Kako riješiti kvadratne jednadžbe pomoću diskriminante funkcije. Rješavanje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantima

KOMPLEKSNI BROJEVI XI

§ 253. Vađenje kvadratnih korijena iz negativnih brojeva.
Rješavanje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantima

Kao što znamo,

ja 2 = - 1.

U isto vrijeme

(- ja ) 2 = (- 1 ja ) 2 = (- 1) 2 ja 2 = -1.

Dakle, postoje najmanje dvije vrijednosti kvadratnog korijena od -1, naime ja i - ja . Ali možda postoje neki drugi kompleksni brojevi čiji su kvadrati jednaki - 1?

Da bismo razjasnili ovo pitanje, pretpostavimo da je kvadrat kompleksnog broja a + bi jednak je - 1. Zatim

(a + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2abi - b 2 = - 1

Dva su kompleksna broja jednaka ako i samo ako su im jednaki realni dijelovi i koeficijenti njihovih imaginarnih dijelova. Zato

{	A 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Prema drugoj jednadžbi sustava (1), barem jedan od brojeva A I b mora biti nula. Ako b = 0, tada iz prve jednadžbe dobivamo A 2 = - 1. Broj A stvarno, i stoga A 2 > 0. Nenegativan broj A 2 ne može biti jednako negativnom broju - 1. Dakle, jednakost b = 0 u ovom slučaju nije moguće. Ostaje da priznamo da A = 0, ali tada iz prve jednadžbe sustava dobivamo: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Stoga, kompleksni brojevičiji su kvadrati jednaki -1 samo su brojevi ja i - ja , Konvencionalno, ovo je napisano u obliku:

√-1 = ± ja .

Sličnim razmišljanjem učenici se mogu uvjeriti da postoje točno dva broja čiji su kvadrati jednaki negativnom broju - A . Takvi brojevi su √ a ja i -√ a ja . Konvencionalno se piše ovako:

√- A = ± √ a ja .

Pod √ a ovdje mislimo na aritmetički, odnosno pozitivni korijen. Na primjer, √4 = 2, √9 =.3; Zato

√-4 = + 2ja , √-9 = ± 3 ja

Ako smo prije, razmatrajući kvadratne jednadžbe s negativnim diskriminantima, govorili da takve jednadžbe nemaju korijena, sada to više ne možemo reći. Kvadratne jednadžbe s negativnim diskriminantima imaju kompleksne korijene. Ti se korijeni dobivaju prema nama poznatim formulama. Neka je, na primjer, dana jednadžba x 2 + 2x + 5 = 0; Zatim

x 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 ja .

Tako, dana jednadžba ima dva korijena: x 1 = - 1 +2ja , x 2 = - 1 - 2ja . Ovi su korijeni međusobno konjugirani. Zanimljivo je primijetiti da je njihov zbroj - 2, a umnožak 5, pa vrijedi Vietin teorem.

Vježbe

2022. (Skup br.) Riješite jednadžbe:

A) x 2 = - 16; b) x 2 = - 2; u 3 x 2 = - 5.

2023. Nađi sve kompleksne brojeve čiji su kvadrati jednaki:

A) ja ; b) 1/2 - √ 3/2 ja ;

2024. Riješite kvadratne jednadžbe:

A) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; V) x 2 - 14x + 74 = 0.

Riješite sustave jednadžbi (br. 2025, 2026):

{	*x+y* = 6 xy = 45

{	2x- 3g = 1 xy = 1

2027. Dokaži da su korijeni kvadratna jednadžba s realnim koeficijentima i negativnim diskriminantom su međusobno konjugirani.

2028. Dokažite da je Vietin teorem točan za sve kvadratne jednadžbe, a ne samo za jednadžbe s nenegativnom diskriminantom.

2029. Sastavite kvadratnu jednadžbu s realnim koeficijentima čiji su korijeni:

a) x 1 = 5 - ja , x 2 = 5 + ja ; b) x 1 = 3ja , x 2 = - 3ja .

2030. Sastavite kvadratnu jednadžbu s realnim koeficijentima čiji je jedan korijen jednak (3 - ja ) (2ja - 4).

2031. Sastavite kvadratnu jednadžbu s realnim koeficijentima čiji je jedan korijen jednak 32 - ja
1- 3ja .

Diskriminant je pojam s više vrijednosti. U ovom ćemo članku govoriti o diskriminaciji polinoma, koja vam omogućuje da odredite ima li dati polinom valjana rješenja. Formula za kvadratni polinom nalazi se u školskom tečaju algebre i analize. Kako pronaći diskriminant? Što je potrebno za rješavanje jednadžbe?

Kvadratni polinom ili jednadžba drugog stupnja naziva se i * w ^ 2 + j * w + k jednako je 0, gdje su "i" i "j" prvi odnosno drugi koeficijent, "k" je konstanta, koja se ponekad naziva "odbacivajući član", a "w" je varijabla. Njegovi korijeni će biti sve vrijednosti varijable na kojoj se pretvara u identitet. Takva jednakost može se prepisati kao umnožak i, (w - w1) i (w - w2) jednak 0. U ovom slučaju, očito je da ako koeficijent “i” ne postane nula, tada funkcija na lijeva strana će postati nula samo ako x uzme vrijednost w1 ili w2. Ove vrijednosti su rezultat postavljanja polinoma jednakog nuli.

Za pronalaženje vrijednosti varijable pri kojoj kvadratni polinom nestaje, koristi se pomoćna konstrukcija koja se temelji na njegovim koeficijentima i naziva se diskriminant. Ovaj dizajn izračunava se prema formuli D jednako j * j - 4 * i * k. Zašto se koristi?

Pokazuje postoje li valjani rezultati.
Ona ih pomaže izračunati.

Kako ova vrijednost pokazuje prisutnost pravih korijena:

Ako je pozitivan, tada se u području realnih brojeva mogu pronaći dva korijena.
Ako je diskriminant nula, tada su oba rješenja ista. Možemo reći da postoji samo jedno rješenje, a ono je iz područja realnih brojeva.
Ako diskriminant manje od nule, tada polinom nema pravih korijena.

Mogućnosti proračuna za osiguranje materijala

Za zbroj (7 * w^2; 3 * w; 1) jednak 0 Izračunavamo D pomoću formule 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, dobivamo -19. Diskriminativna vrijednost ispod nule označava da nema rezultata na stvarnoj liniji.

Ako 2 * w^2 - 3 * w + 1 smatramo ekvivalentom 0, tada se D izračunava kao (-3) na kvadrat minus umnožak brojeva (4; 2; 1) i iznosi 9 - 8, odnosno 1. Pozitivna vrijednost označava dva rezultata na pravoj liniji.

Ako uzmemo zbroj (w ^ 2; 2 * w; 1) i izjednačimo ga s 0, D se izračunava kao dva na kvadrat minus umnožak brojeva (4; 1; 1). Ovaj izraz će se pojednostaviti na 4 - 4 i ići na nulu. Ispostavilo se da su rezultati isti. Ako pažljivo pogledate ovu formulu, postat će vam jasno da je ovo "potpuni kvadrat". To znači da se jednakost može prepisati u obliku (w + 1) ^ 2 = 0. Postalo je očito da je rezultat u ovom problemu "-1". U situaciji kada je D jednako 0, lijeva strana jednakosti uvijek se može sažeti pomoću formule "kvadrat zbroja".

Korištenje diskriminante u izračunavanju korijena

Ova pomoćna konstrukcija ne samo da pokazuje broj stvarnih rješenja, već i pomaže u njihovom pronalaženju. Opća formula za izračun jednadžbe drugog stupnja je:

w = (-j +/- d) / (2 * i), gdje je d diskriminant na potenciju 1/2.

Recimo da je diskriminant ispod nule, tada je d imaginaran i rezultati su imaginarni.

D je nula, tada je d jednako D na potenciju 1/2 također nula. Rješenje: -j / (2 * i). Opet uzimajući u obzir 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, nalazimo rezultate ekvivalentne -2 / (2 * 1) = -1.

Pretpostavimo da je D > 0, tada je d realan broj, a odgovor se ovdje rastavlja na dva dijela: w1 = (-j + d) / (2 * i) i w2 = (-j - d) / (2 * i ) . Oba rezultata bit će važeća. Pogledajmo 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Ovdje su diskriminanta i d jedinice. Ispada da je w1 jednako (3 + 1) podijeljeno s (2 * 2) ili 1, a w2 jednako (3 - 1) podijeljeno s 2 * 2 ili 1/2.

Rezultat izjednačavanja kvadratnog izraza s nulom izračunava se prema algoritmu:

Utvrđivanje broja važećih rješenja.
Izračun d = D^(1/2).
Pronalaženje rezultata prema formuli (-j +/- d) / (2 * i).
Zamjena dobivenog rezultata u izvornu jednakost radi provjere.

Neki posebni slučajevi

Ovisno o koeficijentima, rješenje se može donekle pojednostaviti. Očito, ako je koeficijent varijable na drugu potenciju nula, tada se dobiva linearna jednakost. Kada je koeficijent varijable na prvu potenciju nula, tada su moguće dvije opcije:

polinom se proširuje u razliku kvadrata kada je slobodni član negativan;
za pozitivnu konstantu ne mogu se pronaći prava rješenja.

Ako je slobodni član nula, tada će korijeni biti (0; -j)

Ali postoje i drugi posebni slučajevi koji pojednostavljuju pronalaženje rješenja.

Reducirana jednadžba drugog stupnja

Datost se zove takav kvadratni trinom, gdje je koeficijent vodećeg člana jedan. Za ovu situaciju primjenjiv je Vietin teorem koji kaže da je zbroj korijena jednak koeficijentu varijable na prvu potenciju, pomnoženom s -1, a umnožak odgovara konstanti "k".

Prema tome, w1 + w2 jednako je -j i w1 * w2 jednako je k ako je prvi koeficijent jedan. Kako biste provjerili točnost ovog prikaza, možete izraziti w2 = -j - w1 iz prve formule i zamijeniti je u drugu jednakost w1 * (-j - w1) = k. Rezultat je izvorna jednakost w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Važno je napomenuti, da se i * w ^ 2 + j * w + k = 0 može postići dijeljenjem s “i”. Rezultat će biti: w^2 + j1 * w + k1 = 0, gdje je j1 jednako j/i, a k1 jednako k/i.

Pogledajmo već riješeno 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 s rezultatima w1 = 1 i w2 = 1/2. Trebamo ga podijeliti na pola, kao rezultat w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Provjerimo jesu li uvjeti teorema istiniti za pronađene rezultate: 1 + 1/2 = 3/ 2 i 1*1/2 = 1/2.

Čak i drugi faktor

Ako je faktor varijable na prvu potenciju (j) djeljiv s 2, tada će biti moguće pojednostaviti formulu i potražiti rješenje kroz četvrtinu diskriminante D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. ispada w = (-j +/- d/2) / i, gdje je d/2 = D/4 na potenciju 1/2.

Ako je i = 1, a koeficijent j je paran, tada će rješenje biti umnožak -1 i polovice koeficijenta varijable w, plus/minus korijen kvadrata ove polovice minus konstanta "k". Formula: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Viši diskriminantni red

Diskriminant trinoma drugog stupnja o kojem se gore govori najčešće se koristi poseban slučaj. U općem slučaju diskriminant polinoma je umnoženi kvadrati razlika korijena ovog polinoma. Prema tome, diskriminant jednak nuli označava prisutnost najmanje dva višestruka rješenja.

Razmotrimo i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Pretpostavimo da je diskriminant veći od nule. To znači da postoje tri korijena u području realnih brojeva. Na nuli postoji više rješenja. Ako D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Naš video će vam detaljno reći o izračunavanju diskriminante.

Niste dobili odgovor na svoje pitanje? Predložite temu autorima.

Nastavljamo proučavati temu " rješavanje jednadžbi" Već smo se upoznali s linearnim jednadžbama i prelazimo na upoznavanje kvadratne jednadžbe.

Prvo ćemo pogledati što je kvadratna jednadžba i kako se piše opći pogled, te dati povezane definicije. Nakon toga, koristit ćemo primjere kako bismo detaljno ispitali kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Prijeđimo na rješenje potpune jednadžbe, dobit ćemo formulu korijena, upoznati se s diskriminantom kvadratne jednadžbe te razmotriti rješenja tipičnih primjera. Na kraju, pratimo veze između korijena i koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Što je kvadratna jednadžba? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti što je kvadratna jednadžba. Stoga je logično razgovor o kvadratnim jednadžbama započeti definicijom kvadratne jednadžbe, kao i srodnim definicijama. Nakon toga možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: reducirane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a x 2 +b x+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a nije nula.

Recimo odmah da se kvadratne jednadžbe često nazivaju jednadžbama drugog stupnja. To je zbog činjenice da je kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugi stupanj.

Navedena definicija omogućuje nam davanje primjera kvadratnih jednadžbi. Dakle, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, itd. To su kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojke a, b i c nazivaju se koeficijenti kvadratne jednadžbe a·x 2 +b·x+c=0, a koeficijent a se naziva prvi, ili najveći, ili koeficijent od x 2, b je drugi koeficijent, ili koeficijent od x, a c je slobodni član .

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu oblika 5 x 2 −2 x −3=0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent jednak −2, a slobodni član jednak −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i/ili c negativni, kao u upravo danom primjeru, kratki oblik kvadratne jednadžbe je 5 x 2 −2 x−3=0 , umjesto 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Vrijedno je napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, oni obično nisu eksplicitno prisutni u kvadratnoj jednadžbi, što je zbog osobitosti pisanja takvih . Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y+3=0 vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent od y je jednak −1.

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Ovisno o vrijednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Navedimo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Naziva se kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 dana kvadratna jednadžba. Inače je kvadratna jednadžba netaknuta.

Prema ovu definiciju, kvadratne jednadžbe x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, itd. – dati, u svakom od njih prvi koeficijent jednako jedan. A 5 x 2 −x−1=0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe, čiji su vodeći koeficijenti različiti od 1.

Od bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem obje strane s vodećim koeficijentom, možete prijeći na reduciranu. Ova radnja je ekvivalentna transformacija, odnosno tako dobivena reducirana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao i originalna nereducirana kvadratna jednadžba ili, kao i ona, nema korijena.

Pogledajmo primjer kako se izvodi prijelaz s nereducirane kvadratne jednadžbe na reduciranu.

Primjer.

Od jednadžbe 3 x 2 +12 x−7=0 prijeđite na odgovarajuću reduciranu kvadratnu jednadžbu.

Riješenje.

Samo trebamo podijeliti obje strane izvorne jednadžbe s vodećim koeficijentom 3, on je različit od nule, tako da možemo izvesti ovu radnju. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, što je isto, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, a zatim (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, odakle je . Tako smo dobili reduciranu kvadratnu jednadžbu, koja je ekvivalentna izvornoj.

Odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Definicija kvadratne jednadžbe sadrži uvjet a≠0. Ovaj uvjet je neophodan kako bi jednadžba a x 2 + b x + c = 0 bila kvadratna, budući da kada je a = 0 ona zapravo postaje linearna jednadžba oblika b x + c = 0.

Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti jednaki nuli, pojedinačno i zajedno. U tim se slučajevima kvadratna jednadžba naziva nepotpunom.

Definicija.

Naziva se kvadratna jednadžba a x 2 +b x+c=0 nepotpun, ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.

Sa svoje strane

Definicija.

Potpuna kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.

Takva imena nisu data slučajno. To će postati jasno iz sljedećih rasprava.

Ako je koeficijent b nula, tada kvadratna jednadžba ima oblik a·x 2 +0·x+c=0, te je ekvivalentna jednadžbi a·x 2 +c=0. Ako je c=0, tj. kvadratna jednadžba ima oblik a·x 2 +b·x+0=0, tada se može prepisati kao a·x 2 +b·x=0. A s b=0 i c=0 dobivamo kvadratnu jednadžbu a·x 2 =0. Rezultirajuće jednadžbe razlikuju se od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže niti član s varijablom x, niti slobodni član, niti oboje. Otuda i njihov naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Dakle, jednadžbe x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0.2=0 su primjeri potpunih kvadratnih jednadžbi, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz podataka u prethodnom paragrafu proizlazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

a·x 2 =0, odgovaraju mu koeficijenti b=0 i c=0;
a x 2 +c=0 kada je b=0 ;
i a·x 2 +b·x=0 kada je c=0.

Ispitajmo redom kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svake od ovih vrsta.

a x 2 =0

Počnimo s rješavanjem nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno s jednadžbama oblika a x 2 =0. Jednadžba a·x 2 =0 ekvivalentna je jednadžbi x 2 =0 koja se dobiva iz izvorne dijeljenjem oba dijela s brojem a različitim od nule. Očito, korijen jednadžbe x 2 =0 je nula, budući da je 0 2 =0. Ova jednadžba nema drugih korijena, što se objašnjava činjenicom da za svaki broj p različit od nule vrijedi nejednakost p 2 >0, što znači da za p≠0 jednakost p 2 =0 nikada nije postignuta.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a·x 2 =0 ima jedan korijen x=0.

Kao primjer dajemo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4 x 2 =0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 =0, njen jedini korijen je x=0, dakle, izvorna jednadžba ima jedan nulti korijen.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se napisati na sljedeći način:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Pogledajmo sada kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b nula i c≠0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 +c=0. Znamo da premještanje člana s jedne strane jednadžbe na drugu sa suprotnim predznakom, kao i dijeljenje obje strane jednadžbe s brojem koji nije nula, daje ekvivalentnu jednadžbu. Stoga možemo izvesti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 +c=0:

pomaknite c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 =−c,
i obje strane podijelimo s a, dobivamo .

Rezultirajuća jednadžba omogućuje nam izvlačenje zaključaka o njezinim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a=1 i c=2, tada ) ili pozitivna (na primjer, ako je a=−2 i c=6, tada ), nije jednaka nuli jer po uvjetu c≠0. Pogledajmo slučajeve zasebno.

Ako je , tada jednadžba nema korijena. Ova tvrdnja proizlazi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada , tada za bilo koji broj p jednakost ne može biti istinita.

Ako je , onda je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se sjetimo oko , tada korijen jednadžbe odmah postaje očigledan; to je broj, jer . Lako je pogoditi da je broj također i korijen jednadžbe, doista, . Ova jednadžba nema drugih korijena, što se može pokazati, na primjer, kontradikcijom. Učinimo to.

Označimo korijene upravo najavljene jednadžbe kao x 1 i −x 1 . Pretpostavimo da jednadžba ima još jedan korijen x 2, različit od navedenih korijena x 1 i −x 1. Poznato je da zamjena njegovih korijena u jednadžbu umjesto x pretvara jednadžbu u ispravnu numeričku jednakost. Za x 1 i −x 1 vrijedi , a za x 2 vrijedi . Svojstva numeričkih jednakosti dopuštaju nam da izvršimo oduzimanje po članu od istinitog brojčane jednakosti, dakle oduzimanje relevantne dijelove jednakosti i daje x 1 2 −x 2 2 =0. Svojstva operacija s brojevima dopuštaju nam da dobivenu jednakost prepišemo kao (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Znamo da je umnožak dvaju brojeva jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli. Dakle, iz dobivene jednakosti slijedi da je x 1 −x 2 =0 i/ili x 1 +x 2 =0, što je isto, x 2 =x 1 i/ili x 2 =−x 1. Tako smo došli do kontradikcije, jer smo na početku rekli da je korijen jednadžbe x 2 različit od x 1 i −x 1. Ovo dokazuje da jednadžba nema korijene osim i .

Sažmimo informacije u ovom odlomku. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +c=0 je ekvivalentna jednadžbi koja

nema korijena ako,
ima dva korijena i , ako .

Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a·x 2 +c=0.

Počnimo s kvadratnom jednadžbom 9 x 2 +7=0. Nakon premještanja slobodnog člana na desnu stranu jednadžbe, on će poprimiti oblik 9 x 2 =−7. Podijelimo li obje strane dobivene jednadžbe s 9, dolazimo do . Budući da desna strana ima negativan broj, ova jednadžba nema korijena, stoga izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 +7 = 0 nema korijena.

Riješimo još jednu nepotpunu kvadratnu jednadžbu −x 2 +9=0. Devetku pomičemo na desnu stranu: −x 2 =−9. Sada obje strane podijelimo s −1, dobivamo x 2 =9. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz čega zaključujemo ili . Zatim zapisujemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednadžba −x 2 +9=0 ima dva korijena x=3 ili x=−3.

a x 2 +b x=0

Ostaje još pozabaviti se rješenjem zadnje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c=0. Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 + b x = 0 omogućuju vam rješavanje metoda faktorizacije. Očito možemo, nalazi se na lijevoj strani jednadžbe, za što je dovoljno zajednički faktor x izvaditi iz zagrade. To nam omogućuje prijelaz s izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe na ekvivalentnu jednadžbu oblika x·(a·x+b)=0. A ova jednadžba je ekvivalentna skupu dviju jednadžbi x=0 i a·x+b=0, od kojih je potonja linearna i ima korijen x=−b/a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a·x 2 +b·x=0 ima dva korijena x=0 i x=−b/a.

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo rješenje konkretnog primjera.

Primjer.

Riješite jednadžbu.

Riješenje.

Izvlačenje x iz zagrada daje jednadžbu. To je ekvivalentno dvjema jednadžbama x=0 i . Rješavanje onoga što imamo Linearna jednadžba: , i dijeljenje mješovitog broja sa obični razlomak, pronašli smo . Stoga su korijeni izvorne jednadžbe x=0 i .

Nakon stjecanja potrebne prakse, rješenja takvih jednadžbi mogu se ukratko napisati:

Odgovor:

x=0 , .

Diskriminanta, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Za rješavanje kvadratnih jednadžbi postoji formula korijena. Zapišimo to formula za korijene kvadratne jednadžbe: , Gdje D=b 2 −4 a c- tzv diskriminanta kvadratne jednadžbe. Zapis u biti znači da .

Korisno je znati kako je izvedena formula korijena i kako se koristi u pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Hajdemo shvatiti ovo.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu a·x 2 +b·x+c=0. Izvedimo neke ekvivalentne transformacije:

Obje strane ove jednadžbe možemo podijeliti s brojem a koji nije nula, što rezultira sljedećom kvadratnom jednadžbom.
Sada odaberite cijeli kvadrat na svojoj lijevoj strani: . Nakon toga, jednadžba će dobiti oblik.
U ovoj fazi moguće je zadnja dva člana prenijeti na desnu stranu sa suprotnim predznakom, imamo .
I također transformirajmo izraz na desnoj strani: .

Kao rezultat, dolazimo do jednadžbe koja je ekvivalentna izvornoj kvadratnoj jednadžbi a·x 2 +b·x+c=0.

Već smo riješili jednadžbe slične forme u prethodnim paragrafima, kada smo ispitivali. To nam omogućuje da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:

ako je , tada jednadžba nema realnih rješenja;
ako je , tada jednadžba ima oblik , dakle, , iz kojega je vidljiv njezin jedini korijen;
if , tada ili , što je isto kao ili , odnosno jednadžba ima dva korijena.

Dakle, prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe, a time i izvorne kvadratne jednadžbe, ovisi o predznaku izraza na desnoj strani. S druge strane, predznak ovog izraza određen je predznakom brojnika, budući da je nazivnik 4·a 2 uvijek pozitivan, odnosno predznakom izraza b 2 −4·a·c. Taj izraz b 2 −4 a c je nazvan diskriminanta kvadratne jednadžbe i označen slovom D. Odavde je bit diskriminante jasna - na temelju njene vrijednosti i predznaka zaključuju ima li kvadratna jednadžba stvarne korijene, i ako ima, koliki je njihov broj - jedan ili dva.

Vratimo se jednadžbi i prepišimo je koristeći diskriminantni zapis: . I izvlačimo zaključke:

ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ako je D=0, tada ova jednadžba ima jedan korijen;
konačno, ako je D>0, tada jednadžba ima dva korijena ili, što se može prepisati u obliku ili, a nakon proširenja i smanjivanja razlomaka na zajednički nazivnik primamo .

Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, one izgledaju kao , gdje se diskriminant D izračunava po formuli D=b 2 −4·a·c.

Uz njihovu pomoć, uz pozitivnu diskriminantu, možete izračunati oba stvarna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminant jednak nuli, obje formule daju istu vrijednost korijena, koja odgovara jedino rješenje kvadratna jednadžba. A s negativnim diskriminantom, kada pokušavamo upotrijebiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočavamo se s izvlačenjem kvadratnog korijena negativnog broja, što nas odvodi izvan okvira školskog programa. S negativnom diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravih korijena, ali ima par složeni konjugat korijena, koji se mogu pronaći pomoću istih formula korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

U praksi, kada rješavate kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena za izračunavanje njihovih vrijednosti. Ali ovo se više odnosi na pronalaženje složenih korijena.

Međutim, u školskom tečaju algebre obično ne govorimo o složenim, već o stvarnim korijenima kvadratne jednadžbe. U ovom slučaju, preporučljivo je prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe prvo pronaći diskriminantu, uvjeriti se da je nenegativna (u suprotnom možemo zaključiti da jednadžba nema prave korijene), pa tek onda izračunati vrijednosti korijena.

Gornje obrazloženje nam omogućuje da pišemo algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe. Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 +b x+c=0 potrebno je:

pomoću formule diskriminacije D=b 2 −4·a·c izračunati njezinu vrijednost;
zaključiti da kvadratna jednadžba nema realnih korijena ako je diskriminant negativan;
izračunati jedini korijen jednadžbe pomoću formule ako je D=0;
pronaći dva realna korijena kvadratne jednadžbe pomoću formule korijena ako je diskriminant pozitivan.

Ovdje samo napominjemo da ako je diskriminant jednak nuli, također možete koristiti formulu, ona će dati istu vrijednost kao .

Možete prijeći na primjere korištenja algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Razmotrimo rješenja triju kvadratnih jednadžbi s pozitivnim, negativnim i jednaka nuli diskriminirajući. Nakon što se pozabavimo njihovim rješenjem, analogno će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednadžbu. Započnimo.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe x 2 +2·x−6=0.

Riješenje.

U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednadžbe: a=1, b=2 i c=−6. Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminant; zamijenimo naznačene a, b i c u formulu diskriminatora D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Kako je 28>0, odnosno diskriminanta veća od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Pronađimo ih koristeći korijensku formulu, dobivamo , ovdje možete pojednostaviti rezultirajuće izraze tako što ćete pomicanje množitelja preko znaka korijena nakon čega slijedi smanjenje frakcije:

Odgovor:

Prijeđimo na sljedeći tipičan primjer.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednadžbu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Riješenje.

Počinjemo pronalaženjem diskriminante: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Prema tome, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao , tj.

Odgovor:

x=3,5.

Ostaje razmotriti rješavanje kvadratnih jednadžbi s negativnom diskriminantom.

Primjer.

Riješite jednadžbu 5·y 2 +6·y+2=0.

Riješenje.

Evo koeficijenata kvadratne jednadžbe: a=5, b=6 i c=2. Zamjenjujemo ove vrijednosti u diskriminirajuću formulu koju imamo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema pravih korijena.

Ako trebate naznačiti složene korijene, tada primjenjujemo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo operacije s kompleksnim brojevima:

Odgovor:

nema pravih korijena, složeni korijeni su: .

Napomenimo još jednom da ako je diskriminant kvadratne jednadžbe negativan, tada u školi obično odmah zapišu odgovor u kojem navode da nema stvarnih korijena, a složeni korijeni nisu pronađeni.

Formula za korijen parnih koeficijenata sekunde

Formula za korijene kvadratne jednadžbe, gdje D=b 2 −4·a·c omogućuje dobivanje formule više kompaktan izgled, koji vam omogućuje rješavanje kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom za x (ili jednostavno s koeficijentom koji ima oblik 2·n, na primjer, ili 14·ln5=2·7·ln5). Izvucimo je van.

Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu oblika a x 2 +2 n x+c=0. Pronađimo njegove korijene pomoću formule koju poznajemo. Da bismo to učinili, izračunavamo diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a zatim koristimo korijensku formulu:

Označimo izraz n 2 −a c kao D 1 (ponekad se označava D "). Tada će formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n imati oblik , gdje je D 1 =n 2 −a·c.

Lako je vidjeti da je D=4·D 1, odnosno D 1 =D/4. Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminante. Jasno je da je znak D 1 isti kao znak D . Odnosno, znak D 1 također je pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Dakle, da biste riješili kvadratnu jednadžbu s drugim koeficijentom 2·n, trebate

Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ako je D 1 =0, izračunajte jedini korijen jednadžbe pomoću formule;
Ako je D 1 >0, pronađite dva stvarna korijena pomoću formule.

Razmotrimo rješavanje primjera koristeći formulu korijena dobivenu u ovom paragrafu.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednadžbu 5 x 2 −6 x −32=0 .

Riješenje.

Drugi koeficijent ove jednadžbe može se prikazati kao 2·(−3) . To jest, možete prepisati originalnu kvadratnu jednadžbu u obliku 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ovdje a=5, n=−3 i c=−32, i izračunati četvrti dio diskriminirajući: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Budući da je njezina vrijednost pozitivna, jednadžba ima dva realna korijena. Pronađimo ih koristeći odgovarajuću formulu korijena:

Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju moralo bi se obaviti više računalnog rada.

Odgovor:

Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad, prije nego što počnete izračunavati korijene kvadratne jednadžbe pomoću formula, ne škodi postaviti pitanje: "Je li moguće pojednostaviti oblik ove jednadžbe?" Složite se da će u računskom smislu biti lakše riješiti kvadratnu jednadžbu 11 x 2 −4 x−6=0 nego 1100 x 2 −400 x−600=0.

Tipično, pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe postiže se množenjem ili dijeljenjem obje strane s određenim brojem. Na primjer, u prethodnom paragrafu bilo je moguće pojednostaviti jednadžbu 1100 x 2 −400 x −600=0 dijeljenjem obje strane sa 100.

Slična se transformacija provodi s kvadratnim jednadžbama, čiji koeficijenti nisu . U ovom slučaju obično obje strane jednadžbe dijelimo s apsolutne vrijednosti njegove koeficijente. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 −42 x+48=0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: NOD(12, 42, 48)= NOD(NOD(12, 42), 48)= NOD(6, 48)=6. Podijelimo li obje strane izvorne kvadratne jednadžbe sa 6, dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednadžbe 2 x 2 −7 x+8=0.

A množenje obiju strana kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili frakcijskih koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se provodi nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se obje strane kvadratne jednadžbe pomnože s LCM(6, 3, 1)=6, tada će poprimiti jednostavniji oblik x 2 +4·x−18=0.

U zaključku ove točke, napominjemo da se oni gotovo uvijek rješavaju minusa na najvišem koeficijentu kvadratne jednadžbe promjenom predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) obje strane s −1. Na primjer, obično se prelazi s kvadratne jednadžbe −2 x 2 −3 x+7=0 na rješenje 2 x 2 +3 x−7=0 .

Veza između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe kroz njezine koeficijente. Na temelju formule korijena možete dobiti druge odnose između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije formule iz Vietinog teorema su oblika i . Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu zbroj korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, gledajući oblik kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x + 22 = 0, možemo odmah reći da je zbroj njezinih korijena jednak 7/3, a umnožak korijena jednak 22 /3.

Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih veza između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe kroz njezine koeficijente: .

Bibliografija.

Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 2 sata 1. dio. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

Diskriminant se, kao i kvadratne jednadžbe, počinje proučavati u kolegiju algebre u 8. razredu. Kvadratnu jednadžbu možete riješiti pomoću diskriminante i korištenjem Vietinog teorema. Metoda proučavanja kvadratnih jednadžbi, kao i diskriminantnih formula, prilično se neuspješno podučava školarcima, kao i mnogo toga u stvarnom obrazovanju. Dakle, školske godine prolaze, obrazovanje u razredima 9-11 zamjenjuje " više obrazovanje"i svi opet gledaju - “Kako riješiti kvadratnu jednadžbu?”, “Kako pronaći korijene jednadžbe?”, “Kako pronaći diskriminantu?” I...

Diskriminantna formula

Diskriminant D kvadratne jednadžbe a*x^2+bx+c=0 jednak je D=b^2–4*a*c.
Korijeni (rješenja) kvadratne jednadžbe ovise o predznaku diskriminante (D):
D>0 – jednadžba ima 2 različita realna korijena;
D=0 - jednadžba ima 1 korijen (2 podudarna korijena):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula za izračun diskriminante prilično je jednostavna, pa mnoga web-mjesta nude online kalkulator diskriminacije. Još nismo smislili ovu vrstu skripti, pa ako netko zna kako ovo implementirati, neka nam piše na e-mail Ova e-mail adresa je zaštićena od spambota. Morate imati omogućen JavaScript da biste ga vidjeli. .

Opća formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe:

Korijene jednadžbe nalazimo pomoću formule
Ako je koeficijent kvadratne varijable uparen, tada je preporučljivo izračunati ne diskriminant, već njegov četvrti dio
U takvim slučajevima, korijeni jednadžbe nalaze se pomoću formule

Drugi način pronalaženja korijena je Vietin teorem.

Teorem je formuliran ne samo za kvadratne jednadžbe, već i za polinome. Ovo možete pročitati na Wikipediji ili drugim elektroničkim izvorima. No, radi pojednostavljenja, razmotrimo dio koji se tiče gornjih kvadratnih jednadžbi, odnosno jednadžbi oblika (a=1)
Bit Vietinih formula je da je zbroj korijena jednadžbe jednak koeficijentu varijable, uzet sa suprotnim predznakom. Umnožak korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu. Vietin teorem može se napisati formulama.
Izvođenje Vietine formule vrlo je jednostavno. Napišimo kvadratnu jednadžbu kroz jednostavne faktore
Kao što možete vidjeti, sve genijalno je jednostavno u isto vrijeme. Učinkovito je koristiti Vietinu formulu kada je razlika u modulima korijena ili razlika u modulima korijena 1, 2. Na primjer, sljedeće jednadžbe, prema Vietinom teoremu, imaju korijene

Do jednadžbe 4, analiza bi trebala izgledati ovako. Proizvod korijena jednadžbe je 6, stoga korijeni mogu biti vrijednosti (1, 6) i (2, 3) ili parovi sa suprotnim predznacima. Zbroj korijena je 7 (koeficijent varijable suprotnog predznaka). Odavde zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe x=2; x=3.
Lakše je odabrati korijene jednadžbe među djeliteljima slobodnog člana, prilagođavajući im predznak kako bi se ispunile Vieta formule. U početku se to čini teško izvedivim, ali s vježbom na brojnim kvadratnim jednadžbama ova će se tehnika pokazati učinkovitijom od izračunavanja diskriminante i pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe na klasičan način.
Kao što vidite, školska teorija proučavanja diskriminanata i metoda pronalaženja rješenja jednadžbe lišena je praktičnog značenja - “Zašto školarcima treba kvadratna jednadžba?”, “Koje je fizičko značenje diskriminante?”

Pokušajmo to shvatiti Što opisuje diskriminant?

U predmetu algebra proučavaju se funkcije, sheme za proučavanje funkcija i konstruiranje grafa funkcija. Od svih funkcija važno mjesto zauzima parabola čija se jednadžba može napisati u obliku
Dakle, fizikalno značenje kvadratne jednadžbe su nulte točke parabole, odnosno točke presjeka grafa funkcije s apscisnom osi Ox
Molim vas da zapamtite svojstva parabola koja su opisana u nastavku. Doći će vrijeme polaganja ispita, kolokvija ili prijamnog ispita i bit ćete zahvalni na referentnom materijalu. Predznak kvadrata varijable odgovara hoće li grane parabole na grafu ići gore (a>0),

ili parabola s granama prema dolje (a<0) .

Vrh parabole nalazi se na sredini između korijena

Fizičko značenje diskriminanta:

Ako je diskriminant veći od nule (D>0) parabola ima dvije sjecišne točke s osi Ox.
Ako je diskriminant nula (D=0), tada parabola u vrhu dodiruje x-os.
I zadnji slučaj, kada je diskriminant manji od nule (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Upotreba jednadžbi široko je rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim izračunima, izgradnji građevina, pa čak i sportu. Čovjek je koristio jednadžbe u davna vremena, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Diskriminant vam omogućuje rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe pomoću općenite formule koja ima sljedeći oblik:

Diskriminantna formula ovisi o stupnju polinoma. Gornja formula je prikladna za rješavanje kvadratnih jednadžbi sljedećeg oblika:

Diskriminant ima sljedeća svojstva koja trebate znati:

* "D" je 0 kada polinom ima više korijena (jednakih korijena);

* "D" je simetričan polinom s obzirom na korijene polinoma i stoga je polinom u svojim koeficijentima; štoviše, koeficijenti ovog polinoma su cijeli brojevi bez obzira na proširenje u kojem su korijeni uzeti.

Recimo da nam je dana kvadratna jednadžba sljedećeg oblika:

1 jednadžba

Prema formuli imamo:

Budući da \, jednadžba ima 2 korijena. Definirajmo ih:

Gdje mogu riješiti jednadžbu pomoću diskriminantnog mrežnog rješavača?

Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač omogućit će vam rješavanje online jednadžbi bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u Solver. Također možete pogledati video upute i saznati kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici, a ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.