Sa ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednačinu.
Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješenja na dva načina:
- korištenje diskriminanta
- korištenjem Vietine teoreme (ako je moguće).
Štaviše, odgovor se prikazuje kao tačan, a ne približan.
Na primjer, za jednačinu \(81x^2-16x-1=0\) odgovor je prikazan u sljedećem obliku:
Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce srednje škole u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to obavite što je brže moguće? zadaća iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.
Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.
Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučujemo da se upoznate s njima.
Pravila za unos kvadratnog polinoma
Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.
Brojevi se mogu unositi kao cijeli ili razlomak.
Štoviše, razlomci se mogu unijeti ne samo u obliku decimale, već iu obliku običnog razlomka.
Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak se može odvojiti od cijelog dijela tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale ovako: 2,5x - 3,5x^2
Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.
Imenilac ne može biti negativan.
Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &
Ulaz: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Odlučite se
Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.
Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sec...
Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.
Naše igre, zagonetke, emulatori:
Malo teorije.
Kvadratna jednadžba i njeni korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe
Svaka od jednačina
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
izgleda kao
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednačini a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve jednačine se nazivaju kvadratne jednačine.
Definicija.
Kvadratna jednadžba naziva se jednadžba oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a \(a \neq 0 \).
Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b je drugi koeficijent, a broj c je slobodni član.
U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je \(a\neq 0\), najveća snaga varijable x je kvadrat. Otuda i naziv: kvadratna jednačina.
Imajte na umu da se kvadratna jednačina naziva i jednačina drugog stepena, jer je njena leva strana polinom drugog stepena.
Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent od x 2 jednak 1 data kvadratna jednačina. Na primjer, date kvadratne jednadžbe su jednačine
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 +bx+c=0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednačina naziva nepotpuna kvadratna jednadžba. Dakle, jednačine -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b=0, u drugom c=0, u trećem b=0 i c=0.
Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
1) ax 2 +c=0, gdje je \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdje je \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.
Razmotrimo rješavanje jednadžbi svakog od ovih tipova.
Da biste riješili nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), pomaknite njen slobodni član na desnu stranu i podijelite obje strane jednačine sa a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Pošto je \(c \neq 0 \), onda \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Ako je \(-\frac(c)(a)>0\), tada jednačina ima dva korijena.
Ako \(-\frac(c)(a) da riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +bx=0 sa \(b \neq 0 \) faktoriramo njenu lijevu stranu i dobijemo jednačinu
\(x(ax+b)=0 \Strelica desno \levo\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(niz) \desno. \Strelica desno \levo\( \begin (niz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(niz) \desno.
To znači da nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) uvijek ima dva korijena.
Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 =0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 =0 i stoga ima jedan korijen 0.
Formula za korijene kvadratne jednadžbe
Razmotrimo sada kako riješiti kvadratne jednadžbe u kojima su i koeficijenti nepoznanica i slobodni član različiti od nule.
Rešimo kvadratnu jednačinu u opšti pogled i kao rezultat dobijamo formulu za korijene. Ova formula se zatim može koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.
Riješite kvadratnu jednačinu ax 2 +bx+c=0
Podijelivši obje strane sa a, dobijamo ekvivalentnu redukovanu kvadratnu jednačinu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Transformirajmo ovu jednačinu odabirom kvadrata binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strelica desno \)
Radikalni izraz se zove diskriminanta kvadratne jednačine ax 2 +bx+c=0 (“diskriminant” na latinskom - diskriminator). Označava se slovom D, tj.
\(D = b^2-4ac\)
Sada, koristeći diskriminantnu notaciju, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdje je \(D= b^2-4ac \)
Očigledno je da:
1) Ako je D>0, kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D=0, kvadratna jednadžba ima jedan korijen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ako je D Dakle, u zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D > 0), jedan korijen (za D = 0) ili nema korijena (za D Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe koristeći ovaj formule, preporučljivo je učiniti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminanta i uporediti ga sa nulom;
2) ako je diskriminanta pozitivna ili jednaka nuli, onda koristite formulu za korijen ako je diskriminanta negativna, onda zapišite da nema korijena.
Vietin teorem
Zadata kvadratna jednadžba ax 2 -7x+10=0 ima korijene 2 i 5. Zbir korijena je 7, a proizvod je 10. Vidimo da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim znak, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Svaka redukovana kvadratna jednadžba koja ima korijen ima ovo svojstvo.
Zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.
One. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 imaju svojstvo:
\(\left\( \begin(niz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(niz) \desno. \)
Diskriminant je pojam sa više vrijednosti. U ovom članku ćemo govoriti o diskriminantu polinoma, koji vam omogućava da odredite da li dati polinom ima valjana rješenja. Formula za kvadratni polinom nalazi se u školskom kursu algebre i analize. Kako pronaći diskriminanta? Šta je potrebno za rješavanje jednačine?
Kvadratni polinom ili jednačina drugog stepena naziva se i * w ^ 2 + j * w + k je jednako 0, gdje su "i" i "j" prvi i drugi koeficijent, redom, "k" je konstanta, ponekad se naziva "odbacivajući termin" i "w" je varijabla. Njegov korijen će biti sve vrijednosti varijable na kojoj se pretvara u identitet. Takva se jednakost može prepisati kao umnožak i, (w - w1) i (w - w2) jednak 0. U ovom slučaju, očigledno je da ako koeficijent “i” ne postane nula, onda funkcija na lijeva strana će postati nula samo ako x uzme vrijednost w1 ili w2. Ove vrijednosti su rezultat postavljanja polinoma na nulu.
Da bi se pronašla vrijednost varijable pri kojoj kvadratni polinom nestaje, koristi se pomoćna konstrukcija, izgrađena na njenim koeficijentima i nazvana diskriminant. Ovaj dizajn se izračunava prema formuli D je jednako j * j - 4 * i * k. Zašto se koristi?
- To govori da li postoje validni rezultati.
- Ona im pomaže u izračunavanju.
Kako ova vrijednost pokazuje prisustvo pravih korijena:
- Ako je pozitivan, onda se u području realnih brojeva mogu naći dva korijena.
- Ako je diskriminanta nula, tada su oba rješenja ista. Možemo reći da postoji samo jedno rješenje, i to iz oblasti realnih brojeva.
- Ako je diskriminant manje od nule, tada polinom nema pravih korijena.
Mogućnosti proračuna za osiguranje materijala
Za zbir (7 * w^2; 3 * w; 1) jednak 0 Izračunavamo D pomoću formule 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, dobijamo -19. Diskriminantna vrijednost ispod nule ukazuje da nema rezultata na stvarnoj liniji.
Ako smatramo da je 2 * w^2 - 3 * w + 1 ekvivalentno 0, tada se D izračunava kao (-3) na kvadrat minus proizvod brojeva (4; 2; 1) i jednako je 9 - 8, odnosno 1. Pozitivna vrijednost označava dva rezultata na realnoj pravoj.
Ako uzmemo zbir (w ^ 2; 2 * w; 1) i izjednačimo ga sa 0, D se izračunava kao dva na kvadrat minus proizvod brojeva (4; 1; 1). Ovaj izraz će se pojednostaviti na 4 - 4 i otići na nulu. Ispostavilo se da su rezultati isti. Ako pažljivo pogledate ovu formulu, bit će vam jasno da je ovo "potpuni kvadrat". To znači da se jednakost može prepisati u obliku (w + 1) ^ 2 = 0. Postalo je očigledno da je rezultat u ovom zadatku “-1”. U situaciji kada je D jednako 0, lijeva strana jednakosti se uvijek može skupiti pomoću formule „kvadrata zbira“.
Korištenje diskriminanta u izračunavanju korijena
Ova pomoćna konstrukcija ne samo da pokazuje broj stvarnih rješenja, već i pomaže u njihovom pronalaženju. Opća formula za izračunavanje za jednačinu drugog stepena je:
w = (-j +/- d) / (2 * i), gdje je d diskriminanta na stepen 1/2.
Recimo da je diskriminanta ispod nule, tada je d imaginaran i rezultati su imaginarni.
D je nula, tada je d jednako D na stepen 1/2 također nula. Rješenje: -j / (2 * i). Ponovo uzimajući u obzir 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, nalazimo rezultate ekvivalentne -2 / (2 * 1) = -1.
Pretpostavimo da je D > 0, tada je d realan broj, a odgovor se ovdje rastavlja na dva dijela: w1 = (-j + d) / (2 * i) i w2 = (-j - d) / (2 * i ) . Oba rezultata će biti važeća. Pogledajmo 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Ovdje su diskriminanta i d jedinice. Ispada da je w1 jednako (3 + 1) podijeljeno sa (2 * 2) ili 1, a w2 jednako (3 - 1) podijeljeno sa 2 * 2 ili 1/2.
Rezultat izjednačavanja kvadratnog izraza sa nulom izračunava se prema algoritmu:
- Određivanje broja valjanih rješenja.
- Izračun d = D^(1/2).
- Pronalaženje rezultata prema formuli (-j +/- d) / (2 * i).
- Zamjena dobijenog rezultata u izvornu jednakost radi provjere.
Neki posebni slučajevi
U zavisnosti od koeficijenata, rješenje može biti donekle pojednostavljeno. Očigledno, ako je koeficijent varijable na drugi stepen nula, onda se dobija linearna jednakost. Kada je koeficijent varijable na prvi stepen nula, tada su moguće dvije opcije:
- polinom se proširuje u razliku kvadrata kada je slobodni član negativan;
- za pozitivnu konstantu ne mogu se naći prava rješenja.
Ako je slobodni član nula, tada će korijeni biti (0; -j)
Ali postoje i drugi posebni slučajevi koji pojednostavljuju pronalaženje rješenja.
Redukovana jednačina drugog stepena
Dato se zove takav kvadratni trinom gdje je koeficijent vodećeg člana jedan. Za ovu situaciju je primjenjiv Vietin teorem, koji kaže da je zbir korijena jednak koeficijentu varijable na prvi stepen, pomnožen sa -1, a proizvod odgovara konstanti "k".
Dakle, w1 + w2 jednako -j i w1 * w2 jednako k ako je prvi koeficijent jedan. Da biste provjerili ispravnost ove reprezentacije, možete izraziti w2 = -j - w1 iz prve formule i zamijeniti je u drugu jednakost w1 * (-j - w1) = k. Rezultat je originalna jednakost w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.
Važno je napomenuti, da se i * w ^ 2 + j * w + k = 0 može postići dijeljenjem sa “i”. Rezultat će biti: w^2 + j1 * w + k1 = 0, gdje je j1 jednako j/i, a k1 jednako k/i.
Pogledajmo već riješeno 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 sa rezultatima w1 = 1 i w2 = 1/2. Moramo ga podijeliti na pola, kao rezultat w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Provjerimo da li su uslovi teoreme tačni za pronađene rezultate: 1 + 1/2 = 3/ 2 i 1*1/2 = 1 /2.
Čak i drugi faktor
Ako je faktor varijable na prvi stepen (j) djeljiv sa 2, tada će biti moguće pojednostaviti formulu i tražiti rješenje kroz četvrtinu diskriminante D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. ispada w = (-j +/- d/2) / i, gdje je d/2 = D/4 na stepen 1/2.
Ako je i = 1, a koeficijent j je paran, tada će rješenje biti proizvod -1 i polovine koeficijenta varijable w, plus/minus korijen kvadrata ove polovine minus konstanta “k”. Formula: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.
Viši diskriminirajući poredak
Diskriminanta trinoma drugog stepena o kojoj smo gore govorili se najčešće koristi poseban slučaj. U opštem slučaju, diskriminant polinoma je pomnožene kvadrate razlika korijena ovog polinoma. Dakle, diskriminant jednak nuli ukazuje na prisustvo najmanje dva višestruka rješenja.
Uzmimo i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.
D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.
Pretpostavimo da diskriminanta prelazi nulu. To znači da postoje tri korijena u području realnih brojeva. Na nuli postoji više rješenja. Ako je D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.
Video
Naš video će vam detaljno reći o izračunavanju diskriminanta.
Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.
Među cjelokupnim školskim programom algebre, jedna od najopsežnijih tema je tema kvadratnih jednačina. U ovom slučaju, kvadratna jednačina se shvata kao jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gde je a ≠ 0 (čitaj: a pomnoženo sa x na kvadrat plus be x plus ce je jednako nuli, gde a nije jednak nuli). U ovom slučaju glavno mjesto zauzimaju formule za pronalaženje diskriminanta kvadratne jednačine specificirani tip, što se podrazumijeva kao izraz koji vam omogućava da odredite prisustvo ili odsustvo korijena u kvadratnoj jednadžbi, kao i njihov broj (ako postoji).
Formula (jednačina) diskriminanta kvadratne jednačine
Općenito prihvaćena formula za diskriminantu kvadratne jednačine je sljedeća: D = b 2 – 4ac. Izračunavanjem diskriminanta pomoću navedene formule ne možete samo odrediti prisutnost i broj korijena kvadratne jednadžbe, već i odabrati metodu za pronalaženje ovih korijena, kojih ima nekoliko ovisno o vrsti kvadratne jednadžbe.
Šta to znači ako je diskriminanta nula \ Formula za korijene kvadratne jednadžbe ako je diskriminanta nula
Diskriminant je, kako slijedi iz formule, označen latinično pismo D. U slučaju kada je diskriminanta jednaka nuli, treba zaključiti da kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, ima samo jedan korijen, koji se izračunava pomoću pojednostavljene formule . Ova formula se primjenjuje samo kada je diskriminanta nula i izgleda ovako: x = –b/2a, gdje je x korijen kvadratne jednačine, b i a su odgovarajuće varijable kvadratne jednačine. Da biste pronašli korijen kvadratne jednadžbe, trebate podijeliti negativnu vrijednost varijable b dvostrukom vrijednošću varijable a. Rezultirajući izraz će biti rješenje kvadratne jednačine.
Rješavanje kvadratne jednadžbe pomoću diskriminanta
Ako se pri izračunavanju diskriminanta po gornjoj formuli dobije pozitivna vrijednost (D je veći od nule), tada kvadratna jednadžba ima dva korijena, koji se izračunavaju pomoću sljedećih formula: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Najčešće se diskriminanta ne izračunava zasebno, već se radikalni izraz u obliku diskriminantne formule jednostavno zamjenjuje u vrijednost D iz koje se izdvaja korijen. Ako varijabla b ima parnu vrijednost, tada za izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, možete koristiti i sljedeće formule: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, gdje je k = b/2.
U nekim slučajevima, da biste praktično riješili kvadratne jednadžbe, možete koristiti Vietinu teoremu, koja kaže da je za zbir korijena kvadratne jednadžbe oblika x 2 + px + q = 0 vrijednost x 1 + x 2 = –p biće tačno, a za proizvod korena navedene jednačine – izraz x 1 x x 2 = q.
Može li diskriminant biti manji od nule?
Prilikom izračunavanja vrijednosti diskriminanta možete naići na situaciju koja ne spada ni u jedan od opisanih slučajeva – kada diskriminant ima negativnu vrijednost (odnosno manju od nule). U ovom slučaju, općenito je prihvaćeno da kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, nema realne korijene, stoga će njeno rješenje biti ograničeno na izračunavanje diskriminanta, a gornje formule jer korijeni kvadratne jednadžbe u ovom slučaju neće biti primjenjivi. Istovremeno, u odgovoru na kvadratnu jednačinu piše da „jednačina nema pravi korijen“.
Video s objašnjenjima:
Hajde da radimo sa kvadratne jednačine. Ovo su veoma popularne jednačine! U svom najopštijem obliku, kvadratna jednadžba izgleda ovako:
Na primjer:
Evo A =1; b = 3; c = -4
Evo A =2; b = -0,5; c = 2,2
Evo A =-3; b = 6; c = -18
Pa razumes...
Kako riješiti kvadratne jednačine? Ako imate pred sobom kvadratnu jednačinu u ovom obliku, onda je sve jednostavno. Podsjetimo se Čarobna riječ diskriminatorno . Rijetko koji srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz „rješavamo putem diskriminanta“ ulijeva povjerenje i sigurnost. Jer nema potrebe očekivati trikove od diskriminatora! Jednostavan je i bez problema za korištenje. Dakle, formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:
Izraz pod znakom korena je jedan diskriminatorno. Kao što vidite, da bismo pronašli X, koristimo se samo a, b i c. One. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c Ovo je formula koju izračunavamo. Zamenimo sa sopstvenim znakovima! Na primjer, za prvu jednačinu A =1; b = 3; c= -4. Pa zapisujemo:
Primjer je skoro riješen:
To je sve.
Koji su slučajevi mogući kada se koristi ova formula? Postoje samo tri slučaja.
1. Diskriminant je pozitivan. To znači da se korijen može izvući iz njega. Drugo je pitanje da li je korijen dobro ili loše izvađen. Važno je šta se izvlači u principu. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.
2. Diskriminant je nula. Onda imate jedno rješenje. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična. Ali ovo igra ulogu u nejednakostima, gdje ćemo to pitanje detaljnije proučiti.
3. Diskriminant je negativan. Od negativnog broja Kvadratni korijen nije izvučeno. Pa, ok. To znači da nema rješenja.
Sve je vrlo jednostavno. I šta, mislite da je nemoguće pogrešiti? Pa da, kako...
Najčešće greške su zabuna sa vrijednostima znakova a, b i c. Ili bolje rečeno, ne njihovim znakovima (gdje se zbuniti?), već zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ono što ovdje pomaže je detaljno snimanje formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi sa proračunima, uradi to!
Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:
Evo a = -6; b = -5; c = -1
Recimo da znate da retko dobijate odgovore prvi put.
Pa, nemoj biti lijen. Trebat će oko 30 sekundi da se napiše dodatni red i broj grešaka će se naglo smanjiti. Zato pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:
Čini se da je neverovatno teško pisati tako pažljivo. Ali tako se samo čini. Pokušati. Pa, ili biraj. Šta je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebe da sve tako pažljivo zapisujete. Ispostaviće se samo od sebe. Pogotovo ako koristite praktične tehnike koje su opisane u nastavku. Ovaj zao primjer sa gomilom minusa se može riješiti lako i bez grešaka!
dakle, kako se rješavaju kvadratne jednadžbe kroz diskriminant kojeg smo zapamtili. Ili su naučili, što je takođe dobro. Znate kako pravilno odrediti a, b i c. Znate li kako? pažljivo zamijenite ih u korijen formulu i pažljivo prebrojati rezultat. Da li ste razumeli to? ključna riječ ovdje - pažljivo?
Međutim, kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:
Ovo nepotpune kvadratne jednadžbe . Mogu se riješiti i diskriminatorom. Samo treba ispravno shvatiti čemu su oni ovdje jednaki. a, b i c.
Jeste li shvatili? U prvom primjeru a = 1; b = -4; A c? Uopšte ga nema! Pa da, tako je. U matematici to znači da c = 0 ! To je sve. Umjesto toga u formulu zamijenite nulu c, i uspjet ćemo. Isto je i sa drugim primjerom. Samo što mi ovdje nemamo nulu With, A b !
Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo jednostavnije. Bez ikakve diskriminacije. Razmotrimo prvu nepotpunu jednačinu. Šta možete učiniti na lijevoj strani? Možete izvaditi X iz zagrada! Hajde da ga izvadimo.
I šta od ovoga? I činjenica da je proizvod jednak nuli ako i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete mi? U redu, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? To je to...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x = 0, ili x = 4
Sve. Ovo će biti korijeni naše jednadžbe. Oba su pogodna. Prilikom zamjene bilo koje od njih u originalnu jednačinu, dobijamo tačan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo jednostavnije od korištenja diskriminanta.
Druga jednačina se također može jednostavno riješiti. Pomaknite 9 na desnu stranu. Dobijamo:
Ostaje samo da izvučete korijen iz 9, i to je to. Ispostaviće se:
Takođe dva korena . x = +3 i x = -3.
Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili stavljanjem X izvan zagrada, ili jednostavnim pomicanjem broja udesno i zatim izdvajanjem korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove tehnike. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen X, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema šta vaditi iz zagrada...
Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj grešaka. Iste one koje su zbog nepažnje... Za koje kasnije postaje bolno i uvredljivo...
Prvi sastanak. Nemojte biti lijeni prije rješavanja kvadratne jednadžbe i dovedite je u standardni oblik. Šta to znači?
Recimo da nakon svih transformacija dobijete sljedeću jednačinu:
Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse a, b i c. Konstruirajte primjer ispravno. Prvo, X na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Volim ovo:
I opet, ne žurite! Minus ispred X na kvadrat može vas zaista uznemiriti. Lako je zaboraviti... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što smo učili u prethodnoj temi! Moramo pomnožiti cijelu jednačinu sa -1. Dobijamo:
Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminanta i završiti rješavanje primjera. Odlučite sami. Sada bi trebali imati korijene 2 i -1.
Prijem drugi. Provjerite korijene! Prema Vietinoj teoremi. Ne boj se, sve ću ti objasniti! Provjeravam zadnja stvar jednačina. One. onaj koji smo koristili da zapišemo formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, provjera korijena je laka. Dovoljno ih je umnožiti. Rezultat bi trebao biti slobodan član, tj. u našem slučaju -2. Imajte na umu, ne 2, već -2! Besplatan član sa tvojim znakom
. Ako ne uspije, znači da su već negdje zeznuli. Potražite grešku. Ako radi, morate dodati korijene. Poslednja i konačna provera. Koeficijent bi trebao biti b With suprotno
poznat. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred X, jednako je -1. Dakle, sve je tačno!
Šteta što je to tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednačine! Sve manje grešakaće.
Prijem treći. Ako vaša jednadžba ima koeficijente razlomaka, riješite se razlomaka! Pomnožite jednačinu sa zajednički imenilac kako je opisano u prethodni odeljak. Kada radite sa razlomcima, greške se iz nekog razloga stalno uvlače...
Inače, obećao sam da ću pojednostaviti zao primjer s gomilom minusa. Molim te! Evo ga.
Da nas ne bi zbunili minusi, pomnožimo jednačinu sa -1. Dobijamo:
To je sve! Rešavanje je zadovoljstvo!
Dakle, da rezimiramo temu.
1. Prije rješavanja, dovodimo kvadratnu jednačinu u standardni oblik i gradimo je U redu.
2. Ako postoji negativan koeficijent ispred X na kvadrat, eliminiramo ga množenjem cijele jednačine sa -1.
3. Ako su koeficijenti razlomci, eliminiramo razlomke množenjem cijele jednačine odgovarajućim faktorom.
4. Ako je x na kvadrat čist, njegov koeficijent jednako jedan, rješenje se može lako provjeriti korištenjem Vietine teoreme. Učini to!
Frakcijske jednadžbe. ODZ.
Nastavljamo da savladavamo jednačine. Već znamo kako raditi s linearnim i kvadratnim jednačinama. Zadnji pogled lijevo - frakcione jednačine. Ili se zovu i mnogo uglednije - frakcione racionalne jednadžbe. To je isto.
Frakcijske jednadžbe.
Kao što naziv implicira, ove jednadžbe nužno sadrže razlomke. Ali ne samo razlomci, već razlomci koji imaju nepoznato u nazivniku. Barem u jednom. Na primjer:
Dozvolite mi da vas podsjetim da ako su imenioci samo brojevi, ovo su linearne jednadžbe.
Kako odlučiti frakcione jednačine? Prije svega, riješite se razlomaka! Nakon toga, jednačina se najčešće pretvara u linearnu ili kvadratnu. I onda znamo šta da radimo... U nekim slučajevima može se pretvoriti u identitet, kao što je 5=5 ili netačan izraz, kao što je 7=2. Ali to se retko dešava. Ovo ću spomenuti u nastavku.
Ali kako se riješiti razlomaka!? Veoma jednostavno. Primjena istih identičnih transformacija.
Moramo pomnožiti cijelu jednačinu istim izrazom. Tako da su svi imenioci smanjeni! Sve će odmah postati lakše. Dozvolite mi da objasnim na primjeru. Trebamo riješiti jednačinu:
Kako su vas učili u osnovnoj školi? Sve pomeramo na jednu stranu, dovodimo do zajedničkog imenioca itd. Zaboravi kako užasan san! To je ono što trebate učiniti kada dodajete ili oduzimate razlomke. Ili radite sa nejednakostima. A u jednadžbama odmah množimo obje strane izrazom koji će nam dati priliku da sve imenioce svedemo (tj. u suštini, zajedničkim nazivnikom). A koji je ovo izraz?
Na lijevoj strani, smanjenje nazivnika zahtijeva množenje sa x+2. A na desnoj strani, potrebno je množenje sa 2. To znači da se jednačina mora pomnožiti sa 2(x+2). pomnožiti:
Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali ću ga detaljno opisati:
Imajte na umu da još ne otvaram zagradu (x + 2)! Dakle, pišem u celosti:
Na lijevoj strani se u potpunosti skuplja (x+2), a desno 2. Što se i tražilo! Nakon smanjenja dobijamo linearno jednadžba:
I svako može riješiti ovu jednačinu! x = 2.
Hajde da riješimo još jedan primjer, malo složeniji:
Ako se sjetimo da je 3 = 3/1, i 2x = 2x/ 1, možemo napisati:
I opet se oslobađamo onoga što nam se baš i ne sviđa - razlomaka.
Vidimo da da bismo smanjili nazivnik sa X, trebamo pomnožiti razlomak sa (x – 2). A nekolicina nam nije prepreka. Pa, pomnožimo. Sve lijevoj strani i sve desna strana:
Opet zagrade (x – 2) Ne otkrivam. Radim sa zagradom kao cjelinom kao da je jedan broj! To se uvijek mora raditi, inače se ništa neće smanjiti.
Sa osjećajem dubokog zadovoljstva smanjujemo (x – 2) i dobijamo jednačinu bez razlomaka, sa ravnalom!
Sada otvorimo zagrade:
Donosimo slične, pomeramo sve na lijevu stranu i dobijamo:
Klasična kvadratna jednadžba. Ali minus ispred nije dobar. Uvijek ga se možete riješiti množenjem ili dijeljenjem sa -1. Ali ako pažljivo pogledate primjer, primijetit ćete da je najbolje podijeliti ovu jednačinu sa -2! U jednom naletu minus će nestati, a šanse će postati privlačnije! Podijelite sa -2. Na lijevoj strani - član po član, a na desnoj - jednostavno podijelite nulu sa -2, nulu i dobijemo:
Rješavamo preko diskriminanta i provjeravamo pomoću Vietine teoreme. Dobijamo x = 1 i x = 3. Dva korena.
Kao što vidite, u prvom slučaju jednačina je nakon transformacije postala linearna, ali ovdje postaje kvadratna. Dešava se da se nakon uklanjanja razlomaka svi X-ovi smanjuju. Nešto ostaje, kao 5=5. To znači da x može biti bilo šta. Šta god da je, i dalje će biti smanjeno. I ispostavilo se da je to čista istina, 5=5. Ali, nakon što se riješimo razlomaka, može se ispostaviti da je potpuno netačno, na primjer 2=7. A to znači to nema rješenja! Bilo koji X se ispostavi da je netačan.
Realizovano glavno rešenje frakcione jednačine? Jednostavno je i logično. Mijenjamo originalni izraz tako da nestane sve što nam se ne sviđa. Ili se meša. U ovom slučaju to su razlomci. Isto ćemo učiniti sa svim vrstama složeni primjeri sa logaritmima, sinusima i drugim strahotama. Mi Uvijek Otarasimo se svega ovoga.
Međutim, moramo promijeniti originalni izraz u smjeru koji nam je potreban prema pravilima, da... čije je savladavanje priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike. Dakle, savladavamo ga.
Sada ćemo naučiti kako zaobići jedan od glavne zasjede na Jedinstvenom državnom ispitu! Ali prvo da vidimo da li upadate u to ili ne?
Pogledajmo jednostavan primjer:
Stvar je već poznata, množimo obe strane sa (x – 2), dobijamo:
Podsjećam, sa zagradama (x – 2) Radimo kao sa jednim, integralnim izrazom!
Ovdje više nisam pisao jednu u imeniocima, nedostojanstveno je... I nisam crtao zagrade u imeniocima, osim x – 2 nema ništa, ne morate crtati. skratimo:
Otvorite zagrade, pomaknite sve ulijevo i dajte slične:
Riješimo, provjerimo, dobijemo dva korijena. x = 2 I x = 3. Odlično.
Pretpostavimo da zadatak kaže da se zapiše korijen, ili njihov zbir, ako postoji više od jednog korijena. Šta ćemo pisati?
Ako odlučite da je odgovor 5, vi upali u zasedu. I zadatak vam neće biti pripisan. Uzalud su radili... Tačan odgovor je 3.
Sta je bilo?! A ti pokušaš da izvršiš proveru. Zamijenite vrijednosti nepoznatog u original primjer. I ako na x = 3 sve će divno rasti, dobijamo 9 = 9, onda kada x = 2 To će biti deljenje sa nulom! Ono što apsolutno ne možete učiniti. Sredstva x = 2 nije rješenje i ne uzima se u obzir u odgovoru. Ovo je takozvani vanjski ili dodatni korijen. Jednostavno ga odbacujemo. Konačni korijen je jedan. x = 3.
Kako to?! – čujem ogorčene uzvike. Učili su nas da se jednačina može pomnožiti izrazom! Ovo je identična transformacija!
Da, identično. At malo stanje– izraz kojim množimo (dijelimo) – različito od nule. A x – 2 at x = 2 jednako nuli! Dakle, sve je pošteno.
I šta sad mogu učiniti?! Ne množite izrazom? Trebam li provjeriti svaki put? Opet je nejasno!
Mirno! Ne paničite!
U ovoj teškoj situaciji tri magična slova će nas spasiti. Znam šta misliš. Tačno! Ovo ODZ . Područje prihvatljivih vrijednosti.
Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Diskriminant vam omogućava da riješite bilo koju kvadratnu jednačinu koristeći opću formulu, koja ima sljedeći oblik:
Diskriminantna formula zavisi od stepena polinoma. Gornja formula je pogodna za rješavanje kvadratnih jednadžbi sledeći tip:
Diskriminant ima sljedeća svojstva koja morate znati:
* "D" je 0 kada polinom ima višestruke korijene (jednaki korijeni);
* "D" je simetričan polinom u odnosu na korijene polinoma i stoga je polinom u svojim koeficijentima; štaviše, koeficijenti ovog polinoma su cijeli brojevi bez obzira na ekstenziju u kojoj su korijeni uzeti.
Recimo da nam je data kvadratna jednadžba sljedećeg oblika:
1 jednadžba
Prema formuli imamo:
Pošto \, jednačina ima 2 korijena. Hajde da ih definišemo:
Gdje mogu riješiti jednačinu koristeći diskriminantni online rješavač?
Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i saznati kako riješiti jednačinu na našoj web stranici, a ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek smo sretni da vam pomognemo.