Funciones de las relaciones económicas. Funciones Las siguientes funciones en relación con

Esencia y clasificación. relaciones económicas

Desde el momento de su separación del mundo. fauna, el hombre se desarrolla como un ser biosocial. Esto determina las condiciones para su desarrollo y formación. El principal estímulo para el desarrollo del hombre y de la sociedad son las necesidades. Para satisfacer estas necesidades, una persona debe trabajar.

El trabajo es la actividad consciente de una persona para crear bienes con el fin de satisfacer necesidades u obtener beneficios.

Cuanto más aumentaban las necesidades, más complejo se volvía el proceso laboral. Requirió un gasto de recursos cada vez mayor y acciones cada vez más coordinadas de todos los miembros de la sociedad. Gracias al trabajo se formaron las principales características. apariencia hombre moderno, y las características del hombre como ser social. El trabajo pasó a la fase de actividad económica.

La actividad económica se refiere a la actividad humana en la creación, redistribución, intercambio y uso de bienes materiales y espirituales.

La actividad económica implica la necesidad de entablar algún tipo de relación entre todos los participantes. este proceso. Estas relaciones se llaman económicas.

Definición 1

Las relaciones económicas son el sistema de relaciones entre lo físico y lo entidades legales, formado durante el proceso de producción. redistribución, intercambio y consumo de cualquier bien.

Estas relaciones tienen varias formas y duración. Por tanto, existen varias opciones para su clasificación. Todo depende del criterio elegido. El criterio puede ser el tiempo, la frecuencia (regularidad), el grado de beneficio, las características de los participantes en esta relación, etc. Los tipos de relaciones económicas más frecuentemente mencionados son:

• internacional y nacional;
• mutuamente beneficioso y discriminatorio (beneficiando a una parte e infringiendo los intereses de la otra);
• voluntario y forzado;
• estable regular y episódico (a corto plazo);
• crédito, financiero y de inversión;
• relaciones de compra y venta;
• relaciones de propiedad, etc.

En el proceso de actividad económica, cada uno de los participantes en la relación puede desempeñar varios roles. Convencionalmente, se distinguen tres grupos de portadores de relaciones económicas. Estos son:

• productores y consumidores de bienes económicos;
• vendedores y compradores de bienes económicos;
• propietarios y usuarios de bienes.

A veces se distingue una categoría separada de intermediarios. Pero, por otro lado, los intermediarios simplemente existen de varias formas al mismo tiempo. Por tanto, el sistema de relaciones económicas se caracteriza por una amplia variedad de formas y manifestaciones.

Hay otra clasificación de las relaciones económicas. El criterio son las características de los procesos y objetivos en curso de cada tipo de relación. Estos tipos son la organización de la actividad laboral, la organización de la actividad económica y la gestión de la actividad económica.

La base para la formación de relaciones económicas de todos los niveles y tipos es el derecho de propiedad de los recursos y medios de producción. Determinan la propiedad de los bienes producidos. El siguiente factor formador del sistema son los principios de distribución de los bienes producidos. Estos dos puntos formaron la base para la formación de tipos. sistemas económicos.

Funciones de las relaciones organizativas y económicas.

Definición 2

Las relaciones económico-organizativas son relaciones para crear condiciones para el uso más eficiente de los recursos y reducir costos a través de la organización de formas de producción.

La función de esta forma de relaciones económicas es el máximo aprovechamiento de las ventajas económicas relativas y el uso racional de las oportunidades obvias. Las principales formas de relaciones organizativas y económicas incluyen la concentración (consolidación) de la producción, la combinación (combinación de producción de diferentes industrias en una empresa), la especialización y la cooperación (para aumentar la productividad). La formación de complejos productivos territoriales se considera la forma completa de relaciones organizativas y económicas. Se obtiene un efecto económico adicional debido a la ubicación territorial favorable de las empresas y uso racional infraestructura.

Los economistas y geógrafos económicos rusos soviéticos desarrollaron a mediados del siglo XX la teoría de los ciclos de producción de energía (EPC). Sugirieron organizarlo de esta manera. procesos de producción en un determinado territorio para utilizar un único flujo de materias primas y energía para producir toda una gama de productos. Esto reduciría drásticamente los costos de producción y reduciría el desperdicio de producción. Las relaciones organizativas y económicas están directamente relacionadas con la gestión económica.

Funciones de las relaciones socioeconómicas.

Definición 3

Las relaciones socioeconómicas son las relaciones entre agentes económicos, que se basan en derechos de propiedad.

La propiedad es un sistema de relaciones entre personas, que se manifiesta en su actitud hacia las cosas: el derecho a disponer de ellas.

La función de las relaciones socioeconómicas es racionalizar las relaciones de propiedad de acuerdo con las normas de una sociedad determinada. Después de todo, las relaciones jurídicas se construyen, por un lado, sobre la base de los derechos de propiedad y, por el otro, sobre la base de relaciones de propiedad volitivas. Estas interacciones entre las dos partes toman la forma tanto de normas morales como de normas legislativas (legalmente consagradas).

Las relaciones socioeconómicas dependen de la formación social en la que se desarrollan. Sirven a los intereses de la clase dominante en esa sociedad en particular. Las relaciones socioeconómicas aseguran la transferencia de propiedad de una persona a otra (intercambio, compra y venta, etc.).

Funciones de las relaciones económicas internacionales.

Las relaciones económicas internacionales cumplen la función de coordinar las actividades económicas de los países de todo el mundo. Tienen el carácter de las tres formas principales de relaciones económicas: gestión económica, organizacional-económica y socioeconómica. Esto es especialmente relevante hoy en día debido a la variedad de modelos de sistema económico mixto.

El aspecto organizativo y económico de las relaciones internacionales es responsable de la expansión. cooperación internacional basados ​​en procesos de integración. El aspecto socioeconómico de las relaciones internacionales es el deseo de un aumento general del nivel de bienestar de la población de todos los países del mundo y una reducción de la tensión social en la economía mundial. La gestión de la economía global tiene como objetivo reducir las contradicciones entre las economías nacionales y reducir el impacto de la inflación global y los fenómenos de crisis.

En esta subsección presentamos productos, relaciones, funciones y gráficas cartesianas. Estudiamos las propiedades de estos modelos matemáticos y las conexiones entre ellos.

Producto cartesiano y enumeración de sus elementos.

producto cartesiano conjuntos A Y B es un conjunto formado por pares ordenados: A´ B= {(a,b): (aÎ A) & (bÎ B)}.

Para conjuntos un 1, …, Un el producto cartesiano se determina por inducción:

En el caso de un conjunto arbitrario de índices I producto cartesiano familias conjuntos ( yo} i Î I se define como un conjunto que consta de tales funciones F:I® Ai, eso es para todos iÎ I bien F(i)Î yo .

Teorema 1

Dejar un yB son conjuntos finitos. Entonces |A´ B| = |Un|×| B|.

Prueba

Dejar Una = (un 1 ,…,soy), B = (segundo 1 ,…,mil millones). Los elementos de un producto cartesiano se pueden ordenar mediante una tabla.

(a 1 ,b 1), (a 1 ,b 2), …, (a 1 ,b n);

(a 2 ,b 1), (a 2 ,b 2), …, (a 2 ,b n);

(a m,b 1), (a m,b 2),…, (a m,b n),

consistente en norte columnas, cada una de las cuales consta de metro elementos. Desde aquí | A´ B|=Minnesota.

Corolario 1

Prueba

Usando inducción en norte. Sea la fórmula cierta para norte. Entonces

Relación

Dejar norte³1 es un entero positivo y un 1, …, Un– conjuntos arbitrarios. Relación entre elementos de conjuntos. un 1, …, Un o relación n-aria se llama subconjunto arbitrario.

Relaciones y funciones binarias.

relación binaria entre elementos de conjuntos A Y B(o, para abreviar, entre A Y B) se llama subconjunto RÍ A´ B.

Definición 1

Función o mostrar se llama un triple que consta de conjuntos A Y B y subconjuntos FÍ A´ B(gráficos de funciones), cumpliendo las dos condiciones siguientes;

1) para cualquiera incógnitaÎ A hay tal yÎ F, Qué (incógnita,y)Î F;

2) si (incógnita,y)Î F Y (incógnita,z)Î F, Eso y =z.

Es fácil ver eso FÍ A´ B entonces y sólo definirá una función cuando para cualquier incógnitaÎ A solo hay uno yÎ F, Qué ( incógnita,y) Î F. Este y denotar por F(incógnita).

La función se llama inyección, si por alguna incógnita,incógnita'Î A, semejante Qué incógnita¹ incógnita', tiene lugar F(incógnita)¹ F(incógnita'). La función se llama sobreyección, si para cada yÎ B hay tal incógnitaÎ A, Qué F(incógnita) = y. Si una función es una inyección y una sobreyección, entonces se llama biyección.

Teorema 2

Para que una función sea una biyección, es necesario y suficiente que exista una función tal que fg =ID B Y novia =identificación A.

Prueba

Dejar F– biyección. Debido a la sobrejetividad F para todos yÎ B puedes seleccionar un elemento incógnitaÎ A, para lo cual F(incógnita) = y. Debido a la inyectividad F, este elemento será el único, y lo denotaremos por gramo(y) = incógnita. Consigamos la función.

Construyendo la función gramo, las igualdades se mantienen F(gramo(y)) = y Y gramo(F(incógnita)) = incógnita. entonces es verdad fg =ID B Y novia =identificación A. Lo contrario es obvio: si fg =ID B Y novia =identificación A, Eso F– sobreyección vigente F(gramo(y)) = y, para todos yÎ B. En este caso seguirá , y eso significa . Por eso, F– inyección. De esto se desprende que F– biyección.

Imagen y prototipo

Sea una función. de una manera subconjuntos incógnitaÍ A llamado subconjunto F(X) = (F(incógnita):incógnitaÎ INCÓGNITA)Í B. Para YÍ B subconjunto f - -1 (Y) =(incógnitaÎ A:F(incógnita)Î Y) llamado prototipo subconjuntosY.

Relaciones y gráficas

Las relaciones binarias se pueden visualizar usando grafos dirigidos.

Definición 2

Grafico dirigido llamado un par de conjuntos (MI,V) junto con un par de mapeos s,t:mi® V. Elementos del conjunto V están representados por puntos en un plano y se llaman picos. Elementos de E se llaman aristas dirigidas. o flechas. cada elemento miÎ mi representado como una flecha (posiblemente curvilínea) que conecta el vértice s(mi) con tapa t(mi).

A una relación binaria arbitraria RÍ V´ V corresponde a un grafo dirigido con vértices vÎ V, cuyas flechas son pares ordenados (tú,v)Î R. Pantallas s,t:R® V están determinados por las fórmulas:

s(tú,v) =tu Y t(tú,v) =v.

Ejemplo 1

Dejar V = (1,2,3,4).

Considere la relación

R = ((1,1), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,4)).

Corresponderá a un gráfico dirigido (Fig. 1.2). Las flechas de este gráfico serán pares. (i,j)Î R.

Arroz. 1.2. Gráfico de relación binaria dirigida

En el gráfico dirigido resultante, cualquier par de vértices está conectado como máximo por una flecha. Estos gráficos dirigidos se llaman simple. Si no consideramos la dirección de las flechas, llegamos a la siguiente definición:

Definición 3

Un gráfico simple (no dirigido) GRAMO = (V,MI) un par formado por un conjunto se llama V y muchos mi, que consta de algunos pares desordenados ( v 1,v 2) elementos v 1,v 2Î V tal que v 1¹ v 2. Estos pares se llaman costillas, y los elementos de V – picos.

Arroz. 1.3. Gráfico simple no dirigido k 4

Muchos mi define una relación antirreflexiva simétrica binaria que consta de pares ( v 1,v 2), para lo cual ( v 1,v 2} Î mi. Los vértices de un gráfico simple se representan como puntos y las aristas como segmentos. En la figura. 1.3 muestra un gráfico simple con muchos vértices

V={1, 2, 3, 4}

y muchas costillas

mi= {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.

Operaciones sobre relaciones binarias.

relación binaria entre elementos de conjuntos A Y B un subconjunto arbitrario se llama RÍ A´ B. Registro aRb(en aÎ A, bÎ B) significa que (a,b)Î R.

Se definen las siguientes operaciones sobre relaciones. RÍ A´ A:

· R -1= ((a,b): (b,a)Î r);

· R° S = ((a, b): ($ incógnitaÎ A)(a,x)Î R&(x,b)Î r);

· Rn=R°(Rn-1);

Dejar Identificación A = ((a,a):aÎ A)– relación idéntica. Actitud R Í incógnita´ incógnita llamado:

1) pensativo, Si (a,a)Î R para todos aÎ incógnita;

2) antirreflectante, Si (a,a)Ï R para todos aÎ incógnita;

3) simétrico, si para todos a,bÎ incógnita la implicación es cierta aRbÞ sostén;

4) antisimétrico, Si aRb ysosténÞ un =b;

5) transitivo, si para todos a,b,doÎ incógnita la implicación es cierta aRb ybrcÞ arco;

6) lineal, para todos a,bÎ incógnita la implicación es cierta a¹ bÞ aRbÚ sostén.

denotemos identificación A a través de IDENTIFICACIÓN. Es fácil ver que ocurre lo siguiente.

Oración 1

Actitud RÍ incógnita´ incógnita:

1) reflexivamente Û IDENTIFICACIÓNÍ R;

2) antirreflexivo Û RÇ identificación=Æ ;

3) simétricamente Û R = R-1;

4) antisimétrico Û RÇ R-1Í IDENTIFICACIÓN;

5) transitivo Û R° RÍ R;

6) lineal Û RÈ IDENTIFICACIÓNÈ R -1 = X´ incógnita.

Matriz de relaciones binarias

Dejar A= {un 1, un 2, …, soy) Y B= {segundo 1, segundo 2, …, bn) son conjuntos finitos. Matriz de relaciones binarias R Í A ´ B se llama matriz con coeficientes:

Dejar A– conjunto finito, | A| = norte Y B= A. Consideremos el algoritmo para calcular la matriz de composición. t= R° S relaciones R, S Í A´ A. Denotemos los coeficientes de las matrices de relaciones. R, S Y t en consecuencia a través de r ij, s ij Y t ij.

Dado que la propiedad ( un yo,ak)Î t es equivalente a la existencia de tales una jÎ A, Qué ( un yo,una j)Î R Y ( una j,ak) Î S, entonces el coeficiente tik será igual a 1 si y sólo si dicho índice existe j, Qué r ij= 1 y sjk= 1. En otros casos tik es igual a 0. Por lo tanto, tik= 1 si y sólo si.

De esto se deduce que para encontrar la matriz de la composición de relaciones es necesario multiplicar estas matrices y en el producto resultante de matrices los coeficientes distintos de cero se reemplazan por unos. El siguiente ejemplo muestra cómo se calcula la matriz de composición de esta manera.

Ejemplo 2

Considere la relación binaria en A = (1,2,3), igual R = ((1,2),(2,3)). Escribamos la matriz de relaciones. R. Según la definición, consta de coeficientes. r 12 = 1, r 23 = 1 y el resto r ij= 0. De ahí la matriz de relaciones R es igual a:

busquemos una relación R° R. Para ello multiplicamos la matriz de relaciones R a ti mismo:

.

Obtenemos la matriz de relaciones:

Por eso, R° R= {(1,2),(1,3),(2,3)}.

El siguiente corolario se desprende de la Proposición 1.

Corolario 2

Si A= B, entonces la relación R en A:

1) reflexivamente si y sólo si todos los elementos de la diagonal principal de la matriz de relaciones R igual a 1;

2) antirreflexivo si y sólo si todos los elementos de la diagonal principal de la matriz de relaciones R igual a 0;

3) simétrica si y sólo si la matriz de relaciones R simétrico;

4) transitiva si y solo si cada coeficiente de la matriz de relaciones R° R no más que el coeficiente de la matriz de proporción correspondiente r.

Los seres humanos tienen una necesidad inherente de comunicarse e interactuar con otras personas. Al satisfacer esta necesidad, manifiesta y realiza sus capacidades.

La vida humana a lo largo de toda su duración se manifiesta, ante todo, en la comunicación. Y toda la diversidad de la vida se refleja en la igualmente infinita variedad de comunicación: en la familia, en la escuela, en el trabajo, en la vida cotidiana, en las empresas, etc.

Comunicación- una de las formas universales de actividad de la personalidad, manifestada en el establecimiento y desarrollo de contactos entre personas, en la formación relaciones interpersonales y generado por las necesidades de actividades conjuntas.

La comunicación realiza toda una serie principal funciones:

• Información: la función de recibir y transmitir información;
• Contacto: establecer contacto como un estado de disposición mutua de las personas para recibir y transmitir información;
• Incentivo: la función de estimular la actividad para que entre en acción;
• Coordinación: la función de orientación mutua y coordinación de acciones;
• Comprensión: implica no solo la recepción de información, sino también la comprensión de esta información por parte de los demás;
• Amotivo: la función de despertar las emociones, experiencias y sentimientos necesarios en una pareja, implica un intercambio emocional, un cambio en el estado emocional;
• La función de establecer relaciones es la conciencia y la fijación de la propia estatus social, papel social en una comunidad social específica.
• La función de influir es cambiar el estado, el comportamiento, las intenciones, las ideas, las actitudes, las opiniones, las decisiones, las necesidades, las acciones, etc.

Junto a las funciones, se identifican las principales especies comunicación.

Por número de participantes:

• interpersonales;
• grupo.

A modo de comunicación:

• verbal;
• no verbal.

Según la posición de quienes comunican:

• contacto;
• distante.

Según los términos de comunicación:

• oficial;
• no oficial.

EN estructura La comunicación se distingue por tres aspectos interdependientes y estrechamente interconectados:

• El lado perceptual de la comunicación es el proceso de percibirse mutuamente.
• El lado comunicativo de la comunicación implica la transferencia de información. Hay que tener en cuenta que una persona expresa el 80% de lo que quiere decir, el oyente percibe el 70% y comprende el 60% de lo que se dice.
• El lado interactivo de la comunicación implica la organización de la interacción (coordinación de acciones, distribución de funciones, etc.).

A la hora de organizar la comunicación hay que tener en cuenta que pasa por una serie de etapas, cada una de las cuales incide en su eficacia.

Si se pasa por alto una de las etapas de la comunicación, la efectividad de la comunicación disminuye drásticamente y existe la posibilidad de no lograr los objetivos que se establecieron al organizar la comunicación. La capacidad de lograr eficazmente los objetivos establecidos en la comunicación se denomina sociabilidad, competencia comunicativa e inteligencia social.

Mostrar f de un conjunto X en un conjunto Y se considera dado si cada elemento x de X está asociado exactamente con un elemento y de Y, denotado f(x).

El conjunto X se llama dominio de definición mapeando f, y el conjunto Y es rango de valores. Conjunto de pares ordenados

Г f = ((x, y) | x∈X, y∈Y, y = f(x))

llamado mostrar gráfico F. De la definición se deduce directamente que la gráfica de f es un subconjunto del producto cartesiano X×Y:

Estrictamente hablando, un mapa es un triple de conjuntos (X, Y, G) tales que G⊂ X×Y, y cada elemento x de X es el primer elemento de exactamente un par (x, y) de G. Denotando el segundo elemento de tal par por f(x), obtenemos una aplicación f del conjunto X en el conjunto Y. Además, G=Г f. Si y=f(x), escribiremos f:x→y y diremos que el elemento x va o se asigna al elemento y; el elemento f(x) se llama imagen del elemento x con respecto al mapeo f. Para denotar asignaciones usaremos notaciones de la forma f: X→Y.

Sea f: X→Y una aplicación del conjunto X al conjunto Y, y A y B son subconjuntos de los conjuntos X e Y, respectivamente. El conjunto f(A)=(y| y=f(x) para algunos x∈A) se llama forma conjunto A. Conjunto f − 1 (B)=(x| f(x) ∈B)

llamado prototipo conjunto B. Un mapeo f: A→Y tal que x→f(x) para todo x∈A se llama estrechamiento mapear f al conjunto A; el estrechamiento se denotará por f| A.

Sean asignaciones f: X→Y y g: Y→Z. La aplicación X→Z bajo la cual x va a g(f(x)) se llama composición asignaciones f y g y se denota por fg.

Una aplicación de un conjunto X en X, en la que cada elemento se convierte en sí mismo, x→x, se llama idéntico y se denota por id X .

Para un mapeo arbitrario f: X→Y tenemos id X ⋅f = f⋅id Y .

El mapeo f: X→Y se llama inyectivo, si para algún elemento de y se deduce que . El mapeo f: X→Y se llama sobreyectivo, si cada elemento y de Y es la imagen de algún elemento x de X, es decir, f(x)=y. El mapeo f: X→Y se llama biyectivo, si es tanto inyectivo como sobreyectivo. El mapa biyectivo f: X→Y es invertible. Esto significa que existe un mapeo g: Y→X llamado contrarrestar a un mapa f tal que g(f(x))=x y f(g(y))=y para cualquier x∈X, y∈Y. La inversa de f se denota por f − 1 .

El mapeo invertible f: conjuntos X→Y cara a cara correspondencia entre elementos de los conjuntos X e Y. La aplicación inyectiva f: X→Y establece una correspondencia uno a uno entre el conjunto X y el conjunto f(X).

Ejemplos. 1) La función f:R→R >0, f (x)=e x, establece una correspondencia uno a uno entre el conjunto de todos los números reales R y el conjunto de los números reales positivos R >0. La inversa del mapeo f es el mapeo g:R >0 →R, g(x)=ln x.

2) La aplicación f:R→R ≥ 0, f(x)=x 2, el conjunto de todos los R reales sobre el conjunto de números no negativos R ≥ 0 es sobreyectivo, pero no inyectivo y, por tanto, no es biyectivo.

Propiedades de la función:

1. La composición de dos funciones es una función, es decir si, entonces.

2. La composición de dos funciones biyectivas es una función biyectiva, si , entonces .

3. Un mapeo tiene un mapeo inverso entonces y

si y sólo si f es una biyección, es decir si, entonces.

Definición. n – relación local, o n – predicado local P, en los conjuntos A 1 ; A 2 ;… Y n es cualquier subconjunto del producto cartesiano.

Designación n - relación local P(x 1 ;x 2 ;…;x n). Cuando n=1 la relación P se llama unario y es un subconjunto del conjunto A 1 . Binario(doble para n=2) la relación es un conjunto de pares ordenados.

Definición. Para cualquier conjunto A, la relación se llama relación idéntica o diagonal, y relación completa o cuadrado completo.

Sea P alguna relación binaria. Entonces dominio de definición de una relación binaria P se llama conjunto para algunos y), y rango de valores– un conjunto para alguna x). Contrarrestar un conjunto se llama relación con P.

La relación P se llama pensativo, si contiene todos los pares de la forma (x,x) para cualquier x de X. La relación P se llama antirreflectante, si no contiene ningún par de la forma (x,x). Por ejemplo, la relación x≤y es reflexiva y la relación x

La relación P se llama simétrico, si junto con cada par (x,y) también contiene un par (y,x). La simetría de la relación P significa que P = P –1.

La relación P se llama antisimétrico, si (x;y) y (y;x), entonces x=y.

La relación R se llama transitivo, si, junto con cualquier par (x,y) y (y,z), también contiene el par (x,z), es decir, de xPy e yPz se sigue xPz.

Propiedades de las relaciones binarias:

Ejemplo. Sea A=(x/x – número arábigo); Р=((x;y)/x,yA,x-y=5). Encuentre D;R;P -1 .

Solución. La relación P se puede escribir de la forma P=((5;0);(6;1);(7;2);(8;3);(9;4)), entonces para ello tenemos D= (5;6;7;8;9); E=(0;1;2;3;4); P -1 =((0;5);(1;6);(2;7);(3;8);(4;9)).

Consideremos dos conjuntos finitos y una relación binaria. Introduzcamos la matriz de la relación binaria P de la siguiente manera: .

La matriz de cualquier relación binaria tiene propiedades:

1. Si y , entonces , y la suma de elementos de la matriz se realiza de acuerdo con las reglas 0+0=0; 1+1=1; 1+0=0+1=1, y la multiplicación se realiza por términos de la forma habitual, es decir según las reglas 1*0=0*1=0; 1*1=1.

2. Si , entonces , y las matrices se multiplican de acuerdo con la regla habitual para la multiplicación de matrices, pero el producto y la suma de elementos al multiplicar matrices se encuentran de acuerdo con las reglas del paso 1.

4. Si , entonces y

Ejemplo. La relación binaria se muestra en la Fig. 2. Su matriz tiene la forma.

Solución. Entonces, dejemos;

Sea P una relación binaria en el conjunto A, . La relación P en el conjunto A se llama pensativo, if , donde los asteriscos indican ceros o unos. La relación P se llama irreflexivo, Si . La relación P en el conjunto A se llama simétrico, si por y para se sigue de la condición de que . Esto significa que. La relación P se llama antisimétrico, si de las condiciones se deduce que x=y, es decir o . Esta propiedad lleva al hecho de que todos los elementos de la matriz fuera de la diagonal principal serán cero (también puede haber ceros en la diagonal principal). La relación P se llama transitivo, si de y se sigue que , es decir .

Ejemplo. La relación P y . Aquí en la diagonal principal de la matriz son todas unidades, por lo tanto, P es reflexiva. La matriz es asimétrica, entonces la relación P es asimétrica

Porque no todos los elementos ubicados fuera de la diagonal principal son cero, entonces la relación P no es antisimétrica.

Aquellos. , por tanto la relación P es intransitiva.

Una relación reflexiva, simétrica y transitiva se llama relación de equivalencia. Es habitual utilizar el símbolo ~ para indicar relaciones de equivalencia. Las condiciones de reflexividad, simetría y transitividad se pueden escribir de la siguiente manera:

Ejemplo. 1) Sea X un conjunto de funciones definidas en toda la recta numérica. Supondremos que las funciones f y g están relacionadas por la relación ~ si toman los mismos valores en el punto 0, es decir, f(x)~g(x), si f(0)=g(0) . Por ejemplo, senx~x, e x ~cosx. La relación ~ es reflexiva (f(0)=f(0) para cualquier función f(x)); simétricamente (de f(0)=g(0) se deduce que g(0)=f(0)); transitiva (si f(0)=g(0) y g(0)=h(0), entonces f(0)=h(0)). Por tanto, ~ es una relación de equivalencia.

2) Sea ~ una relación en el conjunto números naturales, en el que x~y, si xey dan el mismo resto cuando se dividen por 5. Por ejemplo, 6~11, 2~7, 1~6. Es fácil ver que esta relación es reflexiva, simétrica y transitiva y, por tanto, es una relación de equivalencia.

Relación de orden parcial Se llama relación binaria en un conjunto si es reflexiva, antisimétrica, transitiva, es decir

1.- reflexividad;

2. - antisimetría;

3.- transitividad.

Una relación de estricto orden Una relación binaria en un conjunto se llama si es antirreflexiva, antisimétrica, transitiva. Ambas relaciones se llaman relaciones de orden. Un conjunto en el que se especifica una relación de orden, puede ser: un conjunto completamente ordenado o parcialmente ordenado. El orden parcial es importante en los casos en los que queremos caracterizar de alguna manera la precedencia, es decir, decidir bajo qué condiciones considerar que un elemento del conjunto es superior a otro. Un conjunto parcialmente ordenado se llama ordenado linealmente, si no contiene elementos incomparables, es decir una de las condiciones o se cumple. Por ejemplo, los conjuntos con un orden natural están ordenados linealmente.

Relación. Conceptos básicos y definiciones.

Definición 2.1.par ordenado<incógnita, y> llamado una colección de dos elementos incógnita Y y, dispuestos en un orden determinado.

dos pares ordenados<incógnita, y> y<tu, v> son iguales entre sí si y sólo si incógnita = tu Y y=v.

Ejemplo 2.1.

<a, b>, <1, 2>, <incógnita, 4> – pares ordenados.

De manera similar, podemos considerar trillizos, cuádruples, norte-elementos ki<incógnita 1 , incógnita 2 ,…xn>.

Definición 2.2.Directo(o cartesiano)trabajar dos juegos A Y B es el conjunto de pares ordenados tales que el primer elemento de cada par pertenece al conjunto A, y el segundo – al conjunto B:

A ´ B = {<a, b>, ç aÎ A Y bÏ EN}.

En general, el producto directo norte conjuntos A 1 ,A 2 ,…Un llamado un conjunto A 1' A 2´…´ Un, que consta de conjuntos ordenados de elementos<a 1 , a 2 , …,un> longitud norte, tal que i- th un yo pertenece al conjunto yo,un yo Î yo.

Ejemplo 2.2.

Dejar A = {1, 2}, EN = {2, 3}.

Entonces A ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.

Ejemplo 2.3.

Dejar A= {incógnita ç0 £ incógnita£ 1) y B= {yç2 £ y£3)

Entonces A ´ B = {<incógnita, y >, ç0 £ incógnita£1 y 2£ y£3).

Así, muchos A ´ B Consiste en puntos que se encuentran dentro y en el borde de un rectángulo formado por líneas rectas. incógnita= 0 (eje y), incógnita= 1,y= 2i y = 3.

El matemático y filósofo francés Descartes fue el primero en proponer una representación coordinada de puntos en un plano. Este es históricamente el primer ejemplo de un producto directo.

Definición 2.3.Binario(o doble)relación r se llama conjunto de pares ordenados.

si una pareja<incógnita, y>pertenece r, entonces se escribe de la siguiente manera:<incógnita, y> Î r o, lo que es lo mismo, xr y.

Ejemplo 2.4.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}

De manera similar podemos definir norte-relación local como un conjunto de ordenados norte-DE ACUERDO.

Dado que una relación binaria es un conjunto, los métodos para especificar una relación binaria son los mismos que los métodos para especificar un conjunto (consulte la Sección 1.1). Una relación binaria se puede especificar enumerando pares ordenados o especificando una propiedad general de los pares ordenados.

Ejemplo 2.5.

1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) – la relación se especifica enumerando pares ordenados;

2. r = {<incógnita, y> ç incógnita+ y = 7, incógnita, y– números reales) – la relación se especifica especificando la propiedad incógnita+ y = 7.

Además, se puede dar una relación binaria. matriz de relación binaria. Dejar A = {a 1 , a 2 , …, un) es un conjunto finito. Matriz de relaciones binarias do es una matriz cuadrada de orden norte, cuyos elementos c ij se definen de la siguiente manera:

Ejemplo 2.6.

A= (1, 2, 3, 4). Definamos una relación binaria r de las tres formas enumeradas.

1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – la relación se especifica enumerando todos los pares ordenados.

2. r = {<un yo, una j> ç un yo < una j; un yo, una jÎ A) – la relación se especifica indicando la propiedad “menor que” en el conjunto A.

3. – la relación está especificada por la matriz de relación binaria do.

Ejemplo 2.7.

Veamos algunas relaciones binarias.

1. Relaciones sobre el conjunto de los números naturales.

a) la relación £ se cumple para pares<1, 2>, <5, 5>, pero no es válido para el par<4, 3>;

b) la relación “tener un divisor común distinto de uno” se cumple para pares<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, pero no es válido para el par<3, 28>.

2. Relaciones sobre el conjunto de puntos del plano real.

a) la relación “estar a la misma distancia del punto (0, 0)” se cumple para los puntos (3, 4) y (–2, Ö21), pero no se cumple para los puntos (1, 2) y ( 5, 3);

b) la relación “ser simétrica con respecto al eje oy"se realiza para todos los puntos ( incógnita, y) Y (- incógnita, –y).

3. Relaciones con muchas personas.

a) la actitud de “vivir en la misma ciudad”;

b) la actitud de “estudiar en el mismo grupo”;

c) la actitud de “ser mayor”.

Definición 2.4. El dominio de definición de una relación binaria r es el conjunto D r = (x çhay y tal que xr y).

Definición 2.5. El rango de valores de una relación binaria r es el conjunto R r = (y çexiste x tal que xr y).

Definición 2.6. El dominio de especificación de una relación binaria r se llama conjunto M r = D r ÈR r.

Utilizando el concepto de producto directo, podemos escribir:

rÎ Dr´ r r

Si Dr= r r = A, entonces decimos que la relación binaria r definido en el set A.

Ejemplo 2.8.

Dejar r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.

Entonces D r ={1, 3, 4}, r r = {3, 2}, Señor= {1, 2, 3, 4}.

Operaciones sobre relaciones.

Como las relaciones son conjuntos, todas las operaciones sobre conjuntos son válidas para las relaciones.

Ejemplo 2.9.

r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.

r 1 È r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

r 1 Ç r 2 = {<1, 2>}.

r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.

Ejemplo 2.10.

Dejar R– conjunto de números reales. Consideremos las siguientes relaciones en este conjunto:

r 1 – "£"; r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 – "³"; r 5 – " > ".

r 1 = r 2 È r 3 ;

r 2 = r 1 Ç r 4 ;

r 3 = r 1 \ r 2 ;

r 1 = ;

Definamos dos operaciones más sobre relaciones.

Definición 2.7. La relación se llama contrarrestar a la actitud r(denotado r – 1), si

r – 1 = {<incógnita, y> ç< y,x> Î r}.

Ejemplo 2.11.

r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r – 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.

Ejemplo 2.12.

r = {<incógnita, y> ç incógnita – y = 2, incógnita, y Î R}.

r – 1 = {<incógnita, y> ç< y,x> Î r} = r – 1 = {<incógnita, y> ç y–incógnita = 2, incógnita, y Î R} = {<incógnita, y> ç– incógnita+ y = 2, incógnita, y Î R}.

Definición 2.8.Composición de dos relaciones r y s llamada relación

s r= {<incógnita, z> existe tal cosa y, Qué<incógnita, y> Î r Y< y z> Î s}.

Ejemplo 2.13.

r = {<incógnita, y> ç y = pecado}.

s= {<incógnita, y> ç y = Ö incógnita}.

s r= {<incógnita, z> existe tal cosa y, Qué<incógnita, y> Î r Y< y z> Î s} = {<incógnita, z> existe tal cosa y, Qué y = pecado Y z= Ö y} = {<incógnita, z> ç z= Ö pecado}.

La definición de la composición de dos relaciones corresponde a la definición. función compleja:

y = F(incógnita), z= gramo(y) Þ z= gramo(F(incógnita)).

Ejemplo 2.14.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.

s = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.

proceso de búsqueda s r De acuerdo con la definición de composición, es conveniente representarla en una tabla en la que se enumeran todos los valores posibles. incógnita, y, z. para cada par<incógnita, y> Î r debemos considerar todos los pares posibles< y z> Î s(Tabla 2.1).

Tabla 2.1

<incógnita, y> Î r	< y z> Î s	<incógnita, z> Î s r
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1>	<1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3>	<1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3>

Tenga en cuenta que la primera, tercera y cuarta, así como la segunda y quinta filas de la última columna de la tabla contienen pares idénticos. Por lo tanto obtenemos:

s r= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.

Propiedades de las relaciones

Definición 2.9. Actitud r llamado pensativo en un set incógnita, si por alguna incógnitaÎ incógnita correr xrx.

De la definición se deduce que cada elemento<incógnita,incógnita > Î r.

Ejemplo 2.15.

a) dejar incógnita– conjunto finito, incógnita= (1, 2, 3) y r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). Actitud r pensativamente. Si incógnita es un conjunto finito, entonces la diagonal principal de la matriz de relaciones reflexivas contiene solo unos. Para nuestro ejemplo

b) dejar incógnita r relación de igualdad. Esta actitud es reflexiva, porque cada número es igual a sí mismo.

c) dejar incógnita- mucha gente y r Actitud de "vivir en la misma ciudad". Esta actitud es reflexiva, porque todos viven en la misma ciudad que ellos mismos.

Definición 2.10. Actitud r llamado simétrico en un set incógnita, si por alguna incógnita, yÎ incógnita de xry debería año x.

Es obvio que r simétrico si y sólo si r = r – 1 .

Ejemplo 2.16.

a) dejar incógnita– conjunto finito, incógnita= (1, 2, 3) y r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). Actitud r simétricamente. Si incógnita es un conjunto finito, entonces la matriz de relaciones simétricas es simétrica con respecto a la diagonal principal. Para nuestro ejemplo

b) dejar incógnita– conjunto de números reales y r relación de igualdad. Esta relación es simétrica porque Si incógnita es igual y, entonces y es igual incógnita.

c) dejar incógnita– muchos estudiantes y r Actitud de "estudiar en el mismo grupo". Esta relación es simétrica porque Si incógnita estudios en el mismo grupo que y, entonces y estudios en el mismo grupo que incógnita.

Definición 2.11. Actitud r llamado transitivo en un set incógnita, si por alguna incógnita, y,zÎ incógnita de xry Y año z debería xr z.

Cumplimiento simultáneo de condiciones. xry, año z, xr z significa que el par<incógnita,z> pertenece a la composición rr. Por lo tanto para la transitividad r es necesario y suficiente para el conjunto rr era un subconjunto r, es decir. rrÍ r.

Ejemplo 2.17.

a) dejar incógnita– conjunto finito, incógnita= (1, 2, 3) y r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). Actitud r transitivo, porque junto con los pares<incógnita,y>y<y,z>tener una pareja<incógnita,z>. Por ejemplo, junto con pares<1, 2>, Y<2, 3>hay un par<1, 3>.

b) dejar incógnita– conjunto de números reales y r relación £ (menor o igual a). Esta relación es transitiva porque Si incógnita£ y Y y£ z, Eso incógnita£ z.

c) dejar incógnita- mucha gente y r Actitud de "ser mayor". Esta relación es transitiva porque Si incógnita más viejo y Y y más viejo z, Eso incógnita más viejo z.

Definición 2.12. Actitud r llamado relación de equivalencia en un set incógnita, si es reflexivo, simétrico y transitivo en el conjunto incógnita.

Ejemplo 2.18.

a) dejar incógnita– conjunto finito, incógnita= (1, 2, 3) y r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). Actitud r es una relación de equivalencia.

b) dejar incógnita– conjunto de números reales y r relación de igualdad. Esta es una relación de equivalencia.

c) dejar incógnita– muchos estudiantes y r Actitud de "estudiar en el mismo grupo". Esta es una relación de equivalencia.

Dejar r incógnita.

Definición 2.13. Dejar r– relación de equivalencia en el conjunto incógnita Y incógnitaÎ incógnita. Clase de equivalencia, generado por el elemento incógnita, se llama subconjunto del conjunto incógnita, que consta de aquellos elementos yÎ incógnita, para lo cual xry. Clase de equivalencia generada por elemento incógnita, denotado por [ incógnita].

De este modo, [ incógnita] = {yÎ incógnita|xry}.

Las clases de equivalencia se forman dividir conjuntos incógnita, es decir, un sistema de subconjuntos disjuntos por pares no vacíos del mismo, cuya unión coincide con el conjunto completo incógnita.

Ejemplo 2.19.

a) La relación de igualdad sobre el conjunto de los números enteros genera las siguientes clases de equivalencia: para cualquier elemento incógnita de este conjunto [ incógnita] = {incógnita), es decir. cada clase de equivalencia consta de un elemento.

b) La clase de equivalencia generada por el par<incógnita, y> está determinado por la relación:

[<incógnita, y>] = .

Cada clase de equivalencia generada por un par<incógnita, y>, define un número racional.

c) Para la relación de pertenencia a un grupo de estudiantes, la clase de equivalencia es el conjunto de estudiantes de un mismo grupo.

Definición 2.14. Actitud r llamado antisimétrico en un set incógnita, si por alguna incógnita, yÎ incógnita de xry Y año x debería incógnita = y.

De la definición de antisimetría se deduce que siempre que un par<incógnita,y> pertenece al mismo tiempo r Y r – 1, la igualdad debe ser satisfecha incógnita = y. En otras palabras, r Ç r – 1 consta sólo de pares de la forma<incógnita,incógnita >.

Ejemplo 2.20.

a) dejar incógnita– conjunto finito, incógnita= (1, 2, 3) y r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Actitud r antisimétrico.

Actitud s= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) no es antisimétrico. Por ejemplo,<1, 2> Î s, Y<2, 1> Î s, pero 1¹2.

b) dejar incógnita– conjunto de números reales y r relación £ (menor o igual a). Esta relación es antisimétrica porque Si incógnita £ y, Y y £ incógnita, Eso incógnita = y.

Definición 2.15. Actitud r llamado relación de orden parcial(o solo un pedido parcial) en el set incógnita, si es reflexivo, antisimétrico y transitivo en el conjunto incógnita. Muchos incógnita en este caso se denomina parcialmente ordenada y la relación indicada suele denotarse con el símbolo £, si esto no da lugar a malentendidos.

La inversa de la relación de orden parcial será obviamente una relación de orden parcial.

Ejemplo 2.21.

a) dejar incógnita– conjunto finito, incógnita= (1, 2, 3) y r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Actitud r

b) Actitud AÍ EN en el conjunto de subconjuntos de algún conjunto Ud. hay una relación de orden parcial.

c) La relación de divisibilidad del conjunto de los números naturales es una relación de orden parcial.

Funciones. Conceptos básicos y definiciones.

En análisis matemático, se acepta la siguiente definición de función.

Variable y llamada función de una variable incógnita, si según alguna regla o ley cada valor incógnita corresponde a un valor específico y = F(incógnita). Área de cambio variable incógnita se llama dominio de definición de una función y dominio de cambio de una variable y– rango de valores de función. si un valor incógnita corresponde a varios (e incluso infinitos valores) y), entonces la función se llama multivalor. Sin embargo, en el curso sobre análisis de funciones de variables reales se evitan las funciones multivaluadas y se consideran las funciones univaluadas.

Consideremos otra definición de función en términos de relaciones.

Definición 2.16. Función es cualquier relación binaria que no contiene dos pares con primeros componentes iguales y segundos diferentes.

Esta propiedad de una relación se llama inequívoco o funcionalidad.

Ejemplo 2.22.

A) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) - función.

b) (<incógnita, y>: incógnita, y Î R, y = incógnita 2) – función.

V) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) es una relación, pero no una función.

Definición 2.17. Si F– función, entonces ref – dominio de definición, A RF – rango funciones F.

Ejemplo 2.23.

Por ejemplo 2.22 a) ref – {1, 3, 4, 5}; RF – {2, 4, 6}.

Por ejemplo 2.22 b) ref = RF = (–¥, ¥).

cada elemento incógnita ref coincidencias de funciones el único elemento y RF. Esto se denota mediante la conocida notación y = F(incógnita). Elemento incógnita llamado argumento de función o preimagen de elemento y con función F, y el elemento y valor de la función F en incógnita o imagen del elemento incógnita en F.

Entonces, de todas las relaciones, las funciones se destacan en que cada elemento del dominio de definición tiene el único imagen.

Definición 2.18. Si ref = incógnita Y RF = Y, entonces dicen que la función F determinado en incógnita y toma sus valores Y, A F llamado mapeando el conjunto X a Y(incógnita ® Y).

Definición 2.19. Funciones F Y gramo son iguales si su dominio es el mismo conjunto D, y para cualquiera incógnita Î D la igualdad es verdadera F(incógnita) = gramo(incógnita).

Esta definición no contradice la definición de igualdad de funciones como igualdad de conjuntos (después de todo, definimos una función como una relación, es decir, un conjunto): conjuntos F Y gramo son iguales si y sólo si constan de los mismos elementos.

Definición 2.20. Función (pantalla) F llamado sobreyectivo o simplemente sobreyección, si para algún elemento y Y hay un elemento incógnita Î incógnita, tal que y = F(incógnita).

Entonces cada función F es un mapeo sobreyectivo (sobreyección) ref® RF.

Si F es una sobreyección, y incógnita Y Y son conjuntos finitos, entonces ³ .

Definición 2.21. Función (pantalla) F llamado inyectivo o simplemente inyección o cara a cara, si de F(a) = F(b) debería a = b.

Definición 2.22. Función (pantalla) F llamado biyectivo o simplemente biyección, si es tanto inyectivo como sobreyectivo.

Si F es una biyección, y incógnita Y Y son conjuntos finitos, entonces = .

Definición 2.23. Si el rango de la función ref consta de un elemento, entonces F llamado función constante.

Ejemplo 2.24.

A) F(incógnita) = incógnita 2 es una aplicación del conjunto de números reales al conjunto de números reales no negativos. Porque F(–a) = F(a), Y a ¹ – a, entonces esta función no es una inyección.

b) Para todos incógnita R= (– , ) función F(incógnita) = 5 – función constante. Muestra muchos R para configurar (5). Esta función es sobreyectiva, pero no inyectiva.

V) F(incógnita) = 2incógnita+ 1 es una inyección y una biyección, porque de 2 incógnita 1 +1 = 2incógnita 2 +1 sigue incógnita 1 = incógnita 2 .

Definición 2.24. Función que implementa la visualización. incógnita 1' incógnita 2´...´ xn ® Y llamado n-local función.

Ejemplo 2.25.

a) La suma, resta, multiplicación y división son funciones de dos lugares en un conjunto R números reales, es decir, funciones como R 2® R.

b) F(incógnita, y) = es una función de dos lugares que implementa el mapeo R ´ ( R \ )® R. Esta función no es una inyección, porque F(1, 2) = F(2, 4).

c) La tabla de premios de lotería especifica una función de dos lugares que establece una correspondencia entre pares de norte 2 (norte– un conjunto de números naturales) y un conjunto de ganancias.

Dado que las funciones son relaciones binarias, es posible encontrar funciones inversas y aplicar la operación de composición. La composición de dos funciones cualesquiera es una función, pero no para todas las funciones. F actitud F–1 es una función.

Ejemplo 2.26.

A) F = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) - función.

Actitud F –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) no es una función.

b) gramo = {<1, a>, <2, b>, <3, do>, <4, D>) es una función.

gramo -1 = {<a, 1>, <b, 2>, <do, 3>, <D, 4>) también es una función.

c) Encuentra la composición de funciones. F del ejemplo a) y gramo-1 del ejemplo b). Tenemos gramo -1F = {<a, 2>, <b, 3>, <do, 4>, <d, 2>}.

fg-1 = Æ.

Tenga en cuenta que ( gramo -1F)(a) = F(gramo -1 (a)) = F(1) = 2; (gramo -1F)(do) = F(gramo -1 (do)) = F(3) = 4.

Función elemental En el análisis matemático cada función se llama. F, que es una composición de un número finito de funciones aritméticas, así como de las siguientes funciones:

1) Funciones fraccionarias-racionales, es decir funciones de la forma

a 0 + a 1 incógnita + ... + un x n

b 0 + b 1 incógnita + ... + bm x m.

2) función de potencia F(incógnita) = x m, Dónde metro– cualquier número real constante.

3) función exponencial F(incógnita) = ex.

4) función logarítmica F(incógnita) = registrar una x, a >0, a 1.

5) Funciones trigonométricas pecado, cos, tg, ctg, sec, csc.

6) funciones hiperbólicas sh, ch, th, cth.

7) revertir funciones trigonométricas arcosin, arccos etc.

Por ejemplo, la función registro 2 (incógnita 3 +sincos 3incógnita) es elemental, porque es una composición de funciones cosx, pecado, incógnita 3 , incógnita 1 + incógnita 2 , logx, incógnita 2 .

Una expresión que describe la composición de funciones se llama fórmula.

Para una función multiplaza es válido el siguiente resultado importante, obtenido por A. N. Kolmogorov y V. I. Arnold en 1957 y que es una solución al decimotercer problema de Hilbert:

Teorema. Cualquier función continua norte Las variables se pueden representar como una composición de funciones continuas de dos variables.

Métodos para especificar funciones.

1. La forma más sencilla de especificar funciones es mediante tablas (Tabla 2.2):

Tabla 2.2

Sin embargo, las funciones definidas en conjuntos finitos se pueden definir de esta manera.

Si una función definida en un conjunto infinito (segmento, intervalo) se da en un número finito de puntos, por ejemplo, en forma de tablas trigonométricas, tablas de funciones especiales, etc., entonces se utilizan reglas de interpolación para calcular los valores. ​de funciones en puntos intermedios.

2. Una función se puede especificar como una fórmula que describe la función como una composición de otras funciones. La fórmula especifica la secuencia para calcular la función.

Ejemplo 2.28.

F(incógnita) = pecado(incógnita + Ö incógnita) es una composición de las siguientes funciones:

gramo(y) = Ö y; h(tú, v) = tu+v; w(z) = sinz.

3. La función se puede especificar como procedimiento recursivo. El procedimiento recursivo especifica una función definida en el conjunto de números naturales, es decir F(norte), norte= 1, 2,... de la siguiente manera: a) establezca el valor F(1) (o F(0)); segundo) valor F(norte+ 1) determinado a través de la composición F(norte) y otras funciones conocidas. El ejemplo más simple de un procedimiento recursivo es el cálculo. norte!: a) 0! = 1; b) ( norte + 1)! = norte!(norte+ 1). Muchos procedimientos de métodos numéricos son procedimientos recursivos.

4. Existen métodos posibles para especificar una función que no contienen un método para calcular la función, sino que solo la describen. Por ejemplo:

f m(incógnita) =

Función f m(incógnita) – función característica del conjunto METRO.

Entonces, de acuerdo con el significado de nuestra definición, establezca la función F– significa configurar la pantalla incógnita ® Y, es decir. definir un conjunto incógnita´ Y, por lo que la cuestión se reduce a especificar un determinado conjunto. Sin embargo, es posible definir el concepto de función sin utilizar el lenguaje de la teoría de conjuntos, a saber: una función se considera dada si se da un procedimiento computacional que, dado el valor del argumento, encuentra el valor correspondiente de la función. Una función definida de esta manera se llama calculable.

Ejemplo 2.29.

Procedimiento de determinación Números de Fibonacci, está dada por la relación

fn= Fn- 1 + Fn- 2 (norte³ 2) (2.1)

con valores iniciales F 0 = 1, F 1 = 1.

La fórmula (2.1) junto con los valores iniciales determina la siguiente serie de números de Fibonacci:

norte	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
fn	1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

El procedimiento computacional para determinar el valor de una función a partir de un valor de argumento dado no es más que algoritmo.

Preguntas de seguridad al tema 2

1. Indique formas de definir una relación binaria.

2. ¿La diagonal principal de la matriz de qué relación contiene sólo unos?

3. ¿Para qué relación? r la condición siempre se cumple r = r – 1 ?

4. ¿Para qué actitud? r la condición siempre se cumple rrÍ r.

5. Introducir relaciones de equivalencia y orden parcial en el conjunto de todas las rectas del plano.

6. Especificar formas de especificar funciones.

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) Toda relación binaria es una función.

b) Toda función es una relación binaria.

Tema 3. GRÁFICOS

El primer trabajo de Euler sobre teoría de grafos apareció en 1736. Al principio, esta teoría se asoció con acertijos y juegos matemáticos. Sin embargo, posteriormente la teoría de grafos comenzó a utilizarse en topología, álgebra y teoría de números. Hoy en día, la teoría de grafos se utiliza en una amplia variedad de áreas de la ciencia, la tecnología y la actividad práctica. Se utiliza en el diseño de redes eléctricas, planificación del transporte y construcción de circuitos moleculares. La teoría de grafos también se utiliza en economía, psicología, sociología y biología.