Demuestre que la secuencia es acotada. Límites de funciones monótonas.

Dado que las áreas indicadas son respectivamente iguales

SΔOAC=0,5∙JEFE.∙O.A.∙pecado α= 0,5 senα, Secta S. OAC = 0,5∙JEFE. 2 ∙α=0.5α, SΔOBC=0,5∙JEFE.∙antes de Cristo= 0,5tgα.

Por eso,

pecado α< α < tg α.

Dividamos todos los términos de la desigualdad por sen α > 0: .

Pero . Por lo tanto, basándonos en el Teorema 4 sobre límites, concluimos que la fórmula derivada se denomina primer límite destacable.

Así, el primer límite destacable sirve para revelar incertidumbre. Tenga en cuenta que la fórmula resultante no debe confundirse con los límites Ejemplos.

11.Límite y sus límites asociados.

EL SEGUNDO LÍMITE NOTABLE

El segundo límite notable sirve para revelar la incertidumbre de 1 ∞ y se ve así:

Prestemos atención a que en la fórmula del segundo límite notable, el exponente debe contener una expresión inversa a la que se suma a la unidad en la base (ya que en este caso es posible introducir un cambio de variables y reducir el límite buscado al segundo límite destacable)

Ejemplos.

1. Función f(x)=(incógnita-1) 2 es infinitesimal en incógnita→1, ya que (ver figura).

2. Función f(x)= tg incógnita– infinitesimal en incógnita→0.

3. f(x)= iniciar sesión(1+ incógnita) – infinitesimal en incógnita→0.

4. f(x) = 1/incógnita– infinitesimal en incógnita→∞.

Establezcamos la siguiente relación importante:

Teorema. Si la función y=f(x) representable con x→a como suma de un número constante b y magnitud infinitesimal α(x): f (x)=b+ α(x) Eso .

Por el contrario, si , entonces f(x)=b+α(x), Dónde hacha)– infinitesimal en x→a.

Prueba.

1. Probemos la primera parte del enunciado. Desde la igualdad f(x)=b+a(x) debería |f(x) – b|=| α|. Pero desde hacha) es infinitesimal, entonces para ε arbitrario hay δ – una vecindad del punto a, delante de todos incógnita de donde, valores hacha) satisfacer la relación |α(x)|< ε. Entonces |f(x) – b|< ε. Y esto significa que.

2. Si , entonces para cualquier ε >0 para todos incógnita desde algún δ - vecindad de un punto a voluntad |f(x) – b|< ε. Pero si denotamos f(x) – b= α, Eso |α(x)|< ε, lo que significa que a– infinitesimal.

Consideremos las propiedades básicas de las funciones infinitesimales.

Teorema 1. La suma algebraica de dos, tres y en general cualquier número finito de infinitesimales es una función infinitesimal.

Prueba. Demos una prueba para dos términos. Dejar f(x)=α(x)+β(x), dónde y . Necesitamos demostrar que para cualquier ε pequeño y arbitrario > 0 encontrado δ> 0, tal que para incógnita, satisfaciendo la desigualdad |x – un|<δ , se ejecuta |f(x)|< ε.

Entonces, arreglemos un número arbitrario ε > 0. Dado que según las condiciones del teorema a(x) es una función infinitesimal, entonces existe tal δ 1 > 0, que es |x – a|< δ 1 tenemos |α(x)|< ε / 2. Asimismo, desde β(x) es infinitesimal, entonces existe tal δ 2 > 0, que es |x – a|< δ 2 tenemos | β(x)|< ε / 2.

tomemos δ=mín(δ 1 , δ2 } .Luego en las proximidades del punto a radio δ cada una de las desigualdades será satisfecha |α(x)|< ε / 2 y | β(x)|< ε / 2. Por lo tanto, en este barrio habrá

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

aquellos. |f(x)|< ε, que es lo que había que demostrar.

Teorema 2. Producto de una función infinitesimal hacha) para una función limitada f(x) en x→a(o cuando x→∞) es una función infinitesimal.

Prueba. Desde la función f(x) es limitado, entonces hay un número METRO tal que para todos los valores incógnita desde algún barrio de un punto a|f(x)|≤M. Es más, desde hacha) es una función infinitesimal en x→a, entonces para un ε arbitrario > 0 hay una vecindad del punto a, en el que la desigualdad se mantendrá |α(x)|< ε /METRO. Luego, en el más pequeño de estos barrios tenemos | αf|< ε /METRO= ε. Y esto significa que af– infinitesimal. Para la ocasión x→∞ la prueba se realiza de manera similar.

Del teorema demostrado se sigue:

Corolario 1. Si y , entonces

Corolario 2. si y c= constante, entonces.

Teorema 3. Razón de una función infinitesimal a(x) por función f(x), cuyo límite es distinto de cero, es una función infinitesimal.

Prueba. Dejar . Entonces 1 /f(x) hay una función limitada. Por tanto, una fracción es el producto de una función infinitesimal y una función limitada, es decir la función es infinitesimal.

Ejemplos.

1. Está claro que cuando x→+∞ función y=x 2 + 1 es infinitamente grande. Pero entonces, según el teorema formulado anteriormente, la función es infinitesimal en x→+∞, es decir. .

También se puede demostrar el teorema inverso.

Teorema 2. Si la función f(x)- infinitesimal en x→a(o x→∞) y no desaparece, entonces y= 1/f(x) es una función infinitamente grande.

Realice usted mismo la prueba del teorema.

Ejemplos.

3. , ya que las funciones y son infinitesimales en x→+∞, entonces, como la suma de funciones infinitesimales es una función infinitesimal. Una función es la suma de un número constante y una función infinitesimal. En consecuencia, por el Teorema 1 para funciones infinitesimales obtenemos la igualdad requerida.

Por tanto, las propiedades más simples de funciones infinitesimales e infinitamente grandes se pueden escribir utilizando las siguientes relaciones condicionales: A≠ 0

13. Funciones infinitesimales del mismo orden, infinitesimales equivalentes.

Funciones infinitesimales y se llaman infinitesimales del mismo orden de pequeñez si , denota . Y finalmente, si no existe, entonces las funciones infinitesimales son incomparables.

EJEMPLO 2. Comparación de funciones infinitesimales

Funciones infinitesimales equivalentes.

Si , entonces se llaman funciones infinitesimales equivalente, denota ~ .

Funciones localmente equivalentes:

cuando si

Algunas equivalencias(en ):

Límites unilaterales.

Hasta ahora hemos considerado determinar el límite de una función cuando x→a de manera arbitraria, es decir el límite de la función no dependía de cómo se ubicara incógnita con relación a a, a la izquierda o a la derecha de a. Sin embargo, es bastante común encontrar funciones que no tienen límite bajo esta condición, pero sí tienen límite si x→a, quedando a un lado de A, izquierda o derecha (ver figura). Por tanto, se introducen los conceptos de límites unilaterales.

Si f(x) tiende al límite b en incógnita tendiendo a un cierto número a Entonces incógnita acepta solo valores menores que a, luego escriben y llaman blímite de la función f(x) en el punto a de la izquierda.

entonces el numero b llamado límite de la función y=f(x) en x→a a la izquierda, si sea cual sea el número positivo ε, existe tal número δ (más pequeño a

Asimismo, si x→a y adquiere grandes valores a, luego escriben y llaman b límite de la función en el punto A bien. Aquellos. número b llamado límite de la función y=f(x) como x→a a la derecha, si sea cual sea el número positivo ε, existe tal número δ (mayor A) que la desigualdad es válida para todos.

Tenga en cuenta que si los límites a la izquierda y a la derecha en el punto a para función f(x) no coinciden, entonces la función no tiene límite (bilateral) en el punto A.

Ejemplos.

1. Considere la función y=f(x), definido en el segmento de la siguiente manera

Encontremos los límites de la función. f(x) en x→ 3. Obviamente, y

En otras palabras, para cualquier número arbitrariamente pequeño de épsilon, existe un número delta que depende de épsilon tal que del hecho de que para cualquier x que satisfaga la desigualdad se deduce que las diferencias en los valores de la función en estos puntos serán arbitrariamente pequeño.

Criterio para la continuidad de una función en un punto.:

Función voluntad continuo en el punto A si y solo si es continuo en el punto A tanto por la derecha como por la izquierda, es decir, de modo que en el punto A hay dos límites unilaterales, son iguales entre sí e iguales al valor de la función en el punto A.

Definición 2: La función es continua. en un conjunto si es continuo en todos los puntos de este conjunto.

Derivada de una función en un punto

Dejemos que dana se defina en un vecindario. consideremos

Si este límite existe, entonces se llama derivada de la función f en el punto .

Derivada de una función– el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, cuando se incrementa el argumento.

La operación de calcular o encontrar la derivada en un punto se llama diferenciación .

Reglas de diferenciación.

Derivado funciones f(x) en el punto x=x 0 Se llama relación entre el incremento de una función en este punto y el incremento del argumento, ya que este último tiende a cero. Se llama encontrar la derivada. diferenciación. La derivada de la función se calcula usando regla general diferenciación: denotemos f(x) = u, g(x) = v- funciones diferenciables en un punto incógnita. Reglas básicas de diferenciación. 1) (la derivada de una suma es igual a la suma de sus derivadas) 2) (de aquí, en particular, se sigue que la derivada del producto de una función y una constante es igual al producto de la derivada de esta función y la constante) 3) Derivada de un cociente: , si g  0 4) Derivada de una función compleja: 5) Si la función se especifica paramétricamente: , entonces

Ejemplos.

1. y = incógnita a es una función potencia con un exponente arbitrario.

Función implícita

Si una función está dada por la ecuación y=ƒ(x), resuelta con respecto a y, entonces la función está dada en forma explícita (función explícita).

Bajo tarea implícita Las funciones entienden la definición de una función en forma de ecuación F(x;y)=0, no resuelta con respecto a y.

Cualquier función dada explícitamente y=ƒ (x) se puede escribir implícitamente dado por la ecuaciónƒ(x)-y=0, pero no al revés.

No siempre es fácil, y a veces imposible, resolver una ecuación para y (por ejemplo, y+2x+cozy-1=0 o 2 y -x+y=0).

Si la función implícita viene dada por la ecuación F(x; y) = 0, entonces para encontrar la derivada de y con respecto a x no es necesario resolver la ecuación con respecto a y: basta con derivar esta ecuación con respecto a x, considerando y en función de x, y luego resuelve la ecuación resultante para y."

La derivada de una función implícita se expresa en términos del argumento x y la función y.

Ejemplo:

Encuentra la derivada de la función y, dada por la ecuación x 3 + y 3 -3xy = 0.

Solución: La función y se especifica implícitamente. Derivamos respecto de x la igualdad x 3 + y 3 -3xy = 0. De la relación resultante

3x 2 +3y 2 y"-3(1 y+x y")=0

se deduce que y 2 y"-xy"=y-x 2, es decir, y"=(y-x 2)/(y 2 -x).

Derivados de orden superior

Está claro que la derivada

funciones y=f(x) También hay una función de incógnita:

y" =f "(x)

Si la función f"(x) es diferenciable, entonces su derivada se denota con el símbolo y"" =f "" (x)x dos veces.
La derivada de la segunda derivada, es decir funciones y""=f""(x), llamado tercera derivada de la función y=f(x) o derivada de la función f(x) de tercer orden y está indicado por los símbolos

En absoluto norte-i derivada o derivada norte función de orden y=f(x) indicado por símbolos

Phil Leibniz:

Supongamos que las funciones y son diferenciables junto con sus derivadas hasta el enésimo orden inclusive. Aplicando la regla para derivar el producto de dos funciones, obtenemos

Comparemos estas expresiones con las potencias del binomio:

La regla de correspondencia es sorprendente: para obtener una fórmula para la derivada de primer, segundo o tercer orden del producto de funciones y , es necesario reemplazar las potencias y en la expresión para (donde norte= 1,2,3) derivadas de las órdenes correspondientes. Además, las potencias cero de las cantidades y deben sustituirse por derivadas de orden cero, es decir, las funciones y:

Generalizando esta regla al caso de derivadas de orden arbitrario norte, obtenemos La fórmula de Leibniz,

donde están los coeficientes binomiales:

Teorema de Rolle.

Este teorema permite encontrar puntos críticos y luego, utilizando condiciones suficientes, examinar la función en busca de extremos.

Sea 1) f(x) definida y continua en algún intervalo cerrado; 2) existe una derivada finita, al menos en el intervalo abierto (a;b); 3) en los extremos intervalo f-i toma valores iguales f(a) = f(b). Entonces entre los puntos a y b hay un punto c tal que la derivada en este punto será = 0.

Según el teorema sobre la propiedad de funciones continuas en un intervalo, la función f(x) toma sus valores máximo y mínimo en este intervalo.

f(x 1) = M – máximo, f(x 2) = m – mínimo; x 1 ;x 2 О

1) Sea M = m, es decir m £ f(x) £ M

Þ f(x) tomará valores constantes en el intervalo de aby, y Þ su derivada será igual a cero. f’(x)=0

2) Sea M>m

Porque según las condiciones del teorema f(a) = f(b) Þ su menor o mayor valor f-i no tomará en los extremos del segmento, pero Þ tomará M o m en el punto interior de este segmento. Entonces, según el teorema de Fermat, f’(c)=0.

Teorema de Lagrange.

Fórmula de incremento finito o Teorema del valor medio de Lagrange afirma que si una función F es continua en el intervalo [ a;b] y diferenciable en el intervalo ( a;b), entonces hay un punto tal que

El teorema de Cauchy.

Si las funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo y diferenciables en el intervalo (a, b) y g¢(x) ¹ 0 en el intervalo (a, b), entonces hay al menos una punto e, un< e < b, такая, что

Aquellos. la relación de incrementos de funciones en un segmento dado es igual a la relación de derivadas en el punto e. Ejemplos de cursos de conferencias sobre resolución de problemas Cálculo del volumen de un cuerpo a partir de áreas conocidas de sus secciones paralelas Cálculo integral

Ejemplos de ejecución trabajo del curso Electrotecnia

Para demostrar este teorema, a primera vista es muy conveniente utilizar el teorema de Lagrange. Escribe una fórmula en diferencias finitas para cada función y luego divídelas entre sí. Sin embargo, esta idea es errónea, porque El punto e para cada función es generalmente diferente. Por supuesto, en algunos casos especiales este punto de intervalo puede resultar el mismo para ambas funciones, pero esto es una coincidencia muy rara, no una regla, y por lo tanto no puede usarse para demostrar el teorema.

Prueba. Considere la función auxiliar

Como x→x 0, el valor de c también tiende a x 0; Vayamos al límite en la igualdad anterior:

Porque , Eso .

Es por eso

(el límite de la razón de dos infinitesimales es igual al límite de la razón de sus derivadas, si esta última existe)

Regla de L'Hopital, en ∞/∞.

Tenga en cuenta: todas las definiciones involucran un conjunto numérico X, que es parte del dominio de la función: X con D(f). En la práctica, la mayoría de las veces hay casos en los que X es un intervalo numérico (segmento, intervalo, rayo, etc.).

Definición 1.

Se dice que una función y = f(x) es creciente en un conjunto X con D(f) si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 del conjunto X tales que x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definición 2.

Se dice que una función y = f(x) es decreciente en un conjunto X con D(f) si para dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 del conjunto X tales que x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

En la práctica, es más conveniente utilizar las siguientes formulaciones: una función aumenta si valor más alto el argumento corresponde a un valor de función mayor; una función disminuye si un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.

En los grados 7 y 8 utilizamos la siguiente interpretación geométrica de los conceptos de aumento o disminución de una función: moviéndonos a lo largo de la gráfica de una función creciente de izquierda a derecha, parece que estamos subiendo una colina (Fig. 55); Moviéndonos a lo largo de la gráfica de una función decreciente de izquierda a derecha, es como si bajáramos una colina (Fig. 56).
Por lo general, los términos "función creciente", "función decreciente" se combinan bajo el nombre general de función monótona, y el estudio de una función creciente o decreciente se denomina estudio de una función monotónica.

Notemos una circunstancia más: si una función aumenta (o disminuye) en su dominio natural de definición, entonces generalmente decimos que la función está aumentando (o disminuyendo), sin especificar conjunto de números INCÓGNITA.

Ejemplo 1.

Examine la función para determinar la monotonicidad:

A) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.

Solución:

a) Tome valores arbitrarios del argumento x 1 y x 2 y sea x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

La última desigualdad significa que f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Entonces de x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), lo que significa que la función dada es decreciente (en toda la recta numérica).

Definición 3.

Se dice que una función y - f(x) está acotada desde abajo en un conjunto X con D(f) si todos los valores de la función en el conjunto X son mayores que un cierto número (en otras palabras, si hay un número m tal que para cualquier valor x є X la desigualdad f( x) >m).

Definición 4.

Se dice que una función y = f(x) está acotada desde arriba a un conjunto X con D(f) si todos los valores de la función son menores que un cierto número (en otras palabras, si hay un número M tal que para cualquier valor x є X se cumple la desigualdad f(x)< М).

Si no se especifica el conjunto X, entonces se entiende que estamos hablando de que la función está acotada desde abajo o desde arriba en todo el dominio de definición.

Si una función está acotada tanto por debajo como por arriba, entonces se llama acotada.

La acotación de una función se lee fácilmente en su gráfica: si una función está acotada desde abajo, entonces su gráfica está completamente ubicada por encima de una determinada línea horizontal y = m (Fig. 57); si una función está acotada desde arriba, entonces su gráfica está completamente ubicada debajo de alguna línea horizontal y = M (Fig. 58).

Ejemplo 2. Examinar la acotación de una función.
Solución. Por un lado, la desigualdad es bastante obvia (por definición raíz cuadrada Esto significa que la función está acotada desde abajo. Por otro lado, tenemos y por lo tanto
Esto significa que la función tiene un límite superior. Ahora mira el gráfico. función dada(Fig. 52 del párrafo anterior). La limitación de la función tanto arriba como abajo se puede leer con bastante facilidad en el gráfico.

Definición 5.

El número m se denomina valor más pequeño de la función y = f(x) en el conjunto X C D(f) si:

1) en X hay un punto x 0 tal que f(x 0) = m;

2) para todo x de X se cumple la desigualdad m>f(x 0).

Definición 6.

El número M se llama el valor más grande de la función y = f(x) en el conjunto X C D(f), si:
1) en X hay un punto x 0 tal que f(x 0) = M;
2) para todo x de X la desigualdad
Denotamos el valor más pequeño de una función tanto en el séptimo como en el octavo grado con el símbolo y, y el más grande con el símbolo y.

Si no se especifica el conjunto X, entonces se supone que estamos hablando de encontrar el más pequeño o valor más alto funciones en todo el dominio de definición.

Las siguientes declaraciones útiles son bastante obvias:

1) Si una función tiene Y, entonces está acotada por debajo.
2) Si una función tiene Y, entonces está acotada arriba.
3) Si la función no está acotada por debajo, entonces Y no existe.
4) Si la función no está acotada arriba, entonces Y no existe.

Ejemplo 3.

Encuentra los valores más pequeños y más grandes de una función.
Solución.

Es bastante obvio, especialmente si usa la gráfica de funciones (Fig. 52), que = 0 (la función alcanza este valor en los puntos x = -3 y x = 3), a = 3 (la función alcanza este valor en x = 0.
En séptimo y octavo grado mencionamos dos propiedades más de las funciones. La primera se llamó propiedad de convexidad de una función. Se considera que una función es convexa hacia abajo en un intervalo X si, conectando dos puntos cualesquiera de su gráfica (con abscisas de X) con un segmento de recta, encontramos que parte relevante el gráfico se encuentra debajo del segmento dibujado (Fig. 59). continuidad Una función es convexa hacia arriba en un intervalo X si, al conectar dos puntos cualesquiera de su gráfica (con abscisas de X) de la función con un segmento de recta, encontramos que la parte correspondiente de la gráfica se encuentra encima del segmento dibujado ( Figura 60).

La segunda propiedad, la continuidad de una función en el intervalo X, significa que la gráfica de la función en el intervalo X es continua, es decir No tiene pinchazos ni saltos.

Comentario.

De hecho, en matemáticas todo es, como dicen, “exactamente al revés”: la gráfica de una función se representa como una línea continua (sin pinchazos ni saltos) sólo cuando se demuestra la continuidad de la función. Pero aún no está a nuestro alcance una definición formal de la continuidad de una función, que es bastante compleja y sutil. Lo mismo puede decirse de la convexidad de una función. Cuando analicemos estas dos propiedades de las funciones, seguiremos confiando en conceptos visuales e intuitivos.

Ahora revisemos nuestro conocimiento. Recordando las funciones que estudiamos en 7º y 8º grado, aclaremos cómo son sus gráficas y enumeremos las propiedades de la función, siguiendo un orden determinado, por ejemplo este: dominio de definición; monótono; limitación; , ; continuidad; rango; convexo.

Posteriormente, aparecerán nuevas propiedades de funciones y la lista de propiedades cambiará en consecuencia.

1. Función constante y = C

La gráfica de la función y = C se muestra en la Fig. 61 - línea recta, paralela al eje x. Esta es una característica tan poco interesante que no tiene sentido enumerar sus propiedades.

La gráfica de la función y = kx + m es una línea recta (Fig. 62, 63).

Propiedades de la función y = kx + m:

1)
2) aumenta si k > 0 (Fig. 62), disminuye si k< 0 (рис. 63);

4) no existe ni el mayor ni valores más bajos;
5) la función es continua;
6)
7) no tiene sentido hablar de convexidad.

La gráfica de la función y = kx 2 es una parábola con un vértice en el origen y con ramas dirigidas hacia arriba si k > O (Fig. 64), y hacia abajo si k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Propiedades de la función y - kx 2:

Para el caso k> 0 (Fig.64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = no existe;
5) continuo;
6) E(f) = la función disminuye, y en el intervalo, disminuye en el rayo;
7) convexo hacia arriba.

La gráfica de la función y = f(x) se traza punto por punto; Cuantos más puntos de la forma (x; f(x)) tomemos, más precisa será la idea de la gráfica que obtendremos. Si toma muchos de estos puntos, obtendrá una imagen más completa del gráfico. Es en este caso que la intuición nos dice que la gráfica debe representarse como una línea continua (en este caso, en forma de parábola). Y luego, leyendo el gráfico, sacamos conclusiones sobre la continuidad de la función, sobre su convexidad hacia abajo o hacia arriba, sobre el rango de valores de la función. Debe comprender que de las siete propiedades enumeradas, sólo las propiedades 1), 2), 3), 4) son "legítimas" - "legítimas" en el sentido de que podemos justificarlas refiriéndonos a definiciones precisas. Sobre las propiedades restantes sólo tenemos ideas visuales e intuitivas. Por cierto, esto no tiene nada de malo. De la historia del desarrollo de las matemáticas se sabe que la humanidad utilizó a menudo y durante mucho tiempo diversas propiedades de ciertos objetos, sin conocer las definiciones exactas. Luego, cuando se pudieron formular tales definiciones, todo encajó.

La gráfica de la función es una hipérbola, los ejes de coordenadas sirven como asíntotas de la hipérbola (Fig. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) si k > 0, entonces la función disminuye en el rayo abierto (-oo, 0) y en el rayo abierto (0, +oo) (Fig. 66); si a< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) no está limitado ni desde abajo ni desde arriba;
4) no existe ni el valor más pequeño ni el más grande;
5) la función es continua en el rayo abierto (-oo, 0) y en el rayo abierto (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U (0,+oo);
7) si k > 0, entonces la función es convexa hacia arriba en x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, es decir en la viga abierta (0, +oo) (Fig. 66). si a< 0, то функция выпукла вверх при х >O y convexo hacia abajo en x< О (рис. 67).
La gráfica de la función es una rama de una parábola (Fig. 68). Propiedades de la función:
1) D(f) = , aumenta en el rayo. En este segmento $16-x^2≤16$ o $\sqrt(16-x^2)≤4$, pero esto significa acotado desde arriba.
Respuesta: nuestra función está limitada a dos rectas $y=0$ y $y=4$.

Valor más alto y más bajo

El valor más pequeño de la función y= f(x) en el conjunto X⊂D(f) es algún número m tal que:

b) Para cualquier хϵХ, $f(x)≥f(x0)$ se cumple.

El valor más grande de la función y=f(x) en el conjunto X⊂D(f) es algún número m tal que:
a) Existe algún x0 tal que $f(x0)=m$.
b) Para cualquier хϵХ, se cumple $f(x)≤f(x0)$.

Los valores más grandes y más pequeños generalmente se indican con y max. y tu nombre .

Los conceptos de acotación y el valor más grande con el más pequeño de una función están estrechamente relacionados. Las siguientes afirmaciones son ciertas:
a) Si hay un valor mínimo para una función, entonces está acotado por debajo.
b) Si una función tiene el mayor valor, entonces está acotada por arriba.
c) Si la función no está acotada arriba, entonces el valor mayor no existe.
d) Si la función no está acotada por debajo, entonces el valor más pequeño no existe.

Encuentra el valor más grande y más pequeño de la función $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Solución: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Para $х=4$ $f(4)=5$, para todos los demás valores la función toma valores más pequeños o no existe, es decir, este es el valor más grande de la función.
Por definición: $9-4x^2+16x≥0$. Encontremos las raíces del trinomio cuadrático $(2x+1)(2x-9)≥0$. En $x=-0.5$ y $x=4.5$ la función desaparece; en todos los demás puntos es mayor que cero. Entonces, por definición, el valor más pequeño de la función es igual a cero.
Respuesta: y máx. =5 y y nombre. =0.

Chicos, también hemos estudiado el concepto de convexidad de una función. Al resolver algunos problemas, es posible que necesitemos esta propiedad. Esta propiedad también se determina fácilmente mediante gráficos.

Una función es convexa hacia abajo si dos puntos cualesquiera en la gráfica de la función original están conectados y la gráfica de la función está debajo de la línea que conecta los puntos.

Una función es convexa hacia arriba si dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función original están conectados y la gráfica de la función está por encima de la línea que conecta los puntos.

Una función es continua si la gráfica de nuestra función no tiene interrupciones, por ejemplo, como la gráfica de la función anterior.

Si necesita encontrar las propiedades de una función, la secuencia de búsqueda de las propiedades es la siguiente:
a) Dominio de definición.
b) Monotonía.
c) Limitación.
d) El valor mayor y menor.
d) Continuidad.
e) Rango de valores.

Encuentra las propiedades de la función $y=-2x+5$.
Solución.
a) Dominio de definición D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonía. Comprobemos los valores x1 y x2 y dejemos que x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Desde x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Limitación. Obviamente la función no está limitada.
d) El valor mayor y menor. Como la función no está acotada, no existe un valor máximo ni mínimo.
d) Continuidad. La gráfica de nuestra función no tiene cortes, entonces la función es continua.
e) Rango de valores. mi(y)=(-∞;+∞).

Problemas sobre las propiedades de una función para solución independiente.

Llamaremos a la función y=f(x) LIMITADA SUPERIOR (INFERIOR) en el conjunto A del dominio de definición D(f) si tal número existe METRO , que para cualquier x de este conjunto se cumple la condición

Usando símbolos lógicos, la definición se puede escribir como:

f(x) – delimitado arriba en el conjunto

(f(x) – delimitado desde abajo en el conjunto

También se introducen en consideración funciones limitadas en módulo o simplemente limitadas.

Llamaremos a una función ACOtada en el conjunto A del dominio de definición si existe un número positivo M tal que

En el lenguaje de los símbolos lógicos.

f(x) – limitado en el set

Una función que no está acotada se llama ilimitada. Sabemos que las definiciones dadas mediante la negación tienen poco contenido. Para formular esta afirmación como definición, utilizamos las propiedades de las operaciones cuantificadoras (3.6) y (3.7). Entonces, negar la acotación de una función en el lenguaje de símbolos lógicos dará:

f(x) – limitado en el set

El resultado obtenido nos permite formular la siguiente definición.

Una función se llama ILIMITADA en un conjunto A que pertenece al dominio de definición de la función si en este conjunto para cualquier número positivo M existe tal valor del argumento x , que el valor aún excederá el valor de M, es decir.

Como ejemplo, considere la función

Está definido en todo el eje real. Si tomamos el segmento [–2;1] (conjunto A), entonces estará delimitado tanto por arriba como por abajo.

De hecho, para demostrar que está acotado desde arriba, debemos considerar el predicado

y demuestre que existe (existe) tal M que para todo x tomado en el intervalo [–2;1], será verdadero

Encontrar una M así no es difícil. Podemos asumir M = 7, el cuantificador de existencia implica encontrar al menos un valor de M. La presencia de tal M confirma el hecho de que la función en el intervalo [–2;1] está acotada desde arriba.

Para demostrar que está acotado desde abajo, debemos considerar el predicado

El valor de M que asegura la verdad de un predicado dado es, por ejemplo, M = –100.

Se puede demostrar que la función también estará limitada en módulo: para todo x del segmento [–2;1], los valores de la función coinciden con los valores de , por lo que como M podemos tomar, para Por ejemplo, el valor anterior M = 7.

Demostremos que la misma función, pero en el intervalo, será ilimitada, es decir

Para demostrar que tal x existe, considere el enunciado

Buscando los valores requeridos de x entre los valores positivos del argumento, obtenemos

Esto significa que no importa qué M positivo tomemos, los valores de x que aseguran el cumplimiento de la desigualdad

se obtienen de la relación .

Al considerar la función en todo el eje real, se puede demostrar que no está acotada en valor absoluto.

En efecto, de la desigualdad

Es decir, por muy grande que sea el M positivo, o asegurará el cumplimiento de la desigualdad.

FUNCIÓN EXTREMA.

La función tiene en el punto Con máximo local (mínimo), si existe una vecindad tal de este punto que por incógnita¹ Con de este barrio se mantiene la desigualdad

especialmente que el punto extremo sólo puede ser un punto interno del intervalo y f(x) en él debe necesariamente estar definido. Los posibles casos de ausencia de un extremo se muestran en la Fig. 8.8.

Si una función aumenta (disminuye) en un intervalo determinado y disminuye (aumenta) en un intervalo determinado, entonces el punto Con es un punto máximo (mínimo) local.

Ausencia de un máximo de la función f(x) en el punto Con se puede formular así:

_______________________

f(x) tiene un máximo en el punto c

Esto significa que si el punto c no es un punto máximo local, entonces cualquiera que sea la vecindad que incluya el punto c como interno, habrá al menos un valor x no igual a c para el cual . Por lo tanto, si no hay un máximo en el punto c, entonces en este punto puede que no haya ningún extremo o puede ser un punto mínimo (figura 8.9).

El concepto de extremo ofrece una evaluación comparativa del valor de una función en cualquier punto en relación con los cercanos. Se puede realizar una comparación similar de los valores de las funciones para todos los puntos de un determinado intervalo.

El valor MÁXIMO (MÁS PEQUEÑO) de una función en un conjunto es su valor en un punto de este conjunto tal que – en . El valor más grande de la función se logra en el punto interior del segmento, y el más pequeño – en su extremo izquierdo.

Para determinar el valor más grande (más pequeño) de una función especificada en un intervalo, es necesario seleccionar el número más grande (más pequeño) entre todos los valores de sus máximos (mínimos), así como los valores aceptados. al final del intervalo. Este será el valor más grande (más pequeño) de la función. Esta regla se aclarará más adelante.

El problema de encontrar los valores mayor y menor de una función en un intervalo abierto no siempre es fácil de resolver. Por ejemplo, la función

en el intervalo (Fig. 8.11) no los tiene.

Procuremos, por ejemplo, que esta función no tenga la mayor importancia. De hecho, teniendo en cuenta la monotonicidad de la función, se puede argumentar que no importa qué tan cerca coloquemos los valores de x a la izquierda de la unidad, habrá otras x en las que los valores de la función serán ser mayor que sus valores en los puntos fijos tomados, pero aún menor que uno.