Una de las principales tareas de la teoría de conjuntos de puntos es el estudio de las propiedades. varios tipos conjuntos de puntos. Conozcamos esta teoría usando dos ejemplos y estudiemos las propiedades de los llamados conjuntos cerrados y abiertos.
El conjunto se llama cerrado , si contiene todos sus puntos límite. Si un conjunto no tiene un único punto límite, entonces también se considera cerrado. Además de sus puntos límite, un conjunto cerrado también puede contener puntos aislados. El conjunto se llama abierto , si cada uno de sus puntos es interno para él.
vamos a dar ejemplos de conjuntos cerrados y abiertos .
Cada segmento es un conjunto cerrado y cada intervalo (a, b) es un conjunto abierto. Medios intervalos inadecuados y cerrado, y intervalos inadecuados y abierto. Toda la línea es a la vez un conjunto cerrado y abierto. Es conveniente considerar el conjunto vacío como cerrado y abierto al mismo tiempo. Cualquier conjunto finito de puntos de una recta es cerrado, ya que no tiene puntos límite.
Un conjunto formado por puntos:
cerrado; este conjunto tiene un punto límite único x=0, que pertenece al conjunto.
La tarea principal es descubrir cómo se estructura un conjunto abierto o cerrado arbitrario. Para ello necesitaremos una serie de hechos auxiliares que aceptaremos sin pruebas.
- 1. La intersección de cualquier número de conjuntos cerrados es cerrada.
- 2. La suma de cualquier número de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
- 3. Si un conjunto cerrado está acotado por arriba, entonces contiene su supremo. De manera similar, si un conjunto cerrado está acotado por debajo, entonces contiene su mínimo.
Sea E un conjunto arbitrario de puntos sobre una recta. Llamemos al complemento del conjunto E y denotemos por CE el conjunto de todos los puntos de la recta que no pertenecen al conjunto E. Está claro que si x es un punto externo a E, entonces es un punto interno a el conjunto CE y viceversa.
4. Si un conjunto F es cerrado, entonces su complemento CF es abierto y viceversa.
La proposición 4 muestra que existe una conexión muy estrecha entre conjuntos cerrados y abiertos: algunos son complementos de otros. Por ello, basta estudiar algunas cerradas o algunas conjuntos abiertos. Conocer las propiedades de conjuntos de un tipo le permite descubrir inmediatamente las propiedades de conjuntos de otro tipo. Por ejemplo, cualquier conjunto abierto se obtiene eliminando algún conjunto cerrado de una línea.
Empecemos a estudiar las propiedades de los conjuntos cerrados. Introduzcamos una definición. Sea F un conjunto cerrado. Un intervalo (a, b) que tiene la propiedad de que ninguno de sus puntos pertenece al conjunto F, pero los puntos a y b pertenecen a F, se llama intervalo adyacente del conjunto F.
También incluiremos intervalos impropios entre intervalos adyacentes, o si el punto a o el punto b pertenecen al conjunto F, y los intervalos en sí no se cruzan con F. Demostremos que si un punto x no pertenece a un conjunto cerrado F, entonces pertenece a uno de sus intervalos adyacentes.
Denotemos por la parte del conjunto F ubicada a la derecha del punto x. Dado que el punto x en sí no pertenece al conjunto F, se puede representar en forma de intersección:
Cada uno de los conjuntos es F y cerrado. Por tanto, por la Proposición 1, el conjunto está cerrado. Si el conjunto está vacío, entonces todo el semiintervalo no pertenece al conjunto F. Supongamos ahora que el conjunto no está vacío. Dado que este conjunto está completamente ubicado en un medio intervalo, está acotado por debajo. Denotemos su límite inferior por b. Según la Proposición 3, lo que significa. Además, dado que b es el mínimo del conjunto, el medio intervalo (x, b) que se encuentra a la izquierda del punto b no contiene puntos del conjunto y, por lo tanto, no contiene puntos del conjunto F. Entonces, hemos construido un semiintervalo (x, b) que no contiene puntos del conjunto F, y cualquiera de los dos puntos b pertenece al conjunto F. De manera similar, se construye un semiintervalo (a, x) que no contiene puntos del conjunto F, y cualquiera, o. Ahora está claro que el intervalo (a, b) contiene el punto x y es un intervalo adyacente del conjunto F. Es fácil ver que si y son dos intervalos adyacentes del conjunto F, entonces estos intervalos coinciden o no no cruzarse.
De lo anterior se deduce que cualquier conjunto cerrado en una recta se obtiene eliminando un cierto número de intervalos de la recta, es decir, intervalos adyacentes del conjunto F. Dado que cada intervalo contiene al menos un punto racional, y hay un conjunto contable de todos los puntos racionales de la recta, es fácil asegurarse de que el número de todos los intervalos adyacentes sea como máximo contable. De aquí sacamos la conclusión final. Cada conjunto cerrado en una línea se obtiene eliminando de la línea como máximo un conjunto contable de intervalos disjuntos.
En virtud de la Proposición 4, se sigue inmediatamente que todo conjunto abierto sobre una recta no es más que una suma contable de intervalos disjuntos. En virtud de las Proposiciones 1 y 2, también está claro que cualquier conjunto dispuesto como se indicó anteriormente es, en efecto, cerrado (abierto).
Como puede verse en el siguiente ejemplo, los conjuntos cerrados pueden tener una estructura muy compleja.
CONJUNTO CERRADO
en el espacio topológico - que contiene todos sus puntos límite. Por tanto, todos los puntos del complemento de 3. m son internos y, por tanto, el 3. m. El concepto de 3.m subyace a la definición de topológico. el espacio como un conjunto X no vacío con un sistema dado de conjuntos (llamado cerrado) que satisface los axiomas: todos los X y son cerrados; cualquier número 3. m. está cerrado; número finito 3. m es cerrado.
iluminado: Kuratovsky K., Topología, [trad. del inglés], vol. 1, M., 1966.
A. A. Maltsev.
Enciclopedia matemática. - M.: Enciclopedia soviética.
I. M. Vinogradov.
1977-1985. Vea qué es un “CONJUNTO CERRADO” en otros diccionarios: conjunto cerrado
- - [L.G. Diccionario inglés-ruso sobre tecnologías de la información. M.: Empresa estatal TsNIIS, 2003.] Temas tecnología de la información en general EN conjunto cerrado ...
Guía del traductor técnico Para el término "cerrazón", consulte otros significados. Un conjunto cerrado es un subconjunto de un espacio cuyo complemento es abierto. Contenido 1 Definición 2 Cierre 3 Propiedades ... Wikipedia
Un conjunto que es abierto (cerrado) respecto de un determinado conjunto E, un conjunto Mtopológico. espacio X tal que (la barra superior significa la operación de cierre). Para que un determinado conjunto esté abierto (cerrado) con respecto a E, es necesario y... ... Para el término "cerrazón", consulte otros significados. Un conjunto cerrado es un subconjunto de un espacio cuyo complemento es abierto. Contenido 1 Definición 2 Cierre 3 Propiedades ... Wikipedia
Enciclopedia Matemática
Subconjunto de topológico un espacio que es a la vez abierto y cerrado. topológico un espacio X es desconectado si y sólo si contiene un espacio diferente de X y de O.Z. m. Si la familia de todos O. z. m. topológico el espacio es... ... O el catlocus de un punto en una variedad de Riemann es un subconjunto de puntos por los que no pasa ningún camino más corto. Contenido 1 Ejemplos ... Wikipedia Para conocer el concepto matemático del mismo nombre, consulte Conjunto cerrado y espacio (matemáticas)
alcantarillado pluvial
- Teoremas de límite para campos aleatorios asociados y sistemas relacionados, Alexander Bulinsky. La monografía está dedicada al estudio de las propiedades asintóticas de una amplia clase de modelos estocásticos que surgen en estadística matemática, teoría de la percolación, física estadística y teoría...
Conjuntos abiertos y cerrados.
Apéndice 1 . Conjuntos abiertos y cerrados.
Muchos METRO en línea recta se llama abierto, si cada uno de sus puntos está contenido en este conjunto junto con un intervalo determinado. Cerrado es un conjunto que contiene todos sus puntos límite (es decir, tal que cualquier intervalo que contenga este punto cruza el conjunto al menos en un punto más). Por ejemplo, un segmento es un conjunto cerrado, pero no abierto, y un intervalo, por el contrario, es un conjunto abierto, pero no cerrado. Hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados (por ejemplo, medio intervalo). Hay dos conjuntos que están cerrados y abiertos: este está vacío y eso es todo. z(demuestre que no hay otros). Es fácil ver que si METRO abierto, luego [` METRO] (o z \ METRO- adición al conjunto METRO a z) está cerrado. De hecho, si [` METRO] no está cerrado, entonces no contiene ningún punto límite propio metro. Pero entonces metro ACERCA DE METRO, y cada intervalo que contiene metro, se cruza con el conjunto [` METRO], es decir, tiene sentido no mentir en METRO, y esto contradice el hecho de que METRO- abierto. De manera similar, también directamente de la definición, se demuestra que si METRO está cerrado, entonces [` METRO] abierto (¡compruébalo!).
Ahora demostraremos el siguiente teorema importante.
Teorema. Cualquier conjunto abierto METRO se puede representar como una unión de intervalos con extremos racionales (es decir, con extremos en puntos racionales).
Prueba . Considere la unión Ud. todos los intervalos con extremos racionales que son subconjuntos de nuestro conjunto. Demostremos que esta unión coincide con todo el conjunto. De hecho, si metro- algún punto desde METRO, entonces hay un intervalo ( metro 1 , metro 2) M METRO que contiene metro(esto se desprende del hecho de que METRO- abierto). En cualquier intervalo puedes encontrar un punto racional. Vamos ( metro 1 , metro) - Este metro 3, en ( metro, metro 2) – esto es metro 4. Entonces señala metro cubierto por la unión Ud., es decir, el intervalo ( metro 3 , metro 4). Así, hemos demostrado que cada punto metro de METRO cubierto por la unión Ud.. Además, como se desprende claramente de la construcción Ud., ningún punto no contenido en METRO, no cubierto Ud.. Medio, Ud. Y METRO fósforo.
Una consecuencia importante de este teorema es el hecho de que cualquier conjunto abierto es contable combinando intervalos.
En ninguna parte hay conjuntos densos y conjuntos de medida cero. Conjunto de cantores>
Apéndice 2 . En ninguna parte hay conjuntos densos y conjuntos de medida cero. conjunto de cantantes
Muchos A llamado en ninguna parte densa, si por algún punto diferente a Y b hay un segmento [ do, d] M [ a, b], sin cruzarse con A. Por ejemplo, el conjunto de puntos de la secuencia a norte = [ 1/(norte)] no es denso en ninguna parte, pero el conjunto de los números racionales no lo es.
Teorema de Baire. Un segmento no se puede representar como una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte.
Prueba . Supongamos que hay una secuencia A k en ninguna parte conjuntos densos tales que Y i A i = [a, b]. Construyamos la siguiente secuencia de segmentos. Dejar I 1 – algún segmento incrustado en [ a, b] y no se cruza con A 1. Por definición, un conjunto no denso en ningún lugar en un intervalo I 1 hay un segmento que no se cruza con el conjunto A 2. llamémoslo I 2. Además, en el segmento I 2, de manera similar tome el segmento I 3, sin cruzarse con A 3, etc. Secuencia I k Los segmentos anidados tienen un punto común (esta es una de las principales propiedades de los números reales). Por construcción, este punto no se encuentra en ninguno de los conjuntos. A k, lo que significa que estos conjuntos no cubren todo el segmento [ a, b].
Llamemos al conjunto METRO teniendo medida cero, si para cualquier e positivo hay una secuencia I k intervalos con una longitud total menor que e, que cubren METRO. Obviamente, cualquier conjunto contable tiene medida cero. Sin embargo, también hay innumerables conjuntos que tienen medida cero. Construyamos uno, muy famoso, llamado Cantor's.
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| Arroz. 11 |
Tomemos un segmento. Dividámoslo en tres partes iguales. Desechemos el segmento medio (Fig.11, A). Habrá dos segmentos de longitud total [2/3]. Realizaremos exactamente la misma operación con cada uno de ellos (Fig. 11, b). Quedarán cuatro segmentos con longitud total [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Siguiendo así (Fig. 11, V–mi) hasta el infinito, obtenemos un conjunto que tiene una medida menor que cualquier medida positiva predeterminada, es decir, medida cero. Es posible establecer una correspondencia uno a uno entre los puntos de este conjunto y secuencias infinitas de ceros y unos. Si durante el primer "lanzamiento" nuestro punto cae en el segmento derecho, al comienzo de la secuencia pondremos 1, si en el izquierdo - 0 (Fig.11, A). Luego, después del primer "desechamiento", obtenemos una copia pequeña del segmento grande, con el que hacemos lo mismo: si nuestro punto después del lanzamiento cae en el segmento derecho, ponemos 1, si está en el izquierdo - 0, etc. (verifique la relación uno a uno), arroz. 11, b, V. Dado que el conjunto de secuencias de ceros y unos tiene un continuo de cardinalidad, el conjunto de Cantor también tiene un continuo de cardinalidad. Además, es fácil demostrar que no es denso en ninguna parte. Sin embargo, no es cierto que tenga medida estricta cero (ver definición de medida estricta). La idea de probar este hecho es la siguiente: tomar la secuencia a norte, tendiendo a cero muy rápidamente. Por ejemplo, la secuencia a norte = [ 1/(2 2 norte)]. Luego demostraremos que esta secuencia no puede cubrir el conjunto de Cantor (¡hazlo!).
Apéndice 3 . Tareas
Establecer operaciones
Conjuntos A Y B son llamados igual, si cada elemento del conjunto A pertenece al conjunto B, y viceversa. Designación: A = B.
Muchos A llamado subconjunto conjuntos B, si cada elemento del conjunto A pertenece al conjunto B. Designación: A METRO B.
1.
Para cada dos de los siguientes conjuntos, indique si uno es un subconjunto del otro:
|
2. Demuestre que el conjunto A si y solo si es un subconjunto del conjunto B, cuando todo elemento que no pertenece a B, no pertenece A.
3. Demuestre que para conjuntos arbitrarios A, B Y do
A) A METRO A; b) si A METRO B Y B METRO do, Eso A METRO do;
V) A = B, si y sólo si A METRO B Y B METRO A.
El conjunto se llama vacío, si no contiene ningún elemento. Designación: F.
4.
Cuantos elementos tiene cada uno de los siguientes conjuntos:
|
5. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de tres elementos?
6. ¿Puede un conjunto tener exactamente a) 0; b*) 7; c) 16 subconjuntos?
Asociación conjuntos A Y B incógnita, Qué incógnita ACERCA DE A o incógnita ACERCA DE B. Designación: A Y B.
Al cruzar conjuntos A Y B se llama un conjunto formado por tales incógnita, Qué incógnita ACERCA DE A Y incógnita ACERCA DE B. Designación: A z B.
Por diferencia conjuntos A Y B se llama un conjunto formado por tales incógnita, Qué incógnita ACERCA DE A Y incógnita PAG B. Designación: A \ B.
7. Conjuntos dados A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, do = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Encuentra los conjuntos:
| A) A Y B; | b) A z B; | V) ( A z B)Y D; |
| GRAMO) do Z ( D z B); | d) ( A Y B)Z ( do Y D); | mi) ( A Y ( B z do))Z D; |
| y) ( do z A)Y (( A Y ( do z D))Z B); | h) ( A Y B) \ (do z D); | Y) A \ (B \ (do \ D)); |
| A) (( A \ (B Y D)) \ do)Y B. |
8. Dejar A es el conjunto de los números pares, y B– conjunto de números divisibles por 3. Encontrar A z B.
9. Demuestre eso para cualquier conjunto A, B, do
A) A Y B = B Y A, A z B = B z A;
b) A Y ( B Y do) = (A Y B)Y do, A Z ( B z do) = (A z B)Z do;
V) A Z ( B Y do) = (A z B)Y ( A z do), A Y ( B z do) = (A Y B)Z ( A Y do);
GRAMO) A \ (B Y do) = (A \ B)Z ( A \ do), A \ (B z do) = (A \ B)Y ( A \ do).
10. ¿Es cierto que para cualquier conjunto A, B, do
| A) A Z ZH = F, A SI = A; | b) A Y A = A, A z A = A; | V) A z B = A Y A METRO B; |
| GRAMO) ( A \ B)Y B = A; 7 re) A \ (A \ B) = A z B; | mi) A \ (B \ do) = (A \ B)Y ( A z do); | |
| y) ( A \ B)Y ( B \ A) = A Y B? |
Establecer asignaciones
Si cada elemento incógnita conjuntos incógnita exactamente un elemento coincide F(incógnita) conjuntos Y, entonces dicen que se da mostrar F de muchos incógnita en la multitud Y. Al mismo tiempo, si F(incógnita) = y, entonces el elemento y llamado forma elemento incógnita cuando se muestra F, y el elemento incógnita llamado prototipo elemento y cuando se muestra F. Designación: F: incógnita ® Y.
11. Dibuje todas las asignaciones posibles del conjunto (7,8,9) al conjunto (0,1).
Dejar F: incógnita ® Y, y ACERCA DE Y, A METRO incógnita, B METRO Y. Prototipo completo del elemento. y cuando se muestra F se llama conjunto ( incógnita ACERCA DE incógnita | F(incógnita) = y). Designación: F - 1 (y). La imagen de la multitud. A METRO incógnita cuando se muestra F se llama conjunto ( F(incógnita) | incógnita ACERCA DE A). Designación: F(A). El prototipo del conjunto. B METRO Y se llama conjunto ( incógnita ACERCA DE incógnita | F(incógnita) ACERCA DE B). Designación: F - 1 (B).
12. para mostrar F: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), dado por la imagen, encuentre F({0,3}), F({1,3,4}), F - 1 (2), F - 1 ({2,5}), F - 1 ({5,18}).
| a)b)c) |
13. Dejar F: incógnita ® Y, A 1 , A 2M incógnita, B 1 , B 2M Y. ¿Es siempre cierto que
A) F(incógnita) = Y;
b) F - 1 (Y) = incógnita;
V) F(A 1 yo A 2) = F(A 1)Y F(A 2);
GRAMO) F(A 1W A 2) = F(A 1)Z F(A 2);
d) F - 1 (B 1 yo B 2) = F - 1 (B 1)Y F - 1 (B 2);
mi) F - 1 (B 1W B 2) = F - 1 (B 1)Z F - 1 (B 2);
g) si F(A 1) M F(A 2), entonces A 1 millón A 2 ;
h) si F - 1 (B 1) M F - 1 (B 2), entonces B 1 millón B 2 ?
Composición mapeos F: incógnita ® Y Y gramo: Y ® z Se llama mapeo que asocia un elemento. incógnita conjuntos incógnita elemento gramo(F(incógnita)) conjuntos z. Designación: gramo° F.
14. Demuestre que para asignaciones arbitrarias F: incógnita ® Y, gramo: Y ® z Y h: z ® W. se hace lo siguiente: h° ( gramo° F) = (h° gramo)° F.
15. Dejar F: (1,2,3,5) ® (0,1,2), gramo: (0,1,2)® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – asignaciones que se muestran en la figura:
| F: gramo: h: |
Haz dibujos para las siguientes exhibiciones:
A) gramo° F; b) h° gramo; V) F° h° gramo; GRAMO) gramo° h° F.
Mostrar F: incógnita ® Y llamado biyectivo, si para cada y ACERCA DE Y hay exactamente uno incógnita ACERCA DE incógnita tal que F(incógnita) = y.
16. Dejar F: incógnita ® Y, gramo: Y ® z. ¿Es cierto que si F Y gramo son biyectivos, entonces gramo° F biyectivamente?
17. Dejar F: (1,2,3) ® (1,2,3), gramo: (1,2,3) ® (1,2,3), – asignaciones que se muestran en la figura:
18. Para cada dos de los siguientes conjuntos, averigüe si existe una biyección del primero al segundo (asumiendo que cero es un número natural):
a) muchos números naturales;
b) el conjunto de los números pares naturales;
c) el conjunto de los números naturales sin el número 3.
Espacio métrico llamado un conjunto incógnita con un dado métrico r: incógnita× incógnita ® z
1) " incógnita,y ACERCA DE incógnita r( incógnita,y) i 0, y r ( incógnita,y) = 0 si y sólo si incógnita = y (no negatividad ); 2) " incógnita,y ACERCA DE incógnita r( incógnita,y) = r ( y,incógnita) (simetría ); 3) " incógnita,y,z ACERCA DE incógnita r( incógnita,y) + r ( y,z) yo r ( incógnita,z) (desigualdad triangular ). 19 19. incógnita
A) incógnita = z, r ( incógnita,y) = | incógnita - y| ;
b) incógnita = z 2 , r 2 (( incógnita 1 ,y 1),(incógnita 2 ,y 2)) = C (( incógnita 1 - incógnita 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
V) incógnita = do[a,ba,b] funciones,
Abierto(respectivamente, cerrado) bola de radio r en el espacio incógnita centrado en un punto incógnita llamado un conjunto Ud. r (incógnita) = {y ACERCA DE incógnita:r( incógnita,y) < r) (respectivamente, B r (incógnita) = {y ACERCA DE incógnita:r ( incógnita,y) Ј r}).
Punto interno conjuntos Ud. METRO incógnita Ud.
abierto alrededores este punto.
punto límite conjuntos F METRO incógnita F.
cerrado
20. demostrar que
21. demostrar que
b) unión de un conjunto A cortocircuito A
Mostrar F: incógnita ® Y llamado continuo
22.
23. demostrar que
F (incógnita) = inf y ACERCA DE F r( incógnita,y
F.
24. Dejar F: incógnita ® Y– . ¿Es cierto que su inversa es continua?
Mapeo continuo uno a uno F: incógnita ® Y homeomorfismo. Espacios incógnita, Yhomeomórfico.
25.
26. ¿Para qué parejas? incógnita, Y F: incógnita ® Y, cual no se mantiene unido puntos (es decir F(incógnita) № F(y) en incógnita № y inversiones)?
27*. homeomorfismo local(es decir, en cada punto incógnita avión y F(incógnita) toro hay tales barrios Ud. Y V, Qué F mapas homeomórficos Ud. en V).
Espacios métricos y mapeos continuos.
Espacio métrico llamado un conjunto incógnita con un dado métrico r: incógnita× incógnita ® z, satisfaciendo los siguientes axiomas:
1) " incógnita,y ACERCA DE incógnita r( incógnita,y) i 0, y r ( incógnita,y) = 0 si y sólo si incógnita = y (no negatividad ); 2) " incógnita,y ACERCA DE incógnita r( incógnita,y) = r ( y,incógnita) (simetría ); 3) " incógnita,y,z ACERCA DE incógnita r( incógnita,y) + r ( y,z) yo r ( incógnita,z) (desigualdad triangular ). 28. Demuestre que los siguientes pares ( incógnita,r ) son espacios métricos:
A) incógnita = z, r ( incógnita,y) = | incógnita - y| ;
b) incógnita = z 2 , r 2 (( incógnita 1 ,y 1),(incógnita 2 ,y 2)) = C (( incógnita 1 - incógnita 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
V) incógnita = do[a,b] – conjunto de continuo en [ a,b] funciones,
Abierto(respectivamente, cerrado) bola de radio r en el espacio incógnita centrado en un punto incógnita llamado un conjunto Ud. r (incógnita) = {y ACERCA DE incógnita:r( incógnita,y) < r) (respectivamente, B r (incógnita) = {y ACERCA DE incógnita:r ( incógnita,y) Ј r}).
Punto interno conjuntos Ud. METRO incógnita es un punto que está contenido en Ud. junto con alguna bola de radio distinto de cero.
Un conjunto cuyos puntos son todos interiores se llama abierto. Un conjunto abierto que contiene este punto, llamado alrededores este punto.
punto límite conjuntos F METRO incógnita es un punto tal que cualquier vecindad del cual contiene infinitos puntos del conjunto F.
Un conjunto que contiene todos sus puntos límite se llama cerrado(compare esta definición con la que figura en el Apéndice 1).
29. demostrar que
a) un conjunto es abierto si y sólo si su complemento es cerrado;
b) la unión finita y la intersección contable de conjuntos cerrados son cerradas;
c) la unión contable y la intersección finita de conjuntos abiertos son abiertas.
30. demostrar que
a) el conjunto de puntos límite de cualquier conjunto es un conjunto cerrado;
b) unión de un conjunto A y el conjunto de sus puntos límite ( cortocircuito A) es un conjunto cerrado.
Mostrar F: incógnita ® Y llamado continuo, si la imagen inversa de cada conjunto abierto es abierta.
31. Demuestre que esta definición es consistente con la definición de continuidad de funciones en una línea.
32. demostrar que
a) distancia para establecer r F (incógnita) = inf y ACERCA DE F r( incógnita,y) es una función continua;
b) el conjunto de ceros de la función del inciso a) coincide con el cierre F.
33. Dejar F: incógnita ® Y
Mapeo continuo uno a uno F: incógnita ® Y, cuya inversa también es continua se llama homeomorfismo. Espacios incógnita, Y, para los cuales existe tal mapeo, se llaman homeomórfico.
34. Para cada par de los siguientes conjuntos, determine si son homeomórficos:
35. ¿Para qué parejas? incógnita, Y espacios del problema anterior hay un mapeo continuo F: incógnita ® Y, cual no se mantiene unido puntos (es decir F(incógnita) № F(y) en incógnita № y– tales asignaciones se llaman inversiones)?
36*. Crea un mapeo continuo desde un plano hasta un toro que sería homeomorfismo local(es decir, en cada punto incógnita avión y F(incógnita) toro hay tales barrios Ud. Y V, Qué F mapas homeomórficos Ud. en V).
Lo completo. teorema de baire
Dejar incógnita– espacio métrico. Subsecuencia incógnita norte sus elementos se llaman fundamental, Si
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37. Demuestre que la secuencia convergente es fundamental. ¿Es cierta la afirmación contraria?
El espacio métrico se llama completo, si cada secuencia fundamental converge en ella.
38. ¿Es cierto que un espacio homeomorfo a uno completo es completo?
39. Demuestre que un subespacio cerrado de un espacio completo es en sí mismo completo; en él está cerrado el subespacio completo de un espacio arbitrario.
40. Demuestre que en un espacio métrico completo una secuencia de bolas cerradas anidadas con radios que tienden a cero tiene un elemento común.
41. ¿Es posible en el problema anterior eliminar la condición de completitud del espacio o la tendencia de los radios de las bolas a cero?
Mostrar F espacio métrico incógnita llamado dentro de uno mismo compresivo, Si
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42. Demuestre que el mapa de contracción es continuo.
43. a) Demostrar que una contracción de un espacio métrico completo sobre sí mismo tiene exactamente un punto fijo.
b) Colocar un mapa de Rusia a escala 1:20.000.000 sobre un mapa de Rusia a escala 1:5.000.000 Demuestra que hay un punto cuyas imágenes en ambos mapas coinciden.
44*. ¿Existe un espacio métrico incompleto en el que el enunciado del problema sea verdadero?
Un subconjunto de un espacio métrico se llama denso en todas partes, si su cierre coincide con todo el espacio; en ninguna parte densa– si su cierre no tiene subconjuntos abiertos no vacíos (compárese esta definición con la que figura en el Apéndice 2).
45. a) dejar a, b, a , b O z Y a < a < b < b. Demuestre que el conjunto de funciones continuas en [ a,b], monótono en , en ninguna parte denso en el espacio de todas las funciones continuas en [ a,b] con métrica uniforme.
b) dejar a, b, do, y O z Y a < b, do> 0, e > 0. Entonces el conjunto de funciones continuas en [ a,b], tal que
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46. (Teorema de Baire generalizado .) Demuestre que un espacio métrico completo no puede representarse como la unión de un número contable de conjuntos densos en ninguna parte.
47. Demuestre que el conjunto de funciones continuas, no monótonas en cualquier intervalo no vacío y en ningún lugar diferenciables definidas en el intervalo es denso en todas partes en el espacio de todas las funciones continuas con una métrica uniforme.
48*. Dejar F– función diferenciable en el intervalo. Demuestre que su derivada es continua en un conjunto de puntos siempre denso. esta es la definicion Lebesgue medidas cero. Si reemplazamos el número contable de intervalos por uno finito, obtenemos la definición Jordanova
medidas cero. Inglés:
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Probemos ahora algunas propiedades especiales de conjuntos cerrados y abiertos.
Teorema 1. La suma de un número finito o contable de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. El producto de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto,
Considere la suma de un número finito o contable de conjuntos abiertos:
Si , entonces P pertenece al menos a uno de Sea Dado que es un conjunto abierto, entonces alguna vecindad de P también pertenece. La misma vecindad de P también pertenece a la suma g, de lo que se deduce que g es un conjunto abierto. Consideremos ahora el producto final.
y sea P perteneciente a g. Probemos, como antes, que alguna vecindad de P también pertenece a g. Como P pertenece a g, entonces P pertenece a todos. Dado que - son conjuntos abiertos, entonces para cualquiera hay alguna -vecindad del punto al que pertenece. Si se toma el número como igual al menor de los cuales el número es finito, entonces la vecindad del punto P pertenecerá a todos y, en consecuencia, a g. Tenga en cuenta que no podemos decir que el producto de un número contable de conjuntos abiertos sea un conjunto abierto.
Teorema 2. El conjunto CF está abierto y el conjunto CO está cerrado.
Probemos la primera afirmación. Dejemos que P pertenezca a CF. Es necesario demostrar que algún barrio P pertenece a CF. Esto se desprende del hecho de que si hubiera puntos F en cualquier vecindad de P, el punto P, que no pertenece por condición, sería un punto límite para F y, debido a su carácter cerrado, debería pertenecer, lo que lleva a una contradicción.
Teorema 3. El producto de un número finito o contable de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. La suma de un número finito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
Demostremos, por ejemplo, que el conjunto
cerrado. Pasando a conjuntos adicionales, podemos escribir
Según el teorema, los conjuntos son abiertos y, según el teorema 1, el conjunto también es abierto y, por tanto, el conjunto adicional g es cerrado. Tenga en cuenta que la suma de un número contable de conjuntos cerrados también puede resultar un conjunto abierto.
Teorema 4. Un conjunto es un conjunto abierto y un conjunto cerrado.
Es fácil comprobar las siguientes igualdades:
De estos, en virtud de los teoremas anteriores, se sigue el Teorema 4.
Diremos que un conjunto g está cubierto por un sistema M de ciertos conjuntos si cada punto g está incluido en al menos uno de los conjuntos del sistema M.
Teorema 5 (Borel). Si un conjunto acotado cerrado F está cubierto por un sistema infinito a de conjuntos abiertos O, entonces de este sistema infinito es posible extraer un número finito de conjuntos abiertos que también cubren F.
Probamos este teorema por la inversa. Supongamos que no hay un número finito de conjuntos abiertos del sistema a y llevamos esto a una contradicción. Dado que F es un conjunto acotado, entonces todos los puntos de F pertenecen a algún intervalo bidimensional finito. Dividamos este intervalo cerrado en cuatro partes iguales, dividiendo los intervalos por la mitad. Tomaremos cada uno de los cuatro intervalos resultantes como cerrados. Aquellos puntos de F que caen en uno de estos cuatro intervalos cerrados representarán, en virtud del Teorema 2, un conjunto cerrado, y al menos uno de estos conjuntos cerrados no puede ser cubierto por un número finito de conjuntos abiertos del sistema a. Tomamos uno de los cuatro intervalos cerrados indicados anteriormente donde se da esta circunstancia. Volvemos a dividir este intervalo en cuatro partes iguales y razonamos del mismo modo que antes. Así, obtenemos un sistema de intervalos anidados donde cada siguiente representa una cuarta parte del anterior, y se cumple la siguiente circunstancia: el conjunto de puntos F pertenecientes a cualquier k no puede ser cubierto por un número finito de conjuntos abiertos del sistema a. Con un aumento infinito de k, los intervalos se reducirán infinitamente hasta un cierto punto P, que pertenece a todos los intervalos. Dado que para cualquier k contienen un número infinito de puntos, el punto P es un punto límite y por lo tanto pertenece a F, ya que F es un conjunto cerrado. Por tanto, el punto P está cubierto por algún conjunto abierto perteneciente al sistema a. Alguna vecindad del punto P también pertenecerá al conjunto abierto O. Por suficiente valores grandes k intervalos D caerán dentro de la vecindad del punto P antes mencionada. Por lo tanto, estos estarán completamente cubiertos por un solo conjunto abierto O del sistema a, y esto contradice el hecho de que los puntos que pertenecen a cualquier k no pueden ser cubiertos por un conjunto finito número de conjuntos abiertos pertenecientes a a. Por tanto el teorema queda demostrado.
Teorema 6. Un conjunto abierto se puede representar como la suma de un número contable de intervalos semiabiertos en pares sin puntos comunes.
Recuerde que a un intervalo semiabierto en un plano lo llamamos intervalo finito definido por desigualdades de la forma .
Dibujemos en el plano una cuadrícula de cuadrados con lados paralelos a los ejes y con una longitud de lado igual a uno. El conjunto de estos cuadrados es un conjunto contable. De estos cuadrados, elijamos aquellos cuadrados cuyos puntos pertenecen a un conjunto abierto O dado. El número de tales cuadrados puede ser finito o contable, o tal vez no existan tales cuadrados en absoluto. Dividimos cada uno de los cuadrados restantes de la cuadrícula en cuatro cuadrados idénticos y de los cuadrados recién obtenidos seleccionamos nuevamente aquellos cuyos puntos pertenecen todos a O. Dividimos nuevamente cada uno de los cuadrados restantes en cuatro partes iguales y seleccionamos aquellos cuadrados cuyos puntos todos pertenecen a O, etc. Demostremos que cada punto P del conjunto O caerá en uno de los cuadrados seleccionados, todos los puntos de los cuales pertenecen a O. De hecho, sea d la distancia positiva desde P hasta el límite de O. Cuando llegamos a cuadrados cuya diagonal es menor que , entonces podemos, obviamente, afirmar que el punto P ya ha caído en un cuadrado cuyos volúmenes pertenecen a O. Si los cuadrados seleccionados se consideran medio abiertos, entonces estarán no tienen puntos comunes en pares, y el teorema está demostrado. El número de cuadrados seleccionados será necesariamente contable, ya que la suma finita de intervalos semiabiertos obviamente no es un conjunto abierto. Denotando por DL aquellos cuadrados medio abiertos que obtuvimos como resultado de la construcción anterior, podemos escribir