Παράγωγος συνάρτησης μιας μεταβλητής.
Εισαγωγή.
Πραγματικός μεθοδολογικές εξελίξειςπροορίζεται για φοιτητές της Σχολής Βιομηχανικών και Πολιτικών Μηχανικών. Συγκεντρώθηκαν σε σχέση με το πρόγραμμα του μαθήματος των μαθηματικών στην ενότητα «Διαφορικός λογισμός συναρτήσεων μιας μεταβλητής».
Οι εξελίξεις αντιπροσωπεύουν έναν ενιαίο μεθοδολογικό οδηγό, που περιλαμβάνει: σύντομες θεωρητικές πληροφορίες. «τυποποιημένα» προβλήματα και ασκήσεις με λεπτομερείς λύσεις και επεξηγήσεις για αυτές τις λύσεις. επιλογές δοκιμής.
Υπάρχουν επιπλέον ασκήσεις στο τέλος κάθε παραγράφου. Αυτή η δομή των εξελίξεων τα καθιστά κατάλληλα για ανεξάρτητη γνώση του τμήματος με ελάχιστη βοήθεια από τον δάσκαλο.
§1. Ορισμός παραγώγου.
Μηχανική και γεωμετρική σημασία
παράγωγο.
Η έννοια της παραγώγου είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Ο σχηματισμός της έννοιας της παραγώγου συνδέεται ιστορικά με δύο προβλήματα: το πρόβλημα της ταχύτητας της εναλλασσόμενης κίνησης και το πρόβλημα της εφαπτομένης σε μια καμπύλη.
Αυτά τα προβλήματα, παρά το διαφορετικό περιεχόμενό τους, οδηγούν στην ίδια μαθηματική πράξη που πρέπει να εκτελεστεί σε μια συνάρτηση Αυτή η λειτουργία έχει λάβει ειδικό όνομα στα μαθηματικά. Ονομάζεται πράξη διαφοροποίησης μιας συνάρτησης. Το αποτέλεσμα της πράξης διαφοροποίησης ονομάζεται παράγωγος.
Άρα, η παράγωγος της συνάρτησης y=f(x) στο σημείο x0 είναι το όριο (αν υπάρχει) του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος 
στο 
.
Η παράγωγος συνήθως συμβολίζεται ως εξής: 
.
Έτσι, εξ ορισμού
Τα σύμβολα χρησιμοποιούνται επίσης για να δηλώσουν παράγωγα 
.
Μηχανική έννοια παραγώγου.
Αν s=s(t) – νόμος ευθύγραμμη κίνησηυλικό σημείο λοιπόν 
είναι η ταχύτητα αυτού του σημείου τη χρονική στιγμή t.
Γεωμετρική σημασία της παραγώγου.
Αν η συνάρτηση y=f(x) έχει παράγωγο στο σημείο 
, Οτι κλίσηεφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο 
ισοδυναμεί 
.
Παράδειγμα.
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης 
στο σημείο 
=2:
1) Ας δώσουμε ένα σημείο 
=2 προσαύξηση 
. Σημειώσε ότι.
2) Να βρείτε την αύξηση της συνάρτησης στο σημείο 
=2:
3) Ας δημιουργήσουμε την αναλογία της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος:
Ας βρούμε το όριο της αναλογίας στο 
:
.
Ετσι, 
.
§ 2. Παράγωγα μερικών
απλούστερες λειτουργίες.
Ο μαθητής πρέπει να μάθει πώς να υπολογίζει παραγώγους συγκεκριμένων συναρτήσεων: y=x,y= 
και γενικά= 
.
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης y=x.
εκείνοι. (x)′=1.
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης
Παράγωγο 
Αφήνω 
Επειτα
Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ένα μοτίβο στις εκφράσεις για παραγώγους μιας συνάρτησης ισχύος 
με n=1,2,3.
Ως εκ τούτου,
. (1)
Αυτός ο τύπος ισχύει για οποιοδήποτε πραγματικό n.
Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), έχουμε:
;
.
Παράδειγμα.
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
.
.
Αυτή η συνάρτηση είναι μια ειδική περίπτωση μιας συνάρτησης της φόρμας
στο 
.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), έχουμε
.
Παράγωγοι των συναρτήσεων y=sin x και y=cos x.
Έστω y=sinx.
Διαιρούμε με το Δx, παίρνουμε
Περνώντας στο όριο στο Δx→0, έχουμε
Έστω y=cosx.
Περνώντας στο όριο στο ∆x→0, παίρνουμε
;
.
(2)
§3. Βασικοί κανόνες διαφοροποίησης.
Ας εξετάσουμε τους κανόνες διαφοροποίησης.
Θεώρημα1 . Εάν οι συναρτήσεις u=u(x) και v=v(x) είναι διαφοροποιήσιμες σε ένα δεδομένο σημείοx, τότε σε αυτό το σημείο το άθροισμά τους είναι επίσης διαφοροποιήσιμο και η παράγωγος του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων των όρων : (u+v)"=u"+v".(3)
Απόδειξη: θεωρήστε τη συνάρτηση y=f(x)=u(x)+v(x).
Η αύξηση ∆x του ορίσματος x αντιστοιχεί στις προσαυξήσεις ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) των συναρτήσεων u και v. Τότε η συνάρτηση y θα αυξηθεί
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=--=∆u+∆v.
Ως εκ τούτου,
Άρα, (u+v)"=u"+v".
Θεώρημα2. Αν οι συναρτήσεις u=u(x) και v=v(x) είναι διαφοροποιήσιμες σε ένα δεδομένο σημείοx, τότε το γινόμενο τους είναι διαφοροποιήσιμο στο ίδιο σημείο, σε αυτή την περίπτωση, η παράγωγος του γινομένου βρίσκεται με τον ακόλουθο τύπο: uv)"=u"v+uv". (4)
Απόδειξη: Έστω y=uv, όπου u και v είναι μερικές διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις του x. Ας δώσουμε στο x μια προσαύξηση Δx, τότε το u θα λάβει μια προσαύξηση Δu, η v θα λάβει μια προσαύξηση Δv και η y θα λάβει μια προσαύξηση Δy.
Έχουμε y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), ή
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Επομένως, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Από εδώ 
Περνώντας στο όριο στο ∆x→0 και λαμβάνοντας υπόψη ότι το u και το v δεν εξαρτώνται από το Δx, θα έχουμε
Θεώρημα 3. Η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίση με ένα κλάσμα, ο παρονομαστής του οποίου είναι ίσος με το τετράγωνο του διαιρέτη και ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ του γινόμενου της παραγώγου του μερίσματος από τον διαιρέτη και του γινόμενου του μέρισμα από το παράγωγο του διαιρέτη, δηλ.
Αν 
Οτι 
(5)
Θεώρημα 4.Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι ίση με μηδέν, δηλ. αν y=C, όπου C=const, τότε y"=0.
Θεώρημα 5.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου, δηλ. αν y=Cu(x), όπου С=const, τότε y"=Cu"(x).
Παράδειγμα 1.
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
.
Αυτή η συνάρτηση έχει τη μορφή 
, όπου=x,v=cosx. Εφαρμόζοντας τον κανόνα διαφοροποίησης (4), βρίσκουμε
.
Παράδειγμα 2.
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
.
Ας εφαρμόσουμε τον τύπο (5).
Εδώ 
;
.
Καθήκοντα.
Βρείτε παράγωγα παρακάτω λειτουργίες:
;
11)
2)
;
12)
;
3)
13)
4)
14)
5)
15)
6)
16)
7
)
17)
8)
18)
9)
19)
10)
20)
Η παράγωγος μιας συνάρτησης ονομάζεται βασικό στοιχείο στον διαφορικό λογισμό. Αυτό το στοιχείο είναι το συγκεκριμένο αποτέλεσμα της εφαρμογής κάποιας συγκεκριμένης λειτουργίας διαφοροποίησης σε σχέση με την αρχική συνάρτηση.
Ορισμός παραγώγου
Για να καταλάβετε τι είναι παράγωγο, πρέπει να γνωρίζετε ότι το όνομα της συνάρτησης προέρχεται απευθείας από τη λέξη «παράγωγο», δηλαδή σχηματίζεται από κάποια άλλη ποσότητα. Ταυτόχρονα, η ίδια η διαδικασία προσδιορισμού της παραγώγου μιας συγκεκριμένης συνάρτησης έχει ένα όνομα - "διαφοροποίηση".
Η πιο κοινή μέθοδος αναπαράστασης και ορισμού κατά τη χρήση της θεωρίας των ορίων, παρά το γεγονός ότι εμφανίστηκε πολύ αργότερα από τον διαφορικό λογισμό. Σύμφωνα με τον ορισμό αυτής της θεωρίας, παράγωγος είναι ένα όριο στον λόγο της αύξησης των συναρτήσεων προς την αύξηση του ορίσματος, εάν υπάρχει ένα τέτοιο όριο, και με την προϋπόθεση ότι αυτό το όρισμα τείνει στο μηδέν.
Αναθεωρήθηκε παρακάτω μικρό παράδειγμαθα σας βοηθήσει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι είναι παράγωγο.
- Για να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης f στο σημείο x, πρέπει να προσδιορίσουμε τις τιμές αυτής της συνάρτησης απευθείας στο σημείο x, καθώς και στο σημείο x + Δx. Επιπλέον, Δx είναι η αύξηση του ορίσματος x.
- Να βρείτε την αύξηση για τη συνάρτηση y ίση με f(x+Δx) – f(x).
- Γράψτε την παράγωγο χρησιμοποιώντας το όριο της σχέσης f’ = lim(f(x+Δх) – f(x))/Δх, υπολογίστε την στο Δх → 0.
Συνήθως η παράγωγος συμβολίζεται με μια απόστροφο - "'" ακριβώς πάνω από τη συνάρτηση που διαφοροποιείται. Ο συμβολισμός με τη μορφή μιας απόστροφης υποδηλώνει το πρώτο παράγωγο και με τη μορφή δύο - το δεύτερο. Παράγωγο υψηλότερη τάξηΣυνηθίζεται να προσδιορίζεται ο αντίστοιχος αριθμός, για παράδειγμα f^(n) - τι σημαίνει η παράγωγος νης τάξης, όπου το γράμμα "n" είναι ακέραιος, ποιος; 0. Η παράγωγος μηδενικής τάξης είναι η ίδια η διαφοροποιήσιμη συνάρτηση.
Προκειμένου να διευκολυνθεί η διαφοροποίηση πολύπλοκων συναρτήσεων, αναπτύχθηκαν και υιοθετήθηκαν ορισμένοι κανόνες για τη διαφοροποίηση των συναρτήσεων:
- C' = 0, όπου C είναι ο προσδιορισμός μιας σταθεράς.
- x' ισούται με 1;
- (f + g)' ισούται με f' + g'.
- (C*f)’ ισούται με C*f’ και ούτω καθεξής.
- Για τη διαφοροποίηση Ν-πτυχών, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιηθεί ο τύπος Leibniz με τη μορφή: (f*g) (n) = Σ C(n) k *f (n-k) *g k, στον οποίο το C(n) k είναι ο ορισμός των διωνυμικών συντελεστών.
Παράγωγος και γεωμετρία
Η γεωμετρική κατανόηση της παραγώγου είναι ότι αν μια συνάρτηση f έχει πεπερασμένη παράγωγο σε ένα σημείο x, τότε η τιμή αυτής της παραγώγου θα είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης στη συνάρτηση f σε αυτό το σημείο.
Αφήστε τη συνάρτηση να οριστεί σε ένα σημείο και σε κάποια γειτονιά της. Ας δώσουμε στο όρισμα μια αύξηση έτσι ώστε το σημείο να εμπίπτει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Στη συνέχεια, η συνάρτηση θα αυξηθεί.
ΟΡΙΣΜΟΣ. Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο ονομάζεται όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε αυτό το σημείο προς την αύξηση του ορίσματος, στο (αν αυτό το όριο υπάρχει και είναι πεπερασμένο), δηλ.
Σημειώστε: ,,,.
Παράγωγος συνάρτησης σε σημείο στα δεξιά (αριστερά) που ονομάζεται
(αν αυτό το όριο υπάρχει και είναι πεπερασμένο).
Ορίζεται από: , – παράγωγο στο σημείο στα δεξιά,
, είναι η παράγωγος στο σημείο στα αριστερά.
Προφανώς, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα.
ΘΕΩΡΗΜΑ. Μια συνάρτηση έχει παράγωγο σε ένα σημείο αν και μόνο αν σε αυτό το σημείο υπάρχουν και είναι ίσες μεταξύ τους οι παράγωγοι της συνάρτησης δεξιά και αριστερά. Εξάλλου
Το παρακάτω θεώρημα δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ της ύπαρξης παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο και της συνέχειας της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.
ΘΕΩΡΗΜΑ (απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξη παραγώγου συνάρτησης σε σημείο). Αν μια συνάρτηση έχει παράγωγο σε ένα σημείο, τότε η συνάρτηση σε αυτό το σημείο είναι συνεχής.
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Αφήστε το να υπάρχει. Επειτα
,
όπου είναι απειροελάχιστο στο.
Σχόλιο
παράγωγο συνάρτησης και δηλώνουν
διαφοροποίηση της λειτουργίας .
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗ ΝΟΗΜΑ
1) Φυσική έννοια του παραγώγου. Αν μια συνάρτηση και τα ορίσματά της είναι φυσικές ποσότητες, τότε η παράγωγος είναι ο ρυθμός μεταβολής μιας μεταβλητής σε σχέση με τη μεταβλητή σε ένα σημείο. Για παράδειγμα, εάν – απόσταση, διασχίζεται από ένα σημείομε την πάροδο του χρόνου, τότε η παράγωγός του είναι η ταχύτητα τη στιγμή του χρόνου. Αν είναι η ποσότητα ηλεκτρικής ενέργειας που διαρρέει διατομήαγωγός σε μια χρονική στιγμή, τότε είναι ο ρυθμός μεταβολής της ποσότητας ηλεκτρικής ενέργειας σε μια χρονική στιγμή, δηλ. τρέχουσα ισχύ σε μια χρονική στιγμή.
2) Γεωμετρική σημασία της παραγώγου.
Ας είναι κάποια καμπύλη, είναι ένα σημείο στην καμπύλη. 
Κάθε ευθεία που τέμνει τουλάχιστον δύο σημεία ονομάζεται διατέμνων .
Εφαπτομένη σε μια καμπύλη σε ένα σημείο ονομάζεται οριακή θέση μιας τομής εάν το σημείο τείνει προς, κινούμενο κατά μήκος μιας καμπύλης.
Από τον ορισμό είναι προφανές ότι εάν μια εφαπτομένη σε μια καμπύλη υπάρχει σε ένα σημείο, τότε είναι η μόνη
Θεωρήστε μια καμπύλη (δηλαδή ένα γράφημα μιας συνάρτησης). Αφήστε το να έχει μια μη κάθετη εφαπτομένη σε ένα σημείο. Η εξίσωσή του: (εξίσωση ευθείας που διέρχεται από σημείο και έχει γωνιακό συντελεστή). 
Εξ ορισμού της κλίσης
όπου είναι η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα.
Έστω η γωνία κλίσης της τομής προς τον άξονα, όπου. Αφού είναι εφαπτομένη, τότε πότε
Ως εκ τούτου,
Έτσι, το πήραμε – γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο (γεωμετρική σημασίαπαράγωγος συνάρτησης σε σημείο). Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στην καμπύλη σε ένα σημείο μπορεί να γραφτεί με τη μορφή
Σχόλιο . Μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο στην εφαπτομένη που σύρεται στην καμπύλη στο σημείο αυτό ονομάζεται κανονική στην καμπύλη στο σημείο . Εφόσον οι γωνιακοί συντελεστές των κάθετων ευθειών σχετίζονται με τη σχέση, η εξίσωση του κανονικού προς την καμπύλη σε ένα σημείο θα έχει τη μορφή
, Αν .
Αν , τότε η εφαπτομένη στην καμπύλη στο σημείο θα έχει τη μορφή
και κανονικό.
ΕΠΑΦΗΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Εξίσωση εφαπτομένης
Έστω η συνάρτηση να δίνεται από την εξίσωση y=φά(Χ), πρέπει να γράψετε την εξίσωση εφαπτομένη γραμμήστο σημείο Χ 0. Από τον ορισμό της παραγώγου:
y/(Χ)=limΔ Χ→0Δ yΔ Χ
Δ y=φά(Χ+Δ Χ)−φά(Χ).
Η εξίσωση εφαπτομένη γραμμήστο γράφημα συνάρτησης: y=kx+σι (κ,σι=συνθ). Από τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου: φά/(Χ 0)=tgα= κΕπειδή Χ 0 και φά(Χ 0)∈ ευθεία γραμμή και μετά η εξίσωση εφαπτομένη γραμμήγράφεται ως: y−φά(Χ 0)=φά/(Χ 0)(Χ−Χ 0), ή
y=φά/(Χ 0)· Χ+φά(Χ 0)−φά/(Χ 0)· Χ 0.
Κανονική εξίσωση
Κανονικός- είναι κάθετη στο εφαπτομένη γραμμή(βλέπε εικόνα). Βασισμένο σε αυτό:
tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 φά/(Χ 0)
Επειδή η γωνία κλίσης της κανονικής είναι γωνία β1, τότε έχουμε:
tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 φά/(Χ).
Τελεία ( Χ 0,φά(Χ 0))∈ κανονική, η εξίσωση έχει τη μορφή:
y−φά(Χ 0)=−1φά/(Χ 0)(Χ−Χ 0).
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Αφήστε το να υπάρχει. Επειτα
,
όπου είναι απειροελάχιστο στο.
Αυτό όμως σημαίνει ότι είναι συνεχές σε ένα σημείο (βλ. τον γεωμετρικό ορισμό της συνέχειας). ∎
Σχόλιο . Η συνέχεια μιας συνάρτησης σε ένα σημείο δεν είναι επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη παραγώγου αυτής της συνάρτησης σε ένα σημείο. Για παράδειγμα, μια συνάρτηση είναι συνεχής, αλλά δεν έχει παράγωγο σε ένα σημείο. Πραγματικά,
και άρα δεν υπάρχει.
Προφανώς, η αντιστοιχία είναι μια συνάρτηση που ορίζεται σε κάποιο σύνολο. Την φωνάζουν παράγωγο συνάρτησης και δηλώνουν
Η πράξη εύρεσης μιας συνάρτησης της παραγώγου συνάρτησής της ονομάζεται διαφοροποίηση της λειτουργίας .
Παράγωγο αθροίσματος και διαφοράς
Έστω οι συναρτήσεις f(x) και g(x) των οποίων οι παράγωγοι είναι γνωστές σε εμάς. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε τις στοιχειώδεις συναρτήσεις που συζητήθηκαν παραπάνω. Στη συνέχεια, μπορείτε να βρείτε την παράγωγο του αθροίσματος και της διαφοράς αυτών των συναρτήσεων:
(f + g)' = f ' + g'
(f − g)’ = f ’ − g ’
Άρα, η παράγωγος του αθροίσματος (διαφορά) δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα (διαφορά) των παραγώγων. Μπορεί να υπάρχουν περισσότεροι όροι. Για παράδειγμα, (f + g + h)' = f' + g' + h'.
Αυστηρά μιλώντας, δεν υπάρχει η έννοια της «αφαίρεσης» στην άλγεβρα. Υπάρχει η έννοια του «αρνητικού στοιχείου». Επομένως, η διαφορά f − g μπορεί να ξαναγραφτεί ως το άθροισμα f + (−1) g, και τότε παραμένει μόνο ένας τύπος - η παράγωγος του αθροίσματος.
Πολύ εύκολο να θυμάστε.
Λοιπόν, ας μην πάμε μακριά, ας εξετάσουμε αμέσως την αντίστροφη συνάρτηση. Ποια συνάρτηση είναι το αντίστροφο της εκθετικής συνάρτησης; Λογάριθμος:
Στην περίπτωσή μας, η βάση είναι ο αριθμός:
Ένας τέτοιος λογάριθμος (δηλαδή ένας λογάριθμος με βάση) ονομάζεται "φυσικός" και χρησιμοποιούμε μια ειδική σημείωση γι 'αυτό: γράφουμε αντ 'αυτού.
Με τι ισούται; Φυσικά, .
Η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου είναι επίσης πολύ απλή:
Παραδείγματα:
- Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
- Ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης;
Απαντήσεις: Ο εκθετικός και ο φυσικός λογάριθμος είναι μοναδικά απλές συναρτήσεις από την προοπτική της παραγώγου. Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις με οποιαδήποτε άλλη βάση θα έχουν διαφορετική παράγωγο, την οποία θα αναλύσουμε αργότερα, αφού περάσουμε από τους κανόνες διαφοροποίησης.
Κανόνες διαφοροποίησης
Κανόνες τι; Πάλι νέος όρος, πάλι;!...
ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηείναι η διαδικασία εύρεσης του παραγώγου.
Αυτό είναι όλο. Πώς αλλιώς μπορείτε να ονομάσετε αυτή τη διαδικασία με μια λέξη; Όχι παράγωγος... Οι μαθηματικοί ονομάζουν το διαφορικό την ίδια αύξηση μιας συνάρτησης στο. Ο όρος αυτός προέρχεται από το λατινικό differentia - διαφορά. Εδώ.
Κατά την εξαγωγή όλων αυτών των κανόνων, θα χρησιμοποιήσουμε δύο συναρτήσεις, για παράδειγμα, και. Θα χρειαστούμε επίσης τύπους για τις προσαυξήσεις τους:
Υπάρχουν 5 κανόνες συνολικά.
Η σταθερά αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο.
Αν - κάποιος σταθερός αριθμός (σταθερός), τότε.
Προφανώς, αυτός ο κανόνας λειτουργεί και για τη διαφορά: .
Ας το αποδείξουμε. Ας είναι, ή πιο απλό.
Παραδείγματα.
Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:
- σε ένα σημείο?
- σε ένα σημείο?
- σε ένα σημείο?
- στο σημείο.
Λύσεις:
- (η παράγωγος είναι η ίδια σε όλα τα σημεία, αφού αυτό γραμμική συνάρτηση, θυμάμαι;);
Παράγωγο του προϊόντος
Όλα είναι παρόμοια εδώ: ας εισαγάγουμε μια νέα συνάρτηση και ας βρούμε την προσαύξησή της:
Παράγωγο:
Παραδείγματα:
- Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων και?
- Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης σε ένα σημείο.
Λύσεις:
Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης
Τώρα οι γνώσεις σας είναι αρκετές για να μάθετε πώς να βρίσκετε την παράγωγο οποιασδήποτε εκθετικής συνάρτησης, και όχι μόνο τους εκθέτες (έχετε ξεχάσει τι είναι αυτό;).
Λοιπόν, πού είναι κάποιος αριθμός.
Γνωρίζουμε ήδη την παράγωγο της συνάρτησης, οπότε ας προσπαθήσουμε να φέρουμε τη συνάρτησή μας σε μια νέα βάση:
Για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε απλός κανόνας: . Επειτα:
Λοιπόν, λειτούργησε. Τώρα προσπαθήστε να βρείτε την παράγωγο και μην ξεχνάτε ότι αυτή η συνάρτηση είναι σύνθετη.
Συνέβη;
Εδώ, ελέγξτε τον εαυτό σας:
Ο τύπος αποδείχθηκε ότι ήταν πολύ παρόμοιος με την παράγωγο ενός εκθέτη: όπως ήταν, παραμένει ο ίδιος, εμφανίστηκε μόνο ένας παράγοντας, ο οποίος είναι απλώς ένας αριθμός, αλλά όχι μια μεταβλητή.
Παραδείγματα:
Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:
Απαντήσεις:
Αυτός είναι απλώς ένας αριθμός που δεν μπορεί να υπολογιστεί χωρίς αριθμομηχανή, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί πλέον σε απλή μορφή. Επομένως, το αφήνουμε σε αυτή τη μορφή στην απάντηση.
Σημειώστε ότι εδώ είναι το πηλίκο δύο συναρτήσεων, επομένως εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο κανόνα διαφοροποίησης:
Σε αυτό το παράδειγμα, το γινόμενο δύο συναρτήσεων:
Παράγωγος λογαριθμικής συνάρτησης
Είναι παρόμοιο εδώ: γνωρίζετε ήδη την παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:
Επομένως, για να βρείτε έναν αυθαίρετο λογάριθμο με διαφορετική βάση, για παράδειγμα:
Πρέπει να μειώσουμε αυτόν τον λογάριθμο στη βάση. Πώς αλλάζετε τη βάση ενός λογάριθμου; Ελπίζω να θυμάστε αυτόν τον τύπο:
Μόνο τώρα θα γράψουμε αντ' αυτού:
Ο παρονομαστής είναι απλώς μια σταθερά (σταθερός αριθμός, χωρίς μεταβλητή). Η παράγωγος λαμβάνεται πολύ απλά:
Παράγωγα εκθετικής και λογαριθμικές συναρτήσειςσχεδόν ποτέ δεν εμφανίζονται στην Εξέταση του Ενιαίου Κράτους, αλλά δεν θα έβλαπτε να τους γνωρίσετε.
Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.
Τι συνέβη " σύνθετη λειτουργία"; Όχι, δεν πρόκειται για λογάριθμο, ούτε για τόξο. Αυτές οι συναρτήσεις μπορεί να είναι δύσκολο να κατανοηθούν (αν και αν σας φαίνεται δύσκολος ο λογάριθμος, διαβάστε το θέμα "Λογάριθμοι" και θα είστε εντάξει), αλλά από μαθηματική άποψη, η λέξη "σύνθετη" δεν σημαίνει "δύσκολο".
Φανταστείτε έναν μικρό μεταφορικό ιμάντα: δύο άτομα κάθονται και κάνουν κάποιες ενέργειες με κάποια αντικείμενα. Για παράδειγμα, η πρώτη τυλίγει μια σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και η δεύτερη τη δένει με μια κορδέλα. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύνθετο αντικείμενο: μια μπάρα σοκολάτας τυλιγμένη και δεμένη με κορδέλα. Για να φάτε μια μπάρα σοκολάτας, πρέπει να κάνετε τα αντίστροφα βήματα με αντίστροφη σειρά.
Ας δημιουργήσουμε έναν παρόμοιο μαθηματικό αγωγό: πρώτα θα βρούμε το συνημίτονο ενός αριθμού και μετά θα τετραγωνίσουμε τον αριθμό που προκύπτει. Λοιπόν, μας δίνεται ένας αριθμός (σοκολάτα), βρίσκω το συνημίτονό του (περιτύλιγμα) και μετά τετραγωνίζεις αυτό που πήρα (το δένεις με μια κορδέλα). Τι συνέβη; Λειτουργία. Αυτό είναι ένα παράδειγμα σύνθετης συνάρτησης: όταν, για να βρούμε την τιμή της, εκτελούμε την πρώτη ενέργεια απευθείας με τη μεταβλητή και μετά μια δεύτερη ενέργεια με αυτό που προέκυψε από την πρώτη.
Με άλλα λόγια, μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι μια άλλη συνάρτηση: .
Για το παράδειγμά μας, .
Μπορούμε εύκολα να κάνουμε τα ίδια βήματα με αντίστροφη σειρά: πρώτα το τετραγωνίζετε και μετά αναζητώ το συνημίτονο του αριθμού που προκύπτει: . Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι το αποτέλεσμα θα είναι σχεδόν πάντα διαφορετικό. Σημαντικό χαρακτηριστικόσύνθετες συναρτήσεις: όταν αλλάζει η σειρά των ενεργειών, αλλάζει και η συνάρτηση.
Δεύτερο παράδειγμα: (το ίδιο πράγμα). .
Η ενέργεια που κάνουμε τελευταία θα ονομάζεται "εξωτερική" λειτουργία, και η ενέργεια εκτελέστηκε πρώτα - αναλόγως "εσωτερική" λειτουργία(αυτά είναι άτυπα ονόματα, τα χρησιμοποιώ μόνο για να εξηγήσω το υλικό σε απλή γλώσσα).
Προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποια λειτουργία είναι εξωτερική και ποια εσωτερική:
Απαντήσεις:Ο διαχωρισμός εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων μοιάζει πολύ με την αλλαγή μεταβλητών: για παράδειγμα, σε μια συνάρτηση
- Ποια ενέργεια θα κάνουμε πρώτα; Αρχικά, ας υπολογίσουμε το ημίτονο και μόνο μετά το κύβο. Αυτό σημαίνει ότι είναι μια εσωτερική λειτουργία, αλλά μια εξωτερική.
Και η αρχική λειτουργία είναι η σύνθεσή τους: . - Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: . - Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: . - Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: . - Εσωτερικό: ; εξωτερικό: .
Εξέταση: .
Αλλάζουμε μεταβλητές και παίρνουμε μια συνάρτηση.
Λοιπόν, τώρα θα βγάλουμε τη σοκολάτα μας και θα αναζητήσουμε το παράγωγο. Η διαδικασία είναι πάντα αντίστροφη: πρώτα αναζητούμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, μετά πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης. Εφαρμόζεται σε πρωτότυπο παράδειγμαμοιάζει με αυτό:
Ενα άλλο παράδειγμα:
Λοιπόν, ας διατυπώσουμε επιτέλους τον επίσημο κανόνα:
Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:
Φαίνεται απλό, σωστά;
Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:
Λύσεις:
1) Εσωτερικό: ;
Εξωτερικό: ;
2) Εσωτερικό: ;
(Μην προσπαθήσετε να το κόψετε μέχρι τώρα! Δεν βγαίνει τίποτα κάτω από το συνημίτονο, θυμάστε;)
3) Εσωτερική: ;
Εξωτερικό: ;
Είναι αμέσως σαφές ότι πρόκειται για μια σύνθετη συνάρτηση τριών επιπέδων: τελικά, αυτή είναι ήδη μια σύνθετη συνάρτηση από μόνη της και εξάγουμε επίσης τη ρίζα από αυτήν, δηλαδή εκτελούμε την τρίτη ενέργεια (βάλτε τη σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και με κορδέλα στον χαρτοφύλακα). Αλλά δεν υπάρχει λόγος να φοβόμαστε: θα συνεχίσουμε να "ξεπακετάρουμε" αυτή τη λειτουργία με την ίδια σειρά όπως συνήθως: από το τέλος.
Δηλαδή, πρώτα διαφοροποιούμε τη ρίζα, μετά το συνημίτονο και μόνο μετά την έκφραση σε αγκύλες. Και μετά τα πολλαπλασιάζουμε όλα.
Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι βολικό να αριθμήσετε τις ενέργειες. Δηλαδή ας φανταστούμε τι ξέρουμε. Με ποια σειρά θα εκτελέσουμε ενέργειες για να υπολογίσουμε την τιμή αυτής της έκφρασης; Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Όσο αργότερα εκτελείται η ενέργεια, τόσο πιο «εξωτερική» θα είναι η αντίστοιχη λειτουργία. Η σειρά των ενεργειών είναι η ίδια όπως πριν:
Εδώ η φωλιά είναι γενικά 4 επιπέδων. Ας καθορίσουμε την πορεία δράσης.
1. Ριζοσπαστική έκφραση. .
2. Ρίζα. .
3. Ημιτονοειδής. .
4. Τετράγωνο. .
5. Συνδυάζοντας τα όλα μαζί:
ΠΑΡΑΓΩΓΟ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ
Παράγωγος συνάρτησης- ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος για μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος:
Βασικά παράγωγα:
Κανόνες διαφοροποίησης:
Η σταθερά αφαιρείται από το παράγωγο πρόσημο:
Παράγωγο του αθροίσματος:
Παράγωγο του προϊόντος:
Παράγωγος του πηλίκου:
Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης:
Αλγόριθμος για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:
- Ορίζουμε την «εσωτερική» συνάρτηση και βρίσκουμε την παράγωγό της.
- Ορίζουμε την «εξωτερική» συνάρτηση και βρίσκουμε την παράγωγό της.
- Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα του πρώτου και του δεύτερου σημείου.
Σχέδιο:
1. Παράγωγος συνάρτησης
2. Διαφορική συνάρτηση
3. Εφαρμογή διαφορικού λογισμού στη μελέτη συναρτήσεων
Παράγωγος συνάρτησης μιας μεταβλητής
Αφήστε τη συνάρτηση να οριστεί σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Δίνουμε στο όρισμα μια αύξηση: , τότε η συνάρτηση θα λάβει μια αύξηση. Ας βρούμε το όριο αυτού του λόγου στο Αν υπάρχει αυτό το όριο, τότε ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης. Η παράγωγος μιας συνάρτησης έχει πολλούς συμβολισμούς: . Μερικές φορές στη σημειογραφία μιας παραγώγου, χρησιμοποιείται ένας δείκτης, που υποδεικνύει ποια μεταβλητή λαμβάνεται ως προς την παράγωγο.
Ορισμός.Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος όταν η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν (αν υπάρχει αυτό το όριο):
Ορισμός.Μια συνάρτηση που έχει παράγωγο σε κάθε σημείο του διαστήματος ονομάζεται διαφοροποιήσιμοσε αυτό το διάστημα.
Ορισμός.Η πράξη εύρεσης της παραγώγου μιας συνάρτησης ονομάζεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση.
Η τιμή της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο υποδεικνύεται με ένα από τα σύμβολα: .
Παράδειγμα.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα αυθαίρετο σημείο.
Λύση. Δίνουμε στην τιμή μια προσαύξηση. Ας βρούμε την αύξηση της συνάρτησης στο σημείο: . Ας δημιουργήσουμε μια σχέση. Ας περάσουμε στο όριο: . Ετσι, .
Μηχανική έννοια του παραγώγου. Αφού ή, δηλ. η ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης ενός υλικού σημείου σε μια χρονική στιγμή είναι η παράγωγος της διαδρομής σε σχέση με το χρόνο. Αυτό είναι μηχανική έννοια του παραγώγου .
Εάν μια συνάρτηση περιγράφει οποιαδήποτε φυσική διαδικασία, τότε η παράγωγος είναι ο ρυθμός εμφάνισης αυτής της διαδικασίας. Αυτό είναι φυσική έννοιαπαράγωγο .
Γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Θεωρήστε ένα γράφημα μιας συνεχούς καμπύλης που έχει μια μη κάθετη εφαπτομένη σε ένα σημείο. Ας βρούμε τον γωνιακό συντελεστή του, πού είναι η εφαπτομένη γωνία με τον άξονα. Για να το κάνετε αυτό, σχεδιάστε μια τέμνουσα γραμμή μέσα από το σημείο και το γράφημα (Εικόνα 1).
Ας υποδηλώσουμε με - τη γωνία μεταξύ της τομής και του άξονα. Το σχήμα δείχνει ότι ο γωνιακός συντελεστής της τομής είναι ίσος με
Όταν, λόγω της συνέχειας της συνάρτησης, η αύξηση τείνει επίσης στο μηδέν. Επομένως, το σημείο πλησιάζει απεριόριστα το σημείο κατά μήκος της καμπύλης και η τομή, γυρίζοντας γύρω από το σημείο, γίνεται εφαπτομένη. Γωνία, δηλ. . Επομένως, , επομένως η κλίση της εφαπτομένης είναι ίση με .
Κλίση εφαπτομένης σε καμπύλη
Ας ξαναγράψουμε αυτή την ισότητα με τη μορφή: , δηλ. η παράγωγος σε ένα σημείο είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο της οποίας η τετμημένη είναι ίση με . Αυτό είναι γεωμετρική σημασία της παραγώγου .
Αν το σημείο εφαπτομένης έχει συντεταγμένες (Εικόνα 2), ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης είναι ίσος με: .
Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη κατεύθυνση έχει τη μορφή: .
Επειτα εφαπτομενική εξίσωσηγράφεται με τη μορφή: .
Ορισμός.Μια ευθεία γραμμή κάθετη στην εφαπτομένη στο σημείο επαφής ονομάζεται κανονική στην καμπύλη.
Ο γωνιακός συντελεστής της κανονικής είναι ίσος με: (αφού η κανονική είναι κάθετη στην εφαπτομένη).
Η κανονική εξίσωση έχει τη μορφή:, Αν .
Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν, παίρνουμε τις εφαπτομενικές εξισώσεις, δηλ. .
Κανονική εξίσωση: ή .
Αν μια συνάρτηση έχει πεπερασμένη παράγωγο σε ένα σημείο, τότε είναι διαφορίσιμη σε αυτό το σημείο. Εάν μια συνάρτηση είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο ενός διαστήματος, τότε είναι διαφορίσιμη σε αυτό το διάστημα.
Θεώρημα 6.1Αν μια συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη σε κάποιο σημείο, τότε είναι συνεχής εκεί.
Το θεώρημα της αντίστροφης δεν είναι αληθές. Μια συνεχής συνάρτηση μπορεί να μην έχει παράγωγο.
Παράδειγμα.Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα (Εικόνα 3).
Λύση.
Η παράγωγος αυτής της συνάρτησης είναι ίση με:
Σε ένα σημείο - η συνάρτηση δεν είναι διαφοροποιήσιμη.
Σχόλιο. Στην πράξη, τις περισσότερες φορές πρέπει να βρείτε παράγωγα σύνθετων συναρτήσεων. Επομένως, στον πίνακα των τύπων διαφοροποίησης, το όρισμα αντικαθίσταται από ένα ενδιάμεσο όρισμα.
Πίνακας παραγώγων
Συνεχής
Λειτουργία ισχύος:
2) ειδικότερα?
Εκθετικη συναρτηση :
3) ειδικότερα?
Λογαριθμική συνάρτηση:
4) ειδικότερα?
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ τριγωνομετρικές συναρτήσεις , , , :
Για να διαφοροποιήσεις μια συνάρτηση σημαίνει να βρεις την παράγωγό της, δηλαδή να υπολογίσεις το όριο: . Ωστόσο, ο καθορισμός του ορίου στις περισσότερες περιπτώσεις είναι μια δυσκίνητη εργασία.
Αν γνωρίζετε τα παράγωγα του βασικού στοιχειώδεις λειτουργίεςκαι γνωρίζετε τους κανόνες για τη διαφοροποίηση των αποτελεσμάτων των αριθμητικών πράξεων σε αυτές τις συναρτήσεις, τότε μπορείτε εύκολα να βρείτε τις παραγώγους οποιωνδήποτε στοιχειωδών συναρτήσεων, σύμφωνα με τους κανόνες για τον προσδιορισμό των παραγώγων, γνωστοί από το σχολικό μάθημα.
Έστω οι συναρτήσεις και είναι δύο συναρτήσεις διαφοροποιήσιμες σε ένα ορισμένο διάστημα.
Θεώρημα 6.2Η παράγωγος του αθροίσματος (διαφορά) δύο συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων: .
Το θεώρημα ισχύει για οποιονδήποτε πεπερασμένο αριθμό όρων.
Παράδειγμα.Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
Λύση.
Θεώρημα 6.3Η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου του πρώτου παράγοντα και του δεύτερου συν το γινόμενο του πρώτου παράγοντα και της παραγώγου του δεύτερου: .
Παράδειγμα.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης .
Λύση.
Θεώρημα 6.4Η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων, αν είναι ίση με ένα κλάσμα, αριθμητής του οποίου είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή του κλάσματος και της παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή του κλάσματος και της παραγώγου του παρονομαστή, και παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου παρονομαστή: .
Παράδειγμα.Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης .
Λύση. .
Για να βρείτε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα με την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με το ανεξάρτητο όρισμα
Αυτός ο κανόνας παραμένει σε ισχύ εάν υπάρχουν πολλά ενδιάμεσα επιχειρήματα. Έτσι, αν , , , τότε
Έστω και, τότε - μια σύνθετη συνάρτηση με ένα ενδιάμεσο όρισμα και ένα ανεξάρτητο όρισμα.
Θεώρημα 6.5Εάν μια συνάρτηση έχει παράγωγο σε ένα σημείο και μια συνάρτηση έχει παράγωγο στο αντίστοιχο σημείο, τότε μια σύνθετη συνάρτηση έχει παράγωγο σε ένα σημείο, η οποία βρίσκεται από τον τύπο. , Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης , δίνεται από την εξίσωση: .
Λύση. Η συνάρτηση καθορίζεται σιωπηρά. Ας διαφοροποιήσουμε την εξίσωση ως προς το , θυμόμαστε ότι: . Τότε βρίσκουμε: .