Производная функции одной переменной.
Введение.
Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».
Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.
В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.
§1. Определение производной.
Механический и геометрический смысл
производной.
Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.
Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.
Итак, производной функцииy=f(x)
в точкеx0 называется
предел (если он существует) отношения
приращения функции
к приращению аргумента
при
.
Производную принято обозначать
так:
.
Таким образом, по определению
Для обозначения производной употребляются
также символы
.
Механический смысл производной.
Если s=s(t)
– закон прямолинейного движения
материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.
Геометрический смысл производной.
Если функция y=f(x)
имеет производную в точке,
то угловой коэффициент касательной к
графику функции в точке
равен
.
Пример.
Найдите производную функции
в точке
=2:
1) Дадим точке
=2
приращение
.
Заметим, что.
2) Найдем приращение функции в точке
=2:
3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
Найдем предел отношения при
:
.
Таким образом,
.
§ 2. Производные от некоторых
простейших функций.
Студенту необходимо научиться вычислять
производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=
.
Найдем производную функции у=х.
т.е.
(x)′=1.
Найдем производную функции
Производная
Пусть
тогда
Легко заметить закономерность в
выражениях производных от степенной
функции
приn=1,2,3.
Следовательно,
. (1)
Эта формула справедлива для любых действительных n.
В частности, используя формулу (1), имеем:
;
.
Пример.
Найдите производную функции
.
.
Данная функция является частным случаем функции вида
при
.
Используя формулу (1), имеем
.
Производные функций y=sin x и y=cos x.
Пусть y=sinx.
Разделим на ∆x, получим
Переходя к пределу при ∆x→0, имеем
Пусть y=cosx .
Переходя к пределу при ∆x→0, получим
;
.
(2)
§3. Основные правила дифференцирования.
Рассмотрим правила дифференцирования.
Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)"=u"+v".(3)
Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).
Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=--=∆u+∆v.
Следовательно,
Итак, (u+v)"=u"+v".
Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)"=u"v+uv". (4)
Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.
Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Отсюда
Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь
Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.
Если
то
(5)
Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y"=0.
Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y"=Cu"(x).
Пример 1.
Найдите производную функции
.
Данная функция имеет вид
,
гдеu=x,v=cosx. Применяя правило
дифференцирования (4), находим
.
Пример 2.
Найдите производную функции
.
Применим формулу (5).
Здесь
;
.
Задачи.
Найдите производные следующих функций:
;
11)
2);
12)
;
3)13)
4)14)
5)15)
6)16)
7
)17)
8)18)
9)19)
10)20)
Производной функции называется базовый элемент в дифференциальном исчислении. Этот элемент и является определенным результатом применения какой-то определенной операции дифференцирования по отношению к исходной функции.
Определение производной
Для того, чтобы понять, что такое производная, необходимо знать, что название функции происходит непосредственно от слова «произведенная», то есть образовавшаяся от другой какой-либо величины. При этом сам процесс определения производной какой-то определенной функции имеет название - «дифференцирование».
Наиболее распространенный метод представления и определения, при использовании теории пределов, несмотря на то, что она появилась гораздо позже дифференциальных исчислений. По определению данной теории, производной называется предел в отношении приращения функций к приращению аргумента, в случае если таковой предел имеется, и при условии, что данный аргумент стремится к нулевому значению.
Рассмотренный ниже небольшой пример поможет наглядно понять, что такое производная.
- Для поиска производной функции f в точке х, нам нужно определить значения данной функции непосредственно в точке х, а так же в точке х+Δх. Причем Δx – это приращения аргумента х.
- Найти приращение для функции у приравненное к f(х+Δх) – f(х).
- Записать производную при помощи предела отношения f’ = lim(f(x+Δх) – f(x))/Δх, исчислить при Δх → 0.
Обычно производная обозначается знаком апострофа - «’» непосредственно над дифференцируемой функцией. Обозначение в виде одного апострофа обозначает первую производную, в виде двух – вторую. Производную наивысшего порядка принято задавать соответствующей цифрой, к примеру f^(n) – что означает производную n-го порядка, где буква «n» – целое число, которое? 0. Производная нулевого порядка - это и есть сама дифференцируемая функция.
С целью облегчения дифференцирования усложненных функций, были разработаны и приняты определенные правила дифференцирования функций:
- С’ = 0, где С – обозначение константы;
- х’ равняется 1;
- (f + g)’ приравнивается f’ + g’;
- (С*f)’ приравнено C*f’ и так далее.
- Для N-кратного дифференцирования удобнее применять формулу Лейбница в виде: (f*g) (n) = Σ C(н) k *f (н-k) *g к, в которой С(н) к – обозначения биномиальных коэффициентов.
Производная и геометрия
Геометрическое осмысление производной заключается в том, что если для функции f имеется конечная производная в пункте х, то значение данной производной будет равняться тангенсу угла от наклона в касательной к функции f в данной точке.
Пусть функция определена в точкеи некоторой ее окрестности. Придадим аргументуприращениетакое, что точкапопадает в область определения функции. Функция при этом получит приращение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при(если этот предел существует и конечен), т.е.
Обозначают: ,,,.
Производной функции в точкесправа (слева) называется
(если этот предел существует и конечен).
Обозначают: ,– производнаяв точкесправа,
,– производнаяв точкеслева.
Очевидно, что справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Функция имеет производную в точкетогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем
Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке и непрерывностью функции в этой точке.
ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция имеет производную в точке, то функцияв этой точке непрерывна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть существует . Тогда
,
где – бесконечно малая при.
Замечание
производной функции и обозначают
дифференцированием функции .
ГЕОМЕТРИЧЕЧКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
1) Физический смысл производной . Если функция и ее аргументявляются физическими величинами, то производная– скорость изменения переменнойотносительно переменнойв точке. Например, если– расстояние, проходимое точкой за время, то ее производная– скорость в момент времени. Если– количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени, то– скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени.
2) Геометрический смысл производной.
Пусть
– некоторая кривая,– точка на кривой.
Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называетсясекущей .
Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точкастремится к, двигаясь по кривой.
Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная
Рассмотрим
кривую
(т.е. график функции).
Пусть в точкеон имеет невертикальную касательную.
Ее уравнение:(уравнение прямой, проходящей через
точкуи имеющую угловой коэффициент).
По определению углового коэффициента
где – угол наклона прямойк оси.
Пусть – угол наклона секущейк оси, где. Так как– касательная, то при
Следовательно,
Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой в точкеможно записать в виде
Замечание . Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке, называетсянормалью к кривой в точке . Так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением , то уравнение нормали к кривойв точкебудет иметь вид
,
если
.
Если же , то касательная к кривойв точкебудет иметь вид
а нормаль .
УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
Уравнение касательной
Пусть функция задается уравнением y =f (x ), нужно написать уравнение касательной в точке x 0. Из определения производной:
y /(x )=limΔx →0Δy Δx
Δy =f (x +Δx )−f (x ).
Уравнение касательной к графику функции: y =kx +b (k ,b =const ). Из геометрического смысла производной: f /(x 0)=tg α=k Т.к. x 0 и f (x 0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y −f (x 0)=f /(x 0)(x −x 0) , или
y =f /(x 0)·x +f (x 0)−f /(x 0)·x 0.
Уравнение нормали
Нормаль - это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:
tg β=tg (2π−α)=ctg α=1tg α=1f /(x 0)
Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем:
tg β1=tg (π−β)=−tg β=−1f /(x ).
Точка (x 0,f (x 0))∈ нормали, уравнение примет вид:
y −f (x 0)=−1f /(x 0)(x −x 0).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть существует . Тогда
,
где – бесконечно малая при.
Но это означает, что непрерывна в точке(см. геометрическое определение непрерывности). ∎
Замечание . Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в точке. Например, функциянепрерывна, но не имеет производной в точке. Действительно,
и, следовательно, не существует.
Очевидно, что соответствие является функцией, определенной на некотором множестве. Ее называютпроизводной функции и обозначают
Операцию нахождения для функции ее производной функции называютдифференцированием функции .
Производная суммы и разности
Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:
(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’
Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула - производная суммы.
Запомнить очень легко.
Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:
В нашем случае основанием служит число:
Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем.
Чему равен? Конечно же, .
Производная от натурального логарифма тоже очень простая:
Примеры:
- Найди производную функции.
- Чему равна производная функции?
Ответы: Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.
Правила дифференцирования
Правила чего? Опять новый термин, опять?!...
Дифференцирование - это процесс нахождения производной.
Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.
При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений:
Всего имеется 5 правил.
Константа выносится за знак производной.
Если - какое-то постоянное число (константа), тогда.
Очевидно, это правило работает и для разности: .
Докажем. Пусть, или проще.
Примеры.
Найдите производные функций:
- в точке;
- в точке;
- в точке;
- в точке.
Решения:
- (производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);
Производная произведения
Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение:
Производная:
Примеры:
- Найдите производные функций и;
- Найдите производную функции в точке.
Решения:
Производная показательной функции
Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).
Итак, где - это какое-то число.
Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию:
Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда:
Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная.
Получилось?
Вот, проверь себя:
Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной.
Примеры:
Найди производные функций:
Ответы:
Это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.
Заметим, что здесь частное двух функций, поэтому применим соответствующее правило дифференцирования:
В этом примере произведение двух функций:
Производная логарифмической функции
Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:
Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, :
Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:
Только теперь вместо будем писать:
В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто:
Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.
Производная сложной функции.
Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».
Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.
Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.
Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция : .
Для нашего примера, .
Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.
Второй пример: (то же самое). .
Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией , а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).
Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:
Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции
- Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция, а внешняя.
А исходная функция является их композицией: . - Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: . - Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: . - Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: . - Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: .
производим замену переменных и получаем функцию.
Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:
Другой пример:
Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:
Алгоритм нахождения производной сложной функции:
Вроде бы всё просто, да?
Проверим на примерах:
Решения:
1) Внутренняя: ;
Внешняя: ;
2) Внутренняя: ;
(только не вздумай теперь сократить на! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)
3) Внутренняя: ;
Внешняя: ;
Сразу видно, что здесь трёхуровневая сложная функция: ведь - это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.
То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.
В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен. В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере:
Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий - как и раньше:
Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.
1. Подкоренное выражение. .
2. Корень. .
3. Синус. .
4. Квадрат. .
5. Собираем все в кучу:
ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:
Базовые производные:
Правила дифференцирования:
Константа выносится за знак производной:
Производная суммы:
Производная произведения:
Производная частного:
Производная сложной функции:
Алгоритм нахождения производной от сложной функции:
- Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
- Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
- Умножаем результаты первого и второго пунктов.
План:
1. Производная функции
2. Дифференциал функции
3. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функции
Производная функции одной переменной
Пусть функция определена на некотором интервале . Аргументу дадим приращение : , тогда функция получит приращение . Найдем предел этого отношения при Если этот предел существует, то его называют производной функции . Производная функции имеет несколько обозначений: . Иногда в обозначении производной используется индекс , указывающий, по какой переменной взята производная.
Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует):
Определение. Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале.
Определение. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием .
Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: .
Пример. Найти производную функции в произвольной точке .
Решение . Значению даем приращение . Найдем приращение функции в точке : . Составим отношение . Перейдем к пределу: . Таким образом, .
Механический смысл производной . Так как или , т.е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени . В этом заключается механический смысл производной .
Если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной .
Геометрический смысл производной . Рассмотрим график непрерывной кривой , имеющий в точке невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где - угол касательной с осью . Для этого проведем через точку и графика секущую (рисунок 1).
Обозначим через - угол между секущей и осью . На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен
При в силу непрерывности функции приращение тоже стремится к нулю; поэтому точка неограниченно приближается по кривой к точке , а секущая , поворачиваясь около точки , переходит в касательную. Угол , т.е. . Следовательно, , поэтому угловой коэффициент касательной равен .
Угловой коэффициент касательной к кривой
Это равенство перепишем в виде: , т.е. производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной .
Если точка касания имеет координаты (рисунок 2), угловой коэффициент касательной равен: .
Уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении имеет вид: .
Тогда уравнение касательной записывается в виде: .
Определение. Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой .
Угловой коэффициент нормали равен: (так как нормаль перпендикулярна касательной).
Уравнение нормали имеет вид: , если .
Подставляя найденные значения и получаем уравнения касательной , т.е. .
Уравнение нормали: или .
Если функция имеет конечную производную в точке, то она дифференцируема в этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то она дифференцируема в этом интервале.
Теорема 6.1 Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Обратная теорема неверна. Непрерывная функция может не иметь производной.
Пример. Функция непрерывна на интервале (рисунок 3).
Решение .
Производная этой функции равна:
В точке - функция не дифференцируема.
Замечание . На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в таблице формул дифференцирования аргумент заменен на промежуточный аргумент .
Таблица производных
Постоянная величина
Степенная функция :
2) , в частности ;
Показательная функция :
3) , в частности ;
Логарифмическая функция :
4) , в частности, ;
Тригонометрические функции :
Обратные тригонометрические функции , , , :
Продифференцировать функцию это значит найти ее производную, то есть вычислить предел: . Однако определение предела в большинстве случаев представляет громоздкую задачу.
Если знать производные основных элементарных функций и знать правила дифференцирования результатов арифметических действий над этими функциями, то можно легко найти производные любых элементарных функций, согласно правил определения производных, хорошо известных из школьного курса.
Пусть функции и - две дифференцируемые в некотором интервале функции.
Теорема 6.2 Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: .
Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Пример. Найти производную функции .
Решение .
Теорема 6.3 Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: .
Пример. Найти производную функции .
Решение .
Теорема 6.4 Производная частного двух функций , если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: .
Пример. Найти производную функции .
Решение . .
Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если , , , то
Пусть и, тогда - сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом .
Теорема 6.5 Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле . , Найти производную функции , заданную уравнением: .
Решение . Функция задана неявно. Продифференцируем уравнение по , помня, что : . Затем находим: .