\(\blacktriangleright\) Para encontrar el valor más grande/más pequeño de una función en el segmento \(\) , es necesario representar esquemáticamente la gráfica de la función en este segmento.
En los problemas de este subtema, esto se puede hacer usando la derivada: encuentre los intervalos de aumento (\(f">0\) ) y decreciente (\(f"<0\)
) функции, критические точки (где \(f"=0\)
или \(f"\)
не существует).
\(\blacktriangleright\) No olvides que la función puede tomar el valor mayor/menor no sólo en los puntos internos del segmento \(\), sino también en sus extremos.
\(\blacktriangleright\) El valor más grande/más pequeño de la función es el valor de coordenadas \(y=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) La derivada de una función compleja \(f(t(x))\) se encuentra según la regla: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Función) f(x) & \text(Derivada) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Función) f(x) & \text(Derivada) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(array)\]
Tarea 1 #2357
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentra el valor más pequeño de la función \(y = e^(x^2 - 4)\) en el segmento \([-10; -2]\) .
ODZ: \(x\) – arbitrario.
1) \
\ Por lo tanto, \(y" = 0\) para \(x = 0\) .
3) Encontremos intervalos de signo constante \(y"\) en el segmento considerado \([-10; -2]\) :
4) Bosquejo de la gráfica en el segmento \([-10; -2]\) :
Por lo tanto, la función alcanza su valor más pequeño en \([-10; -2]\) en \(x = -2\) .
\ Total: \(1\) – el valor más pequeño de la función \(y\) en \([-10; -2]\) .
Respuesta: 1
Tarea 2 #2355
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) en el segmento \([-1; 1]\) .
ODZ: \(x\) – arbitrario.
1) \
Encontremos puntos críticos (es decir, puntos internos del dominio de definición de la función en los que su derivada es igual a \(0\) o no existe): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] La derivada existe para cualquier \(x\) .
2) Encontremos intervalos de signo constante \(y"\) :
3) Encontremos intervalos de signo constante \(y"\) en el segmento considerado \([-1; 1]\) :
4) Bosquejo de una gráfica en el segmento \([-1; 1]\) :
Así, la función alcanza su mayor valor en \([-1; 1]\) en \(x = -1\) o en \(x = 1\) . Comparemos los valores de las funciones en estos puntos.
\ Total: \(2\) – valor más alto funciones \(y\) en \([-1; 1]\) .
Respuesta: 2
Tarea 3 #2356
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentra el valor más pequeño de la función \(y = \cos 2x\) en el segmento \(\) .
ODZ: \(x\) – arbitrario.
1) \
Encontremos puntos críticos (es decir, puntos internos del dominio de definición de la función en los que su derivada es igual a \(0\) o no existe): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] La derivada existe para cualquier \(x\) .
2) Encontremos intervalos de signo constante \(y"\) :
(aquí hay un número infinito de intervalos en los que se alternan los signos de la derivada).
3) Encontremos intervalos de signo constante \(y"\) en el segmento considerado \(\):
4) Bosquejo de una gráfica en el segmento \(\) :
Por lo tanto, la función alcanza su valor más pequeño en \(\) en \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .
\ Total: \(-1\) – el valor más pequeño de la función \(y\) en \(\) .
Respuesta: -1
Tarea 4 #915
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentra el valor más grande de la función.
\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).
ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Decidamos sobre ODZ:
1) Denotemos \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , entonces \(y(t)=-\log_(17)t\) .
Encontremos puntos críticos (es decir, puntos internos del dominio de definición de la función en los que su derivada es igual a \(0\) o no existe): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– en la ODZ, de donde encontramos la raíz \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . La derivada de la función \(y\) no existe para \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\), pero sí para esta ecuación discriminante negativo, por tanto, no tiene soluciones. Para encontrar el valor mayor/menor de una función, es necesario comprender cómo se ve su gráfica esquemáticamente.
2) Encontremos intervalos de signo constante \(y"\) :
3) Bosquejo del gráfico:
Por tanto, la función alcanza su mayor valor en \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) :
\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\right) = -\log_(17)1 = 0\),
Total: \(0\) – el valor más grande de la función \(y\) .
Respuesta: 0
Tarea 5 #2344
Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado
Encuentra el valor más pequeño de la función.
\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).
ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Decidamos sobre ODZ:
1) Denotemos \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , entonces \(y(t)=\log_(3)t\) .
Encontremos puntos críticos (es decir, puntos internos del dominio de definición de la función en los que su derivada es igual a \(0\) o no existe): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– en la ODZ, desde donde encontramos la raíz \(x = -4\) . La derivada de la función \(y\) no existe cuando \(x^2 + 8x + 19 = 0\), pero esta ecuación tiene un discriminante negativo, por lo tanto, no tiene soluciones. Para encontrar el valor mayor/menor de una función, es necesario comprender cómo se ve su gráfica esquemáticamente.
2) Encontremos intervalos de signo constante \(y"\) :
3) Bosquejo del gráfico:
Así, \(x = -4\) es el punto mínimo de la función \(y\) y en él se alcanza el valor más pequeño:
\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .
Total: \(1\) – el valor más pequeño de la función \(y\) .
Respuesta: 1
Tarea 6 #917
Nivel de tarea: más difícil que el examen estatal unificado
Encuentra el valor más grande de la función.
\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).
Desde un punto de vista práctico, el mayor interés está en utilizar la derivada para encontrar los valores mayor y menor de una función. ¿Con qué está conectado esto? Maximizar beneficios, minimizar costes, determinar la carga óptima de equipos... Es decir, en muchos ámbitos de la vida tenemos que solucionar problemas de optimización de algunos parámetros. Y estas son las tareas de encontrar los valores mayor y menor de una función.
Cabe señalar que los valores mayor y menor de una función generalmente se buscan en un determinado intervalo X, que es todo el dominio de la función o parte del dominio de definición. El intervalo X en sí puede ser un segmento, un intervalo abierto 
, un intervalo infinito.
En este artículo hablaremos sobre cómo encontrar los valores más grandes y más pequeños de forma explícita. función dada una variable y=f(x) .
Navegación de páginas.
El valor más grande y más pequeño de una función: definiciones, ilustraciones.
Veamos brevemente las definiciones principales.
El valor más grande de la función. 
eso para cualquiera 
la desigualdad es cierta.
El valor más pequeño de la función. y=f(x) en el intervalo X se llama tal valor 
eso para cualquiera la desigualdad es cierta.
Estas definiciones son intuitivas: el valor más grande (más pequeño) de una función es el valor más grande (más pequeño) aceptado en el intervalo considerado en la abscisa.
Puntos estacionarios– estos son los valores del argumento en los que la derivada de la función se vuelve cero.
¿Por qué necesitamos puntos estacionarios para encontrar los valores más grande y más pequeño? La respuesta a esta pregunta la da el teorema de Fermat. De este teorema se deduce que si una función diferenciable tiene un extremo (mínimo local o máximo local) en algún punto, entonces este punto es estacionario. Por lo tanto, la función a menudo toma su valor más grande (más pequeño) en el intervalo X en uno de los puntos estacionarios de este intervalo.
Además, una función a menudo puede tomar sus valores más grande y más pequeño en puntos en los que la primera derivada de esta función no existe y la función en sí está definida.
Respondamos de inmediato una de las preguntas más comunes sobre este tema: "¿Es siempre posible determinar el valor más grande (más pequeño) de una función"? No, no siempre. A veces, los límites del intervalo X coinciden con los límites del dominio de definición de la función, o el intervalo X es infinito. Y algunas funciones en el infinito y en los límites del dominio de definición pueden tomar valores tanto infinitamente grandes como infinitamente pequeños. En estos casos, no se puede decir nada sobre el valor mayor y menor de la función.
Para mayor claridad, daremos una ilustración gráfica. Mire las imágenes y muchas cosas quedarán más claras.
en el segmento
En la primera figura, la función toma los valores más grande (max y) y más pequeño (min y) en puntos estacionarios ubicados dentro del segmento [-6;6].
Consideremos el caso representado en la segunda figura. Cambiemos el segmento a . En este ejemplo, el valor más pequeño de la función se logra en un punto estacionario y el más grande en el punto cuya abscisa corresponde al límite derecho del intervalo.
En la Figura 3, los puntos límite del segmento [-3;2] son las abscisas de los puntos correspondientes al valor mayor y menor de la función.
En un intervalo abierto
En la cuarta figura, la función toma los valores más grande (max y) y más pequeño (min y) en puntos estacionarios ubicados dentro del intervalo abierto (-6;6).
En el intervalo , no se pueden sacar conclusiones sobre el valor más grande.
en el infinito
En el ejemplo presentado en la séptima figura, la función toma el valor más grande (max y) en un punto estacionario con abscisa x=1, y el valor más pequeño (min y) se logra en el límite derecho del intervalo. En menos infinito, los valores de la función se acercan asintóticamente a y=3.
Durante el intervalo, la función no alcanza ni el valor más pequeño ni el más grande. A medida que x=2 se aproxima por la derecha, los valores de la función tienden a menos infinito (la recta x=2 es una asíntota vertical), y a medida que la abscisa tiende a más infinito, los valores de la función se aproximan asintóticamente a y=3. Una ilustración gráfica de este ejemplo se muestra en la Figura 8.
Algoritmo para encontrar los valores mayor y menor de una función continua en un segmento.
Escribamos un algoritmo que nos permita encontrar los valores mayor y menor de una función en un segmento.
- Encontramos el dominio de definición de la función y comprobamos si contiene el segmento completo.
- Encontramos todos los puntos en los que no existe la primera derivada y que están contenidos en el segmento (normalmente estos puntos se encuentran en funciones con un argumento bajo el signo del módulo y en funciones de potencia con un exponente fraccionario-racional). Si no existen tales puntos, pase al siguiente punto.
- Determinamos todos los puntos estacionarios que caen dentro del segmento. Para hacer esto, lo igualamos a cero, resolvemos la ecuación resultante y seleccionamos las raíces adecuadas. Si no hay puntos estacionarios o ninguno de ellos cae en el segmento, pase al siguiente punto.
- Calculamos los valores de la función en puntos estacionarios seleccionados (si los hay), en puntos en los que la primera derivada no existe (si la hay), así como en x=a y x=b.
- De los valores obtenidos de la función, seleccionamos el mayor y el menor; serán los valores mayor y menor requeridos de la función, respectivamente.
Analicemos el algoritmo para resolver un ejemplo para encontrar los valores más grande y más pequeño de una función en un segmento.
Ejemplo.
Encuentra el valor más grande y más pequeño de una función.
- en el segmento;
- en el segmento [-4;-1] .
Solución.
El dominio de definición de una función es el conjunto completo de números reales, es decir, con la excepción del cero. Ambos segmentos caen dentro del dominio de la definición.
Encuentra la derivada de la función con respecto a: 
Obviamente, la derivada de la función existe en todos los puntos de los segmentos y [-4;-1].
Determinamos puntos estacionarios a partir de la ecuación. La única raíz real es x=2. Este punto estacionario cae en el primer segmento.
Para el primer caso calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en el punto estacionario, es decir, para x=1, x=2 y x=4: 
Por tanto, el mayor valor de la función 
se logra en x=1, y el valor más pequeño 
– en x=2.
Para el segundo caso, calculamos los valores de la función solo en los extremos del segmento [-4;-1] (ya que no contiene un solo punto estacionario): 
Solución.
Comencemos con el dominio de la función. El trinomio cuadrado en el denominador de la fracción no debe desaparecer: 
Es fácil comprobar que todos los intervalos del enunciado del problema pertenecen al dominio de definición de la función.
Diferenciamos la función: 
Obviamente, la derivada existe en todo el dominio de definición de la función.
Encontremos puntos estacionarios. La derivada tiende a cero en . Este punto estacionario se encuentra dentro de los intervalos (-3;1] y (-3;2).
Ahora puedes comparar los resultados obtenidos en cada punto con la gráfica de la función. Las líneas punteadas azules indican asíntotas.
En este punto podemos terminar encontrando los valores mayor y menor de la función. Los algoritmos analizados en este artículo le permiten obtener resultados con un mínimo de acciones. Sin embargo, puede resultar útil determinar primero los intervalos de aumento y disminución de la función y solo después sacar conclusiones sobre los valores mayor y menor de la función en cualquier intervalo. Esto proporciona una imagen más clara y una justificación rigurosa de los resultados.
Deja que la función y =F(INCÓGNITA) es continua en el intervalo [ a, b]. Como se sabe, dicha función alcanza sus valores máximo y mínimo en este segmento. La función puede tomar estos valores ya sea en el punto interno del segmento [ a, b], o en el límite del segmento.
Para encontrar los valores mayor y menor de una función en el segmento [ a, b] necesario:
1) encuentre los puntos críticos de la función en el intervalo ( a, b);
2) calcular los valores de la función en los puntos críticos encontrados;
3) calcular los valores de la función en los extremos del segmento, es decir, cuando incógnita=A y x = b;
4) de todos los valores calculados de la función, seleccione el mayor y el menor.
Ejemplo. Encuentra el mayor y valor más pequeño funciones
en el segmento.
Encontrar puntos críticos:
Estos puntos se encuentran dentro del segmento; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
en el punto incógnita= 3 y en el punto incógnita= 0.
Estudio de una función de convexidad y punto de inflexión.
Función y = F (incógnita) llamado convexo entre (a, b) , si su gráfica se encuentra debajo de la tangente trazada en cualquier punto de este intervalo, y se llama convexo hacia abajo (cóncavo), si su gráfica está por encima de la tangente.
El punto a través del cual la convexidad se reemplaza por la concavidad o viceversa se llama punto de inflexión.
Algoritmo para examinar la convexidad y el punto de inflexión:
1. Encuentre puntos críticos del segundo tipo, es decir, puntos en los que la segunda derivada es igual a cero o no existe.
2. Traza puntos críticos en la recta numérica, dividiéndola en intervalos. Encuentre el signo de la segunda derivada en cada intervalo; si , entonces la función es convexa hacia arriba, si, entonces la función es convexa hacia abajo.
3. Si al pasar por un punto crítico de segundo tipo el signo cambia y en este punto la segunda derivada es igual a cero, entonces este punto es la abscisa del punto de inflexión. Encuentra su ordenada.
Asíntotas de la gráfica de una función. Estudio de una función para asíntotas.
Definición. La asíntota de la gráfica de una función se llama derecho, que tiene la propiedad de que la distancia desde cualquier punto de la gráfica hasta esta recta tiende a cero a medida que el punto de la gráfica se mueve indefinidamente desde el origen.
Hay tres tipos de asíntotas: vertical, horizontal e inclinada.
Definición. La recta se llama asíntota vertical gráficos de funciones y = f(x), si al menos uno de los límites unilaterales de la función en este punto es igual al infinito, es decir
donde está el punto de discontinuidad de la función, es decir, no pertenece al dominio de definición.
Ejemplo.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
incógnita= 2 – punto de quiebre.
Definición. Derecho y =A llamado asíntota horizontal gráficos de funciones y = f(x) en , si
Ejemplo.
|
incógnita | |||
|
y |
Definición. Derecho y =kx +b (k≠ 0) se llama asíntota oblicua gráficos de funciones y = f(x) en , donde
Esquema general para estudiar funciones y construir gráficas.
Algoritmo de investigación de funcionesy = f(x) :
1. Encuentra el dominio de la función. D (y).
2. Encuentre (si es posible) los puntos de intersección de la gráfica con los ejes de coordenadas (si incógnita= 0 y en y = 0).
3. Examina la uniformidad y la imparidad de la función ( y (‒ incógnita) = y (incógnita) ‒ paridad; y(‒ incógnita) = ‒ y (incógnita) ‒ extraño).
4. Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función.
5. Encuentra los intervalos de monotonicidad de la función.
6. Encuentra los extremos de la función.
7. Encuentre los intervalos de convexidad (concavidad) y los puntos de inflexión de la gráfica de funciones.
8. Con base en la investigación realizada, construye una gráfica de la función.
Ejemplo. Explora la función y construye su gráfica.
1) D (y) =
incógnita= 4 – punto de quiebre.
2) cuando incógnita = 0,
(0; - 5) – punto de intersección con Vaya.
En y = 0,
3)
y(‒
incógnita)=
función vista general(ni par ni impar).
4) Examinamos las asíntotas.
a) verticales
segundo) horizontal
c) encontrar las asíntotas oblicuas donde
‒ecuación asíntota oblicua
5) segundo ecuación dada no es necesario encontrar intervalos de monotonicidad de la función.
6)
Estos puntos críticos dividen todo el dominio de definición de la función en el intervalo (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) y (10; +∞). Es conveniente presentar los resultados obtenidos en la forma de la siguiente tabla:
|
sin extras |
De la tabla se desprende claramente que el punto incógnita= ‒2‒punto máximo, en el punto incógnita= 4‒sin extremo, incógnita= 10 – punto mínimo.
Sustituyamos el valor (‒ 3) en la ecuación:
9 + 24 ‒ 20 > 0
25 ‒ 40 ‒ 20 < 0
121 ‒ 88 ‒ 20 > 0
El máximo de esta función es 
(‒ 2; ‒ 4) – extremo máximo.
El mínimo de esta función es 
(10; 20) – extremo mínimo.
7) examinar la convexidad y el punto de inflexión del gráfico de funciones
En este artículo hablaré de algoritmo para encontrar el valor más grande y más pequeño funciones, puntos mínimos y máximos.
Desde el punto de vista teórico, definitivamente nos será útil. tabla derivada Y reglas de diferenciación. Está todo en este plato:
Algoritmo para encontrar el valor mayor y menor.
Es más conveniente para mí explicar en ejemplo específico. Considerar:
Ejemplo: Encuentre el mayor valor de la función y=x^5+20x^3–65x en el segmento [–4;0].
Paso 1. Tomamos la derivada.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Paso 2. Encontrar puntos extremos.
punto extremo llamamos a aquellos puntos en los que la función alcanza su valor mayor o mínimo.
Para encontrar los puntos extremos, debes igualar la derivada de la función a cero (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Ahora resolvemos esta ecuación bicuadrática y las raíces encontradas son nuestros puntos extremos.
Resuelvo este tipo de ecuaciones reemplazando t = x^2, luego 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Reduzcamos la ecuación a 5, obtenemos: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + raíz cuadrada (196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - raíz cuadrada (196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Hacemos el cambio inverso x^2 = t:
X_(1 y 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 y 4) = ±sqrt(-13) (excluimos, no puede haber números negativos debajo de la raíz, a menos que, por supuesto, estemos hablando de números complejos)
Total: x_(1) = 1 y x_(2) = -1: estos son nuestros puntos extremos.
Paso 3. Determine el valor mayor y menor.
Método de sustitución.
En la condición, se nos dio el segmento [b][–4;0]. El punto x=1 no está incluido en este segmento. Entonces no lo estamos considerando. Pero además del punto x=-1, también debemos considerar los límites izquierdo y derecho de nuestro segmento, es decir, los puntos -4 y 0. Para hacer esto, sustituimos estos tres puntos en la función original. Tenga en cuenta que el original es el dado en la condición (y=x^5+20x^3–65x), algunas personas comienzan a sustituirlo en la derivada...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Esto significa que el valor más grande de la función es [b]44 y se logra en el punto [b]-1, que se llama punto máximo de la función en el segmento [-4; 0].
Decidimos y recibimos respuesta, estamos geniales, puedes relajarte. ¡Pero detente! ¿No crees que calcular y(-4) es demasiado difícil? En condiciones de tiempo limitado, es mejor utilizar otro método, yo lo llamo así:
A través de intervalos de constancia de signos.
Estos intervalos se encuentran para la derivada de la función, es decir, para nuestra ecuación bicuadrática.
Yo lo hago así. Dibujo un segmento dirigido. Coloco los puntos: -4, -1, 0, 1. A pesar de que 1 no está incluido en el segmento dado, aún debe tenerse en cuenta para determinar correctamente los intervalos de constancia de signo. Tomemos un número muchas veces mayor que 1, digamos 100, y sustituyámoslo mentalmente en nuestra ecuación bicuadrática 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Incluso sin contar nada, resulta obvio que en el punto 100 el la función tiene signo más. Esto quiere decir que para intervalos del 1 al 100 tiene signo más. Al pasar por 1 (vamos de derecha a izquierda), la función cambiará de signo a menos. Al pasar por el punto 0, la función conservará su signo, ya que este es solo el límite del segmento y no la raíz de la ecuación. Al pasar por -1, la función volverá a cambiar de signo a más.
Por la teoría sabemos que dónde está la derivada de la función (y dibujamos esto precisamente para ello) cambia de signo de más a menos (punto -1 en nuestro caso) la función alcanza su máximo local (y(-1)=44, como se calculó anteriormente) en este segmento (esto es lógicamente muy comprensible, la función dejó de aumentar porque alcanzó su máximo y comenzó a disminuir).
En consecuencia, donde la derivada de la función cambia de signo de menos a más, se logra mínimo local de una función. Sí, sí, también encontramos que el punto mínimo local es 1, y y(1) es el valor mínimo de la función en el segmento, digamos de -1 a +∞. Tenga en cuenta que esto es solo un MÍNIMO LOCAL, es decir, un mínimo en un segmento determinado. Dado que el mínimo real (global) de la función llegará a algún lugar allí, en -∞.
En mi opinión, el primer método es teóricamente más sencillo y el segundo es más sencillo en términos de operaciones aritméticas, pero mucho más complejo desde el punto de vista teórico. Después de todo, a veces hay casos en los que la función no cambia de signo al pasar por la raíz de la ecuación y, en general, puedes confundirte con estos máximos y mínimos locales y globales, aunque tendrás que dominar esto bien de todos modos si planea ingresar a una universidad técnica (y por qué más tomar el perfil Examen Estatal Unificado y resolver esta tarea). Pero la práctica y sólo la práctica le enseñará a resolver estos problemas de una vez por todas. Y puedes formarte en nuestra web. Aquí .
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