Con este programa de matemáticas puedes resolver ecuación cuadrática.
El programa no sólo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de solución de dos maneras:
- usando un discriminante
- utilizando el teorema de Vieta (si es posible).
Además, la respuesta se muestra como exacta, no aproximada.
Por ejemplo, para la ecuación \(81x^2-16x-1=0\) la respuesta se muestra de la siguiente forma:
Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria. escuelas secundarias En preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas de matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible? tarea¿En matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.
De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de formación en el campo de la resolución de problemas.
Si no está familiarizado con las reglas para ingresar un polinomio cuadrático, le recomendamos que se familiarice con ellas.
Reglas para ingresar un polinomio cuadrático
Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Los números se pueden ingresar como números enteros o fraccionarios.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo en forma de decimal, sino también en forma de fracción ordinaria.
Reglas para ingresar fracciones decimales.
En fracciones decimales, la parte fraccionaria se puede separar de la parte entera mediante un punto o una coma.
Por ejemplo, puedes ingresar decimales así: 2,5x - 3,5x^2
Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Al ingresar una fracción numérica, el numerador se separa del denominador mediante un signo de división: /
La parte entera está separada de la fracción por el signo comercial: &
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6/5z +1/7z^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
Al ingresar una expresión puedes usar paréntesis. En este caso, al resolver una ecuación cuadrática, primero se simplifica la expresión introducida.
Por ejemplo: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Decidir
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Un poco de teoría.
Ecuación cuadrática y sus raíces. Ecuaciones cuadráticas incompletas
Cada una de las ecuaciones
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
parece
\(ax^2+bx+c=0, \)
donde x es una variable, a, byc son números.
En la primera ecuación a = -1, b = 6 y c = 1,4, en la segunda a = 8, b = -7 y c = 0, en la tercera a = 1, b = 0 y c = 4/9. Este tipo de ecuaciones se llaman ecuaciones cuadráticas.
Definición.
Ecuación cuadrática se llama ecuación de la forma ax 2 +bx+c=0, donde x es una variable, a, byc son algunos números y \(a \neq 0 \).
Los números a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. El número a se llama primer coeficiente, el número b es el segundo coeficiente y el número c es el término libre.
En cada una de las ecuaciones de la forma ax 2 +bx+c=0, donde \(a \neq 0 \), la potencia más grande de la variable x es un cuadrado. De ahí el nombre: ecuación cuadrática.
Tenga en cuenta que una ecuación cuadrática también se llama ecuación de segundo grado, ya que su lado izquierdo es un polinomio de segundo grado.
Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente de x 2 es igual a 1 se llama dada la ecuación cuadrática. Por ejemplo, las ecuaciones cuadráticas dadas son las ecuaciones
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Si en una ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0 al menos uno de los coeficientes b o c es igual a cero, entonces dicha ecuación se llama ecuación cuadrática incompleta. Por tanto, las ecuaciones -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 son ecuaciones cuadráticas incompletas. En el primero de ellos b=0, en el segundo c=0, en el tercero b=0 y c=0.
Hay tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:
1) ax 2 +c=0, donde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, donde \(b \neq 0 \);
3) hacha 2 =0.
Consideremos resolver ecuaciones de cada uno de estos tipos.
Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +c=0 para \(c \neq 0 \), mueve su término libre hacia el lado derecho y divide ambos lados de la ecuación por a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Dado que \(c \neq 0 \), entonces \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Si \(-\frac(c)(a)>0\), entonces la ecuación tiene dos raíces.
Si \(-\frac(c)(a) Resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0 con \(b \neq 0 \) factoriza su lado izquierdo y obtiene la ecuación
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matriz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matriz) \right.
Esto significa que una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) siempre tiene dos raíces.
Una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 =0 es equivalente a la ecuación x 2 =0 y por lo tanto tiene una raíz única 0.
Fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.
Consideremos ahora cómo resolver ecuaciones cuadráticas en las que tanto los coeficientes de las incógnitas como el término libre son distintos de cero.
Resolvamos la ecuación cuadrática en vista general y como resultado obtenemos la fórmula de las raíces. Luego, esta fórmula se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática.
Resolvamos la ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0
Dividiendo ambos lados por a, obtenemos la ecuación cuadrática reducida equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Transformemos esta ecuación seleccionando el cuadrado del binomio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Flecha derecha \)
La expresión radical se llama discriminante de una ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0 (“discriminante” en latín - discriminador). Se designa con la letra D, es decir.
\(D = b^2-4ac\)
Ahora, usando la notación discriminante, reescribimos la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), donde \(D= b^2-4ac \)
Es obvio que:
1) Si D>0, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces.
2) Si D=0, entonces la ecuación cuadrática tiene una raíz \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Si D Por lo tanto, dependiendo del valor del discriminante, una ecuación cuadrática puede tener dos raíces (para D > 0), una raíz (para D = 0) o no tener raíces (para D Al resolver una ecuación cuadrática usando esto fórmula, es recomendable hacerlo de la siguiente manera:
1) calcular el discriminante y compararlo con cero;
2) si el discriminante es positivo o igual a cero, utilice la fórmula de la raíz; si el discriminante es negativo, escriba que no hay raíces;
teorema de vieta
La ecuación cuadrática dada ax 2 -7x+10=0 tiene raíces 2 y 5. La suma de las raíces es 7 y el producto es 10. Vemos que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente tomado con el opuesto signo, y el producto de las raíces es igual al término libre. Cualquier ecuación cuadrática reducida que tenga raíces tiene esta propiedad.
La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida es igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.
Aquellos. El teorema de Vieta establece que las raíces x 1 y x 2 de la ecuación cuadrática reducida x 2 +px+q=0 tienen la propiedad:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
Discriminante es un término de múltiples valores. En este artículo hablaremos sobre el discriminante de un polinomio, que permite determinar si un polinomio determinado tiene soluciones válidas. La fórmula del polinomio cuadrático se encuentra en el curso escolar de álgebra y análisis. ¿Cómo encontrar un discriminante? ¿Qué se necesita para resolver la ecuación?
Un polinomio cuadrático o ecuación de segundo grado se llama i * w ^ 2 + j * w + k es igual a 0, donde “i” y “j” son el primer y segundo coeficiente, respectivamente, “k” es una constante, a veces llamada “término despectivo” y “w” es una variable. Sus raíces serán todos los valores de la variable en la que se convierte en identidad. Tal igualdad se puede reescribir como el producto de i, (w - w1) y (w - w2) igual a 0. En este caso, es obvio que si el coeficiente "i" no se vuelve cero, entonces la función en el lado izquierdo se volverá cero solo si x toma el valor w1 o w2. Estos valores son el resultado de igualar el polinomio a cero.
Para encontrar el valor de una variable en la que un polinomio cuadrático desaparece, se utiliza una construcción auxiliar, construida sobre sus coeficientes y llamada discriminante. Este diseño se calcula según la fórmula D es igual a j*j - 4*i*k. ¿Por qué se usa?
- Indica si hay resultados válidos.
- Ella ayuda a calcularlos.
¿Cómo muestra este valor la presencia de raíces reales?
- Si es positivo, entonces se pueden encontrar dos raíces en la región de los números reales.
- Si el discriminante es cero, entonces ambas soluciones son iguales. Podemos decir que sólo hay una solución, y es del campo de los números reales.
- Si el discriminante menos que cero, entonces el polinomio no tiene raíces reales.
Opciones de cálculo para asegurar material.
Para la suma (7 * w^2; 3 * w; 1) igual a 0 Calculamos D usando la fórmula 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, obtenemos -19. Un valor discriminante por debajo de cero indica que no hay resultados en la línea real.
Si consideramos 2 * w^2 - 3 * w + 1 equivalente a 0, entonces D se calcula como (-3) al cuadrado menos el producto de los números (4; 2; 1) y es igual a 9 - 8, es decir, 1. Un valor positivo indica dos resultados en la recta real.
Si tomamos la suma (w ^ 2; 2 * w; 1) y la igualamos a 0, D se calcula como dos al cuadrado menos el producto de los números (4; 1; 1). Esta expresión se simplificará a 4 - 4 y llegará a cero. Resulta que los resultados son los mismos. Si observa detenidamente esta fórmula, quedará claro que se trata de un "cuadrado completo". Esto significa que la igualdad se puede reescribir en la forma (w + 1) ^ 2 = 0. Resultó obvio que el resultado en este problema es "-1". En una situación en la que D es igual a 0, el lado izquierdo de la igualdad siempre se puede contraer usando la fórmula del "cuadrado de la suma".
Usar un discriminante para calcular raíces
Esta construcción auxiliar no sólo muestra el número de soluciones reales, sino que también ayuda a encontrarlas. La fórmula de cálculo general para una ecuación de segundo grado es:
w = (-j +/- d) / (2 * i), donde d es el discriminante elevado a 1/2.
Digamos que el discriminante está por debajo de cero, entonces d es imaginario y los resultados son imaginarios.
D es cero, entonces d igual a D elevado a 1/2 también es cero. Solución: -j/(2*i). Nuevamente considerando 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, encontramos resultados equivalentes a -2 / (2 * 1) = -1.
Supongamos que D > 0, entonces d es un número real, y la respuesta aquí se divide en dos partes: w1 = (-j + d) / (2 * i) y w2 = (-j - d) / (2 * i ). Ambos resultados serán válidos. Miremos 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Aquí el discriminante yd son unos. Resulta que w1 es igual a (3 + 1) dividido por (2 * 2) o 1, y w2 es igual a (3 - 1) dividido por 2 * 2 o 1/2.
El resultado de igualar una expresión cuadrática a cero se calcula según el algoritmo:
- Determinar el número de soluciones válidas.
- Cálculo d = D^(1/2).
- Encontrar el resultado según la fórmula (-j +/- d) / (2 * i).
- Sustituyendo el resultado obtenido en la igualdad original para su verificación.
Algunos casos especiales
Dependiendo de los coeficientes, la solución puede simplificarse algo. Obviamente, si el coeficiente de una variable elevado a la segunda potencia es cero, entonces se obtiene una igualdad lineal. Cuando el coeficiente de una variable a la primera potencia es cero, entonces son posibles dos opciones:
- el polinomio se expande a una diferencia de cuadrados cuando el término libre es negativo;
- para una constante positiva, no se pueden encontrar soluciones reales.
Si el término libre es cero, entonces las raíces serán (0; -j)
Pero hay otros casos especiales que simplifican la búsqueda de una solución.
Ecuación reducida de segundo grado
Lo dado se llama tal trinomio cuadrático, donde el coeficiente del término principal es uno. Para esta situación es aplicable el teorema de Vieta, que establece que la suma de las raíces es igual al coeficiente de la variable elevado a la primera potencia, multiplicado por -1, y el producto corresponde a la constante “k”.
Por lo tanto, w1 + w2 es igual a -j y w1 * w2 es igual a k si el primer coeficiente es uno. Para verificar la exactitud de esta representación, puede expresar w2 = -j - w1 a partir de la primera fórmula y sustituirla en la segunda igualdad w1 * (-j - w1) = k. El resultado es la igualdad original w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.
Es importante tener en cuenta, que i * w ^ 2 + j * w + k = 0 se puede lograr dividiendo por “i”. El resultado será: w^2 + j1 * w + k1 = 0, donde j1 es igual a j/i y k1 es igual a k/i.
Veamos el ya resuelto 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 con los resultados w1 = 1 y w2 = 1/2. Necesitamos dividirlo por la mitad, como resultado w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Comprobemos que las condiciones del teorema son verdaderas para los resultados encontrados: 1 + 1/2 = 3/ 2 y 1*1/2 = 1/2.
Incluso el segundo factor
Si el factor de una variable a la primera potencia (j) es divisible por 2, entonces será posible simplificar la fórmula y buscar una solución a través de una cuarta parte del discriminante D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. resulta w = (-j +/- d/2) / i, donde d/2 = D/4 elevado a 1/2.
Si i = 1, y el coeficiente j es par, entonces la solución será el producto de -1 por la mitad del coeficiente de la variable w, más/menos la raíz del cuadrado de esta mitad menos la constante “k”. Fórmula: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.
Orden discriminante superior
El discriminante del trinomio de segundo grado discutido anteriormente es el más comúnmente utilizado. caso especial. En el caso general, el discriminante de un polinomio es cuadrados multiplicados de las diferencias de las raíces de este polinomio. Por lo tanto, el discriminante igual a cero indica la presencia de al menos dos soluciones múltiples.
Considere i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.
D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.
Supongamos que el discriminante excede cero.. Esto significa que hay tres raíces en la región de los números reales. En cero hay múltiples soluciones. Si D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.
Video
Nuestro video le informará en detalle sobre cómo calcular el discriminante.
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Entre todo el plan de estudios de álgebra escolar, uno de los temas más extensos es el tema de las ecuaciones cuadráticas. En este caso, se entiende por ecuación cuadrática una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0 (léase: a multiplicado por x al cuadrado más be x más ce es igual a cero, donde a no es igual a cero). En este caso, el lugar principal lo ocupan las fórmulas para encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática. tipo especificado, que se entiende como una expresión que permite determinar la presencia o ausencia de raíces en una ecuación cuadrática, así como su número (si lo hubiera).
Fórmula (ecuación) del discriminante de una ecuación cuadrática
La fórmula generalmente aceptada para el discriminante de una ecuación cuadrática es la siguiente: D = b 2 – 4ac. Al calcular el discriminante usando la fórmula especificada, no solo puede determinar la presencia y el número de raíces de una ecuación cuadrática, sino también elegir un método para encontrar estas raíces, de las cuales hay varias según el tipo de ecuación cuadrática.
¿Qué significa si el discriminante es cero? \ Fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática si el discriminante es cero.
El discriminante, como se desprende de la fórmula, se denota letra latina D. En el caso de que el discriminante sea igual a cero, se debe concluir que una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, tiene una sola raíz, que se calcula mediante una fórmula simplificada. . Esta fórmula se aplica sólo cuando el discriminante es cero y se ve así: x = –b/2a, donde x es la raíz de la ecuación cuadrática, b y a son las variables correspondientes de la ecuación cuadrática. Para encontrar la raíz de una ecuación cuadrática, debes dividir el valor negativo de la variable b por el doble del valor de la variable a. La expresión resultante será la solución de una ecuación cuadrática.
Resolver una ecuación cuadrática usando un discriminante
Si al calcular el discriminante usando la fórmula anterior se obtiene un valor positivo (D es mayor que cero), entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces, las cuales se calculan usando las siguientes fórmulas: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. La mayoría de las veces, el discriminante no se calcula por separado, sino que la expresión radical en forma de fórmula discriminante simplemente se sustituye en el valor D del que se extrae la raíz. Si la variable b tiene un valor par, entonces para calcular las raíces de una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, también puedes usar las siguientes fórmulas: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, donde k = b/2.
En algunos casos, para resolver prácticamente ecuaciones cuadráticas, se puede utilizar el Teorema de Vieta, que establece que para la suma de las raíces de una ecuación cuadrática de la forma x 2 + px + q = 0 el valor x 1 + x 2 = –p será cierto, y para el producto de las raíces de la ecuación especificada – expresión x 1 x x 2 = q.
¿Puede el discriminante ser menor que cero?
Al calcular el valor discriminante, puede encontrarse con una situación que no se incluye en ninguno de los casos descritos: cuando el discriminante tiene un valor negativo (es decir, menor que cero). En este caso, generalmente se acepta que una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, no tiene raíces reales, por lo tanto, su solución se limitará a calcular el discriminante, y las fórmulas anteriores para las raíces de una ecuación cuadrática no se aplicarán, en este caso las habrá. Al mismo tiempo, en la respuesta a la ecuación cuadrática está escrito que "la ecuación no tiene raíces reales".
Vídeo explicativo:
trabajemos con ecuaciones cuadráticas. ¡Estas son ecuaciones muy populares! En su forma más general, una ecuación cuadrática se ve así:
Por ejemplo:
Aquí A =1; b = 3; C = -4
Aquí A =2; b = -0,5; C = 2,2
Aquí A =-3; b = 6; C = -18
Bueno, entiendes...
¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas? Si tienes una ecuación cuadrática frente a ti en esta forma, entonces todo es simple. Recordemos Palabra mágica discriminante . ¡Es raro que un estudiante de secundaria no haya escuchado esta palabra! La frase “resolvemos mediante un discriminante” inspira confianza y tranquilidad. ¡Porque no hay necesidad de esperar trucos del discriminante! Es simple y sin problemas de usar. Entonces, la fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática se ve así:
La expresión bajo el signo de la raíz es la que discriminante. Como puedes ver, para encontrar X, usamos solo a, b y c. Aquellos. coeficientes de una ecuación cuadrática. Simplemente sustituye cuidadosamente los valores. a, b y c Esta es la fórmula que calculamos. sustituyamos ¡Con tus propios carteles! Por ejemplo, para la primera ecuación A =1; b = 3; C= -4. Aquí lo anotamos:
El ejemplo está casi resuelto:
Eso es todo.
¿Qué casos son posibles al utilizar esta fórmula? Sólo hay tres casos.
1. El discriminante es positivo. Esto significa que se puede extraer la raíz. Otra cuestión es si la raíz se extrae bien o mal. Lo importante es lo que se extrae en principio. Entonces tu ecuación cuadrática tiene dos raíces. Dos soluciones diferentes.
2. El discriminante es cero. Entonces tienes una solución. Estrictamente hablando, esta no es una raíz, sino dos identicos. Pero esto juega un papel en las desigualdades, tema donde estudiaremos el tema con más detalle.
3. El discriminante es negativo. De un número negativo Raíz cuadrada no extraído. Bueno esta bien. Esto significa que no hay soluciones.
Todo es muy sencillo. ¿Y qué, crees que es imposible equivocarse? Pues sí, ¿cómo...?
Los errores más comunes son la confusión con los valores de los signos. a, b y c. O mejor dicho, no con sus signos (¿dónde confundirse?), sino con la sustitución de valores negativos en la fórmula para calcular las raíces. Lo que ayuda aquí es una grabación detallada de la fórmula con números específicos. Si hay problemas con los cálculos, Haz eso!
Supongamos que necesitamos resolver el siguiente ejemplo:
Aquí a = -6; segundo = -5; c = -1
Digamos que sabes que rara vez obtienes respuestas la primera vez.
Bueno, no seas perezoso. Se necesitarán unos 30 segundos para escribir una línea adicional y la cantidad de errores. disminuirá drásticamente. Así que escribimos detalladamente, con todos los corchetes y signos:
Parece increíblemente difícil escribir con tanto cuidado. Pero sólo lo parece. Darle una oportunidad. Bueno, o elige. ¿Qué es mejor, rápido o correcto? Además, te haré feliz. Después de un tiempo, no será necesario escribir todo con tanto cuidado. Funcionará por sí solo. Especialmente si utiliza técnicas prácticas que se describen a continuación. ¡Este malvado ejemplo con un montón de desventajas se puede resolver fácilmente y sin errores!
Entonces, cómo resolver ecuaciones cuadráticas a través del discriminante que recordamos. O aprendieron, lo cual también es bueno. Sabes determinar correctamente. a, b y c. ¿Sabes cómo? atentamente sustitúyelos en la fórmula raíz y atentamente contar el resultado. Entendiste eso palabra clave Aquí - ¿atentamente?
Sin embargo, las ecuaciones cuadráticas suelen verse ligeramente diferentes. Por ejemplo, así:
Este ecuaciones cuadráticas incompletas . También se pueden resolver mediante un discriminante. Solo necesitas entender correctamente a qué equivalen aquí. a, b y c.
¿Lo has descubierto? En el primer ejemplo a = 1; segundo = -4; A C? ¡No está ahí en absoluto! Pues sí, así es. En matemáticas esto significa que c = 0 ! Eso es todo. Sustituya cero en la fórmula. C, y lo lograremos. Lo mismo con el segundo ejemplo. Sólo que aquí no tenemos cero. Con, A b !
Pero las ecuaciones cuadráticas incompletas se pueden resolver de manera mucho más sencilla. Sin discriminación alguna. Consideremos la primera ecuación incompleta. ¿Qué puedes hacer en el lado izquierdo? ¡Puedes quitar X de los paréntesis! Saquémoslo.
¿Y qué de esto? ¡Y el hecho de que el producto es igual a cero si y sólo si alguno de los factores es igual a cero! ¿No me crees? Bien, entonces piensa en dos números distintos de cero que, cuando se multipliquen, ¡darán cero!
¿No funciona? Eso es todo...
Por lo tanto, podemos escribir con seguridad: x = 0, o x = 4
Todo. Estas serán las raíces de nuestra ecuación. Ambos son adecuados. Al sustituir cualquiera de ellos en la ecuación original, obtenemos la identidad correcta 0 = 0. Como puedes ver, la solución es mucho más sencilla que usar un discriminante.
La segunda ecuación también se puede resolver de forma sencilla. Mueva 9 hacia el lado derecho. Obtenemos:
Sólo queda extraer la raíz del 9 y listo. Resultará:
También dos raíces . x = +3 y x = -3.
Así se resuelven todas las ecuaciones cuadráticas incompletas. Ya sea colocando X entre corchetes o simplemente moviendo el número hacia la derecha y luego extrayendo la raíz.
Es extremadamente difícil confundir estas técnicas. Simplemente porque en el primer caso tendrás que extraer la raíz de X, que es algo incomprensible, y en el segundo caso no hay nada que sacar entre paréntesis...
Ahora tome nota de las técnicas prácticas que reducen drásticamente la cantidad de errores. Los mismos que son por falta de atención... Por lo que luego se vuelve doloroso y ofensivo...
Primera cita. No seas perezoso antes de resolver una ecuación cuadrática y llevarla a su forma estándar. ¿Qué quiere decir esto?
Digamos que después de todas las transformaciones se obtiene la siguiente ecuación:
¡No te apresures a escribir la fórmula raíz! Es casi seguro que las probabilidades se mezclarán a, b y c. Construya el ejemplo correctamente. Primero, X al cuadrado, luego sin cuadrado, luego el término libre. Como esto:
Y de nuevo, ¡no te apresures! Un signo menos delante de una X al cuadrado puede realmente molestarte. Es fácil de olvidar... Deshazte de los menos. ¿Cómo? ¡Sí, como se enseñó en el tema anterior! Necesitamos multiplicar toda la ecuación por -1. Obtenemos:
Pero ahora puedes escribir con seguridad la fórmula de las raíces, calcular el discriminante y terminar de resolver el ejemplo. Decide por ti mismo. Ahora deberías tener las raíces 2 y -1.
Recepción segunda.¡Comprueba las raíces! Según el teorema de Vieta. ¡No tengas miedo, te lo explicaré todo! Comprobación última cosa la ecuacion. Aquellos. el que usamos para escribir la fórmula raíz. Si (como en este ejemplo) el coeficiente un = 1, comprobar las raíces es fácil. Basta multiplicarlos. El resultado debería ser un miembro gratuito, es decir. en nuestro caso -2. ¡Tenga en cuenta que no 2, sino -2! Miembro gratuito con tu signo
. Si no funciona, significa que ya se han equivocado en alguna parte. Busque el error. Si funciona, necesitas agregar las raíces. Última y definitiva comprobación. El coeficiente debe ser b Con opuesto
familiar. En nuestro caso -1+2 = +1. un coeficiente b, que está antes de la X, es igual a -1. Entonces, ¡todo es correcto!
Es una pena que esto sea tan simple sólo para ejemplos donde x al cuadrado es puro, con un coeficiente un = 1.¡Pero al menos comprueba esas ecuaciones! Todo menos errores voluntad.
Recepción tercero. Si tu ecuación tiene coeficientes fraccionarios, ¡deshazte de las fracciones! Multiplica la ecuación por común denominador como se describe en sección previa. Cuando se trabaja con fracciones, los errores siguen apareciendo por alguna razón...
Por cierto, prometí simplificar el malvado ejemplo con un montón de desventajas. ¡Por favor! Aquí está él.
Para no confundirnos con los inconvenientes, multiplicamos la ecuación por -1. Obtenemos:
¡Eso es todo! ¡Resolver es un placer!
Entonces, resumamos el tema.
1. Antes de resolver, llevamos la ecuación cuadrática a su forma estándar y la construimos. Bien.
2. Si delante de la X al cuadrado hay un coeficiente negativo, lo eliminamos multiplicando toda la ecuación por -1.
3. Si los coeficientes son fraccionarios, eliminamos las fracciones multiplicando toda la ecuación por el factor correspondiente.
4. Si x al cuadrado es puro, su coeficiente igual a uno, la solución se puede verificar fácilmente utilizando el teorema de Vieta. ¡Hazlo!
Ecuaciones fraccionarias. ODZ.
Seguimos dominando las ecuaciones. Ya sabemos cómo trabajar con ecuaciones lineales y cuadráticas. Queda la última vista - ecuaciones fraccionarias. O también se les llama mucho más respetablemente: ecuaciones racionales fraccionarias. Es lo mismo.
Ecuaciones fraccionarias.
Como su nombre lo indica, estas ecuaciones necesariamente contienen fracciones. Pero no sólo fracciones, sino fracciones que tienen desconocido en denominador. Al menos en uno. Por ejemplo:
Déjame recordarte que si los denominadores son sólo números, estas son ecuaciones lineales.
como decidir ecuaciones fraccionarias? En primer lugar, ¡deshazte de las fracciones! Después de esto, la ecuación suele volverse lineal o cuadrática. Y entonces sabemos qué hacer... En algunos casos puede convertirse en una identidad, como 5=5 o una expresión incorrecta, como 7=2. Pero esto rara vez sucede. Mencionaré esto a continuación.
¿Pero cómo deshacerse de las fracciones? Muy simple. Aplicando las mismas transformaciones idénticas.
Necesitamos multiplicar toda la ecuación por la misma expresión. ¡Para que se reduzcan todos los denominadores! Inmediatamente todo será más fácil. Dejame explicarte con un ejemplo. Necesitamos resolver la ecuación:
¿Cómo te enseñaron en la escuela primaria? Movemos todo hacia un lado, lo llevamos a un denominador común, etc. olvida como sueño horrible! Esto es lo que debes hacer al sumar o restar fracciones. O trabajas con desigualdades. Y en las ecuaciones, multiplicamos inmediatamente ambos lados por una expresión que nos permitirá reducir todos los denominadores (es decir, en esencia, por un denominador común). ¿Y cuál es esta expresión?
En el lado izquierdo, reducir el denominador requiere multiplicar por x+2. Y a la derecha, se requiere multiplicar por 2. Esto significa que la ecuación debe multiplicarse por. 2(x+2). Multiplicar:
Esta es una multiplicación común de fracciones, pero la describiré en detalle:
Tenga en cuenta que todavía no voy a abrir el soporte. (x+2)! Así, en su totalidad, lo escribo:
En el lado izquierdo se contrae completamente. (x+2), y a la derecha 2. ¡Que es lo que se requería! Después de la reducción obtenemos lineal la ecuacion:
¡Y todos pueden resolver esta ecuación! x = 2.
Resolvamos otro ejemplo, un poco más complicado:
Si recordamos que 3 = 3/1, y 2x = 2x/ 1, podemos escribir:
Y nuevamente nos deshacemos de lo que realmente no nos gusta: las fracciones.
Vemos que para reducir el denominador a X, necesitamos multiplicar la fracción por (x – 2). Y algunos no son un obstáculo para nosotros. Bueno, multipliquemos. Todo lado izquierdo y todo lado derecho:
Paréntesis de nuevo (x – 2) No estoy revelando. ¡Trabajo con el bracket en su conjunto como si fuera un solo número! Esto debe hacerse siempre, de lo contrario no se reducirá nada.
Con un sentimiento de profunda satisfacción reducimos (x – 2)¡Y obtenemos una ecuación sin fracciones, con regla!
Ahora abramos los corchetes:
Traemos otros similares, movemos todo hacia el lado izquierdo y obtenemos:
Ecuación cuadrática clásica. Pero el inconveniente que tenemos por delante no es bueno. Siempre puedes deshacerte de él multiplicando o dividiendo por -1. Pero si observas detenidamente el ejemplo, notarás que es mejor dividir esta ecuación entre -2. ¡De una sola vez, el inconveniente desaparecerá y las probabilidades se volverán más atractivas! Dividir por -2. En el lado izquierdo, término por término, y en el derecho, simplemente dividimos cero entre -2, cero y obtenemos:
Resolvemos mediante el discriminante y comprobamos mediante el teorema de Vieta. Obtenemos x = 1 y x = 3. Dos raíces.
Como puedes ver, en el primer caso la ecuación después de la transformación se volvió lineal, pero aquí se vuelve cuadrática. Sucede que después de deshacerse de las fracciones, todas las X se reducen. Algo queda, como 5=5. Esto significa que x puede ser cualquier cosa. Sea lo que sea, seguirá siendo reducido. Y resulta ser pura verdad, 5=5. Pero, después de deshacernos de las fracciones, puede resultar completamente falso, como 2=7. Y esto significa que sin soluciones! Cualquier X resulta ser falsa.
Se dio cuenta de la solución principal. ecuaciones fraccionarias? Es simple y lógico. Cambiamos la expresión original para que todo lo que no nos gusta desaparezca. O interfiere. En este caso se trata de fracciones. Haremos lo mismo con todo tipo de ejemplos complejos con logaritmos, senos y otros horrores. Nosotros Siempre Deshagámonos de todo esto.
Sin embargo, necesitamos cambiar la expresión original en la dirección que necesitamos. De acuerdo a las reglas, si... Cuyo dominio es la preparación para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Entonces lo estamos dominando.
Ahora aprenderemos cómo evitar uno de principales emboscadas en el Examen Estatal Unificado! Pero primero, veamos si caes en él o no.
Veamos un ejemplo sencillo:
El asunto ya nos resulta familiar, multiplicamos ambos lados por (x – 2), obtenemos:
Te recuerdo, entre corchetes (x – 2)¡Trabajamos como si fuera una sola expresión integral!
Aquí ya no escribí uno en los denominadores, es indigno... Y no puse paréntesis en los denominadores, excepto x – 2 no hay nada, no tienes que dibujar. Acortemos:
Abra los paréntesis, mueva todo hacia la izquierda y proporcione otros similares:
Resolvemos, comprobamos, obtenemos dos raíces. x = 2 Y x = 3. Excelente.
Supongamos que la tarea dice que se escriba la raíz, o su suma si hay más de una raíz. ¿Qué vamos a escribir?
Si decides que la respuesta es 5, fueron emboscados. Y la tarea no se le acreditará. Trabajaron en vano... La respuesta correcta es 3.
¡¿Qué pasa?! Y tratas de hacer un control. Sustituir los valores de la incógnita en original ejemplo. Y si en x = 3 todo crecerá maravillosamente junto, obtenemos 9 = 9, entonces cuando x = 2¡Será división por cero! Lo que absolutamente no puedes hacer. Medio x = 2 no es una solución y no se tiene en cuenta en la respuesta. Esta es la llamada raíz extraña o extra. Simplemente lo descartamos. La raíz final es una. x = 3.
¡¿Cómo es eso?! – Escucho exclamaciones indignadas. ¡Nos enseñaron que una ecuación se puede multiplicar por una expresión! ¡Esta es una transformación idéntica!
Sí, idéntico. En pequeña condición– la expresión por la cual multiplicamos (dividimos) – diferente de cero. A x – 2 en x = 2 es igual a cero! Entonces todo es justo.
¡¿Y ahora qué puedo hacer?! ¿No multiplicar por expresión? ¿Debo comprobarlo cada vez? ¡Nuevamente no está claro!
¡Tranquilamente! ¡No entrar en pánico!
En esta difícil situación, tres letras mágicas nos salvarán. Sé lo que estás pensando. ¡Bien! Este ODZ . Área de Valores Aceptables.
El uso de ecuaciones está muy extendido en nuestra vida. Se utilizan en muchos cálculos, construcción de estructuras e incluso deportes. El hombre utilizó ecuaciones en la antigüedad y desde entonces su uso no ha hecho más que aumentar. El discriminante permite resolver cualquier ecuación cuadrática mediante una fórmula general, que tiene la siguiente forma:
La fórmula discriminante depende del grado del polinomio. La fórmula anterior es adecuada para resolver ecuaciones cuadráticas. el siguiente tipo:
El discriminante tiene las siguientes propiedades que necesitas conocer:
* "D" es igual a 0 cuando el polinomio tiene múltiples raíces (raíces iguales);
* "D" es un polinomio simétrico respecto de las raíces del polinomio y por tanto es un polinomio en sus coeficientes; además, los coeficientes de este polinomio son números enteros independientemente de la extensión en la que se tomen las raíces.
Digamos que tenemos una ecuación cuadrática de la siguiente forma:
1 ecuación
Según la fórmula tenemos:
Como \, la ecuación tiene 2 raíces. Definámoslos:
¿Dónde puedo resolver una ecuación usando un solucionador discriminante en línea?
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