Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos raíces. Resolver ecuaciones cuadráticas. Cómo resolver una ecuación cuadrática completa

Espero que después de estudiar este artículo, aprendas a encontrar las raíces del completo ecuación cuadrática.

Usando el discriminante solo se resuelven ecuaciones cuadráticas completas; para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas se utilizan otros métodos, que encontrarás en el artículo “Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas”.

¿Qué ecuaciones cuadráticas se llaman completas? Este ecuaciones de la forma ax 2 + b x + c = 0, donde los coeficientes a, b y c no son iguales a cero. Entonces, para resolver una ecuación cuadrática completa, necesitamos calcular el discriminante D.

D = b 2 – 4ac.

Dependiendo del valor del discriminante anotaremos la respuesta.

Si el discriminante es un número negativo (D< 0),то корней нет.

Si el discriminante igual a cero, entonces x = (-b)/2a. Cuando el discriminante es un número positivo (D > 0),

entonces x 1 = (-b - √D)/2a, y x 2 = (-b + √D)/2a.

Por ejemplo. Resuelve la ecuación x2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Respuesta: 2.

Resuelva la ecuación 2 x2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Respuesta: sin raíces.

Resuelva la ecuación 2 x2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Respuesta: – 3,5; 1.

Entonces, imaginemos la solución de ecuaciones cuadráticas completas usando el diagrama de la Figura 1.

Usando estas fórmulas puedes resolver cualquier ecuación cuadrática completa. Sólo debes tener cuidado de la ecuación se escribió como un polinomio de la forma estándar

A x2 + bx + c, de lo contrario puedes cometer un error. Por ejemplo, al escribir la ecuación x + 3 + 2x 2 = 0, puedes decidir erróneamente que

a = 1, b = 3 y c = 2. Entonces

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 y entonces la ecuación tiene dos raíces. Y esto no es cierto. (Ver solución al ejemplo 2 anterior).

Por lo tanto, si la ecuación no se escribe como un polinomio de la forma estándar, primero se debe escribir la ecuación cuadrática completa como un polinomio de la forma estándar (el monomio con mayor exponente debe ir primero, es decir A x2 , entonces con menos – bx y luego un miembro gratis Con.

Al resolver una ecuación cuadrática reducida y una ecuación cuadrática con un coeficiente par en el segundo término, puedes usar otras fórmulas. Conozcamos estas fórmulas. Si en una ecuación cuadrática completa el segundo término tiene un coeficiente par (b = 2k), entonces puedes resolver la ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 2.

Una ecuación cuadrática completa se llama reducida si el coeficiente en x2 igual a uno y la ecuación tomará la forma x 2 + px + q = 0. Dicha ecuación se puede dar como solución o se puede obtener dividiendo todos los coeficientes de la ecuación por el coeficiente A, de pie en x2 .

La figura 3 muestra un diagrama para resolver el cuadrado reducido.
ecuaciones. Veamos un ejemplo de la aplicación de las fórmulas comentadas en este artículo.

Ejemplo. Resuelve la ecuación

3x2 + 6x – 6 = 0.

Resolvamos esta ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Respuesta: –1 – √3; –1 + √3

Puedes notar que el coeficiente de x en esta ecuación es un número par, es decir, b = 6 o b = 2k, de donde k = 3. Luego intentemos resolver la ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la figura D. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Respuesta: –1 – √3; –1 + √3. Al notar que todos los coeficientes en esta ecuación cuadrática son divisibles por 3 y al realizar la división, obtenemos la ecuación cuadrática reducida x 2 + 2x – 2 = 0 Resuelve esta ecuación usando las fórmulas para la ecuación cuadrática reducida
ecuaciones figura 3.

re 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Respuesta: –1 – √3; –1 + √3.

Como vemos, al resolver esta ecuación por varias fórmulas Recibimos la misma respuesta. Por lo tanto, habiendo dominado a fondo las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1, siempre podrás resolver cualquier ecuación cuadrática completa.

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Seguimos estudiando el tema " resolviendo ecuaciones" Ya nos hemos familiarizado con las ecuaciones lineales y estamos pasando a familiarizarnos con ecuaciones cuadráticas.

Primero veremos qué es una ecuación cuadrática y cómo se escribe en vista general y dar definiciones relacionadas. Después de esto, usaremos ejemplos para examinar en detalle cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas incompletas. A continuación, pasaremos a resolver ecuaciones completas, obtendremos la fórmula de la raíz, nos familiarizaremos con el discriminante de una ecuación cuadrática y consideraremos soluciones a ejemplos típicos. Finalmente, tracemos las conexiones entre las raíces y los coeficientes.

Navegación de páginas.

¿Qué es una ecuación cuadrática? sus tipos

Primero debes entender claramente qué es una ecuación cuadrática. Por lo tanto, es lógico iniciar una conversación sobre ecuaciones cuadráticas con la definición de ecuación cuadrática, así como las definiciones relacionadas. Después de esto, puedes considerar los principales tipos de ecuaciones cuadráticas: reducidas y no reducidas, así como ecuaciones completas e incompletas.

Definición y ejemplos de ecuaciones cuadráticas.

Definición.

Ecuación cuadrática es una ecuación de la forma a x 2 +b x+c=0, donde x es una variable, a, byc son algunos números y a es distinto de cero.

Digamos de inmediato que las ecuaciones cuadráticas a menudo se denominan ecuaciones de segundo grado. Esto se debe a que la ecuación cuadrática es ecuación algebraica segundo grado.

La definición dada nos permite dar ejemplos de ecuaciones cuadráticas. Entonces 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, etc. Estas son ecuaciones cuadráticas.

Definición.

Números a, b y c se llaman coeficientes de la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0, y el coeficiente a se llama el primero, o el más alto, o el coeficiente de x 2, b es el segundo coeficiente, o el coeficiente de x, y c es el término libre .

Por ejemplo, tomemos una ecuación cuadrática de la forma 5 x 2 −2 x −3=0, aquí el coeficiente principal es 5, el segundo coeficiente es igual a −2 y el término libre es igual a −3. Tenga en cuenta que cuando los coeficientes b y/o c son negativos, como en el ejemplo que acabamos de dar, la forma corta de la ecuación cuadrática es 5 x 2 −2 x−3=0, en lugar de 5 x 2 +(−2). ·x+(−3)=0 .

Vale la pena señalar que cuando los coeficientes a y/o b son iguales a 1 o −1, normalmente no están presentes explícitamente en la ecuación cuadrática, lo que se debe a las peculiaridades de su escritura. Por ejemplo, en la ecuación cuadrática y 2 −y+3=0 el coeficiente principal es uno y el coeficiente de y es igual a −1.

Ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas.

Dependiendo del valor del coeficiente principal, se distinguen ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas. Demos las definiciones correspondientes.

Definición.

Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente principal es 1 se llama dada la ecuación cuadrática. De lo contrario, la ecuación cuadrática es intacto.

De acuerdo a esta definición, ecuaciones cuadráticas x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, etc. – dado, en cada uno de ellos el primer coeficiente es igual a uno. A 5 x 2 −x−1=0,etc. - ecuaciones cuadráticas no reducidas, sus coeficientes principales son diferentes de 1.

De cualquier ecuación cuadrática no reducida, dividiendo ambos lados por el coeficiente principal, se puede pasar al reducido. Esta acción es una transformación equivalente, es decir, la ecuación cuadrática reducida obtenida de esta manera tiene las mismas raíces que la ecuación cuadrática no reducida original o, como ésta, no tiene raíces.

Veamos un ejemplo de cómo se realiza la transición de una ecuación cuadrática no reducida a una reducida.

Ejemplo.

De la ecuación 3 x 2 +12 x−7=0, pase a la ecuación cuadrática reducida correspondiente.

Solución.

Solo necesitamos dividir ambos lados de la ecuación original por el coeficiente principal 3, que no es cero, para que podamos realizar esta acción. Tenemos (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, que es lo mismo, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, y luego (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, de donde . Así obtuvimos la ecuación cuadrática reducida, que es equivalente a la original.

Respuesta:

Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas.

La definición de ecuación cuadrática contiene la condición a≠0. Esta condición es necesaria para que la ecuación a x 2 + b x + c = 0 sea cuadrática, ya que cuando a = 0 en realidad se convierte en una ecuación lineal de la forma b x + c = 0.

En cuanto a los coeficientes b y c, pueden ser iguales a cero, tanto individualmente como juntos. En estos casos, la ecuación cuadrática se llama incompleta.

Definición.

La ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0 se llama incompleto, si al menos uno de los coeficientes b, c es igual a cero.

A su momento

Definición.

Ecuación cuadrática completa es una ecuación en la que todos los coeficientes son diferentes de cero.

Estos nombres no fueron dados por casualidad. Esto quedará claro en las siguientes discusiones.

Si el coeficiente b es cero, entonces la ecuación cuadrática toma la forma a·x 2 +0·x+c=0, y es equivalente a la ecuación a·x 2 +c=0. Si c=0, es decir, la ecuación cuadrática tiene la forma a·x 2 +b·x+0=0, entonces se puede reescribir como a·x 2 +b·x=0. Y con b=0 y c=0 obtenemos la ecuación cuadrática a·x 2 =0. Las ecuaciones resultantes difieren de la ecuación cuadrática completa en que sus lados izquierdos no contienen ni un término con la variable x, ni un término libre, ni ambos. De ahí su nombre: ecuaciones cuadráticas incompletas.

Entonces las ecuaciones x 2 +x+1=0 y −2 x 2 −5 x+0.2=0 son ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas, y x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 son ecuaciones cuadráticas incompletas.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

De la información del párrafo anterior se desprende que existe tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

a·x 2 =0, le corresponden los coeficientes b=0 yc=0;
a x 2 +c=0 cuando b=0 ;
y a·x 2 +b·x=0 cuando c=0.

Examinemos en orden cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas de cada uno de estos tipos.

a x 2 = 0

Comencemos resolviendo ecuaciones cuadráticas incompletas en las que los coeficientes b y c son iguales a cero, es decir, con ecuaciones de la forma a x 2 =0. La ecuación a·x 2 =0 es equivalente a la ecuación x 2 =0, que se obtiene de la original dividiendo ambas partes por un número a distinto de cero. Obviamente, la raíz de la ecuación x 2 =0 es cero, ya que 0 2 =0. Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que se explica por el hecho de que para cualquier número p distinto de cero se cumple la desigualdad p 2 >0, lo que significa que para p≠0 la igualdad p 2 =0 nunca se logra.

Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a·x 2 =0 tiene una raíz única x=0.

Como ejemplo, damos la solución a la ecuación cuadrática incompleta −4 x 2 =0. Es equivalente a la ecuación x 2 =0, su única raíz es x=0, por lo tanto, la ecuación original tiene una sola raíz cero.

Una solución breve en este caso se puede escribir de la siguiente manera:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Ahora veamos cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas incompletas en las que el coeficiente b es cero y c≠0, es decir, ecuaciones de la forma a x 2 +c=0. Sabemos que mover un término de un lado de la ecuación al otro con el signo opuesto, así como dividir ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero, da una ecuación equivalente. Por tanto, podemos realizar las siguientes transformaciones equivalentes de la ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0:

mueva c al lado derecho, lo que da la ecuación a x 2 = −c,
y dividimos ambos lados por a, obtenemos .

La ecuación resultante nos permite sacar conclusiones sobre sus raíces. Dependiendo de los valores de a y c, el valor de la expresión puede ser negativo (por ejemplo, si a=1 y c=2, entonces ) o positivo (por ejemplo, si a=−2 y c=6, entonces ), no es cero , ya que por condición c≠0. Veamos los casos por separado.

Si , entonces la ecuación no tiene raíces. Esta afirmación se deriva del hecho de que el cuadrado de cualquier número es un número no negativo. De esto se deduce que cuando , entonces para cualquier número p la igualdad no puede ser verdadera.

Si , entonces la situación con las raíces de la ecuación es diferente. En este caso, si recordamos acerca de , entonces la raíz de la ecuación inmediatamente resulta obvia: es el número, ya que . Es fácil adivinar que el número también es la raíz de la ecuación. Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que puede demostrarse, por ejemplo, mediante contradicción. Vamos a hacerlo.

Denotemos las raíces de la ecuación que acabamos de anunciar como x 1 y −x 1. Supongamos que la ecuación tiene una raíz más x 2, diferente de las raíces indicadas x 1 y −x 1. Se sabe que sustituir sus raíces en una ecuación en lugar de x convierte la ecuación en una igualdad numérica correcta. Para x 1 y −x 1 tenemos , y para x 2 tenemos . Las propiedades de las igualdades numéricas nos permiten realizar restas término por término de valores verdaderos. igualdades numéricas, entonces resta partes relevantes igualdades y da x 1 2 −x 2 2 =0. Las propiedades de las operaciones con números nos permiten reescribir la igualdad resultante como (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Sabemos que el producto de dos números es igual a cero si y sólo si al menos uno de ellos es igual a cero. Por lo tanto, de la igualdad resultante se deduce que x 1 −x 2 =0 y/o x 1 +x 2 =0, que es lo mismo, x 2 =x 1 y/o x 2 =−x 1. Entonces llegamos a una contradicción, ya que al principio dijimos que la raíz de la ecuación x 2 es diferente de x 1 y −x 1. Esto prueba que la ecuación no tiene más raíces que y .

Resumamos la información de este párrafo. La ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0 es equivalente a la ecuación que

no tiene raíces si,
tiene dos raíces y , si .

Consideremos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a·x 2 +c=0.

Comencemos con la ecuación cuadrática 9 x 2 +7=0. Después de mover el término libre al lado derecho de la ecuación, tomará la forma 9 x 2 = −7. Dividiendo ambos lados de la ecuación resultante por 9, llegamos a . Dado que el lado derecho tiene un número negativo, esta ecuación no tiene raíces, por lo tanto, la ecuación cuadrática incompleta original 9 x 2 +7 = 0 no tiene raíces.

Resolvamos otra ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0. Movemos el nueve hacia el lado derecho: −x 2 =−9. Ahora dividimos ambos lados por −1, obtenemos x 2 =9. En el lado derecho hay un número positivo, del cual concluimos que o . Luego escribimos la respuesta final: la ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0 tiene dos raíces x=3 o x=−3.

ax2+bx=0

Queda por abordar la solución del último tipo de ecuaciones cuadráticas incompletas para c=0. Las ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a x 2 + b x = 0 te permiten resolver método de factorización. Evidentemente podemos, ubicado en el lado izquierdo de la ecuación, para lo cual basta con sacar de paréntesis el factor común x. Esto nos permite pasar de la ecuación cuadrática incompleta original a una ecuación equivalente de la forma x·(a·x+b)=0. Y esta ecuación es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones x=0 y a·x+b=0, la última de las cuales es lineal y tiene una raíz x=−b/a.

Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a·x 2 +b·x=0 tiene dos raíces x=0 y x=−b/a.

Para consolidar el material, analizaremos la solución a un ejemplo específico.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

Quitando x de los paréntesis se obtiene la ecuación. Es equivalente a dos ecuaciones x=0 y . Resolviendo lo que tenemos ecuación lineal: y dividiendo el número mixto por fracción común, encontramos . Por tanto, las raíces de la ecuación original son x=0 y .

Después de adquirir la práctica necesaria, las soluciones a tales ecuaciones se pueden escribir brevemente:

Respuesta:

x=0 , .

Discriminante, fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Para resolver ecuaciones cuadráticas, existe una fórmula raíz. vamos a escribirlo fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática: , Dónde D=b 2 −4 a c- llamado discriminante de una ecuación cuadrática. La entrada esencialmente significa eso.

Es útil saber cómo se derivó la fórmula de la raíz y cómo se utiliza para encontrar las raíces de ecuaciones cuadráticas. Resolvamos esto.

Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Necesitamos resolver la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0. Realicemos algunas transformaciones equivalentes:

Podemos dividir ambos lados de esta ecuación por un número a distinto de cero, lo que da como resultado la siguiente ecuación cuadrática.
Ahora seleccione un cuadrado completo en su lado izquierdo: . Después de esto, la ecuación tomará la forma.
En esta etapa, es posible transferir los dos últimos términos al lado derecho con el signo opuesto, tenemos .
Y transformemos también la expresión del lado derecho: .

Como resultado, llegamos a una ecuación que es equivalente a la ecuación cuadrática original a·x 2 +b·x+c=0.

Ya hemos resuelto ecuaciones de forma similar en los párrafos anteriores, cuando las examinamos. Esto nos permite sacar las siguientes conclusiones con respecto a las raíces de la ecuación:

si , entonces la ecuación no tiene soluciones reales;
si , entonces la ecuación tiene la forma , por lo tanto , desde la cual su única raíz es visible;
si , entonces o , que es lo mismo que o , es decir, la ecuación tiene dos raíces.

Por tanto, la presencia o ausencia de raíces de la ecuación, y por tanto de la ecuación cuadrática original, depende del signo de la expresión del lado derecho. A su vez, el signo de esta expresión viene determinado por el signo del numerador, ya que el denominador 4·a 2 es siempre positivo, es decir, por el signo de la expresión b 2 −4·a·c. Esta expresión b 2 −4 a c se llamó discriminante de una ecuación cuadrática y designado por la letra D. A partir de aquí, la esencia del discriminante es clara: en función de su valor y signo, concluyen si la ecuación cuadrática tiene raíces reales y, de ser así, cuál es su número: uno o dos.

Volvamos a la ecuación y reescribamosla usando la notación discriminante: . Y sacamos conclusiones:

si D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
si D=0, entonces esta ecuación tiene una raíz única;
finalmente, si D>0, entonces la ecuación tiene dos raíces o, que se pueden reescribir en la forma o, y luego de expandir y llevar las fracciones a un denominador común obtenemos.

Entonces derivamos las fórmulas para las raíces de la ecuación cuadrática, se ven así, donde el discriminante D se calcula mediante la fórmula D=b 2 −4·a·c.

Con su ayuda, con un discriminante positivo, puedes calcular ambas raíces reales de una ecuación cuadrática. Cuando el discriminante es igual a cero, ambas fórmulas dan el mismo valor de la raíz, correspondiente a la única solución ecuación cuadrática. Y cuando discriminante negativo Cuando intentamos utilizar la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, nos enfrentamos a extraer la raíz cuadrada de un número negativo, lo que nos lleva más allá del alcance del plan de estudios escolar. Con un discriminante negativo, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales, pero tiene un par complejo conjugado raíces, que se pueden encontrar usando las mismas fórmulas de raíces que obtuvimos.

Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas usando fórmulas de raíz.

En la práctica, al resolver ecuaciones cuadráticas, puedes usar inmediatamente la fórmula raíz para calcular sus valores. Pero esto está más relacionado con encontrar raíces complejas.

Sin embargo, en un curso de álgebra escolar normalmente no hablamos de raíces complejas, sino reales de una ecuación cuadrática. En este caso, es recomendable, antes de utilizar las fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática, encontrar primero el discriminante, asegurarse de que no sea negativo (de lo contrario, podemos concluir que la ecuación no tiene raíces reales), y solo entonces calcular los valores de las raíces.

El razonamiento anterior nos permite escribir algoritmo para resolver una ecuación cuadrática. Para resolver la ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0, necesitas:

utilizando la fórmula discriminante D=b 2 −4·a·c, calcule su valor;
concluir que una ecuación cuadrática no tiene raíces reales si el discriminante es negativo;
calcular la única raíz de la ecuación usando la fórmula si D=0;
encontrar dos raíces reales de una ecuación cuadrática usando la fórmula de la raíz si el discriminante es positivo.

Aquí solo observamos que si el discriminante es igual a cero, también puedes usar la fórmula que dará el mismo valor que .

Puede pasar a ejemplos de uso del algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Consideremos soluciones a tres ecuaciones cuadráticas con un discriminante positivo, negativo y cero. Habiendo descubierto su solución, por analogía será posible resolver cualquier otra ecuación cuadrática. Vamos a empezar.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación x 2 +2·x−6=0.

Solución.

En este caso, tenemos los siguientes coeficientes de la ecuación cuadrática: a=1, b=2 y c=−6. Según el algoritmo, primero es necesario calcular el discriminante, para ello sustituimos los a, b y c indicados en la fórmula del discriminante, tenemos; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Como 28>0, es decir, el discriminante es mayor que cero, la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales. Encontrémoslos usando la fórmula raíz, obtenemos , aquí puedes simplificar las expresiones resultantes haciendo moviendo el multiplicador más allá del signo raíz seguido de la reducción de la fracción:

Respuesta:

Pasemos al siguiente ejemplo típico.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación cuadrática −4 x 2 +28 x−49=0 .

Solución.

Empezamos encontrando el discriminante: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Por lo tanto, esta ecuación cuadrática tiene una única raíz, que encontramos como , es decir,

Respuesta:

x=3,5.

Queda por considerar la resolución de ecuaciones cuadráticas con un discriminante negativo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación 5·y 2 +6·y+2=0.

Solución.

Aquí están los coeficientes de la ecuación cuadrática: a=5, b=6 y c=2. Sustituimos estos valores en la fórmula discriminante, tenemos D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. El discriminante es negativo, por lo tanto, esta ecuación cuadrática no tiene raíces reales.

Si necesita indicar raíces complejas, aplicamos la conocida fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática y realizamos acciones con números complejos :

Respuesta:

no existen raíces reales, las raíces complejas son: .

Notemos una vez más que si el discriminante de una ecuación cuadrática es negativo, entonces en la escuela generalmente escriben inmediatamente una respuesta en la que indican que no hay raíces reales y que no se encuentran raíces complejas.

Fórmula raíz para segundos coeficientes pares

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, donde D=b 2 −4·a·c permite obtener una fórmula más apariencia compacta, que permite resolver ecuaciones cuadráticas con un coeficiente par para x (o simplemente con un coeficiente de la forma 2·n, por ejemplo, o 14·ln5=2·7·ln5). Saquémosla.

Digamos que necesitamos resolver una ecuación cuadrática de la forma a x 2 +2 n x+c=0. Encontremos sus raíces usando la fórmula que conocemos. Para ello calculamos el discriminante. D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), y luego usamos la fórmula raíz:

Denotemos la expresión n 2 −a c como D 1 (a veces se denota D "). Entonces la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática considerada con el segundo coeficiente 2 n tomará la forma , donde D 1 =n 2 −a·c.

Es fácil ver que D=4·D 1, o D 1 =D/4. En otras palabras, D 1 es la cuarta parte del discriminante. Está claro que el signo de D 1 es el mismo que el signo de D . Es decir, el signo D 1 también es un indicador de la presencia o ausencia de raíces de una ecuación cuadrática.

Entonces, para resolver una ecuación cuadrática con un segundo coeficiente 2·n, necesitas

Calcular D 1 =n 2 −a·c ;
Si D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Si D 1 =0, entonces calcule la única raíz de la ecuación usando la fórmula;
Si D 1 >0, entonces encuentre dos raíces reales usando la fórmula.

Consideremos resolver el ejemplo usando la fórmula raíz obtenida en este párrafo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación cuadrática 5 x 2 −6 x −32=0 .

Solución.

El segundo coeficiente de esta ecuación se puede representar como 2·(−3). Es decir, puedes reescribir la ecuación cuadrática original en la forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, aquí a=5, n=−3 y c=−32, y calcular la cuarta parte de la discriminante: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Como su valor es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales. Encontrémoslos usando la fórmula raíz adecuada:

Tenga en cuenta que era posible utilizar la fórmula habitual para las raíces de una ecuación cuadrática, pero en este caso sería necesario realizar más trabajo computacional.

Respuesta:

Simplificando la forma de ecuaciones cuadráticas

A veces, antes de empezar a calcular las raíces de una ecuación cuadrática mediante fórmulas, no está de más hacerse la pregunta: “¿Es posible simplificar la forma de esta ecuación?” Acepte que en términos de cálculos será más fácil resolver la ecuación cuadrática 11 x 2 −4 x−6=0 que 1100 x 2 −400 x−600=0.

Normalmente, la simplificación de la forma de una ecuación cuadrática se logra multiplicando o dividiendo ambos lados por un número determinado. Por ejemplo, en el párrafo anterior se pudo simplificar la ecuación 1100 x 2 −400 x −600=0 dividiendo ambos lados entre 100.

Una transformación similar se lleva a cabo con ecuaciones cuadráticas cuyos coeficientes no lo son. En este caso, normalmente dividimos ambos lados de la ecuación por valores absolutos sus coeficientes. Por ejemplo, tomemos la ecuación cuadrática 12 x 2 −42 x+48=0. valores absolutos de sus coeficientes: MCD(12, 42, 48)= MCD(MCD(12, 42), 48)= MCD(6, 48)=6. Dividiendo ambos lados de la ecuación cuadrática original por 6, llegamos a la ecuación cuadrática equivalente 2 x 2 −7 x+8=0.

Y normalmente se multiplican ambos lados de una ecuación cuadrática para deshacerse de los coeficientes fraccionarios. En este caso, la multiplicación se realiza por los denominadores de sus coeficientes. Por ejemplo, si ambos lados de la ecuación cuadrática se multiplican por MCM(6, 3, 1)=6, entonces tomará la forma más simple x 2 +4·x−18=0.

Como conclusión de este punto, observamos que casi siempre eliminan el menos en el coeficiente más alto de una ecuación cuadrática cambiando los signos de todos los términos, lo que corresponde a multiplicar (o dividir) ambos lados por −1. Por ejemplo, normalmente uno pasa de la ecuación cuadrática −2 x 2 −3 x+7=0 a la solución 2 x 2 +3 x−7=0 .

Relación entre raíces y coeficientes de una ecuación cuadrática

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática expresa las raíces de la ecuación a través de sus coeficientes. Con base en la fórmula de la raíz, puedes obtener otras relaciones entre raíces y coeficientes.

Las fórmulas más conocidas y aplicables del teorema de Vieta son de la forma y. En particular, para la ecuación cuadrática dada, la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con el signo opuesto y el producto de las raíces es igual al término libre. Por ejemplo, al observar la forma de la ecuación cuadrática 3 x 2 −7 x + 22 = 0, podemos decir inmediatamente que la suma de sus raíces es igual a 7/3 y el producto de las raíces es igual a 22. /3.

Usando las fórmulas ya escritas, puede obtener otras conexiones entre las raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática. Por ejemplo, puedes expresar la suma de los cuadrados de las raíces de una ecuación cuadrática a través de sus coeficientes: .

Bibliografía.

Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G.Álgebra. Octavo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01155-2.

Las ecuaciones cuadráticas se estudian en octavo grado, por lo que aquí no hay nada complicado. La capacidad de resolverlos es absolutamente necesaria.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde los coeficientes a, byc son números arbitrarios y a ≠ 0.

Antes de estudiar métodos de solución específicos, tenga en cuenta que todas las ecuaciones cuadráticas se pueden dividir en tres clases:

No tener raíces;
Tener exactamente una raíz;
Tienen dos raíces diferentes.

Esta es una diferencia importante entre ecuaciones cuadráticas y lineales, donde la raíz siempre existe y es única. ¿Cómo determinar cuántas raíces tiene una ecuación? Hay algo maravilloso para esto. discriminante.

discriminante

Sea la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0. Entonces el discriminante es simplemente el número D = b 2 − 4ac.

Necesitas saber esta fórmula de memoria. De dónde viene no es importante ahora. Otra cosa es importante: por el signo del discriminante se puede determinar cuántas raíces tiene una ecuación cuadrática. A saber:

Si D< 0, корней нет;
Si D = 0, hay exactamente una raíz;
Si D > 0, habrá dos raíces.

Tenga en cuenta: el discriminante indica el número de raíces, y no sus signos, como por alguna razón mucha gente cree. Echa un vistazo a los ejemplos y lo entenderás todo tú mismo:

Tarea. ¿Cuántas raíces tienen las ecuaciones cuadráticas?

x2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Escribamos los coeficientes de la primera ecuación y encontremos el discriminante:
a = 1, segundo = −8, c = 12;
re = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Entonces el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces diferentes. Analizamos la segunda ecuación de manera similar:
a = 5; segundo = 3; c = 7;
re = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

El discriminante es negativo, no hay raíces. La última ecuación que queda es:
a = 1; segundo = −6; c = 9;
re = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

El discriminante es cero; la raíz será uno.

Tenga en cuenta que los coeficientes se han anotado para cada ecuación. Sí, es largo, sí, es tedioso, pero no mezclarás las probabilidades ni cometerás errores estúpidos. Elija usted mismo: velocidad o calidad.

Por cierto, si lo dominas, después de un tiempo no necesitarás anotar todos los coeficientes. Realizarás tales operaciones en tu cabeza. La mayoría de la gente empieza a hacer esto después de 50-70 ecuaciones resueltas; en general, no tanto.

Raíces de una ecuación cuadrática

Pasemos ahora a la solución en sí. Si el discriminante D > 0, las raíces se pueden encontrar usando las fórmulas:

Fórmula básica para las raíces de una ecuación cuadrática.

Cuando D = 0, puedes usar cualquiera de estas fórmulas; obtendrás el mismo número, que será la respuesta. Finalmente, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Primera ecuación:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; segundo = −2; c = −3;
re = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces. Encontrémoslos:

Segunda ecuación:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; segundo = −2; c = 15;
re = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ la ecuación nuevamente tiene dos raíces. vamos a encontrarlos

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(alinear)\]

Finalmente, la tercera ecuación:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ la ecuación tiene una raíz. Se puede utilizar cualquier fórmula. Por ejemplo, el primero:

Como puedes ver en los ejemplos, todo es muy sencillo. Si conoces las fórmulas y sabes contar, no habrá problemas. La mayoría de las veces, se producen errores al sustituir coeficientes negativos en la fórmula. Una vez más, la técnica descrita anteriormente le ayudará: mire la fórmula literalmente, escriba cada paso y muy pronto se librará de los errores.

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Sucede que una ecuación cuadrática es ligeramente diferente de lo que se da en la definición. Por ejemplo:

x2 + 9x = 0;
x 2 - 16 = 0.

Es fácil notar que a estas ecuaciones les falta uno de los términos. Estas ecuaciones cuadráticas son incluso más fáciles de resolver que las estándar: ni siquiera requieren calcular el discriminante. Entonces, introduzcamos un nuevo concepto:

La ecuación ax 2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática incompleta si b = 0 o c = 0, es decir el coeficiente de la variable x o del elemento libre es igual a cero.

Por supuesto, es completamente posible. Estuche duro, cuando ambos coeficientes son iguales a cero: b = c = 0. En este caso, la ecuación toma la forma ax 2 = 0. Obviamente, dicha ecuación tiene una única raíz: x = 0.

Consideremos los casos restantes. Sea b = 0, entonces obtenemos una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0. Transformémosla un poco:

desde la aritmética Raíz cuadrada existe sólo a partir de un número no negativo, la última igualdad tiene sentido sólo para (−c /a) ≥ 0. Conclusión:

Si en una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0 se satisface la desigualdad (−c /a) ≥ 0, habrá dos raíces. La fórmula se da arriba;
Si (−c/a)< 0, корней нет.

Como puede ver, no se requería un discriminante: no hay ningún cálculo complejo en ecuaciones cuadráticas incompletas. De hecho, ni siquiera es necesario recordar la desigualdad (−c /a) ≥ 0. Basta expresar el valor x 2 y ver qué hay al otro lado del signo igual. Si hay un número positivo, habrá dos raíces. Si es negativo, no habrá raíces en absoluto.

Ahora veamos ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0, en las que el elemento libre es igual a cero. Aquí todo es sencillo: siempre habrá dos raíces. Basta factorizar el polinomio:

Sacando el factor común de paréntesis

El producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. De aquí vienen las raíces. En conclusión, veamos algunas de estas ecuaciones:

Tarea. Resolver ecuaciones cuadráticas:

x2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. No hay raíces, porque un cuadrado no puede ser igual a un número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

El uso de ecuaciones está muy extendido en nuestra vida. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. El hombre utilizó ecuaciones en la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar. El discriminante permite resolver cualquier ecuación cuadrática mediante una fórmula general, que tiene la siguiente forma:

La fórmula discriminante depende del grado del polinomio. La fórmula anterior es adecuada para resolver ecuaciones cuadráticas. el siguiente tipo:

El discriminante tiene las siguientes propiedades que necesitas conocer:

* "D" es 0 cuando el polinomio tiene múltiples raíces (raíces iguales);

* "D" es un polinomio simétrico respecto de las raíces del polinomio y por tanto es un polinomio en sus coeficientes; además, los coeficientes de este polinomio son números enteros independientemente de la extensión en la que se tomen las raíces.

Digamos que tenemos una ecuación cuadrática de la siguiente forma:

1 ecuación

Según la fórmula tenemos:

Como \, la ecuación tiene 2 raíces. Definámoslos:

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En este artículo veremos cómo resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

Pero primero, repitamos las ecuaciones que se llaman cuadráticas. Una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde x es una variable y los coeficientes a, b y c son algunos números, y a ≠ 0, se llama cuadrado. Como vemos, el coeficiente de x 2 no es igual a cero y, por lo tanto, los coeficientes de x o el término libre pueden ser iguales a cero, en cuyo caso obtenemos una ecuación cuadrática incompleta.

Hay tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas.:

1) Si b = 0, c ≠ 0, entonces ax 2 + c = 0;

2) Si b ≠ 0, c = 0, entonces ax 2 + bx = 0;

3) Si b = 0, c = 0, entonces ax 2 = 0.

Averigüemos cómo resolver ecuaciones de la forma ax 2 + c = 0.

Para resolver la ecuación, movemos el término libre c al lado derecho de la ecuación, obtenemos

hacha 2 = ‒s. Como a ≠ 0, dividimos ambos lados de la ecuación entre a, entonces x 2 = ‒c/a.

Si ‒с/а > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces

x = ±√(–c/a) .

Si ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Intentemos comprender con ejemplos cómo resolver este tipo de ecuaciones.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 2x 2 ‒ 32 = 0.

Respuesta: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación 2x 2 + 8 = 0.

Respuesta: la ecuación no tiene soluciones.

Averigüemos cómo solucionarlo. ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0.

Para resolver la ecuación ax 2 + bx = 0, factoricémosla, es decir, quitando x de paréntesis, obtenemos x(ax + b) = 0. El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Entonces x = 0, o ax + b = 0. Al resolver la ecuación ax + b = 0, obtenemos ax = - b, de donde x = - b/a. Una ecuación de la forma ax 2 + bx = 0 siempre tiene dos raíces x 1 = 0 y x 2 = ‒ b/a. Vea cómo se ve la solución de ecuaciones de este tipo en el diagrama.

Consolidemos nuestro conocimiento con un ejemplo específico.

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 o 3x – 12 = 0

Respuesta: x 1 = 0, x 2 = 4.

Ecuaciones del tercer tipo ax 2 = 0 se resuelven de forma muy sencilla.

Si ax 2 = 0, entonces x 2 = 0. La ecuación tiene dos raíces iguales x 1 = 0, x 2 = 0.

Para mayor claridad, veamos el diagrama.

Al resolver el ejemplo 4, asegurémonos de que ecuaciones de este tipo se puedan resolver de forma muy sencilla.

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación 7x 2 = 0.

Respuesta: x 1, 2 = 0.

No siempre queda inmediatamente claro qué tipo de ecuación cuadrática incompleta tenemos que resolver. Considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación

Multiplica ambos lados de la ecuación por común denominador, es decir, a los 30

vamos a reducirlo

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Abramos los corchetes

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

vamos a dar similar

Movamos 99 del lado izquierdo de la ecuación hacia la derecha, cambiando el signo al opuesto.

Respuesta: sin raíces.

Vimos cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas incompletas. Espero que ahora no tenga ninguna dificultad con tales tareas. Tenga cuidado al determinar el tipo de ecuación cuadrática incompleta, entonces tendrá éxito.

Si tienes dudas sobre este tema, apúntate a mis lecciones, resolveremos juntos los problemas que surjan.

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