معادله خطی که از یک نقطه می گذرد، معادله خطی که از دو نقطه می گذرد، زاویه بین دو خط، شیب یک خط. معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد. در مقاله" " من به شما قول دادم که با توجه به نمودار یک تابع و مماس بر این نمودار، به راه دوم برای حل مسائل ارائه شده در یافتن مشتق نگاه کنید. در مورد این روش بحث خواهیم کرد ، از دست نده! چرادر بعدی؟

واقعیت این است که فرمول معادله یک خط مستقیم در آنجا استفاده خواهد شد. البته ما به سادگی می توانیم این فرمول را نشان دهیم و به شما توصیه کنیم که آن را یاد بگیرید. اما بهتر است توضیح دهید که از کجا آمده است (چگونه مشتق شده است). لازم است! اگر آن را فراموش کردید، می توانید به سرعت آن را بازیابی کنیددشوار نخواهد بود. همه چیز در زیر به تفصیل بیان شده است. بنابراین، ما دو نقطه A در صفحه مختصات داریم(x 1; y 1) و B(x 2;y 2)، یک خط مستقیم از طریق نقاط نشان داده شده ترسیم می شود:

در اینجا خود فرمول مستقیم است:

*یعنی هنگام تعویض مختصات مشخص نقاط، معادله ای به شکل y=kx+b به دست می آید.

**اگر شما به سادگی این فرمول را "به خاطر بسپارید"، احتمال اشتباه گرفتن با شاخص ها وجود دارد. ایکس. علاوه بر این، شاخص ها را می توان به روش های مختلفی تعیین کرد، به عنوان مثال:

به همین دلیل است که درک معنای آن مهم است.

حالا اشتقاق این فرمول. همه چیز خیلی ساده است!

مثلث های ABE و ACF از نظر زاویه تند شبیه هم هستند (نخستین نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه). از این نتیجه می شود که نسبت عناصر مربوطه برابر است، یعنی:

اکنون به سادگی این بخش ها را از طریق تفاوت در مختصات نقاط بیان می کنیم:

البته، اگر روابط عناصر را به ترتیب دیگری بنویسید، هیچ خطایی وجود نخواهد داشت (نکته اصلی حفظ ثبات است):

نتیجه همان معادله خط خواهد بود. این همه است!

یعنی مهم نیست که خود نقاط (و مختصات آنها) چگونه تعیین می شوند، با درک این فرمول همیشه معادله یک خط مستقیم را خواهید یافت.

فرمول را می توان با استفاده از خواص بردارها به دست آورد، اما اصل اشتقاق یکسان خواهد بود، زیرا ما در مورد تناسب مختصات آنها صحبت خواهیم کرد. در این مورد، همان شباهت مثلث های قائم الزاویه کار می کند. به نظر من، نتیجه ای که در بالا توضیح داده شد واضح تر است)).

مشاهده خروجی با استفاده از مختصات برداری >>>

بگذارید یک خط مستقیم بر روی صفحه مختصات ایجاد شود که از دو نقطه داده شده A(x 1;y 1) و B(x2;y 2) می گذرد. اجازه دهید یک نقطه دلخواه C روی خط را با مختصات ( ایکس; y). ما همچنین دو بردار را نشان می دهیم:

مشخص است که برای بردارهایی که روی خطوط موازی (یا روی همان خط) قرار دارند، مختصات مربوطه آنها متناسب است، یعنی:

- برابری نسبت های مختصات مربوطه را می نویسیم:

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه با مختصات (2;5) و (7:3) می گذرد را بیابید.

شما حتی مجبور نیستید خود خط مستقیم را بسازید. ما فرمول را اعمال می کنیم:

مهم است که هنگام تنظیم نسبت، مکاتبات را درک کنید. اگر بنویسید نمی توانید اشتباه کنید:

پاسخ: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

برای اینکه مطمئن شوید معادله حاصل به درستی پیدا شده است، حتما بررسی کنید - مختصات داده ها را در شرایط نقاط در آن جایگزین کنید. معادلات باید درست باشد.

همین. امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.

با احترام، اسکندر.

P.S. اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی به من بگویید ممنون می شوم.

بردار جهت دهنده خط مستقیم lهر بردار غیر صفر ( متر, n) به موازات این خط.

اجازه دهید نقطه داده شده م 1 (ایکس 1 , y 1) و بردار جهت ( متر, n) سپس معادله خطی که از نقطه عبور می کند م 1 در جهت بردار به نظر می رسد: . این معادله را معادله متعارف خط می نامند.

مثال.معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

معادله خط مورد نظر را به شکل زیر جستجو می کنیم: تبر + با + سی= 0. معادله متعارف خط راست را یادداشت کرده و تبدیل می کنیم. ما گرفتیم x + y - 3 = 0

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد

بگذارید دو امتیاز در هواپیما داده شود م 1 (ایکس 1 , y 1) و م 2 (ایکس 2, y 2) سپس معادله خطی که از این نقاط می گذرد به شکل زیر است: . اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد.

مثال.معادله خطی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

با استفاده از فرمول نوشته شده در بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و شیب

اگر معادله کلیسر راست آه + وو + اس= 0 به شکل: کاهش می یابد و با نشان داده می شود، سپس معادله حاصل معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای k نامیده می شود.

معادله یک خط در پاره ها

اگر در معادله کلی خط مستقیم آه + وو + اس= ضریب 0 با¹ 0، سپس با تقسیم بر C، به دست می آوریم: یا کجا

معنای هندسیضرایب است که ضریب آمختصات نقطه تقاطع خط با محور است اوه، آ ب- مختصات نقطه تقاطع خط مستقیم با محور OU.

مثال.معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است ایکس – در+ 1 = 0. معادله این خط را به صورت پاره پاره پیدا کنید. A = -1، B = 1، C = 1، سپس آ = -1, ب= 1. معادله یک خط مستقیم در پاره ها به شکل .

مثال.رئوس مثلث A(0; 1)، B(6; 5)، C(12; -1) آورده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

معادله ضلع AB را پیدا می کنیم: ;

4ایکس = 6y– 6; 2ایکس – 3y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نیاز به شکل زیر است: تبر + با + سی= 0 یا y = kx + b.

ک= سپس y= زیرا ارتفاع از نقطه C می گذرد، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند: جایی که ب= 17. مجموع: .

جواب: 3 ایکس + 2y – 34 = 0.

درس عملی №7

نام درس: منحنی های مرتبه دوم

هدف درس:آموزش رسم منحنی های مرتبه دوم و ساختن آنها.

آمادگی برای درس:مرور مطالب نظری با موضوع "منحنی های مرتبه دوم"

ادبیات:

1. دادایان ع.ع. "ریاضیات"، 2004

تکلیف درس:

مراحل اجرای درس:

1. اجازه کار بگیرید
2. وظایف را کامل کنید
3. به سوالات امنیتی جواب بدهید.

1. نام، هدف درس، وظیفه؛
2. کار انجام شده؛
3. پاسخ به سوالات امنیتی

سوالات تستی برای تست زنی:

1. منحنی های مرتبه دوم (دایره، بیضی، هذلولی، سهمی) را تعریف کنید، معادلات متعارف آنها را بنویسید.
2. خروج از مرکز یک بیضی یا هذلولی چقدر است؟ چگونه آن را پیدا کنیم؟
3. معادله هذلولی متساوی الاضلاع را بنویسید

کاربرد

محیطمجموعه تمام نقاط صفحه است که از یک نقطه به نام مرکز فاصله دارند.

بگذارید مرکز دایره یک نقطه باشد در باره(آ؛ ب) و فاصله تا هر نقطه م(x;y) دایره برابر است آر. سپس ( x–a) 2 + (y–b) 2 = آر 2- معادله متعارف دایره با مرکز در باره(آ؛ ب) و شعاع آر.

مثال.مختصات مرکز و شعاع دایره را در صورتی بیابید که معادله آن به شکل زیر باشد: 2 ایکس 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

برای یافتن مختصات مرکز و شعاع دایره، این معادله باید به شکل متعارف کاهش یابد. برای این کار مربع های کامل را انتخاب کنید:

ایکس 2 + y 2 – 4ایکس + 2,5y – 2 = 0

ایکس 2 – 4ایکس + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(ایکس– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(ایکس – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

از اینجا مختصات مرکز را پیدا می کنیم در باره(2; -5/4); شعاع آر = 11/4.

بیضیمجموعه ای از نقاط در یک صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده (که کانون نامیده می شود) مقدار ثابتی بزرگتر از فاصله بین کانون ها است.

فوکوس ها با حروف مشخص می شوند اف 1 , اف با، مجموع فواصل هر نقطه از بیضی تا کانون 2 است آ (2آ > 2ج), آ- محور نیمه اصلی؛ ب– محور نیمه فرعی

معادله متعارف بیضی به شکل زیر است: ، جایی که آ, بو جبا برابری های زیر مرتبط می شوند: a 2 – b 2 = c 2 (یا b 2 – a 2 = c 2).

شکل بیضی با مشخصه ای مشخص می شود که نسبت فاصله کانونی به طول محور اصلی است و خروج از مرکز نامیده می شود. یا .

زیرا طبق تعریف 2 آ> 2ج، سپس خروج از مرکز همیشه به عنوان یک کسر مناسب بیان می شود، یعنی. .

مثال.معادله ای برای بیضی بنویسید اگر کانون های آن F 1 (0; 0)، F 2 (1; 1) باشد. محور اصلیبرابر 2.

معادله بیضی به شکل زیر است: .

فاصله فوکوس: 2 ج= ، بدین ترتیب، آ 2 – ب 2 = ج 2 = . طبق شرط 2 آ= 2، بنابراین، آ = 1, ب= معادله مورد نیاز بیضی به شکل زیر در می آید: .

هایپربولیمجموعه ای از نقاط در یک صفحه است که تفاوت فاصله هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده که کانون نامیده می شود، مقدار ثابتی کمتر از فاصله بین کانون ها است.

معادله متعارف هذلولی به شکل زیر است: یا کجا آ, بو جبا برابری مرتبط است a 2 + b 2 = c 2 .هذلولی در مورد وسط قطعه ای که کانون ها را به هم وصل می کند و در مورد محورهای مختصات متقارن است. فوکوس ها با حروف مشخص می شوند اف 1 , اف 2، فاصله بین فوکوس ها - 2 با، اختلاف فاصله از هر نقطه هذلولی تا کانون 2 است آ (2آ < 2ج). محور 2 آبه نام محور واقعی هذلولی، محور 2 ب- محور خیالی هذلولی. هذلولی دو مجانب دارد که معادلات آنها عبارتند از

خروج از مرکز هذلولی نسبت فاصله بین کانون ها به طول محور واقعی است: یا. زیرا طبق تعریف 2 آ < 2ج، سپس خروج از مرکز هذلولی همیشه به عنوان یک کسر نامناسب بیان می شود، یعنی. .

اگر طول محور واقعی برابر با طول محور فرضی باشد، یعنی. a = b, ε = ، سپس هذلولی نامیده می شود متساوی الاضلاع.

مثال.معادله متعارف هذلولی را بسازید که گریز از مرکز آن 2 باشد و کانون های آن با کانون های بیضی با معادله منطبق باشد.

پیدا کردن فاصله کانونی ج 2 = 25 – 9 = 16.

برای هذلولی: ج 2 = آ 2 + ب 2 = 16, ε = c/a = 2; ج = 2آ; ج 2 = 4آ 2 ; آ 2 = 4; ب 2 = 16 – 4 = 12.

سپس معادله مورد نیاز هذلولی است.

سهمیمجموعه ای از نقاط در صفحه است که از یک نقطه معین فاصله مساوی دارند که کانون نامیده می شود و یک خط معین به نام جهات.

تمرکز سهمی با حرف نشان داده می شود اف، کارگردان - دفاصله از فوکوس تا جهت – آر.

معادله متعارف سهمی که کانون آن روی محور x قرار دارد به شکل زیر است:

y 2 = 2pxیا y 2 = -2px

ایکس = -پ/2, ایکس = پ/2

معادله متعارف سهمی که کانون آن روی محور ارتجاعی قرار دارد به شکل زیر است:

ایکس 2 = 2ruیا ایکس 2 = -2ru

معادلات Directrix به ترتیب در = -پ/2, در = پ/2

مثال.روی سهمی در 2 = 8ایکسنقاطی را پیدا کنید که فاصله آنها از جهت 4 باشد.

از معادله سهمی به این نتیجه میرسیم آر = 4. r = x + پ/2 = 4; از این رو:

ایکس = 2; y 2 = 16; y= 4±. نقاط جستجو شده: م 1 (2; 4), م 2 (2; -4).

درس عملی شماره 8

نام درس: اقدامات در اعداد مختلطبه شکل جبری تفسیر هندسی اعداد مختلط.

هدف درس:آموزش انجام عملیات روی اعداد مختلط

آمادگی برای درس:مطالب نظری را با موضوع "اعداد مختلط" مرور کنید.

ادبیات:

1. گریگوریف V.P., Dubinsky Yu.A. "عناصر ریاضیات بالاتر"، 2008

تکلیف درس:

1. محاسبه:

1) من 145 + من 147 + من 264 + من 345 + من 117 ;

2) (من 64 + من 17 + من 13 + من 82)·( من 72 – من 34);

در این مقاله یاد می گیریم که چگونه معادلات یک خط مستقیم را بسازیم این نقطهدر صفحه ای عمود بر یک خط معین. بیایید اطلاعات نظری را مطالعه کرده و ارائه کنیم نمونه های گویا، جایی که نوشتن چنین معادله ای ضروری است.

Yandex.RTB R-A-339285-1

قبل از یافتن معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک خط معین می گذرد. قضیه در دبیرستان. از طریق یک نقطه معین که روی یک صفحه قرار دارد، می توان یک خط مستقیم را عمود بر نقطه داده شده رسم کرد. اگر فضای سه بعدی وجود داشته باشد، تعداد این خطوط تا بی نهایت افزایش می یابد.

تعریف 1

اگر صفحه α از نقطه معینی M 1 عمود بر یک خط معین b عبور کند، آنگاه خطوط واقع در این صفحه، از جمله آن که از M 1 می گذرد، بر خط مستقیم داده شده b عمود هستند.

از اینجا می توان به این نتیجه رسید که ترسیم معادله برای خطی که از نقطه معینی عمود بر یک خط معین می گذرد فقط برای حالت یک صفحه قابل استفاده است.

مسائل مربوط به فضای سه بعدی شامل جستجوی معادله صفحه ای است که از نقطه ای عمود بر یک خط معین عبور می کند.

اگر در صفحه ای با سیستم مختصات O x y z یک خط مستقیم داشته باشیم، آنگاه با معادله خط مستقیم در صفحه مطابقت دارد، نقطه ای با مختصات M 1 (x 1، y 1) مشخص می شود و برای ایجاد معادله ای از خط مستقیم a که از نقطه M 1 می گذرد و عمود بر خط مستقیم b می باشد ضروری است.

با شرط، مختصات نقطه M 1 را داریم. برای نوشتن معادله خط مستقیم باید مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم a یا مختصات بردار معمولی خط مستقیم a یا ضریب زاویه ای خط مستقیم a را داشته باشید.

نیاز به دریافت داده از معادله داده شدهمستقیم ب . طبق شرط، خطوط a و b عمود هستند، به این معنی که بردار جهت خط b بردار معمولی خط a در نظر گرفته می شود. از اینجا دریافتیم که ضرایب زاویه ای به صورت k b و k a نشان داده می شوند. آنها با استفاده از رابطه k b · k a = - 1 مرتبط هستند.

ما دریافتیم که بردار جهت خط مستقیم b به شکل b → = (b x, b y) است، بنابراین بردار نرمال n a → = (A 2, B 2) است، که در آن مقادیر A 2 = b x, B هستند. 2 = b y. سپس معادله کلی خطی را که از نقطه عبور می کند با مختصات M 1 (x 1 , y 1) می نویسیم که دارای بردار نرمال n a → = (A 2 , B 2) است که به شکل A 2 (x - x 1 است. ) + B 2 (y - y 1) = 0 .

بردار معمولی خط b تعریف شده است و به شکل nb → = (A 1, B 1) است، سپس بردار جهت خط a بردار a → = (a x, a y) است که مقادیر آن x = است. A 1، a y = B 1. این به این معنی است که باید یک معادله متعارف یا پارامتری از یک خط مستقیم a را بسازیم که از نقطه ای با مختصات M 1 (x 1, y 1) با بردار جهت a → = (a x, a y) می گذرد که شکل x دارد. - x 1 a x = y - y 1 a y یا x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ به ترتیب.

پس از یافتن شیب k b خط مستقیم b، می توانید شیب خط مستقیم a را محاسبه کنید. برابر با - 1 kb خواهد بود. از این رو می توانیم معادله یک خط مستقیم a را که از M 1 (x 1 , y 1) می گذرد با ضریب زاویه ای - 1 kb به شکل y - y 1 = - 1 k b · (x - x 1) بنویسیم. .

معادله حاصل از یک خط مستقیم که از نقطه معینی از صفحه عمود بر نقطه داده شده عبور می کند. اگر شرایط ایجاب می کند، می توانید به شکل دیگری از این معادله بروید.

حل مثال ها

بیایید تشکیل معادله یک خط مستقیم را در نظر بگیریم که از نقطه معینی از صفحه می گذرد و عمود بر یک خط مستقیم معین است.

مثال 1

معادله خط a را بنویسید که از نقطه ای با مختصات M 1 (7، - 9) می گذرد و بر خط b عمود است که با معادله متعارف خط x - 2 3 = y + 4 1 به دست می آید.

راه حل

از این شرط داریم که b → = (3، 1) بردار جهت خط مستقیم x - 2 3 = y + 4 1 است. مختصات بردار b → = 3، 1 مختصات بردار معمولی خط a هستند، زیرا خطوط a و b متقابل بر هم عمود هستند. این بدان معنی است که ما n a → = (3، 1) را دریافت می کنیم. اکنون لازم است معادله خطی را که از نقطه M 1 می گذرد (7، - 9) بنویسیم که دارای بردار نرمال با مختصات n a → = (3، 1) است.

معادله ای به شکل بدست می آوریم: 3 · (x - 7) + 1 · (y - (- 9)) = 0 ⇔ 3 x + y - 12 = 0

معادله حاصل معادله مورد نظر است.

پاسخ: 3 x + y - 12 = 0.

مثال 2

معادله ای برای خط مستقیمی بنویسید که از مبدا سیستم مختصات O x y z عمود بر خط مستقیم 2 x - y + 1 = 0 می گذرد.

راه حل

داریم که n b → = (2, - 1) بردار عادی خط داده شده است. از این رو a → = (2، - 1) مختصات بردار هدایت کننده مورد نظر خط مستقیم هستند.

اجازه دهید معادله خط مستقیمی را که از مبدا می گذرد با بردار جهت a → = (2, - 1) ثابت کنیم. دریافت می کنیم که x - 0 2 = y + 0 - 1 ⇔ x 2 = y - 1 . عبارت حاصل معادله خطی است که از مبدا مختصات عمود بر خط 2 x - y + 1 = 0 عبور می کند.

پاسخ: x 2 = y - 1.

مثال 3

معادله خطی را بنویسید که از نقطه ای با مختصات M 1 (5, - 3) عمود بر خط y = - 5 2 x + 6 می گذرد.

راه حل

از معادله y = - 5 2 x + 6 شیب مقدار - 5 2 دارد. ضریب زاویه ای یک خط مستقیم که عمود بر آن است دارای مقدار - 1 - 5 2 = 2 5 است. از اینجا نتیجه می گیریم که خطی که از نقطه ای با مختصات M 1 (5, - 3) عمود بر خط y = - 5 2 x + 6 می گذرد برابر است با y - (- 3) = 2 5 x - 5 ⇔ y = 2 5 x - 5 .

پاسخ: y = 2 5 x - 5 .

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

بگذارید خط از نقاط M 1 (x 1; y 1) و M 2 (x 2; y 2) عبور کند. معادله خط مستقیمی که از نقطه M 1 می گذرد به شکل y-y 1 = است ک (x - x 1)، (10.6)

جایی که ک - ضریب هنوز ناشناخته.

از آنجایی که خط مستقیم از نقطه M 2 می گذرد (x 2 y 2)، مختصات این نقطه باید معادله (10.6) را برآورده کند: y 2 -y 1 = ک (x 2 - x 1).

از اینجا جایگزینی مقدار یافت شده را پیدا می کنیم ک در رابطه (10.6)، معادله خط مستقیمی را که از نقاط M 1 و M 2 می گذرد، بدست می آوریم:

فرض بر این است که در این معادله x 1 ≠ x 2، y 1 ≠ y 2

اگر x 1 = x 2، آنگاه خط مستقیمی که از نقاط M 1 (x 1,y I) و M 2 (x 2,y 2) می گذرد با محور ارتجاعی موازی است. معادله آن است x = x 1 .

اگر y 2 = y I، معادله خط را می توان به صورت y = y 1 نوشت، خط مستقیم M 1 M 2 موازی با محور آبسیسا است.

معادله یک خط در پاره ها

بگذارید خط مستقیم محور Ox را در نقطه M 1 (a;0) و محور Oy را در نقطه M 2 (0;b) قطع کند. معادله به شکل زیر خواهد بود:
آن ها
. این معادله نامیده می شود معادله یک خط مستقیم در پاره ها، زیرا اعداد a و b نشان می دهد که خط کدام بخش ها را در محورهای مختصات قطع می کند.

معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد

اجازه دهید معادله خط مستقیمی را پیدا کنیم که از نقطه معینی می گذرد Mo (x O; y o) عمود بر یک بردار غیر صفر معین n = (A; B).

بیایید یک نقطه دلخواه M(x; y) روی خط بگیریم و بردار M 0 M (x - x 0; y - y o) را در نظر بگیریم (شکل 1 را ببینید). از آنجایی که بردارهای n و M o M عمود هستند، حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است:

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

معادله (8/10) نامیده می شود معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد .

بردار n= (A; B)، عمود بر خط، نرمال نامیده می شود بردار معمولی این خط .

معادله (10.8) را می توان به صورت بازنویسی کرد Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

که در آن A و B مختصات بردار نرمال هستند، C = -Ax o - Vu o عبارت آزاد است. معادله (10.9) معادله کلی خط است(شکل 2 را ببینید).

Fig.1 Fig.2

معادلات متعارف خط

,

جایی که
- مختصات نقطه ای که خط از آن عبور می کند، و
- بردار جهت

دایره منحنی مرتبه دوم

دایره مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که از یک نقطه معین فاصله دارند که مرکز نامیده می شود.

معادله متعارف یک دایره با شعاع آر در یک نقطه متمرکز شده است
:

به طور خاص، اگر مرکز پایه با مبدأ مختصات منطبق باشد، معادله به شکل زیر خواهد بود:

بیضی

بیضی مجموعه ای از نقاط روی صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده است. و که کانون نامیده می شود، یک کمیت ثابت است
، بیشتر از فاصله بین کانون ها است
.

معادله متعارف بیضی که کانون‌های آن روی محور Ox قرار دارند و مبدأ مختصات در وسط بین کانون‌ها به شکل است.
جی deآ طول محور نیمه اصلی؛ب - طول محور نیمه فرعی (شکل 2).

بگذارید دو امتیاز داده شود م(ایکس 1 ,U 1) و ن(ایکس 2,y 2). بیایید معادله خطی که از این نقاط می گذرد را پیدا کنیم.

از آنجایی که این خط از نقطه عبور می کند م، سپس طبق فرمول (1.13) معادله آن شکل می گیرد

U – Y 1 = ک(X–x 1),

جایی که ک- ضریب زاویه ای مجهول.

مقدار این ضریب از شرایطی تعیین می شود که خط مستقیم مورد نظر از نقطه عبور کند ن، یعنی مختصات آن معادله (1.13) را برآورده می کند.

Y 2 – Y 1 = ک(ایکس 2 – ایکس 1),

از اینجا می توانید شیب این خط را پیدا کنید:

,

یا بعد از تبدیل

(1.14)

فرمول (1.14) تعیین می کند معادله خطی که از دو نقطه می گذرد م(ایکس 1, Y 1) و ن(ایکس 2, Y 2).

در مورد خاص که نقاط م(آ, 0), ن(0, ب), آ ¹ 0, ب¹ 0، روی محورهای مختصات دراز بکشید، معادله (1.14) شکل ساده تری خواهد داشت.

معادله (1.15)تماس گرفت معادله یک خط مستقیم در پاره ها، اینجا آو بقسمت هایی را که با یک خط مستقیم بر روی محورها قطع شده اند نشان دهید (شکل 1.6).

شکل 1.6

مثال 1.10. برای خطی که از نقاط می گذرد معادله بنویسید م(1، 2) و ب(3, –1).

. مطابق (1.14) معادله خط مورد نظر شکل دارد

2(Y – 2) = -3(ایکس – 1).

با انتقال تمام عبارت ها به سمت چپ، در نهایت معادله مورد نظر را به دست می آوریم

3ایکس + 2Y – 7 = 0.

مثال 1.11. برای خطی که از یک نقطه می گذرد معادله بنویسید م(2، 1) و نقطه تلاقی خطوط ایکس+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. مختصات نقطه تلاقی خطوط را با حل این معادلات با هم پیدا می کنیم

اگر این معادلات را ترم به ترم جمع کنیم عدد 2 بدست می آید ایکس+ 1 = 0، از آنجا . با جایگزینی مقدار یافت شده به هر معادله، مقدار ارتین را پیدا می کنیم U:

حالا معادله خط مستقیمی که از نقاط (2، 1) می گذرد را بنویسیم و:

یا .

بنابراین یا -5( Y – 1) = ایکس – 2.

در نهایت معادله خط مورد نظر را در فرم به دست می آوریم ایکس + 5Y – 7 = 0.

مثال 1.12. معادله خطی که از نقاط می گذرد را بیابید م(2.1) و ن(2,3).

با استفاده از فرمول (1.14) معادله را بدست می آوریم

منطقی نیست چون مخرج دوم صفر است. از شرایط مسئله مشخص می شود که ابسیساهای هر دو نقطه دارای ارزش یکسانی هستند. به این معنی که خط مستقیم مورد نظر موازی با محور است OYو معادله آن این است: ایکس = 2.

اظهار نظر . اگر هنگام نوشتن معادله یک خط مستقیم با استفاده از فرمول (1.14)، یکی از مخرج ها معلوم شود برابر با صفر، سپس با معادل سازی عدد مربوطه به صفر می توان معادله مورد نیاز را به دست آورد.

بیایید راه های دیگری برای تعریف یک خط در یک هواپیما در نظر بگیریم.

1. بگذارید یک بردار غیر صفر بر خط داده شده عمود باشد L، و اشاره کنید م 0(ایکس 0, Y 0) روی این خط قرار دارد (شکل 1.7).

شکل 1.7

بیایید نشان دهیم م(ایکس, Y) هر نقطه از یک خط L. بردارها و قائم. با استفاده از شرایط متعامد بودن این بردارها، یا را بدست می آوریم آ(ایکس – ایکس 0) + ب(Y – Y 0) = 0.

معادله خطی را که از یک نقطه می گذرد به دست آورده ایم م 0 عمود بر بردار است. این بردار نامیده می شود بردار معمولی به یک خط مستقیم L. معادله به دست آمده را می توان به صورت بازنویسی کرد

اوه + وو + با= 0، کجا با = –(آایکس 0 + توسط 0), (1.16),

جایی که آو که در- مختصات بردار نرمال.

معادله کلی خط را به صورت پارامتریک بدست می آوریم.

2. یک خط مستقیم در یک صفحه را می توان به صورت زیر تعریف کرد: بگذارید یک بردار غیر صفر موازی با خط مستقیم داده شده باشد. Lو دوره م 0(ایکس 0, Y 0) در این خط قرار دارد. بیایید دوباره یک نکته دلخواه را در نظر بگیریم م(ایکس، y) روی یک خط مستقیم (شکل 1.8).

شکل 1.8

بردارها و خطی

اجازه دهید شرط همخطی بودن این بردارها را بنویسیم: , Where تی- یک عدد دلخواه به نام پارامتر. بیایید این برابری را به صورت مختصات بنویسیم:

این معادلات نامیده می شوند معادلات پارامتریک سر راست. اجازه دهید پارامتر را از این معادلات حذف کنیم تی:

این معادلات را می توان در غیر این صورت نوشت

. (1.18)

معادله به دست آمده نامیده می شود معادله متعارف خط. بردار نامیده می شود بردار جهت مستقیم است .

اظهار نظر . به راحتی می توان فهمید که if بردار عادی خط است L، سپس بردار جهت آن می تواند بردار باشد زیرا , i.e.

مثال 1.13. معادله خطی که از یک نقطه می گذرد را بنویسید م 0 (1، 1) به موازات خط 3 ایکس + 2U– 8 = 0.

راه حل . بردار بردار عادی به خطوط داده شده و مورد نظر است. از معادله خطی که از یک نقطه می گذرد استفاده می کنیم م 0 با یک بردار معمولی 3( ایکس –1) + 2(U– 1) = 0 یا 3 ایکس + 2у– 5 = 0. معادله خط مورد نظر را به دست آوردیم.