\(\blacktriangleright\) Για να βρεθεί η μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης στο τμήμα \(\) , είναι απαραίτητο να απεικονιστεί σχηματικά το γράφημα της συνάρτησης σε αυτό το τμήμα.
Σε προβλήματα από αυτό το υποθέμα, αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την παράγωγο: βρείτε τα διαστήματα αύξησης (\(f">0\) ) και μείωσης (\(f"<0\)
) функции, критические точки (где \(f"=0\)
или \(f"\)
не существует).
\(\blacktriangleright\) Μην ξεχνάτε ότι η συνάρτηση μπορεί να λάβει τη μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή όχι μόνο στα εσωτερικά σημεία του τμήματος \(\), αλλά και στα άκρα του.
\(\blacktriangleright\) Η μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή της συνάρτησης είναι η τιμή συντεταγμένων \(y=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης \(f(t(x))\) βρίσκεται σύμφωνα με τον κανόνα: \[(\Μεγάλο(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Perivative ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Συνάρτηση) f(x) & \text(Παράγωγο) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(πίνακας)\]
Εργασία 1 #2357
Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση
Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης \(y = e^(x^2 - 4)\) στο τμήμα \([-10; -2]\) .
ODZ: \(x\) – αυθαίρετο.
1) \
\ Έτσι, \(y" = 0\) για \(x = 0\) .
3) Ας βρούμε διαστήματα σταθερού πρόσημου \(y"\) στο τμήμα που εξετάζουμε \([-10; -2]\) :
4) Σκίτσο ενός γραφήματος στο τμήμα \([-10; -2]\) :
Έτσι, η συνάρτηση φτάνει τη μικρότερη τιμή της στο \([-10; -2]\) στο \(x = -2\) .
\ Σύνολο: \(1\) – η μικρότερη τιμή της συνάρτησης \(y\) στο \([-10; -2]\) .
Απάντηση: 1
Εργασία 2 #2355
Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση
\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\)στο τμήμα \([-1; 1]\) .
ODZ: \(x\) – αυθαίρετο.
1) \
Ας βρούμε κρίσιμα σημεία (δηλαδή εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης στα οποία η παράγωγός της είναι ίση με \(0\) ή δεν υπάρχει): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]Η παράγωγος υπάρχει για οποιοδήποτε \(x\) .
2) Ας βρούμε διαστήματα σταθερού πρόσημου \(y"\):
3) Ας βρούμε διαστήματα σταθερού πρόσημου \(y"\) στο τμήμα που εξετάζουμε \([-1; 1]\) :
4) Σκίτσο ενός γραφήματος στο τμήμα \([-1; 1]\) :
Έτσι, η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο \([-1; 1]\) στο \(x = -1\) ή στο \(x = 1\) . Ας συγκρίνουμε τις τιμές των συναρτήσεων σε αυτά τα σημεία.
\ Σύνολο: \(2\) – υψηλότερη τιμήσυναρτήσεις \(y\) στο \([-1; 1]\) .
Απάντηση: 2
Εργασία 3 #2356
Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση
Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης \(y = \cos 2x\) στο τμήμα \(\) .
ODZ: \(x\) – αυθαίρετο.
1) \
Ας βρούμε κρίσιμα σημεία (δηλαδή εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης στα οποία η παράγωγός της είναι ίση με \(0\) ή δεν υπάρχει): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\]Η παράγωγος υπάρχει για οποιοδήποτε \(x\) .
2) Ας βρούμε διαστήματα σταθερού πρόσημου \(y"\):
(εδώ υπάρχει άπειρος αριθμός διαστημάτων στα οποία εναλλάσσονται τα πρόσημα της παραγώγου).
3) Ας βρούμε διαστήματα σταθερού πρόσημου \(y"\) στο τμήμα που εξετάζουμε \(\):
4) Σκίτσο ενός γραφήματος στο τμήμα \(\) :
Έτσι, η συνάρτηση φτάνει τη μικρότερη τιμή της στο \(\) στο \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .
\ Σύνολο: \(-1\) – η μικρότερη τιμή της συνάρτησης \(y\) στο \(\) .
Απάντηση: -1
Εργασία 4 #915
Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση
Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης
\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).
ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Ας αποφασίσουμε για το ODZ:
1) Ας συμβολίσουμε \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , μετά \(y(t)=-\log_(17)t\) .
Ας βρούμε κρίσιμα σημεία (δηλαδή εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης στα οποία η παράγωγός της είναι ίση με \(0\) ή δεν υπάρχει): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\αριστερό βέλος\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– στο ODZ, από όπου βρίσκουμε τη ρίζα \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . Η παράγωγος της συνάρτησης \(y\) δεν υπάρχει για \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\), αλλά για αυτήν την εξίσωση αρνητική διάκρισηάρα δεν έχει λύσεις. Για να βρείτε τη μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης, πρέπει να κατανοήσετε πώς φαίνεται σχηματικά το γράφημά της.
2) Ας βρούμε διαστήματα σταθερού πρόσημου \(y"\):
3) Σκίτσο του γραφήματος:
Έτσι, η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :
\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),
Σύνολο: \(0\) – η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης \(y\) .
Απάντηση: 0
Εργασία 5 #2344
Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση
Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης
\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).
ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Ας αποφασίσουμε για το ODZ:
1) Ας συμβολίσουμε \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , μετά \(y(t)=\log_(3)t\) .
Ας βρούμε κρίσιμα σημεία (δηλαδή εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης στα οποία η παράγωγός της είναι ίση με \(0\) ή δεν υπάρχει): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Αριστερό δεξιό βέλος\qquad 2x+8 = 0\]– στο ODZ, από όπου βρίσκουμε τη ρίζα \(x = -4\) . Η παράγωγος της συνάρτησης \(y\) δεν υπάρχει όταν \(x^2 + 8x + 19 = 0\), αλλά αυτή η εξίσωση έχει αρνητική διάκριση, επομένως, δεν έχει λύσεις. Για να βρείτε τη μεγαλύτερη/μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης, πρέπει να κατανοήσετε πώς φαίνεται σχηματικά το γράφημά της.
2) Ας βρούμε διαστήματα σταθερού πρόσημου \(y"\):
3) Σκίτσο του γραφήματος:
Έτσι, \(x = -4\) είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης \(y\) και η μικρότερη τιμή επιτυγχάνεται σε αυτό:
\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .
Σύνολο: \(1\) – η μικρότερη τιμή της συνάρτησης \(y\) .
Απάντηση: 1
Εργασία 6 #917
Επίπεδο εργασίας: Πιο δύσκολο από το Unified State Exam
Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης
\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).
Από πρακτική άποψη, το μεγαλύτερο ενδιαφέρον είναι η χρήση της παραγώγου για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης. Με τι συνδέεται αυτό; Μεγιστοποίηση κερδών, ελαχιστοποίηση κόστους, προσδιορισμός του βέλτιστου φορτίου εξοπλισμού... Με άλλα λόγια, σε πολλούς τομείς της ζωής πρέπει να λύσουμε προβλήματα βελτιστοποίησης κάποιων παραμέτρων. Και αυτές είναι οι εργασίες εύρεσης των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών μιας συνάρτησης.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης αναζητούνται συνήθως σε ένα συγκεκριμένο διάστημα X, το οποίο είναι είτε ολόκληρος ο τομέας της συνάρτησης είτε μέρος του τομέα ορισμού. Το ίδιο το διάστημα X μπορεί να είναι ένα τμήμα, ένα ανοιχτό διάστημα 
, ένα άπειρο διάστημα.
Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για την εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών ρητά δεδομένη λειτουργίαμία μεταβλητή y=f(x) .
Πλοήγηση στη σελίδα.
Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης - ορισμοί, απεικονίσεις.
Ας δούμε εν συντομία τους κύριους ορισμούς.
Η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης 
αυτό για κανέναν 
η ανισότητα είναι αλήθεια.
Η μικρότερη τιμή της συνάρτησηςΤο y=f(x) στο διάστημα X ονομάζεται τέτοια τιμή 
αυτό για κανέναν η ανισότητα είναι αλήθεια.
Αυτοί οι ορισμοί είναι διαισθητικοί: η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή μιας συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη (μικρότερη) αποδεκτή τιμή στο διάστημα που εξετάζεται στην τετμημένη.
Σταθερά σημεία– αυτές είναι οι τιμές του ορίσματος στο οποίο η παράγωγος της συνάρτησης γίνεται μηδέν.
Γιατί χρειαζόμαστε ακίνητα σημεία όταν βρίσκουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνεται από το θεώρημα του Fermat. Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ότι εάν μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση έχει ένα άκρο (τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο) σε κάποιο σημείο, τότε αυτό το σημείο είναι ακίνητο. Έτσι, η συνάρτηση παίρνει συχνά τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της στο διάστημα X σε ένα από τα ακίνητα σημεία από αυτό το διάστημα.
Επίσης, μια συνάρτηση μπορεί συχνά να λάβει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της σε σημεία στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος αυτής της συνάρτησης και ορίζεται η ίδια η συνάρτηση.
Ας απαντήσουμε αμέσως σε μια από τις πιο συνηθισμένες ερωτήσεις σχετικά με αυτό το θέμα: «Είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή μιας συνάρτησης»; Όχι πάντα. Μερικές φορές τα όρια του διαστήματος X συμπίπτουν με τα όρια του πεδίου ορισμού της συνάρτησης ή το διάστημα X είναι άπειρο. Και ορισμένες συναρτήσεις στο άπειρο και στα όρια του πεδίου ορισμού μπορούν να λάβουν και απείρως μεγάλες και απείρως μικρές τιμές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, δεν μπορεί να ειπωθεί τίποτα για τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Για λόγους σαφήνειας, θα δώσουμε μια γραφική απεικόνιση. Δείτε τις φωτογραφίες και πολλά θα γίνουν πιο ξεκάθαρα.
Στο τμήμα
Στο πρώτο σχήμα, η συνάρτηση παίρνει τις μεγαλύτερες (max y) και τις μικρότερες (min y) τιμές σε σταθερά σημεία που βρίσκονται μέσα στο τμήμα [-6;6].
Εξετάστε την περίπτωση που απεικονίζεται στο δεύτερο σχήμα. Ας αλλάξουμε το τμήμα σε . Σε αυτό το παράδειγμα, η μικρότερη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται σε ένα ακίνητο σημείο και η μεγαλύτερη στο σημείο με την τετμημένη να αντιστοιχεί στο δεξιό όριο του διαστήματος.
Στο σχήμα 3, τα οριακά σημεία του τμήματος [-3;2] είναι οι τετμημένες των σημείων που αντιστοιχούν στη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Σε ανοιχτό διάστημα
Στο τέταρτο σχήμα, η συνάρτηση παίρνει τις μεγαλύτερες (max y) και τις μικρότερες (min y) τιμές σε σταθερά σημεία που βρίσκονται μέσα στο ανοιχτό διάστημα (-6;6).
Στο μεσοδιάστημα, δεν μπορούν να εξαχθούν συμπεράσματα για τη μεγαλύτερη τιμή.
Στο άπειρο
Στο παράδειγμα που παρουσιάζεται στο έβδομο σχήμα, η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή (max y) σε ένα ακίνητο σημείο με τετμημένη x=1 και η μικρότερη τιμή (min y) επιτυγχάνεται στο δεξιό όριο του διαστήματος. Στο μείον άπειρο, οι τιμές της συνάρτησης προσεγγίζουν ασυμπτωτικά το y=3.
Κατά τη διάρκεια του διαστήματος, η συνάρτηση δεν φτάνει ούτε τη μικρότερη ούτε τη μεγαλύτερη τιμή. Καθώς το x=2 πλησιάζει από τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν στο μείον το άπειρο (η γραμμή x=2 είναι κάθετη ασύμπτωτη) και καθώς η τετμημένη τείνει στο συν άπειρο, οι τιμές της συνάρτησης προσεγγίζουν ασυμπτωτικά το y=3. Μια γραφική απεικόνιση αυτού του παραδείγματος φαίνεται στο Σχήμα 8.
Αλγόριθμος για την εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα τμήμα.
Ας γράψουμε έναν αλγόριθμο που μας επιτρέπει να βρούμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.
- Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και ελέγχουμε αν περιέχει ολόκληρο το τμήμα.
- Βρίσκουμε όλα τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος και τα οποία περιέχονται στο τμήμα (συνήθως τέτοια σημεία βρίσκονται σε συναρτήσεις με όρισμα κάτω από το πρόσημο του συντελεστή και σε συναρτήσεις ισχύος με κλασματικό-ορθολογικό εκθέτη). Εάν δεν υπάρχουν τέτοια σημεία, τότε προχωρήστε στο επόμενο σημείο.
- Προσδιορίζουμε όλα τα σταθερά σημεία που εμπίπτουν στο τμήμα. Για να γίνει αυτό, το εξισώνουμε με το μηδέν, λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει και επιλέγουμε τις κατάλληλες ρίζες. Εάν δεν υπάρχουν σταθερά σημεία ή κανένα από αυτά δεν εμπίπτει στο τμήμα, τότε προχωρήστε στο επόμενο σημείο.
- Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης σε επιλεγμένα σταθερά σημεία (εάν υπάρχουν), σε σημεία στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος (αν υπάρχει), καθώς και σε x=a και x=b.
- Από τις λαμβανόμενες τιμές της συνάρτησης, επιλέγουμε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη - θα είναι οι απαιτούμενες μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης, αντίστοιχα.
Ας αναλύσουμε τον αλγόριθμο για την επίλυση ενός παραδείγματος για να βρούμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.
Παράδειγμα.
Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης
- στο τμήμα ;
- στο τμήμα [-4;-1] .
Λύση.
Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, με εξαίρεση το μηδέν, δηλαδή. Και τα δύο τμήματα εμπίπτουν στον τομέα ορισμού.
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ως προς: 
Προφανώς, η παράγωγος της συνάρτησης υπάρχει σε όλα τα σημεία των τμημάτων και [-4;-1].
Καθορίζουμε σταθερά σημεία από την εξίσωση. Η μόνη πραγματική ρίζα είναι x=2. Αυτό το ακίνητο σημείο εμπίπτει στο πρώτο τμήμα.
Για την πρώτη περίπτωση, υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στο ακίνητο σημείο, δηλαδή για x=1, x=2 και x=4: 
Επομένως, η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης 
επιτυγχάνεται στο x=1, και η μικρότερη τιμή 
– σε x=2.
Για τη δεύτερη περίπτωση, υπολογίζουμε τις τιμές συνάρτησης μόνο στα άκρα του τμήματος [-4;-1] (καθώς δεν περιέχει ούτε ένα ακίνητο σημείο): 
Λύση.
Ας ξεκινήσουμε με τον τομέα της συνάρτησης. Το τετράγωνο τριώνυμο στον παρονομαστή του κλάσματος δεν πρέπει να εξαφανίζεται: 
Είναι εύκολο να ελέγξετε ότι όλα τα διαστήματα από τη δήλωση προβλήματος ανήκουν στον τομέα ορισμού της συνάρτησης.
Ας διαφοροποιήσουμε τη συνάρτηση: 
Προφανώς, η παράγωγος υπάρχει σε όλο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Ας βρούμε σταθερά σημεία. Η παράγωγος πηγαίνει στο μηδέν στο . Αυτό το ακίνητο σημείο εμπίπτει στα διαστήματα (-3;1] και (-3;2).
Τώρα μπορείτε να συγκρίνετε τα αποτελέσματα που λαμβάνονται σε κάθε σημείο με το γράφημα της συνάρτησης. Οι μπλε διακεκομμένες γραμμές υποδεικνύουν ασύμπτωτες.
Σε αυτό το σημείο μπορούμε να ολοκληρώσουμε με την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής της συνάρτησης. Οι αλγόριθμοι που συζητούνται σε αυτό το άρθρο σάς επιτρέπουν να λαμβάνετε αποτελέσματα με ελάχιστες ενέργειες. Ωστόσο, μπορεί να είναι χρήσιμο να προσδιοριστούν πρώτα τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης και μόνο μετά από αυτό να εξαχθούν συμπεράσματα σχετικά με τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης σε οποιοδήποτε διάστημα. Αυτό δίνει μια σαφέστερη εικόνα και μια αυστηρή αιτιολόγηση για τα αποτελέσματα.
Αφήστε τη λειτουργία y =φά(Χ)είναι συνεχής στο διάστημα [ α, β]. Όπως είναι γνωστό, μια τέτοια συνάρτηση φτάνει τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές της σε αυτό το τμήμα. Η συνάρτηση μπορεί να λάβει αυτές τις τιμές είτε στο εσωτερικό σημείο του τμήματος [ α, β] ή στο όριο του τμήματος.
Για να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης στο τμήμα [ α, β] απαραίτητη:
1) βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης στο διάστημα ( α, β);
2) υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στα κρίσιμα σημεία που βρέθηκαν.
3) υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος, δηλαδή πότε Χ=ΕΝΑκαι x = σι;
4) από όλες τις υπολογισμένες τιμές της συνάρτησης, επιλέξτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη.
Παράδειγμα.Βρείτε το μεγαλύτερο και μικρότερη τιμήλειτουργίες
στο τμήμα.
Εύρεση κρίσιμων σημείων:
Αυτά τα σημεία βρίσκονται μέσα στο τμήμα. y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
στο σημείο Χ= 3 και στο σημείο Χ= 0.
Μελέτη συνάρτησης κυρτότητας και σημείου καμπής.
Λειτουργία y = φά (Χ) που ονομάζεται κυρτόανάμεσα (ένα, σι) , αν η γραφική παράσταση του βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη που σχεδιάζεται σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του διαστήματος, και καλείται κυρτό προς τα κάτω (κοίλο), αν η γραφική παράσταση του βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη.
Το σημείο μέσω του οποίου η κυρτότητα αντικαθίσταται από την κοιλότητα ή το αντίστροφο ονομάζεται σημείο καμπής.
Αλγόριθμος για την εξέταση της κυρτότητας και του σημείου καμπής:
1. Να βρείτε κρίσιμα σημεία του δεύτερου είδους, δηλαδή σημεία στα οποία η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει.
2. Σχεδιάστε τα κρίσιμα σημεία στην αριθμογραμμή, χωρίζοντάς την σε διαστήματα. Βρείτε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου σε κάθε διάστημα. αν , τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω, εάν, τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω.
3. Αν κατά τη διέλευση από ένα κρίσιμο σημείο του δεύτερου είδους αλλάζει το πρόσημο και στο σημείο αυτό η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με μηδέν, τότε το σημείο αυτό είναι η τετμημένη του σημείου καμπής. Βρείτε την τεταγμένη του.
Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. Μελέτη συνάρτησης για ασύμπτωτες.
Ορισμός.Η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ονομάζεται ευθεία, το οποίο έχει την ιδιότητα ότι η απόσταση από οποιοδήποτε σημείο του γραφήματος σε αυτή τη γραμμή τείνει στο μηδέν καθώς το σημείο του γραφήματος μετακινείται επ' αόριστον από την αρχή.
Υπάρχουν τρεις τύποι ασυμπτωμάτων: κάθετα, οριζόντια και κεκλιμένα.
Ορισμός.Η ευθεία λέγεται κάθετη ασύμπτωτηγραφικά λειτουργίας y = f(x), αν τουλάχιστον ένα από τα μονόπλευρα όρια της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι ίσο με το άπειρο, δηλαδή
όπου είναι το σημείο ασυνέχειας της συνάρτησης, δηλαδή δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού.
Παράδειγμα.
Δ ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
Χ= 2 – σημείο διακοπής.
Ορισμός.Ευθεία y =ΕΝΑπου ονομάζεται οριζόντια ασύμπτωτηγραφικά λειτουργίας y = f(x)στο , εάν
Παράδειγμα.
|
Χ | |||
|
y |
Ορισμός.Ευθεία y =κx +σι (κ≠ 0) ονομάζεται πλάγιος ασύμπτωτοςγραφικά λειτουργίας y = f(x)εκεί όπου
Γενικό σχήμα μελέτης συναρτήσεων και κατασκευή γραφημάτων.
Αλγόριθμος Έρευνας Συναρτήσεωνy = f(x) :
1. Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης ρε (y).
2. Βρείτε (αν είναι δυνατόν) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες συντεταγμένων (αν Χ= 0 και σε y = 0).
3. Εξετάστε την ομαλότητα και την περιττότητα της συνάρτησης ( y (‒ Χ) = y (Χ) ‒ ισοτιμία; y(‒ Χ) = ‒ y (Χ) ‒ Περιττός).
4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
5. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.
6. Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης.
7. Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας (κοίλης) και καμπής του γραφήματος συνάρτησης.
8. Με βάση την έρευνα που έγινε να κατασκευάσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης.
Παράδειγμα.Εξερευνήστε τη συνάρτηση και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της.
1) ρε (y) =
Χ= 4 – σημείο διακοπής.
2) Πότε Χ = 0,
(0; ‒ 5) – σημείο τομής με ω.
Στο y = 0,
3)
y(‒
Χ)=
λειτουργία γενική εικόνα(ούτε ζυγός ούτε περιττός).
4) Εξετάζουμε για ασύμπτωτες.
α) κάθετη
β) οριζόντια
γ) να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες όπου
‒λοξή ασυμπτωτική εξίσωση
5) Β δεδομένη εξίσωσηδεν χρειάζεται να βρεθούν διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.
6)
Αυτά τα κρίσιμα σημεία διαιρούν ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης στο διάστημα (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) και (10; +∞). Είναι βολικό να παρουσιαστούν τα αποτελέσματα που προέκυψαν με τη μορφή του παρακάτω πίνακα:
|
χωρίς έξτρα |
Από τον πίνακα είναι σαφές ότι το σημείο Χ= ‒2‒μέγιστο σημείο, στο σημείο Χ= 4‒χωρίς ακραίο, Χ= 10 – ελάχιστος βαθμός.
Ας αντικαταστήσουμε την τιμή (‒ 3) στην εξίσωση:
9 + 24 ‒ 20 > 0
25 ‒ 40 ‒ 20 < 0
121 ‒ 88 ‒ 20 > 0
Το μέγιστο αυτής της λειτουργίας είναι 
(‒ 2; ‒ 4) – μέγιστο άκρο.
Το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης είναι ίσο με 
(10; 20) – ελάχιστο άκρο.
7) Εξετάστε την κυρτότητα και το σημείο καμπής του γραφήματος συνάρτησης
Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσω για αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμήςσυναρτήσεις, ελάχιστα και μέγιστα σημεία.
Από τη θεωρία σίγουρα θα μας φανεί χρήσιμο παράγωγος πίνακαςΚαι κανόνες διαφοροποίησης. Είναι όλα σε αυτό το πιάτο:
Αλγόριθμος για την εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών.
Είναι πιο βολικό για μένα να εξηγήσω συγκεκριμένο παράδειγμα. Σκεφτείτε:
Παράδειγμα:Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y=x^5+20x^3–65x στο τμήμα [–4;0].
Βήμα 1.Παίρνουμε την παράγωγο.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Βήμα 2.Εύρεση ακραίων σημείων.
Ακραίο σημείοονομάζουμε εκείνα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση φτάνει τη μεγαλύτερη ή την ελάχιστη τιμή της.
Για να βρείτε τα ακραία σημεία, πρέπει να εξισώσετε την παράγωγο της συνάρτησης με μηδέν (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Τώρα λύνουμε αυτήν τη διτετραγωνική εξίσωση και οι ρίζες που βρέθηκαν είναι τα ακραία σημεία μας.
Λύνω τέτοιες εξισώσεις αντικαθιστώντας t = x^2, μετά 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Ας μειώσουμε την εξίσωση κατά 5, παίρνουμε: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Κάνουμε την αντίστροφη αλλαγή x^2 = t:
X_(1 και 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 και 4) = ±sqrt(-13) (εξαιρούμε, δεν μπορούν να υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί κάτω από τη ρίζα, εκτός φυσικά αν μιλάμε για μιγαδικούς αριθμούς)
Σύνολο: x_(1) = 1 και x_(2) = -1 - αυτά είναι τα ακραία σημεία μας.
Βήμα 3.Προσδιορίστε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή.
Μέθοδος αντικατάστασης.
Στην συνθήκη, μας δόθηκε το τμήμα [b][–4;0]. Το σημείο x=1 δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το τμήμα. Άρα δεν το εξετάζουμε. Αλλά εκτός από το σημείο x=-1, πρέπει επίσης να εξετάσουμε τα αριστερά και τα δεξιά όρια του τμήματός μας, δηλαδή τα σημεία -4 και 0. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε και τα τρία αυτά σημεία στην αρχική συνάρτηση. Σημειώστε ότι η αρχική είναι αυτή που δίνεται στη συνθήκη (y=x^5+20x^3–65x), μερικοί άνθρωποι αρχίζουν να την αντικαθιστούν στην παράγωγο...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Αυτό σημαίνει ότι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης είναι [b]44 και επιτυγχάνεται στο σημείο [b]-1, που ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης στο τμήμα [-4; 0].
Αποφασίσαμε και πήραμε απάντηση, είμαστε υπέροχοι, μπορείτε να χαλαρώσετε. Σταμάτα όμως! Δεν πιστεύετε ότι ο υπολογισμός του y(-4) είναι κατά κάποιο τρόπο πολύ δύσκολος; Σε συνθήκες περιορισμένου χρόνου, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο, την ονομάζω ως εξής:
Μέσα από διαστήματα σταθερότητας πρόσημου.
Αυτά τα διαστήματα βρίσκονται για την παράγωγο της συνάρτησης, δηλαδή για τη διτετραγωνική μας εξίσωση.
Το κάνω έτσι. Σχεδιάζω ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Τοποθετώ τα σημεία: -4, -1, 0, 1. Παρά το γεγονός ότι το 1 δεν περιλαμβάνεται στο συγκεκριμένο τμήμα, θα πρέπει να σημειωθεί για να προσδιορίζονται σωστά τα διαστήματα σταθερότητας του πρόσημου. Ας πάρουμε έναν αριθμό πολλές φορές μεγαλύτερο από το 1, ας πούμε 100, και ας τον αντικαταστήσουμε νοερά στη διτετραγωνική μας εξίσωση 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Ακόμα και χωρίς να μετρήσουμε τίποτα, γίνεται προφανές ότι στο σημείο 100 η λειτουργία έχει το σύμβολο συν. Αυτό σημαίνει ότι για διαστήματα από 1 έως 100 έχει πρόσημο συν. Όταν περνάμε από το 1 (πηγαίνουμε από δεξιά προς τα αριστερά), η συνάρτηση θα αλλάξει πρόσημο σε μείον. Όταν διέρχεται από το σημείο 0, η συνάρτηση θα διατηρήσει το πρόσημά της, αφού αυτό είναι μόνο το όριο του τμήματος και όχι η ρίζα της εξίσωσης. Όταν διέρχεται από το -1, η συνάρτηση θα αλλάξει ξανά το πρόσημο σε συν.
Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι πού βρίσκεται η παράγωγος της συνάρτησης (και το σχεδιάσαμε ακριβώς γι' αυτήν) αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην (σημείο -1 στην περίπτωσή μας)η λειτουργία φτάνει Το τοπικό του μέγιστο (y(-1)=44, όπως υπολογίστηκε νωρίτερα)σε αυτό το τμήμα (αυτό είναι λογικά πολύ κατανοητό, η συνάρτηση σταμάτησε να αυξάνεται επειδή έφτασε στο μέγιστο και άρχισε να μειώνεται).
Αντίστοιχα, όπου η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επιτυγχάνεται τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης. Ναι, ναι, βρήκαμε επίσης ότι το τοπικό ελάχιστο σημείο είναι 1, και το y(1) είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα, ας πούμε από -1 έως +∞. Λάβετε υπόψη ότι αυτό είναι μόνο ένα ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ, δηλαδή ένα ελάχιστο σε ένα συγκεκριμένο τμήμα. Αφού το πραγματικό (καθολικό) ελάχιστο της συνάρτησης θα φτάσει κάπου εκεί, στο -∞.
Κατά τη γνώμη μου, η πρώτη μέθοδος είναι πιο απλή θεωρητικά και η δεύτερη πιο απλή από την άποψη των αριθμητικών πράξεων, αλλά πολύ πιο σύνθετη από την άποψη της θεωρίας. Εξάλλου, μερικές φορές υπάρχουν περιπτώσεις που η συνάρτηση δεν αλλάζει πρόσημο όταν περνάει από τη ρίζα της εξίσωσης και γενικά μπορεί να μπερδευτείτε με αυτά τα τοπικά, καθολικά μέγιστα και ελάχιστα, αν και θα πρέπει να το καταλάβετε καλά αν σχεδιάζετε να εισέλθετε σε ένα τεχνικό πανεπιστήμιο (και γιατί αλλιώς να λάβετε το προφίλ Unified State Exam και να λύσετε αυτήν την εργασία). Αλλά η εξάσκηση και μόνο η εξάσκηση θα σας διδάξει να λύσετε τέτοια προβλήματα μια για πάντα. Και μπορείτε να προπονηθείτε στον ιστότοπό μας. Εδώ .
Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις ή κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, φροντίστε να ρωτήσετε. Θα χαρώ να σας απαντήσω και να κάνω αλλαγές και προσθήκες στο άρθρο. Θυμηθείτε ότι φτιάχνουμε αυτόν τον ιστότοπο μαζί!