Funkcije ekonomskih odnosa. Funkcije Sljedeće funkcije u vezi sa

Suština i klasifikacija ekonomskih odnosa

Od trenutka njegovog odvajanja od svijeta divlje životinje, čovjek se razvija kao biosocijalno biće. Time se određuju uslovi za njegov razvoj i formiranje. Glavni podsticaj za razvoj čovjeka i društva su potrebe. Da bi zadovoljio ove potrebe, osoba mora raditi.

Rad je svjesna aktivnost osobe na stvaranju dobara radi zadovoljenja potreba ili dobijanja koristi.

Što su se potrebe više povećavale, proces rada je postajao složeniji. To je zahtijevalo sve veće utroške sredstava i sve usklađenije djelovanje svih članova društva. Zahvaljujući radu formirane su glavne karakteristike izgled savremeni čovek, te karakteristike čovjeka kao društvenog bića. Radna snaga je prešla u fazu ekonomske aktivnosti.

Ekonomska aktivnost se odnosi na ljudsku aktivnost u stvaranju, preraspodjeli, razmjeni i korištenju materijalnih i duhovnih dobara.

Ekonomska aktivnost podrazumeva potrebu da se uđe u neku vrstu odnosa između svih učesnika ovaj proces. Ovi odnosi se nazivaju ekonomskim.

Definicija 1

Ekonomski odnosi su sistem odnosa između fizičkih i pravna lica, formiran tokom procesa proizvodnje. preraspodjela, razmjena i potrošnja bilo koje robe.

Ovi odnosi imaju raznih oblika i trajanje. Stoga postoji nekoliko opcija za njihovu klasifikaciju. Sve zavisi od izabranog kriterijuma. Kriterijum može biti vrijeme, učestalost (redovnost), stepen koristi, karakteristike učesnika u ovom odnosu itd. Najčešće spominjani tipovi ekonomskih odnosa su:

međunarodne i domaće;
obostrano korisni i diskriminatorni (koristi jednu stranu i narušava interese druge);
dobrovoljno i prisilno;
stabilno redovno i epizodično (kratkoročno);
kreditne, finansijske i investicione;
kupoprodajni odnosi;
vlasnički odnosi itd.

U procesu ekonomske aktivnosti, svaki od učesnika u odnosu može imati više uloga. Konvencionalno se razlikuju tri grupe nosilaca ekonomskih odnosa. Ovo su:

proizvođači i potrošači ekonomskih dobara;
prodavci i kupci ekonomskih dobara;
vlasnici i korisnici robe.

Ponekad se izdvaja posebna kategorija posrednika. Ali s druge strane, posrednici jednostavno postoje u nekoliko oblika u isto vrijeme. Dakle, sistem ekonomskih odnosa karakteriše širok spektar oblika i manifestacija.

Postoji još jedna klasifikacija ekonomskih odnosa. Kriterijum su karakteristike tekućih procesa i ciljevi svake vrste odnosa. Ove vrste su organizacija radne aktivnosti, organizacija ekonomske aktivnosti i upravljanje privrednom aktivnošću.

Osnova za formiranje ekonomskih odnosa svih nivoa i vrsta je pravo svojine na resursima i sredstvima za proizvodnju. Oni određuju vlasništvo nad proizvedenom robom. Sljedeći faktor koji formira sistem su principi distribucije proizvedenih dobara. Ove dvije točke činile su osnovu za formiranje tipova ekonomskih sistema.

Funkcije organizacionih i ekonomskih odnosa

Definicija 2

Organizaciono-ekonomski odnosi su odnosi za stvaranje uslova za što efikasnije korišćenje resursa i smanjenje troškova kroz organizaciju oblika proizvodnje.

Funkcija ovog oblika ekonomskih odnosa je maksimalno korištenje relativnih ekonomskih prednosti i racionalno korištenje očiglednih mogućnosti. Glavni oblici organizacionih i ekonomskih odnosa uključuju koncentraciju (konsolidaciju) proizvodnje, kombinaciju (kombinaciju proizvodnje iz različitih industrija u jednom preduzeću), specijalizaciju i kooperaciju (za povećanje produktivnosti). Formiranje teritorijalnih proizvodnih kompleksa smatra se završenim oblikom organizacionih i ekonomskih odnosa. Dodatni ekonomski efekat se dobija zahvaljujući povoljnoj teritorijalnoj lokaciji preduzeća i racionalno korišćenje infrastrukture.

Sovjetski ruski ekonomisti i ekonomski geografi sredinom dvadesetog veka razvili su teoriju ciklusa proizvodnje energije (EPC). Predložili su da se to organizuje na ovaj način proizvodni procesi na određenoj teritoriji kako bi se iskoristio jedan tok sirovina i energije za proizvodnju čitavog niza proizvoda. To bi dramatično smanjilo troškove proizvodnje i smanjilo proizvodni otpad. Organizacioni i ekonomski odnosi su direktno povezani sa ekonomskim upravljanjem.

Funkcije socio-ekonomskih odnosa

Definicija 3

Društveno-ekonomski odnosi su odnosi između privrednih subjekata, koji se zasnivaju na imovinskim pravima.

Imovina je sistem odnosa među ljudima koji se manifestuje u njihovom odnosu prema stvarima – pravu raspolaganja njima.

Funkcija socio-ekonomskih odnosa je da uspostave svojinske odnose u skladu sa normama datog društva. Uostalom, pravni odnosi se grade, s jedne strane, na osnovu imovinskih prava, as druge, na osnovu voljnih imovinskih odnosa. Ove interakcije između dvije strane imaju oblik i moralnih normi i zakonodavnih (zakonskih) normi.

Društveno-ekonomski odnosi zavise od društvene formacije u kojoj se razvijaju. Oni služe interesima vladajuće klase u tom konkretnom društvu. Društveno-ekonomski odnosi obezbeđuju prenos vlasništva sa jedne osobe na drugu (zamena, kupoprodaja, itd.).

Funkcije međunarodnih ekonomskih odnosa

Međunarodni ekonomski odnosi obavljaju funkciju koordinacije ekonomskih aktivnosti zemalja širom svijeta. Oni nose karakter sva tri glavna oblika ekonomskih odnosa – ekonomskog upravljanja, organizaciono-ekonomskog i društveno-ekonomskog. Ovo je posebno aktuelno u današnje vrijeme zbog raznolikosti modela mješovitog ekonomskog sistema.

Za širenje je zaslužna organizaciona i ekonomska strana međunarodnih odnosa međunarodne saradnje baziran na integracionim procesima. Socio-ekonomski aspekt međunarodnih odnosa je želja za općim povećanjem nivoa blagostanja stanovništva svih zemalja svijeta i smanjenjem socijalnih tenzija u svjetskoj ekonomiji. Upravljanje globalnom ekonomijom ima za cilj smanjenje kontradiktornosti između nacionalnih ekonomija i smanjenje uticaja globalne inflacije i kriznih pojava.

U ovom pododjeljku predstavljamo kartezijanske proizvode, relacije, funkcije i grafove. Proučavamo svojstva ovih matematičkih modela i veze između njih.

Kartezijanski proizvod i nabrajanje njegovih elemenata

Kartezijanski proizvod setovi A I B je skup koji se sastoji od uređenih parova: A´ B= {(a,b): (aÎ A) & (bÎ B)}.

Za setove A 1, …, A n Kartezijanski proizvod je određen indukcijom:

U slučaju proizvoljnog skupa indeksa I Kartezijanski proizvod porodice setovi ( A i} i Î I definira se kao skup koji se sastoji od takvih funkcija f:I® Ai, to je za sve iÎ I u pravu f(i)Î A i .

Teorema 1

Neka A iB su konačni skupovi. Onda |A´ B| = |A|×| B|.

Dokaz

Neka A = (a 1 , …,a m), B = (b 1 , …,bn). Elementi kartezijanskog proizvoda mogu se rasporediti pomoću stola

(a 1 ,b 1), (a 1,b 2), …, (a 1,b n);

(a 2 ,b 1), (a 2,b 2), …, (a 2,b n);

(a m ,b 1), (a m ,b 2),…, (a m ,b n),

koji se sastoji od n kolone, od kojih se svaka sastoji od m elementi. Odavde | A´ B|=mn.

Zaključak 1

Dokaz

Koristeći indukciju na n. Neka je formula tačna za n. Onda

Veza

Neka n³1 je pozitivan cijeli broj i A 1, …, A n– proizvoljni skupovi. Odnos između elemenata skupova A 1, …, A n ili n-arnu relaciju naziva se proizvoljnim podskupom.

Binarne relacije i funkcije

Binarna relacija između elemenata skupova A I B(ili, ukratko, između A I B) se naziva podskup RÍ A´ B.

Definicija 1

Funkcija ili displej naziva se trojka koja se sastoji od skupova A I B i podskupovi fÍ A´ B(funkcionalna grafika), koji zadovoljava sljedeća dva uslova;

1) za bilo koga xÎ A postoji takav yÎ f, Šta (x,y)Î f;

2) ako (x,y)Î f I (x,z)Î f, To y =z.

Lako je to vidjeti fÍ A´ B tada će i samo definirati funkciju kada za bilo koju xÎ A postoji samo jedan yÎ f, Šta ( x,y) Î f. Ovo y označiti sa f(x).

Funkcija se poziva injekcija, ako postoji x,x'Î A, takav Šta x¹ x', javlja se f(x)¹ f(x'). Funkcija se poziva surjekcija, ako za svaki yÎ B postoji takav xÎ A, Šta f(x) = y. Ako je funkcija injekcija i surjekcija, onda se zove bijekcija.

Teorema 2

Da bi funkcija bila bijekcija, neophodno je i dovoljno da postoji funkcija takva da fg =ID B I gf =ID A.

Dokaz

Neka f– bijekcija. Zbog subjektivnosti f za svaki yÎ B možete odabrati element xÎ A, za koji f(x) = y. Zbog injektivnosti f, ovaj element će biti jedini, a mi ćemo ga označiti sa g(y) = x. Uzmimo funkciju.

Konstruisanjem funkcije g, jednakosti vrijede f(g(y)) = y I g(f(x)) = x. Tako je fg =ID B I gf =ID A. Očigledno je suprotno: ako fg =ID B I gf =ID A, To f– surjekcija na snazi f(g(y)) = y, za svaki yÎ B. U ovom slučaju će uslijediti , a to znači . dakle, f– injekcija. Iz ovoga proizilazi da f– bijekcija.

Slika i prototip

Neka je funkcija. Na neki način podskupovi XÍ A naziva se podskup f(X) = (f(x):xÎ X)Í B. Za YÍ B podset f - -1 (Y) =(xÎ O:f(x)Î Y) pozvao prototip podskupoviY.

Relacije i grafovi

Binarni odnosi se mogu vizualizirati pomoću usmjereni grafovi.

Definicija 2

Usmjereni graf naziva se par skupova (E,V) zajedno sa nekoliko mapiranja s,t:E® V. Elementi seta V su predstavljeni tačkama na ravni i nazivaju se vrhovi. Elementi iz E se nazivaju usmjerene ivice ili strelice. Svaki element eÎ E prikazan kao strelica (moguće krivolinijska) koja povezuje vrh s(e) sa vrhom t(e).

Na proizvoljnu binarnu relaciju RÍ V´ V odgovara usmjerenom grafu sa vrhovima vÎ V, čije su strelice uređeni parovi (u,v)Î R. Displeji s,t:R® V određuju se formulama:

s(u,v) =u I t(u,v) =v.

Primjer 1

Neka V = (1,2,3,4).

Razmotrite odnos

R = ((1,1), (1,3), (1.4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,4)).

On će odgovarati usmjerenom grafu (slika 1.2). Strelice ovog grafikona će biti parovi (ja,j)Î R.

Rice. 1.2. Usmjereni binarni relacijski graf

U rezultirajućem usmjerenom grafu, bilo koji par vrhova povezan je sa najviše jednom strelicom. Takvi usmjereni grafovi se nazivaju jednostavno. Ako ne uzmemo u obzir smjer strelica, dolazimo do sljedeće definicije:

Definicija 3

Jednostavan (neusmjeren) graf G = (V,E) naziva se par koji se sastoji od skupa V i mnogi E, koji se sastoji od nekih neuređenih parova ( v 1,v 2) elementi v 1,v 2Î V takav da v 1¹ v 2. Ovi parovi se nazivaju rebra, i elementi iz V – vrhovi.

Rice. 1.3. Jednostavan neusmjeren graf K 4

Gomila E definira binarnu simetričnu antirefleksivnu relaciju koja se sastoji od parova ( v 1,v 2), za koji ( v 1,v 2} Î E. Vrhovi jednostavnog grafa su prikazani kao tačke, a ivice kao segmenti. Na sl. 1.3 prikazuje jednostavan graf sa mnogo vrhova

V={1, 2, 3, 4}

i mnogo rebara

E= {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.

Operacije nad binarnim odnosima

Binarna relacija između elemenata skupova A I B poziva se proizvoljan podskup RÍ A´ B. Zapis aRb(u aÎ A, bÎ B) znači da (a,b)Î R.

Definirane su sljedeće operacije nad odnosima RÍ A´ A:

· R -1= ((a,b): (b,a)Î R);

· R° S = ((a,b): ($ xÎ A)(a,x)Î R&(x,b)Î R);

· Rn=R°(R n -1);

Neka Id A = ((a,a):aÎ A)– identičan odnos. Stav R Í X´ X zove:

1) reflektirajuće, Ako (a,a)Î R za sve aÎ X;

2) antirefleksno, Ako (a,a)Ï R za sve aÎ X;

3) simetrično, ako za svakoga a,bÎ X implikacija je tačna aRbÞ bRa;

4) antisimetrično, Ako aRb &bRaÞ a=b;

5) tranzitivan, ako za svakoga a,b,cÎ X implikacija je tačna aRb &bRcÞ aRc;

6) linearno, za sve a,bÎ X implikacija je tačna a¹ bÞ aRbÚ bRa.

Označimo ID A kroz ID. Lako je vidjeti da se događa sljedeće.

Rečenica 1

Stav RÍ X´ X:

1) refleksivno Û IDÍ R;

2) antirefleksivni Û RÇ Id=Æ ;

3) simetrično Û R = R -1;

4) antisimetrično Û RÇ R -1Í ID;

5) tranzitivna Û R° RÍ R;

6) linearni Û RÈ IDÈ R -1 = X´ X.

Matrica binarne relacije

Neka A= {a 1, a 2, …, a m) I B= {b 1, b 2, …, b n) su konačni skupovi. Matrica binarne relacije R Í A ´ B naziva se matrica sa koeficijentima:

Neka A– konačan skup, | A| = n I B= A. Razmotrimo algoritam za izračunavanje matrice kompozicije T= R° S odnosi R, S Í A´ A. Označimo koeficijente matrica odnosa R, S I T shodno tome kroz r ij, s ij I t ij.

Od imovine ( a i,a k)Î T je ekvivalentno postojanju takvog a jÎ A, Šta ( a i,a j)Î R i ( a j,a k) Î S, zatim koeficijent tikće biti jednak 1 ako i samo ako takav indeks postoji j, Šta r ij= 1 i sjk= 1. U ostalim slučajevima tik jednako 0. Prema tome, tik= 1 ako i samo ako .

Iz ovoga slijedi da je za pronalaženje matrice sastava relacija potrebno ove matrice pomnožiti i u rezultirajućem proizvodu matrica koeficijenti koji nisu nula zamjenjuju se jedinicama. Sljedeći primjer pokazuje kako se matrica kompozicije izračunava na ovaj način.

Primjer 2

Razmotrimo binarnu relaciju na A = (1,2,3), jednako R = ((1,2),(2,3)). Napišimo matricu relacija R. Prema definiciji, sastoji se od koeficijenata r 12 = 1, r 23 = 1 i ostalo r ij= 0. Otuda matrica relacija R je jednako:

Hajde da nađemo vezu R° R. U tu svrhu množimo matricu relacija R sebi:

Dobijamo matricu relacija:

dakle, R° R= {(1,2),(1,3),(2,3)}.

Iz Propozicije 1 slijedi sljedeći zaključak.

Zaključak 2

Ako A= B, zatim odnos R on A:

1) refleksivno ako i samo ako su svi elementi glavne dijagonale matrice relacija R jednako 1;

2) antirefleksivan ako i samo ako svi elementi glavne dijagonale matrice relacija R jednako 0;

3) simetrično ako i samo ako je matrica relacija R simetrično;

4) tranzitivan ako i samo ako je svaki koeficijent matrice relacija R° R ne više od odgovarajućeg koeficijenta matrice omjera R.

Ljudima je inherentna potreba za komunikacijom i interakcijom s drugim ljudima. Zadovoljavajući ovu potrebu, on ispoljava i ostvaruje svoje sposobnosti.

Ljudski život kroz cijelo svoje trajanje manifestira se, prije svega, u komunikaciji. A sva raznolikost života ogleda se u jednako beskrajnoj raznolikosti komunikacije: u porodici, školi, na poslu, u svakodnevnom životu, u kompanijama itd.

Komunikacija- jedan od univerzalnih oblika aktivnosti ličnosti, koji se manifestuje u uspostavljanju i razvoju kontakata među ljudima, u formiranju međuljudskih odnosa a generisan je potrebama za zajedničkim aktivnostima.

Komunikacija se obavlja cela linija main funkcije:

Informacija - funkcija prijema i prenošenja informacija;
Kontakt - uspostavljanje kontakta kao stanja međusobne spremnosti ljudi za primanje i prenošenje informacija;
Poticaj - funkcija podsticanja aktivnosti na akciju;
Koordinacija - funkcija međusobne orijentacije i koordinacije akcija;
Razumijevanje – uključuje ne samo primanje informacija, već i međusobno razumijevanje ovih informacija;
Amotivnost - funkcija izazivanja potrebnih emocija, iskustava, osjećaja kod partnera, uključuje emocionalnu razmjenu, promjenu emocionalnog stanja;
Funkcija uspostavljanja odnosa je svijest i fiksiranje nečijeg društveni status, društvena uloga u specifičnoj društvenoj zajednici.
Funkcija uticaja je promena stanja, ponašanja, namera, ideja, stavova, mišljenja, odluka, potreba, akcija itd.

Uz funkcije, identificirane su glavne vrste komunikacija.

Po broju učesnika:

interpersonalni;
grupa.

Putem komunikacije:

verbalni;
neverbalno.

Prema stavu onih koji komuniciraju:

kontakt;
udaljeni.

Prema uslovima komunikacije:

službeni;
nezvanično.

IN struktura Komunikaciju razlikuju tri blisko povezana, međusobno zavisna aspekta:

Perceptualna strana komunikacije je proces međusobnog opažanja.
Komunikativna strana komunikacije uključuje prijenos informacija. Potrebno je uzeti u obzir da osoba izražava 80% onoga što želi da kaže, slušalac percipira 70% i razumije 60% onoga što je rečeno.
Interaktivna strana komunikacije uključuje organizaciju interakcije (koordinacija akcija, raspodjela funkcija, itd.).

Prilikom organizovanja komunikacije potrebno je voditi računa da ona prolazi kroz više faza, od kojih svaka utiče na njenu efikasnost.

Ako se propusti jedna od faza komunikacije, efektivnost komunikacije naglo opada i postoji mogućnost neostvarivanja ciljeva koji su postavljeni prilikom organizovanja komunikacije. Sposobnost efikasnog ostvarivanja postavljenih ciljeva u komunikaciji naziva se društvenost, komunikativna kompetencija, socijalna inteligencija.

Display f iz skupa X u skup Y smatra se datim ako je svaki element x od X povezan sa tačno jednim elementom y od Y, označenim f(x).

Skup X se zove domenu definicije preslikavanje f, a skup Y je raspon vrijednosti. Set naručenih parova

G f = ((x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x))

pozvao prikaz grafa f. Iz definicije direktno slijedi da je graf od f podskup kartezijanskog proizvoda X×Y:

Strogo govoreći, mapa je trojka skupova (X, Y, G) takva da je G⊂ X×Y, a svaki element x od X je prvi element tačno jednog para (x, y) od G. Označavajući drugi elementa takvog para pomoću f(x), dobijamo preslikavanje f skupa X u skup Y. Štaviše, G=G f. Ako je y=f(x), pisaćemo f:x→y i reći da element x ide ili se preslikava na element y; element f(x) se naziva slikom elementa x u odnosu na preslikavanje f. Za označavanje preslikavanja koristićemo notacije oblika f: X→Y.

Neka je f: X→Y preslikavanje iz skupa X u skup Y, a A i B su podskupovi skupova X i Y, redom. Poziva se skup f(A)=(y| y=f(x) za neko x∈A). način skup A. Skup f − 1 (B)=(x| f(x) ∈B)

pozvao prototip skup B. Preslikavanje f: A→Y takvo da je x→f(x) za sve x∈A naziva se sužavanje preslikavanje f u skup A; suženje će biti označeno sa f| A.

Neka postoje preslikavanja f: X→Y i g: Y→Z. Poziva se preslikavanje X→Z pod kojim x ide u g(f(x)). kompozicija preslikavanja f i g i označava se sa fg.

Poziva se preslikavanje skupa X u X, u kojem svaki element ide u sebe, x→x identičan i označen je sa id X .

Za proizvoljno preslikavanje f: X→Y imamo id X ⋅f = f⋅id Y .

Poziva se preslikavanje f: X→Y injektivno, ako za bilo koje elemente iz i slijedi da . Poziva se preslikavanje f: X→Y surjektivni, ako je svaki element y iz Y slika nekog elementa x iz X, odnosno f(x)=y. Poziva se preslikavanje f: X→Y bijektivno, ako je i injektivan i surjektivan. Bijektivna mapa f: X→Y je invertibilna. To znači da postoji preslikavanje g: Y→X pozvano obrnuto na mapu f takvu da je g(f(x))=x i f(g(y))=y za bilo koje x∈X, y∈Y. Inverz od f je označen sa f − 1 .

Invertibilno preslikavanje f: X→Y se postavlja jedan na jedan korespondencija između elemenata skupova X i Y. Injektivno preslikavanje f: X→Y uspostavlja korespondenciju jedan-na-jedan između skupa X i skupa f(X).

Primjeri. 1) Funkcija f:R→R >0, f (x)=e x, uspostavlja korespondenciju jedan prema jedan između skupa svih realnih brojeva R i skupa pozitivnih realnih brojeva R >0. Inverzno preslikavanje f je preslikavanje g:R >0 →R, g(x)=ln x.

2) Preslikavanje f:R→R ≥ 0, f(x)=x 2, skup svih realnih R na skup nenegativnih brojeva R ≥ 0 je surjektivan, ali nije injektivan, pa stoga nije bijektivan.

Svojstva funkcije:

1. Kompozicija dvije funkcije je funkcija, tj. ako onda .

2. Sastav dvije bijektivne funkcije je bijektivna funkcija, ako je , onda .

3. Preslikavanje ima inverzno preslikavanje tada i

ako i samo ako je f bijekcija, tj. ako onda .

Definicija. n – lokalna relacija, ili n – lokalni predikat, na skupovima A 1 A 2 ;… I n je bilo koji podskup kartezijanskog proizvoda.

Oznaka n - lokalna relacija P(x 1 ;x 2 ;…;x n). Kada je n=1 poziva se relacija P unarno i podskup je skupa A 1 . Binarno(dvostruko za n=2) relacija je skup uređenih parova.

Definicija. Za bilo koji skup A, relacija se naziva identična relacija, ili dijagonala, i - potpuna relacija, ili potpuni kvadrat.

Neka je P neka binarna relacija. Onda domenu definicije binarne relacije P se naziva skup za neko y), i raspon vrijednosti– skup za neki x). Obrnuto skup se naziva relacija prema P.

Relacija P se zove reflektirajući, ako sadrži sve parove oblika (x,x) za bilo koji x iz X. Relacija P se zove antirefleksno, ako ne sadrži parove oblika (x,x). Na primjer, relacija x≤y je refleksivna, a relacija x

Relacija P se zove simetrično, ako uz svaki par (x,y) sadrži i par (y,x). Simetrija odnosa P znači da je P = P –1.

Relacija P se zove antisimetrično, ako (x;y) i (y;x), onda je x=y.

Relacija R se zove tranzitivan, ako, zajedno sa bilo kojim parovima (x,y) i (y,z), sadrži i par (x,z), odnosno iz xPy i yPz slijedi xPz.

Svojstva binarnih relacija:

Primjer. Neka je A=(x/x – arapski broj); R=((x;y)/x,yA,x-y=5). Pronađite D;R;P -1 .

Rješenje. Relacija P se može napisati u obliku P=((5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)), tada za nju imamo D= (5;6;7;8;9); E=(0;1;2;3;4); P -1 =((0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)).

Razmotrimo dva konačna skupa i binarnu relaciju. Uvedemo matricu binarne relacije P na sljedeći način: .

Matrica bilo koje binarne relacije ima svojstva:

1. Ako i , onda , i dodavanje matričnih elemenata se vrši prema pravilima 0+0=0; 1+1=1; 1+0=0+1=1, a množenje se vrši po terminu na uobičajen način, tj. prema pravilima 1*0=0*1=0; 1*1=1.

2. Ako je , onda , i matrice se množe prema uobičajenom pravilu za množenje matrice, ali proizvod i zbir elemenata pri množenju matrica nalazi se prema pravilima iz koraka 1.

4. Ako , onda i

Primjer. Binarna relacija je prikazana na slici 2. Njena matrica ima oblik .

Rješenje. Neka, onda;

Neka je P binarna relacija na skupu A, . Relacija P na skupu A se zove reflektirajući, ako , gdje zvjezdice označavaju nule ili jedinice. Relacija P se zove nerefleksivan, Ako . Relacija P na skupu A se zove simetrično, ako za i za to slijedi iz uvjeta da . To znači da . Relacija P se zove antisimetrično, ako iz uslova sledi da je x=y, tj. ili . Ovo svojstvo dovodi do činjenice da će svi elementi matrice izvan glavne dijagonale biti nula (mogu biti i nule na glavnoj dijagonali). Relacija P se zove tranzitivan, ako iz i slijedi da , tj. .

Primjer. Relacija P i . Ovdje su na glavnoj dijagonali matrice sve jedinice, dakle, P je refleksivna. Matrica je asimetrična, tada je omjer P asimetričan

Jer nisu svi elementi koji se nalaze izvan glavne dijagonale jednaki nuli, tada relacija P nije antisimetrična.

One. , stoga je relacija P intranzitivna.

Zove se refleksivna, simetrična i tranzitivna relacija odnos ekvivalencije. Uobičajeno je koristiti simbol ~ za označavanje odnosa ekvivalencije. Uslovi refleksivnosti, simetrije i tranzitivnosti mogu se zapisati na sljedeći način:

Primjer. 1) Neka je X skup funkcija definiranih na cijeloj brojevnoj pravoj. Pretpostavit ćemo da su funkcije f i g povezane relacijom ~ ako poprimaju iste vrijednosti u tački 0, odnosno f(x)~g(x), ako je f(0)=g(0) . Na primjer, sinx~x, e x ~cosx. Relacija ~ je refleksivna (f(0)=f(0) za bilo koju funkciju f(x)); simetrično (iz f(0)=g(0) slijedi da je g(0)=f(0)); tranzitivna (ako je f(0)=g(0) i g(0)=h(0), onda je f(0)=h(0)). Prema tome, ~ je relacija ekvivalencije.

2) Neka je ~ relacija na skupu prirodni brojevi, u kojem x~y, ako x i y daju isti ostatak kada se podijele sa 5. Na primjer, 6~11, 2~7, 1~6. Lako je vidjeti da je ova relacija refleksivna, simetrična i tranzitivna i da je, prema tome, relacija ekvivalencije.

Parcijalni odnos poretka Binarna relacija na skupu naziva se ako je refleksivna, antisimetrična, tranzitivna, tj.

1. - refleksivnost;

2. - antisimetrija;

3. - tranzitivnost.

Odnos strogog reda Binarna relacija na skupu naziva se ako je antirefleksivna, antisimetrična, tranzitivna. Oba ova odnosa se nazivaju odnosi poretka. Skup na kojem je specificiran odnos narudžbe, može biti: potpuno uređen skup ili djelimično naručeno. Djelomični redoslijed je važan u slučajevima kada želimo nekako okarakterizirati prvenstvo, tj. odlučiti pod kojim uslovima jedan element skupa smatrati superiornijim u odnosu na drugi. Poziva se djelimično uređen skup linearno uređeno, ako u njemu nema neuporedivih elemenata, tj. jedan od uslova ili je zadovoljen. Na primjer, skupovi sa prirodnim redoslijedom na sebi su linearno poredani.

Veza. Osnovni pojmovi i definicije

Definicija 2.1.Naručeni par<x, y> naziva se zbirka od dva elementa x I y, raspoređenih po određenom redoslijedu.

Dva naručena para<x, y> i<u, v> su jednaki jedni drugima ako i samo ako x = u I y= v.

Primjer 2.1.

<a, b>, <1, 2>, <x, 4> – uređeni parovi.

Slično, možemo uzeti u obzir trojke, četvorke, n-ki elementi<x 1 , x 2 ,… x n>.

Definicija 2.2.Direktno(ili Kartezijanski)rad dva seta A I B je skup uređenih parova tako da prvi element svakog para pripada skupu A, a drugi – na set B:

A ´ B = {<a, b>, ç aÎ A I bÏ IN}.

Općenito, direktni proizvod n setovi A 1 ,A 2 ,…A n se zove set A 1 A 2 ´…´ A n, koji se sastoji od uređenih skupova elemenata<a 1 , a 2 , …,a n> dužina n, takav da ja- th a i pripada skupu A i,a i Î A i.

Primjer 2.2.

Neka A = {1, 2}, IN = {2, 3}.

Onda A ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.

Primjer 2.3.

Neka A= {x ç0 £ x£ 1) i B= {yç2 £ y£3)

Onda A ´ B = {<x, y >, ç0 £ x£1&2£ y£3).

Dakle, mnogi A ´ B sastoji se od tačaka koje leže unutar i na granici pravougaonika formiranog pravim linijama x= 0 (y-osa), x= 1,y= 2i y = 3.

Francuski matematičar i filozof Descartes bio je prvi koji je predložio koordinatni prikaz tačaka na ravni. Ovo je istorijski prvi primer direktnog proizvoda.

Definicija 2.3.Binarno(ili duplo)odnos r naziva se skup uređenih parova.

Ako par<x, y>pripada r, tada se piše na sljedeći način:<x, y> Î r ili, šta je isto, xr y.

Primjer 2.4.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}

Slično možemo definisati n-lokalni odnos kao skup uređenih n-UREDU.

Pošto je binarna relacija skup, metode za određivanje binarne relacije su iste kao i metode za određivanje skupa (pogledajte odeljak 1.1). Binarna relacija se može specificirati navođenjem uređenih parova ili specificiranjem općeg svojstva uređenih parova.

Primjer 2.5.

1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) – relacija se specificira nabrajanjem uređenih parova;

2. r = {<x, y> ç x+ y = 7, x, y– realni brojevi) – relacija se specificira specificiranjem svojstva x+ y = 7.

Dodatno, može se dati binarna relacija matrica binarnih odnosa. Neka A = {a 1 , a 2 , …, a n) je konačan skup. Matrica binarne relacije C je kvadratna matrica reda n, čiji elementi c ij definisani su kako slijedi:

Primjer 2.6.

A= (1, 2, 3, 4). Hajde da definišemo binarnu relaciju r na tri navedena načina.

1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – relacija se specificira nabrajanjem svih uređenih parova.

2. r = {<a i, a j> ç a i < a j; a i, a jÎ A) – relacija se specificira označavanjem svojstva “manje od” na skupu A.

3. – relacija je određena binarnom matricom relacija C.

Primjer 2.7.

Pogledajmo neke binarne relacije.

1. Relacije na skupu prirodnih brojeva.

a) relacija £ vrijedi za parove<1, 2>, <5, 5>, ali ne vrijedi za par<4, 3>;

b) relacija “imati zajednički djelitelj različit od jedan” vrijedi za parove<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, ali ne vrijedi za par<3, 28>.

2. Relacije na skupu tačaka realne ravni.

a) relacija “biti na istoj udaljenosti od tačke (0, 0)” je zadovoljena za tačke (3, 4) i (–2, Ö21), ali nije zadovoljena za tačke (1, 2) i ( 5, 3);

b) odnos „da bude simetričan u odnosu na os OY" se izvodi za sve tačke ( x, y) I (- x, –y).

3. Odnosi sa mnogim ljudima.

a) stav „života u istom gradu“;

b) stav „učenje u istoj grupi“;

c) stav „biti stariji“.

Definicija 2.4. Područje definicije binarne relacije r je skup D r = (x ç postoji y takvo da je xr y).

Definicija 2.5. Opseg vrijednosti binarne relacije r je skup R r = (y postoji x takav da je xr y).

Definicija 2.6. Domen specificiranja binarne relacije r naziva se skup M r = D r ÈR r .

Koristeći koncept direktnog proizvoda, možemo napisati:

rÎ D r´ R r

Ako D r= R r = A, onda kažemo da je binarna relacija r definisano na setu A.

Primjer 2.8.

Neka r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.

Onda D r ={1, 3, 4}, R r = {3, 2}, gospodin= {1, 2, 3, 4}.

Operacije na odnosima

Pošto su relacije skupovi, sve operacije nad skupovima vrijede za relacije.

Primjer 2.9.

r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.

r 1 È r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

r 1 Ç r 2 = {<1, 2>}.

r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.

Primjer 2.10.

Neka R– skup realnih brojeva. Razmotrimo sljedeće relacije na ovom skupu:

r 1 – "£"; r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 – “³”; r 5 – " > ".

r 1 = r 2 È r 3 ;

r 2 = r 1 Ç r 4 ;

r 3 = r 1 \ r 2 ;

r 1 = ;

Definirajmo još dvije operacije na odnosima.

Definicija 2.7. Veza se zove obrnuto na stav r(označeno r – 1), ako

r – 1 = {<x, y> ç< y, x> Î r}.

Primjer 2.11.

r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r – 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.

Primjer 2.12.

r = {<x, y> ç x – y = 2, x, y Î R}.

r – 1 = {<x, y> ç< y, x> Î r} = r – 1 = {<x, y> ç y–x = 2, x, y Î R} = {<x, y> ç– x+ y = 2, x, y Î R}.

Definicija 2.8.Kompozicija dvije relacije r i s zove odnos

s r= {<x, z> postoji tako nešto y, Šta<x, y> Î r I< y, z> Î s}.

Primjer 2.13.

r = {<x, y> ç y = sinx}.

s= {<x, y> ç y = Ö x}.

s r= {<x, z> postoji tako nešto y, Šta<x, y> Î r I< y, z> Î s} = {<x, z> postoji tako nešto y, Šta y = sinx I z= Ö y} = {<x, z> ç z= Ö sinx}.

Definicija sastava dvije relacije odgovara definiciji složena funkcija:

y = f(x), z= g(y) Þ z= g(f(x)).

Primjer 2.14.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.

s = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.

Proces pronalaženja s r u skladu s definicijom sastava, prikladno ga je prikazati u tablici u kojoj su nabrojane sve moguće vrijednosti x, y, z. za svaki par<x, y> Î r moramo razmotriti sve moguće parove< y, z> Î s(Tabela 2.1).

Tabela 2.1

<x, y> Î r	< y, z> Î s	<x, z> Î s r
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1>	<1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3>	<1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3>

Imajte na umu da prvi, treći i četvrti, kao i drugi i peti red posljednje kolone tabele sadrže identične parove. Stoga dobijamo:

s r= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.

Svojstva odnosa

Definicija 2.9. Stav r pozvao reflektirajuće na setu X, ako postoji xÎ X izvedeno xr x.

Iz definicije proizilazi da svaki element<x,x > Î r.

Primjer 2.15.

a) Neka X– konačan skup, X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). Stav r refleksivno. Ako X je konačan skup, onda glavna dijagonala refleksivne relacijske matrice sadrži samo jedinice. Za naš primjer

b) Neka X r odnos jednakosti. Ovaj stav je refleksivan, jer svaki broj je jednak samom sebi.

c) Neka X- puno ljudi i r stav "živi u istom gradu". Ovaj stav je refleksivan, jer svako živi u istom gradu sa sobom.

Definicija 2.10. Stav r pozvao simetrično na setu X, ako postoji x, yÎ X od xry trebalo bi god x.

Očigledno je da r simetrično ako i samo ako r = r – 1 .

Primjer 2.16.

a) Neka X– konačan skup, X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). Stav r simetrično. Ako X je konačan skup, tada je matrica simetrične relacije simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Za naš primjer

b) Neka X– skup realnih brojeva i r odnos jednakosti. Ovaj odnos je simetričan, jer Ako x jednaki y, onda y jednaki x.

c) Neka X– mnogi studenti i r stav "uči u istoj grupi". Ovaj odnos je simetričan, jer Ako x studira u istoj grupi kao y, onda y studira u istoj grupi kao x.

Definicija 2.11. Stav r pozvao tranzitivan na setu X, ako postoji x, y,zÎ X od xry I yr z trebalo bi xr z.

Istovremeno ispunjenje uslova xry, yr z, xr z znači da je par<x,z> pripada kompoziciji r r. Stoga za tranzitivnost r potrebno je i dovoljno za set r r bio podskup r, tj. r rÍ r.

Primjer 2.17.

a) Neka X– konačan skup, X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). Stav r tranzitivna, jer zajedno sa parovima<x,y>i<y,z>imaj par<x,z>. Na primjer, zajedno sa parovima<1, 2>, And<2, 3>postoji par<1, 3>.

b) Neka X– skup realnih brojeva i r omjer £ (manji ili jednak). Ova relacija je tranzitivna, jer Ako x£ y I y£ z, To x£ z.

c) Neka X- puno ljudi i r stav "biti stariji". Ova relacija je tranzitivna, jer Ako x stariji y I y stariji z, To x stariji z.

Definicija 2.12. Stav r pozvao odnos ekvivalencije na setu X, ako je refleksivan, simetričan i tranzitivan na skupu X.

Primjer 2.18.

a) Neka X– konačan skup, X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). Stav r je relacija ekvivalencije.

b) Neka X– skup realnih brojeva i r odnos jednakosti. Ovo je relacija ekvivalencije.

c) Neka X– mnogi studenti i r stav "uči u istoj grupi". Ovo je relacija ekvivalencije.

Neka r X.

Definicija 2.13. Neka r– relacija ekvivalencije na skupu X I xÎ X. Ekvivalentna klasa, koju generira element x, naziva se podskup skupa X, koji se sastoji od tih elemenata yÎ X, za koji xry. Klasa ekvivalencije koju generiše element x, označeno sa [ x].

Dakle, [ x] = {yÎ X|xry}.

Klase ekvivalencije formiraju particija setovi X, tj. sistem njegovih nepraznih parno disjunktnih podskupova, čija se unija poklapa sa cijelim skupom X.

Primjer 2.19.

a) Relacija jednakosti na skupu cijelih brojeva generiše sljedeće klase ekvivalencije: za bilo koji element x iz ovog seta [ x] = {x), tj. svaka klasa ekvivalencije sastoji se od jednog elementa.

b) Klasa ekvivalencije koju generiše par<x, y> je određena relacijom:

[<x, y>] = .

Svaka klasa ekvivalencije koju generira par<x, y>, definira jedan racionalni broj.

c) Za odnos pripadnosti jednoj grupi učenika, klasa ekvivalencije je skup učenika iste grupe.

Definicija 2.14. Stav r pozvao antisimetrično na setu X, ako postoji x, yÎ X od xry I god x trebalo bi x = y.

Iz definicije antisimetrije slijedi da kad god je par<x,y> pripada u isto vrijeme r I r – 1, jednakost mora biti zadovoljena x = y. Drugim riječima, r Ç r – 1 se sastoji samo od parova oblika<x,x >.

Primjer 2.20.

a) Neka X– konačan skup, X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Stav r antisimetrično.

Stav s= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) nije antisimetrična. Na primjer,<1, 2> Î s, I<2, 1> Î s, ali 1¹2.

b) Neka X– skup realnih brojeva i r omjer £ (manji ili jednak). Ovaj odnos je antisimetričan, jer Ako x £ y, And y £ x, To x = y.

Definicija 2.15. Stav r pozvao parcijalni odnos poretka(ili samo djelimična narudžba) na setu X, ako je refleksivan, antisimetričan i tranzitivan na setu X. Gomila X u ovom slučaju se naziva djelomično uređena i navedena relacija se često označava simbolom £, ako to ne dovodi do nesporazuma.

Inverzna relacija parcijalnog poretka će očigledno biti relacija parcijalnog poretka.

Primjer 2.21.

a) Neka X– konačan skup, X= (1, 2, 3) i r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Stav r

b) Stav AÍ IN na skupu podskupova nekog skupa U postoji odnos parcijalne narudžbe.

c) Relacija djeljivosti na skupu prirodnih brojeva je relacija parcijalnog reda.

Funkcije. Osnovni pojmovi i definicije

U matematičkoj analizi prihvaćena je sljedeća definicija funkcije.

Varijabilna y zove se funkcija varijable x, ako prema nekom pravilu ili zakonu svaka vrijednost x odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti y = f(x). Promjenjivo područje promjene x naziva se domenom definicije funkcije i domenom promjene varijable y– raspon vrijednosti funkcije. Ako jedna vrijednost x odgovara nekoliko (pa čak i beskonačno mnogo vrijednosti) y), tada se funkcija naziva višeznačna. Međutim, u toku analize funkcija realnih varijabli izbjegavaju se viševrijedne funkcije i razmatraju se jednovrijedne funkcije.

Razmotrimo još jednu definiciju funkcije u smislu odnosa.

Definicija 2.16. Funkcija je svaka binarna relacija koja ne sadrži dva para s jednakim prvim komponentama i različitim drugim komponentama.

Ovo svojstvo veze se zove nedvosmislenost ili funkcionalnost.

Primjer 2.22.

A) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) – funkcija.

b) (<x, y>: x, y Î R, y = x 2) – funkcija.

V) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) je relacija, ali ne i funkcija.

Definicija 2.17. Ako f– funkcija, dakle Df – domena, A Rf – domet funkcije f.

Primjer 2.23.

Na primjer 2.22 a) Df – {1, 3, 4, 5}; Rf – {2, 4, 6}.

Na primjer 2.22 b) Df = Rf = (–¥, ¥).

Svaki element x Df funkcija odgovara jedini element y Rf. Ovo je označeno dobro poznatom notacijom y = f(x). Element x naziva se argument funkcije ili predslika elementa y sa funkcijom f, i element y vrijednost funkcije f on x ili sliku elementa x at f.

Dakle, od svih relacija funkcije se izdvajaju po tome što svaki element iz domena definicije ima jedini slika.

Definicija 2.18. Ako Df = X I Rf = Y, onda kažu da je funkcija f odlučan na X i preuzima svoje vrijednosti Y, A f pozvao mapiranje skupa X u Y(X ® Y).

Definicija 2.19. Funkcije f I g su jednaki ako je njihov domen isti skup D, i za bilo koga x Î D jednakost je istinita f(x) = g(x).

Ova definicija nije u suprotnosti s definicijom jednakosti funkcija kao jednakosti skupova (na kraju krajeva, funkciju smo definirali kao relaciju, tj. skup): skupovi f I g jednaki su ako i samo ako se sastoje od istih elemenata.

Definicija 2.20. Funkcija (zaslon) f pozvao surjektivni ili jednostavno surjekcija, ako je za bilo koji element y Y postoji element x Î X, takav da y = f(x).

Dakle, svaka funkcija f je surjektivno preslikavanje (surjekcija) Df® Rf.

Ako f je surjekcija, i X I Y su konačni skupovi, onda ³ .

Definicija 2.21. Funkcija (zaslon) f pozvao injektivno ili jednostavno injekcija ili jedan na jedan, ako od f(a) = f(b) trebalo bi a = b.

Definicija 2.22. Funkcija (zaslon) f pozvao bijektivno ili jednostavno bijekcija, ako je i injektivan i surjektivan.

Ako f je bijekcija, i X I Y su konačni skupovi, onda = .

Definicija 2.23. Ako je opseg funkcije Df sastoji se od jednog elementa, dakle f pozvao konstantna funkcija.

Primjer 2.24.

A) f(x) = x 2 je preslikavanje iz skupa realnih brojeva u skup nenegativnih realnih brojeva. Jer f(–a) = f(a), I a ¹ – a, onda ova funkcija nije injekcija.

b) Za svakoga x R= (– , ) funkcija f(x) = 5 – konstantna funkcija. Prikazuje mnoge R za postavljanje (5). Ova funkcija je surjektivna, ali ne i injektivna.

V) f(x) = 2x+ 1 je injekcija i bijekcija, jer od 2 x 1 +1 = 2x Slijedi 2 +1 x 1 = x 2 .

Definicija 2.24. Funkcija koja implementira prikaz X 1 X 2 ´...´ Xn ® Y pozvao n-local funkcija.

Primjer 2.25.

a) Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje su funkcije na dva mjesta na skupu R realni brojevi, tj. funkcije poput R 2® R.

b) f(x, y) = je funkcija na dva mjesta koja implementira mapiranje R ´ ( R \ )® R. Ova funkcija nije injekcija, jer f(1, 2) = f(2, 4).

c) Tabela dobitaka na lutriji specificira funkciju na dva mjesta koja uspostavlja korespondenciju između parova N 2 (N– skup prirodnih brojeva) i skup dobitaka.

Budući da su funkcije binarne relacije, moguće je pronaći inverzne funkcije i primijeniti operaciju kompozicije. Kompozicija bilo koje dvije funkcije je funkcija, ali ne za svaku funkciju f stav f–1 je funkcija.

Primjer 2.26.

A) f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) – funkcija.

Stav f –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) nije funkcija.

b) g = {<1, a>, <2, b>, <3, c>, <4, D>) je funkcija.

g -1 = {<a, 1>, <b, 2>, <c, 3>, <D, 4>) je također funkcija.

c) Pronađite sastav funkcija f iz primjera a) i g-1 iz primjera b). Imamo g -1f = {<a, 2>, <b, 3>, <c, 4>, <d, 2>}.

fg-1 = Æ.

Obratite pažnju da ( g -1f)(a) = f(g -1 (a)) = f(1) = 2; (g -1f)(c) = f(g -1 (c)) = f(3) = 4.

Elementarna funkcija u matematičkoj analizi svaka funkcija se zove f, koji je sastav od konačnog broja aritmetičkih funkcija, kao i sljedećih funkcija:

1) Frakciono-racionalne funkcije, tj. funkcije forme

a 0 + a 1 x + ... + a n x n

b 0 + b 1 x + ... + b m x m.

2) Funkcija napajanja f(x) = x m, Gdje m– bilo koji konstantan realni broj.

3) Eksponencijalna funkcija f(x) = e x.

4) logaritamska funkcija f(x) = log a x, a >0, a 1.

5) Trigonometrijske funkcije sin, cos, tg, ctg, sec, csc.

6) Hiperboličke funkcije sh, ch, th, cth.

7) Obrnuto trigonometrijske funkcije arcsin, arccos itd.

Na primjer, funkcija log 2 (x 3 +sincos 3x) je elementarno, jer to je sastav funkcija cosx, sinx, x 3 , x 1 + x 2 , logx, x 2 .

Izraz koji opisuje sastav funkcija naziva se formula.

Za funkciju s više mjesta vrijedi sljedeći važan rezultat koji su dobili A. N. Kolmogorov i V. I. Arnold 1957. godine i koji je rješenje Hilbertovog 13. problema:

Teorema. Bilo koja kontinuirana funkcija n varijable se mogu predstaviti kao kompozicija kontinuiranih funkcija dvije varijable.

Metode za specificiranje funkcija

1. Najjednostavniji način za specificiranje funkcija je putem tabela (Tabela 2.2):

Tabela 2.2

Međutim, funkcije definirane na konačnim skupovima mogu se definirati na ovaj način.

Ako je funkcija definirana na beskonačnom skupu (segment, interval) data u konačnom broju točaka, na primjer, u obliku trigonometrijskih tablica, tablica specijalnih funkcija, itd., tada se za izračunavanje vrijednosti koriste pravila interpolacije. funkcija u srednjim tačkama.

2. Funkcija se može specificirati kao formula koja opisuje funkciju kao kompoziciju drugih funkcija. Formula specificira redoslijed za izračunavanje funkcije.

Primjer 2.28.

f(x) = grijeh(x + Ö x) je sastav od sljedećih funkcija:

g(y) = Ö y; h(u, v) = u+ v; w(z) = sinz.

3. Funkcija se može specificirati kao rekurzivna procedura. Rekurzivna procedura specificira funkciju definiranu na skupu prirodnih brojeva, tj. f(n), n= 1, 2,... kako slijedi: a) postavite vrijednost f(1) (ili f(0)); b) vrijednost f(n+ 1) utvrđeno kroz sastav f(n) i druge poznate funkcije. Najjednostavniji primjer rekurzivne procedure je proračun n!: a) 0! = 1; b) ( n + 1)! = n!(n+ 1). Mnoge procedure numeričkih metoda su rekurzivne procedure.

4. Postoje mogući načini specificiranja funkcije koji ne sadrže metodu za izračunavanje funkcije, već je samo opisuju. Na primjer:

f M(x) =

Funkcija f M(x) – karakteristična funkcija skupa M.

Dakle, u skladu sa značenjem naše definicije, postavite funkciju f– znači podesiti prikaz X ® Y, tj. definisati skup X´ Y, tako da se pitanje svodi na specificiranje određenog skupa. Međutim, moguće je definirati pojam funkcije bez korištenja jezika teorije skupova, naime: funkcija se smatra datom ako je data računska procedura koja, s obzirom na vrijednost argumenta, pronalazi odgovarajuću vrijednost funkcije. Ovako definirana funkcija se poziva izračunljiv.

Primjer 2.29.

Postupak utvrđivanja Fibonačijevi brojevi, je dato relacijom

Fn= Fn- 1 + Fn- 2 (n³ 2) (2.1)

sa početnim vrijednostima F 0 = 1, F 1 = 1.

Formula (2.1) zajedno sa početnim vrijednostima određuje sljedeći niz Fibonačijevih brojeva:

n	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
Fn	1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

Računski postupak za određivanje vrijednosti funkcije iz date vrijednosti argumenta nije ništa drugo do algoritam.

Kontrolna pitanja na temu 2

1. Navedite načine za definiranje binarne relacije.

2. Glavna dijagonala matrice čija relacija sadrži samo jedinice?

3. Za koju vezu? r uslov je uvek ispunjen r = r – 1 ?

4. Za kakav stav r uslov je uvek ispunjen r rÍ r.

5. Uvesti relacije ekvivalencije i parcijalni red na skupu svih pravih u ravni.

6. Navedite načine specificiranja funkcija.

7. Koja je od sljedećih izjava tačna?

a) Svaka binarna relacija je funkcija.

b) Svaka funkcija je binarna relacija.

Tema 3. GRAFOVI

Ojlerov prvi rad o teoriji grafova pojavio se 1736. U početku je ova teorija bila povezana s matematičkim zagonetkama i igrama. Međutim, kasnije se teorija grafova počela koristiti u topologiji, algebri i teoriji brojeva. Danas se teorija grafova koristi u raznim oblastima nauke, tehnologije i praktičnih aktivnosti. Koristi se u projektovanju električnih mreža, planiranju transporta i izgradnji molekularnih kola. Teorija grafova se također koristi u ekonomiji, psihologiji, sociologiji i biologiji.