Prueba de la fórmula .

=

= =

ya que el seno y el coseno no dependen de la suma de un ángulo que sea múltiplo de

Y esta igualdad ya es obvia, ya que esta es la forma trigonométrica. numero complejo.

Por tanto, el logaritmo existe para todos los puntos del plano excepto cero. Para un número real positivo, el argumento es 0, por lo que este conjunto infinito de puntos tiene la forma , es decir, uno de los valores, es decir, en , caerá sobre el eje real. Si calculamos el logaritmo de un número negativo obtenemos , es decir, el conjunto de puntos se desplaza hacia arriba y ninguno de ellos cae sobre el eje real.

De la fórmula se desprende claramente que solo cuando el argumento del número original es cero, uno de los valores del logaritmo cae en el eje real. Y esto corresponde al semieje derecho, y es por eso que en el curso de matemáticas de la escuela solo se consideraban logaritmos de números positivos. También existen logaritmos de números negativos e imaginarios, pero no tienen un único valor en el eje real.

El siguiente dibujo muestra dónde se ubican en el plano todos los valores del logaritmo de un número positivo. Uno de ellos está en el eje real, el resto está arriba y abajo en , , y así sucesivamente. Para un número negativo o complejo, el argumento es distinto de cero, por lo que esta secuencia de puntos se desplaza verticalmente, lo que da como resultado que no haya puntos en el eje real.

Ejemplo. Calcular.

Solución. Definamos el módulo del número (igual a 2) y el argumento 180 0, es decir. Entonces = .

Anexo 1. Preguntas para prueba (para boletos).

Conferencia número 1

1. Demuestre la fórmula de integración por partes.

Conferencia No. 2

1. Demuestre que el reemplazo , donde r = MCM (r 1 ,...,r k) reduce la integral a la integral de una fracción racional.

2. Demuestre que el reemplazo reduce la integral de la forma. a la integral de una fracción racional.

3. Deducir fórmulas para convertir seno y coseno

Para sustitución trigonométrica universal.

4. Demuestre que en el caso de que la función sea impar con respecto al coseno, la sustitución reduce la integral a una fracción racional.

5. Demuestre que en el caso de que

sustitución: reduce la integral a una fracción racional.

6. Demuestre que para una integral de la forma

7. Demuestra la fórmula

8. Demuestre que para una integral de la forma el reemplazo produce una integral de una fracción racional.

9. Demuestre que para una integral de la forma el reemplazo reduce la integral a una fracción racional.

Conferencia No. 3

1. Demuestre que la función es una antiderivada de la función .

2. Demuestre la fórmula de Newton-Leibniz: .

3. Demuestre la fórmula para la longitud de una curva dada explícitamente:

.

4. Demuestre la fórmula para la longitud de una curva dada en coordenadas polares.

Conferencia No. 4

Demuestra el teorema: converge, converge.

Conferencia No. 5

1. Deducir (probar) la fórmula para el área de una superficie dada explícitamente .

2. Derivación de fórmulas para la transición a coordenadas polares.

3. Derivación del determinante jacobiano de coordenadas polares.

4. Derivación de fórmulas para la transición a coordenadas cilíndricas.

5. Derivación del determinante jacobiano de coordenadas cilíndricas.

6. Derivación de fórmulas para la transición a coordenadas esféricas:

.

Conferencia No. 6

1. Demuestre que la sustitución reduce una ecuación homogénea a una ecuación con variables separables.

2. Retirarse vista general solución lineal ecuación homogénea.

3. Deducir la forma general de la solución de una ecuación lineal no homogénea mediante el método de Lagrange.

4. Demuestre que la sustitución reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.

Conferencia número 7.

1. Demuestre que el reemplazo reduce el orden de la ecuación en k.

2. Demuestre que el reemplazo reduce el orden de la ecuación en uno .

3. Demuestre el teorema: la función es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea y tiene una raíz característica.

4. Demuestre el teorema de que una combinación lineal de soluciones da una diferencia lineal homogénea. la ecuación es también su solución.

5. Demuestre el teorema sobre la imposición de soluciones: Si es una solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea con el lado derecho, y es una solución de la misma ecuación diferencial, pero con el lado derecho, entonces la suma es una solución a la ecuación con el lado derecho.

Conferencia número 8.

1. Demuestre el teorema de que el sistema de funciones es linealmente dependiente.

2. Demuestre el teorema de que existen n soluciones linealmente independientes para una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n.

3. Demuestre que si 0 es la raíz de la multiplicidad , entonces el sistema de soluciones correspondiente a esta raíz tiene la forma .

Conferencia número 9.

1. Demuestre en forma exponencial que al multiplicar números complejos se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

2. Demuestre la fórmula de Moivre para el grado n

3. Demuestre la fórmula de la raíz de un número complejo de orden n.

4. Demuestra que Y

son generalizaciones de seno y coseno, es decir para números reales, estas fórmulas darán como resultado seno (coseno).

5. Demuestre la fórmula del logaritmo de un número complejo:

Apéndice 2.

Preguntas menores y orales sobre conocimientos de teoría (para coloquios).

Conferencia número 1

1. ¿Qué son las antiderivadas y las integrales indefinidas y en qué se diferencian?

2. Explique por qué también es una antiderivada.

3. Escribe la fórmula de integración por partes.

4. ¿Qué reemplazo se requiere en la forma integral y cómo se eliminan las raíces?

5. Escriba el tipo de descomposición del integrando de una fracción racional en las más simples en el caso de que todas las raíces sean diferentes y reales.

6. Escriba el tipo de descomposición del integrando de una fracción racional en las más simples en el caso de que todas las raíces sean reales y haya una raíz múltiple de multiplicidad k.

Conferencia número 2.

1. Escribe cuál es la descomposición de una fracción racional en las más simples en el caso de que el denominador tenga un factor de 2 grados con un discriminante negativo.

2. ¿Qué sustitución reduce la integral a una fracción racional?

3. ¿Qué son las sustituciones trigonométricas universales?

4. ¿Qué reemplazos se realizan en los casos en que la función bajo el signo integral es impar con respecto al seno (coseno)?

5. Qué reemplazos se realizan si el integrando contiene las expresiones , , o .

Conferencia número 3.

1. Definición de integral definida.

2. Enumere algunas de las propiedades básicas de la integral definida.

3. Escribe la fórmula de Newton-Leibniz.

4. Escribe la fórmula para el volumen de un cuerpo de rotación.

5. Escribe una fórmula para la longitud de una curva dada explícitamente.

6. Escribe la fórmula para la longitud de una curva definida paramétricamente.

Conferencia número 4.

1. Definición de integral impropia (usando un límite).

2. ¿Cuál es la diferencia entre integrales impropias de primer y segundo tipo?

3. Liderar ejemplos simples Integrales convergentes de 1º y 2º tipo.

4. ¿En qué valores convergen las integrales (T1)?

5. ¿Cómo se relaciona la convergencia con el límite finito de la antiderivada (T2)?

6. ¿Qué es? señal necesaria convergencia, su formulación.

7. Prueba de comparación en forma final

8. Signo de comparación en forma extrema.

9. Definición de integral múltiple.

Conferencia número 5.

1. Cambiando el orden de integración, muéstralo con un ejemplo sencillo.

2. Escribe la fórmula para el área de superficie.

3. ¿Qué son las coordenadas polares? Escribe las fórmulas de transición.

4. ¿Cuál es el jacobiano del sistema de coordenadas polares?

5. ¿Qué son las coordenadas cilíndricas y esféricas, cuál es su diferencia?

6. ¿Cuál es el jacobiano de coordenadas cilíndricas (esféricas)?

Conferencia número 6.

1. ¿Qué es una ecuación diferencial de primer orden (vista general)?

2. ¿Qué es una ecuación diferencial de primer orden resuelta con respecto a la derivada? Da algún ejemplo.

3. ¿Qué es una ecuación con variables separables?

4. Qué es una solución general, particular, condiciones de Cauchy.

5. ¿Qué es una ecuación homogénea, cuál es el método general para resolverla?

6. ¿Qué es? ecuación lineal, cuál es el algoritmo para resolverlo, cuál es el método de Lagrange.

7. ¿Qué es la ecuación de Bernoulli, un algoritmo para resolverla?

Conferencia número 7.

1. ¿Qué reemplazo es necesario para una ecuación de la forma?

2. ¿Qué reemplazo se necesita para una ecuación de la forma? .

3. Muestra con ejemplos cómo se puede expresar en la forma .

4. ¿Qué es una ecuación diferencial lineal de orden n?

5. ¿Qué es un polinomio característico, ecuación característica?

6. Formule un teorema sobre en qué r la función es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea.

7. Formule un teorema de que una combinación lineal de soluciones de una ecuación lineal homogénea también es su solución.

8. Formule el teorema sobre la imposición de soluciones y sus consecuencias.

9. ¿Qué son los sistemas de funciones linealmente dependientes y linealmente independientes? Dé algunos ejemplos.

10. ¿Cuál es el determinante de Wronski de un sistema de n funciones? Dé un ejemplo del determinante de Wronski para los sistemas LZS y LNS.

Conferencia número 8.

1. ¿Qué propiedad tiene el determinante de Wronski si la función del sistema es linealmente dependiente?

2. ¿Cuántas soluciones linealmente independientes existen para una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n?

3. Determinación del FSR (sistema fundamental de soluciones) de una ecuación lineal homogénea de orden n.

4. ¿Cuántas funciones contiene el FSR?

5. Escriba la forma del sistema de ecuaciones para encontrar por el método de Lagrange para n=2.

6. Escriba el tipo de solución particular en el caso en que

7. ¿Qué es? sistema lineal ecuaciones diferenciales, escribe algún ejemplo.

8. ¿Qué es? sistema autónomo ecuaciones diferenciales.

9. Significado físico sistemas de ecuaciones diferenciales.

10. Escriba en qué funciones consta el FSR del sistema de ecuaciones, si se conocen los valores propios y vectores propios de la matriz principal de este sistema.

Conferencia número 9.

1. ¿Qué es una unidad imaginaria?

2. ¿Qué es un número conjugado y qué sucede cuando lo multiplicas por el número original?

3. ¿Cuál es la forma exponencial trigonométrica de un número complejo?

4. Escribe la fórmula de Euler.

5. ¿Cuál es el módulo, el argumento de un número complejo?

6. qué sucede con los módulos y argumentos durante la multiplicación (división).

7. Escribe la fórmula de Moivre para el grado n.

8. Escribe la fórmula para una raíz de orden n.

9. Escribe fórmulas generalizadas de senos y cosenos para un argumento complejo.

10. Escribe la fórmula del logaritmo de un número complejo.

Apéndice 3. Problemas de las conferencias.

Conferencia número 1

Ejemplo. . Ejemplo. .

Ejemplo. . Ejemplo. .

Ejemplo. Ejemplo. .

Ejemplo. . Ejemplo. .

Conferencia No. 2

Ejemplo. . Ejemplo. .

Ejemplo. . Ejemplo. .

Ejemplo. . Ejemplo.. , donde, número .

Ejemplo. Divide exponencialmente.

Ejemplo. Encuentra usando la fórmula de Moivre.

Ejemplo. Encuentra todos los valores de la raíz.

Se dan las propiedades básicas del logaritmo, gráfico de logaritmos, dominio de definición, conjunto de valores, fórmulas básicas, creciente y decreciente. Se considera encontrar la derivada de un logaritmo. Así como integrales, expansión y representación de series de potencias mediante números complejos.

Contenido

Dominio, conjunto de valores, creciente, decreciente.

El logaritmo es función monótona, por lo tanto no tiene extremos. Las principales propiedades del logaritmo se presentan en la tabla.

Dominio de definición	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Rango de valores	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monótono	aumenta monótonamente	disminuye monótonamente
Ceros, y = 0	x= 1	x= 1
Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x = 0	No	No
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valores privados

El logaritmo en base 10 se llama logaritmo decimal y se denota de la siguiente manera:

Logaritmo a base mi llamado logaritmo natural:

Fórmulas básicas para logaritmos.

Propiedades del logaritmo que surgen de la definición de la función inversa:

La principal propiedad de los logaritmos y sus consecuencias.

Fórmula de reemplazo base

Logaritmo es la operación matemática de tomar un logaritmo. Al tomar logaritmos, los productos de factores se convierten en sumas de términos.
La potenciación es la operación matemática inversa al logaritmo. Durante la potenciación, una base determinada se eleva hasta el grado de expresión sobre el cual se realiza la potenciación. En este caso, las sumas de términos se transforman en productos de factores.

Prueba de fórmulas básicas para logaritmos.

Las fórmulas relacionadas con los logaritmos se derivan de fórmulas para funciones exponenciales y de la definición de función inversa.

Considere la propiedad de la función exponencial.
.
Entonces
.
Apliquemos la propiedad de la función exponencial.
:
.

Probemos la fórmula de reemplazo de bases.
;
.
Suponiendo c = b, tenemos:

función inversa

La inversa de un logaritmo en base a es una función exponencial con exponente a.

Si entonces

Si entonces

Derivada del logaritmo

Derivada del logaritmo del módulo x:
.
Derivada de enésimo orden:
.
Derivando fórmulas > > >

Para encontrar la derivada de un logaritmo, se debe reducir a la base. mi.
;
.

Integral

La integral del logaritmo se calcula integrando por partes: .
Entonces,

Expresiones usando números complejos

Considere la función de números complejos z:
.
Expresemos un número complejo. z vía módulo r y argumento φ :
.
Luego, usando las propiedades del logaritmo, tenemos:
.
O

Sin embargo, el argumento φ no definido unívocamente. si pones
, donde n es un número entero,
entonces será el mismo número para diferentes norte.

Por tanto, el logaritmo, como función de una variable compleja, no es una función univaluada.

Expansión de series de potencias

Cuando se produce la ampliación:

Literatura usada:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.

Ver también:

Logaritmos naturales

Para la derivada del logaritmo natural es válida una fórmula sencilla:

Por esta razón, los logaritmos naturales se utilizan predominantemente en la investigación matemática. A menudo aparecen al resolver ecuaciones diferenciales. ecuaciones, estudio de dependencias estadísticas (por ejemplo, distribuciones de simples números), etc.

Cuando la igualdad es verdadera

Esta serie converge más rápido y, además, el lado izquierdo de la fórmula ahora puede expresar el logaritmo de cualquier número positivo.

Relación con el logaritmo decimal: .

Logaritmos decimales

Arroz. 2. Escala logarítmica

Logaritmos en base 10 (símbolo: lg a) antes de la invención calculadoras ampliamente utilizado para la informática. escala desigual Los logaritmos decimales generalmente se trazan en reglas de cálculo. Una escala similar se usa ampliamente en varios campos de la ciencia, por ejemplo:

Física- intensidad del sonido ( decibeles).

Astronomía- escala brillo de las estrellas.

Química- actividad hidrógeno iones (pH).

Sismología - escala de richter.

teoría musical- escala de notas, en relación con las frecuencias de los sonidos de las notas.

Historia - escala de tiempo logarítmica.

La escala logarítmica también se usa ampliamente para identificar el exponente en relaciones de poder y el coeficiente en el exponente. En este caso, un gráfico construido en escala logarítmica a lo largo de uno o dos ejes toma la forma de una línea recta, que es más fácil de estudiar.

función logarítmica

Una función logarítmica es una función de la forma F(incógnita) = iniciar sesión a incógnita, definido en

Explorando la función logarítmica

Alcance:

Alcance:

La gráfica de cualquier función logarítmica pasa por el punto (1;0)

La derivada de la función logarítmica es igual a:

Prueba [espectáculo]

I. Demostremos que

Anotemos la identidad. mi en incógnita = incógnita y diferenciar sus lados izquierdo y derecho

lo entendemos , de lo que se deduce que

II. Probemos que

La función es estrictamente creciente en a> 1 y estrictamente decreciente en 0 a

Derecho incógnita= 0 queda asíntota vertical, porque en a> 1 y en 0 a

logaritmo complejo

Función multivalor

Para números complejos El logaritmo se define de la misma forma que uno real. Comencemos con el logaritmo natural, que denotamos y definimos como el conjunto de todos los números complejos. z tal que mi z = w. El logaritmo complejo existe para cualquier , y su parte real está determinada de forma única, mientras que la parte imaginaria tiene un número infinito de valores. Por esta razón se le llama función multivaluada. si te imaginas w en forma demostrativa:

entonces el logaritmo se encuentra mediante la fórmula:

Aquí está el logaritmo real, r = | w | , k- arbitrario entero. El valor obtenido cuando k= 0, llamado importancia principal logaritmo natural complejo; se acostumbra tomar el valor del argumento en el intervalo (− π,π]. La función correspondiente (ya de un solo valor) se llama rama principal logaritmo y se denota por . A veces también indican un valor de logaritmo que no está en la rama principal.

De la fórmula se sigue:

La parte real del logaritmo está determinada por la fórmula:

El logaritmo de un número negativo se encuentra mediante la fórmula:

Ejemplos (se da el valor principal del logaritmo):

Los logaritmos complejos con diferente base se tratan de manera similar. Sin embargo, se debe tener cuidado al convertir logaritmos complejos, teniendo en cuenta que son multivaluados y, por lo tanto, la igualdad de los logaritmos de cualquier expresión no implica la igualdad de estas expresiones. Ejemplo de razonamiento defectuoso:

iπ = ln(- 1) = ln((- i) 2) = 2ln(- i) = 2(− iπ / 2) = − iπ es un absurdo obvio.

Tenga en cuenta que a la izquierda está el valor principal del logaritmo y a la derecha está el valor de la rama subyacente ( k=-1). La causa del error es el uso descuidado de la propiedad, que, en general, implica en el caso complejo todo el conjunto infinito de valores de logaritmos, y no sólo el valor principal.

superficie de riemann

Función logarítmica compleja: ejemplo superficie de riemann; su parte imaginaria (Fig. 3) consta de un número infinito de ramas retorcidas como una espiral. esta superficie simplemente conectado; su único cero (de primer orden) se obtiene en z= 1, puntos singulares: z= 0 y (puntos de ramificación de orden infinito).

La superficie de Riemann de un logaritmo es revestimiento universal para el plano complejo sin punto 0.

Bosquejo histórico

logaritmo real

La necesidad de realizar cálculos complejos en siglo XVI creció rápidamente y gran parte de la dificultad estaba asociada con la multiplicación y división de números de varios dígitos. A finales de siglo, a varios matemáticos, casi simultáneamente, se les ocurrió una idea: reemplazar la laboriosa multiplicación por una simple suma, comparando mediante tablas especiales. geométrico Y aritmética progresión, mientras que la geométrica será la original. Entonces la división es reemplazada automáticamente por la resta, infinitamente más simple y confiable. Fue el primero en publicar esta idea en su libro “ Aritmética integra» Michael Stiefel, quien, sin embargo, no hizo esfuerzos serios para implementar su idea.

EN 1614 Matemático aficionado escocés Juan Napier publicado en latín un ensayo titulado " Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos." tenia breve descripción logaritmos y sus propiedades, así como tablas de logaritmos de 8 dígitos senos paranasales, cosenos Y tangentes, en incrementos de 1". Término logaritmo, propuesto por Napier, se ha consolidado en la ciencia.

El concepto de función aún no existía y Napier definió el logaritmo. cinemáticamente, comparando el movimiento uniforme y logarítmicamente lento. En notación moderna, el modelo de Napier se puede representar mediante la ecuación diferencial: dx/x = -dy/M, donde M es un factor de escala introducido para hacer que el valor sea un número entero con la cantidad correcta signos (las fracciones decimales aún no se usaban ampliamente). Napier tomó M = 10000000.

Estrictamente hablando, Napier tabuló la función equivocada, que ahora se llama logaritmo. Si denotamos su función LogNap(x), entonces se relaciona con el logaritmo natural de la siguiente manera:

Obviamente, LogNap(M) = 0, es decir, el logaritmo del "seno completo" es cero; esto es lo que Napier logró con su definición. LogNap(0) = ∞.

La principal propiedad del logaritmo de Napier: si las cantidades se forman progresión geométrica, entonces sus logaritmos forman una progresión aritmética. Sin embargo, las reglas del logaritmo para la función neper diferían de las reglas del logaritmo moderno.

Por ejemplo, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Desafortunadamente, todos los valores de la tabla de Napier contenían un error de cálculo después del sexto dígito. Sin embargo, esto no impidió que el nuevo método de cálculo ganara gran popularidad y muchos matemáticos europeos comenzaron a compilar tablas logarítmicas, incluidas Kepler.

En la década de 1620, Edmund Wingate y William Oughtred inventó el primero regla de cálculo, antes de la llegada de las calculadoras de bolsillo, una herramienta indispensable para los ingenieros.

Cerca de la comprensión moderna del logaritmo: como operación inversa exponenciación- apareció por primera vez en wallis Y Juan Bernoulli, y finalmente fue legalizado Euler V Siglo XVIII. En el libro "Introducción al análisis del infinito" ( 1748 ) Euler dio definiciones modernas como indicativo, y las funciones logarítmicas, llevaron su expansión a series de potencias y destacaron especialmente el papel del logaritmo natural.

A Euler también se le atribuye la extensión de la función logarítmica al dominio complejo.

logaritmo complejo

Los primeros intentos de extender los logaritmos a números complejos se hicieron a finales de los siglos XVII y XVIII. Leibniz Y Juan Bernoulli Sin embargo, no lograron crear una teoría completa, principalmente porque el concepto mismo de logaritmo aún no estaba claramente definido. La discusión sobre este tema tuvo lugar primero entre Leibniz y Bernoulli, y a mediados del siglo XVIII, entre d'Alembert y Euler. Bernoulli y d'Alembert creían que debería determinarse registro(-x) = registro(x). La teoría completa de los logaritmos de números negativos y complejos fue publicada por Euler en 1747-1751 y esencialmente no se diferencia de la moderna.

Aunque la disputa continuó (D'Alembert defendió su punto de vista y lo argumentó en detalle en un artículo de su Enciclopedia y en otras obras), el punto de vista de Euler rápidamente ganó reconocimiento universal.

Tablas logarítmicas

Tablas logarítmicas

De las propiedades del logaritmo se deduce que en lugar de la laboriosa multiplicación de números de varios dígitos, basta con encontrar (a partir de tablas) y sumar sus logaritmos, y luego usar las mismas tablas para realizar potenciación, es decir, encontrar el valor del resultado por su logaritmo. La única diferencia entre hacer división es que se restan logaritmos. Laplace Dijo que la invención de los logaritmos “alargó la vida de los astrónomos”, acelerando muchas veces el proceso de cálculo.

Al mover el punto decimal en un número a norte dígitos, el valor del logaritmo decimal de este número cambia a norte. Por ejemplo, log8314.63 = log8.31463 + 3. De ello se deduce que basta con crear una tabla de logaritmos decimales para números en el rango del 1 al 10.

Las primeras tablas de logaritmos fueron publicadas por John Napier ( 1614 ), y contenían sólo logaritmos de funciones trigonométricas y con errores. Independientemente de él, Joost Bürgi, un amigo, publicó sus tablas Kepler (1620 ). EN 1617 Oxford profesor de matemáticas Henry Briggs publicó tablas que ya incluían logaritmos decimales de los propios números, del 1 al 1000, con 8 (luego 14) dígitos. Pero también hubo errores en las tablas de Briggs. Primera edición sin errores basada en las tablas Vega ( 1783 ) apareció sólo en 1857 en Berlín (mesas Bremiwer).

En Rusia, las primeras tablas de logaritmos se publicaron en 1703 con la participación L. F. Magnitsky. En la URSS se publicaron varias colecciones de tablas de logaritmos.

Bradis V. M. Tablas matemáticas de cuatro dígitos. 44ª edición, M., 1973.

mesas bradis ( 1921 ) fueron utilizados en instituciones educativas y en cálculos de ingeniería que no requieren gran precisión. ellos contenían mantisa logaritmos decimales de números y funciones trigonométricas, logaritmos naturales y algunas otras herramientas de cálculo útiles.

Literatura

Uspensky Ya. Ensayo sobre la historia de los logaritmos. Petrogrado, 1923. −78 p.

Vygodsky M. Ya. manual de matemáticas elementales. - Moscú: AST, 2003. -

ISBN 5-17-009554-6 Historia de las Matemáticas, editado por A. P. Yushkevich

en tres volúmenes, M.: Nauka. Volumen 1 Desde la antigüedad hasta el inicio de los tiempos modernos. (1970) la psicología como ciencia independiente (2)

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función logarítmica

Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = logax, definida en< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Alcance: . Rango de valores: . La función es estrictamente creciente para a > 1 y estrictamente decreciente para 0< a < 1.

La recta x = 0 es una asíntota vertical izquierda, ya que para a > 1 y para 0

La derivada de la función logarítmica es igual a:

La función logarítmica realiza un isomorfismo entre el grupo multiplicativo de los números reales positivos y el grupo aditivo de todos los números reales.

logaritmo complejo

Para números complejos, el logaritmo se define de la misma forma que uno real. En la práctica se utiliza casi exclusivamente el logaritmo natural complejo, que denotamos y definimos como el conjunto de todos los números complejos z tales que ez = w. El logaritmo complejo existe para cualquiera, y su parte real está unívocamente determinada, mientras que la parte imaginaria tiene un número infinito de valores. Por esta razón se le llama función multivaluada. Si representamos w en forma exponencial:

entonces el logaritmo se encuentra mediante la fórmula:

Aquí hay un logaritmo real, r = | w | , k es un número entero arbitrario. El valor obtenido en k = 0 se denomina valor principal del logaritmo natural complejo; Se acostumbra tomar el valor del argumento en el intervalo (? р,р]. La función correspondiente (ya de un solo valor) se llama rama principal del logaritmo y se denota. A veces, el valor del logaritmo que no mentir en la rama principal también se indica con.

De la fórmula se sigue:

La parte real del logaritmo está determinada por la fórmula:

El logaritmo de un número negativo se encuentra mediante la fórmula.

La función exponencial de una variable real (con base positiva) se determina en varios pasos. Primero, para los valores naturales, como producto de factores iguales. Luego, la definición se extiende a números enteros negativos y valores distintos de cero según las reglas. A continuación consideramos indicadores fraccionarios, para lo cual el valor de la función exponencial se determina mediante las raíces: . En el caso de los valores irracionales, la definición ya está relacionada con el concepto básico del análisis matemático: con el paso al límite, por razones de continuidad. Todas estas consideraciones no son de ninguna manera aplicables a los intentos de extender la función exponencial a valores complejos del indicador, y qué es, por ejemplo, no está del todo claro.

Por primera vez, Euler introdujo una potencia con un exponente complejo con base natural basándose en un análisis de una serie de construcciones de cálculo integral. A veces, expresiones algebraicas muy similares, cuando se integran, dan respuestas completamente diferentes:

Al mismo tiempo, aquí la segunda integral se obtiene formalmente de la primera cuando se reemplaza por

De esto podemos concluir que con la definición adecuada de una función exponencial con un exponente complejo, las funciones trigonométricas inversas están relacionadas con los logaritmos y, por tanto, la función exponencial está relacionada con las trigonométricas.

Euler tuvo el coraje y la imaginación para dar una definición razonable de una función exponencial con base, a saber,

Esta es una definición y, por lo tanto, esta fórmula no se puede probar; sólo se pueden buscar argumentos a favor de la razonabilidad y adecuación de tal definición. El análisis matemático proporciona muchos argumentos de este tipo. Nos limitaremos a uno solo.

Se sabe que de verdad existe una relación limitante: . En el lado derecho hay un polinomio que también tiene sentido para valores complejos de . El límite de una secuencia de números complejos se determina de forma natural. Una secuencia se considera convergente si las secuencias de partes reales e imaginarias convergen y se acepta.

Encontrémoslo. Para ello, recurrimos a la forma trigonométrica y para el argumento seleccionaremos valores del intervalo. Con esta elección queda claro que para . Próximo,

Para llegar al límite, es necesario verificar la existencia de límites para y encontrar estos límites. Esta claro que

Así, en la expresión

la parte real tiende a , la parte imaginaria tiende a así

Este simple argumento proporciona uno de los argumentos a favor de la definición de Euler de la función exponencial.

Establezcamos ahora que al multiplicar los valores de una función exponencial, los exponentes suman. En realidad:

2. Fórmulas de Euler.

Pongamos la definición de función exponencial. Obtenemos:

Reemplazando b con -b, obtenemos

Sumando y restando estas igualdades término por término, encontramos las fórmulas

llamadas fórmulas de Euler. Establecen una conexión entre funciones trigonométricas y exponencial con exponentes imaginarios.

3. Logaritmo natural de un número complejo.

Un número complejo dado en forma trigonométrica se puede escribir en la forma. Esta forma de escribir un número complejo se llama exponencial. ella guarda todo buenas propiedades forma trigonométrica, pero aún más concisa. Además, por tanto, es natural suponer que la parte real del logaritmo de un número complejo es el logaritmo de su módulo y la parte imaginaria es su argumento. Esto explica hasta cierto punto la propiedad "logarítmica" del argumento: el argumento del producto es igual a la suma de los argumentos de los factores.