednačina prave koja prolazi kroz tačku M 1 ima oblik y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Gdje k - još uvijek nepoznat koeficijent.
Kako prava prolazi kroz tačku M 2 (x 2 y 2), koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednačinu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k
u jednačinu (10.6), dobijamo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke M 1 i M 2: 
Pretpostavlja se da u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Ako je x 1 = x 2, tada je prava linija koja prolazi kroz tačke M 1 (x 1,y I) i M 2 (x 2,y 2) paralelna sa ordinatnom osom. Njegova jednadžba je x = x 1 .
Ako je y 2 = y I, onda se jednačina prave može napisati kao y = y 1, prava linija M 1 M 2 je paralelna sa apscisnom osom.
Jednačina prave u segmentima
Neka prava linija siječe osu Ox u tački M 1 (a;0), a osu Oy u tački M 2 (0;b). Jednačina će poprimiti oblik: 
one. 
. Ova jednačina se zove jednadžba prave linije u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente linija odsijeca na koordinatnim osama.
Jednadžba prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor
Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz datu tačku Mo (x O; y o) okomito na dati vektor koji nije nula n = (A; B).
Uzmimo proizvoljnu tačku M(x; y) na pravoj i razmotrimo vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Pošto su vektori n i M o M okomiti, njihov skalarni proizvod je jednak nuli: tj.
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Jednačina (10.8) se zove jednadžba prave linije koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor .
Vektor n= (A; B), okomit na pravu, naziva se normalan normalni vektor ove linije .
Jednačina (10.8) se može prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
gdje su A i B koordinate vektora normale, C = -Ax o - Vu o je slobodni pojam. Jednadžba (10.9) je opšta jednačina prave(vidi sliku 2).
Sl.1 Sl.2
Kanonske jednadžbe prave
,
Gdje 
- koordinate tačke kroz koju linija prolazi, i 
- vektor smjera.
Krivulje drugog reda Krug
Krug je skup svih tačaka ravni jednako udaljenih od date tačke, koja se naziva središte.
Kanonska jednadžba kružnice poluprečnika
R centriran u tački 
:
Konkretno, ako se središte udjela poklapa s ishodištem koordinata, tada će jednadžba izgledati ovako: 
Elipsa
Elipsa je skup tačaka na ravni, zbir udaljenosti svake od njih do dvije date tačke
I 
, koji se nazivaju fokusi, je konstantna veličina 
, veća od udaljenosti između žarišta 
.
Kanonska jednadžba elipse čija žarišta leže na osi Ox, a ishodište koordinata u sredini između žarišta ima oblik 
G 
de a dužina velike poluose; b – dužina male poluose (sl. 2).
Neka su data dva boda M(X 1 ,U 1) i N(X 2,y 2). Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz ove tačke.
Pošto ova prava prolazi kroz tačku M, tada prema formuli (1.13) njena jednadžba ima oblik
U – Y 1 = K(X–x 1),
Gdje K– nepoznati ugaoni koeficijent.
Vrijednost ovog koeficijenta određuje se iz uslova da željena prava linija prolazi kroz tačku N, što znači da njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu (1.13)
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
Odavde možete pronaći nagib ove linije:
,
Ili nakon konverzije
(1.14)
Formula (1.14) određuje Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke M(X 1, Y 1) i N(X 2, Y 2).
U posebnom slučaju kada tačke M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, leže na koordinatnoj osi, jednačina (1.14) će poprimiti jednostavniji oblik
Jednadžba (1.15) pozvao Jednačina prave linije u segmentima, Evo A I B označavamo segmente odsečene pravom linijom na osovinama (slika 1.6).
Slika 1.6
Primjer 1.10. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačke M(1, 2) i B(3, –1).
. Prema (1.14), jednačina željene linije ima oblik
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Prenoseći sve članove na lijevu stranu, konačno dobijamo željenu jednačinu
3X + 2Y – 7 = 0.
Primjer 1.11. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačku M(2, 1) i tačka preseka pravih X+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.
. Naći ćemo koordinate tačke preseka pravih zajedničkim rešavanjem ovih jednačina
Ako saberemo ove jednačine pojam po član, dobićemo 2 X+ 1 = 0, odakle . Zamjenom pronađene vrijednosti u bilo koju jednačinu nalazimo vrijednost ordinate U:
Zapišimo sada jednačinu prave koja prolazi kroz tačke (2, 1) i:
ili .
Stoga ili –5( Y – 1) = X – 2.
Konačno dobijamo jednačinu željene linije u obliku X + 5Y – 7 = 0.
Primjer 1.12. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M(2.1) i N(2,3).
Koristeći formulu (1.14) dobijamo jednačinu
To nema smisla jer je drugi imenilac nula. Iz uslova zadatka jasno je da apscise obe tačke imaju istu vrednost. To znači da je željena ravna linija paralelna sa osom OY a njegova jednadžba je: x = 2.
Komentar . Ako se pri pisanju jednačine prave po formuli (1.14) ispostavi da je jedan od nazivnika jednak jednaka nuli, onda se tražena jednačina može dobiti izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika sa nulom.
Razmotrimo druge načine definiranja prave na ravni.
1. Neka je vektor različit od nule okomit na datu pravu L, i tačka M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj (slika 1.7).
Slika 1.7
Označimo M(X, Y) bilo koja tačka na pravoj L. Vektori i 
Ortogonalno. Koristeći uslove ortogonalnosti ovih vektora, dobijamo ili A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Dobili smo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0 je okomito na vektor. Ovaj vektor se zove Normalni vektor na pravu liniju L. Rezultirajuća jednačina se može prepisati kao
Oh + Wu + WITH= 0, gdje WITH = –(AX 0 + By 0), (1.16),
Gdje A I IN– koordinate vektora normale.
Dobijamo opštu jednačinu linije u parametarskom obliku.
2. Prava linija na ravni se može definirati na sljedeći način: neka je vektor različit od nule paralelan datoj pravoj liniji L i tačka M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj. Uzmimo opet proizvoljnu tačku M(X, y) na pravoj liniji (slika 1.8).
Slika 1.8
Vektori i 
kolinearno.
Zapišimo uvjet kolinearnosti ovih vektora: , gdje T– proizvoljan broj koji se naziva parametar. Zapišimo ovu jednakost u koordinatama:
Ove jednačine se nazivaju Parametarske jednadžbe Pravo. Isključimo parametar iz ovih jednačina T:
Ove jednačine se inače mogu zapisati kao
. (1.18)
Rezultirajuća jednačina se zove Kanonska jednadžba prave. Vektor se zove Vektor usmjeravanja je ravan .
Komentar . Lako je vidjeti da je if normalan vektor na pravu L, tada njegov vektor smjera može biti vektor budući da , tj.
Primjer 1.13. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0(1, 1) paralelno sa linijom 3 X + 2U– 8 = 0.
Rješenje . Vektor je vektor normale na date i željene linije. Koristimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0 sa datim vektorom normale 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 ili 3 X + 2u– 5 = 0. Dobili smo jednačinu željene linije.