El área de un paralelogramo construido sobre vectores es igual al producto de las longitudes de estos vectores por el ángulo que se encuentra entre ellos.

Es bueno cuando las condiciones dan las longitudes de estos mismos vectores. Sin embargo, también sucede que la fórmula para el área de un paralelogramo construida sobre vectores se puede aplicar solo después de realizar cálculos utilizando coordenadas.
Si tienes suerte y las condiciones dan las longitudes de los vectores, entonces solo necesitas aplicar la fórmula, que ya hemos discutido en detalle en el artículo. El área será igual al producto de los módulos por el seno del ángulo entre ellos:

Consideremos un ejemplo de cálculo del área de un paralelogramo construido sobre vectores.

Tarea: El paralelogramo se construye sobre los vectores y . Encuentra el área si y el ángulo entre ellos es de 30°.
Expresemos los vectores a través de sus valores:

Quizás tengas una pregunta: ¿de dónde vienen los ceros? Vale recordar que estamos trabajando con vectores, y para ellos . También tenga en cuenta que si el resultado es , se convertirá a . Ahora realizamos los cálculos finales:

Volvamos al problema cuando las longitudes de los vectores no están especificadas en las condiciones. Si su paralelogramo se encuentra en el sistema de coordenadas cartesiano, deberá hacer lo siguiente.

Cálculo de las longitudes de los lados de una figura dadas por coordenadas.

Para empezar, encontramos las coordenadas de los vectores y restamos las coordenadas correspondientes del principio de las coordenadas finales. Digamos que las coordenadas del vector a son (x1;y1;z1) y el vector b es (x3;y3;z3).
Ahora encontramos la longitud de cada vector. Para ello se debe elevar al cuadrado cada coordenada, luego se deben sumar los resultados obtenidos y extraer la raíz del número final. En base a nuestros vectores se realizarán los siguientes cálculos:


Ahora necesitamos encontrar el producto escalar de nuestros vectores. Para ello se multiplican y suman sus correspondientes coordenadas.

Teniendo las longitudes de los vectores y su producto escalar, podemos encontrar el coseno del ángulo que se encuentra entre ellos. .
Ahora podemos encontrar el seno del mismo ángulo:
Ahora tenemos todas las cantidades necesarias y podemos encontrar fácilmente el área de un paralelogramo construido sobre vectores usando la fórmula ya conocida.

Recordemos primero qué es un producto vectorial.

Nota 1

Ilustraciones vectoriales para $\vec(a)$ y $\vec(b)$ es $\vec(c)$, que es un tercer vector $\vec(c)= ||$, y este vector tiene propiedades especiales:

• El escalar del vector resultante es el producto de $|\vec(a)|$ y $|\vec(b)|$ por el seno del ángulo $\vec(c)= ||= |\vec(a )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Todos $\vec(a), \vec(b)$ y $\vec(c)$ forman una terna derecha;
• El vector resultante es ortogonal a $\vec(a)$ y $\vec(b)$.

Si los vectores tienen algunas coordenadas ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ y $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), entonces su producto vectorial en coordenadas cartesianas El sistema se puede determinar mediante la fórmula:

$ = \(y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\)$

La forma más sencilla de recordar esta fórmula es escribirla en forma determinante:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

Esta fórmula es muy cómoda de usar, pero para entender cómo usarla, primero debes familiarizarte con el tema de las matrices y sus determinantes.

Área de un paralelogramo, cuyos lados están determinados por dos vectores $\vec(a)$ y $vec(b)$ es igual a escalar del producto vectorial de los dos vectores dados.

Esta relación no es difícil de derivar.

Recordemos la fórmula para encontrar el área de un paralelogramo ordinario, que se puede caracterizar por los segmentos $a$ y $b$ que lo forman:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

En este caso, las longitudes de los lados son iguales a los valores escalares de los vectores $\vec(a)$ y $\vec(b)$, lo cual nos viene bastante bien, es decir, el escalar del El producto vectorial de estos vectores será el área de la figura considerada.

Ejemplo 1

Se dan los vectores $\vec(c)$ con coordenadas $\(5;3; 7\)$ y el vector $\vec(g)$ con coordenadas $\(3; 7;10\)$ en el sistema de coordenadas cartesiano . Encuentra el área del paralelogramo formado por $\vec(c)$ y $\vec(g)$.

Solución:

Encontremos el producto vectorial de estos vectores:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 y 7 \\ 7 y 10 \\ \end(array) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 y 7 \\ 3 y 10 \\ \end(array) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 y 3 \\ 3 y 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 – 49) – j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Ahora encontremos el valor modular para el segmento dirigido resultante, es el valor del área del paralelogramo construido:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.

Esta línea de razonamiento es válida no sólo para encontrar áreas en un espacio tridimensional, sino también para un espacio bidimensional. Mira el siguiente acertijo sobre este tema.

Ejemplo 2

Calcula el área de un paralelogramo si sus segmentos generadores están especificados por los vectores $\vec(m)$ con coordenadas $\(2; 3\)$ y $\vec(d)$ con coordenadas $\(-5 ;6\)$.

Solución:

Este problema es un ejemplo especial del problema 1, resuelto anteriormente, pero ambos vectores se encuentran en el mismo plano, lo que significa que la tercera coordenada, $z$, se puede tomar como cero.

Para resumir todo lo anterior, el área del paralelogramo será:

$S = \begin(array) (||cc||) 2 y 3\\ -5 y 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Ejemplo 3

Dados vectores $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)= 5i$. Determina el área del paralelogramo que forman.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i – j + k) \times 5i = 15 – 5 + $

Simplifiquemos según la siguiente tabla para vectores unitarios:

Figura 1. Descomposición de un vector por base. Author24 - intercambio en línea de trabajos de estudiantes

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Tiempo de cálculo:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Los problemas anteriores trataban sobre vectores cuyas coordenadas se especifican en el sistema de coordenadas cartesiano, pero considere también el caso si el ángulo entre los vectores base difiere de $90°$:

Ejemplo 4

Vector $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, las longitudes $\vec(a)$ y $\vec(b)$ son iguales entre sí e iguales a uno , y el ángulo entre $\vec(a)$ y $\vec(b)$ es 45°.

Solución:

Calculemos el producto vectorial $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a – 4b) = 2 – 8 + 3 – 12 $.

Para los productos vectoriales, según sus propiedades, se cumple lo siguiente: $$ y $$ son iguales a cero, $ = - $.

Usemos esto para simplificar:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 =-11$.

Ahora usemos la fórmula $(1)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=$5.5.

En esta lección veremos dos operaciones más con vectores: producto vectorial de vectores Y producto mixto de vectores (enlace inmediato para quienes lo necesiten). Está bien, a veces sucede que por felicidad completa, además producto escalar de vectores, cada vez se necesitan más. Esta es la adicción a los vectores. Puede parecer que nos adentramos en la selva geometría analítica. Esto está mal. En esta sección de matemáticas superiores generalmente hay poca madera, excepto quizás suficiente para Pinocho. De hecho, el material es muy común y simple, apenas más complicado que el mismo. producto escalar, habrá incluso menos tareas típicas. Lo principal en geometría analítica, como muchos estarán convencidos o ya lo han estado, es NO COMETIR ERRORES EN LOS CÁLCULOS. Repite como un hechizo y serás feliz =)

Si los vectores brillan en algún lugar lejano, como un rayo en el horizonte, no importa, comience con la lección. Vectores para tontos recuperar o readquirir conocimientos básicos sobre vectores. Los lectores más preparados pueden familiarizarse con la información de forma selectiva; traté de recopilar la colección más completa de ejemplos que se encuentran a menudo en trabajo practico

¿Qué te hará feliz de inmediato? Cuando era pequeña podía hacer malabarismos con dos o incluso tres pelotas. Funcionó bien. Ahora no tendrás que hacer ningún malabarismo, ya que consideraremos solo vectores espaciales, y se omitirán los vectores planos con dos coordenadas. ¿Por qué? Así nacieron estas acciones: el vector y el producto mixto de vectores se definen y funcionan en un espacio tridimensional. ¡Ya es más fácil!

Esta operación, al igual que el producto escalar, implica dos vectores. Que estas sean letras imperecederas.

La acción en sí denotado por de la siguiente manera: . Hay otras opciones, pero estoy acostumbrado a denotar el producto vectorial de vectores de esta manera, entre corchetes con una cruz.

Y de inmediato pregunta: si en producto escalar de vectores están involucrados dos vectores, y aquí también se multiplican dos vectores, entonces cual es la diferencia? La diferencia obvia está, en primer lugar, en el RESULTADO:

El resultado del producto escalar de vectores es NÚMERO:

El resultado del producto cruzado de vectores es VECTOR: , es decir, multiplicamos los vectores y obtenemos un vector nuevamente. club privado. En realidad, de aquí proviene el nombre de la operación. En diferentes publicaciones educativas, las designaciones también pueden variar; usaré la letra.

Definición de producto cruzado

Primero habrá una definición con una imagen, luego comentarios.

Definición: Producto vectorial no colineal vectores, tomado en este orden, llamado VECTOR, longitud que es numéricamente igual al área del paralelogramo, construido sobre estos vectores; vector ortogonal a vectores, y está dirigido para que la base tenga una orientación correcta:

Analicemos la definición pieza por pieza, ¡hay muchas cosas interesantes aquí!

Así, se pueden destacar los siguientes puntos importantes:

1) Los vectores originales, indicados por flechas rojas, por definición. no colineal. Será apropiado considerar el caso de los vectores colineales un poco más adelante.

2) Se toman vectores en un orden estrictamente definido: – "a" se multiplica por "be", no "ser" con "a". El resultado de la multiplicación de vectores. es VECTOR, que se indica en azul. Si los vectores se multiplican en orden inverso, obtenemos un vector de igual longitud y de dirección opuesta (color frambuesa). Es decir, la igualdad es verdadera. .

3) Ahora conozcamos el significado geométrico del producto vectorial. ¡Este es un punto muy importante! La LONGITUD del vector azul (y, por lo tanto, del vector carmesí) es numéricamente igual al ÁREA del paralelogramo construido sobre los vectores. En la figura, este paralelogramo está sombreado en negro.

Nota : el dibujo es esquemático y, naturalmente, la longitud nominal del producto vectorial no es igual al área del paralelogramo.

Recordemos una de las fórmulas geométricas: El área de un paralelogramo es igual al producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos. Por lo tanto, con base en lo anterior, es válida la fórmula para calcular la LONGITUD de un producto vectorial:

Hago hincapié en que la fórmula trata sobre la LONGITUD del vector y no sobre el vector en sí. ¿Cuál es el significado práctico? Y el significado es que en problemas de geometría analítica, el área de un paralelogramo a menudo se encuentra mediante el concepto de producto vectorial:

Obtengamos la segunda fórmula importante. La diagonal de un paralelogramo (línea de puntos roja) lo divide en dos triángulos iguales. Por lo tanto, el área de un triángulo construido sobre vectores (sombreado en rojo) se puede encontrar usando la fórmula:

4) No menos hecho importante es que el vector es ortogonal a los vectores, es decir . Por supuesto, el vector dirigido en sentido opuesto (flecha de frambuesa) también es ortogonal a los vectores originales.

5) El vector se dirige de modo que base tiene bien orientación. En la lección sobre transición a una nueva base Hablé con suficiente detalle sobre orientación plana, y ahora descubriremos qué es la orientación espacial. te lo explicaré con los dedos derecha . combinar mentalmente dedo índice con vectores y dedo medio con vectores. Dedo anular y el dedo meñique presiónelo en su palma. Como resultado pulgar– el producto vectorial buscará hacia arriba. Esta es una base orientada a la derecha (es ésta en la figura). Ahora cambia los vectores ( dedos índice y medio) en algunos lugares, como resultado el pulgar se girará y el producto vectorial ya mirará hacia abajo. Esta es también una base orientada hacia los derechos. Quizás tengas una pregunta: ¿qué base ha dejado la orientación? “Asignar” a los mismos dedos mano izquierda vectores, y obtener la base izquierda y la orientación izquierda del espacio (en este caso, el pulgar estará ubicado en la dirección del vector inferior). En sentido figurado, estas bases “tuercen” u orientan el espacio en diferentes direcciones. Y este concepto no debe considerarse algo inverosímil o abstracto; por ejemplo, el espejo más común cambia la orientación del espacio, y si "saca el objeto reflejado del espejo", entonces, en el caso general, No será posible combinarlo con el “original”. Por cierto, acerca tres dedos al espejo y analiza el reflejo ;-)

...qué bueno que ahora sepas orientado a la derecha y a la izquierda bases, porque las declaraciones de algunos profesores sobre un cambio de orientación dan miedo =)

Producto cruzado de vectores colineales

La definición se ha discutido en detalle, queda por ver qué sucede cuando los vectores son colineales. Si los vectores son colineales, entonces se pueden colocar en una línea recta y nuestro paralelogramo también se "suma" en una línea recta. El área de tal, como dicen los matemáticos, degenerar paralelogramo es igual a cero. Lo mismo se desprende de la fórmula: el seno de cero o 180 grados. igual a cero, y por lo tanto el área es cero

Así, si , entonces Y . Tenga en cuenta que el producto cruzado en sí es igual al vector cero, pero en la práctica esto a menudo se descuida y se escribe que también es igual a cero.

Caso especial– producto vectorial de un vector consigo mismo:

Utilizando el producto vectorial se puede comprobar la colinealidad de vectores tridimensionales, y también analizaremos este problema, entre otros.

Para resolver ejemplos prácticos es posible que necesites tabla trigonométrica para encontrar los valores de los senos a partir de él.

Bueno, encendamos el fuego:

Ejemplo 1

a) Encuentre la longitud del producto vectorial de vectores si

b) Encuentra el área de un paralelogramo construido sobre vectores si

Solución: No, esto no es un error tipográfico, deliberadamente hice los mismos datos iniciales en las cláusulas. ¡Porque el diseño de las soluciones será diferente!

a) Según la condición, necesitas encontrar longitud vector (producto cruzado). Según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Dado que la pregunta era sobre la longitud, indicamos la dimensión en la respuesta: unidades.

b) Según la condición, es necesario encontrar cuadrado paralelogramo construido sobre vectores. El área de este paralelogramo es numéricamente igual a la longitud del producto vectorial:

Respuesta:

Tenga en cuenta que la respuesta no habla en absoluto del producto vectorial que nos preguntaron; área de la figura, en consecuencia, la dimensión son unidades cuadradas.

Siempre miramos QUÉ necesitamos encontrar según la condición y, en base a esto, formulamos claro respuesta. Puede parecer literal, pero hay muchos profesores literales entre ellos y la tarea tiene muchas posibilidades de ser devuelta para revisión. Aunque no se trata de una objeción especialmente descabellada: si la respuesta es incorrecta, da la impresión de que la persona no comprende cosas simples y/o no entendió la esencia de la tarea. Este momento siempre debe mantenerse bajo control a la hora de solucionar cualquier problema. matemáticas superiores, y también en otros temas.

¿A dónde se fue la letra grande “en”? En principio, se podría haber adjuntado adicionalmente a la solución, pero para acortar la entrada no lo hice. Espero que todos entiendan eso y es una designación para lo mismo.

Un ejemplo popular para decisión independiente:

Ejemplo 2

Encuentra el área de un triángulo construido sobre vectores si

La fórmula para encontrar el área de un triángulo a través del producto vectorial se da en los comentarios a la definición. La solución y la respuesta están al final de la lección.

En la práctica, la tarea es realmente muy común; los triángulos generalmente pueden atormentarte.

Para resolver otros problemas necesitaremos:

Propiedades del producto vectorial de vectores.

Ya hemos considerado algunas propiedades del producto vectorial, sin embargo, las incluiré en esta lista.

Para vectores arbitrarios y un número arbitrario, las siguientes propiedades son verdaderas:

1) En otras fuentes de información, este elemento no suele destacarse en las propiedades, pero es muy importante en términos prácticos. Así que déjalo ser.

2) – la propiedad también se analiza anteriormente, a veces se la llama anticonmutatividad. En otras palabras, el orden de los vectores importa.

3) – asociativo o de asociación leyes de productos vectoriales. Las constantes se pueden mover fácilmente fuera del producto vectorial. Realmente, ¿qué deberían hacer allí?

4) – distribución o distributivo leyes de productos vectoriales. Tampoco hay problemas para abrir los soportes.

Para demostrarlo, veamos un breve ejemplo:

Ejemplo 3

encontrar si

Solución: La condición nuevamente requiere encontrar la longitud del producto vectorial. Pintemos nuestra miniatura:

(1) Según leyes asociativas, sacamos las constantes del alcance del producto vectorial.

(2) Movemos la constante fuera del módulo y el módulo "se come" el signo menos. La longitud no puede ser negativa.

(3) El resto está claro.

Respuesta:

Es hora de echar más leña al fuego:

Ejemplo 4

Calcula el área de un triángulo construido sobre vectores si

Solución: Encuentra el área del triángulo usando la fórmula . El problema es que los vectores “tse” y “de” se presentan como sumas de vectores. El algoritmo aquí es estándar y recuerda algo a los ejemplos 3 y 4 de la lección. Producto escalar de vectores. Para mayor claridad, dividiremos la solución en tres etapas:

1) En el primer paso, expresamos el producto vectorial a través del producto vectorial, de hecho, expresemos un vector en términos de un vector. ¡Aún no se sabe nada sobre las longitudes!

(1) Sustituir expresiones por vectores.

(2) Utilizando leyes distributivas, abrimos los corchetes según la regla de multiplicación de polinomios.

(3) Usando leyes asociativas, movemos todas las constantes más allá de los productos vectoriales. Con un poco de experiencia, los pasos 2 y 3 se pueden realizar simultáneamente.

(4) El primer y último término son iguales a cero (vector cero) debido a la propiedad nice. En el segundo término utilizamos la propiedad de anticonmutatividad de un producto vectorial:

(5) Presentamos términos similares.

Como resultado, el vector resultó expresarse a través de un vector, que es lo que se necesitaba lograr:

2) En el segundo paso, encontramos la longitud del producto vectorial que necesitamos. Esta acción es similar al Ejemplo 3:

3) Encuentra el área del triángulo requerido:

Las etapas 2 y 3 de la solución podrían haberse escrito en una línea.

Respuesta:

El problema considerado es bastante común en pruebas, aquí hay un ejemplo de una solución independiente:

Ejemplo 5

encontrar si

Una breve solución y respuesta al final de la lección. A ver qué tan atento estuviste al estudiar los ejemplos anteriores ;-)

Producto cruzado de vectores en coordenadas.

, especificado en forma ortonormal, expresado por la fórmula:

La fórmula es realmente sencilla: en la línea superior del determinante escribimos los vectores de coordenadas, en la segunda y tercera línea “ponemos” las coordenadas de los vectores, y ponemos en estricto orden– primero las coordenadas del vector “ve”, luego las coordenadas del vector “doble-ve”. Si es necesario multiplicar los vectores en un orden diferente, entonces se deben intercambiar las filas:

Ejemplo 10

Compruebe si los siguientes vectores espaciales son colineales:
A)
b)

Solución: La verificación se basa en una de las afirmaciones de esta lección: si los vectores son colineales, entonces su producto vectorial es igual a cero (vector cero): .

a) Encuentre el producto vectorial:

Por tanto, los vectores no son colineales.

b) Encuentra el producto vectorial:

Respuesta: a) no colineal, b)

Aquí, quizás, esté toda la información básica sobre el producto vectorial de vectores.

Esta sección no será muy extensa, ya que hay pocos problemas en los que se utiliza el producto mixto de vectores. De hecho, todo dependerá de la definición, significado geométrico y un par de fórmulas de trabajo.

Un producto mixto de vectores es el producto de tres vectores.:

Así que se alinearon como un tren y no pueden esperar a ser identificados.

Primero, de nuevo, una definición y una imagen:

Definición: Trabajo mixto no coplanar vectores, tomado en este orden, llamado volumen paralelepípedo, construido sobre estos vectores, equipado con un signo "+" si la base está a la derecha y un signo "-" si la base está a la izquierda.

Hagamos el dibujo. Las líneas invisibles para nosotros se dibujan con líneas de puntos:

Profundicemos en la definición:

2) Se toman vectores en un cierto orden, es decir, la reordenación de vectores en el producto, como se puede adivinar, no ocurre sin consecuencias.

3) Antes de comentar el significado geométrico, señalaré un hecho obvio: el producto mixto de vectores es un NÚMERO: . En la literatura educativa, el diseño puede ser ligeramente diferente; estoy acostumbrado a denotar un producto mixto con , y el resultado de los cálculos con la letra "pe".

Por definición el producto mezclado es el volumen del paralelepípedo, construido sobre vectores (la figura está dibujada con vectores rojos y líneas negras). Es decir, el número es igual al volumen de este paralelepípedo.

Nota : El dibujo es esquemático.

4) No nos preocupemos más por el concepto de orientación de la base y el espacio. El significado de la parte final es que se puede agregar un signo menos al volumen. En palabras simples, el producto mezclado puede ser negativo: .

Directamente de la definición se desprende la fórmula para calcular el volumen de un paralelepípedo construido sobre vectores.