Površina paralelograma izgrađenog na vektorima jednaka je proizvodu dužina ovih vektora i kuta ugla koji leži između njih.

Dobro je kada uslovi daju dužine ovih istih vektora. Međutim, dešava se i da se formula za površinu paralelograma izgrađenog na vektorima može primijeniti samo nakon izračuna pomoću koordinata.
Ako imate sreće i uvjeti daju dužine vektora, onda samo trebate primijeniti formulu, o kojoj smo već detaljno raspravljali u članku. Površina će biti jednaka umnošku modula i sinusa ugla između njih:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine paralelograma izgrađenog na vektorima.

zadatak: Paralelogram je izgrađen na vektorima i . Pronađite područje ako , i kut između njih je 30°.
Izrazimo vektore kroz njihove vrijednosti:

Možda imate pitanje - odakle dolaze nule? Vrijedi zapamtiti da radimo s vektorima i za njih . također imajte na umu da ako je rezultat , bit će pretvoren u . Sada vršimo konačne proračune:

Vratimo se na problem kada dužine vektora nisu specificirane u uslovima. Ako vaš paralelogram leži u Dekartovom koordinatnom sistemu, moraćete da uradite sledeće.

Izračunavanje dužina stranica figure datih koordinatama

Prvo pronalazimo koordinate vektora i oduzimamo odgovarajuće koordinate početka od krajnjih koordinata. Recimo da su koordinate vektora a (x1;y1;z1), a vektora b (x3;y3;z3).
Sada ćemo pronaći dužinu svakog vektora. Da biste to učinili, svaka koordinata mora biti kvadrirana, zatim se dobiveni rezultati moraju dodati i korijen izvući iz konačnog broja. Na osnovu naših vektora biće sljedeća izračunavanja:


Sada moramo pronaći skalarni proizvod naših vektora. Da biste to učinili, njihove odgovarajuće koordinate se množe i sabiraju.

Imajući dužine vektora i njihov skalarni proizvod, možemo pronaći kosinus ugla koji leži između njih .
Sada možemo pronaći sinus istog ugla:
Sada imamo sve potrebne količine i lako možemo pronaći površinu paralelograma izgrađenog na vektorima koristeći već poznatu formulu.

Prisjetimo se prvo što je vektorski proizvod.

Napomena 1

Vector artwork za $\vec(a)$ i $\vec(b)$ je $\vec(c)$, što je neki treći vektor $\vec(c)= ||$, a ovaj vektor ima posebna svojstva:

• Skalar rezultujućeg vektora je proizvod $|\vec(a)|$ i $|\vec(b)|$ sa sinusom ugla $\vec(c)= ||= |\vec(a )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Svi $\vec(a), \vec(b)$ i $\vec(c)$ formiraju desnu trojku;
• Rezultirajući vektor je ortogonan na $\vec(a)$ i $\vec(b)$.

Ako vektori imaju neke koordinate ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ i $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), tada je njihov vektorski proizvod u kartezijanskim koordinatama sistem se može odrediti formulom:

$ = \(y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\)$

Najlakši način da zapamtite ovu formulu je da je napišete u determinantnom obliku:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

Ova formula je vrlo zgodna za korištenje, ali da biste razumjeli kako je koristiti, prvo se trebate upoznati s temom matrica i njihovih determinanti.

Površina paralelograma, čije su strane određene sa dva vektora $\vec(a)$ i $vec(b)$ je jednako skalar vektorskog proizvoda data dva vektora.

Ovaj odnos uopšte nije teško izvesti.

Prisjetimo se formule za pronalaženje površine običnog paralelograma, koji se može okarakterizirati segmentima $a$ i $b$ koji ga formiraju:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

U ovom slučaju, dužine stranica su jednake skalarnim vrijednostima vektora $\vec(a)$ i $\vec(b)$, što je sasvim prikladno za nas, odnosno skalar vektorski proizvod ovih vektora će biti površina figure koja se razmatra.

Primjer 1

Dati su vektori $\vec(c)$ sa koordinatama $\(5;3; 7\)$ i vektor $\vec(g)$ sa koordinatama $\(3; 7;10\)$ u Dekartovom koordinatnom sistemu . Pronađite površinu paralelograma koji čine $\vec(c)$ i $\vec(g)$.

Rješenje:

Nađimo vektorski proizvod za ove vektore:

$ = \begin(niz) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(niz)= i \cdot \begin(niz) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(niz) - j \cdot \begin(niz) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(niz) + k \cdot \begin(niz) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(niz) = i \cdot (3 \cdot 10 – 49) – j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Sada pronađimo modularnu vrijednost za rezultirajući usmjereni segment, to je vrijednost površine konstruiranog paralelograma:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.

Ova linija rasuđivanja vrijedi ne samo za pronalaženje područja u 3-dimenzionalnom prostoru, već i za dvodimenzionalni prostor. Pogledajte sljedeću zagonetku na ovu temu.

Primjer 2

Izračunajte površinu paralelograma ako su njegovi generirajući segmenti specificirani vektorima $\vec(m)$ sa koordinatama $\(2; 3\)$ i $\vec(d)$ sa koordinatama $\(-5) 6\)$.

Rješenje:

Ovaj problem je poseban primjer problema 1, riješenog gore, ali oba vektora leže u istoj ravni, što znači da se treća koordinata, $z$, može uzeti kao nula.

Da sumiramo sve gore navedeno, površina paralelograma će biti:

$S = \begin(niz) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(niz) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Primjer 3

Zadati vektori $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)= 5i$. Odredite površinu paralelograma koji formiraju.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i – j + k) \times 5i = 15 – 5 + $

Pojednostavimo prema donjoj tabeli za jedinične vektore:

Slika 1. Dekompozicija vektora po bazi. Author24 - online razmjena studentskih radova

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Vrijeme izračunavanja:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Prethodni problemi su se odnosili na vektore čije su koordinate specificirane u Dekartovom koordinatnom sistemu, ali razmotrite i slučaj ako se ugao između baznih vektora razlikuje od $90°$:

Primjer 4

Vektor $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, dužine $\vec(a)$ i $\vec(b)$ jednake su jedna drugoj i jednake jednoj , a ugao između $\vec(a)$ i $\vec(b)$ je 45°.

Rješenje:

Izračunajmo vektorski proizvod $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a – 4b) = 2 – 8 + 3 – 12 $.

Za vektorske proizvode, prema njihovim svojstvima, vrijedi sljedeće: $$ i $$ su jednaki nuli, $ = - $.

Iskoristimo ovo da pojednostavimo:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 =-11$.

Sada koristimo formulu $(1)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=$5,5.

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: vektorski proizvod vektora I mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da za potpuna sreća, osim toga skalarni proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Ovo je vektorska ovisnost. Može se činiti da ulazimo u divljinu analitička geometrija. Ovo je pogrešno. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva komplikovaniji od istog skalarni proizvod, bit će čak i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, u što će se mnogi uvjeriti ili su se već uvjerili, je NE PRAVITI GREŠKE U PRORAČUNIMA. Ponovite kao čaroliju i bit ćete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nema veze, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovo steći osnovno znanje o vektorima. Pripremljeniji čitatelji mogu selektivno upoznati informacije. Pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze praktičan rad

Šta će vas odmah usrećiti? Kada sam bio mali, znao sam da žongliram sa dve, pa čak i sa tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nećete morati uopšte da žonglirate, pošto ćemo razmotriti samo prostorni vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!

Ova operacija, baš kao i skalarni proizvod, uključuje dva vektora. Neka ovo budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno sa na sledeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da vektorski proizvod vektora označavam na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je unutra skalarni proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe koja je razlika? Očigledna razlika je, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, odatle potiče i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi, oznake se također mogu razlikovati.

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, a zatim komentari.

Definicija: Vektorski proizvod nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, pod nazivom VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Hajde da raščlanimo definiciju dio po dio, ovdje ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, mogu se istaći sljedeće važne tačke:

1) Originalni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori su uzeti po strogo definisanom redosledu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" sa "a". Rezultat množenja vektora je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, dobićemo vektor jednake dužine i suprotnog smjera (boja maline). Odnosno, jednakost je tačna .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski i, naravno, nazivna dužina vektorskog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Prisjetimo se jedne od geometrijskih formula: Površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa ugla između njih. Stoga, na osnovu navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se formula radi o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta je praktično značenje? A značenje je da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Hajde da dobijemo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći pomoću formule:

4) Ne manje važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore, tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (strijela maline) je također ortogonan prema originalnim vektorima.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o tome orijentacija u ravni, a sada ćemo shvatiti šta je prostorna orijentacija. Objasniću na prstima desna ruka . Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Prsten i mali prst pritisnite ga na dlan. Kao rezultat thumb– vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (to je ova na slici). Sada promijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: koja osnova ima lijevu orijentaciju? „Dodeli“ istim prstima lijeva ruka vektora, te dobijemo lijevu osnovu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze „uvijaju“ ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, orijentaciju prostora mijenja najobičnije ogledalo, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda u općenitom slučaju to neće biti moguće kombinovati sa "originalom". Usput, držite tri prsta uz ogledalo i analizirajte odraz ;-)

...kako je dobro to što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije zastrašujuće =)

Unakrsni proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razmotrena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je jednak nuli. Isto slijedi i iz formule - sinus od nula ili 180 stepeni jednaka nuli, i stoga je površina nula

Dakle, ako , onda I . Napominjemo da je sam vektorski proizvod jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i on jednak nuli.

Poseban slučaj– vektorski proizvod vektora sa samim sobom:

Koristeći vektorski proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera možda će vam trebati trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namerno sam napravio iste početne podatke u klauzulama. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, morate pronaći dužina vektor (unakrsni proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Ako su vas pitali o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovu, morate pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma je numerički jednaka dužini vektorskog proizvoda:

Odgovori:

Imajte na umu da odgovor uopće ne govori o vektorskom proizvodu; područje figure, prema tome, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA treba da nađemo prema uslovu i na osnovu toga formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dosta literalista, a zadatak ima dobre šanse da bude vraćen na doradu. Iako ovo nije posebno nategnuta prepirka - ako je odgovor netačan, onda se stječe utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nisu razumjeli suštinu zadatka. Ovu tačku uvijek treba držati pod kontrolom prilikom rješavanja bilo kakvog problema višu matematiku, a i u drugim predmetima.

Gdje je nestalo veliko slovo “en”? U principu je moglo biti dodatno priloženo rješenju, ali da bih skratio unos, nisam to uradio. Nadam se da svi to razumiju i da je to oznaka za istu stvar.

Popularan primjer za nezavisna odluka:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

U praksi, zadatak je zaista vrlo čest, trouglovi vas općenito mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema trebat će nam:

Svojstva vektorskog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne ističe u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) – o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) – asocijativni ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se mogu lako premjestiti izvan vektorskog proizvoda. Zaista, šta da rade tamo?

4) – distribucija ili distributivni zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Da demonstriramo, pogledajmo kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Uvjet opet zahtijeva pronalaženje dužine vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima, konstante uzimamo izvan opsega vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu pomjerimo izvan modula, a modul „pojede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ostalo je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da dodate još drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Kvaka je u tome što su vektori “tse” i “de” sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam ovdje je standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije Tačkasti proizvod vektora. Radi jasnoće, podijelit ćemo rješenje u tri faze:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izrazimo vektor u terminima vektora. Još nema riječi o dužini!

(1) Zamijenite izraze vektora.

(2) Koristeći distributivne zakone, otvaramo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, pomjeramo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, korak 2 i 3 se mogu izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član su jednaki nuli (nulti vektor) zbog svojstva nice. U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja je slična primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Faze 2-3 rješenja su mogle biti napisane u jednom redu.

Odgovori:

Problem koji se razmatra je prilično čest u testovi, evo primjera za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

, specificirano na ortonormalnoj osnovi, izraženo formulom:

Formula je zaista jednostavna: u gornji red determinante upisujemo koordinatne vektore, u drugi i treći red "stavljamo" koordinate vektora i stavljamo u strogom redu– prvo koordinate vektora “ve”, a zatim koordinate “double-ve” vektora. Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti redove:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
A)
b)

Rješenje: Provjera se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov vektorski proizvod jednak nuli (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearno, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti jako velik, jer postoji nekoliko problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će zavisiti od definicije, geometrijsko značenje i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Tako su se postrojili kao voz i jedva čekaju da budu identifikovani.

Prvo, opet, definicija i slika:

Definicija: Mješoviti rad nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zvao zapremina paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom “+” ako je osnova desna i znakom “–” ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanim linijama:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori su uzeti određenim redosledom, odnosno preuređivanje vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne nastaje bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti malo drugačiji, ja sam navikao označavati mješoviti proizvod sa , a rezultat proračuna slovom “pe”.

A-prioritet mješoviti proizvod je volumen paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). To jest, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Bilješka : Crtež je šematski.

4) Nemojmo opet brinuti o konceptu orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Izravno iz definicije slijedi formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima.