IN prethodni odeljak posvećen analizi geometrijsko značenje definitivnog integrala, dobili smo niz formula za izračunavanje površine krivolinijskog trapeza:
S (G) = ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nenegativnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nepozitivnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] .
Ove formule su primjenjive za rješavanje jednostavni zadaci. U stvarnosti, često ćemo morati da radimo sa složenijim figurama. S tim u vezi, ovaj dio ćemo posvetiti analizi algoritama za izračunavanje površine figura koje su ograničene funkcijama u eksplicitnom obliku, tj. kao y = f(x) ili x = g(y).
TeoremaNeka su funkcije y = f 1 (x) i y = f 2 (x) definirane i kontinuirane na intervalu [ a ; b ] , i f 1 (x) ≤ f 2 (x) za bilo koju vrijednost x iz [ a ; b ] . Tada će formula za izračunavanje površine figure G, ograničene linijama x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) izgledati kao S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Slična formula će biti primenljiva za površinu figure ograničenu linijama y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Dokaz
Pogledajmo tri slučaja za koja će formula vrijediti.
U prvom slučaju, uzimajući u obzir svojstvo aditivnosti površine, zbir površina originalne figure G i krivolinijskog trapeza G 1 jednak je površini figure G 2. To znači da
Dakle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Posljednju tranziciju možemo izvesti koristeći treće svojstvo određenog integrala.
U drugom slučaju, jednakost je tačna: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafička ilustracija će izgledati ovako:
Ako su obe funkcije nepozitivne, dobijamo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafička ilustracija će izgledati ovako:
Idemo dalje na razmatranje opšteg slučaja kada y = f 1 (x) i y = f 2 (x) sijeku osu O x.
Tačke presjeka označavamo sa x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Ove tačke dijele segment [a; b ] na n dijelova x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, gdje je α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
dakle,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Posljednju tranziciju možemo napraviti koristeći peto svojstvo određenog integrala.
Ilustrujmo opšti slučaj na grafu.
Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x može se smatrati dokazanom.
Pređimo sada na analizu primjera izračunavanja površine figura koje su ograničene linijama y = f (x) i x = g (y).
Započet ćemo naše razmatranje bilo kojeg od primjera konstruiranjem grafa. Slika će nam omogućiti da složene figure predstavimo kao spojeve više jednostavne figure. Ako vam je konstruisanje grafova i figura na njima teško, možete proučiti odeljak o osnovnim elementarnim funkcijama, geometrijskoj transformaciji grafova funkcija, kao i o konstruisanju grafova tokom proučavanja funkcije.
Primjer 1
Potrebno je odrediti površinu figure koja je ograničena parabolom y = - x 2 + 6 x - 5 i pravim linijama y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Rješenje
Nacrtajmo linije na grafu u Dekartovom koordinatnom sistemu.
Na segmentu [ 1 ; 4 ] grafik parabole y = - x 2 + 6 x - 5 nalazi se iznad prave linije y = - 1 3 x - 1 2. U tom smislu, da bismo dobili odgovor koristimo formulu dobijenu ranije, kao i metodu izračunavanja definitivnog integrala pomoću Newton-Leibnizove formule:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odgovor: S(G) = 13
Pogledajmo složeniji primjer.
Primjer 2
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x + 2, y = x, x = 7.
Rješenje
U ovom slučaju imamo samo jednu pravu liniju koja je paralelna sa x-osi. Ovo je x = 7. To od nas zahtijeva da sami pronađemo drugu granicu integracije.
Napravimo graf i nacrtajmo na njemu linije date u iskazu problema.
Imajući graf pred očima, lako možemo odrediti da će donja granica integracije biti apscisa tačke preseka grafika prave linije y = x i poluparabole y = x + 2. Da bismo pronašli apscisu koristimo jednakosti:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Ispada da je apscisa presječne tačke x = 2.
Skrećemo vam pažnju na činjenicu da se u opštem primeru na crtežu prave y = x + 2, y = x seku u tački (2; 2), pa se ovakvi detaljni proračuni mogu činiti nepotrebnim. Ovdje smo dali ovako detaljno rješenje samo zato što u složenijim slučajevima rješenje možda nije tako očigledno. To znači da je uvijek bolje analitički izračunati koordinate presjeka linija.
Na intervalu [ 2 ; 7] grafik funkcije y = x nalazi se iznad grafika funkcije y = x + 2. Primijenimo formulu za izračunavanje površine:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odgovor: S (G) = 59 6
Primjer 3
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena grafovima funkcija y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.
Rješenje
Nacrtajmo linije na graf.
Hajde da definišemo granice integracije. Da bismo to učinili, odredimo koordinate tačaka presjeka pravih izjednačavanjem izraza 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod uslovom da x nije nula, jednakost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 postaje ekvivalentna jednačini trećeg stepena - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 sa cjelobrojnim koeficijentima. Da biste osvježili vaše sjećanje na algoritam za rješavanje ovakvih jednadžbi, možemo pogledati odjeljak “Rješavanje kubnih jednadžbi”.
Koren ove jednadžbe je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Podijelimo izraz - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomom x - 1, dobijamo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Preostale korijene možemo pronaći iz jednačine x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Našli smo interval x ∈ 1; 3 + 13 2, u kojem se lik G nalazi iznad plave i ispod crvene linije. Ovo nam pomaže da odredimo površinu figure:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odgovor: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Primjer 4
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena krivuljama y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osom apscise.
Rješenje
Nacrtajmo sve linije na graf. Graf funkcije y = - log 2 x + 1 možemo dobiti iz grafika y = log 2 x ako ga postavimo simetrično oko x-ose i pomaknemo za jednu jedinicu gore. Jednačina x-ose je y = 0.
Označimo tačke preseka pravih.
Kao što se vidi sa slike, grafovi funkcija y = x 3 i y = 0 seku se u tački (0; 0). Ovo se dešava zato što je x = 0 jedini pravi koren jednačine x 3 = 0.
x = 2 je jedini korijen jednadžbe - log 2 x + 1 = 0, pa se grafovi funkcija y = - log 2 x + 1 i y = 0 sijeku u tački (2; 0).
x = 1 je jedini korijen jednadžbe x 3 = - log 2 x + 1 . U tom smislu, grafovi funkcija y = x 3 i y = - log 2 x + 1 seku se u tački (1; 1). Posljednja izjava možda nije očigledna, ali jednačina x 3 = - log 2 x + 1 ne može imati više od jednog korijena, jer je funkcija y = x 3 striktno rastuća, a funkcija y = - log 2 x + 1 je striktno opadajuće.
Dalje rješenje uključuje nekoliko opcija.
Opcija #1
Možemo zamisliti figuru G kao zbir dva krivolinijska trapeza smještena iznad x-ose, od kojih se prvi nalazi ispod srednja linija na segmentu x ∈ 0; 1, a drugi je ispod crvene linije na segmentu x ∈ 1; 2. To znači da će površina biti jednaka S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opcija br. 2
Slika G se može predstaviti kao razlika dvije figure, od kojih se prva nalazi iznad x-ose i ispod plave linije na segmentu x ∈ 0; 2, a druga između crvene i plave linije na segmentu x ∈ 1; 2. To nam omogućava da pronađemo područje na sljedeći način:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
U ovom slučaju, da biste pronašli površinu morat ćete koristiti formulu oblika S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. U stvari, linije koje ograničavaju figuru mogu se predstaviti kao funkcije argumenta y.
Riješimo jednadžbe y = x 3 i - log 2 x + 1 u odnosu na x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Dobijamo potrebnu površinu:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odgovor: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Primjer 5
Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Rješenje
Na grafikonu ćemo nacrtati liniju crvenom linijom, dato funkcijom y = x. Plavom bojom nacrtamo liniju y = - 1 2 x + 4, a crnom liniju y = 2 3 x - 3.
Označimo tačke ukrštanja.
Nađimo točke presjeka grafova funkcija y = x i y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Provjerite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nije rješenje jednadžbe x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je rješenje jednadžbe ⇒ (4; 2) presječna tačka i y = x i y = - 1 2 x + 4
Nađimo točku presjeka grafova funkcija y = x i y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Provjerite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je rješenje jednadžbe ⇒ (9 ; 3) tačka a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Ne postoji rješenje jednačine
Nađimo točku presjeka pravih y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) tačka presjeka y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3
Metoda br. 1
Zamislimo površinu željene figure kao zbir površina pojedinih figura.
Tada je površina figure:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda br. 2
Površina originalne figure može se predstaviti kao zbir dvije druge figure.
Zatim rješavamo jednadžbu linije u odnosu na x, a tek nakon toga primjenjujemo formulu za izračunavanje površine figure.
y = x ⇒ x = y 2 crvena linija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 crna linija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Dakle, područje je:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Kao što vidite, vrijednosti su iste.
Odgovor: S (G) = 11 3
Rezultati
Da bismo pronašli površinu figure koja je ograničena datim linijama, trebamo konstruirati linije na ravni, pronaći njihove točke presjeka i primijeniti formulu da pronađemo površinu. U ovom dijelu smo ispitali najčešće varijante zadataka.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Izračunavanje površine figure- Ovo je možda jedan od najtežih problema u teoriji područja. U školskoj geometriji vas uče da pronađete područja glavnog geometrijski oblici kao što su, na primjer, trokut, romb, pravougaonik, trapez, krug itd. Međutim, često se morate baviti izračunavanjem površina složenijih figura. Prilikom rješavanja takvih problema vrlo je zgodno koristiti integralni račun.
Definicija.
Krivolinijski trapez nazovimo neku figuru G ograničenu linijama y = f(x), y = 0, x = a i x = b, a funkcija f(x) je kontinuirana na segmentu [a; b] i ne mijenja svoj znak na njemu (Sl. 1). Područje zakrivljenog trapeza može se označiti sa S(G).
Određeni integral ʃ a b f(x)dx za funkciju f(x), koja je kontinuirana i nenegativna na intervalu [a; b], i površina je odgovarajućeg zakrivljenog trapeza.
Odnosno, da biste pronašli površinu figure G ograničenu linijama y = f(x), y = 0, x = a i x = b, potrebno je izračunati definitivni integral ʃ a b f(x)dx .
dakle, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Ako funkcija y = f(x) nije pozitivna na [a; b], tada se površina krivolinijskog trapeza može pronaći pomoću formule S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Primjer 1.
Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = x 3; y = 1; x = 2.
Rješenje.
Date linije čine lik ABC, koji je prikazan šrafiranjem pirinač. 2.
Tražena površina jednaka je razlici između površina zakrivljenog trapeza DACE i kvadrata DABE.
Koristeći formulu S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), nalazimo granice integracije. Da bismo to uradili, rešavamo sistem od dve jednačine:
(y = x 3,
(y = 1.
Dakle, imamo x 1 = 1 – donja granica i x = 2 – gornja granica.
Dakle, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (kv. jedinice).
Odgovor: 11/4 sq. jedinice
Primjer 2.
Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = √x; y = 2; x = 9.
Rješenje.
Date linije čine ABC lik, koji je iznad ograničen grafikom funkcije
y = √x, a ispod je grafik funkcije y = 2. Rezultirajuća slika je prikazana šrafiranjem u pirinač. 3.
Tražena površina je S = ʃ a b (√x – 2). Nađimo granice integracije: b = 9, da bismo pronašli a, rješavamo sistem od dvije jednačine:
(y = √x,
(y = 2.
Dakle, imamo da je x = 4 = a - ovo je donja granica.
Dakle, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2h| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (kv. jedinice).
Odgovor: S = 2 2/3 sq. jedinice
Primjer 3.
Izračunajte površinu figure ograničene linijama y = x 3 – 4x; y = 0; x ≥ 0.
Rješenje.
Nacrtajmo funkciju y = x 3 – 4x za x ≥ 0. Da biste to učinili, pronađite izvod y’:
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 pri x = ±2/√3 ≈ 1,1 – kritične tačke.
Ako nacrtamo kritične tačke na brojevnoj pravoj i rasporedimo predznake derivacije, nalazimo da funkcija opada od nule do 2/√3 i raste od 2/√3 do plus beskonačno. Tada je x = 2/√3 minimalna tačka, minimalna vrijednost funkcije y min = -16/(3√3) ≈ -3.
Odredimo tačke preseka grafa sa koordinatnim osa:
ako je x = 0, onda je y = 0, što znači da je A(0; 0) tačka preseka sa Oy osom;
ako je y = 0, onda je x 3 – 4x = 0 ili x(x 2 – 4) = 0, ili x(x – 2)(x + 2) = 0, odakle je x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (nije prikladno, jer je x ≥ 0).
Tačke A(0; 0) i B(2; 0) su tačke preseka grafa sa Ox osom.
Date linije čine OAB sliku, koja je prikazana šrafiranjem pirinač. 4.
Pošto funkcija y = x 3 – 4x uzima negativnu vrijednost na (0; 2), onda
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Imamo: ʃ 0 2 (x 3 – 4h)dx =(x 4 /4 – 4h 2 /2)| 0 2 = -4, odakle je S = 4 sq. jedinice
Odgovor: S = 4 sq. jedinice
Primjer 4.
Nađite površinu figure ograničene parabolom y = 2x 2 – 2x + 1, linijama x = 0, y = 0 i tangentom na ovu parabolu u tački sa apscisom x 0 = 2.
Rješenje.
Prvo, napravimo jednačinu za tangentu na parabolu y = 2x 2 – 2x + 1 u tački sa apscisom x₀ = 2.
Pošto je izvod y’ = 4x – 2, onda za x 0 = 2 dobijamo k = y’(2) = 6.
Nađimo ordinatu tačke tangente: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Dakle, tangentna jednadžba ima oblik: y – 5 = 6(x – 2) ili y = 6x – 7.
Napravimo figuru ograničenu linijama:
y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.
G u = 2h 2 – 2h + 1 – parabola. Tačke preseka sa koordinatnim osama: A(0; 1) – sa Oy osom; sa osom Ox - nema tačaka preseka, jer jednačina 2x 2 – 2x + 1 = 0 nema rješenja (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, odnosno, vrh parabole tačke B ima koordinate B(1/2; 1/2).
Dakle, figura čiju površinu treba odrediti je prikazana šrafiranjem pirinač. 5.
Imamo: S O A B D = S OABC – S ADBC.
Nađimo koordinate tačke D iz uslova:
6x – 7 = 0, tj. x = 7/6, što znači DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Pronalazimo površinu trokuta DBC koristeći formulu S ADBC = 1/2 · DC · BC. dakle,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 sq. jedinice
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (kv. jedinice).
Na kraju dobijamo: S O A B D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (sq. jedinice).
Odgovor: S = 1 1/4 sq. jedinice
Pogledali smo primjere pronalaženje površina figura ograničenih datim linijama. Za uspješno rješavanje ovakvih problema potrebno je znati konstruirati prave i grafove funkcija na ravni, pronaći točke presjeka pravih, primijeniti formulu za pronalaženje površine, što podrazumijeva sposobnost izračunavanja određenih integrala.
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
U ovoj lekciji ćemo naučiti računati oblasti ravnih figura koji se zovu krivolinijski trapezi .
Primjeri takvih figura su na donjoj slici.
S jedne strane, pronalaženje površine ravne figure pomoću određenog integrala je izuzetno jednostavno. Govorimo o površini figure koja je odozgo ograničena određenom krivuljom, odozdo osom apscise ( Ox), a na lijevoj i desnoj strani su neke prave linije. Jednostavnost je to definitivni integral funkcije kojoj je data kriva je površina takve figure(krivolinijski trapez).
Za izračunavanje površine figure potrebno nam je:
- Definitivni integral funkcije koja definira krivulju , koji ograničava zakrivljeni trapez odozgo. I tu se pojavljuje prva značajna nijansa: zakrivljeni trapez može biti ograničen krivinom ne samo odozgo, već i odozdo . Kako postupiti u ovom slučaju? Jednostavno, ali važno je zapamtiti: integral se u ovom slučaju uzima sa predznakom minus .
- Granice integracije a I b, koji nalazimo iz jednadžbi linija koje ograničavaju lik s lijeve i desne strane: x = a , x = b, Gdje a I b- brojevi.
Odvojeno, o još nekim nijansama.
Kriva koja omeđuje zakrivljeni trapez na vrhu (ili dnu) mora biti graf kontinuirane i nenegativne funkcije y = f(x) .
Vrijednosti "x" moraju pripadati segmentu [a, b] . Odnosno, ne uzimaju se u obzir linije poput rezanja gljive, čija se stabljika dobro uklapa u ovaj segment, a klobuk je mnogo širi.
Bočni segmenti se mogu degenerisati u tačke . Ako vidite takvu figuru na crtežu, to vas ne bi trebalo zbuniti, jer ova tačka uvijek ima svoju vrijednost na osi “x”. To znači da je sve u redu sa granicama integracije.
Sada možete prijeći na formule i proračune. Dakle, područje s zakrivljeni trapez se može izračunati pomoću formule
Ako f(x) ≤ 0 (grafikon funkcije se nalazi ispod ose Ox), To površina zakrivljenog trapeza može se izračunati pomoću formule
Postoje i slučajevi kada su i gornja i donja granica figure funkcije, respektivno y = f(x) I y = φ (x) , tada se površina takve figure izračunava po formuli
. (3)
Zajedno rješavamo probleme
Počnimo sa slučajevima kada se površina figure može izračunati pomoću formule (1).
Primjer 1.Ox) i ravno x = 1 , x = 3 .
Rješenje. Jer y = 1/x> 0 na segmentu, tada se površina krivolinijskog trapeza nalazi pomoću formule (1):
.
Primjer 2. Pronađite površinu figure ograničenu grafikom funkcije, linijom x= 1 i x-osa ( Ox ).
Rješenje. Rezultat primjene formule (1):
Ako onda s= 1/2 ; ako onda s= 1/3, itd.
Primjer 3. Nađite površinu figure ograničenu grafikom funkcije, osom apscise ( Ox) i ravno x = 4 .
Rješenje. Slika koja odgovara uslovima problema je krivolinijski trapez u kojem je lijevi segment degeneriran u tačku. Granice integracije su 0 i 4. Pošto, koristeći formulu (1) nalazimo površinu krivolinijskog trapeza:
.
Primjer 4. Pronađite površinu figure ograničenu linijama , , i koja se nalazi u 1. četvrtini.
Rješenje. Da bismo koristili formulu (1), zamislimo površinu figure datu uslovima primjera kao zbir površina trokuta OAB i zakrivljeni trapez ABC. Prilikom izračunavanja površine trokuta OAB granice integracije su apscise tačaka O I A, i za figuru ABC- apscisa tačaka A I C (A je tačka preseka linije O.A. i parabole, i C- tačka preseka parabole sa osom Ox). Rešavajući zajedno (kao sistem) jednačine prave i parabole, dobijamo (apscisa tačke A) i (apscisa druge tačke preseka prave i parabole, koja nije potrebna za rešenje). Slično dobijamo , (apscise tačaka C I D). Sada imamo sve što nam treba da pronađemo površinu figure. Mi nalazimo:
Primjer 5. Pronađite površinu zakrivljenog trapeza ACDB, ako je jednadžba krive CD i apscisa A I B 1 i 2 respektivno.
Rješenje. Hajde da se izrazimo zadata jednačina kriva kroz igru: Površina krivolinijskog trapeza nalazi se pomoću formule (1):
.
Prijeđimo na slučajeve u kojima se površina figure može izračunati pomoću formule (2).
Primjer 6. Pronađite površinu figure ograničenu parabolom i x-osom ( Ox ).
Rješenje. Ova slika se nalazi ispod x-ose. Stoga ćemo za izračunavanje njegove površine koristiti formulu (2). Granice integracije su apscisa i tačke preseka parabole sa osom Ox. dakle,
Primjer 7. Pronađite površinu zatvorenu između ose apscise ( Ox) i dva susjedna sinusna talasa.
Rješenje. Područje ove figure može se pronaći pomoću formule (2):
.
Nađimo svaki pojam posebno:
.
.
Konačno nalazimo područje:
.
Primjer 8. Pronađite površinu figure zatvorene između parabole i krive.
Rješenje. Izrazimo jednadžbe pravih kroz igru:
Površina prema formuli (2) dobija se kao
,
Gdje a I b- apscisa tačaka A I B. Nađimo ih zajedničkim rješavanjem jednačina:
Konačno nalazimo područje:
I konačno, slučajevi kada se površina figure može izračunati pomoću formule (3).
Primjer 9. Pronađite površinu figure zatvorene između parabola 
i .
Zapravo, da biste pronašli površinu figure, nije vam potrebno toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak „izračunati površinu pomoću određenog integrala“ uvijek uključuje izradu crteža, tako da će vaše znanje i vještine crtanja biti mnogo hitniji problem. U tom smislu, korisno je osvježiti pamćenje grafova glavnog elementarne funkcije, i, u najmanju ruku, biti u stanju konstruirati pravu liniju i hiperbolu.
Zakrivljeni trapez je ravna figura omeđena osom, pravim linijama i grafikom funkcije kontinuirane na segmentu koji ne mijenja predznak na ovom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje x-osa:
Onda površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje.
Sa stanovišta geometrije, definitivni integral je POVRŠINA.
To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Na primjer, razmotrite definitivni integral. Integrand definira krivu na ravni koja se nalazi iznad ose (ko žele mogu napraviti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednaka površini odgovarajući zakrivljeni trapez.
Primjer 1
Ovo je tipična izjava o dodjeli. Prvo i najvažniji trenutak rješenja - crtež crtež. Štaviše, crtež mora biti konstruisan PRAVO.
Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: kao prvo bolje je konstruisati sve prave (ako postoje) i samo Onda- parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Isplativije je graditi grafove funkcija tačku po tačku.
U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Nacrtajmo crtež (imajte na umu da jednačina definira os):
Na segmentu se nalazi graf funkcije iznad ose, Zbog toga:
odgovor:
Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti da li je odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, bit će ih oko 9, čini se da je istina. Potpuno je jasno da ako dobijemo, recimo, odgovor: 20 kvadratne jedinice, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija se jasno ne uklapa u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.
Primjer 3
Izračunajte površinu figure ograničenu linijama i koordinatnim osa.
Rješenje: Napravimo crtež:
Ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine(ili barem ne viši datu os), tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju:
Pažnja! Ove dvije vrste zadataka ne treba miješati:
1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.
2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.
U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, te stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazimo na sadržajnije primjere.
Primjer 4
Nađite površinu ravne figure ograničene linijama , .
Rješenje: Prvo morate dovršiti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i prave. To se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednačinu:
To znači da je donja granica integracije , a gornja granica integracije .
Ako je moguće, bolje je ne koristiti ovu metodu..
Mnogo je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, a granice integracije postaju jasne „sama po sebi“. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.
Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:
I sada radna formula : Ako postoji neka kontinuirana funkcija na segmentu veće ili jednako neke kontinuirane funkcije , tada se površina figure ograničena grafovima ovih funkcija i linijama , , može pronaći pomoću formule:
Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, i, grubo govoreći, bitno je koji je graf VEĆI(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.
U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, te je stoga potrebno oduzeti od
Završeno rješenje može izgledati ovako:
Željena figura je ograničena parabolom iznad i ravnom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:
odgovor:
Primjer 4
Izračunajte površinu figure ograničene linijama , , , .
Rješenje: Prvo, napravimo crtež:
Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom(pogledajte pažljivo stanje - koliko je broj ograničen!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se javlja "kvar" da morate pronaći površinu figure koja je zasjenjena zelenom bojom!
Ovaj primjer je također koristan po tome što izračunava površinu figure koristeći dva određena integrala.
Zaista:
1) Na segmentu iznad ose nalazi se grafik prave linije;
2) Na segmentu iznad ose nalazi se graf hiperbole.
Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:
Kako izračunati zapreminu tijela rotacijekorištenjem određenog integrala?
Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnoj ravni. Već smo pronašli njegovo područje. Ali, osim toga, ova figura se također može rotirati i rotirati na dva načina:
Oko x-ose;
Oko y-ose .
Ovaj članak će ispitati oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno interesantan, ali je u stvari rješenje gotovo isto kao i kod češćih rotacija oko x-ose.
Počnimo s najpopularnijim tipom rotacije.
Primena integrala za rešavanje primenjenih problema
Obračun površine
Definitivni integral neprekidne nenegativne funkcije f(x) je numerički jednak površina krivolinijskog trapeza ograničenog krivom y = f(x), osom O x i pravim linijama x = a i x = b. U skladu s tim, formula površine se piše na sljedeći način:
Pogledajmo neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.
Zadatak br. 1. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Rješenje. Konstruirajmo figuru čiju ćemo površinu morati izračunati.
y = x 2 + 1 je parabola čije su grane usmjerene prema gore, a parabola je pomjerena prema gore za jednu jedinicu u odnosu na O y osu (slika 1).
Slika 1. Grafikon funkcije y = x 2 + 1
Zadatak br. 2. Izračunajte površinu ograničenu linijama y = x 2 – 1, y = 0 u rasponu od 0 do 1.
 |
Rješenje. Grafikon ove funkcije je parabola grana koje su usmjerene prema gore, a parabola je pomjerena u odnosu na osu O y dolje za jednu jedinicu (slika 2).
Slika 2. Grafikon funkcije y = x 2 – 1
Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama
y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4.
Rješenje. Prva od ove dvije linije je parabola čije su grane usmjerene prema dolje, jer je koeficijent x 2 negativan, a druga prava je prava koja seče obje koordinatne ose.
Da bismo konstruisali parabolu, nalazimo koordinate njenog vrha: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa temena; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je vrh.
Sada pronađimo tačke preseka parabole i prave tako što ćemo rešiti sistem jednačina:
Izjednačavanje desnih strana jednačine čije su lijeve strane jednake.
Dobijamo 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ili x 2 – 12 = 0, odakle 
.
Dakle, tačke su presečne tačke parabole i prave (slika 1).
Slika 3 Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4
Konstruirajmo pravu liniju y = 2x – 4. Ona prolazi kroz tačke (0;-4), (2;0) na koordinatnim osa.
Da biste konstruisali parabolu, možete koristiti i njene tačke preseka sa osom 0x, odnosno korenima jednačine 8 + 2x – x 2 = 0 ili x 2 – 2x – 8 = 0. Koristeći Vietinu teoremu, lako je da nađemo njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = 4.
Na slici 3 prikazana je figura (parabolički segment M 1 N M 2) ograničena ovim linijama.
Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegova površina se može pronaći pomoću određenog integrala prema formuli 
.
U odnosu na ovaj uslov dobijamo integral: 
2 Izračunavanje zapremine tela rotacije
Zapremina tijela dobivena rotacijom krive y = f(x) oko ose O x izračunava se po formuli:
Kada se rotira oko ose O y, formula izgleda ovako:
Zadatak br. 4. Odrediti zapreminu tijela dobivenu rotacijom zakrivljenog trapeza ograničenog pravim linijama x = 0 x = 3 i krivom y = oko ose O x.
Rješenje. Nacrtajmo sliku (slika 4).
Slika 4. Grafikon funkcije y =
Potrebna zapremina je 
Zadatak br. 5. Izračunajte zapreminu tela dobijenu rotacijom zakrivljenog trapeza ograničenog krivom y = x 2 i pravim linijama y = 0 i y = 4 oko ose O y.
Rješenje. Imamo:
Pregledajte pitanja