Εκθετικές ανισότητες πώς να λύσετε παραδείγματα. Επίλυση εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων

Εξετάστε ένα παράδειγμα: επίλυση ανισότητας (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Σημειώστε ότι 4 = (0,5) 2 . Τότε η ανισότητα θα πάρει τη μορφή (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Παίρνουμε: 7 - 3*x>-2.

Ως εκ τούτου: x<3.

Απάντηση: x<3.

Εάν η βάση στην ανισότητα ήταν μεγαλύτερη από ένα, τότε όταν απαλλαγείτε από τη βάση, δεν θα υπήρχε ανάγκη να αλλάξετε το πρόσημο της ανισότητας.

Εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις είναι εκείνες στις οποίες ο άγνωστος περιέχεται στον εκθέτη.

Η επίλυση εκθετικών εξισώσεων συχνά καταλήγει στην επίλυση της εξίσωσης a x = a b, όπου a > 0, a ≠ 1, x είναι ένας άγνωστος. Αυτή η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα x = b, αφού ισχύει το ακόλουθο θεώρημα:

Θεώρημα. Αν a > 0, a ≠ 1 και a x 1 = a x 2, τότε x 1 = x 2.

Ας τεκμηριώσουμε τη θεωρούμενη δήλωση.

Ας υποθέσουμε ότι η ισότητα x 1 = x 2 δεν ισχύει, δηλ. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, τότε η εκθετική συνάρτηση y = a x αυξάνεται και επομένως η ανίσωση a x 1 πρέπει να ικανοποιηθεί< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >α x 2. Και στις δύο περιπτώσεις λάβαμε μια αντίφαση στην συνθήκη a x 1 = a x 2.

Ας εξετάσουμε πολλά προβλήματα.

Λύστε την εξίσωση 4 ∙ 2 x = 1.

Λύση.

Ας γράψουμε την εξίσωση με τη μορφή 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, από την οποία παίρνουμε x + 2 = 0, δηλ. x = -2.

Απάντηση. x = -2.

Λύστε την εξίσωση 2 3x ∙ 3 x = 576.

Λύση.

Εφόσον 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως 8 x ∙ 3 x = 24 2 ή ως 24 x = 24 2.

Από εδώ παίρνουμε x = 2.

Απάντηση. x = 2.

Λύστε την εξίσωση 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Λύση.

Λαμβάνοντας τον κοινό παράγοντα 3 x - 2 από αγκύλες στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

από όπου 3 x - 2 = 1, δηλ. x – 2 = 0, x = 2.

Απάντηση. x = 2.

Λύστε την εξίσωση 3 x = 7 x.

Λύση.

Εφόσον 7 x ≠ 0, η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως 3 x /7 x = 1, από όπου (3/7) x = 1, x = 0.

Απάντηση. x = 0.

Λύστε την εξίσωση 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Λύση.

Αντικαθιστώντας 3 x = a δεδομένη εξίσωσηκατεβαίνει σε τετραγωνική εξίσωση a 2 – 4a – 45 = 0.

Λύνοντας αυτήν την εξίσωση, βρίσκουμε τις ρίζες της: a 1 = 9, και 2 = -5, από όπου 3 x = 9, 3 x = -5.

Η εξίσωση 3 x = 9 έχει ρίζα 2 και η εξίσωση 3 x = -5 δεν έχει ρίζες, αφού η εκθετική συνάρτηση δεν μπορεί να λάβει αρνητικές τιμές.

Απάντηση. x = 2.

Η επίλυση εκθετικών ανισώσεων συχνά καταλήγει στην επίλυση των ανισώσεων a x > a b ή a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Ας δούμε μερικά προβλήματα.

Λύστε την ανίσωση 3 x< 81.

Λύση.

Ας γράψουμε την ανισότητα με τη μορφή 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, τότε η συνάρτηση y = 3 x αυξάνεται.

Επομένως, για το x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Έτσι, στο x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Απάντηση. Χ< 4.

Λύστε την ανίσωση 16 x +4 x – 2 > 0.

Λύση.

Ας συμβολίσουμε 4 x = t, τότε λαμβάνουμε την τετραγωνική ανισότητα t2 + t – 2 > 0.

Αυτή η ανισότητα ισχύει για t< -2 и при t > 1.

Εφόσον t = 4 x, παίρνουμε δύο ανισώσεις 4 x< -2, 4 х > 1.

Η πρώτη ανισότητα δεν έχει λύσεις, αφού 4 x > 0 για όλα τα x € R.

Γράφουμε τη δεύτερη ανίσωση με τη μορφή 4 x > 4 0, από όπου x > 0.

Απάντηση. x > 0.

Λύστε γραφικά την εξίσωση (1/3) x = x – 2/3.

Λύση.

1) Ας φτιάξουμε γραφήματα των συναρτήσεων y = (1/3) x και y = x – 2/3.

2) Με βάση το σχήμα μας, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των εξεταζόμενων συναρτήσεων τέμνονται στο σημείο με την τετμημένη x ≈ 1. Ο έλεγχος αποδεικνύει ότι

x = 1 είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης:

(1/3) 1 = 1/3 και 1 – 2/3 = 1/3.

Με άλλα λόγια, βρήκαμε μια από τις ρίζες της εξίσωσης.

3) Ας βρούμε άλλες ρίζες ή ας αποδείξουμε ότι δεν υπάρχουν. Η συνάρτηση (1/3) x είναι φθίνουσα και η συνάρτηση y = x – 2/3 αυξάνεται. Επομένως, για x > 1, οι τιμές της πρώτης συνάρτησης είναι μικρότερες από 1/3 και της δεύτερης - περισσότερες από 1/3. στο x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 και x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Απάντηση. x = 1.

Σημειώστε ότι από τη λύση αυτού του προβλήματος, συγκεκριμένα, προκύπτει ότι η ανίσωση (1/3) x > x – 2/3 ικανοποιείται για το x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

ιστοσελίδα, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Σε αυτό το μάθημα θα δούμε διάφορες εκθετικές ανισώσεις και θα μάθουμε πώς να τις λύσουμε, με βάση την τεχνική για την επίλυση των απλούστερων εκθετικών ανισώσεων

1. Ορισμός και ιδιότητες μιας εκθετικής συνάρτησης

Ας θυμηθούμε τον ορισμό και τις βασικές ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης. Η λύση όλων των εκθετικών εξισώσεων και ανισώσεων βασίζεται σε αυτές τις ιδιότητες.

Εκθετικη συναρτησηείναι συνάρτηση της μορφής , όπου η βάση είναι ο βαθμός και εδώ x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, όρισμα. y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή, συνάρτηση.

Ρύζι. 1. Γράφημα εκθετικής συνάρτησης

Το γράφημα δείχνει αυξανόμενους και φθίνοντες εκθέτες, απεικονίζοντας την εκθετική συνάρτηση με βάση μεγαλύτερη από μία και μικρότερη από μία αλλά μεγαλύτερη από μηδέν, αντίστοιχα.

Και οι δύο καμπύλες περνούν από το σημείο (0;1)

Ιδιότητες της Εκθετικής Συνάρτησης:

Τομέα: ;

Εύρος τιμών: ;

Η συνάρτηση είναι μονότονη, αυξάνεται με, μειώνεται με.

Μια μονότονη συνάρτηση παίρνει καθεμία από τις τιμές της δίνοντας μια μόνο τιμή ορίσματος.

Όταν , όταν το όρισμα αυξάνεται από μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση αυξάνεται από το μηδέν συμπεριλαμβανομένου στο συν άπειρο, δηλαδή, για δεδομένες τιμές του ορίσματος έχουμε μια μονότονα αυξανόμενη συνάρτηση (). Αντίθετα, όταν το όρισμα αυξάνεται από το μείον στο συν άπειρο, η συνάρτηση μειώνεται από το άπειρο στο μηδέν συμπεριλαμβανομένου, δηλαδή, για δεδομένες τιμές του ορίσματος έχουμε μια μονότονα φθίνουσα συνάρτηση ().

2. Οι απλούστερες εκθετικές ανισώσεις, μέθοδος επίλυσης, παράδειγμα

Με βάση τα παραπάνω, παρουσιάζουμε μια μέθοδο για την επίλυση απλών εκθετικών ανισώσεων:

Τεχνική επίλυσης ανισοτήτων:

Εξισώστε τις βάσεις των μοιρών.

Συγκρίνετε δείκτες διατηρώντας ή αλλάζοντας το πρόσημο της ανισότητας στο αντίθετο.

Η λύση των μιγαδικών εκθετικών ανισώσεων συνήθως συνίσταται στην αναγωγή τους στις απλούστερες εκθετικές ανισώσεις.

Η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη από ένα, που σημαίνει ότι διατηρείται το πρόσημο της ανισότητας:

Ας μετατρέψουμε τη δεξιά πλευρά σύμφωνα με τις ιδιότητες του βαθμού:

Η βάση του βαθμού είναι μικρότερη από ένα, το πρόσημο της ανισότητας πρέπει να αντιστραφεί:

Για να λύσουμε την δευτεροβάθμια ανίσωση, λύνουμε την αντίστοιχη τετραγωνική εξίσωση:

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta βρίσκουμε τις ρίζες:

Οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω.

Έτσι, έχουμε μια λύση στην ανισότητα:

Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι η δεξιά πλευρά μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη με εκθέτη μηδέν:

Η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη από ένα, το πρόσημο της ανισότητας δεν αλλάζει, παίρνουμε:

Ας θυμηθούμε την τεχνική για την επίλυση τέτοιων ανισοτήτων.

Εξετάστε την κλασματική-ορθολογική συνάρτηση:

Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού:

Εύρεση των ριζών της συνάρτησης:

Η συνάρτηση έχει μια ενιαία ρίζα,

Επιλέγουμε διαστήματα σταθερού πρόσημου και προσδιορίζουμε τα πρόσημα της συνάρτησης σε κάθε διάστημα:

Ρύζι. 2. Διαστήματα σταθερότητας πρόσημου

Έτσι, λάβαμε την απάντηση.

Απάντηση:

3. Επίλυση τυπικών εκθετικών ανισώσεων

Ας εξετάσουμε τις ανισότητες με τους ίδιους δείκτες, αλλά διαφορετικές βάσεις.

Μία από τις ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης είναι ότι για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος παίρνει αυστηρά θετικές τιμές, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να χωριστεί σε εκθετική συνάρτηση. Ας διαιρέσουμε τη δεδομένη ανισότητα με τη δεξιά πλευρά της:

Η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη του ενός, το πρόσημο της ανισότητας διατηρείται.

Ας δείξουμε τη λύση:

Το σχήμα 6.3 δείχνει γραφήματα συναρτήσεων και . Προφανώς, όταν το όρισμα είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, το γράφημα της συνάρτησης είναι υψηλότερο, αυτή η συνάρτηση είναι μεγαλύτερη. Όταν οι τιμές των ορισμάτων είναι αρνητικές, η συνάρτηση πηγαίνει χαμηλότερα, είναι μικρότερη. Εάν το όρισμα είναι ίσο, οι συναρτήσεις είναι ίσες, πράγμα που σημαίνει ότι αυτό το σημείο είναι επίσης μια λύση στη δεδομένη ανισότητα.

Ρύζι. 3. Απεικόνιση για παράδειγμα 4

Ας μετατρέψουμε τη δεδομένη ανισότητα σύμφωνα με τις ιδιότητες του βαθμού:

Ακολουθούν μερικοί παρόμοιοι όροι:

Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη σε:

Τώρα συνεχίζουμε να λύνουμε παρόμοια με το παράδειγμα 4, διαιρώντας και τα δύο μέρη με:

Η βάση του βαθμού είναι μεγαλύτερη από ένα, το πρόσημο της ανισότητας παραμένει:

4. Γραφική επίλυση εκθετικών ανισώσεων

Παράδειγμα 6 - Λύστε την ανισότητα γραφικά:

Ας δούμε τις συναρτήσεις στην αριστερή και δεξιά πλευρά και ας φτιάξουμε ένα γράφημα για καθεμία από αυτές.

Η συνάρτηση είναι εκθετική και αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού της, δηλαδή για όλες τις πραγματικές τιμές του ορίσματος.

Η συνάρτηση είναι γραμμική και μειώνεται σε όλο το πεδίο ορισμού της, δηλαδή για όλες τις πραγματικές τιμές του ορίσματος.

Εάν αυτές οι συναρτήσεις τέμνονται, δηλαδή το σύστημα έχει μια λύση, τότε μια τέτοια λύση είναι μοναδική και μπορεί εύκολα να μαντέψει. Για να γίνει αυτό, επαναλαμβάνουμε ακέραιους αριθμούς ()

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι η ρίζα αυτού του συστήματος είναι:

Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων τέμνονται σε ένα σημείο με όρισμα ίσο με ένα.

Τώρα πρέπει να πάρουμε μια απάντηση. Η έννοια της δεδομένης ανισότητας είναι ότι ο εκθέτης πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή ίσος του γραμμική συνάρτηση, δηλαδή να είναι υψηλότερο ή να συμπίπτει με αυτό. Η απάντηση είναι προφανής: (Εικόνα 6.4)

Ρύζι. 4. Απεικόνιση για παράδειγμα 6

Έτσι, εξετάσαμε την επίλυση διαφόρων τυπικών εκθετικών ανισοτήτων. Στη συνέχεια προχωράμε στην εξέταση πιο περίπλοκων εκθετικών ανισοτήτων.

Βιβλιογραφία

Mordkovich A. G. Άλγεβρα και οι απαρχές της μαθηματικής ανάλυσης. - Μ.: Μνημοσύνη. Muravin G. K., Muravin O. V. Άλγεβρα και οι απαρχές της μαθηματικής ανάλυσης. - Μ.: Μπάσταρντ. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn P. et al. - Μ.: Διαφωτισμός.

Μαθηματικά. md. Μαθηματικά-επανάληψη. com. Diffur. κεμσού. ru.

Εργασία για το σπίτι

1. Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης, βαθμοί 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;

2. Λύστε την ανίσωση:

3. Λύστε την ανισότητα.