Estudio de funciones.
1) D(y) – Dominio de definición: el conjunto de todos aquellos valores de la variable x. para lo cual tienen sentido las expresiones algebraicas f(x) y g(x).
Si una función viene dada por una fórmula, entonces el dominio de definición consta de todos los valores de la variable independiente para los cuales la fórmula tiene sentido.
2) Propiedades de la función: par/impar, periodicidad:
Extraño Y incluso Se llaman funciones cuyas gráficas son simétricas con respecto a los cambios de signo del argumento.
función impar- una función que cambia el valor al opuesto cuando cambia el signo de la variable independiente (simétrica con respecto al centro de coordenadas).
incluso función- una función que no cambia su valor cuando cambia el signo de la variable independiente (simétrica con respecto a la ordenada).
Ni función par ni impar (función general)- una función que no tiene simetría. Esta categoría incluye funciones que no se incluyen en las 2 categorías anteriores.
Las funciones que no pertenecen a ninguna de las categorías anteriores se denominan ni par ni impar(o funciones generales).
Funciones impares
Potencia impar donde es un número entero arbitrario.
funciones pares
Incluso potencia donde es un número entero arbitrario.
función periódica- una función que repite sus valores después de un intervalo de argumento regular, es decir, no cambia su valor al agregar algún número fijo distinto de cero al argumento ( período funciones) en todo el dominio de definición.
3) Los ceros (raíces) de una función son los puntos donde se vuelve cero.
Encontrar el punto de intersección del gráfico con el eje. Oye. Para hacer esto necesitas calcular el valor. F(0). Encuentra también los puntos de intersección de la gráfica con el eje. Buey, ¿por qué encontrar las raíces de la ecuación? F(incógnita) = 0 (o asegúrese de que no haya raíces).
Los puntos en los que la gráfica intersecta al eje se llaman función ceros. Para encontrar los ceros de una función necesitas resolver la ecuación, es decir, encontrar esos valores de "x", en el que la función se vuelve cero.
4) Intervalos de constancia de signos, signos en ellos.
Intervalos donde la función f(x) mantiene signo.
El intervalo de constancia de signo es el intervalo. en cada punto del cual la función es positiva o negativa.
POR ENCIMA del eje x.
DEBAJO del eje.
5) Continuidad (puntos de discontinuidad, naturaleza de la discontinuidad, asíntotas).
Función continua- una función sin “saltos”, es decir, una en la que pequeños cambios en el argumento conducen a pequeños cambios en el valor de la función.
Puntos de ruptura extraíbles
Si el límite de la función existe, pero la función no está definida en este punto, o el límite no coincide con el valor de la función en este punto:
,
entonces el punto se llama punto de ruptura removible funciones (en análisis complejos, un punto singular removible).
Si “corregimos” la función en el punto de discontinuidad removible y ponemos 
, entonces obtenemos una función que es continua en un punto dado. Esta operación sobre una función se llama extendiendo la función a continua o redefinición de la función por continuidad, lo que justifica el nombre del punto como punto desmontable ruptura.
Puntos de discontinuidad de primer y segundo tipo.
Si una función tiene una discontinuidad en un punto dado (es decir, el límite de la función en un punto dado está ausente o no coincide con el valor de la función en un punto dado), entonces para funciones numéricas hay dos opciones posibles asociado con la existencia de funciones numéricas límites unilaterales:
Si ambos límites unilaterales existen y son finitos, entonces dicho punto se llama punto de discontinuidad de primer tipo.
Los puntos de discontinuidad removibles son puntos de discontinuidad del primer tipo; si al menos uno de los límites unilaterales no existe o no es un valor finito, entonces ese punto se llama.
punto de discontinuidad del segundo tipo - Asíntota derecho , que tiene la propiedad de que la distancia desde un punto de la curva a este directo
tiende a cero a medida que el punto se aleja a lo largo de la rama hasta el infinito.
Vertical 
.
Asíntota vertical - línea límite
Como regla general, al determinar la asíntota vertical, no se busca un límite, sino dos unilaterales (izquierda y derecha). Esto se hace para determinar cómo se comporta la función cuando se acerca a la asíntota vertical desde diferentes direcciones. Por ejemplo:
Horizontal Asíntota Asíntota horizontal - especies, sujetas a la existencia
.
límite
Inclinado Asíntota Asíntota horizontal - Asíntota oblicua -
límites
Nota: una función no puede tener más de dos asíntotas oblicuas (horizontales).
Nota: si al menos uno de los dos límites mencionados anteriormente no existe (o es igual a ), entonces la asíntota oblicua en (o ) no existe. 
.
6) si está en el punto 2.), entonces , y el límite se encuentra usando la fórmula de asíntota horizontal, Encontrar intervalos de monotonicidad. F(incógnita Encuentra intervalos de monotonicidad de una función. F(incógnita)(es decir, intervalos de aumento y decrecimiento). Esto se hace examinando el signo de la derivada. F(incógnita). Para hacer esto, encuentre la derivada. F(incógnita) y resuelve la desigualdad F(incógnita)aumenta. Donde se cumple la desigualdad inversa F(incógnita)0, función F(incógnita) está disminuyendo.
Descubrimiento extremo local. Habiendo encontrado los intervalos de monotonicidad, podemos determinar inmediatamente los puntos extremos locales donde un aumento se reemplaza por una disminución, se ubican los máximos locales, y donde una disminución se reemplaza por un aumento, se ubican los mínimos locales. Calcula el valor de la función en estos puntos. Si una función tiene puntos críticos que no son puntos extremos locales, entonces también es útil calcular el valor de la función en esos puntos.
Encontrar los valores mayor y menor de la función y = f(x) en un segmento(continuación)
|
1. Encuentra la derivada de la función: F(incógnita). 2. Encuentra los puntos en los que la derivada es cero: F(incógnita)=0incógnita 1, incógnita 2 ,... 3. Determinar la afiliación de puntos. incógnita 1 ,incógnita 2 , … segmento [ a; b]: dejar incógnita 1a;b, A incógnita 2a;b . |
Gráficas de pares y no. incluso función tener las siguientes características:
Si una función es par, entonces su gráfica es simétrica con respecto a la ordenada. Si una función es impar, entonces su gráfica es simétrica con respecto al origen.
Ejemplo. Construye una gráfica de la función \(y=\left|x \right|\).Solución. Considere la función: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) y sustituya el opuesto \(-x \) en lugar de \(x \). Como resultado de transformaciones simples obtenemos: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ En otros Es decir, si reemplaza el argumento con el signo opuesto, la función no cambiará.
Esto significa que esta función es par y su gráfica será simétrica con respecto al eje de ordenadas ( eje vertical). La gráfica de esta función se muestra en la figura de la izquierda. Esto significa que al construir un gráfico, solo puedes dibujar la mitad y la segunda parte (a la izquierda del eje vertical, dibuja simétricamente a la parte derecha). Al determinar la simetría de una función antes de comenzar a trazar su gráfica, puedes simplificar enormemente el proceso de construir o estudiar la función. Si es difícil registrarse vista general, puedes hacerlo de forma más sencilla: sustituye los mismos valores de diferentes signos en la ecuación. Por ejemplo -5 y 5. Si los valores de la función resultan ser iguales, entonces podemos esperar que la función sea par. Desde un punto de vista matemático, este enfoque no es del todo correcto, pero desde un punto de vista práctico es conveniente. Para aumentar la confiabilidad del resultado, puede sustituir varios pares de valores opuestos.
Ejemplo. Construye una gráfica de la función \(y=x\left|x \right|\).
Solución. Comprobemos lo mismo que en el ejemplo anterior: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Esto significa que la función original es impar (el signo de la función ha cambiado al opuesto).
Conclusión: la función es simétrica con respecto al origen. Puedes construir solo la mitad y dibujar la segunda simétricamente. Este tipo de simetría es más difícil de trazar. Esto significa que estás mirando el gráfico desde el otro lado de la hoja, e incluso al revés. O puedes hacer esto: toma la parte dibujada y gírala alrededor del origen 180 grados en sentido antihorario.
Ejemplo. Construye una gráfica de la función \(y=x^3+x^2\).
Solución. Realicemos la misma verificación de cambio de signo que en los dos ejemplos anteriores. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Como resultado, obtenemos que: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Y esto significa que la función no es par ni impar.
Conclusión: la función no es simétrica ni con respecto al origen ni al centro del sistema de coordenadas. Esto sucedió porque es la suma de dos funciones: par e impar. La misma situación ocurrirá si restas dos funciones diferentes. Pero la multiplicación o la división conducirán a un resultado diferente. Por ejemplo, el producto de una función par y una impar produce una función impar. O el cociente de dos números impares da como resultado una función par.
Atrás Adelante
¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.
Objetivos:
- formar el concepto de paridad y rareza de una función, enseñar la capacidad de determinar y utilizar estas propiedades cuando investigación de funciones, tramando;
- desarrollar la actividad creativa de los estudiantes, pensamiento lógico, capacidad de comparar, generalizar;
- cultivar el trabajo duro y la cultura matemática; desarrollar habilidades de comunicación .
Equipo: instalación multimedia, pizarra interactiva, folletos.
Formas de trabajo: frontal y grupal con elementos de actividades de búsqueda e investigación.
Fuentes de información:
1. Álgebra novena clase A.G. Mordkovich. Libro de texto.
2. Álgebra noveno grado A.G. Mordkovich. Libro de problemas.
3. Álgebra noveno grado. Tareas para el aprendizaje y desarrollo de los estudiantes. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.
PROGRESO DE LA LECCIÓN
1. Momento organizacional
Establecer metas y objetivos para la lección.
2. revisando la tarea
No. 10.17 (libro de problemas de noveno grado. A.G. Mordkovich).
A) en = F(incógnita), F(incógnita) = 
b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;
c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2. mi( F) = [– 3; + ∞)
3. F(incógnita) = 0 en incógnita ~ 0,4
4. F(incógnita) >0 en incógnita > 0,4 ; F(incógnita)
< 0 при – 2 <
incógnita <
0,4.
5. La función aumenta con incógnita € [– 2; + ∞)
6. La función está limitada desde abajo.
7. en naím = – 3, en naib no existe
8. La función es continua.
(¿Ha utilizado un algoritmo de exploración de funciones?) Deslizar.
2. Revisemos la tabla que se le pidió en la diapositiva.
| Completa la tabla | |||||
Dominio de definición |
Ceros de función |
Intervalos de constancia de signos. |
Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico con Oy. | ||
 |
x = –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
 |
x ∞ –5, |
x € (–5;3) U |
x € (–∞;–5) U |
||
x ≠ –5, |
x € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
|||
3. Actualizando conocimientos
– Se dan funciones.
– Especificar el alcance de la definición de cada función.
– Compare el valor de cada función para cada par de valores de argumento: 1 y – 1; 2 y – 2.
– ¿Para cuál de estas funciones en el dominio de definición se cumplen las igualdades? F(– incógnita)
= F(incógnita), F(– incógnita) = – F(incógnita)? (ingrese los datos obtenidos en la tabla) Deslizar
| F(1) y F(– 1) | F(2) y F(– 2) | gráficos | F(– incógnita) = –F(incógnita) | F(– incógnita) = F(incógnita) | ||
| 1. F(incógnita) = | ||||||
| 2. F(incógnita) = incógnita 3 | ||||||
| 3. F(incógnita) = | incógnita | | ||||||
| 4.F(incógnita) = 2incógnita – 3 | ||||||
| 5. F(incógnita) = | incógnita ≠ 0 |
|||||
| 6. F(incógnita)= | incógnita > –1 | y no definido |
– Mientras hacíamos este trabajo, muchachos, identificamos otra propiedad de la función, desconocida para ustedes, pero no menos importante que las demás: esta es la uniformidad y la imparidad de la función. Escriba el tema de la lección: "Funciones pares e impares", nuestra tarea es aprender a determinar la uniformidad y la imparidad de una función, descubrir el significado de esta propiedad en el estudio de funciones y trazar gráficas.
Entonces, busquemos las definiciones en el libro de texto y leamos (pág. 110) . Deslizar
Def. 1 Función en = F (incógnita), definido en el conjunto X se llama incluso, si por algún valor incógnitaЄ X se ejecuta igualdad f(–x)= f(x). Dar ejemplos.
Def. 2 Función y = f(x), definido en el conjunto X se llama extraño, si por algún valor incógnitaЄ X se cumple la igualdad f(–х)= –f(х). Dar ejemplos.
¿Dónde encontramos los términos “par” e “impar”?
¿Cuál de estas funciones crees que será par? ¿Por qué? ¿Cuáles son extraños? ¿Por qué?
Para cualquier función de la forma en= xn, Dónde norte– un número entero, se puede argumentar que la función es impar cuando norte– impar y la función es par cuando norte- incluso.
– Ver funciones en= y en = 2incógnita– 3 no son ni pares ni impares, porque las igualdades no se satisfacen F(– incógnita) = – F(incógnita), F(–
incógnita) = F(incógnita)
El estudio de si una función es par o impar se llama estudio de la paridad de una función. Deslizar
En las definiciones 1 y 2 estábamos hablando de los valores de la función en x y – x, por lo que se supone que la función también está definida en el valor incógnita, y en – incógnita.
Def 3. Si conjunto de números junto con cada uno de sus elementos x también contiene el elemento opuesto –x, entonces el conjunto incógnita llamado conjunto simétrico.
Ejemplos:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) son conjuntos simétricos y , [–5;4] son asimétricos.
– ¿Las funciones pares tienen un dominio de definición que es un conjunto simétrico? ¿Los raros?
– Si D( F) es un conjunto asimétrico, entonces ¿cuál es la función?
– Así, si la función en = F(incógnita) – par o impar, entonces su dominio de definición es D( F) es un conjunto simétrico. ¿Es cierta la afirmación inversa: si el dominio de definición de una función es un conjunto simétrico, entonces es par o impar?
– Esto significa que la presencia de un conjunto simétrico del dominio de definición es una condición necesaria, pero no suficiente.
– Entonces, ¿cómo estudiar una función de paridad? Intentemos crear un algoritmo.
Deslizar
Algoritmo para estudiar una función de paridad.
1. Determinar si el dominio de definición de la función es simétrico. Si no, entonces la función no es par ni impar. En caso afirmativo, vaya al paso 2 del algoritmo.
2. Escribe una expresión para F(–incógnita).
3. Comparar F(–incógnita).Y F(incógnita):
- Si F(–incógnita).= F(incógnita), entonces la función es par;
- Si F(–incógnita).= – F(incógnita), entonces la función es impar;
- Si F(–incógnita) ≠ F(incógnita) Y F(–incógnita) ≠ –F(incógnita), entonces la función no es par ni impar.
Ejemplos:
Examinar la función a) para determinar la paridad en=x5+; b) en= ; V) en= .
Solución.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), conjunto simétrico.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => función h(x)= x 5 + impar.
segundo) y =,
en = F(incógnita), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), un conjunto asimétrico, lo que significa que la función no es ni par ni impar.
V) F(incógnita) = , y = f (x),
1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Opción 2
1. ¿Es simétrico el conjunto dado: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Grafica la función en = F(incógnita), Si en = F(incógnita) es una función par.
Grafica la función en = F(incógnita), Si en = F(incógnita) es una función impar.
Control mutuo deslizar.
6. Tarea: №11.11, 11.21,11.22;
Prueba del significado geométrico de la propiedad de paridad.
***(Asignación de la opción Examen Unificado del Estado).
1. La función impar y = f(x) se define en toda la recta numérica. Para cualquier valor no negativo de la variable x, el valor de esta función coincide con el valor de la función g( incógnita) = incógnita(incógnita + 1)(incógnita + 3)(incógnita– 7). Encuentra el valor de la función h( incógnita) = en incógnita = 3.
7. Resumiendo
Que te resultaban familiares en un grado u otro. Allí también se señaló que el stock de propiedades funcionales se irá reponiendo gradualmente. En esta sección se analizarán dos nuevas propiedades.
Definición 1.
La función y = f(x), x є X, se llama incluso si para cualquier valor x del conjunto X se cumple la igualdad f (-x) = f (x).
Definición 2.
La función y = f(x), x є X, se llama impar si para cualquier valor x del conjunto X se cumple la igualdad f (-x) = -f (x).
Demuestre que y = x 4 es una función par.
Solución. Tenemos: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Pero(-x) 4 = x 4. Esto significa que para cualquier x se cumple la igualdad f(-x) = f(x), es decir la función es par.
De manera similar, se puede demostrar que las funciones y - x 2, y = x 6, y - x 8 son pares.
Demuestre que y = x 3 ~ una función impar.
Solución. Tenemos: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Pero (-x) 3 = -x 3. Esto significa que para cualquier x se cumple la igualdad f (-x) = -f (x), es decir la función es impar.
De manera similar, se puede demostrar que las funciones y = x, y = x 5, y = x 7 son impares.
Ya hemos visto más de una vez que los nuevos términos en matemáticas suelen tener un origen "terrenal", es decir, se pueden explicar de alguna manera. Este es el caso tanto de funciones pares como impares. Ver: y - x 3, y = x 5, y = x 7 - funciones impares, mientras que y = x 2, y = x 4, y = x 6 son funciones pares. Y en general, para cualquier función de la forma y = x" (a continuación estudiaremos específicamente estas funciones), donde n es un número natural, podemos concluir: si n es un número impar, entonces la función y = x" es extraño; Si n es un número par, entonces la función y = xn es par.
También hay funciones que no son ni pares ni impares. Tal es, por ejemplo, la función y = 2x + 3. De hecho, f(1) = 5, y f (-1) = 1. Como puede ver, aquí, por lo tanto, ni la identidad f(-x) = f ( x), ni la identidad f(-x) = -f(x).
Entonces, una función puede ser par, impar o ninguna de las dos.
Estudiar la cuestión de si función dada Par o impar se suele denominar estudio de una función de paridad.
Las definiciones 1 y 2 se refieren a los valores de la función en los puntos x y -x. Esto supone que la función está definida tanto en el punto x como en el punto -x. Esto significa que el punto -x pertenece al dominio de definición de la función simultáneamente con el punto x. Si un conjunto numérico X, junto con cada uno de sus elementos x, también contiene el elemento opuesto -x, entonces X se llama conjunto simétrico. Digamos que (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) son conjuntos simétricos, mientras que )