Resolver funciones pares e impares. Gráfica de funciones pares e impares

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¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

Objetivos:

formar el concepto de paridad y rareza de una función, enseñar la capacidad de determinar y utilizar estas propiedades cuando investigación de funciones, tramando;
desarrollar la actividad creativa de los estudiantes, pensamiento lógico, capacidad de comparar, generalizar;
cultivar el trabajo duro y la cultura matemática; desarrollar habilidades de comunicación .

Equipo: instalación multimedia, pizarra interactiva, folletos.

Formas de trabajo: frontal y grupal con elementos de actividades de búsqueda e investigación.

Fuentes de información:

1. Álgebra novena clase A.G. Mordkovich. Libro de texto.
2. Álgebra noveno grado A.G. Mordkovich. Libro de problemas.
3. Álgebra noveno grado. Tareas para el aprendizaje y desarrollo de los estudiantes. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

PROGRESO DE LA LECCIÓN

1. Momento organizacional

Establecer metas y objetivos para la lección.

2. Revisar la tarea

No. 10.17 (libro de problemas de noveno grado. A.G. Mordkovich).

A) en = F(incógnita), F(incógnita) =

b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2. mi( F) = [– 3; + ∞)
3. F(incógnita) = 0 en incógnita ~ 0,4
4. F(incógnita) >0 en incógnita > 0,4 ; F(incógnita) < 0 при – 2 < incógnita < 0,4.
5. La función aumenta con incógnita € [– 2; + ∞)
6. La función está limitada desde abajo.
7. en naím = – 3, en naib no existe
8. La función es continua.

(¿Ha utilizado un algoritmo de exploración de funciones?) Deslizar.

2. Revisemos la tabla que se le pidió en la diapositiva.

Completa la tabla
	Dominio de definición	Ceros de función	Intervalos de constancia de signos.		Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico con Oy.
	Dominio de definición	Ceros de función
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualización de conocimientos

– Se dan funciones.
– Especificar el alcance de la definición de cada función.
– Compare el valor de cada función para cada par de valores de argumento: 1 y – 1; 2 y – 2.
– ¿Para cuál de estas funciones en el dominio de definición se cumplen las igualdades? F(– incógnita) = F(incógnita), F(– incógnita) = – F(incógnita)? (ingrese los datos obtenidos en la tabla) Diapositiva

		F(1) y F(– 1)	F(2) y F(– 2)	gráficos	F(– incógnita) = –F(incógnita)	F(– incógnita) = F(incógnita)
1. F(incógnita) =
2. F(incógnita) = incógnita 3
3. F(incógnita) = \| incógnita \|
4.F(incógnita) = 2incógnita – 3
5. F(incógnita) =	incógnita ≠ 0
6. F(incógnita)=	incógnita > –1		y no definido

4. Nuevo material

– Mientras hacíamos este trabajo, muchachos, identificamos otra propiedad de la función, desconocida para ustedes, pero no menos importante que las demás: esta es la uniformidad y la imparidad de la función. Escriba el tema de la lección: "Funciones pares e impares", nuestra tarea es aprender a determinar la uniformidad y la imparidad de una función, descubrir el significado de esta propiedad en el estudio de funciones y trazar gráficas.
Entonces, busquemos las definiciones en el libro de texto y leamos (p. 110) . Deslizar

Def. 1 función en = F (incógnita), definido en el conjunto X se llama incluso, si por algún valor incógnitaЄ X se ejecuta igualdad f(–x)= f(x). Dar ejemplos.

Def. 2 funciones y = f(x), definido en el conjunto X se llama extraño, si por algún valor incógnitaЄ X se cumple la igualdad f(–х)= –f(х). Dar ejemplos.

¿Dónde encontramos los términos "par" e "impar"?
¿Cuál de estas funciones crees que será par? ¿Por qué? ¿Cuáles son extraños? ¿Por qué?
Para cualquier función de la forma en= xn, Dónde norte– un número entero, se puede argumentar que la función es impar cuando norte– impar y la función es par cuando norte- incluso.
– Ver funciones en= y en = 2incógnita– 3 no son ni pares ni impares, porque las igualdades no se satisfacen F(– incógnita) = – F(incógnita), F(– incógnita) = F(incógnita)

El estudio de si una función es par o impar se llama estudio de la paridad de una función. Deslizar

En las definiciones 1 y 2 estábamos hablando de los valores de la función en x y – x, por lo que se supone que la función también está definida en el valor incógnita, y en – incógnita.

Def 3. Si conjunto de números junto con cada uno de sus elementos x también contiene el elemento opuesto –x, entonces el conjunto incógnita llamado conjunto simétrico.

Ejemplos:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) son conjuntos simétricos y , [–5;4] son asimétricos.

– ¿Las funciones pares tienen un dominio de definición que es un conjunto simétrico? ¿Los raros?
– Si D( F) es un conjunto asimétrico, entonces ¿cuál es la función?
– Así, si la función en = F(incógnita) – par o impar, entonces su dominio de definición es D( F) es un conjunto simétrico. ¿Es cierta la afirmación inversa: si el dominio de definición de una función es un conjunto simétrico, entonces es par o impar?
– Esto significa que la presencia de un conjunto simétrico del dominio de definición es una condición necesaria, pero no suficiente.
– Entonces, ¿cómo estudiar una función de paridad? Intentemos crear un algoritmo.

Deslizar

Algoritmo para estudiar una función de paridad.

1. Determinar si el dominio de definición de la función es simétrico. Si no, entonces la función no es par ni impar. En caso afirmativo, vaya al paso 2 del algoritmo.

2. Escribe una expresión para F(–incógnita).

3. Comparar F(–incógnita).Y F(incógnita):

Si F(–incógnita).= F(incógnita), entonces la función es par;
Si F(–incógnita).= – F(incógnita), entonces la función es impar;
Si F(–incógnita) ≠ F(incógnita) Y F(–incógnita) ≠ –F(incógnita), entonces la función no es par ni impar.

Ejemplos:

Examinar la función a) para determinar la paridad en=x5+; b) en= ; V) en= .

Solución.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), conjunto simétrico.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => función h(x) = x 5 + impar.

segundo) y =,

en = F(incógnita), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), un conjunto asimétrico, lo que significa que la función no es ni par ni impar.

V) F(incógnita) = , y = f (x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opción 2

1. ¿Es simétrico el conjunto dado: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Examine la función de paridad:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. En la figura. se ha construido un gráfico en = F(incógnita), para todos incógnita, satisfaciendo la condición incógnita? 0.
Grafica la función en = F(incógnita), Si en = F(incógnita) es una función par.

3. En la figura. se ha construido un gráfico en = F(incógnita), para todo x que cumpla la condición x? 0.
Grafica la función en = F(incógnita), Si en = F(incógnita) es una función impar.

Revisión por pares en la diapositiva.

6. Tarea: No. 11.11, 11.21, 11.22;

Prueba del significado geométrico de la propiedad de paridad.

***(Asignación de la opción Examen Unificado del Estado).

1. La función impar y = f(x) se define en toda la recta numérica. Para cualquier valor no negativo de la variable x, el valor de esta función coincide con el valor de la función g( incógnita) = incógnita(incógnita + 1)(incógnita + 3)(incógnita– 7). Encuentra el valor de la función h( incógnita) = en incógnita = 3.

7. Resumiendo

Para hacer esto, use papel cuadriculado o una calculadora gráfica. Seleccione cualquier cantidad de valores numéricos para la variable independiente x (\displaystyle x) y conéctelos a la función para calcular los valores de la variable dependiente y (\displaystyle y). Traza las coordenadas encontradas de los puntos en el plano de coordenadas y luego conecta estos puntos para construir una gráfica de la función.

Sustituya los valores numéricos positivos x (\displaystyle x) y los valores numéricos negativos correspondientes en la función. Por ejemplo, dada la función. Sustituya los siguientes valores x (\displaystyle x) en él:
- f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1, 3) (\displaystyle(1,3)) .
- f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Obtuvimos un punto con coordenadas (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
- f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Obtuvimos un punto con coordenadas (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
- f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Obtuvimos un punto con coordenadas (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .

Compruebe si la gráfica de la función es simétrica con respecto al eje Y. Por simetría nos referimos a la imagen especular de la gráfica con respecto al eje y. Si la parte de la gráfica a la derecha del eje Y (valores positivos de la variable independiente) es la misma que la parte de la gráfica a la izquierda del eje Y (valores negativos de la variable independiente ), la gráfica es simétrica con respecto al eje Y. Si la función es simétrica con respecto al eje y, la función es par.

Puedes comprobar la simetría del gráfico utilizando puntos individuales. Si el valor de y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) coincide con el valor de y (\displaystyle y) que coincide con el valor de − x (\displaystyle -x) , la función es par. En nuestro ejemplo con la función f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) obtuvimos las siguientes coordenadas de los puntos:
- (1.3) y (-1.3)
- (2.9) y (-2.9)
Tenga en cuenta que para x=1 y x=-1 la variable dependiente es y=3, y para x=2 y x=-2 la variable dependiente es y=9. Por tanto la función es par. De hecho, para determinar con precisión la forma de la función, es necesario considerar más de dos puntos, pero el método descrito es una buena aproximación.

Comprueba si la gráfica de la función es simétrica con respecto al origen.

El origen es el punto de coordenadas (0,0). La simetría con respecto al origen significa que un valor positivo de y (\displaystyle y) (para un valor positivo de x (\displaystyle x) ) corresponde a un valor negativo de (\displaystyle y) (\displaystyle y) (para un valor negativo de x (\displaystyle x) ), y viceversa. Las funciones impares tienen simetría con respecto al origen.
- Si sustituyes varios valores positivos y negativos correspondientes de x (\displaystyle x) en la función, los valores de y (\displaystyle y) diferirán en signo. Por ejemplo, dada una función f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Sustituye varios valores de x (\displaystyle x) en él:
- f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Obtuvimos un punto con coordenadas (1,2).
- f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
- f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10). Recibimos un punto con coordenadas (-2,-10).

Comprueba si la gráfica de la función tiene alguna simetría.

El último tipo de función es una función cuya gráfica no tiene simetría, es decir, no existe una imagen especular tanto con respecto al eje de ordenadas como con respecto al origen. Por ejemplo, dada la función.
- Sustituye varios valores positivos y negativos correspondientes de x (\displaystyle x) en la función:
- f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ). Obtuvimos un punto con coordenadas (1,4).
- f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2). Obtuvimos un punto con coordenadas (-1,-2).
- f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ). Obtuvimos un punto con coordenadas (2,10).
f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2). Obtuvimos un punto con coordenadas (2,-2).
Según los resultados obtenidos, no existe simetría. Los valores de y (\displaystyle y) para valores opuestos de x (\displaystyle x) no son iguales y no son opuestos. Por tanto la función no es ni par ni impar.

Tenga en cuenta que la función f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) se puede escribir de la siguiente manera: f (x) = (x + 1 ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Cuando se escribe de esta forma, la función parece par porque tiene un exponente par. Pero este ejemplo demuestra que el tipo de función no se puede determinar rápidamente si la variable independiente está entre paréntesis. En este caso, es necesario abrir los paréntesis y analizar los exponentes obtenidos.

¿Cómo insertar fórmulas matemáticas en un sitio web? Si alguna vez necesita agregar una o dos fórmulas matemáticas a una página web, la forma más sencilla de hacerlo es como se describe en el artículo: las fórmulas matemáticas se insertan fácilmente en el sitio en forma de imágenes que Wolfram Alpha genera automáticamente. . Además de la simplicidad, este método universal

ayudará a mejorar la visibilidad del sitio web en los motores de búsqueda. Ha estado funcionando durante mucho tiempo (y creo que funcionará para siempre), pero ya está moralmente desactualizado.

Hay dos maneras de comenzar a usar MathJax: (1) usando un código simple, puede conectar rápidamente un script de MathJax a su sitio, que estará en momento correcto cargar automáticamente desde un servidor remoto (lista de servidores); (2) descargue el script MathJax desde un servidor remoto a su servidor y conéctelo a todas las páginas de su sitio. El segundo método, más complejo y que requiere más tiempo, acelerará la carga de las páginas de su sitio, y si el servidor principal MathJax deja de estar disponible temporalmente por algún motivo, esto no afectará su propio sitio de ninguna manera. A pesar de estas ventajas, elegí el primer método porque es más sencillo, más rápido y no requiere conocimientos técnicos. Siga mi ejemplo y en solo 5 minutos podrá utilizar todas las funciones de MathJax en su sitio.

Puede conectar el script de la biblioteca MathJax desde un servidor remoto usando dos opciones de código tomadas del sitio web principal de MathJax o de la página de documentación:

Una de estas opciones de código debe copiarse y pegarse en el código de su página web, preferiblemente entre etiquetas o inmediatamente después de la etiqueta. Según la primera opción, MathJax se carga más rápido y ralentiza menos la página. Pero la segunda opción monitorea y carga automáticamente las últimas versiones de MathJax. Si inserta el primer código, deberá actualizarlo periódicamente. Si inserta el segundo código, las páginas se cargarán más lentamente, pero no necesitará monitorear constantemente las actualizaciones de MathJax.

La forma más sencilla de conectar MathJax es en Blogger o WordPress: en el panel de control del sitio, agregue un widget diseñado para insertar código JavaScript de terceros, copie la primera o segunda versión del código de descarga presentado anteriormente y coloque el widget más cerca. al principio de la plantilla (por cierto, esto no es necesario en absoluto, ya que el script MathJax se carga de forma asincrónica). Eso es todo. Ahora aprenda la sintaxis de marcado de MathML, LaTeX y ASCIIMathML y estará listo para insertar fórmulas matemáticas en las páginas web de su sitio.

Cualquier fractal se construye de acuerdo con una determinada regla, que se aplica secuencialmente un número ilimitado de veces. Cada uno de esos momentos se denomina iteración.

El algoritmo iterativo para construir una esponja de Menger es bastante simple: el cubo original de lado 1 se divide por planos paralelos a sus caras en 27 cubos iguales. Se eliminan un cubo central y 6 cubos adyacentes a lo largo de las caras. El resultado es un conjunto formado por los 20 cubos más pequeños restantes. Haciendo lo mismo con cada uno de estos cubos, obtenemos un conjunto formado por 400 cubos más pequeños. Siguiendo este proceso hasta el infinito, obtenemos una esponja de Menger.

La dependencia de una variable y de una variable x, en la que cada valor de x corresponde a un único valor de y se llama función. Para la designación utilice la notación y=f(x). Cada función tiene una serie de propiedades básicas, como monotonicidad, paridad, periodicidad y otras.

Eche un vistazo más de cerca a la propiedad de paridad.

Se llama a una función y=f(x) incluso si satisface las dos condiciones siguientes:

2. El valor de la función en el punto x, perteneciente al dominio de definición de la función, debe ser igual al valor de la función en el punto -x. Es decir, para cualquier punto x, se debe satisfacer la siguiente igualdad desde el dominio de definición de la función: f(x) = f(-x).

Cronograma incluso función

Si trazas la gráfica de una función par, será simétrica con respecto al eje Oy.

Por ejemplo, la función y=x^2 es par. Comprobémoslo. El dominio de definición es todo el eje numérico, lo que significa que es simétrico con respecto al punto O.

Tomemos un x=3 arbitrario. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Por lo tanto f(x) = f(-x). Por tanto, se cumplen ambas condiciones, lo que significa que la función es par. A continuación se muestra una gráfica de la función y=x^2.

La figura muestra que la gráfica es simétrica con respecto al eje Oy.

Gráfica de una función impar

Una función y=f(x) se llama impar si satisface las dos condiciones siguientes:

1. El dominio de definición de una función dada debe ser simétrico con respecto al punto O. Es decir, si algún punto a pertenece al dominio de definición de la función, entonces el punto correspondiente -a también debe pertenecer al dominio de definición. de la función dada.

2. Para cualquier punto x, se debe satisfacer la siguiente igualdad desde el dominio de definición de la función: f(x) = -f(x).

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al punto O, el origen de las coordenadas. Por ejemplo, la función y=x^3 es impar. Comprobémoslo. El dominio de definición es todo el eje numérico, lo que significa que es simétrico con respecto al punto O.

Tomemos un x=2 arbitrario. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Por lo tanto f(x) = -f(x). Por tanto, se cumplen ambas condiciones, lo que significa que la función es impar. A continuación se muestra una gráfica de la función y=x^3.

La figura muestra claramente que la función impar y=x^3 es simétrica con respecto al origen.