S ovim online kalkulator možete pronaći liniju presjeka ravnina. Dato je detaljno rješenje sa objašnjenjima. Da biste pronašli jednadžbu linije presjeka ravnina, unesite koeficijente u jednačine ravnina i kliknite na dugme "Riješi". U nastavku pogledajte teoretski dio i numeričke primjere.
×
Upozorenje
Obrisati sve ćelije?
Zatvori Clear
Instrukcije za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimale (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora unijeti u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimale. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.
Prava presjeka ravnina - teorija, primjeri i rješenja
Dvije ravni u prostoru mogu biti paralelne, poklapati se ili seći. U ovom članku ćemo definirati međusobnog dogovora dvije ravni, a ako se te ravnine sijeku, izvodimo jednačinu linije presjeka ravnina.
Neka kartezijanac pravougaoni sistem koordinate Oxyz i neka su ravni specificirane u ovom koordinatnom sistemu α 1 i α 2:
Pošto su vektori n 1 i n 2 su kolinearni, onda postoji takav broj λ ≠0, da je jednakost zadovoljena n 1 =λ n 2, tj. A 1 =λ A 2 , B 1 =λ B 2 , C 1 =λ C 2 .
Množenje jednačine (2) sa λ , dobijamo:
Ako je jednakost D 1 =λ D 2, pa avion α 1 i α 2 se poklapaju, ako D 1 ≠λ D 2 zatim avioni α 1 i α 2 su paralelne, odnosno ne seku se.
2. Normalni vektori n 1 i n 2 aviona α 1 i α 2 nisu kolinearne (slika 2).
Ako vektori n 1 i n 2 nisu kolinearni, onda rješavamo sistem linearne jednačine(1) i (2). Da bismo to učinili, prenosimo slobodne članove na desnu stranu jednadžbe i sastavljamo odgovarajuću matričnu jednačinu:
Gdje x 0 , y 0 , z 0 , m, p, l realni brojevi i t− varijabilna.
Jednakost (5) se može napisati u sljedećem obliku:
Primjer 1. Naći liniju presjeka ravnina α 1 i α 2:
| α 1: x+2y+z+54=0. | (7) |
Rešimo sistem linearnih jednačina (9) u odnosu na x, y, z. Da bismo riješili sistem, konstruiramo proširenu matricu:
Druga faza. Obrnuti Gausov potez.
Isključimo elemente 2. kolone matrice iznad elementa a 22. Da biste to učinili, dodajte red 1 sa linijom 2 pomnožen sa −2/5:
Dobijamo rješenje:
Dobili smo jednadžbu linije presjeka ravnina α 1 i α 2 u parametarskom obliku. Zapišimo to u kanonskom obliku.
Odgovori. α 1 i α Jednadžba linije presjeka ravnina
| (15) |
α 2 izgleda ovako: n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 ima normalan vektor α 2 ima normalan vektor n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={2, 4, 14}.
n 1 i n 2 kolinearna ( n 1 se može dobiti množenjem n 2 brojem 1/2), zatim avion α 1 i α 2 su paralelne ili podudarne.
α 2 pomnoženo brojem 1/2:
| (18) |
Rješenje. α 2 izgleda ovako: n 1 ={A 1 , B 1 , C Prvo odredimo relativni položaj ovih ravnina. Avion α 2 ima normalan vektor n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={15, −6, 9}.
1 )=(5, −2, 3). Avion n 1 i n 2 kolinearna ( n 1 se može dobiti množenjem n Budući da su vektori smjera α 1 i α 2 su paralelne ili podudarne.
2 brojem 1/3), zatim avion α Kada pomnožite jednačinu brojem koji nije nula, jednačina se ne mijenja. Hajde da transformišemo jednačinu ravni
| (19) |
2 pomnoženo brojem 1/3: α 1 i α Kako se normalni vektori jednadžbi (17) i (19) poklapaju, a slobodni članovi jednaki, tada ravnine
2 utakmica.
UGAO IZMEĐU RAVNI
Razmotrimo dvije ravni α 1 i α 2, definirane jednadžbama: Ispod ugao 
između dvije ravni razumjet ćemo jedan od diedarskih uglova koje formiraju ove ravni. Očigledno je da je ugao između vektora normale i ravni α 1 i α 2 jednak jednom od navedenih susednih diedarskih uglova ili 
. Zbog toga 
. Jer 
I
.
, To Primjer. x+2y-3z Odredite ugao između ravnina x+3y+z+8=0.
+4=0 i 2
Uslov za paralelnost dve ravni. 
.
Dvije ravni α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori paralelni, pa stoga
Dakle, dvije ravni su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti odgovarajućih koordinata proporcionalni:
ili
Uslov okomitosti ravnina.
Jasno je da su dvije ravni okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, i stoga, ili .
Dakle, .
Primjeri.
PRAVO U PROSTOR.
VEKTORSKA JEDNAČINA ZA PRAVU.
PARAMETRIČKE DIREKTNE JEDNAČINE Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke M
1 i vektor paralelan ovoj pravoj. Poziva se vektor paralelan pravoj vodiči
vektor ove linije. Dakle, neka prava linija l Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke 1 (x 1 , y 1 , z prolazi kroz tačku
1), koja leži na pravoj paralelnoj vektoru . Razmotrite proizvoljnu tačku M(x,y,z) 
.
na pravoj liniji. Iz slike je jasno da t Vektori i su kolinearni, tako da postoji takav broj t, šta , gdje je množitelj može uzeti bilo koju numeričku vrijednost ovisno o poziciji točke M t na pravoj liniji. Faktor Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke naziva parametar. Nakon što smo odredili radijus vektore tačaka Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke 1 i odnosno, kroz i , Dobijamo . Ova jednačina se zove vektor t jednačina prave linije. To pokazuje da za svaku vrijednost parametra Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke odgovara radijus vektoru neke tačke
, leži na pravoj liniji. 
Zapišimo ovu jednačinu u koordinatnom obliku. Obratite pažnju da,
i odavde Rezultirajuće jednačine se nazivaju parametarski
jednačine prave linije. t promene koordinata x, y. Jer z i tačka Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke kreće se pravolinijski.
KANONIČKE JEDNAČINE DIREKTNE
Neka Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke 1 (x 1 , y 1 , z 1) – tačka koja leži na pravoj liniji Dakle, neka prava linija, And 
je njegov vektor smjera. Uzmimo opet proizvoljnu tačku na pravoj Razmotrite proizvoljnu tačku i razmotrimo vektor .
Jasno je da su i vektori kolinearni, pa njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle,
– kanonski jednačine prave linije.
Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednačine prave mogu dobiti iz parametarskih eliminacijom parametra t. Zaista, iz parametarskih jednačina dobijamo 
Dakle, dvije ravni su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti odgovarajućih koordinata proporcionalni: .
, To Zapišite jednačinu prave 
u parametarskom obliku.
Označimo 
, odavde x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Napomena 2. Neka je prava okomita na jednu od koordinatnih osa, na primjer na os Ox. Tada je vektor smjera prave okomit Ox, dakle, m=0. Shodno tome, parametarske jednačine prave će poprimiti oblik
Isključivanje parametra iz jednačina t, dobijamo jednadžbe prave u obliku
Međutim, i u ovom slučaju pristajemo da formalno zapišemo kanonske jednačine prave u obliku 
. Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, to znači da je prava okomita na odgovarajuću koordinatnu osu.
Slično kanonskim jednačinama 
odgovara pravoj liniji okomitoj na osi Ox. Jer Oy ili paralelno sa osom Oz.
Dakle, .
OPĆE JEDNAČINE PRAVE KAO PRAVE PRESEKA DVIJE RAVNE
Kroz svaku pravu liniju u svemiru postoji bezbroj ravni. Bilo koja dva od njih, ukrštajući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednačine bilo koje dvije takve ravni, razmatrane zajedno, predstavljaju jednačine ove prave.
Općenito, date su bilo koje dvije neparalelne ravni opšte jednačine
odrediti pravu liniju njihovog preseka. Ove jednačine se nazivaju opšte jednačine ravno.
Dakle, .
Konstruirajte pravu zadanu jednadžbama 
Za konstruiranje prave linije dovoljno je pronaći bilo koje dvije njene tačke. Najlakši način je da odaberete tačke preseka prave linije sa koordinatnim ravnima. Na primjer, tačka preseka sa ravninom xOy dobijamo iz jednačina prave linije, pod pretpostavkom z= 0:
Nakon što smo riješili ovaj sistem, nalazimo poentu može uzeti bilo koju numeričku vrijednost ovisno o poziciji točke 1 (1;2;0).
Slično, pod pretpostavkom y= 0, dobijamo tačku preseka prave sa ravninom xOz:
Od opštih jednačina prave linije može se preći na njene kanonske ili parametarske jednačine. Da biste to učinili, morate pronaći neku tačku Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke 1 na pravoj liniji i vektor smjera prave linije.
Koordinate tačaka Položaj prave u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke 1 dobijamo iz ovog sistema jednačina, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora 
. Jer 
. Dakle, izvan vektora smjera prave linije Dakle, neka prava linija možeš to uzeti vektorski proizvod normalni vektori:
.
, To Dajte opće jednačine linije 
kanonskom obliku.
Nađimo tačku koja leži na pravoj. Da bismo to učinili, proizvoljno biramo jednu od koordinata, na primjer, y= 0 i riješi sistem jednačina:
Vektori normale ravni koje definiraju pravu imaju koordinate 
Stoga će vektor smjera biti ravan
. dakle, Dakle, neka prava linija: 
.
UGAO IZMEĐU RAVNIH
Ugao između redova u prostoru nazvaćemo bilo koji od susjedni uglovi, formiran od dvije prave linije povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.
Neka su u prostoru date dvije linije:
Očigledno, ugao φ između pravih linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda koristeći formulu za kosinus kuta između vektora dobivamo
Neka u kanonskim jednadžbama prave linije
koeficijent je različit od nule, tj. prava linija nije paralelna sa ravninom xOy. Zapišimo ove jednačine odvojeno u ovom obliku:
Pod našim uslovom, jednadžbe (6) u potpunosti definiraju pravu liniju. Svaki od njih pojedinačno izražava ravan, pri čemu je prva paralelna sa Oy osi, a druga sa osom
Dakle, predstavljajući pravu liniju sa jednačinama oblika (6), smatramo je presekom dve ravni koje projektuju ovu pravu liniju na koordinatne ravni xOz i yOz. Prva od jednačina (6), razmatrana u ravni, određuje projekciju date prave linije na ovu ravan; na isti način, druga od jednačina (6), razmatrana u ravni, određuje projekciju date prave linije na ravan yOz. Dakle, možemo reći da dati jednačine prave linije u obliku (6) znači dati njenu projekciju na koordinatnu ravan xOz i yOz.
Kada bi koeficijent vođenja bio nula, tada bi barem jedan od druga dva koeficijenta, na primjer, bio različit od nule, tj. prava linija ne bi bila paralelna s ravninom yOz. U ovom slučaju možemo izraziti pravu liniju
jednadžbe ravni koje ga projektuju na koordinatne ravni pisanjem jednadžbi (5) u obliku
Dakle, svaka prava linija se može izraziti jednadžbama dvije ravni koje prolaze kroz nju i projektuju je na koordinatne ravnine. Ali uopće nije potrebno definirati pravu liniju samo takvim parom ravnina.
Kroz svaku pravu liniju prolazi bezbroj aviona. Bilo koja dva od njih, ukrštajući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednačine bilo koje dvije takve ravni, razmatrane zajedno, predstavljaju jednačine ove prave.
Općenito, bilo koje dvije ravni nisu paralelne jedna s drugom s općim jednačinama
odrediti pravu liniju njihovog preseka.
Jednačine (7), razmatrane zajedno, nazivaju se općim jednačinama prave.
Iz općih jednačina prave (7) možemo prijeći na njene kanonske jednačine. U tu svrhu moramo znati neku tačku na pravoj i vektor smjera.
Lako možemo pronaći koordinate tačke iz datog sistema jednačina tako što ćemo proizvoljno izabrati jednu od koordinata, a zatim rešiti sistem od dve jednačine koristeći termine preostale dve koordinate.
Da bismo pronašli usmjeravajući vektor prave linije, napominjemo da ovaj vektor, usmjeren duž linije presjeka ovih ravni, mora biti okomit na oba normalna vektora ovih ravni. Obrnuto, svaki vektor okomit na je paralelan sa obe ravni, a samim tim i sa datom pravom.
Ali vektorski proizvod također ima ovo svojstvo. Stoga se vektorski proizvod normalnih vektora ovih ravnina može uzeti kao usmjeravajući vektor prave linije.
Primjer 1. Svesti jednadžbu prave na kanonski oblik
Odaberimo jednu od koordinata proizvoljno. Neka, na primjer, . Onda
odakle, Dakle, našli smo tačku (2, 0, 1) koja leži na pravoj,
Sada pronalazeći vektorski proizvod vektora, dobijamo vektor pravca prave, dakle, kanonske jednadžbe će biti:
Komentar. Od općih pravolinijskih jednačina oblika (7) možete prijeći na kanonske bez pribjegavanja vektorskoj metodi.
Hajde da se prvo zadržimo malo detaljnije na jednačinama
Izrazimo x i y od njih kroz . Tada dobijamo:
gde bi trebalo da bude
Jednačine (6) se nazivaju pravolinijskim jednadžbama u projekcijama na ravan
Hajde da instaliramo geometrijsko značenje konstante M i N: M predstavlja ugaoni koeficijent projekcije date prave na koordinatnu ravan (tangenta ugla ove projekcije sa osom Oz), a N je ugaoni koeficijent projekcije ove prave na koordinatna ravan (tangenta ugla ove projekcije sa osom Oz). Dakle, brojevi određuju pravce projekcija date prave na dve koordinatne ravni, što znači da karakterišu i smer same date prave. Stoga se brojevi M i N nazivaju ugaoni koeficijenti ovu liniju.
Da bismo saznali geometrijsko značenje konstanti, stavimo pravu liniju u jednačine (6) i onda dobijemo: to jest, tačka leži na datoj pravoj liniji. Očigledno, ova tačka je tačka preseka ove prave sa ravninom. Dakle, ovo su koordinate traga ove prave na koordinatnoj ravni
Sada je lako napraviti prijelaz sa projekcijskih jednačina na kanonske. Neka su, na primjer, date jednadžbe (6). Rješavajući ove jednačine za , nalazimo:
iz koje direktno dobijamo kanonske jednadžbe u obliku
Primjer 2. Dajte kanonske jednačine prave
na jednačine u projekcijama na ravan
Ove jednačine prepisujemo u obliku
Rješavajući prvu od ovih jednačina za x, a drugu za y, nalazimo tražene jednadžbe u projekcijama:
Primjer 3. Dajte jednadžbe u ppojekcijama
kanonskom obliku.
Rješavajući ove jednačine za , dobivamo:
Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine
(V.5)
Obrnuta tvrdnja je takođe tačna: sistem dve nezavisne linearne jednačine oblika (V.5) definiše pravu liniju kao liniju preseka ravni (ako nisu paralelne). Jednačine sistema (V.5) se nazivaju opšta jednačina prava linija u prostoru 
.
PrimjerV.12 . Sastaviti kanonsku jednačinu prave linije date općim jednačinama ravnina
Rješenje. Da biste napisali kanonsku jednačinu prave ili, što je ista stvar, jednačinu prave koja prolazi kroz dvije date tačke, morate pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer Oyz I Oxz.
Tačka preseka prave i ravni Oyz ima apscisu 
. Stoga, pretpostavljajući u ovom sistemu jednačina 
, dobijamo sistem sa dve varijable:
Njena odluka 
,
zajedno sa 
definiše tačku 
željenu pravu liniju. Uz pretpostavku u ovom sistemu jednačina 
, dobijamo sistem
čije rešenje 
,
zajedno sa 
definiše tačku 
presek prave sa ravninom Oxz.
Zapišimo sada jednačine prave koja prolazi kroz tačke 
I 
:
ili 
, Gdje 
će biti vektor smjera ove prave linije.
PrimjerV.13.
Prava linija je data kanonskom jednadžbom 
. Napišite opštu jednačinu za ovu liniju.
Rješenje. Kanonska jednačina prave linije može se napisati kao sistem dvije nezavisne jednačine:
Dobili smo opštu jednačinu prave, koja je sada data presekom dve ravni, od kojih je jedna 
paralelno sa osom Oz
(
), i drugi 
– sjekire OU
(
).
Ova prava linija se može predstaviti kao linija presjeka dvije druge ravni pisanjem njene kanonske jednadžbe u obliku drugog para nezavisnih jednačina:
Komentar . Ista prava linija se može definisati različitim sistemima dveju linearnih jednačina (odnosno presekom različitih ravni, pošto se kroz jednu pravu liniju može povući beskonačan broj ravni), kao i različitim kanonskim jednačinama (u zavisnosti od izbor tačke na pravoj liniji i njenog vektora pravca) .
Nazvat ćemo ga vektor različit od nule paralelan pravoj liniji vodeći vektor .
Pustiti u trodimenzionalni prostor 
data je ravna linija Dakle, neka prava linija, prolazeći kroz tačku 
, i njegov vektor smjera 
.
Bilo koji vektor 
, Gdje 
, koja leži na pravoj, kolinearna je s vektorom 
, stoga su njihove koordinate proporcionalne, tj
. (V.6)
Ova jednačina se zove kanonska jednačina prave. U posebnom slučaju kada je ﻉ ravan, dobijamo jednačinu prave na ravni
. (V.7)
PrimjerV.14.
Naći jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke 
,
.
,
Gdje 
,
,
.
Pogodno je zapisati jednačinu (V.6) u parametarskom obliku. Pošto su koordinate vektora pravca paralelnih linija proporcionalne, onda, pod pretpostavkom
,
Gdje t
- parametar, 
.
Udaljenost od tačke do linije
Razmotrimo dvodimenzionalni euklidski prostor ﻉ sa Dekartovim koordinatnim sistemom. Pusti poentu 
ﻉ i Dakle, neka prava linijaﻉ. Nađimo udaljenost od ove tačke do prave. Hajde da stavimo 
, i ravno Dakle, neka prava linija dato jednačinom 
(Sl.V.8).
Razdaljina 
, vektor 
, Gdje 
– vektor normalne linije Dakle, neka prava linija,
I 
– kolinearne, pa su im koordinate proporcionalne, tj 
, dakle, 
,
.
Odavde 
ili množenjem ovih jednačina sa A I B odnosno, i zbrajajući ih nalazimo 
, odavde
.
(V.8)
određuje udaljenost od tačke 
na pravu liniju 
.
PrimjerV.15.
Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku 
okomito na pravu liniju Dakle, neka prava linija:
i pronađite udaljenost od 
na pravu liniju Dakle, neka prava linija.
Od sl. V.8 imamo 
, a vektor normale je ravan Dakle, neka prava linija
. Iz uslova okomitosti imamo
Jer 
, To
. (V.9)
Ovo je jednadžba prave koja prolazi kroz tačku 
, okomito na pravu liniju 
.
Neka nam je jednačina prave (V.9) koja prolazi kroz tačku 
, okomito na pravu Dakle, neka prava linija:
. Pronađite udaljenost od tačke 
na pravu liniju Dakle, neka prava linija, koristeći formulu (V.8).
Da biste pronašli traženu udaljenost, dovoljno je pronaći jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije tačke 
i tačka 
leži na liniji u osnovi okomice. Neka 
, Onda
Jer 
, i vektor 
, To
. (V.11)
Od tačke 
leži na pravoj liniji Dakle, neka prava linija, onda imamo još jednu jednakost 
ili
Hajde da svedemo sistem na oblik pogodan za primenu Cramerove metode
Njegovo rješenje ima oblik
,
. (V.12)
Zamjenom (V.12) u (V.10) dobijamo originalnu udaljenost.
PrimjerV.16.
Tačka je data u dvodimenzionalnom prostoru 
i ravno 
. Pronađite udaljenost od tačke 
na pravu liniju; zapišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku 
okomito na datu pravu i pronađite udaljenost od tačke 
na osnovu okomice na prvobitnu liniju.
Po formuli (V.8) imamo
Pronalazimo jednadžbu prave koja sadrži okomicu kao prava koja prolazi kroz dvije tačke 
I 
, koristeći formulu (V.11). Jer 
, zatim, uzimajući u obzir činjenicu da 
, A 
, imamo
.
Da pronađem koordinate 
imamo sistem koji uzima u obzir činjenicu da je tačka 
leži na originalnoj liniji
dakle, 
,
, odavde.
Razmotrimo trodimenzionalni euklidski prostor ﻉ. Pusti poentu 
ﻉ i avion ﻉ. Nađimo udaljenost od ove tačke 
na ravan datu jednačinom (slika V.9).
Analogno dvodimenzionalnom prostoru imamo 
i vektor 
, ah, odavde
. (V.13)
Jednačinu prave koja sadrži okomitu ravan zapisujemo kao jednadžbu prave koja prolazi kroz dvije tačke 
I 
, leži u avionu:
. (V.14)
Da pronađemo koordinate tačke 
bilo koje dvije jednakosti formule (V.14) dodajemo jednačinu
Rješavajući sistem od tri jednačine (V.14), (V.15), nalazimo 
,
,
– koordinate tačke 
. Tada će jednačina okomice biti zapisana u obliku
.
Za pronalaženje udaljenosti od tačke 
na ravan umjesto formule (V.13) koju koristimo
Kanonske jednadžbe prave u prostoru su jednadžbe koje definiraju pravu koja prolazi kroz datu tačku kolinearnu vektoru smjera.
Neka su data tačka i vektor pravca. Proizvoljna tačka leži na pravoj Dakle, neka prava linija samo ako su vektori i kolinearni, tj. za njih je ispunjen uslov:
.
Gore navedene jednačine su kanonske jednačine prave.
Brojevi m , n I str su projekcije vektora smjera na koordinatne osi. Pošto vektor nije nula, onda su svi brojevi m , n I str ne može istovremeno biti jednako nuli. Ali jedan ili dva od njih mogu se ispostaviti jednak nuli. IN analitička geometrija Na primjer, dozvoljen je sljedeći unos:
,
što znači da su projekcije vektora na os Oy I Oz jednake su nuli. Stoga su i vektor i prava linija definirani kanonskim jednadžbama okomiti na osi Oy I Oz, odnosno avioni yOz .
Primjer 1. Napišite jednadžbe za pravu u prostoru okomitu na ravan 
i prolazi kroz tačku preseka ove ravni sa osom Oz
.
Rješenje. Nađimo tačku preseka ove ravni sa osom Oz. Od bilo koje tačke koja leži na osi Oz, ima koordinate , dakle, pod pretpostavkom u datoj jednačini ravnine x = y = 0, dobijamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2 . Dakle, tačka preseka ove ravni sa osom Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Pošto je željena prava okomita na ravan, ona je paralelna sa svojim vektorom normale. Stoga, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor normale 
dati avion.
Zapišimo sada tražene jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:
Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke
Prava linija se može definirati sa dvije tačke koje leže na njoj 
. Jer 
U ovom slučaju, usmjeravajući vektor prave linije može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe prave dobijaju oblik
.
Gornje jednačine određuju pravu koja prolazi kroz dvije date tačke.
Primjer 2. Napišite jednadžbu za liniju u prostoru koja prolazi kroz točke i .
Rješenje. Zapišimo tražene jednačine prave u gore datom obliku u teorijskoj referenci:
.
Budući da je , tada je željena ravna linija okomita na os Oy .
Prava kao linija preseka ravnina
Prava linija u prostoru se može definisati kao linija preseka dve neparalelne ravni, odnosno kao skup tačaka koje zadovoljavaju sistem dve linearne jednačine
Jednačine sistema se nazivaju i opšte jednačine prave u prostoru.
Primjer 3. Sastaviti kanonske jednadžbe prave u prostoru date općim jednačinama
Rješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe prave ili, što je isto, jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, morate pronaći koordinate bilo koje dvije tačke na pravoj. One mogu biti tačke preseka prave linije sa bilo koje dve koordinatne ravni, na primer yOz I xOz .
Tačka preseka prave i ravni yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pretpostavljajući u ovom sistemu jednačina x= 0, dobijamo sistem sa dve varijable:
Njena odluka y = 2 , z= 6 zajedno sa x= 0 definira tačku A(0; 2; 6) željeni red. Zatim pretpostavimo u datom sistemu jednačina y= 0, dobijamo sistem
Njena odluka x = -2 , z= 0 zajedno sa y= 0 definira tačku B(-2; 0; 0) presek prave sa ravninom xOz .
Zapišimo sada jednačine prave koja prolazi kroz tačke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :
,
ili nakon dijeljenja nazivnika sa -2:
,