مشتق یک تابع مختلط با استفاده از فرمول محاسبه می شود. قانون تمایز یک تابع پیچیده یک مثال ساده تر برای حل به تنهایی

از زمانی که به اینجا آمدید، احتمالاً قبلاً این فرمول را در کتاب درسی دیده اید

و چهره ای مانند این بسازید:

دوست، نگران نباش! در واقع، همه چیز به سادگی ظالمانه است. قطعا همه چیز را خواهید فهمید. فقط یک درخواست - مقاله را بخوانید وقت گرفتن، سعی کنید هر مرحله را درک کنید. من تا حد امکان ساده و واضح نوشتم، اما هنوز باید ایده را درک کنید. و حتماً وظایف را از مقاله حل کنید.

تابع پیچیده چیست؟

تصور کنید که به آپارتمان دیگری نقل مکان می کنید و بنابراین وسایل را در جعبه های بزرگ بسته بندی می کنید. فرض کنید باید چند اقلام کوچک را جمع آوری کنید، به عنوان مثال، نوشت افزار مدرسه. اگر فقط آنها را در یک جعبه بزرگ بیندازید، در میان چیزهای دیگر گم می شوند. برای جلوگیری از این امر، ابتدا آنها را به عنوان مثال در یک کیسه قرار می دهید و سپس در آن قرار می دهید جعبه بزرگ، پس از آن آن را مهر و موم می کنید. این "پیچیده ترین" فرآیند در نمودار زیر ارائه شده است:

به نظر می رسد، ریاضیات چه ربطی به آن دارد؟ بله، علیرغم این واقعیت که یک تابع پیچیده دقیقاً به همین روش تشکیل می شود! فقط ما نه دفترچه و خودکار، بلکه \(x\) "بسته بندی" می کنیم، در حالی که "بسته ها" و "جعبه ها" متفاوت هستند.

برای مثال، بیایید x را بگیریم و آن را در یک تابع "بسته" کنیم:

در نتیجه، مطمئناً \(\cos⁡x\) را دریافت می کنیم. این "کیف چیزهای" ماست. حالا بیایید آن را در یک "جعبه" قرار دهیم - آن را به عنوان مثال در یک تابع مکعبی بسته بندی کنیم.

در نهایت چه اتفاقی خواهد افتاد؟ بله، درست است، یک "کیسه چیز در یک جعبه" وجود خواهد داشت، یعنی "کسینوس مکعب X".

طراحی به دست آمده یک عملکرد پیچیده است. از این جهت با ساده تفاوت دارد چندین "تأثیر" (بسته) روی یک X در یک ردیف اعمال می شودو به نظر می رسد "عملکرد از عملکرد" ​​- "بسته بندی در بسته بندی".

در دوره مدرسه انواع بسیار کمی از این "بسته ها" وجود دارد، فقط چهار نوع:

بیایید اکنون X را ابتدا در یک تابع نمایی با پایه 7، و سپس در یک تابع مثلثاتی "بسته بندی کنیم". دریافت می کنیم:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

حالا بیایید X را دو بار داخل "بسته بندی" کنیم توابع مثلثاتی، ابتدا در و سپس در:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

ساده است، درست است؟

حالا توابع را خودتان بنویسید، جایی که x:
- ابتدا در یک کسینوس و سپس در یک تابع نمایی با پایه \(3\) "بسته بندی" می شود.
- ابتدا به توان پنجم و سپس به مماس.
- ابتدا به لگاریتم به پایه \(4\) ، سپس به توان \(-2\).

پاسخ این کار را در انتهای مقاله بیابید.

آیا می توانیم X را نه دو، بلکه سه بار "بسته" کنیم؟ بله مشکلی نیست! و چهار و پنج و بیست و پنج بار. برای مثال، در اینجا تابعی وجود دارد که در آن x \(4\) بار "بسته" شده است:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

اما چنین فرمول هایی در تمرین مدرسه یافت نمی شوند (دانش آموزان خوش شانس تر هستند - ممکن است فرمول آنها پیچیده تر باشد).

"باز کردن بسته بندی" یک عملکرد پیچیده

دوباره به عملکرد قبلی نگاه کنید. آیا می توانید دنباله "بسته بندی" را بفهمید؟ ابتدا X در چه چیزی قرار گرفت، سپس چه چیزی، و به همین ترتیب تا آخر کار. یعنی کدام تابع درون کدام تودرتو است؟ یک تکه کاغذ بردارید و آنچه را که فکر می کنید بنویسید. همانطور که در بالا نوشتیم می توانید این کار را با یک زنجیره با فلش انجام دهید یا به روش دیگری.

حال پاسخ صحیح این است: ابتدا x به توان \(4\)ام بسته شد، سپس نتیجه در سینوس بسته شد و به نوبه خود در لگاریتم به پایه \(2\) قرار گرفت. ، و در پایان کل این ساخت و ساز به پاور پنج ها منتقل شد.

یعنی باید دنباله را به ترتیب معکوس باز کنید. و در اینجا یک نکته در مورد چگونگی انجام این کار ساده تر وجود دارد: فوراً به X نگاه کنید - باید از روی آن برقصید. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

برای مثال، در اینجا تابع زیر است: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). ما به X نگاه می کنیم - ابتدا چه اتفاقی برای آن می افتد؟ از او گرفته شده است. و سپس؟ مماس حاصل گرفته می شود. دنباله یکسان خواهد بود:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

مثال دیگر: \(y=\cos⁡((x^3))\). بیایید تجزیه و تحلیل کنیم - ابتدا X را مکعب کردیم و سپس کسینوس نتیجه را گرفتیم. این بدان معنی است که دنباله به این صورت خواهد بود: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). توجه کنید، به نظر می رسد عملکرد شبیه به اولین (جایی که تصاویر دارد) است. اما این یک تابع کاملاً متفاوت است: اینجا در مکعب x است (یعنی \(\cos⁡((x·x·x)))\) و در مکعب کسینوس \(x\) است ( یعنی \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). این تفاوت از توالی های مختلف "بسته بندی" ناشی می شود.

آخرین مثال (با اطلاعات مهمدر آن): \(y=\sin⁡((2x+5))\). واضح است که در اینجا ابتدا عملیات حسابی را با x انجام دادیم، سپس سینوس نتیجه را گرفتیم: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). و این نکته مهم: علیرغم اینکه عملیات حسابی به خودی خود توابع نیستند، در اینجا به عنوان یک روش "بسته بندی" نیز عمل می کنند. بیایید کمی عمیق تر به این ظرافت بپردازیم.

همانطور که در بالا گفتم، در توابع ساده x یک بار و در توابع پیچیده - دو یا بیشتر بسته می شود. علاوه بر این، هر ترکیبی از توابع ساده (یعنی مجموع، تفاوت، ضرب یا تقسیم آنها) نیز یک تابع ساده است. برای مثال، \(x^7\) یک تابع ساده است و همچنین \(ctg x\). این بدان معنی است که همه ترکیبات آنها توابع ساده هستند:

\(x^7+ ctg x\) - ساده،
\(x^7· تخت x\) - ساده،
\(\frac(x^7)(ctg x)\) - ساده و غیره.

با این حال، اگر یک تابع دیگر برای چنین ترکیبی اعمال شود، به یک تابع پیچیده تبدیل می شود، زیرا دو "بسته" وجود خواهد داشت. نمودار را ببینید:

باشه حالا برو جلو دنباله توابع "پیچیدن" را بنویسید:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
پاسخ ها دوباره در انتهای مقاله آمده است.

عملکردهای داخلی و خارجی

چرا باید تودرتوی تابع را درک کنیم؟ این چه چیزی به ما می دهد؟ واقعیت این است که بدون چنین تحلیلی نمی‌توانیم مشتقاتی از توابع مورد بحث در بالا را به طور قابل اعتماد پیدا کنیم.

و برای حرکت به دو مفهوم دیگر نیاز داریم: عملکردهای داخلی و خارجی. این خیلی چیز سادهعلاوه بر این، در واقع، قبلاً آنها را در بالا تجزیه و تحلیل کرده ایم: اگر قیاس خود را در همان ابتدا به یاد بیاوریم، تابع داخلی یک "بسته" است و تابع خارجی یک "جعبه" است. آن ها چیزی که X ابتدا در آن "پیچیده شده" یک تابع داخلی است، و آنچه که تابع داخلی "پیچیده شده" در آن قبلاً خارجی است. خوب، واضح است که چرا - او بیرون است، این به معنای خارجی است.

در این مثال: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\)، تابع \(\log_2⁡x\) داخلی است، و
- خارجی

و در این: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\)، \(x^3+2x+1\) داخلی است، و
- خارجی

آخرین تمرین تجزیه و تحلیل توابع پیچیده را کامل کنید، و در نهایت به آنچه که همه ما برای آن شروع کرده بودیم، برویم - مشتقاتی از توابع پیچیده را خواهیم یافت:

جاهای خالی جدول را پر کنید:

مشتق تابع مختلط

آفرین به ما، بالاخره به "رئیس" این موضوع رسیدیم - در واقع یک مشتق تابع پیچیده، و به طور خاص، به آن فرمول بسیار وحشتناک از ابتدای مقاله.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

این فرمول به این صورت است:

مشتق تابع مختلط برابر است با حاصل ضرب مشتق تابع خارجی نسبت به تابع داخلی ثابت و مشتق تابع داخلی.

و بلافاصله به نمودار تجزیه "کلمه به کلمه" نگاه کنید تا بفهمید چیست:

امیدوارم عبارات "مشتق" و "محصول" هیچ مشکلی ایجاد نکند. "عملکرد پیچیده" - ما قبلاً آن را مرتب کرده ایم. گرفتن در "مشتق" عملکرد خارجیطبق یک داخلی بدون تغییر.» چیست؟

پاسخ: این مشتق معمول تابع خارجی است که در آن فقط تابع خارجی تغییر می کند و تابع داخلی ثابت می ماند. هنوز مشخص نیست؟ خوب، بیایید از یک مثال استفاده کنیم.

اجازه دهید یک تابع \(y=\sin⁡(x^3)\) داشته باشیم. واضح است که تابع داخلی در اینجا \(x^3\) و خارجی است
. بیایید اکنون مشتق بیرون را با توجه به باطن ثابت پیدا کنیم.

مثال هایی از محاسبه مشتقات با استفاده از فرمول مشتق یک تابع مختلط ارائه شده است.

محتوا

همچنین ببینید: اثبات فرمول مشتق یک تابع مختلط

فرمول های پایه

در اینجا مثال هایی از محاسبه مشتقات را می آوریم توابع زیر:
; ; ; ; .

اگر بتوان یک تابع را به عنوان یک تابع پیچیده در فرم زیر:
,
سپس مشتق آن با فرمول تعیین می شود:
.
در مثال های زیر این فرمول را به صورت زیر می نویسیم:
.
کجا .
در اینجا، زیرنویس ها یا زیر علامت مشتق، متغیرهایی را نشان می دهند که توسط آنها تمایز انجام می شود.

معمولاً در جداول مشتقات مشتقات توابع از متغیر x آورده شده است.

با این حال، x یک پارامتر رسمی است. متغیر x را می توان با هر متغیر دیگری جایگزین کرد. بنابراین، هنگام تمایز یک تابع از یک متغیر، در جدول مشتقات، متغیر x را به متغیر u تغییر می دهیم.

مثال های ساده

مثال 1
.

مشتق تابع مختلط را بیابید بیایید آن را بنویسیمعملکرد داده شده
.
به شکل معادل:
;
.

در جدول مشتقات می بینیم:
.
با توجه به فرمول مشتق یک تابع مختلط، داریم:

اینجا

مثال 2
.

مشتق را بیابید
.

.
با توجه به فرمول مشتق یک تابع مختلط، داریم:

ثابت 5 را از علامت مشتق خارج می کنیم و از جدول مشتقات پیدا می کنیم:

مثال 3
.

مشتق را بیابید -1 ثابت را خارج می کنیم
;
برای علامت مشتق و از جدول مشتقات می یابیم:
.

از جدول مشتقات در می یابیم:
.
با توجه به فرمول مشتق یک تابع مختلط، داریم:

ما فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم:

نمونه های پیچیده تر در مثال های پیچیده تر، قانون تمایز یک تابع مختلط را چندین بار اعمال می کنیم. در این صورت مشتق را از انتها محاسبه می کنیم. یعنی تابع را به اجزای آن تقسیم می کنیم و مشتقات ساده ترین قطعات را با استفاده از آن پیدا می کنیمجدول مشتقات . ما نیز استفاده می کنیمقوانین برای افتراق مبالغ

، محصولات و کسری ها. سپس جایگزین هایی می کنیم و فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم.

مثال 3
.

مثال 4

.
بیایید ساده ترین قسمت فرمول را انتخاب کنیم و مشتق آن را پیدا کنیم. .
.

در اینجا ما از علامت گذاری استفاده کرده ایم
.

ما مشتق قسمت بعدی تابع اصلی را با استفاده از نتایج به دست آمده پیدا می کنیم. ما قانون را برای افتراق مجموع اعمال می کنیم:

.
با توجه به فرمول مشتق یک تابع مختلط، داریم:

یک بار دیگر قانون تمایز توابع پیچیده را اعمال می کنیم.

مثال 5
.

بیایید ساده ترین قسمت فرمول را انتخاب کنیم و مشتق آن را از جدول مشتقات پیدا کنیم. .

ما قانون تمایز توابع پیچیده را اعمال می کنیم.
.
اینجا
.

تفکیک کنیم قسمت بعدی، با اعمال نتایج به دست آمده.
.
اینجا
.

بیایید قسمت بعدی را متمایز کنیم.

.
اینجا
.

حالا مشتق تابع مورد نظر را پیدا می کنیم.

.
اینجا
.

همچنین ببینید:

خیلی راحت به خاطر سپردن

خوب، اجازه دهید خیلی دور نرویم، بیایید بلافاصله تابع معکوس را در نظر بگیریم. کدام تابع معکوس تابع نمایی است؟ لگاریتم:

در مورد ما، پایه عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

با چه چیزی برابر است؟ البته.

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: لگاریتم نمایی و طبیعی از دیدگاه مشتق، توابع ساده منحصر به فردی هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چی؟ بازم یه ترم جدید دیگه؟!...

تمایزفرآیند یافتن مشتق است.

همین. این فرآیند را در یک کلمه چه چیز دیگری می‌توان نامید؟ نه مشتق... دیفرانسیل ریاضیدانان همان افزایش تابع در است. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید آن را ثابت کنیم. بگذارید باشد یا ساده تر.

نمونه ها

مشتقات توابع را پیدا کنید:

1. در یک نقطه؛
2. در یک نقطه؛
3. در یک نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا این تابع خطی، به یاد دارید؟)

مشتق محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: بیایید یک تابع جدید معرفی کنیم و افزایش آن را پیدا کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و
2. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط نماها (آیا هنوز فراموش کرده اید که چیست؟).

بنابراین، یک عدد کجاست.

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید برسانیم:

برای این ما استفاده خواهیم کرد قانون ساده: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

کار کرد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق یک توان است: همانطور که بود، ثابت می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی دیگر نمی توان آن را یادداشت کرد. به شکل ساده. لذا در جواب به این شکل می گذاریم.

توجه داشته باشید که در اینجا ضریبی از دو تابع است، بنابراین قانون تمایز مربوطه را اعمال می کنیم:

در این مثال حاصل ضرب دو تابع:

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک لگاریتم دلخواه با پایه متفاوت، به عنوان مثال:

باید این لگاریتم را به پایه کاهش دهیم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر داشته باشید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج به سادگی یک ثابت است (عددی ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده به دست می آید:

مشتقات نمایی و توابع لگاریتمیتقریباً هرگز در آزمون یکپارچه ایالت ظاهر نمی شوند، اما دانستن آنها ضرری ندارد.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست و نه یک تانژانت. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (اگرچه اگر لگاریتم را دشوار می‌دانید، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و خوب خواهید شد)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.

یک تسمه نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیا کارهایی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. نتیجه یک شی ترکیبی است: یک شکلات که با روبان بسته شده و بسته شده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل معکوس را به ترتیب معکوس انجام دهید.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، یک عدد (شکلاتی) به ما داده می شود، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف بندی)، و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چه اتفاقی افتاد؟ تابع این نمونه ای از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم، و سپس یک عمل دوم را با آنچه که از اولی حاصل می شود، انجام می دهیم.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال ما، .

ما به راحتی می‌توانیم همان مراحل را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا آن را مربع می‌کنید و من به دنبال کسینوس عدد حاصل می‌گردم: . به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. ویژگی مهمتوابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

مثال دوم: (همان چیز). .

اقدامی که آخرین بار انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و عمل انجام شد - بر این اساس عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در یک تابع

1. ابتدا چه اقدامی را انجام خواهیم داد؟ ابتدا بیایید سینوس را محاسبه کنیم و فقط آن را مکعب کنیم. این بدان معنی است که یک عملکرد داخلی است، اما یک عملکرد خارجی.
   و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
2. داخلی: خارجی: .
   معاینه: .
3. داخلی: خارجی: .
   معاینه: .
4. داخلی: خارجی: .
   معاینه: .
5. داخلی: خارجی: .
   معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و تابع می گیریم.

خوب، حالا شکلات‌مان را استخراج می‌کنیم و به دنبال مشتق آن می‌گردیم. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. در رابطه با نمونه اصلیبه نظر می رسد این است:

مثال دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ساده به نظر می رسد، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان آن را قطع کنید! چیزی از زیر کسینوس بیرون نمی آید، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

بلافاصله مشخص می شود که این یک عملکرد پیچیده سه سطحی است: از این گذشته ، این به خودی خود یک عملکرد پیچیده است و ما ریشه را نیز از آن استخراج می کنیم ، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی قرار می دهیم. و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: ما همچنان این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" خواهیم کرد: از پایان.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. توالی اقدامات مانند قبل است:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوس. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

مشتق از یک تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

مشتقات محصول:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم.
2. ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم.
3. نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

حل مسائل یا مثال های فیزیکی در ریاضیات بدون آگاهی از مشتق و روش های محاسبه آن کاملاً غیرممکن است. مشتق یکی از مهمترین مفاهیم در تحلیل ریاضی است. این موضوع اساسیتصمیم گرفتیم مقاله امروز را اختصاص دهیم. مشتق چیست، فیزیکی آن چیست و معنای هندسیچگونه مشتق یک تابع را محاسبه کنیم؟ همه این سؤالات را می توان در یکی ترکیب کرد: چگونه مشتق را درک کنیم؟

معنای هندسی و فیزیکی مشتق

اجازه دهید یک تابع وجود داشته باشد f(x) ، در یک بازه زمانی مشخص مشخص شده است (الف، ب) . نقاط x و x0 متعلق به این بازه هستند. وقتی x تغییر می کند، خود تابع تغییر می کند. تغییر استدلال - تفاوت در مقادیر آن x-x0 . این تفاوت به صورت نوشته شده است دلتا x و افزایش آرگومان نامیده می شود. تغییر یا افزایش یک تابع، تفاوت بین مقادیر یک تابع در دو نقطه است. تعریف مشتق:

مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع در یک نقطه معین به افزایش آرگومان زمانی است که دومی به سمت صفر میل می کند.

در غیر این صورت می توان اینگونه نوشت:

یافتن چنین حدی چه فایده ای دارد؟ در اینجا چیست:

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه بین محور OX و مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین.

معنای فیزیکیمشتق: مشتق مسیر نسبت به زمان برابر است با سرعت حرکت مستقیم.

در واقع، از دوران مدرسه همه می دانند که سرعت یک مسیر خاص است x=f(t) و زمان تی . سرعت متوسطبرای مدت معینی:

برای پی بردن به سرعت حرکت در یک لحظه از زمان t0 شما باید حد را محاسبه کنید:

قانون اول: یک ثابت تنظیم کنید

ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. علاوه بر این، این باید انجام شود. هنگام حل مثال هایی در ریاضیات، آن را به عنوان یک قاعده در نظر بگیرید - اگر می توانید یک عبارت را ساده کنید، حتما آن را ساده کنید .

مثال. بیایید مشتق را محاسبه کنیم:

قانون دوم: مشتق از مجموع توابع

مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقات این توابع. همین امر در مورد مشتق تفاوت توابع نیز صادق است.

ما برای این قضیه اثبات نمی کنیم، بلکه یک مثال عملی را در نظر می گیریم.

مشتق تابع را پیدا کنید:

قانون سوم: مشتق حاصلضرب توابع

مشتق حاصل ضرب دو تابع متمایز با فرمول محاسبه می شود:

مثال: مشتق یک تابع را پیدا کنید:

راه حل:

در اینجا مهم است که در مورد محاسبه مشتقات توابع پیچیده صحبت کنیم. مشتق تابع مختلط با حاصلضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی و مشتق آرگومان میانی نسبت به متغیر مستقل برابر است.

در مثال بالا به این عبارت برخورد می کنیم:

در این حالت، آرگومان میانی 8 برابر به توان پنجم است. برای محاسبه مشتق چنین عبارتی، ابتدا مشتق تابع خارجی را با توجه به آرگومان میانی محاسبه می کنیم و سپس با توجه به متغیر مستقل در مشتق خود آرگومان میانی ضرب می کنیم.

قانون چهارم: مشتق ضریب دو تابع

فرمول تعیین مشتق ضریب دو تابع:

ما سعی کردیم در مورد مشتقات برای آدمک ها از ابتدا صحبت کنیم. این موضوع آنقدرها هم که به نظر می رسد ساده نیست، پس هشدار دهید: در مثال ها اغلب مشکلاتی وجود دارد، بنابراین هنگام محاسبه مشتقات مراقب باشید.

در صورت داشتن هرگونه سوال در این زمینه و موضوعات دیگر، می توانید با خدمات دانشجویی تماس بگیرید. در مدت زمان کوتاهی، ما به شما کمک می کنیم تا سخت ترین آزمون را حل کنید و وظایف را درک کنید، حتی اگر قبلاً محاسبات مشتق را انجام نداده باشید.

پس از آماده سازی اولیه توپخانه، نمونه هایی با 3-4-5 تودرتو عملکرد کمتر ترسناک خواهند بود. شاید دو مثال زیر برای برخی پیچیده به نظر برسد، اما اگر آنها را درک کنید (کسی رنج خواهد برد)، تقریباً همه چیزهای دیگر در حساب دیفرانسیلبه نظر یک شوخی کودکانه خواهد بود.

مثال 2

مشتق یک تابع را پیدا کنید

همانطور که قبلا ذکر شد، هنگام پیدا کردن مشتق یک تابع پیچیده، اول از همه، ضروری است درستهسرمایه گذاری های خود را درک کنید در مواردی که شک و تردید وجود دارد، یک تکنیک مفید را به شما یادآوری می کنم: برای مثال، مقدار آزمایشی "x" را در نظر می گیریم و سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا در پیش نویس) این مقدار را با "عبارت وحشتناک" جایگزین کنیم.

1) ابتدا باید عبارت را محاسبه کنیم، به این معنی که مجموع عمیق ترین جاسازی است.

2) سپس باید لگاریتم را محاسبه کنید:

4) سپس کسینوس را مکعب کنید:

5) در مرحله پنجم تفاوت:

6) و در نهایت بیرونی ترین تابع جذر است:

فرمول تمایز یک تابع پیچیده به ترتیب معکوس، از بیرونی ترین تابع به درونی ترین اعمال می شوند. ما تصمیم می گیریم:

به نظر می رسد هیچ خطایی وجود ندارد:

1) مشتق جذر را بگیرید.

2) مشتق تفاوت را با استفاده از قانون بگیرید

3) مشتق ثلاث صفر است. در جمله دوم مشتق درجه (مکعب) را می گیریم.

4) مشتق کسینوس را بگیرید.

6) و در نهایت مشتق عمیق ترین تعبیه را می گیریم.

شاید خیلی سخت به نظر برسد، اما این وحشیانه ترین نمونه نیست. به عنوان مثال، مجموعه کوزنتسوف را در نظر بگیرید و از زیبایی و سادگی مشتق تحلیل شده قدردانی خواهید کرد. متوجه شدم که آنها دوست دارند چیزی مشابه در یک امتحان بدهند تا بررسی کنند که آیا دانش آموز می داند چگونه مشتق یک تابع پیچیده را پیدا کند یا نمی فهمد.

مثال زیر برای شما قابل حل است.

مثال 3

مشتق یک تابع را پیدا کنید

نکته: ابتدا قوانین خطی و قانون تمایز محصول را اعمال می کنیم

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

وقت آن است که به سراغ چیزهای کوچکتر و زیباتر بروید.
غیر معمول نیست که یک مثال حاصل ضرب نه دو، بلکه سه تابع را نشان دهد. چگونه مشتق حاصلضرب سه عامل را پیدا کنیم؟

مثال 4

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ابتدا نگاه می کنیم، آیا می توان حاصل ضرب سه تابع را به حاصل ضرب دو تابع تبدیل کرد؟ به عنوان مثال، اگر ما دو چند جمله ای در محصول داشتیم، می توانیم براکت ها را باز کنیم. اما در مثال مورد بررسی، همه توابع متفاوت هستند: درجه، توان و لگاریتم.

در چنین مواردی لازم است به صورت متوالیقانون تمایز محصول را اعمال کنید دو بار

ترفند این است که با "y" حاصلضرب دو تابع را نشان می دهیم: و با "ve" لگاریتم را نشان می دهیم: . چرا می توان این کار را انجام داد؟ آیا واقعا - این حاصل دو عامل نیست و قانون کار نمی کند؟! هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد:

اکنون باقی مانده است که قانون را برای بار دوم اعمال کنیم به پرانتز:

شما همچنین می توانید پیچ ​​خورده و چیزی را از پرانتز خارج کنید، اما در این مورد بهتر است پاسخ را دقیقاً به این شکل بگذارید - بررسی آن آسان تر خواهد بود.

مثال مورد نظر را می توان به روش دوم حل کرد:

هر دو راه حل کاملاً معادل هستند.

مثال 5

مشتق یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است که در نمونه با استفاده از روش اول حل می شود.

بیایید به مثال های مشابه با کسری نگاه کنیم.

مثال 6

مشتق یک تابع را پیدا کنید

چندین راه وجود دارد که می توانید به اینجا بروید:

یا مثل این:

اما اگر ابتدا از قانون تمایز ضریب استفاده کنیم، راه حل فشرده تر نوشته می شود ، گرفتن برای تمام صورتگر:

در اصل مثال حل می شود و اگر به حال خود رها شود خطا نخواهد بود. اما اگر وقت دارید، همیشه توصیه می شود که پیش نویس را بررسی کنید تا ببینید آیا می توان پاسخ را ساده کرد؟

اجازه دهید بیان عدد را به کاهش دهیم مخرج مشترکو از کسری سه طبقه خلاص شوید:

ضرر ساده‌سازی‌های اضافی این است که نه در هنگام یافتن مشتق، بلکه در طول تحولات پیش پا افتاده مدرسه، خطر اشتباه وجود دارد. از سوی دیگر، معلمان اغلب تکلیف را رد می‌کنند و می‌خواهند مشتق را «به ذهن بیاورند».

یک مثال ساده تر برای حل به تنهایی:

مثال 7

مشتق یک تابع را پیدا کنید

ما به تسلط بر روش های یافتن مشتق ادامه می دهیم و اکنون یک مورد معمولی را در نظر می گیریم که لگاریتم "وحشتناک" برای تمایز پیشنهاد شود.