Odredi kosinus kuta između pravaca. Kut između ravnih linija. Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku

Bilo bi korisno za svakog učenika koji se priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike ponoviti temu "Pronalaženje kuta između ravnih linija". Kao što pokazuju statistike, prilikom prolaska certifikacijskog testa zadaci u ovom dijelu stereometrije uzrokuju poteškoće velika količina učenicima. Istodobno, zadaci koji zahtijevaju pronalaženje kuta između ravnih linija nalaze se u Jedinstvenom državnom ispitu na osnovnoj i specijaliziranoj razini. To znači da bi ih svatko trebao moći riješiti.

Osnovni momenti

Postoje 4 vrste u svemiru relativni položaj ravno Mogu se podudarati, presijecati, biti paralelni ili se sijeku. Kut između njih može biti oštar ili ravan.

Da biste pronašli kut između linija na Jedinstvenom državnom ispitu ili, na primjer, u rješavanju, školarci u Moskvi i drugim gradovima mogu koristiti nekoliko načina za rješavanje problema u ovom dijelu stereometrije. Zadatak možete izvršiti koristeći klasične konstrukcije. Da biste to učinili, vrijedi naučiti osnovne aksiome i teoreme stereometrije. Učenik mora biti sposoban logično zaključivati i crtati kako bi zadatak doveo do planimetrijskog problema.

Također možete koristiti metodu koordinatnog vektora pomoću jednostavnih formula, pravila i algoritama. Glavna stvar u ovom slučaju je ispravno izvršiti sve izračune. Obrazovni projekt Shkolkovo pomoći će vam da usavršite svoje vještine rješavanja problema u stereometriji i drugim dijelovima školskog tečaja.

Problem 1

Pronađite kosinus kuta između pravaca $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ i $\left\( \begin(niz )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(niz)\right $.

Neka su u prostoru zadane dvije crte: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ i $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Odaberimo proizvoljnu točku u prostoru i kroz nju povucimo dvije pomoćne linije paralelne s podacima. Kut između ovih linija je bilo koji od ta dva susjedni uglovi, formiran pomoćnim linijama. Kosinus jednog od kutova između ravnih linija može se pronaći pomoću dobro poznate formule $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Ako je vrijednost $\cos \phi >0$, tada se dobiva oštar kut između linija, ako je $\cos \phi

Kanonske jednadžbe prvog retka: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.

Kanonske jednadžbe druge linije mogu se dobiti iz parametarskih:

\ \ \

Dakle, kanonske jednadžbe ove linije su: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.

Računamo:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\lijevo(-3\desno)\cdot \lijevo(-1\desno)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ lijevo(-3\desno)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\lijevo(-1\desno)^(2) +3^(2) ) = \ frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \približno 0,9449.\]

Problem 2

Prvi pravac prolazi kroz zadane točke $A\lijevo(2,-4,-1\desno)$ i $B\lijevo(-3,5,6\desno)$, drugi pravac prolazi kroz date točke $ C\lijevo (1,-2,8\desno)$ i $D\lijevo(6,7,-2\desno)$. Odredi udaljenost između ovih linija.

Neka je određeni pravac okomit na pravce $AB$ i $CD$ i siječe ih u točkama $M$ odnosno $N$. Pod tim uvjetima duljina odsječka $MN$ jednaka je udaljenosti između pravaca $AB$ i $CD$.

Konstruiramo vektor $\overline(AB)$:

\[\overline(AB)=\lijevo(-3-2\desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(5-\lijevo(-4\desno)\desno)\cdot \bar(j)+ \lijevo(6-\lijevo(-1\desno)\desno)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]

Neka isječak koji prikazuje udaljenost između pravaca prolazi kroz točku $M\lijevo(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \desno)$ na pravcu $AB$.

Konstruiramo vektor $\overline(AM)$:

\[\overline(AM)=\lijevo(x_(M) -2\desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(y_(M) -\lijevo(-4\desno)\desno)\cdot \ bar(j)+\lijevo(z_(M) -\lijevo(-1\desno)\desno)\cdot \bar(k)=\] \[=\lijevo(x_(M) -2\desno)\ cdot \bar(i)+\lijevo(y_(M) +4\desno)\cdot \bar(j)+\lijevo(z_(M) +1\desno)\cdot \bar(k).\]

Vektori $\overline(AB)$ i $\overline(AM)$ su isti, dakle kolinearni.

Poznato je da ako vektori $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ i $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ su kolinearne, tada su njihove koordinate su proporcionalni, tada postoji $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\ it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, gdje je $m $ je rezultat dijeljenja.

Odavde dobivamo: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.

Konačno dobivamo izraze za koordinate točke $M$:

Konstruiramo vektor $\overline(CD)$:

\[\overline(CD)=\lijevo(6-1\desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(7-\lijevo(-2\desno)\desno)\cdot \bar(j)+\ lijevo(-2-8\desno)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

Neka segment koji predstavlja udaljenost između pravaca prolazi točkom $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ na pravcu $CD$.

Konstruiramo vektor $\overline(CN)$:

\[\overline(CN)=\lijevo(x_(N) -1\desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(y_(N) -\lijevo(-2\desno)\desno)\cdot \ bar(j)+\lijevo(z_(N) -8\desno)\cdot \bar(k)=\] \[=\lijevo(x_(N) -1\desno)\cdot \bar(i)+ \lijevo(y_(N) +2\desno)\cdot \bar(j)+\lijevo(z_(N) -8\desno)\cdot \bar(k).\]

Vektori $\overline(CD)$ i $\overline(CN)$ koincidiraju, dakle, kolinearni su. Primjenjujemo uvjet kolinearnosti vektora:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, gdje je $n $ je rezultat dijeljenja.

Odavde dobivamo: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.

Konačno dobivamo izraze za koordinate točke $N$:

Konstruiramo vektor $\overline(MN)$:

\[\overline(MN)=\lijevo(x_(N) -x_(M) \desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(y_(N) -y_(M) \desno)\cdot \bar (j)+\lijevo(z_(N) -z_(M) \desno)\cdot \bar(k).\]

Zamjenjujemo izraze za koordinate točaka $M$ i $N$:

\[\overline(MN)=\lijevo(1+5\cdot n-\lijevo(2-5\cdot m\desno)\desno)\cdot \bar(i)+\] \[+\lijevo(- 2+9\cdot n-\lijevo(-4+9\cdot m\desno)\desno)\cdot \bar(j)+\lijevo(8-10\cdot n-\lijevo(-1+7\cdot m\desno)\desno)\cdot \bar(k).\]

Nakon što smo izvršili korake, dobivamo:

\[\overline(MN)=\lijevo(-1+5\cdot n+5\cdot m\desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(2+9\cdot n-9\cdot m\desno )\cdot \bar(j)+\lijevo(9-10\cdot n-7\cdot m\desno)\cdot \bar(k).\]

Kako su pravci $AB$ i $MN$ okomiti, skalarni umnožak odgovarajućih vektora jednak je nuli, odnosno $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \lijevo(-1+5\cdot n+5\cdot m\desno)+9\cdot \lijevo(2+9\cdot n-9\cdot m\desno)+7\cdot \ lijevo(9-10\cdot n-7\cdot m\desno)=0;\] \

Nakon što smo izvršili korake, dobivamo prvu jednadžbu za određivanje $m$ i $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.

Budući da su pravci $CD$ i $MN$ okomiti, skalarni umnožak odgovarajućih vektora jednak je nuli, odnosno $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

Nakon što smo izvršili korake, dobivamo drugu jednadžbu za određivanje $m$ i $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.

$m$ i $n$ nalazimo rješavanjem sustava jednadžbi $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206 \cdot n =77)\end(array)\right$.

Primjenjujemo Cramer metodu:

Pronađite koordinate točaka $M$ i $N$:

\ \

Konačno:

Na kraju pišemo vektor $\overline(MN)$:

$\overline(MN)=\lijevo(2,691-\lijevo(-0,6215\desno)\desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(1,0438-0,7187\desno)\cdot \bar (j)+\lijevo (4,618-2,6701\desno)\cdot \bar(k)$ ili $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar( j)+1,9479\cdot \bar(k)$ .

Udaljenost između pravaca $AB$ i $CD$ je duljina vektora $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \ oko 3,8565$ lin. jedinice

KUT IZMEĐU RAVNINA

Razmotrimo dvije ravnine α 1 i α 2, definirane redom jednadžbama:

Pod, ispod kut između dvije ravnine razumjet ćemo jedan od diedralnih kutova koje čine te ravnine. Očito je da je kut između normalnih vektora i ravnina α 1 i α 2 jednak jednom od naznačenih susjednih diedarskih kutova odn. . Zato . Jer I , To

Primjer. Odredite kut između ravnina x+2g-3z+4=0 i 2 x+3g+z+8=0.

Uvjet paralelnosti dviju ravnina.

Dvije ravnine α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori paralelni, pa prema tome .

Dakle, dvije ravnine su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti odgovarajućih koordinata proporcionalni:

ili

Uvjet okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravnine okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, pa prema tome, ili .

Tako, .

Primjeri.

RAVNO U PROSTORU.

VEKTORSKA JEDNADŽBA ZA PRAVAC.

PARAMETRIJSKE DIREKTNE JEDNADŽBE

Položaj pravca u prostoru potpuno je određen zadavanjem bilo koje njegove fiksne točke M 1 i vektor paralelan s tim pravcem.

Vektor paralelan s pravcem nazivamo vodiči vektor ove linije.

Pa neka ravna linija l prolazi kroz točku M 1 (x 1 , g 1 , z 1), koji leži na liniji paralelnoj s vektorom .

Promotrimo proizvoljnu točku M(x,y,z) na ravnoj liniji. Iz slike je jasno da .

Vektori i su kolinearni, pa postoji takav broj t, što , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju brojčanu vrijednost ovisno o položaju točke M na ravnoj liniji. Faktor t naziva parametar. Označivši radijus vektore točaka M 1 i M redom, kroz i , dobivamo . Ova se jednadžba zove vektor jednadžba ravne linije. Pokazuje da za svaku vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke točke M, ležeći na ravnoj liniji.

Zapišimo ovu jednadžbu u koordinatnom obliku. Primijeti da , a odavde

Dobivene jednadžbe nazivaju se parametarski jednadžbe ravne linije.

Prilikom promjene parametra t promjene koordinata x, g I z i točka M kreće se pravocrtno.

KANONIČKE JEDNADŽBE DIREKTNE

Neka M 1 (x 1 , g 1 , z 1) – točka koja leži na pravoj liniji l, I je njegov vektor smjera. Uzmimo ponovno proizvoljnu točku na pravcu M(x,y,z) i razmotriti vektor .

Jasno je da su vektori također kolinearni, pa im odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle,

– kanonski jednadžbe ravne linije.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednadžbe pravca mogu dobiti iz parametarskih eliminacijom parametra t. Doista, iz parametarskih jednadžbi dobivamo ili .

Primjer. Zapiši jednadžbu pravca u parametarskom obliku.

Označimo , odavde x = 2 + 3t, g = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka je pravac okomit na jednu od koordinatnih osi, npr. os Vol. Tada je vektor smjera pravca okomit Vol, stoga, m=0. Posljedično, parametarske jednadžbe pravca će poprimiti oblik

Isključivanje parametra iz jednadžbi t, dobivamo jednadžbe pravca u obliku

Međutim, iu ovom slučaju pristajemo formalno napisati kanonske jednadžbe pravca u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, to znači da je pravac okomit na odgovarajuću koordinatnu os.

Slično kanonskim jednadžbama odgovara ravnoj liniji okomitoj na osi Vol I Joj ili paralelno s osi Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNADŽBE RAVNE CRTE KAO SJEČIŠTA DVIJE RAVNINE

Kroz svaku ravnu liniju u prostoru prolaze bezbrojne ravnine. Bilo koja dva od njih, sijekući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednadžbe bilo koje dvije takve ravnine, promatrane zajedno, predstavljaju jednadžbe ove linije.

Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravnine dane općim jednadžbama

odrediti ravnu liniju njihova sjecišta. Ove se jednadžbe nazivaju opće jednadžbe ravno.

Primjeri.

Konstruirajte pravac zadan jednadžbama

Za konstruiranje pravca dovoljno je pronaći bilo koje dvije njegove točke. Najlakši način je odabrati točke sjecišta pravca s koordinatnim ravninama. Na primjer, točka presjeka s ravninom xOy dobivamo iz jednadžbi ravne linije, uz pretpostavku z= 0:

Nakon što smo riješili ovaj sustav, nalazimo poantu M 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom g= 0, dobivamo točku presjeka pravca s ravninom xOz:

Od općih jednadžbi pravca može se prijeći na njegove kanoničke ili parametarske jednadžbe. Da biste to učinili, morate pronaći neku točku M 1 na pravcu i vektor smjera pravca.

Koordinate točke M 1 dobivamo iz ovog sustava jednadžbi, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora I . Prema tome, izvan vektora smjera prave l možeš uzeti vektorski proizvod normalni vektori:

Primjer. voditi opće jednadžbe ravno kanonskom obliku.

Nađimo točku koja leži na pravcu. Da bismo to učinili, odabiremo proizvoljno jednu od koordinata, na primjer, g= 0 i riješite sustav jednadžbi:

Normalni vektori ravnina koje definiraju pravac imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. Stoga, l: .

KUT IZMEĐU RAVNICA

Kut između ravnih linija u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih kutova što ih tvore dvije prave povučene kroz proizvoljnu točku paralelnu s podatkom.

Neka su u prostoru zadane dvije linije:

Očito, kut φ između ravnih pravaca može se uzeti kao kut između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda pomoću formule za kosinus kuta između vektora dobivamo

A. Neka su zadane dvije ravne crte, kao što je navedeno u poglavlju 1, tvore različite pozitivne i negativne kutove, koji mogu biti šiljasti ili tupi. Poznavajući jedan od ovih kutova, lako možemo pronaći bilo koji drugi.

Usput, za sve ove kutove brojčana vrijednost tangente je ista, razlika može biti samo u predznaku

Jednadžbe pravaca. Brojevi su projekcije vektora smjera prvog i drugog pravca, a kut između ovih vektora jednak je jednom od kutova koje čine pravci. Stoga se problem svodi na određivanje kuta između dobivenih vektora

Radi jednostavnosti, možemo se složiti da je kut između dviju ravnih linija oštar pozitivan kut(kao npr. na sl. 53).

Tada će tangens ovog kuta uvijek biti pozitivan. Dakle, ako postoji znak minus na desnoj strani formule (1), onda ga moramo odbaciti, tj. sačuvati samo apsolutnu vrijednost.

Primjer. Odredite kut između ravnih linija

Prema formuli (1) imamo

S. Ako je naznačeno koja je od stranica kuta njegov početak, a koja kraj, tada, računajući uvijek smjer kuta suprotno od kazaljke na satu, možemo iz formule (1) izvući nešto više. Kao što je lako vidjeti sa Sl. 53, znak dobiven na desnoj strani formule (1) pokazat će kakav kut - oštar ili tup - druga ravna crta tvori s prvom.

(Doista, iz slike 53 vidimo da je kut između prvog i drugog vektora smjera ili jednak željenom kutu između ravnih linija ili se od njega razlikuje za ±180°.)

d. Ako su pravci paralelni, onda su i njihovi vektori smjera paralelni Primjenom uvjeta paralelnosti dvaju vektora dobivamo!

To je nužan i dovoljan uvjet za paralelnost dvaju pravaca.

Primjer. Direktno

su paralelni jer

e. Ako su pravci okomiti onda su i njihovi vektori smjera okomiti. Primjenom uvjeta okomitosti dvaju vektora dobivamo uvjet okomitosti dviju ravnih linija, tj.

Primjer. Direktno

su okomiti zbog činjenice da

U vezi s uvjetima paralelnosti i okomitosti, riješit ćemo sljedeća dva problema.

f. Kroz točku nacrtaj pravac paralelan sa zadanim pravcem

Rješenje se izvodi ovako. Kako je traženi pravac paralelan s ovim, tada za njegov vektor smjera možemo uzeti isti onaj kao i zadani pravac, tj. vektor s projekcijama A i B. I tada će jednadžba traženog pravca biti zapisana u obrazac (§ 1)

Primjer. Jednadžba pravca koji prolazi točkom (1; 3) paralelno s pravcem

bit će sljedeće!

g. Nacrtaj pravac kroz točku okomito na zadani pravac

Ovdje više nije prikladno uzeti vektor s projekcijama A i kao vodeći vektor, već je potrebno uzeti vektor okomit na njega. Projekcije ovog vektora stoga moraju biti odabrane prema uvjetu okomitosti oba vektora, tj. prema uvjetu

Ovaj uvjet se može ispuniti na bezbroj načina, jer je ovdje jedna jednadžba s dvije nepoznanice, ali najlakše je uzeti ili Tada će jednadžba željenog pravca biti zapisana u obliku

Primjer. Jednadžba pravca koji prolazi točkom (-7; 2) u okomitom pravcu

bit će sljedeće (prema drugoj formuli)!

h. U slučaju kada su pravci zadani jednadžbama oblika

prepisujući ove jednadžbe drugačije, imamo

Definicija. Ako su zadane dvije linije y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada će šiljasti kut između ovih linija biti definiran kao

Dva pravca su paralelna ako je k 1 = k 2. Dva su pravca okomita ako je k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Pravci Ax + Bу + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelni kada su koeficijenti A 1 = λA, B 1 = λB proporcionalni. Ako je također C 1 = λC, tada se pravci podudaraju. Koordinate točke presjeka dviju pravaca nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi tih pravaca.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku

Okomito na zadanu liniju

Definicija. Ravnica koja prolazi kroz točku M 1 (x 1, y 1) i okomita na ravnu liniju y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od točke do linije

Teorema. Ako je dana točka M(x 0, y 0), tada se udaljenost do pravca Ax + Bu + C = 0 određuje kao

Dokaz. Neka je točka M 1 (x 1, y 1) osnovica okomice spuštene iz točke M na zadanu ravnicu. Tada je udaljenost između točaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i y 1 mogu se pronaći rješavanjem sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi zadanom točkom M 0 okomito na zadani pravac. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:

Teorem je dokazan.

Primjer. Odredite kut između pravaca: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Primjer. Pokažite da su pravci 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomiti.

Riješenje. Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nađite jednadžbu visine povučene iz vrha C.

Riješenje. Nalazimo jednadžbu stranice AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Tražena jednadžba visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz točku C, tada njezine koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku u zadanom smjeru. Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke. Kut između dviju ravnih linija. Uvjet paralelnosti i okomitosti dviju ravnih linija. Određivanje točke presjeka dviju linija

1. Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku A(x 1 , g 1) u zadanom smjeru, određenom nagibom k,

g - g 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednadžba definira niz linija koje prolaze kroz točku A(x 1 , g 1), koji se naziva centar grede.

2. Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke: A(x 1 , g 1) i B(x 2 , g 2), napisano ovako:

Kutni koeficijent pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke određuje se formulom

3. Kut između ravnih linija A I B je kut za koji se mora zakrenuti prva pravac A oko točke sjecišta ovih linija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi s drugom linijom B. Ako su dvije ravne crte zadane jednadžbama s nagibom

g = k 1 x + B 1 ,

g = k 2 x + B 2 , (4)

tada je kut između njih određen formulom

Treba primijetiti da se u brojniku razlomka nagib prve crte oduzima od nagiba druge crte.

Ako su jednadžbe pravca dane u opći pogled

A 1 x + B 1 g + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 g + C 2 = 0, (6)

kut između njih određuje se formulom

4. Uvjeti za paralelnost dviju linija:

a) Ako su pravci zadani jednadžbama (4) s kutnim koeficijentom, tada je nužan i dovoljan uvjet njihove paralelnosti jednakost njihovih kutnih koeficijenata:

k 1 = k 2 . (8)

b) Za slučaj kada su pravci zadani jednadžbama u općem obliku (6), nužan i dovoljan uvjet za njihovu paralelnost je da su koeficijenti za odgovarajuće trenutne koordinate u njihovim jednadžbama proporcionalni, tj.

5. Uvjeti za okomitost dviju ravnih linija:

a) U slučaju kada su pravci dani jednadžbama (4) s kutnim koeficijentom, nužan i dovoljan uvjet njihove okomitosti je da padinama su inverzne veličine i suprotnog predznaka, tj.

Ovaj uvjet se također može napisati u obrascu

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ako su jednadžbe pravaca zadane u općem obliku (6), tada je uvjet njihove okomitosti (potreban i dovoljan) da se zadovolji jednakost

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Rješavanjem sustava jednadžbi (6) nalaze se koordinate sjecišta dviju pravaca. Pravci (6) se sijeku ako i samo ako

1. Napišite jednadžbe pravaca koji prolaze točkom M, od kojih je jedan usporedan, a drugi okomit na zadani pravac l.