Λειτουργία κατασκευής
Προσφέρουμε στην προσοχή σας μια υπηρεσία για την κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων στο Διαδίκτυο, των οποίων όλα τα δικαιώματα ανήκουν στην εταιρεία Δεσμός. Χρησιμοποιήστε την αριστερή στήλη για να εισαγάγετε συναρτήσεις. Μπορείτε να εισαγάγετε χειροκίνητα ή χρησιμοποιώντας το εικονικό πληκτρολόγιο στο κάτω μέρος του παραθύρου. Για να μεγεθύνετε το παράθυρο με το γράφημα, μπορείτε να αποκρύψετε τόσο την αριστερή στήλη όσο και το εικονικό πληκτρολόγιο.
Οφέλη από τη διαδικτυακή χαρτογράφηση
- Οπτική εμφάνιση των εισαγόμενων λειτουργιών
- Δημιουργία πολύ περίπλοκων γραφημάτων
- Κατασκευή γραφημάτων που καθορίζονται σιωπηρά (για παράδειγμα, έλλειψη x^2/9+y^2/16=1)
- Η δυνατότητα αποθήκευσης γραφημάτων και λήψης συνδέσμου προς αυτά, η οποία γίνεται διαθέσιμη σε όλους στο Διαδίκτυο
- Έλεγχος κλίμακας, χρώμα γραμμής
- Δυνατότητα σχεδίασης γραφημάτων ανά σημεία, με χρήση σταθερών
- Σχεδίαση πολλών γραφημάτων συναρτήσεων ταυτόχρονα
- Σχεδίαση σε πολικές συντεταγμένες (χρησιμοποιήστε r και θ(\theta))
Μαζί μας είναι εύκολο να δημιουργήσετε γραφήματα διαφορετικής πολυπλοκότητας στο διαδίκτυο. Η κατασκευή γίνεται άμεσα. Η υπηρεσία είναι περιζήτητη για την εύρεση σημείων τομής συναρτήσεων, για την απεικόνιση γραφημάτων για περαιτέρω μεταφορά τους σε ένα έγγραφο του Word ως εικονογραφήσεις κατά την επίλυση προβλημάτων και για την ανάλυση των χαρακτηριστικών συμπεριφοράς των γραφημάτων συναρτήσεων. Το βέλτιστο πρόγραμμα περιήγησης για εργασία με γραφήματα σε αυτήν τη σελίδα του ιστότοπου είναι Google Chrome. Η σωστή λειτουργία δεν είναι εγγυημένη όταν χρησιμοποιείτε άλλα προγράμματα περιήγησης.
Η κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων που περιέχουν ενότητες συνήθως προκαλεί σημαντικές δυσκολίες για τους μαθητές. Ωστόσο, δεν είναι όλα τόσο άσχημα. Αρκεί να θυμάστε μερικούς αλγόριθμους για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων και μπορείτε εύκολα να δημιουργήσετε ένα γράφημα ακόμα και για τα πιο φαινομενικά σύνθετη λειτουργία. Ας δούμε τι είδους αλγόριθμοι είναι αυτοί.
1. Σχεδίαση γραφήματος της συνάρτησης y = |f(x)|
Σημειώστε ότι το σύνολο των τιμών της συνάρτησης y = |f(x)| : y ≥ 0. Έτσι, οι γραφικές παραστάσεις τέτοιων συναρτήσεων βρίσκονται πάντα εξ ολοκλήρου στο άνω μισό επίπεδο.
Σχεδίαση γραφήματος της συνάρτησης y = |f(x)| αποτελείται από τα ακόλουθα απλά τέσσερα βήματα.
1) Κατασκευάστε προσεκτικά και προσεκτικά μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x).
2) Αφήστε αμετάβλητα όλα τα σημεία του γραφήματος που βρίσκονται πάνω ή στον άξονα 0x.
3) Εμφανίστε το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0x συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα 0x.
Παράδειγμα 1. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = |x 2 – 4x + 3|
1) Κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 – 4x + 3. Προφανώς, η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι παραβολή. Ας βρούμε τις συντεταγμένες όλων των σημείων τομής της παραβολής με τους άξονες συντεταγμένων και τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Επομένως, η παραβολή τέμνει τον άξονα 0x στα σημεία (3, 0) και (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Επομένως, η παραβολή τέμνει τον άξονα 0y στο σημείο (0, 3).
Συντεταγμένες κορυφής παραβολής:
x σε = -(-4/2) = 2, y σε = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Επομένως, το σημείο (2, -1) είναι η κορυφή αυτής της παραβολής.
Σχεδιάστε μια παραβολή χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που ελήφθησαν (Εικ. 1)
2) Το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0x εμφανίζεται συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα 0x.
3) Παίρνουμε ένα γράφημα της αρχικής συνάρτησης ( ρύζι. 2, φαίνεται με διακεκομμένη γραμμή).
2. Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(|x|)
Σημειώστε ότι οι συναρτήσεις της μορφής y = f(|x|) είναι άρτιες:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Αυτό σημαίνει ότι τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα 0y.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(|x|) αποτελείται από την ακόλουθη απλή αλυσίδα ενεργειών.
1) Να παρασταθεί η συνάρτηση y = f(x).
2) Αφήστε εκείνο το τμήμα του γραφήματος για το οποίο x ≥ 0, δηλαδή το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται στο δεξί μισό επίπεδο.
3) Εμφανίστε το τμήμα του γραφήματος που καθορίζεται στο σημείο (2) συμμετρικά προς τον άξονα 0y.
4) Ως τελικό γράφημα, επιλέξτε την ένωση των καμπυλών που λήφθηκαν στα σημεία (2) και (3).
Παράδειγμα 2. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 – 4 · |x| + 3
Αφού x 2 = |x| 2, τότε η αρχική συνάρτηση μπορεί να ξαναγραφτεί ως την παρακάτω φόρμα: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο που προτείνεται παραπάνω.
1) Κατασκευάζουμε προσεκτικά και προσεκτικά μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 – 4 x + 3 (βλ. επίσης ρύζι. 1).
2) Αφήνουμε εκείνο το τμήμα του γραφήματος για το οποίο x ≥ 0, δηλαδή το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται στο δεξί ημιεπίπεδο.
3) Εμφανίστε τη δεξιά πλευρά του γραφήματος συμμετρικά προς τον άξονα 0y.
(Εικ. 3).
Παράδειγμα 3. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = log 2 |x|
Εφαρμόζουμε το σχήμα που δίνεται παραπάνω.
1) Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = log 2 x (Εικ. 4).
3. Σχεδίαση της συνάρτησης y = |f(|x|)|
Σημειώστε ότι συναρτήσεις της μορφής y = |f(|x|)| είναι επίσης άρτια. Πράγματι, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), και επομένως, οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα 0y. Το σύνολο τιμών τέτοιων συναρτήσεων: y ≥ 0. Αυτό σημαίνει ότι τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων βρίσκονται εξ ολοκλήρου στο άνω μισό επίπεδο.
Για να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y = |f(|x|)|, πρέπει:
1) Κατασκευάστε προσεκτικά μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(|x|).
2) Αφήστε αμετάβλητο το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται πάνω ή στον άξονα 0x.
3) Εμφανίστε το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0x συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα 0x.
4) Ως τελικό γράφημα, επιλέξτε την ένωση των καμπυλών που λήφθηκαν στα σημεία (2) και (3).
Παράδειγμα 4. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Σημειώστε ότι x 2 = |x| 2. Αυτό σημαίνει ότι αντί για την αρχική συνάρτηση y = -x 2 + 2|x| - 1
μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση y = -|x| 2 + 2|x| – 1, αφού τα γραφήματα τους συμπίπτουν.
Κατασκευάζουμε ένα γράφημα y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Για αυτό χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο 2.
α) Να σχηματίσετε γραφική παράσταση τη συνάρτηση y = -x 2 + 2x – 1 (Εικ. 6).
β) Αφήνουμε εκείνο το τμήμα της γραφικής παράστασης που βρίσκεται στο δεξί ημιεπίπεδο.
γ) Εμφανίζουμε το τμήμα του γραφήματος που προκύπτει συμμετρικά προς τον άξονα 0y.
δ) Το γράφημα που προκύπτει φαίνεται με τη διακεκομμένη γραμμή στο σχήμα (Εικ. 7).
2) Δεν υπάρχουν σημεία πάνω από τον άξονα 0x, αφήνουμε τα σημεία στον άξονα 0x.
3) Το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0x εμφανίζεται συμμετρικά σε σχέση με το 0x.
4) Το γράφημα που προκύπτει φαίνεται στο σχήμα με διακεκομμένη γραμμή (Εικ. 8).
Παράδειγμα 5. Γράφημα τη συνάρτηση y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Πρώτα πρέπει να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Για να το κάνουμε αυτό, επιστρέφουμε στον Αλγόριθμο 2.
α) Σχεδιάστε προσεκτικά τη συνάρτηση y = (2x – 4) / (x + 3) (Εικ. 9).
Σημειώστε ότι αυτή η συνάρτηση είναι κλασματική γραμμική και η γραφική της παράσταση είναι υπερβολή. Για να σχεδιάσετε μια καμπύλη, πρέπει πρώτα να βρείτε τις ασύμπτωτες του γραφήματος. Οριζόντια – y = 2/1 (ο λόγος των συντελεστών του x στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος), κάθετη – x = -3.
2) Θα αφήσουμε αμετάβλητο εκείνο το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται πάνω από τον άξονα 0x ή πάνω του.
3) Το τμήμα του γραφήματος που βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0x θα εμφανίζεται συμμετρικά σε σχέση με το 0x.
4) Το τελικό γράφημα φαίνεται στο σχήμα (Εικ. 11).
ιστοσελίδα, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.
"Φυσικός λογάριθμος" - 0,1. Φυσικοί λογάριθμοι. 4. Λογαριθμικά βελάκια. 0,04. 7.121.
“Power function grade 9” - U. Κυβική παραβολή. Υ = x3. Δάσκαλος 9ης τάξης Ladoshkina I.A. Υ = x2. Υπερβολή. 0. Y = xn, y = x-n όπου n είναι το δεδομένο φυσικός αριθμός. Χ. Ο εκθέτης είναι άρτιος φυσικός αριθμός (2n).
"Τετραγωνική συνάρτηση" - 1 Ορισμός τετραγωνική λειτουργία 2 Ιδιότητες συνάρτησης 3 Γραφήματα συνάρτησης 4 Τετραγωνικές ανισώσεις 5 Συμπέρασμα. Ιδιότητες: Ανισότητες: Προετοιμάστηκε από τον μαθητή της 8Α τάξης Andrey Gerlitz. Σχέδιο: Γράφημα: -Διαστήματα μονοτονίας για α > 0 για α< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
«Η τετραγωνική συνάρτηση και η γραφική της παράσταση» - Λύση.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-ανήκει. Όταν a=1, ο τύπος y=ax παίρνει τη μορφή.
«Τετραγωνική συνάρτηση 8ης τάξης» - 1) Κατασκευάστε την κορυφή μιας παραβολής. Σχεδιάζοντας μια γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης. Χ. -7. Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης. Άλγεβρα 8η τάξη Δάσκαλος 496 Bovina school T.V. -1. Σχέδιο κατασκευής. 2) Κατασκευάστε τον άξονα συμμετρίας x=-1. y.
Η συνάρτηση y=x^2 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι παραβολή. Γενική μορφήΗ παραβολή φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Τετραγωνική λειτουργία
Εικ. 1. Γενική άποψη της παραβολής
Όπως φαίνεται από το γράφημα, είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα Oy. Ο άξονας Oy ονομάζεται άξονας συμμετρίας της παραβολής. Αυτό σημαίνει ότι εάν σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή στο γράφημα παράλληλη προς τον άξονα Ox πάνω από αυτόν τον άξονα. Τότε θα τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία. Η απόσταση από αυτά τα σημεία μέχρι τον άξονα Oy θα είναι η ίδια.
Ο άξονας συμμετρίας χωρίζει τη γραφική παράσταση μιας παραβολής σε δύο μέρη. Αυτά τα μέρη ονομάζονται κλάδοι της παραβολής. Και το σημείο μιας παραβολής που βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας ονομάζεται κορυφή της παραβολής. Δηλαδή ο άξονας συμμετρίας διέρχεται από την κορυφή της παραβολής. Οι συντεταγμένες αυτού του σημείου είναι (0;0).
Βασικές ιδιότητες μιας τετραγωνικής συνάρτησης
1. Στο x =0, y=0 και y>0 στο x0
2. Η τετραγωνική συνάρτηση φτάνει στην ελάχιστη τιμή της στην κορυφή της. Ymin στο x=0; Πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι μέγιστη αξίαη συνάρτηση δεν υπάρχει.
3. Η συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα (-∞;0] και αυξάνεται στο διάστημα Λύνοντας την εξίσωση \(x"\left(t \right) = 0,\) προσδιορίζουμε τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης \(x\ αριστερά(t \δεξιά):\ ) \[ (x"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Δεξί βέλος 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Δεξί βέλος (t_(1, 2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] Για \ (t = 1\) η συνάρτηση \ (x\left(t \right)\) φτάνει σε μέγιστο ίσο με \και στο σημείο \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) έχει ένα ελάχιστο ίσο με \[ (x\left(( \frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\ left((\frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \ frac(1)(9) - \frac(1 )(3) = - \frac(5)((27)).) \] Θεωρήστε την παράγωγο \(y"\left(t \right):\) \ [ (y"\left(t \right) = ( \left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \] Βρείτε τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης \(y \left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Δεξί βέλος 3 (t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\ ; ;\;\frac(2)(3.) \] Εδώ, ομοίως, η συνάρτηση \(y\left(t \right)\) φτάνει στο μέγιστο στο σημείο \(t = -2:\) \ και a ελάχιστο στο σημείο \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize :\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left( (\frac(2)(3)) \right)^3) + 2(\ left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27)) + \frac(8)( 9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \ ] Τα γραφήματα των συναρτήσεων \(x\left(t \right)\), \(y\ left(t \right)\) εμφανίζονται σχηματικά στο σχήμα \(15a.\)
Εικ.15α |
Εικ.15β |
Εικ.15γ |
Σημειώστε ότι αφού \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] τότε η καμπύλη \(y\left(x \right)\) δεν έχει καμία κατακόρυφη, χωρίς οριζόντιες ασυμπτώσεις. Επιπλέον, αφού \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \ έως \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \ έως \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color (μπλε)(t^3)) + \color(κόκκινο)(2(t^2)) - \color(πράσινο)(4t) - \cancel(\color(blue)(t^3)) - \ color (κόκκινο)(t^2) + \color(πράσινο)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(κόκκινο)(t^ 2 ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] τότε η καμπύλη \(y\left(x \right)\) επίσης δεν έχει πλάγιες ασύμπτωτες.
Ας προσδιορίσουμε τα σημεία τομής του γραφήματος \(y\left(x \right)\) με τους άξονες συντεταγμένων. Η τομή με τον άξονα x εμφανίζεται στα ακόλουθα σημεία: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Δεξί βέλος t\αριστερά(((t^2) + 2t - 4) \δεξιά) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Δεξί βέλος D = 4 - 4 \cdot \αριστερά(( - 4) \δεξιά) = 20,)\;\; (\ Δεξιό βέλος (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\κανονικό μέγεθος = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Δεξί βέλος D = 1 - 4 \cdot \αριστερά(( - 1) \δεξιά) = 5,)\;\; (\ Δεξιό βέλος (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\κανονικό μέγεθος.) \)
Στο δεύτερο διάστημα \(\left(( - 2, - 1) \right)\) η μεταβλητή \(x\) αυξάνεται από \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) σε \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) και η μεταβλητή \(y\) μειώνεται από \(y\left(( - 2) \right) = 8\) σε \(y\left (( - 1) \δεξιά) = 5.\) Εδώ έχουμε ένα τμήμα μιας φθίνουσας καμπύλης \(y\left(x \right).\) Τέμνει τον άξονα τεταγμένων στο σημείο \(\left((0,3 + 2\sqrt 5 ) \δεξιά).\)
Στο τρίτο διάστημα \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) και οι δύο μεταβλητές μειώνονται. Η τιμή του \(x\) αλλάζει από \(x\left(( - 1) \right) = 1\) σε \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right ) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Συνεπώς, η τιμή του \(y\) μειώνεται από \(y\left(( - 1) \right) = 5\) σε \(y\ left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Καμπύλη \(y\left(x Το \right)\ ) τέμνει την αρχή των συντεταγμένων.
Στο τέταρτο διάστημα \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) η μεταβλητή \(x\) αυξάνεται από \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) έως \(x\left((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) και η μεταβλητή \(y\) μειώνεται από \(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)(27))\normalsize\) έως \(y\left((\large\frac(2)( 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) Σε αυτήν την ενότητα, η καμπύλη \(y\left(x \right)\) τέμνει τον άξονα τεταγμένων στο σημείο \(\αριστερά( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \δεξιά).\)
Τέλος, στο τελευταίο διάστημα \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) και οι δύο συναρτήσεις \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) αύξηση. Η καμπύλη \(y\left(x \right)\) τέμνει τον άξονα x στο σημείο \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \περίπου 2,18.\)
Για να ξεκαθαρίσουμε το σχήμα της καμπύλης \(y\left(x \right)\), ας υπολογίσουμε το μέγιστο και το ελάχιστο σημείο. Η παράγωγος \(y"\left(x \right)\) εκφράζεται ως \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t))) = (\frac((((\αριστερά(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \δεξιά))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ δεξιά)))((\ ακύρωση(3)\αριστερά((t + 1) \δεξιά)\αριστερά((t - \frac(1)(3)) \δεξιά))) = (\frac(( \ αριστερά((t + 2) \δεξιά)\αριστερά((t - \frac(2)(3)) \δεξιά)))(\αριστερά((t + 1) \δεξιά)\αριστερά((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Η αλλαγή στο πρόσημο της παραγώγου \(y"\left(x \right)\) φαίνεται στο σχήμα \(15c.\) Μπορεί να να φανεί ότι στο σημείο \(t = - 2,\) δηλ. στο όριο των διαστημάτων \(I\)-ου και \(II\)-ου η καμπύλη έχει μέγιστο και στο \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (στο όριο \(IV\) ου και \(V\)ου διαστημάτων) υπάρχει ένα ελάχιστο. Όταν διέρχεται από το σημείο \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\), η παράγωγος αλλάζει επίσης πρόσημο από συν σε μείον, αλλά σε αυτήν την περιοχή η καμπύλη \(y\left(x \right) \) δεν είναι μια μοναδική συνάρτηση. Επομένως, το υποδεικνυόμενο σημείο δεν είναι ακραίο.
Εξετάζουμε επίσης την κυρτότητα αυτής της καμπύλης. Δεύτερη παράγωγοςΤο \(y""\left(x \right)\) έχει τη μορφή: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \δεξιά))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4 ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \δεξιά))^\prime )))(((\αριστερά(((t^3) + (t^2) - t) \ δεξιά ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \δεξιά)\αριστερά((6t + 2) \δεξιά)))(((\αριστερά((3(t^2) + 2t - 1) \δεξιά))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \δεξιά)))((((\αριστερά((3(t^2) + 2t - 1) \δεξιά))^3))) = \ frac((\cancel(\color(μπλε)(18(t^3))) + \color(κόκκινο)(24(t^2)) + \color(πράσινο)(2t) - \color(κόκκινο) ( 4) - \ακύρωμα(\χρώμα(μπλε)(18(t^3))) - \χρώμα(κόκκινο)(30(t^2)) + \χρώμα(πράσινο)(16t) + \χρώμα(βυσσινί) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2 ) ) + \color(πράσινο)(18t) + \color(κόκκινο)(4)))(((\αριστερά((3(t^2) + 2t - 1) \δεξιά))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105) ) )(6)) \δεξιά)))(((\αριστερά((t + 1) \δεξιά))^3)((\αριστερά((3t - 1) \δεξιά))^3))). \] Συνεπώς, η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο όταν διέρχεται από τα ακόλουθα σημεία (Εικ.\(15с\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1 ) \δεξιά ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \περίπου 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \κατά προσέγγιση 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \κατά προσέγγιση 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \περίπου 40,8.) \] Επομένως, τα υποδεικνυόμενα σημεία αντιπροσωπεύουν σημεία καμπής της καμπύλης \(y\left( x \δεξιά).\)
Ένα σχηματικό γράφημα της καμπύλης \(y\left(x \right)\) φαίνεται παραπάνω στο σχήμα \(15b.\)