Función de construcción
Ofrecemos a su atención un servicio de construcción de gráficos de funciones en línea, cuyos derechos pertenecen a la empresa. desmos. Utilice la columna de la izquierda para ingresar funciones. Puedes ingresar manualmente o usando el teclado virtual en la parte inferior de la ventana. Para ampliar la ventana con el gráfico, puede ocultar tanto la columna de la izquierda como el teclado virtual.
Beneficios de los gráficos en línea
- Visualización visual de las funciones introducidas.
- Construyendo gráficos muy complejos.
- Construcción de gráficos especificados implícitamente (por ejemplo, elipse x^2/9+y^2/16=1)
- La capacidad de guardar gráficos y recibir un enlace a ellos, que estará disponible para todos en Internet.
- Control de escala, color de línea.
- Posibilidad de trazar gráficas por puntos, utilizando constantes.
- Trazar varios gráficos de funciones simultáneamente
- Trazar en coordenadas polares (use r y θ(\theta))
Con nosotros es fácil crear gráficos de diversa complejidad en línea. La construcción se realiza al instante. El servicio tiene una gran demanda para encontrar puntos de intersección de funciones, representar gráficos para luego trasladarlos a un documento de Word como ilustraciones al resolver problemas y analizar las características de comportamiento de los gráficos de funciones. El navegador óptimo para trabajar con gráficos en esta página del sitio es Google Chrome. No se garantiza el correcto funcionamiento al utilizar otros navegadores.
La construcción de gráficas de funciones que contienen módulos suele causar considerables dificultades a los escolares. Sin embargo, no todo es tan malo. Basta recordar algunos algoritmos para resolver este tipo de problemas, y podrá construir fácilmente un gráfico incluso para los más aparentemente función compleja. Averigüemos qué tipo de algoritmos son estos.
1. Trazar una gráfica de la función y = |f(x)|
Tenga en cuenta que el conjunto de valores de la función y = |f(x)| : y ≥ 0. Por lo tanto, las gráficas de tales funciones siempre están ubicadas completamente en el semiplano superior.
Trazar una gráfica de la función y = |f(x)| consta de los siguientes cuatro sencillos pasos.
1) Construya con cuidado y cuidado una gráfica de la función y = f(x).
2) Deje sin cambios todos los puntos del gráfico que están encima o en el eje 0x.
3) Muestre la parte del gráfico que se encuentra debajo del eje 0x simétricamente con respecto al eje 0x.
Ejemplo 1. Dibuja una gráfica de la función y = |x 2 – 4x + 3|
1) Construimos una gráfica de la función y = x 2 – 4x + 3. Obviamente, la gráfica de esta función es una parábola. Encontremos las coordenadas de todos los puntos de intersección de la parábola con los ejes de coordenadas y las coordenadas del vértice de la parábola.
x2 – 4x + 3 = 0.
x1 = 3, x2 = 1.
Por lo tanto, la parábola corta al eje 0x en los puntos (3, 0) y (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Por lo tanto, la parábola corta al eje 0y en el punto (0, 3).
Coordenadas del vértice de la parábola:
x pulg = -(-4/2) = 2, y pulg = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Por tanto, el punto (2, -1) es el vértice de esta parábola.
Dibuja una parábola usando los datos obtenidos. (Figura 1)
2) La parte del gráfico que se encuentra debajo del eje 0x se muestra simétricamente con respecto al eje 0x.
3) Obtenemos una gráfica de la función original ( arroz. 2, mostrado en línea de puntos).
2. Graficar la función y = f(|x|)
Tenga en cuenta que las funciones de la forma y = f(|x|) son pares:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Esto significa que las gráficas de tales funciones son simétricas con respecto al eje 0y.
Trazar una gráfica de la función y = f(|x|) consta de la siguiente cadena simple de acciones.
1) Grafica la función y = f(x).
2) Dejar aquella parte de la gráfica para la cual x ≥ 0, es decir, la parte de la gráfica ubicada en el semiplano derecho.
3) Visualice la parte del gráfico especificada en el punto (2) simétricamente al eje 0y.
4) Como gráfica final, seleccione la unión de las curvas obtenidas en los puntos (2) y (3).
Ejemplo 2. Dibuja una gráfica de la función y = x 2 – 4 · |x| + 3
Dado que x 2 = |x| 2, entonces la función original se puede reescribir como el siguiente formulario: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Ahora podemos aplicar el algoritmo propuesto anteriormente.
1) Construimos cuidadosa y cuidadosamente una gráfica de la función y = x 2 – 4 x + 3 (ver también arroz. 1).
2) Dejamos aquella parte de la gráfica para la que x ≥ 0, es decir, la parte de la gráfica situada en el semiplano derecho.
3) Muestre el lado derecho del gráfico simétricamente al eje 0y.
(Figura 3).
Ejemplo 3. Dibuja una gráfica de la función y = log 2 |x|
Aplicamos el esquema dado anteriormente.
1) Grafica la función y = log 2 x (Figura 4).
3. Trazar la función y = |f(|x|)|
Tenga en cuenta que las funciones de la forma y = |f(|x|)| también están igualados. De hecho, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), y por lo tanto, sus gráficas son simétricas con respecto al eje 0y. El conjunto de valores de tales funciones: y ≥ 0. Esto significa que las gráficas de tales funciones están ubicadas completamente en el semiplano superior.
Para trazar la función y = |f(|x|)|, necesitas:
1) Construya con cuidado una gráfica de la función y = f(|x|).
2) Deje sin cambios la parte del gráfico que está encima o en el eje 0x.
3) Muestre la parte del gráfico ubicada debajo del eje 0x simétricamente con respecto al eje 0x.
4) Como gráfica final, seleccione la unión de las curvas obtenidas en los puntos (2) y (3).
Ejemplo 4. Dibuja una gráfica de la función y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Tenga en cuenta que x 2 = |x| 2. Esto significa que en lugar de la función original y = -x 2 + 2|x| – 1
puedes usar la función y = -|x| 2 + 2|x| – 1, ya que sus gráficas coinciden.
Construimos una gráfica y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Para ello utilizamos el algoritmo 2.
a) Grafica la función y = -x 2 + 2x – 1 (Figura 6).
b) Dejamos esa parte de la gráfica que se ubica en el semiplano derecho.
c) Mostramos la parte resultante del gráfico simétricamente al eje 0y.
d) La gráfica resultante se muestra en la línea de puntos de la figura. (Figura 7).
2) No hay puntos sobre el eje 0x; dejamos los puntos en el eje 0x sin cambios.
3) La parte del gráfico ubicada debajo del eje 0x se muestra simétricamente con respecto a 0x.
4) El gráfico resultante se muestra en la figura con una línea de puntos. (Figura 8).
Ejemplo 5. Grafica la función y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Primero necesitas trazar la función y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Para ello volvemos al Algoritmo 2.
a) Trace cuidadosamente la función y = (2x – 4) / (x + 3) (Figura 9).
Tenga en cuenta que esta función es lineal fraccionaria y su gráfica es una hipérbola. Para trazar una curva, primero necesitas encontrar las asíntotas de la gráfica. Horizontal – y = 2/1 (la relación de los coeficientes de x en el numerador y denominador de la fracción), vertical – x = -3.
2) Dejaremos sin cambios esa parte del gráfico que está encima del eje 0x o sobre él.
3) La parte del gráfico ubicada debajo del eje 0x se mostrará simétricamente con respecto a 0x.
4) El gráfico final se muestra en la figura. (Figura 11).
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“Logaritmo natural” - 0,1. Logaritmos naturales. 4. Dardos logarítmicos. 0,04. 7.121.
“Función de potencia grado 9” - U. Parábola cúbica. Y = x3. La maestra de noveno grado Ladoshkina I.A. Y = x2. Hipérbola. 0. Y = xn, y = x-n donde n es el valor dado número natural. X. El exponente es un número natural par (2n).
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“Función cuadrática de octavo grado” - 1) Construir el vértice de una parábola. Trazar una gráfica de una función cuadrática. incógnita. -7. Construye una gráfica de la función. Álgebra 8vo grado Maestra 496 colegio Bovina T.V. -1. Plano de construcción. 2) Construya el eje de simetría x=-1. y.
La función y=x^2 se llama función cuadrática. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Vista general La parábola se muestra en la siguiente figura.
función cuadrática
Fig 1. Vista general de la parábola.
Como puede verse en el gráfico, es simétrico con respecto al eje Oy. El eje Oy se llama eje de simetría de la parábola. Esto significa que si dibuja una línea recta en el gráfico paralela al eje Ox sobre este eje. Luego cortará la parábola en dos puntos. La distancia desde estos puntos al eje Oy será la misma.
El eje de simetría divide la gráfica de una parábola en dos partes. Estas partes se llaman ramas de la parábola. Y el punto de una parábola que se encuentra sobre el eje de simetría se llama vértice de la parábola. Es decir, el eje de simetría pasa por el vértice de la parábola. Las coordenadas de este punto son (0;0).
Propiedades básicas de una función cuadrática.
1. En x =0, y=0 e y>0 en x0
2. La función cuadrática alcanza su valor mínimo en su vértice. Ymín en x=0; También cabe señalar que valor máximo la función no existe.
3. La función disminuye en el intervalo (-∞;0] y aumenta en el intervalo Resolviendo la ecuación \(x"\left(t \right) = 0,\) determinamos los puntos estacionarios de la función \(x\ izquierda(t \right):\ ) \[ (x"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1, 2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] Para \ (t = 1\) la función \ (x\left(t \right)\) alcanza un máximo igual a \y en el punto \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) que tiene un mínimo igual a \[ (x\left(( \frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\ izquierda((\frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right) ) = (\frac(1)((27)) + \ frac(1)(9) - \frac(1 )(3) = - \frac(5)((27)).) \] Considere la derivada \(y"\left(t \right):\) \ [ (y"\left(t \right) = ( \left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \] Encuentra puntos estacionarios de la función \(y \left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3( t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\ ; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2; \;\frac(2)(3).) \] Aquí, de manera similar, la función \(y\left(t \right)\) alcanza un máximo en el punto \(t = -2:\) \ y a mínimo en el punto \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize :\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left( (\frac(2)(3)) \right)^3) + 2(\ left((\frac(2)(3)) \right)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) = (\frac(8)((27)) + \frac(8)( 9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \ ] Las gráficas de las funciones \(x\left(t \right)\), \(y\ left(t \right)\) se muestran esquemáticamente en la Figura \(15a.\)
Fig.15a |
Figura 15b |
Fig.15c |
Tenga en cuenta que dado que \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] entonces la curva \(y\left(x \right)\) no tiene ni vertical, sin asíntotas horizontales. Además, dado que \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color (azul)(t^3)) + \color(rojo)(2(t^2)) - \color(verde)(4t) - \cancel(\color(azul)(t^3)) - \ color (rojo)(t^2) + \color(verde)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(rojo)(t^ 2 ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] entonces la curva \(y\left(x \right)\) tampoco tiene asíntotas oblicuas.
Determinemos los puntos de intersección de la gráfica \(y\left(x \right)\) con los ejes de coordenadas. La intersección con el eje x ocurre en los siguientes puntos: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Rightarrow t\left(((t^2) + 2t - 4) \right) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ Flecha derecha (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; (\ Flecha derecha (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalsize.) \)
En el segundo intervalo \(\left(( - 2, - 1) \right)\) la variable \(x\) aumenta de \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) a \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) y la variable \(y\) disminuye de \(y\left(( - 2) \right) = 8\) a \(y\left (( - 1) \right) = 5.\) Aquí tenemos una sección de una curva decreciente \(y\left(x \right).\) Interseca el eje de ordenadas en el punto \(\left((0.3 + 2\sqrt 5 ) \derecha).\)
En el tercer intervalo \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) ambas variables disminuyen. El valor de \(x\) cambia de \(x\left(( - 1) \right) = 1\) a \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right ) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) En consecuencia, el valor de \(y\) disminuye de \(y\left(( - 1) \right) = 5\) a \(y\ left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Curva \(y\left(x \right)\ ) intersecta el origen de coordenadas.
En el cuarto intervalo \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) la variable \(x\) aumenta de \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) a \(x\left((\ grande\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) y la variable \(y\) disminuye de \(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) a \(y\left((\large\frac(2)( 3)\ normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) En esta sección, la curva \(y\left(x \right)\) intersecta el eje de ordenadas en punto \(\left( (0.3 - 2\sqrt 5 )\right).\)
Finalmente, en el último intervalo \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) ambas funciones \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) aumenta. La curva \(y\left(x \right)\) corta el eje x en el punto \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \approx 2.18.\)
Para aclarar la forma de la curva \(y\left(x \right)\), calculemos los puntos máximo y mínimo. La derivada \(y"\left(x \right)\) se expresa como \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac((((y"_t))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ right)))((\cancel(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right))) ) = (\frac(( \ left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \right)))(\left((t + 1) \right)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] El cambio en el signo de la derivada \(y"\left(x \right)\) se muestra en la Figura \(15c.\) Puede Puede verse que en el punto \(t = - 2,\), es decir en el límite de los intervalos \(I\)-ésimo y \(II\)-ésimo la curva tiene un máximo, y en \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (en el límite de los intervalos \(IV\) ésimo y \(V\)ésimo) hay un mínimo. Al pasar por el punto \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\), la derivada también cambia de signo de más a menos, pero en esta región la curva \(y\left(x \right) \) no es una función única. Por tanto, el punto indicado no es un extremo.
También examinamos la convexidad de esta curva. Segunda derivada\(y""\left(x \right)\) tiene la forma: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4 ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \right))^\prime )))((((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ derecha ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \right)\left((6t + 2) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \right)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \ frac((\cancel(\color(azul)(18(t^3))) + \color(rojo)(24(t^2)) + \color(verde)(2t) - \color(granate) ( 4) - \cancel(\color(azul)(18(t^3))) - \color(rojo)(30(t^2)) + \color(verde)(16t) + \color(granate) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(rojo)(6(t^2 ) ) + \color(verde)(18t) + \color(granate)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105) ) )(6)) \right)))((((\left((t + 1) \right))^3)((\left((3t - 1) \right))^3))). \] En consecuencia, la segunda derivada cambia de signo al contrario al pasar por los siguientes puntos (Fig.\(15с\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1 ) \derecha ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \aprox 0.24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 0.91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ raíz cuadrada (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \aprox 40.1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 40.8.) \] Por lo tanto, los puntos indicados representan puntos de inflexión de la curva \(y\left( x\derecha).\)
Un gráfico esquemático de la curva \(y\left(x \right)\) se muestra arriba en la Figura \(15b.\).