Rješavanje parnih i neparnih funkcija. Graf parnih i neparnih funkcija

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

• formirati pojam parnosti i neparnosti funkcije, naučiti sposobnost određivanja i korištenja tih svojstava kada istraživanje funkcije, crtanje;
• razvijati kreativnu aktivnost učenika, logično mišljenje, sposobnost uspoređivanja, generaliziranja;
• njegovati marljivost i matematičku kulturu; razvijati komunikacijske vještine .

Oprema: multimedijska instalacija, interaktivna ploča, materijali.

Oblici rada: frontalni i grupni s elementima tragajuće i istraživačke aktivnosti.

Izvori informacija:

1. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Udžbenik.
2. Algebra 9. razred A.G. Mordkovich. Problemska knjiga.
3. Algebra 9. razred. Zadaci za učenje i razvoj učenika. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

TIJEKOM NASTAVE

1. Organizacijski trenutak

Postavljanje ciljeva i zadataka lekcije.

2. Provjera domaće zadaće

10.17 (zadatak za 9. razred. A.G. Mordkovich).

A) na = f(x), f(x) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(x) = 0 at x ~ 0,4
4. f(x) >0 pri x > 0,4 ; f(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. Funkcija se povećava sa x € [– 2; + ∞)
6. Funkcija je ograničena odozdo.
7. na ime = – 3, na naib ne postoji
8. Funkcija je kontinuirana.

(Jeste li koristili algoritam za istraživanje funkcija?) slajd.

2. Provjerimo tablicu koju ste pitali sa slajda.

Ispunite tablicu
	Domena	Funkcijske nule	Intervali predznaka		Koordinate točaka presjeka grafa s Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Obnavljanje znanja

– Funkcije su zadane.
– Navedite opseg definicije za svaku funkciju.
– Usporedite vrijednost svake funkcije za svaki par vrijednosti argumenata: 1 i – 1; 2 i – 2.
– Za koje od ovih funkcija u domeni definicije vrijede jednakosti f(– x) = f(x), f(– x) = – f(x)? (dobivene podatke unijeti u tablicu) Slajd

		f(1) i f(– 1)	f(2) i f(– 2)	grafika	f(– x) = –f(x)	f(– x) = f(x)
1. f(x) =
2. f(x) = x 3
3. f(x) = | x |
4.f(x) = 2x – 3
5. f(x) =	x ≠ 0
6. f(x)=	x > –1		a nije definiran

4. Novi materijal

– Dok smo radili ovaj posao, dečki, identificirali smo još jedno svojstvo funkcije, vama nepoznato, ali ne manje važno od ostalih – to je parnost i neparnost funkcije. Zapišite temu lekcije: “Parne i neparne funkcije”, naš zadatak je naučiti odrediti parnost i neparnost funkcije, saznati značaj ovog svojstva u proučavanju funkcija i crtanju grafova.
Dakle, pronađimo definicije u udžbeniku i pročitajmo (str. 110) . slajd

Def. 1 Funkcija na = f (x), definirana na skupu X naziva se čak, ako za bilo koju vrijednost xÊ X se izvršava jednakost f(–x)= f(x). Navedite primjere.

Def. 2 Funkcija y = f(x), definiran na skupu X naziva se neparan, ako za bilo koju vrijednost xÊ X vrijedi jednakost f(–h)= –f(h). Navedite primjere.

Gdje smo susreli pojmove "par" i "nepar"?
Što mislite, koja će od ovih funkcija biti parna? Zašto? Koje su neparne? Zašto?
Za bilo koju funkciju forme na= x n, Gdje n– cijeli broj, može se tvrditi da je funkcija neparna kada n– neparan i funkcija je parna kada n– čak.
– Prikaz funkcija na= i na = 2x– 3 nisu ni parni ni neparni jer jednakosti nisu zadovoljene f(– x) = – f(x), f(– x) = f(x)

Proučavanje je li funkcija parna ili neparna naziva se proučavanje pariteta funkcije. slajd

U definicijama 1 i 2 govorilo se o vrijednostima funkcije na x i – x, pri čemu se pretpostavlja da je funkcija također definirana na vrijednosti x, i na – x.

Def 3. Ako set brojeva uz svaki svoj element x sadrži i suprotni element –x, zatim skup x nazivamo simetričnim skupom.

Primjeri:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) su simetrični skupovi, a , [–5;4] su asimetrični.

– Imaju li parne funkcije domenu definiranja koja je simetrični skup? One čudne?
– Ako je D( f) je asimetričan skup, što je onda funkcija?
– Dakle, ako funkcija na = f(x) – par ili nepar, tada je njegova domena definicije D( f) je simetričan skup. Je li obrnuta tvrdnja istinita: ako je domena definiranja funkcije simetričan skup, je li on paran ili neparan?
– To znači da je postojanje simetričnog skupa domene definiranja nužan uvjet, ali ne i dovoljan.
– Dakle, kako ispitati paritet funkcije? Pokušajmo stvoriti algoritam.

slajd

Algoritam za proučavanje funkcije za parnost

1. Utvrditi da li je područje definiranja funkcije simetrično. Ako nije, onda funkcija nije ni parna ni neparna. Ako da, prijeđite na korak 2 algoritma.

2. Napiši izraz za f(–x).

3. Usporedi f(–x).I f(x):

• Ako f(–x).= f(x), tada je funkcija parna;
• Ako f(–x).= – f(x), tada je funkcija neparna;
• Ako f(–x) ≠ f(x) I f(–x) ≠ –f(x), tada funkcija nije ni parna ni neparna.

Primjeri:

Ispitajte parnost funkcije a). na= x 5 +; b) na= ; V) na= .

Riješenje.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrični skup.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => funkcija h(x) = x 5 + nepar.

b) y =,

na = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrični skup, što znači da funkcija nije ni parna ni neparna.

V) f(x) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opcija 2

1. Je li zadani skup simetričan: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Ispitajte funkciju za paritet:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Na sl. izgrađen je grafikon na = f(x), za sve x, zadovoljavajući uvjet x? 0.
Grafikirajte funkciju na = f(x), Ako na = f(x) je parna funkcija.

3. Na sl. izgrađen je grafikon na = f(x), za sve x koji zadovoljavaju uvjet x? 0.
Grafikirajte funkciju na = f(x), Ako na = f(x) je neparna funkcija.

Peer review na slajdu.

6. Domaća zadaća: br. 11.11, 11.21, 11.22;

Dokaz geometrijskog značenja svojstva parnosti.

***(Dodjela opcije jedinstvenog državnog ispita).

1. Neparna funkcija y = f(x) definirana je na cijelom brojevnom pravcu. Za bilo koju nenegativnu vrijednost varijable x, vrijednost ove funkcije podudara se s vrijednošću funkcije g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Odredite vrijednost funkcije h( x) = na x = 3.

7. Sažimanje

Da biste to učinili, koristite milimetarski papir ili grafički kalkulator. Odaberite bilo koji broj numeričkih vrijednosti za nezavisnu varijablu x (\displaystyle x) i uključite ih u funkciju za izračun vrijednosti za zavisnu varijablu y (\displaystyle y). Nacrtajte pronađene koordinate točaka na koordinatnu ravninu, a zatim povežite te točke da biste izgradili graf funkcije.

• Zamijenite pozitivne numeričke vrijednosti x (\displaystyle x) i odgovarajuće negativne numeričke vrijednosti u funkciju. Na primjer, s obzirom na funkciju. Zamijenite sljedeće vrijednosti x (\displaystyle x) u njega:
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3)​ (\ stil prikaza (1,3)) .
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9) . Dobili smo točku s koordinatama (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Dobili smo točku s koordinatama (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . Dobili smo točku s koordinatama (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .

Provjerite je li graf funkcije simetričan u odnosu na os Y. Pod simetrijom podrazumijevamo zrcalnu sliku grafa u odnosu na os y. Ako je dio grafa desno od Y-osi (pozitivne vrijednosti nezavisne varijable) isti kao dio grafa lijevo od Y-osi (negativne vrijednosti nezavisne varijable) ), graf je simetričan oko Y-osi Ako je funkcija simetrična oko y-osi, funkcija je parna.

• Možete provjeriti simetriju grafikona koristeći pojedinačne točke. Ako vrijednost y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) odgovara vrijednosti y (\displaystyle y) koja odgovara vrijednosti − x (\displaystyle -x) , funkcija je parna. U našem primjeru s funkcijom f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) dobili smo sljedeće koordinate točaka:
  • (1.3) i (-1.3)
  • (2,9) i (-2,9)
• Imajte na umu da je za x=1 i x=-1 zavisna varijabla y=3, a za x=2 i x=-2 zavisna varijabla je y=9. Dakle, funkcija je parna. Zapravo, da biste točno odredili oblik funkcije, morate uzeti u obzir više od dvije točke, ali opisana metoda je dobra aproksimacija.

Provjerite je li graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište. Ishodište je točka s koordinatama (0,0). Simetrija oko ishodišta znači da pozitivna vrijednost y (\displaystyle y) (za pozitivnu vrijednost x (\displaystyle x) ) odgovara negativnoj vrijednosti (\displaystyle y) (\displaystyle y) (za negativnu vrijednost od x (\displaystyle x) ), i obrnuto. Neparne funkcije imaju simetriju oko ishodišta.

• Ako zamijenite nekoliko pozitivnih i odgovarajućih negativnih vrijednosti x (\displaystyle x) u funkciju, vrijednosti y (\displaystyle y) će se razlikovati u predznaku. Na primjer, dana je funkcija f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Zamijenite nekoliko vrijednosti x (\displaystyle x) u njega:
  • f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Dobili smo točku s koordinatama (1,2).
  • f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
  • f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(3)+2=8+2=10)
  • f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10) . Dobili smo točku s koordinatama (-2,-10).
• Dakle, f(x) = -f(-x), odnosno funkcija je neparna.

Provjerite ima li graf funkcije simetriju. Posljednji tip funkcije je funkcija čiji graf nema simetrije, odnosno nema zrcalne slike ni u odnosu na ordinatnu os ni u odnosu na ishodište. Na primjer, s obzirom na funkciju.

• Zamijenite nekoliko pozitivnih i odgovarajućih negativnih vrijednosti x (\displaystyle x) u funkciju:
  • f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ) . Dobili smo točku s koordinatama (1,4).
  • f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2) . Dobili smo točku s koordinatama (-1,-2).
  • f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ) . Dobili smo točku s koordinatama (2,10).
  • f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(2)+2 (-2)+(-2)=4-4-2=-2) . Dobili smo točku s koordinatama (2,-2).
• Prema dobivenim rezultatima simetrije nema. Vrijednosti y (\displaystyle y) za suprotne vrijednosti x (\displaystyle x) nisu iste i nisu suprotne. Stoga funkcija nije ni parna ni neparna.
• Imajte na umu da se funkcija f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) može napisati na sljedeći način: f (x) = (x + 1 ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Kada je napisana u ovom obliku, funkcija se pojavljuje parno jer postoji paran eksponent. Ali ovaj primjer dokazuje da se tip funkcije ne može brzo odrediti ako se nezavisna varijabla nalazi u zagradama. U ovom slučaju potrebno je otvoriti zagrade i analizirati dobivene eksponente.

Kako umetnuti matematičke formule na web stranicu?

Ako ikada trebate dodati jednu ili dvije matematičke formule na web-stranicu, najlakši način da to učinite je kako je opisano u članku: matematičke formule lako se umeću na web-mjesto u obliku slika koje automatski generira Wolfram Alpha . Osim jednostavnosti, ovo univerzalna metoda pomoći će poboljšati vidljivost web stranice u tražilicama. Djeluje već dugo (i, mislim, radit će zauvijek), ali je već moralno zastario.

Ako redovito koristite matematičke formule na svojoj stranici, preporučujem da koristite MathJax - posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičku notaciju u web preglednicima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML označavanje.

Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu sa svojim web mjestom, što će pravi trenutak automatsko učitavanje s udaljenog poslužitelja (popis poslužitelja); (2) preuzmite skriptu MathJax s udaljenog poslužitelja na svoj poslužitelj i povežite je sa svim stranicama svoje stranice. Druga metoda - složenija i dugotrajnija - ubrzat će učitavanje stranica vašeg web-mjesta, a ako nadređeni MathJax poslužitelj iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće utjecati na vaše web-mjesto. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvu metodu jer je jednostavnija, brža i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i za samo 5 minuta moći ćete koristiti sve značajke MathJaxa na svojoj stranici.

Skriptu biblioteke MathJax možete povezati s udaljenog poslužitelja koristeći dvije opcije koda preuzete s glavnog MathJax web mjesta ili na stranici dokumentacije:

Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kôd vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.

Najlakši način povezivanja MathJaxa je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj ploči web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog gore u njega i postavite widget bliže na početak predloška (usput, to uopće nije potrebno, jer se MathJax skripta učitava asinkrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste za umetanje matematičkih formula u web stranice svoje web stranice.

Svaki fraktal je konstruiran prema određenom pravilu, koje se dosljedno primjenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.

Iterativni algoritam za konstruiranje Mengerove spužve prilično je jednostavan: izvorna kocka sa stranicom 1 podijeljena je ravninama paralelnim s njezinim stranama na 27 jednake kocke. Iz nje se uklanjaju jedna središnja kocka i 6 kocki uz nju duž strana. Rezultat je set koji se sastoji od preostalih 20 manjih kockica. Postupivši isto sa svakom od ovih kockica, dobivamo set od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces beskrajno, dobivamo Mengerovu spužvu.

Ovisnost varijable y o varijabli x, u kojoj svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y, naziva se funkcija. Za označavanje koristiti oznaku y=f(x). Svaka funkcija ima niz osnovnih svojstava, kao što su monotonost, paritet, periodičnost i druga.

Pogledajte pobliže svojstvo pariteta.

Funkcija y=f(x) se poziva čak i ako zadovoljava sljedeća dva uvjeta:

2. Vrijednost funkcije u točki x, koja pripada domeni definicije funkcije, mora biti jednaka vrijednosti funkcije u točki -x. To jest, za bilo koju točku x mora biti zadovoljena sljedeća jednakost iz domene definicije funkcije: f(x) = f(-x).

Raspored ravnomjerna funkcija

Ako nacrtate graf parne funkcije, on će biti simetričan u odnosu na os Oy.

Na primjer, funkcija y=x^2 je parna. Idemo to provjeriti. Domena definicije je cijela numerička os, što znači da je simetrična u odnosu na točku O.

Uzmimo proizvoljno x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prema tome f(x) = f(-x). Dakle, ispunjena su oba uvjeta, što znači da je funkcija parna. Ispod je grafikon funkcije y=x^2.

Slika pokazuje da je graf simetričan u odnosu na os Oy.

Graf neparne funkcije

Funkcija y=f(x) se naziva neparnom ako zadovoljava sljedeća dva uvjeta:

1. Područje definiranja zadane funkcije mora biti simetrično u odnosu na točku O. To jest, ako neka točka a pripada području definiranja funkcije, tada i odgovarajuća točka -a mora pripadati području definiranja zadane funkcije.

2. Za svaku točku x mora biti zadovoljena sljedeća jednakost iz domene definicije funkcije: f(x) = -f(x).

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na točku O - ishodište koordinata. Na primjer, funkcija y=x^3 je neparna. Idemo to provjeriti. Domena definicije je cijela numerička os, što znači da je simetrična u odnosu na točku O.

Uzmimo proizvoljno x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prema tome f(x) = -f(x). Dakle, ispunjena su oba uvjeta, što znači da je funkcija neparna. Ispod je grafikon funkcije y=x^3.

Slika jasno pokazuje da je neparna funkcija y=x^3 simetrična u odnosu na ishodište.