اثبات فرمول .

=

= =

از آنجایی که سینوس و کسینوس به اضافه کردن زاویه ای که مضرب است بستگی ندارند

و این برابری از قبل آشکار است، زیرا این شکل مثلثاتی است عدد مختلط.

بنابراین، لگاریتم برای تمام نقاط صفحه به جز صفر وجود دارد. برای یک عدد مثبت واقعی، آرگومان 0 است، بنابراین این مجموعه نامتناهی از نقاط شکل دارد ، یعنی یکی از مقادیر، یعنی at، روی محور واقعی قرار می گیرد. اگر لگاریتم یک عدد منفی را محاسبه کنیم، به دست می‌آییم، یعنی مجموعه نقاط به سمت بالا جابه‌جا می‌شوند و هیچ یک روی محور واقعی نمی‌افتند.

از فرمول مشخص است که تنها زمانی که آرگومان عدد اصلی صفر باشد، یکی از مقادیر لگاریتمی روی محور واقعی قرار می گیرد. و این مربوط به نیم محور سمت راست است و به همین دلیل است که در درس ریاضی مدرسه فقط لگاریتم اعداد مثبت در نظر گرفته شده است. لگاریتم اعداد منفی و خیالی نیز وجود دارد، اما آنها یک مقدار واحد در محور واقعی ندارند.

نقشه زیر نشان می دهد که تمام مقادیر لگاریتم یک عدد مثبت در کجای صفحه قرار دارند. یکی از آنها در محور واقعی است، بقیه در بالا و پایین بر روی، و غیره هستند. برای یک عدد منفی یا مختلط، آرگومان غیر صفر است، بنابراین این دنباله از نقاط به صورت عمودی جابه‌جا می‌شود و در نتیجه هیچ نقطه‌ای در محور واقعی وجود ندارد.

مثال.محاسبه.

راه حل. بیایید مدول عدد (برابر 2) و آرگومان 180 0 را تعریف کنیم، یعنی. سپس = .

ضمیمه 1. سوالات برای مدرک (برای بلیط).

سخنرانی شماره 1

1. فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات را ثابت کنید.

سخنرانی شماره 2

1. ثابت کنید که جایگزینی، که در آن r = LCM (r 1،...،r k) انتگرال را به انتگرال یک کسر گویا کاهش می دهد.

2. ثابت کنید که جایگزینی انتگرال فرم را کاهش می دهد به انتگرال کسری گویا.

3. فرمول های تبدیل سینوس و کسینوس را استخراج کنید

برای جایگزینی مثلثاتی جهانی.

4. ثابت کنید که در حالتی که تابع نسبت به کسینوس فرد است، جایگزینی انتگرال را به کسر گویا کاهش می دهد.

5. ثابت کنید که در صورتی که

جایگزینی: انتگرال را به کسر گویا کاهش می دهد.

6. ثابت کنید که برای یک انتگرال از فرم

7. فرمول را ثابت کنید

8. ثابت کنید که برای یک انتگرال از فرم جایگزینی یک انتگرال به یک کسر گویا تولید می کند.

9. ثابت کنید که برای یک انتگرال از فرم جایگزینی انتگرال را به کسری گویا کاهش می دهد.

سخنرانی شماره 3

1. ثابت کنید که تابع ضد مشتق تابع .

2- فرمول نیوتن لایب نیتس را ثابت کنید: .

3. فرمول طول یک منحنی به صراحت داده شده را ثابت کنید:

.

4. فرمول طول یک منحنی را با مختصات قطبی ثابت کنید

سخنرانی شماره 4

قضیه را ثابت کنید: همگرا، همگرا.

سخنرانی شماره 5

1. فرمول مساحت یک سطح مشخص را استخراج کنید (اثبات کنید). .

2. استخراج فرمول های انتقال به مختصات قطبی.

3. مشتق دترمینان ژاکوبین مختصات قطبی.

4. استخراج فرمول های انتقال به مختصات استوانه ای.

5. مشتق دترمینان ژاکوبین مختصات استوانه ای.

6. استخراج فرمول های انتقال به مختصات کروی:

.

سخنرانی شماره 6

1. ثابت کنید که جایگزینی یک معادله همگن را به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می دهد.

2. برداشت فرم کلیراه حل خطی معادله همگن.

3. شکل کلی حل معادله ناهمگن خطی را با روش لاگرانژ بدست آورید.

4. ثابت کنید که جایگزینی معادله برنولی را به یک معادله خطی کاهش می دهد.

سخنرانی شماره 7.

1. ثابت کنید که جایگزینی ترتیب معادله را با k کاهش می دهد.

2. ثابت کنید که جایگزینی ترتیب معادله را یک کاهش می دهد .

3. قضیه را ثابت کنید: تابع حل معادله دیفرانسیل همگن خطی است و ریشه مشخصه دارد.

4. این قضیه را ثابت کنید که یک ترکیب خطی از راه حل ها به یک اختلاف همگن خطی. معادله نیز راه حل آن است.

5. قضیه تحمیل راه حل ها را ثابت کنید: اگر حل معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی با سمت راست باشد و جواب همان معادله دیفرانسیل باشد، اما با سمت راست، مجموع آن برابر است. حل معادله با سمت راست

سخنرانی شماره 8.

1. این قضیه را ثابت کنید که سیستم توابع به صورت خطی وابسته است.

2. این قضیه را ثابت کنید که n راه حل مستقل خطی برای یک معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه n وجود دارد.

3. ثابت کنید که اگر 0 ریشه کثرت باشد، سیستم راه حل های مربوط به این ریشه به شکل .

سخنرانی شماره 9.

1. با استفاده از فرم نمایی ثابت کنید که هنگام ضرب اعداد مختلط، ماژول ها ضرب می شوند و آرگومان ها اضافه می شوند.

2. فرمول Moivre را برای درجه n ثابت کنید

3. فرمول ریشه یک مرتبه n عدد مختلط را ثابت کنید

4. این را ثابت کنید و

تعمیم سینوس و کسینوس هستند، یعنی. برای اعداد واقعی، این فرمول ها سینوس (کسینوس) را به دست می دهند.

5. فرمول لگاریتم یک عدد مختلط را ثابت کنید:

ضمیمه 2.

سوالات جزئی و شفاهی دانش تئوری (برای مجامع عمومی).

سخنرانی شماره 1

1. پاد مشتق و انتگرال نامعین چیست، چه تفاوتی با هم دارند؟

2. توضیح دهید که چرا آن نیز ضد مشتق است.

3. فرمول یکپارچه سازی بر اساس قطعات را بنویسید.

4. چه جایگزینی در قالب انتگرال مورد نیاز است و چگونه ریشه ها را از بین می برد؟

5. نوع تجزیه انتگرال یک کسر گویا را در مواردی که همه ریشه ها متفاوت و واقعی هستند به ساده ترین آنها بنویسید.

6. نوع تجزیه انتگرال یک کسر گویا را به ساده ترین آنها بنویسید در صورتی که همه ریشه ها واقعی هستند و یک ریشه چندگانه از کثرت k وجود دارد.

سخنرانی شماره 2.

1. در صورتی که مخرج دارای ضریب 2 درجه با ممیز منفی باشد، بنویسید که تجزیه یک کسر گویا به ساده ترین آنها چیست؟

2. چه جایگزینی انتگرال را به کسر گویا تقلیل می دهد؟

3. جانشینی های مثلثاتی جهانی چیست؟

4. در مواردی که تابع زیر علامت انتگرال نسبت به سینوس (کسینوس) فرد باشد، چه جایگزین هایی انجام می شود؟

5. اگر انتگرال حاوی عبارات، یا .

سخنرانی شماره 3.

1. تعریف انتگرال معین.

2. برخی از خصوصیات اساسی انتگرال معین را فهرست کنید.

3. فرمول نیوتن لایب نیتس را بنویسید.

4. فرمول حجم یک بدنه چرخش را بنویسید.

5. یک فرمول برای طول یک منحنی به صراحت داده شده بنویسید.

6. فرمول طول یک منحنی تعریف شده به صورت پارامتری را بنویسید.

سخنرانی شماره 4.

1. تعریف انتگرال نامناسب (با استفاده از حد).

2. تفاوت بین انتگرال های نادرست نوع 1 و 2 چیست؟

3. سرب مثال های سادهانتگرال های همگرا از نوع 1 و 2

4. انتگرال ها (T1) در چه مقادیری همگرا می شوند؟

5. ارتباط همگرایی با حد محدود پاد مشتق (T2) چگونه است.

6. چیست علامت لازمهمگرایی، فرمول بندی آن

7. آزمون مقایسه در فرم نهایی

8. نشانه مقایسه به صورت افراطی.

9. تعریف انتگرال چندگانه.

سخنرانی شماره 5.

1. تغییر ترتیب ادغام، با یک مثال ساده نشان دهید.

2. فرمول سطح را بنویسید.

3. مختصات قطبی چیست، فرمول های انتقال را بنویسید.

4. ژاکوبین سیستم مختصات قطبی چیست؟

5. مختصات استوانه ای و کروی چیست، تفاوت آنها چیست.

6. ژاکوبین مختصات استوانه ای (کروی) چیست؟

سخنرانی شماره 6.

1. معادله دیفرانسیل مرتبه 1 چیست (نمای عمومی).

2. معادله دیفرانسیل مرتبه 1 حل شده با توجه به مشتق چیست؟ چند مثال بزن

3. معادله با متغیرهای قابل تفکیک چیست.

4. راه حل عام، خاص، شرایط کوشی چیست.

5. معادله همگن چیست، روش کلی برای حل آن چیست.

6. چیست معادله خطی، الگوریتم حل آن چیست، روش لاگرانژ چیست.

7. معادله برنولی چیست، الگوریتمی برای حل آن.

سخنرانی شماره 7.

1. چه جایگزینی برای معادله فرم لازم است.

2. چه جایگزینی برای معادله فرم مورد نیاز است .

3. با مثال نشان دهید که چگونه می توان آن را در فرم بیان کرد.

4. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه n چیست؟

5. چند جمله ای مشخصه، معادله مشخصه چیست.

6. یک قضیه در مورد اینکه تابع در چه مقداری راه حل معادله دیفرانسیل همگن خطی است، فرمول دهید.

7- قضیه ای را فرمول دهید که ترکیب خطی راه حل های معادله همگن خطی حل آن نیز باشد.

8. قضیه تحمیل راه حل ها و پیامدهای آن را تدوین کنید.

9. سیستم توابع وابسته خطی و مستقل خطی چیست، چند مثال بزنید.

10. تعیین کننده Wronski سیستمی با n توابع چیست، مثالی از تعیین Wronski برای سیستم های LZS و LNS بزنید.

سخنرانی شماره 8.

1. اگر تابع سیستم به صورت خطی وابسته باشد، تعیین کننده Wronski چه ویژگی دارد؟

2. چند راه حل مستقل خطی برای یک معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه n وجود دارد.

3. تعیین FSR (سیستم اساسی راه حل ها) معادله همگن خطی مرتبه n.

4. FSR شامل چند تابع است؟

5. شکل سیستم معادلات را برای یافتن به روش لاگرانژ برای n=2 بنویسید.

6. نوع راه حل خاص را در مورد زمانی که

7. چیست سیستم خطی معادلات دیفرانسیل، چند مثال بنویسید

8. چیست سیستم خودمختارمعادلات دیفرانسیل.

9. معنای فیزیکیسیستم های معادلات دیفرانسیل

10. در صورت مشخص بودن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس اصلی این سیستم، بنویسید که FSR سیستم معادلات از چه توابعی تشکیل شده است.

سخنرانی شماره 9.

1. واحد خیالی چیست.

2. عدد مزدوج چیست و وقتی آن را در عدد اصلی ضرب می کنیم چه اتفاقی می افتد.

3. شکل مثلثاتی و نمایی یک عدد مختلط چیست؟

4. فرمول اویلر را بنویسید.

5. مدول، آرگومان یک عدد مختلط چیست.

6. چه اتفاقی برای ماژول ها و آرگومان ها در حین ضرب (تقسیم) می افتد.

7. فرمول Moivre را برای درجه n بنویسید.

8. فرمول یک ریشه از مرتبه n را بنویسید.

9. فرمول های سینوس و کسینوس تعمیم یافته را برای یک آرگومان پیچیده بنویسید.

10. فرمول لگاریتم یک عدد مختلط را بنویسید.

ضمیمه 3. مشکلات از سخنرانی.

سخنرانی شماره 1

مثال. . مثال. .

مثال. . مثال. .

مثال. مثال. .

مثال. . مثال. .

سخنرانی شماره 2

مثال. . مثال. .

مثال. . مثال. .

مثال. . مثال.. ، کجا، شماره

مثال.به صورت تصاعدی تقسیم کنید.

مثال. با استفاده از فرمول Moivre پیدا کنید.

مثال. تمام مقادیر ریشه را پیدا کنید.

ویژگی های اصلی لگاریتم، نمودار لگاریتمی، دامنه تعریف، مجموعه مقادیر، فرمول های اساسی، افزایش و کاهش داده شده است. یافتن مشتق لگاریتم در نظر گرفته می شود. و همچنین بسط و نمایش انتگرال سری توانی با استفاده از اعداد مختلط.

محتوا

دامنه، مجموعه مقادیر، افزایش، کاهش

لگاریتم است عملکرد یکنواختبنابراین هیچ افراطی ندارد. ویژگی های اصلی لگاریتم در جدول ارائه شده است.

دامنه	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
محدوده ارزش ها	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
یکنواخت	یکنواخت افزایش می یابد	یکنواخت کاهش می یابد
صفر، y = 0	x = 1	x = 1
نقاط قطع را با محور ترتیبی، x = 0	خیر	خیر
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

ارزش های خصوصی

لگاریتم پایه 10 نامیده می شود لگاریتم اعشاریو به صورت زیر مشخص می شود:

لگاریتم به پایه هتماس گرفت لگاریتم طبیعی:

فرمول های اصلی لگاریتم ها

خواص لگاریتم ناشی از تعریف تابع معکوس:

ویژگی اصلی لگاریتم ها و پیامدهای آن

فرمول جایگزینی پایه

لگاریتم عملیات ریاضی گرفتن لگاریتم است. هنگام گرفتن لگاریتم، حاصلضرب عوامل به مجموع عبارت ها تبدیل می شود.
تقویت یک عملیات ریاضی معکوس لگاریتم است. در طول تقویت، یک پایه معین به درجه ای از بیان که در آن تقویت انجام می شود، افزایش می یابد. در این حالت، مجموع عبارت ها به محصول عوامل تبدیل می شوند.

اثبات فرمول های پایه لگاریتم

فرمول های مربوط به لگاریتم از فرمول های توابع نمایی و از تعریف تابع معکوس به دست می آیند.

ویژگی تابع نمایی را در نظر بگیرید
.
سپس
.
بیایید ویژگی تابع نمایی را اعمال کنیم
:
.

اجازه دهید فرمول جایگزینی پایه را ثابت کنیم.
;
.
با فرض c=b، داریم:

تابع معکوس

معکوس لگاریتم بر مبنای a یک تابع نمایی با توان a است.

اگر پس از آن

اگر پس از آن

مشتق لگاریتم

مشتق لگاریتم مدول x:
.
مشتق از مرتبه n:
.
استخراج فرمول ها > > >

برای یافتن مشتق لگاریتم باید آن را به پایه تقلیل داد ه.
;
.

انتگرال

انتگرال لگاریتم با ادغام با قطعات محاسبه می شود: .
بنابراین،

عبارات با استفاده از اعداد مختلط

تابع اعداد مختلط را در نظر بگیرید z:
.
بیایید یک عدد مختلط را بیان کنیم zاز طریق ماژول rو استدلال φ :
.
سپس با استفاده از خواص لگاریتم، داریم:
.
یا

با این حال، استدلال φ منحصر به فرد تعریف نشده است اگر قرار دهید
، جایی که n یک عدد صحیح است،
سپس برای متفاوت همان عدد خواهد بود n.

بنابراین، لگاریتم، به عنوان تابعی از یک متغیر مختلط، یک تابع تک مقداری نیست.

گسترش سری پاور

هنگامی که گسترش انجام می شود:

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.

همچنین ببینید:

لگاریتم های طبیعی

برای مشتق لگاریتم طبیعی، یک فرمول ساده معتبر است:

به همین دلیل، لگاریتم های طبیعی عمدتاً در تحقیقات ریاضی استفاده می شوند. آنها اغلب هنگام حل معادلات دیفرانسیل ظاهر می شوند معادلات، مطالعه وابستگی های آماری (به عنوان مثال، توزیع های ساده اعداد) و غیره

وقتی برابری درست باشد

این سری سریعتر همگرا می شود و علاوه بر این، سمت چپ فرمول اکنون می تواند لگاریتم هر عدد مثبت را بیان کند.

رابطه با لگاریتم اعشاری: .

لگاریتم های اعشاری

برنج. 2. مقیاس لگاریتمی

لگاریتم تا پایه 10 (نماد: lg آ) قبل از اختراع ماشین حساب هابه طور گسترده برای محاسبات استفاده می شود. مقیاس ناهموارلگاریتم های اعشاری معمولاً بر روی آن رسم می شوند قوانین اسلاید. مقیاس مشابه به طور گسترده در زمینه های مختلف علوم استفاده می شود، به عنوان مثال:

فیزیک- شدت صدا ( دسی بل).

ستاره شناسی- مقیاس روشنایی ستاره.

علم شیمی- فعالیت هیدروژن یون ها (pH).

زلزله شناسی - مقیاس ریشتر.

تئوری موسیقی- مقیاس نت، در رابطه با فرکانس صداهای نت.

داستان - مقیاس زمانی لگاریتمی.

مقیاس لگاریتمی نیز به طور گسترده ای برای شناسایی توان در روابط توان و ضریب در توان استفاده می شود. در این حالت، نموداری که در مقیاس لگاریتمی در امتداد یک یا دو محور ساخته می‌شود، به شکل یک خط مستقیم است که مطالعه آن آسان‌تر است.

تابع لگاریتمی

تابع لگاریتمی تابعی از فرم است f(ایکس) = ورود آ ایکس، تعریف شده در

بررسی تابع لگاریتمی

دامنه:

محدوده:

نمودار هر تابع لگاریتمی از نقطه (1;0) عبور می کند.

مشتق تابع لگاریتمی برابر است با:

اثبات [نمایش]

I. اجازه دهید آن را ثابت کنیم

بیایید هویت را بنویسیم هلوگاریتم ایکس = ایکسو سمت چپ و راست آن را از هم متمایز کنید

ما آن را دریافت می کنیم ، که از آن نتیجه می شود که

II. این را ثابت کنیم

عملکرد به شدت در حال افزایش است آ> 1 و در ساعت 0 به شدت کاهش می یابد

سر راست ایکس= 0 باقی مانده است مجانب عمودی، زیرا در آ> 1 و در 0 a

لگاریتم پیچیده

تابع چند ارزشی

برای اعداد مختلطلگاریتم به همان صورت واقعی تعریف می شود. بیایید با لگاریتم طبیعی شروع کنیم، که آن را به عنوان مجموعه ای از تمام اعداد مختلط مشخص و تعریف می کنیم. zبه طوری که ه z = w. لگاریتم مختلط برای هر یک وجود دارد، و بخش واقعی آن به طور منحصر به فرد تعیین می شود، در حالی که قسمت خیالی دارای تعداد نامحدودی از مقادیر است. به همین دلیل به آن تابع چند ارزشی می گویند. اگر تصور کنید wبه صورت نمایشی:

سپس لگاریتم با فرمول پیدا می شود:

اینجا لگاریتم واقعی است، r = | w | , ک- خودسرانه عدد صحیح. مقدار بدست آمده زمانی که ک= 0، فراخوانی شد اهمیت اصلیلگاریتم طبیعی پیچیده؛ مرسوم است که مقدار آرگومان را در بازه (− π,π] در نظر بگیریم. تابع مربوطه (از قبل تک مقداری) نامیده می شود. شاخه اصلیلگاریتم و با نشان داده می شود. گاهی اوقات آنها همچنین مقدار لگاریتمی را نشان می دهند که در شاخه اصلی نیست.

از فرمول به دست می آید:

بخش واقعی لگاریتم با فرمول تعیین می شود:

لگاریتم یک عدد منفی با فرمول بدست می آید:

مثالها (مقدار اصلی لگاریتم داده شده است):

لگاریتم های پیچیده با پایه متفاوت به طور مشابه رفتار می شوند. با این حال، هنگام تبدیل لگاریتم های مختلط باید دقت کرد، با در نظر گرفتن چند ارزشی بودن آنها و بنابراین برابری لگاریتم های هر عبارتی به معنای برابری این عبارات نیست. مثالی از استدلال ناقص:

منπ = ln(- 1) = ln((- من) 2) = 2ln(- من) = 2(− منπ / 2) = - منπ یک پوچ آشکار است.

توجه داشته باشید که در سمت چپ مقدار اصلی لگاریتم و در سمت راست مقدار شاخه زیرین ( ک= - 1). علت خطا، استفاده بی دقت از ویژگی است، که، به طور کلی، در مورد پیچیده، کل مجموعه نامتناهی از مقادیر لگاریتمی را نشان می دهد و نه فقط مقدار اصلی را.

سطح ریمان

تابع لگاریتمی پیچیده - مثال سطح ریمان; قسمت خیالی آن (شکل 3) از تعداد بی نهایت شاخه تشکیل شده است که مانند یک مارپیچ پیچ خورده اند. این سطح همبند ساده; تنها صفر آن (از مرتبه اول) در به دست می آید z= 1، نقاط مفرد: z= 0 و (نقاط شاخه ای از ترتیب بی نهایت).

سطح ریمان یک لگاریتم است پوشش جهانیبرای صفحه مختلط بدون نقطه 0.

طرح تاریخی

لگاریتم واقعی

نیاز به محاسبات پیچیده در قرن شانزدهمبه سرعت رشد کرد و بسیاری از مشکلات مربوط به ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی بود. در پایان قرن، چندین ریاضیدان، تقریباً به طور همزمان، ایده ای را مطرح کردند: جایگزینی ضرب فشرده با جمع ساده، مقایسه با استفاده از جداول ویژه. هندسیو حسابیپیشرفت، در حالی که هندسی اصلی خواهد بود. سپس تقسیم به طور خودکار با تفریق ساده تر و قابل اطمینان تر جایگزین می شود. او اولین کسی بود که این ایده را در کتاب خود منتشر کرد. انتگرال حسابی» مایکل استیفل، که اما برای اجرای ایده اش تلاش جدی نکرد.

که در 1614ریاضیدان آماتور اسکاتلندی جان ناپیرمنتشر شده در لاتینمقاله ای با عنوان " شرح جدول شگفت انگیز لگاریتم ها" دارد توضیح کوتاهلگاریتم ها و خواص آنها و همچنین جداول 8 رقمی لگاریتم ها سینوس ها, کسینوس هاو مماس ها، با افزایش 1". ترم لگاریتمپیشنهاد شده توسط Napier، خود را در علم تثبیت کرده است.

مفهوم تابع هنوز وجود نداشت و ناپیر لگاریتم را تعریف کرد حرکتی، مقایسه حرکت آهسته یکنواخت و لگاریتمی. در نماد مدرن، مدل ناپیر را می توان با معادله دیفرانسیل نشان داد: dx/x = -dy/M، که در آن M یک ضریب مقیاس است که برای تبدیل مقدار به یک عدد صحیح معرفی شده است مقدار مناسبعلائم (کسری های اعشاری هنوز به طور گسترده مورد استفاده قرار نگرفتند). Napier M = 10000000 گرفت.

به بیان دقیق، Napier تابع اشتباه را جدول بندی کرد که اکنون لگاریتم نامیده می شود. اگر تابع آن را LogNap(x) نشان دهیم، به صورت زیر به لگاریتم طبیعی مربوط می شود:

بدیهی است که LogNap(M) = 0، یعنی لگاریتم "سینوس کامل" صفر است - این همان چیزی است که Napier با تعریف خود به آن دست یافت. LogNap(0) = ∞.

ویژگی اصلی لگاریتم ناپیر: اگر مقادیر تشکیل شوند پیشرفت هندسی، سپس لگاریتم آنها یک پیشرفت را تشکیل می دهد حسابی. با این حال، قوانین لگاریتمی برای تابع neper با قوانین لگاریتم مدرن متفاوت است.

مثلا، LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

متأسفانه، تمام مقادیر جدول Napier حاوی یک خطای محاسباتی بعد از رقم ششم است. با این حال، این امر مانع از محبوبیت گسترده روش محاسبه جدید نشد و بسیاری از ریاضیدانان اروپایی از جمله کپلر.

در دهه 1620 ادموند وینگیت و ویلیام اوترداولین را اختراع کرد قانون اسلاید، قبل از ظهور ماشین حساب های جیبی، یک ابزار ضروری مهندسی.

نزدیک به درک مدرن لگاریتم - به عنوان یک عملیات معکوس توانمندی- اولین بار در ظاهر شد والیسو یوهان برنولی، و در نهایت قانونی شد اویلر V قرن هجدهم. در کتاب "مقدمه ای بر تحلیل بی نهایت" ( 1748 اویلر تعاریف مدرن را به عنوان نشان دهندهو توابع لگاریتمی، بسط خود را به سری های توانی آوردند و به ویژه به نقش لگاریتم طبیعی اشاره کردند.

اویلر همچنین با گسترش تابع لگاریتمی به دامنه مختلط اعتبار دارد.

لگاریتم پیچیده

اولین تلاش ها برای گسترش لگاریتم به اعداد مختلط در اواخر قرن 17-18 انجام شد. لایب نیتسو یوهان برنولیبا این حال، آنها نتوانستند یک نظریه کامل ایجاد کنند - در درجه اول به این دلیل که مفهوم لگاریتم هنوز به وضوح تعریف نشده بود. بحث در مورد این موضوع ابتدا بین لایب نیتس و برنولی و در اواسط قرن 18 - بین دالامبرو اویلر برنولی و دالامبر معتقد بودند که باید تعیین شود log(-x) = log(x). تئوری کامل لگاریتم اعداد منفی و مختلط توسط اویلر در 1747-1751 منتشر شد و اساساً هیچ تفاوتی با نظریه مدرن ندارد.

اگرچه اختلاف ادامه یافت (دآلمبر از دیدگاه خود دفاع کرد و در مقاله ای در دایره المعارف خود و سایر آثارش به تفصیل آن را استدلال کرد)، دیدگاه اویلر به سرعت به رسمیت شناخته شد.

جداول لگاریتمی

جداول لگاریتمی

از خصوصیات لگاریتم چنین بر می آید که به جای ضرب پر زحمت اعداد چند رقمی، کافی است (از جداول) لگاریتم آنها را پیدا کرده و آنها را جمع کنید و سپس از همان جداول برای انجام استفاده کنید. تقویتیعنی مقدار نتیجه را با لگاریتم آن بیابید. انجام تقسیم تنها از این جهت متفاوت است که لگاریتم ها کم می شوند. لاپلاسگفت که اختراع لگاریتم "عمر اخترشناسان را طولانی کرد" و روند محاسبات را چندین برابر سرعت بخشید.

هنگام انتقال نقطه اعشار در یک عدد به nرقم، مقدار لگاریتم اعشاری این عدد تغییر می کند n. به عنوان مثال، log8314.63 = log8.31463 + 3. بنابراین، ایجاد جدول لگاریتم اعشاری برای اعداد در محدوده 1 تا 10 کافی است.

اولین جداول لگاریتم توسط جان ناپیر منتشر شد. 1614 ) و آنها فقط حاوی لگاریتم های توابع مثلثاتی و با خطا بودند. دوست بورگی، مستقل از او، جداول او را منتشر کرد کپلر (1620 ). که در 1617 آکسفورداستاد ریاضی هنری بریگزجداول منتشر شده که قبلاً شامل لگاریتم اعشاری خود اعداد، از 1 تا 1000، با 8 (بعدها 14) رقم است. اما در جداول بریگز نیز خطاهایی وجود داشت. اولین نسخه بدون خطا بر اساس جداول Vega ( 1783 ) فقط در ظاهر شد 1857در برلین (جدول برمیور).

در روسیه، اولین جداول لگاریتم منتشر شد 1703ستاره دار L. F. Magnitsky. چندین مجموعه از جداول لگاریتمی در اتحاد جماهیر شوروی منتشر شد.

بردیس وی. ام. جداول ریاضی چهار رقمی چاپ چهل و چهارم، م.، 1973.

میزهای بردیس ( 1921 ) در استفاده شد موسسات آموزشیو در محاسبات مهندسی که نیاز به دقت بالایی ندارد. آنها را شامل می شد مانتیسلگاریتم های اعشاری اعداد و توابع مثلثاتی، لگاریتم های طبیعی و برخی ابزارهای محاسبه مفید دیگر.

ادبیات

Uspensky Ya V. مقاله در مورد تاریخ لگاریتم. پتروگراد، 1923. −78 ص.

ویگودسکی ام. یا. کتاب راهنمای ریاضیات ابتدایی. - M.: AST، 2003. - شابک 5-17-009554-6

تاریخ ریاضیات، ویرایش شده توسط A. P. Yushkevichدر سه جلد، M.: Nauka.

جلد 1 از دوران باستان تا آغاز دوران مدرن. (1970)روانشناسی به عنوان یک علم مستقل (2) چکیده >> روانشناسی

اهداف اصلی موضوع داستان هاروانشناسی 1. تجزیه و تحلیل خروج، اورژانسو پیشرفتهای بعدی... احساسات متناسب هستند لگاریتمشدت محرک: برای... انجام عمل، شرطی خروج، اورژانسنیاز به حل یک مشکل؛ - هدف...

• داستانروانشناسی (10)

  چکیده >> روانشناسی

  خاستگاه روان فیزیک شد. جدول لگاریتم هامعلوم شد که برای پدیده های ذهنی قابل استفاده است ... که ریشه غرایز به آن باز می گردد تاریخگونه‌ها، بدون آن‌ها، زنده... شکسته»، که مربوط به هر پدیده دردناکی است. خروج، اورژانسگرایش های جدید روانشناسی، جامعه شناسی ...

• داستانروانشناسی به عنوان یک علم مستقل (1)

  برگه تقلب >> روانشناسی

  فعالیت ها: اهداف اصلی موضوع داستان هاروانشناسی 1. دیالیز خروج، اورژانسو توسعه بیشتر دانش علمی... این است که شدت حس متناسب باشد لگاریتمشدت محرک: به منظور...

• داستانروانشناسی اجتماعی (2)

  برگه تقلب >> روانشناسی

  که بزرگی حس متناسب است لگاریتمشدت محرک فعلی (... قرن بیستم برای اولین بار در داستان هاروانشناسان سعی کردند به طور تجربی ... شناسایی علل و شرایط خاص را بررسی کنند خروج، اورژانسروان رنجوری، جدایی به یک خاص...

تابع لگاریتمی

یک تابع لگاریتمی تابعی از شکل f(x) = logax است که در تعریف شده است

دامنه: . محدوده مقادیر: . این تابع برای یک > 1 به شدت افزایش می یابد و برای 0 به شدت کاهش می یابد< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

خط مستقیم x = 0 یک مجانب عمودی سمت چپ است، زیرا برای 1 > و برای 0< a < 1.

مشتق تابع لگاریتمی برابر است با:

تابع لگاریتمی یک هم شکلی بین گروه ضربی اعداد حقیقی مثبت و گروه جمعی همه اعداد حقیقی انجام می دهد.

لگاریتم پیچیده

تعریف و خواص

برای اعداد مختلط، لگاریتم به همان صورت واقعی تعریف می شود. در عمل، لگاریتم مختلط طبیعی تقریباً به طور انحصاری استفاده می شود، که ما آن را به عنوان مجموعه ای از تمام اعداد مختلط z تعریف و تعریف می کنیم به طوری که ez = w. لگاریتم مختلط برای هر کسی وجود دارد، و بخش واقعی آن به طور منحصربه‌فرد تعیین می‌شود، در حالی که بخش خیالی دارای تعداد نامتناهی است. به همین دلیل به آن تابع چند ارزشی می گویند. اگر w را به صورت نمایی نمایش دهیم:

سپس لگاریتم با فرمول پیدا می شود:

در اینجا یک لگاریتم واقعی است، r = | w | ، k یک عدد صحیح دلخواه است. مقداری که با k = 0 به دست می آید، مقدار اصلی لگاریتم طبیعی پیچیده نامیده می شود. مرسوم است که مقدار آرگومان را در بازه (? р,р] می گیریم. تابع متناظر (از قبل تک مقداری) شاخه اصلی لگاریتم نامیده می شود و نشان داده می شود. گاهی اوقات مقدار لگاریتم که ندارد دروغ روی شاخه اصلی نیز با نشان داده می شود.

از فرمول به دست می آید:

بخش واقعی لگاریتم با فرمول تعیین می شود:

لگاریتم یک عدد منفی با استفاده از فرمول بدست می آید.

تابع نمایی یک متغیر واقعی (با پایه مثبت) در چند مرحله تعیین می شود. اول، برای ارزش های طبیعی - به عنوان محصول عوامل مساوی. سپس این تعریف به اعداد صحیح منفی و مقادیر غیر صفر توسط قوانین گسترش می یابد. بعد در نظر می گیریم شاخص های کسری، که برای آن مقدار تابع نمایی با استفاده از ریشه تعیین می شود: . برای مقادیر غیرمنطقی، تعریف از قبل با مفهوم اصلی تجزیه و تحلیل ریاضی مرتبط است - با عبور از حد، به دلایل تداوم. همه این ملاحظات به هیچ وجه برای تلاش برای گسترش تابع نمایی به مقادیر پیچیده نشانگر قابل اعمال نیستند و مثلاً اینکه چه چیزی است کاملاً نامشخص است.

برای اولین بار، یک توان با یک توان پیچیده با یک پایه طبیعی توسط اویلر بر اساس تجزیه و تحلیل تعدادی از ساختارهای حساب انتگرال معرفی شد. گاهی اوقات عبارات جبری بسیار مشابه، هنگامی که یکپارچه می شوند، پاسخ های کاملا متفاوتی می دهند:

در همان زمان، در اینجا انتگرال دوم به طور رسمی از اولی به دست می آید که با جایگزین شود

از این جا می توان نتیجه گرفت که با تعریف صحیح تابع نمایی با نمایی مختلط، توابع مثلثاتی معکوس با لگاریتم ها مرتبط می شوند و بنابراین تابع نمایی به مثلثاتی مربوط می شود.

اویلر شجاعت و تخیل را داشت که یک تعریف معقول برای یک تابع نمایی با پایه ارائه دهد، یعنی:

این یک تعریف است و بنابراین نمی توان این فرمول را اثبات کرد. تحلیل ریاضی استدلال های زیادی از این دست ارائه می دهد. ما خود را به یک مورد محدود می کنیم.

مشخص است که برای واقعی یک رابطه محدود کننده وجود دارد: . در سمت راست یک چند جمله ای وجود دارد که برای مقادیر مختلط برای . حد یک دنباله از اعداد مختلط به طور طبیعی تعیین می شود. دنباله ای همگرا در نظر گرفته می شود که دنباله های قسمت های واقعی و خیالی همگرا شوند و پذیرفته شوند.

بیا پیداش کنیم برای این کار به فرم مثلثاتی روی می آوریم و برای آرگومان مقادیری را از بازه انتخاب می کنیم. با این انتخاب مشخص است که برای . به علاوه،

برای رفتن به حد، باید وجود محدودیت‌هایی را برای و پیدا کردن این محدودیت‌ها تأیید کنید. واضح است که

بنابراین، در بیان

بخش واقعی به این گرایش دارد، بخش خیالی به آن گرایش دارد

این آرگومان ساده یکی از استدلال ها را به نفع تعریف اویلر از تابع نمایی ارائه می کند.

اکنون اجازه دهید مشخص کنیم که هنگام ضرب مقادیر یک تابع نمایی، توان ها با هم جمع می شوند. واقعا:

2. فرمول های اویلر.

اجازه دهید در تعریف تابع نمایی قرار دهیم. ما گرفتیم:

با جایگزینی b با -b، دریافت می کنیم

با جمع و تفریق این برابری ها به صورت ترم، فرمول ها را پیدا می کنیم

فرمول های اویلر نامیده می شود. بین آنها ارتباط برقرار می کنند توابع مثلثاتیو نمایی با توان های خیالی.

3. لگاریتم طبیعی یک عدد مختلط.

یک عدد مختلط که به شکل مثلثاتی داده می‌شود را می‌توان به صورت نمایی نوشت. او همه چیز را نجات می دهد خواص خوبفرم مثلثاتی، اما حتی مختصرتر. بعلاوه، بنابراین طبیعی است که فرض کنیم قسمت واقعی لگاریتم یک عدد مختلط لگاریتم مدول آن است و قسمت خیالی استدلال آن است. این تا حدی خاصیت "لگاریتمی" استدلال را توضیح می دهد - آرگومان محصول برابر با مجموع استدلال های عوامل است.