Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία. Στο άρθρο" " Σας υποσχέθηκα να κοιτάξετε τον δεύτερο τρόπο για να λύσετε τα προβλήματα εύρεσης της παραγώγου που παρουσιάζονται, δεδομένου ενός γραφήματος μιας συνάρτησης και μιας εφαπτομένης σε αυτό το γράφημα. Θα συζητήσουμε αυτή τη μέθοδο στο , μην χάσετε! Γιατίστο επόμενο;
Το γεγονός είναι ότι εκεί θα χρησιμοποιηθεί ο τύπος για την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. Φυσικά, θα μπορούσαμε απλώς να δείξουμε αυτόν τον τύπο και να σας συμβουλεύσουμε να τον μάθετε. Αλλά είναι καλύτερο να εξηγήσουμε από πού προέρχεται (πώς προέρχεται). Είναι απαραίτητο! Εάν το ξεχάσετε, μπορείτε να το επαναφέρετε γρήγοραδεν θα είναι δύσκολο. Όλα περιγράφονται παρακάτω αναλυτικά. Άρα, έχουμε δύο σημεία Α στο επίπεδο συντεταγμένων(x 1;y 1) και B(x 2;y 2), χαράσσεται μια ευθεία γραμμή στα υποδεικνυόμενα σημεία: 
Εδώ είναι ο ίδιος ο άμεσος τύπος:
*Δηλαδή όταν αντικαθιστούμε συγκεκριμένες συντεταγμένες σημείων παίρνουμε εξίσωση της μορφής y=kx+b.
**Εάν απλώς «απομνημονεύσετε» αυτόν τον τύπο, τότε υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να μπερδευτείτε με τους δείκτες όταν Χ. Επιπλέον, οι δείκτες μπορούν να οριστούν με διάφορους τρόπους, για παράδειγμα:
Γι' αυτό είναι σημαντικό να κατανοήσουμε το νόημα.
Τώρα η παραγωγή αυτού του τύπου. Όλα είναι πολύ απλά!
Τα τρίγωνα ABE και ACF είναι παρόμοια σε οξεία γωνία (το πρώτο σημάδι ομοιότητας των ορθογωνίων τριγώνων). Από αυτό προκύπτει ότι οι λόγοι των αντίστοιχων στοιχείων είναι ίσοι, δηλαδή:
Τώρα απλώς εκφράζουμε αυτά τα τμήματα μέσω της διαφοράς στις συντεταγμένες των σημείων:
Φυσικά, δεν θα υπάρξει σφάλμα εάν γράψετε τις σχέσεις των στοιχείων με διαφορετική σειρά (το κύριο πράγμα είναι να διατηρήσετε τη συνέπεια):
Το αποτέλεσμα θα είναι η ίδια εξίσωση της γραμμής. Αυτά είναι όλα!
Δηλαδή, ανεξάρτητα από το πώς ορίζονται τα ίδια τα σημεία (και οι συντεταγμένες τους), κατανοώντας αυτόν τον τύπο θα βρείτε πάντα την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.
Ο τύπος μπορεί να εξαχθεί χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των διανυσμάτων, αλλά η αρχή της παραγωγής θα είναι η ίδια, αφού θα μιλάμε για την αναλογικότητα των συντεταγμένων τους. Σε αυτή την περίπτωση, λειτουργεί η ίδια ομοιότητα ορθογωνίων τριγώνων. Κατά τη γνώμη μου, το συμπέρασμα που περιγράφεται παραπάνω είναι πιο σαφές)).
Προβολή εξόδου μέσω διανυσματικών συντεταγμένων >>>
Έστω μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο συντεταγμένων που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία A(x 1;y 1) και B(x 2;y 2). Ας σημειώσουμε ένα αυθαίρετο σημείο C στην ευθεία με συντεταγμένες ( Χ; y). Δηλώνουμε επίσης δύο διανύσματα:
Είναι γνωστό ότι για διανύσματα που βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες (ή στην ίδια ευθεία), οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ανάλογες, δηλαδή:
— γράφουμε την ισότητα των λόγων των αντίστοιχων συντεταγμένων:
Ας δούμε ένα παράδειγμα:
Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία με συντεταγμένες (2;5) και (7:3).
Δεν χρειάζεται καν να χτίσετε την ίδια την ευθεία. Εφαρμόζουμε τον τύπο:
Είναι σημαντικό να κατανοήσετε την αντιστοιχία κατά την κατάρτιση της αναλογίας. Δεν μπορείτε να κάνετε λάθος αν γράψετε:
Απάντηση: y=-2/5x+29/5 go y=-0,4x+5,8
Για να βεβαιωθείτε ότι η εξίσωση που προκύπτει βρίσκεται σωστά, φροντίστε να ελέγξετε - να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες των δεδομένων στην κατάσταση των σημείων σε αυτήν. Οι εξισώσεις πρέπει να είναι σωστές.
Αυτό είναι όλο. Ελπίζω ότι το υλικό σας ήταν χρήσιμο.
Με εκτίμηση, Αλέξανδρος.
P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.
Το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας lκάθε μη μηδενικό διάνυσμα ( Μ, n), παράλληλα με αυτή τη γραμμή.
Αφήστε το δεδομένο σημείο Μ 1 (Χ 1 , y 1) και διάνυσμα κατεύθυνσης ( Μ, n), τότε η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο ΜΤο 1 προς την κατεύθυνση του διανύσματος μοιάζει με: 
. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται κανονική εξίσωση της ευθείας.
Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και που διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).
Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής γραμμής με τη μορφή: Ax+By+C= 0. Ας γράψουμε την κανονική εξίσωση της ευθείας και ας τη μετατρέψουμε. Παίρνουμε x + y - 3 = 0
Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία
Αφήστε δύο σημεία να δοθούν στο επίπεδο Μ 1 (Χ 1 , y 1) και Μ 2 (Χ 2, y 2), τότε η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από αυτά τα σημεία έχει τη μορφή: 
. Εάν κάποιος από τους παρονομαστές είναι μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να ισούται με μηδέν.
Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A(1, 2) και B(3, 4).
Εφαρμόζοντας τον τύπο που γράφτηκε παραπάνω, παίρνουμε:
Εξίσωση ευθείας από σημείο και κλίση
Αν γενική εξίσωσηευθεία Αχ + Γου + Σ= 0 ανάγεται στη μορφή: και συμβολίζεται με , τότε η εξίσωση που προκύπτει ονομάζεται εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή k.
Εξίσωση ευθείας σε τμήματα
Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Αχ + Γου + Σ= 0 συντελεστής ΜΕ¹ 0, μετά διαιρώντας με το C, παίρνουμε: 
ή πού 
Γεωμετρική σημασίασυντελεστές είναι ότι ο συντελεστής ΕΝΑείναι η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Ω, ΕΝΑ σι– συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα OU.
Παράδειγμα.Δίνεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας Χ – στο+ 1 = 0. Βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα. Α = -1, Β = 1, Γ = 1, τότε ΕΝΑ = -1, σι= 1. Η εξίσωση μιας ευθείας σε τμήματα θα πάρει τη μορφή .
Παράδειγμα.Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Βρείτε την εξίσωση του ύψους που αντλείται από την κορυφή Γ.
Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ: 
;
4Χ = 6y– 6; 2Χ – 3y + 3 = 0;
Η απαιτούμενη εξίσωση ύψους έχει τη μορφή: Ax+By+C= 0 ή y = kx + b.
κ= . Επειτα y= . Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο C, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση: 
που σι= 17. Σύνολο: .
Απάντηση: 3 Χ + 2y – 34 = 0.
Όνομα μαθήματος: Καμπύλες δεύτερης τάξης.
Σκοπός του μαθήματος:Μάθετε να σχεδιάζετε καμπύλες 2ης τάξης και να τις κατασκευάζετε.
Προετοιμασία για το μάθημα:Ανασκόπηση θεωρητικού υλικού με θέμα «Καμπύλες 2ης τάξης»
Βιβλιογραφία:
- Dadayan A.A. "Μαθηματικά", 2004
Εργασία μαθήματος:
Διαδικασία διεξαγωγής του μαθήματος:
- Πάρτε άδεια για εργασία
- Ολοκληρωμένες εργασίες
- Απάντησε σε ερωτήσεις ασφαλείας.
- Όνομα, σκοπός του μαθήματος, εργασία.
- Ολοκληρωμένη εργασία.
- Απαντήσεις σε ερωτήσεις ασφαλείας.
Ερωτήσεις για τεστ:
- Ορίστε καμπύλες δεύτερης τάξης (κύκλος, έλλειψη, υπερβολή, παραβολή), καταγράψτε τις κανονικές τους εξισώσεις.
- Ποια είναι η εκκεντρότητα μιας έλλειψης ή μιας υπερβολής; Πώς να το βρείτε;
- Να γράψετε την εξίσωση μιας ισόπλευρης υπερβολής
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Περιφέρειαείναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο που ονομάζεται κέντρο.
Αφήστε το κέντρο του κύκλου να είναι ένα σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(ένα; σι), και την απόσταση από οποιοδήποτε σημείο Μ(x;y) ο κύκλος είναι ίσος R. Επειτα ( x–a) 2 + (y–β) 2 = R 2 – κανονική εξίσωση κύκλου με κέντρο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(ένα; σι) και ακτίνα R.
Παράδειγμα.Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και την ακτίνα του κύκλου αν η εξίσωσή του δίνεται με τη μορφή: 2 Χ 2 + 2y 2 – 8x + 5 y – 4 = 0.
Για να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου και της ακτίνας του κύκλου, αυτή η εξίσωση πρέπει να μειωθεί σε κανονική μορφή. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε πλήρη τετράγωνα:
Χ 2 + y 2 – 4Χ + 2,5y – 2 = 0
Χ 2 – 4Χ + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
(Χ– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0
(Χ – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16
Από εδώ βρίσκουμε τις συντεταγμένες του κέντρου ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(2; -5/4); ακτίνα κύκλου R = 11/4.
Ελλειψηείναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από καθένα από τα οποία σε δύο δεδομένα σημεία (που ονομάζονται εστίες) είναι μια σταθερή τιμή μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών.
Οι εστίες υποδεικνύονται με γράμματα φά 1 , φά Με, το άθροισμα των αποστάσεων από οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης έως τις εστίες είναι 2 ΕΝΑ (2ΕΝΑ > 2ντο), ένα– ημι-κύριος άξονας. σι– ημιμικρός άξονας.
Η κανονική εξίσωση της έλλειψης έχει τη μορφή: , όπου ένα, σιΚαι ντοσχετίζονται με τις ακόλουθες ισότητες: a 2 – b 2 = c 2 (ή b 2 – a 2 = c 2).
Το σχήμα της έλλειψης καθορίζεται από ένα χαρακτηριστικό που είναι ο λόγος της εστιακής απόστασης προς το μήκος του κύριου άξονα και ονομάζεται εκκεντρότητα. ή .
Επειδή εξ ορισμού 2 ΕΝΑ> 2ντο, τότε η εκκεντρότητα εκφράζεται πάντα ως σωστό κλάσμα, δηλ. .
Παράδειγμα.Γράψτε μια εξίσωση για μια έλλειψη εάν οι εστίες της είναι F 1 (0; 0), F 2 (1; 1), κύριος άξοναςισούται με 2.
Η εξίσωση της έλλειψης έχει τη μορφή: .
Απόσταση εστίασης: 2 ντο= 
, Ετσι, ένα 2 – σι 2 = ντο 2 = . Σύμφωνα με τον όρο 2 ΕΝΑ= 2, επομένως, ΕΝΑ = 1, σι= Η απαιτούμενη εξίσωση της έλλειψης θα έχει τη μορφή: .
Υπερβολήείναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο, η διαφορά των αποστάσεων από καθένα από τα οποία σε δύο δεδομένα σημεία, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή μικρότερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών.
Η κανονική εξίσωση μιας υπερβολής έχει τη μορφή: ή , όπου ένα, σιΚαι ντοπου συνδέονται με την ισότητα a 2 + b 2 = c 2 .Η υπερβολή είναι συμμετρική ως προς το μέσο του τμήματος που συνδέει τις εστίες και ως προς τους άξονες συντεταγμένων. Οι εστίες υποδεικνύονται με γράμματα φά 1 , φά 2, απόσταση μεταξύ των εστιών – 2 Με, η διαφορά στις αποστάσεις από οποιοδήποτε σημείο της υπερβολής έως τις εστίες είναι 2 ΕΝΑ (2ΕΝΑ < 2ντο). Άξονας 2 ΕΝΑπου ονομάζεται πραγματικός άξονας της υπερβολής, άξονας 2 σι– ο νοητός άξονας της υπερβολής. Μια υπερβολή έχει δύο ασύμπτωτες, οι εξισώσεις των οποίων είναι
Η εκκεντρότητα μιας υπερβολής είναι ο λόγος της απόστασης μεταξύ των εστιών προς το μήκος του πραγματικού άξονα: ή. Επειδή εξ ορισμού 2 ΕΝΑ < 2ντο, τότε η εκκεντρότητα της υπερβολής εκφράζεται πάντα ως ακατάλληλο κλάσμα, δηλ. .
Αν το μήκος του πραγματικού άξονα είναι ίσο με το μήκος του φανταστικού άξονα, δηλ. α = β, ε = , τότε καλείται η υπερβολή ισόπλευρος.
Παράδειγμα.Να συνθέσετε την κανονική εξίσωση μιας υπερβολής αν η εκκεντρότητά της είναι 2 και οι εστίες της συμπίπτουν με τις εστίες της έλλειψης με την εξίσωση
Εύρεση της εστιακής απόστασης ντο 2 = 25 – 9 = 16.
Για μια υπερβολή: ντο 2 = ένα 2 + σι 2 = 16, ε = γ/α = 2; ντο = 2ένα; ντο 2 = 4ένα 2 ; ένα 2 = 4; σι 2 = 16 – 4 = 12.
Τότε είναι η απαιτούμενη εξίσωση της υπερβολής.
Παραβολήείναι το σύνολο των σημείων στο επίπεδο που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο, που ονομάζεται εστία, και μια δεδομένη ευθεία, που ονομάζεται ευθεία.
Η εστίαση μιας παραβολής υποδεικνύεται με το γράμμα φά, διευθύντρια - ρε, απόσταση από την εστίαση στην κατεύθυνση – R.
Η κανονική εξίσωση μιας παραβολής, η εστία της οποίας βρίσκεται στον άξονα x, έχει τη μορφή:
y 2 = 2pxή y 2 = -2px
Χ = -Π/2, Χ = Π/2
Η κανονική εξίσωση μιας παραβολής, η εστίαση της οποίας βρίσκεται στον άξονα τεταγμένων, έχει τη μορφή:
Χ 2 = 2ruή Χ 2 = -2ru
Εξισώσεις Directrix αντίστοιχα στο = -Π/2, στο = Π/2
Παράδειγμα.Σε μια παραβολή στο 2 = 8ΧΒρείτε σημεία των οποίων η απόσταση από την κατεύθυνση είναι 4.
Από την εξίσωση της παραβολής παίρνουμε ότι R = 4. r = x + Π/2 = 4; ως εκ τούτου:
Χ = 2; y 2 = 16; y= ±4. Σημεία αναζήτησης: Μ 1 (2; 4), Μ 2 (2; -4).
Πρακτικό μάθημα Νο 8
Όνομα μαθήματος: Ενέργειες σε μιγαδικοί αριθμοίσε αλγεβρική μορφή. Γεωμετρική ερμηνεία μιγαδικών αριθμών.
Σκοπός του μαθήματος:Μάθετε να εκτελείτε πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς.
Προετοιμασία για το μάθημα:Επανεξέταση θεωρητικού υλικού με θέμα «Μιγαδικοί αριθμοί».
Βιβλιογραφία:
- Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. "Στοιχεία ανώτερα μαθηματικά", 2008
Εργασία μαθήματος:
- Υπολογίζω:
1) Εγώ 145 + Εγώ 147 + Εγώ 264 + Εγώ 345 + Εγώ 117 ;
2) (Εγώ 64 + Εγώ 17 + Εγώ 13 + Εγώ 82)·( Εγώ 72 – Εγώ 34);
Σε αυτό το άρθρο θα μάθουμε πώς να συνθέτουμε εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται αυτό το σημείοσε επίπεδο κάθετο σε δεδομένη ευθεία. Ας μελετήσουμε τις θεωρητικές πληροφορίες και ας παρουσιάσουμε ενδεικτικά παραδείγματα, όπου είναι απαραίτητο να γραφεί μια τέτοια εξίσωση.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Πριν βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Το θεώρημα συζητείται στο Λύκειο. Μέσα από ένα δεδομένο σημείο που βρίσκεται σε ένα επίπεδο, μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια ευθεία κάθετη στη δεδομένη. Εάν υπάρχει ένας τρισδιάστατος χώρος, τότε ο αριθμός τέτοιων γραμμών θα αυξηθεί στο άπειρο.
Ορισμός 1
Εάν το επίπεδο α διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 1 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία b, τότε οι ευθείες που βρίσκονται σε αυτό το επίπεδο, συμπεριλαμβανομένης αυτής που διέρχεται από το M 1, είναι κάθετες στη δεδομένη ευθεία b.
Από αυτό μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η σύνταξη μιας εξίσωσης για μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία είναι εφαρμόσιμη μόνο για την περίπτωση σε επίπεδο.
Τα προβλήματα με τον τρισδιάστατο χώρο περιλαμβάνουν την αναζήτηση της εξίσωσης ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.
Εάν σε ένα επίπεδο με σύστημα συντεταγμένων O x y z έχουμε ευθεία γραμμή b, τότε αυτή αντιστοιχεί στην εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο, ορίζεται ένα σημείο με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) και είναι απαραίτητη για τη δημιουργία εξίσωσης της ευθείας α, που διέρχεται από το σημείο Μ 1, και κάθετης στην ευθεία β.
Κατά συνθήκη, έχουμε τις συντεταγμένες του σημείου Μ 1. Για να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, πρέπει να έχετε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας α ή τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας α ή τον γωνιακό συντελεστή της ευθείας α.
Ανάγκη λήψης δεδομένων από δεδομένη εξίσωσηευθεία β . Κατά συνθήκη, οι ευθείες a και b είναι κάθετες, πράγμα που σημαίνει ότι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας b θεωρείται κανονικό διάνυσμα της ευθείας a. Από εδώ παίρνουμε ότι οι γωνιακοί συντελεστές συμβολίζονται ως k b και k a. Συσχετίζονται χρησιμοποιώντας τη σχέση k b · k a = - 1 .
Βρήκαμε ότι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας b έχει τη μορφή b → = (b x, b y), επομένως το κανονικό διάνυσμα είναι n a → = (A 2, B 2), όπου οι τιμές είναι A 2 = b x, B 2 = b y. Στη συνέχεια γράφουμε τη γενική εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες M 1 (x 1 , y 1), που έχει κανονικό διάνυσμα n a → = (A 2 , B 2), που έχει τη μορφή A 2 (x - x 1 ) + B 2 (y - y 1) = 0 .
Το κανονικό διάνυσμα της γραμμής b ορίζεται και έχει τη μορφή n b → = (A 1, B 1), τότε το διάνυσμα κατεύθυνσης της γραμμής a είναι το διάνυσμα a → = (a x, a y), όπου οι τιμές είναι a x = A 1, a y = B 1. Αυτό σημαίνει ότι απομένει να συνθέσουμε μια κανονική ή παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής a, που διέρχεται από ένα σημείο με συντεταγμένες M 1 (x 1, y 1) με διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x, a y), που έχει τη μορφή x - x 1 a x = y - y 1 a y ή x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ αντίστοιχα.
Αφού βρείτε την κλίση k b της ευθείας b, μπορείτε να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας a. Θα είναι ίσο με - 1 k b . Από αυτό προκύπτει ότι μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής a που διέρχεται από το M 1 (x 1 , y 1) με γωνιακό συντελεστή - 1 k b με τη μορφή y - y 1 = - 1 k b · (x - x 1) .
Η προκύπτουσα εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο του επιπέδου που είναι κάθετο στο δεδομένο. Εάν το απαιτούν οι περιστάσεις, μπορείτε να προχωρήσετε σε μια άλλη μορφή αυτής της εξίσωσης.
Επίλυση Παραδειγμάτων
Ας εξετάσουμε τη σύνθεση της εξίσωσης μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο του επιπέδου και είναι κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία.
Παράδειγμα 1
Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας a, η οποία διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες M 1 (7, - 9) και είναι κάθετη στην ευθεία b, η οποία δίνεται από την κανονική εξίσωση της ευθείας x - 2 3 = y + 4 1.
Λύση
Από την συνθήκη έχουμε ότι b → = (3, 1) είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας x - 2 3 = y + 4 1. Οι συντεταγμένες του διανύσματος b → = 3, 1 είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας a, αφού οι ευθείες a και b είναι μεταξύ τους κάθετες. Αυτό σημαίνει ότι παίρνουμε n a → = (3, 1) . Τώρα είναι απαραίτητο να γράψουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο M 1 (7, - 9), που έχει ένα κανονικό διάνυσμα με συντεταγμένες n a → = (3, 1).
Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής: 3 · (x - 7) + 1 · (y - (- 9)) = 0 ⇔ 3 x + y - 12 = 0
Η εξίσωση που προκύπτει είναι η επιθυμητή.
Απάντηση: 3 x + y - 12 = 0.
Παράδειγμα 2
Να γράψετε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων O x y z, κάθετη στην ευθεία 2 x - y + 1 = 0.
Λύση
Έχουμε ότι n b → = (2, - 1) είναι το κανονικό διάνυσμα της δεδομένης ευθείας. Επομένως a → = (2, - 1) είναι οι συντεταγμένες του επιθυμητού κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας.
Ας διορθώσουμε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων με το διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (2, - 1) . Παίρνουμε ότι x - 0 2 = y + 0 - 1 ⇔ x 2 = y - 1 . Η έκφραση που προκύπτει είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων κάθετων στην ευθεία 2 x - y + 1 = 0.
Απάντηση: x 2 = y - 1.
Παράδειγμα 3
Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο με συντεταγμένες M 1 (5, - 3) κάθετες στην ευθεία y = - 5 2 x + 6.
Λύση
Από την εξίσωση y = - 5 2 x + 6 η κλίση έχει τιμή - 5 2 . Ο γωνιακός συντελεστής μιας ευθείας γραμμής που είναι κάθετος σε αυτήν έχει την τιμή - 1 - 5 2 = 2 5. Από εδώ συμπεραίνουμε ότι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες M 1 (5, - 3) κάθετες στην ευθεία y = - 5 2 x + 6 ισούται με y - (- 3) = 2 5 x - 5 ⇔ y = 2 5 x - 5 .
Απάντηση: y = 2 5 x - 5 .
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Αφήστε την ευθεία να διέλθει από τα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2). Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 1 έχει τη μορφή y-y 1 = κ (x - x 1), (10,6)
Οπου κ - άγνωστος ακόμη συντελεστής.
Εφόσον η ευθεία διέρχεται από το σημείο M 2 (x 2 y 2), οι συντεταγμένες αυτού του σημείου πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση (10.6): y 2 -y 1 = κ (x 2 - x 1).
Από εδώ βρίσκουμε Αντικατάσταση της τιμής που βρέθηκε κ
στην εξίσωση (10.6), λαμβάνουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία M 1 και M 2: 
Υποτίθεται ότι σε αυτή την εξίσωση x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Αν x 1 = x 2, τότε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία M 1 (x 1,y I) και M 2 (x 2,y 2) είναι παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένων. Η εξίσωσή του είναι x = x 1 .
Αν y 2 = y I, τότε η εξίσωση της ευθείας μπορεί να γραφτεί ως y = y 1, η ευθεία M 1 M 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης.
Εξίσωση ευθείας σε τμήματα
Έστω η ευθεία γραμμή τέμνει τον άξονα Ox στο σημείο M 1 (a;0) και τον άξονα Oy στο σημείο M 2 (0;b). Η εξίσωση θα έχει τη μορφή: 
εκείνοι. 
. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση ευθείας σε τμήματα, γιατί Οι αριθμοί a και b υποδεικνύουν ποια τμήματα αποκόπτει η γραμμή στους άξονες συντεταγμένων.
Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα
Ας βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο Mo (x O; y o) κάθετο σε ένα δεδομένο μη μηδενικό διάνυσμα n = (A; B).
Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο M(x; y) στη γραμμή και ας θεωρήσουμε το διάνυσμα M 0 M (x - x 0; y - y o) (βλ. Εικ. 1). Εφόσον τα διανύσματα n και M o M είναι κάθετα, το κλιμακωτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν: δηλαδή
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Καλείται η εξίσωση (10.8). εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα .
Το διάνυσμα n= (A; B), κάθετο στην ευθεία, ονομάζεται κανονικό κανονικό διάνυσμα αυτής της γραμμής .
Η εξίσωση (10.8) μπορεί να ξαναγραφτεί ως Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
όπου Α και Β είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος, C = -Ax o - Vu o είναι ο ελεύθερος όρος. Εξίσωση (10.9) είναι η γενική εξίσωση της ευθείας(βλ. Εικ. 2).
Εικ.1 Εικ.2
Κανονικές εξισώσεις ευθείας
,
Οπου 
- συντεταγμένες του σημείου από το οποίο διέρχεται η ευθεία, και 
- διάνυσμα κατεύθυνσης.
Καμπύλες δεύτερης τάξης Κύκλος
Κύκλος είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο, το οποίο ονομάζεται κέντρο.
Κανονική εξίσωση κύκλου ακτίνας
R με κέντρο σε ένα σημείο 
:
Συγκεκριμένα, εάν το κέντρο του στοιχήματος συμπίπτει με την αρχή των συντεταγμένων, τότε η εξίσωση θα μοιάζει με: 
Ελλειψη
Μια έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από το καθένα από τα οποία σε δύο δεδομένα σημεία
Και 
, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή ποσότητα 
, μεγαλύτερη από την απόσταση μεταξύ των εστιών 
.
Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης της οποίας οι εστίες βρίσκονται στον άξονα Ox και η αρχή των συντεταγμένων στη μέση μεταξύ των εστιών έχει τη μορφή 
σολ 
deένα μήκος ημι-κυρίως άξονα.σι – μήκος του ημιμικρού άξονα (Εικ. 2).
Ας δοθούν δύο βαθμοί Μ(Χ 1 ,U 1) και Ν(Χ 2,y 2). Ας βρούμε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από αυτά τα σημεία.
Αφού αυτή η γραμμή διέρχεται από το σημείο Μ, τότε σύμφωνα με τον τύπο (1.13) η εξίσωσή του έχει τη μορφή
U – Υ 1 = κ(X–x 1),
Οπου κ– άγνωστος γωνιακός συντελεστής.
Η τιμή αυτού του συντελεστή καθορίζεται από την προϋπόθεση ότι η επιθυμητή ευθεία διέρχεται από το σημείο Ν, που σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση (1.13)
Υ 2 – Υ 1 = κ(Χ 2 – Χ 1),
Από εδώ μπορείτε να βρείτε την κλίση αυτής της γραμμής:
,
Ή μετά τη μετατροπή
(1.14)
Ο τύπος (1.14) καθορίζει Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία Μ(Χ 1, Υ 1) και Ν(Χ 2, Υ 2).
Στην ειδική περίπτωση όταν σημεία Μ(ΕΝΑ, 0), Ν(0, σι), ΕΝΑ ¹ 0, σι¹ 0, βρίσκεται στους άξονες συντεταγμένων, η εξίσωση (1.14) θα έχει απλούστερη μορφή
Εξίσωση (1.15)που ονομάζεται Εξίσωση ευθείας σε τμήματα, Εδώ ΕΝΑΚαι σισυμβολίστε τα τμήματα που κόβονται από μια ευθεία γραμμή στους άξονες (Εικόνα 1.6).
Εικόνα 1.6
Παράδειγμα 1.10. Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Μ(1, 2) και σι(3, –1).
. Σύμφωνα με το (1.14), η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής έχει τη μορφή
2(Υ – 2) = -3(Χ – 1).
Μεταφέροντας όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά, λαμβάνουμε τελικά την επιθυμητή εξίσωση
3Χ + 2Υ – 7 = 0.
Παράδειγμα 1.11. Να γράψετε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο Μ(2, 1) και το σημείο τομής των γραμμών Χ+ Υ - 1 = 0, X – y+ 2 = 0.
. Θα βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών λύνοντας αυτές τις εξισώσεις μαζί
Αν προσθέσουμε αυτές τις εξισώσεις ανά όρο, παίρνουμε 2 Χ+ 1 = 0, εξ ου και . Αντικαθιστώντας την τιμή που βρέθηκε σε οποιαδήποτε εξίσωση, βρίσκουμε την τιμή της τεταγμένης U:
Ας γράψουμε τώρα την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία (2, 1) και:
ή .
Ως εκ τούτου ή -5( Υ – 1) = Χ – 2.
Τελικά παίρνουμε την εξίσωση της επιθυμητής γραμμής στη φόρμα Χ + 5Υ – 7 = 0.
Παράδειγμα 1.12. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Μ(2.1) και Ν(2,3).
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.14), παίρνουμε την εξίσωση
Δεν έχει νόημα αφού ο δεύτερος παρονομαστής είναι μηδέν. Από τις συνθήκες του προβλήματος είναι σαφές ότι τα τετμημένα και των δύο σημείων έχουν την ίδια αξία. Αυτό σημαίνει ότι η επιθυμητή ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα OYκαι η εξίσωσή του είναι: Χ = 2.
Σχόλιο . Εάν, όταν γράφετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.14), ένας από τους παρονομαστές αποδειχθεί ότι είναι ίσο με μηδέν, τότε η απαιτούμενη εξίσωση μπορεί να ληφθεί εξισώνοντας τον αντίστοιχο αριθμητή με μηδέν.
Ας εξετάσουμε άλλους τρόπους για να ορίσουμε μια γραμμή σε ένα επίπεδο.
1. Έστω ένα μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο στη δεδομένη ευθεία μεγάλο, και σημείο Μ 0(Χ 0, Υ 0) βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή (Εικόνα 1.7).
Εικόνα 1.7
Ας υποδηλώσουμε Μ(Χ, Υ) οποιοδήποτε σημείο σε μια γραμμή μεγάλο. Διανύσματα και 
Ορθογώνιο. Χρησιμοποιώντας τις συνθήκες ορθογωνικότητας αυτών των διανυσμάτων, λαμβάνουμε ή ΕΝΑ(Χ – Χ 0) + σι(Υ – Υ 0) = 0.
Έχουμε λάβει την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο ΜΤο 0 είναι κάθετο στο διάνυσμα. Αυτό το διάνυσμα ονομάζεται Κανονικό διάνυσμα σε ευθεία γραμμή μεγάλο. Η εξίσωση που προκύπτει μπορεί να ξαναγραφτεί ως
Ω + Wu + ΜΕ= 0, όπου ΜΕ = –(ΕΝΑΧ 0 + Με 0), (1.16),
Οπου ΕΝΑΚαι ΣΕ– συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος.
Λαμβάνουμε τη γενική εξίσωση της γραμμής σε παραμετρική μορφή.
2. Μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο μπορεί να οριστεί ως εξής: έστω ένα μη μηδενικό διάνυσμα παράλληλο στη δεδομένη ευθεία μεγάλοκαι περίοδος Μ 0(Χ 0, Υ 0) βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή. Ας ξαναπάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο Μ(Χ, y) σε ευθεία γραμμή (Εικόνα 1.8).
Εικόνα 1.8
Διανύσματα και 
συγγραμμική.
Ας γράψουμε την συνθήκη για τη συγγραμμικότητα αυτών των διανυσμάτων: , όπου Τ– ένας αυθαίρετος αριθμός που ονομάζεται παράμετρος. Ας γράψουμε αυτή την ισότητα σε συντεταγμένες:
Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται Παραμετρικές εξισώσεις Ευθεία. Ας εξαιρέσουμε την παράμετρο από αυτές τις εξισώσεις Τ:
Αυτές οι εξισώσεις μπορούν διαφορετικά να γραφτούν ως
. (1.18)
Η εξίσωση που προκύπτει ονομάζεται Η κανονική εξίσωση της ευθείας. Το διάνυσμα ονομάζεται Το διάνυσμα κατεύθυνσης είναι ευθύ .
Σχόλιο . Είναι εύκολο να δούμε ότι το if είναι το κανονικό διάνυσμα στη γραμμή μεγάλο, τότε το διάνυσμα κατεύθυνσής του μπορεί να είναι το διάνυσμα αφού , δηλ.
Παράδειγμα 1.13. Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Μ 0(1, 1) παράλληλα με τη γραμμή 3 Χ + 2U– 8 = 0.
Λύση . Το διάνυσμα είναι το κανονικό διάνυσμα στις δεδομένες και επιθυμητές γραμμές. Ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Μ 0 με δεδομένο κανονικό διάνυσμα 3( Χ –1) + 2(U– 1) = 0 ή 3 Χ + 2υ– 5 = 0. Λάβαμε την εξίσωση της επιθυμητής γραμμής.