Dokažite da je niz ograničen. Granice monotonih funkcija

Budući da su naznačene površine redom jednake

SΔOAC=0,5∙O.C.∙O.A.∙grijeh α= 0,5sinα, S sekta. OAC = 0,5∙O.C. 2 ∙α=0,5α, SΔOBC=0,5∙O.C.∙BC= 0,5 tgα.

Stoga,

grijeh α< α < tg α.

Podijelimo sve članove nejednadžbe sa sin α > 0: .

ali . Prema tome, na temelju teorema 4 o granicama, zaključujemo da se izvedena formula naziva prva izvanredna granica.

Dakle, prva značajna granica služi za otkrivanje neizvjesnosti. Imajte na umu da se dobivena formula ne smije brkati s granicama Primjeri.

11.Ograničenje i s njim povezana ograničenja.

DRUGA ZNAČAJNA GRANICA

Druga izvanredna granica služi za otkrivanje nesigurnosti od 1 ∞ i izgleda ovako:

Obratimo pozornost na činjenicu da u formuli za drugu značajnu granicu eksponent mora sadržavati izraz obrnut onome koji se dodaje jedinici u osnovi (budući da je u ovom slučaju moguće uvesti promjenu varijabli i smanjiti traženu granicu na drugu značajnu granicu)

Primjeri.

1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 je infinitezimalno na x→1, jer (vidi sliku).

2. Funkcija f(x)= tg x– infinitezimalno pri x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – infinitezimalno at x→0.

4. f(x) = 1/x– infinitezimalno pri x→∞.

Uspostavimo sljedeći važan odnos:

Teorema. Ako funkcija y=f(x) reprezentativan sa x→a kao zbroj konstantnog broja b i infinitezimalne veličine α(x): f (x)=b+ α(x) taj .

Obrnuto, ako je , tada f (x)=b+α(x), Gdje sjekira)– infinitezimalno pri x→a.

Dokaz.

1. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Iz ravnopravnosti f(x)=b+α(x) trebao bi |f(x) – b|=| α|. Ali budući da sjekira) je infinitezimalna, tada za proizvoljan ε postoji δ – okolina točke a, pred svima x iz kojih, vrijednosti sjekira) zadovoljiti odnos |α(x)|< ε. Zatim |f(x) – b|< ε. A ovo znači to.

2. Ako je , tada za bilo koji ε >0 za sve x iz neke δ – okoline točke a htjeti |f(x) – b|< ε. Ali ako označimo f(x) – b= α, To |α(x)|< ε, što znači da a– infinitezimalno.

Razmotrimo osnovna svojstva infinitezimalnih funkcija.

Teorem 1. Algebarski zbroj dva, tri i općenito bilo kojeg konačnog broja infinitezimala je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Dajmo dokaz za dva pojma. Neka f(x)=α(x)+β(x), gdje i . Moramo dokazati da za bilo koje proizvoljno malo ε > 0 pronađeno δ> 0, tako da za x, zadovoljavajući nejednakost |x – a|<δ , izvedena |f(x)|< ε.

Dakle, fiksirajmo proizvoljan broj ε > 0. Budući da prema uvjetima teorema α(x) je infinitezimalna funkcija, onda postoji takav δ 1 > 0, što je |x – a|< δ 1 imamo |α(x)|< ε / 2. Isto tako, budući da β(x) je infinitezimalno, onda postoji takav δ 2 > 0, što je |x – a|< δ 2 imamo | β(x)|< ε / 2.

Idemo uzeti δ=min(δ 1 , δ2 } .Onda u okolini točke a radius δ svaka od nejednakosti će biti zadovoljena |α(x)|< ε / 2 i | β(x)|< ε / 2. Stoga će u ovom susjedstvu biti

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

oni. |f(x)|< ε, što je i trebalo dokazati.

Teorem 2. Umnožak infinitezimalne funkcije sjekira) za ograničenu funkciju f(x) na x→a(ili kada x→∞) je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Budući da funkcija f(x) je ograničen, onda postoji broj M takav da za sve vrijednosti x iz neke okoline točke a|f(x)|≤M.Štoviše, budući da sjekira) je infinitezimalna funkcija na x→a, tada za proizvoljan ε > 0 postoji okolina točke a, u kojem će vrijediti nejednakost |α(x)|< ε /M. Zatim u manjim od ovih četvrti koje imamo | αf|< ε /M= ε. A ovo znači to af– infinitezimalno. Za tu priliku x→∞ dokaz se provodi na sličan način.

Iz dokazanog teoreme slijedi:

Korolar 1. Ako i , onda

Korolar 2. Ako c= const, tada .

Teorem 3. Omjer infinitezimalne funkcije α(x) po funkciji f(x), čija je granica različita od nule, je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Neka . Zatim 1 /f(x) postoji ograničena funkcija. Dakle, razlomak je umnožak infinitezimalne funkcije i ograničene funkcije, tj. funkcija je infinitezimalna.

Primjeri.

1. Jasno je da kada x→+∞ funkcija y=x 2 + 1 je beskonačno velik. Ali onda, prema gore formuliranom teoremu, funkcija je infinitezimalna na x→+∞, tj. .

Može se dokazati i obrnuti teorem.

Teorem 2. Ako funkcija f(x)- infinitezimalno pri x→a(ili x→∞) i onda ne nestaje y= 1/f(x) je beskonačno velika funkcija.

Provedite sami dokaz teorema.

Primjeri.

3. , budući da su funkcije i infinitezimalne pri x→+∞, onda, budući da je zbroj infinitezimalnih funkcija infinitezimalna funkcija. Funkcija je zbroj konstantnog broja i infinitezimalne funkcije. Posljedično, teoremom 1 za infinitezimalne funkcije dobivamo traženu jednakost.

Dakle, najjednostavnija svojstva infinitezimalnih i beskonačno velikih funkcija mogu se napisati pomoću sljedećih uvjetnih odnosa: A≠ 0

13. Infinitezimalne funkcije istog reda, ekvivalentne infinitezimale.

Infinitezimalne funkcije i nazivaju se infinitezimalnim istog reda malenosti ako , označavaju . I konačno, ako ne postoji, onda su infinitezimalne funkcije neusporedive.

PRIMJER 2. Usporedba infinitezimalnih funkcija

Ekvivalentne infinitezimalne funkcije.

Ako , tada se pozivaju infinitezimalne funkcije ekvivalent, označavaju ~ .

Lokalno ekvivalentne funkcije:

Kada ako

Neke ekvivalencije(u ):

Jednostrana ograničenja.

Do sada smo razmatrali određivanje limita funkcije kada x→a na proizvoljan način, tj. granica funkcije nije ovisila o tome kako se nalazi x prema a, lijevo ili desno od a. Međutim, prilično je uobičajeno pronaći funkcije koje nemaju ograničenje pod ovim uvjetom, ali imaju ograničenje ako x→a, ostajući na jednoj strani A, lijevo ili desno (vidi sliku). Stoga se uvode pojmovi jednostranih granica.

Ako f(x) teži do granice b na x teži određenom broju a Tako x prihvaća samo vrijednosti manje od a, pa pišu i zovu granica funkcije f(x) u točki a na lijevoj strani.

Dakle, broj b naziva se limit funkcije y=f(x) na x→a s lijeve strane, ako god da je pozitivan broj ε, postoji takav broj δ (manji a

Isto tako, ako x→a i poprima velike vrijednosti a, pa pišu i zovu b granica funkcije u točki A desno. Oni. broj b nazvao granica funkcije y=f(x) kao x→a s desne strane, ako god da je pozitivan broj ε, postoji takav broj δ (veći A) da nejednakost vrijedi za sve.

Imajte na umu da ako su granice s lijeve i desne strane u točki a za funkciju f(x) ne podudaraju, tada funkcija nema granice (dvostrane) u točki A.

Primjeri.

1. Razmotrimo funkciju y=f(x), definiran na segmentu kako slijedi

Nađimo limite funkcije f(x) na x→ 3. Očito, i

Drugim riječima, za bilo koji proizvoljno mali broj epsilon, postoji delta broj ovisan o epsilon takav da iz činjenice da za bilo koji x koji zadovoljava nejednakost slijedi da će razlike u vrijednostima funkcije u tim točkama biti proizvoljno mali.

Kriterij neprekidnosti funkcije u točki:

Funkcija htjeti stalan u točki A ako i samo ako je kontinuirana u točki A i s desne i s lijeve strane, odnosno tako da u točki A postoje dvije jednostrane granice, međusobno su jednake i jednake vrijednosti funkcija u točki A.

Definicija 2: Funkcija je kontinuirana na skupu ako je neprekidan u svim točkama tog skupa.

Derivacija funkcije u točki

Neka dana budu definirani u susjedstvu. Razmotrimo

Ako ta granica postoji, onda se zove derivacija funkcije f u točki .

Derivacija funkcije– granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, kada se argument povećava.

Operacija računanja ili nalaženja izvodnice u točki naziva se diferencijacija .

Pravila razlikovanja.

Izvedenica funkcije f(x) u točki x=x 0 naziva se omjer prirasta funkcije u ovoj točki prema prirastu argumenta, budući da potonji teži nuli diferencijacija. Derivacija funkcije izračunava se pomoću opće pravilo diferencijacija: Označimo f(x) = u, g(x) = v- funkcije diferencijabilne u točki x. Osnovna pravila razlikovanja 1) (derivacija zbroja jednaka je zbroju njegovih derivacija) 2) (odavde, posebice, slijedi da je derivacija umnoška funkcije i konstante jednaka umnošku derivacije ove funkcija i konstanta) 3) Derivacija kvocijenta: , ako je g  0 4) Derivacija složene funkcije: 5) Ako je funkcija zadana parametarski: , tada

Primjeri.

1. g = x a je potencirana funkcija s proizvoljnim eksponentom.

Implicitna funkcija

Ako je funkcija dana jednadžbom y=ƒ(x), razriješenom u odnosu na y, tada je funkcija dana u eksplicitnom obliku (eksplicitna funkcija).

Pod, ispod implicitni zadatak funkcije razumiju definiciju funkcije u obliku jednadžbe F(x;y)=0, koja nije riješena u odnosu na y.

Svaka eksplicitno zadana funkcija y=ƒ (x) može se napisati kao implicitna zadan jednadžbomƒ(x)-y=0, ali ne obrnuto.

Nije uvijek lako, a ponekad i nemoguće, riješiti jednadžbu za y (na primjer, y+2x+cozy-1=0 ili 2 y -x+y=0).

Ako je implicitna funkcija dana jednadžbom F(x; y) = 0, tada za pronalaženje derivacije y u odnosu na x nema potrebe rješavati jednadžbu u odnosu na y: dovoljno je diferencirati ovu jednadžbu u odnosu na x, dok se y smatra funkcijom od x, a zatim riješite dobivenu jednadžbu za y."

Derivacija implicitne funkcije izražava se kroz argument x i funkciju y.

Primjer:

Pronađite derivaciju funkcije y, danu jednadžbom x 3 + y 3 -3xy = 0.

Rješenje: Funkcija y navedena je implicitno. Razlikujemo u odnosu na x jednakost x 3 + y 3 -3xy = 0. Iz dobivene relacije

3x 2 +3y 2 y"-3(1 y+x y")=0

slijedi da je y 2 y"-xy"=y-x 2, tj. y"=(y-x 2)/(y 2 -x).

Izvodnice višeg reda

Jasno je da izvedenica

funkcije y=f(x) postoji i funkcija iz x:

y" =f " (x)

Ako funkcija f" (x) je diferencijabilan, tada se njegov izvod označava simbolom y"" =f "" (x) x dvaput.
Izvodnica druge derivacije, tj. funkcije y""=f""(x), nazvao treća derivacija funkcije y=f(x) ili izvod funkcije f(x) trećeg reda i označen je simbolima

Uopće n-i izvedenica ili izvedenica n funkcija th reda y=f(x) naznačeno simbolima

Phil Leibniz:

Pretpostavimo da su funkcije i diferencijabilne zajedno sa svojim izvodnicama do uključivo n-tog reda. Primjenom pravila razlikovanja umnoška dviju funkcija dobivamo

Usporedimo ove izraze s potencijama binoma:

Pravilo korespondencije je zapanjujuće: da biste dobili formulu za derivaciju 1., 2. ili 3. reda umnoška funkcija i , trebate zamijeniti potencije i u izrazu za (gdje n= 1,2,3) izvodnice odgovarajućih redova. Osim toga, nulte potencije kvantiteta i treba zamijeniti izvodnicama nultog reda, što znači pod njima funkcije i:

Generaliziranje ovog pravila na slučaj izvodnica proizvoljnog reda n, dobivamo Leibnizova formula,

gdje su binomni koeficijenti:

Rolleov teorem.

Ovaj teorem omogućuje pronalaženje kritičnih točaka i zatim, koristeći dovoljne uvjete, ispitivanje funkcije za ekstreme.

Neka je 1) f(x) definiran i kontinuiran na nekom zatvorenom intervalu; 2) postoji konačna derivacija, barem u otvorenom intervalu (a;b); 3) na krajevima interval f-i uzima jednake vrijednosti f(a) = f(b). Tada između točaka a i b postoji točka c takva da će derivacija u toj točki biti = 0.

Prema teoremu o svojstvu funkcija koje su kontinuirane na intervalu, funkcija f(x) poprima svoje max i min vrijednosti na tom intervalu.

f(x 1) = M – max, f(x 2) = m – min; x 1 ;x 2 O

1) Neka je M = m, tj. m £ f(x) £ M

Þ f(x) će poprimati konstantne vrijednosti na intervalu od a do b, a Þ njegova derivacija će biti jednaka nuli. f'(x)=0

2) Neka je M>m

Jer prema uvjetima teorema f(a) = f(b) Þ njegov najmanji ili najveći vrijednost f-i neće zauzeti krajeve segmenta, ali će Þ zauzeti M ili m na unutarnjoj točki ovog segmenta. Tada je, prema Fermatovom teoremu, f’(c)=0.

Lagrangeov teorem.

Formula konačnog povećanja ili Lagrangeov teorem o srednjoj vrijednosti navodi da ako funkcija f kontinuirana je na intervalu [ a;b] i diferencijabilan u intervalu ( a;b), onda postoji točka takva da

Cauchyjev teorem.

Ako su funkcije f(x) i g(x) neprekidne na intervalu i diferencijabilne na intervalu (a, b) i g¢(x) ¹ 0 na intervalu (a, b), tada postoji barem jedna točka e, a< e < b, такая, что

Oni. omjer priraštaja funkcija na danom segmentu jednak je omjeru derivacija u točki e. Primjeri rješavanja zadataka Tijek predavanja Izračunavanje obujma tijela iz poznatih površina njegovih paralelnih presjeka Integralni račun

Primjeri izvedbe predmetni rad Elektrotehnika

Da bismo dokazali ovaj teorem, na prvi je pogled vrlo zgodno koristiti se Lagrangeovim teoremom. Zapišite formulu konačne razlike za svaku funkciju i zatim ih međusobno podijelite. Međutim, ova ideja je pogrešna, jer točka e za svaku je funkciju općenito različita. Naravno, u nekim posebnim slučajevima ta intervalna točka može se pokazati istom za obje funkcije, ali to je vrlo rijetka slučajnost, a ne pravilo, i stoga se ne može koristiti za dokazivanje teorema.

Dokaz. Razmotrite pomoćnu funkciju

Kako je x→x 0, vrijednost c također teži x 0; Idemo do limita u prethodnoj jednakosti:

Jer , To .

Zato

(granica omjera dviju infinitezimalnih jednaka je granici omjera njihovih derivacija, ako potonja postoji)

L'Hopitalovo pravilo, na ∞/∞.

Napomena: sve definicije uključuju numerički skup X, koji je dio domene funkcije: X s D(f). U praksi se najčešće javljaju slučajevi kada je X numerički interval (odsječak, interval, zraka itd.).

Definicija 1.

Kaže se da funkcija y = f(x) raste na skupu X s D(f) ako za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 skupa X takve da je x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definicija 2.

Kaže se da je funkcija y = f(x) opadajuća na skupu X s D(f) ako za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 skupa X takve da je x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x 2).

U praksi je prikladnije koristiti sljedeće formulacije: funkcija raste ako višu vrijednost argument odgovara većoj funkcijskoj vrijednosti; funkcija opada ako manjoj vrijednosti funkcije odgovara veća vrijednost argumenta.

U 7. i 8. razredu koristili smo sljedeću geometrijsku interpretaciju pojmova rastuće ili padajuće funkcije: krećući se grafom rastuće funkcije slijeva nadesno, čini nam se da se penjemo uz brdo (slika 55); krećući se po grafu padajuće funkcije slijeva nadesno, kao da se spuštamo niz brdo (slika 56).
Obično se izrazi "rastuća funkcija", "opadajuća funkcija" spajaju pod općim nazivom monotona funkcija, a proučavanje funkcije za povećanje ili opadanje naziva se proučavanje funkcije za monotonost.

Napomenimo još jednu okolnost: ako funkcija raste (ili opada) u svojoj prirodnoj domeni definicije, tada obično kažemo da funkcija raste (ili opada) - bez navođenja set brojeva X.

Primjer 1.

Ispitajte funkciju na monotonost:

A) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.

Riješenje:

a) Uzmite proizvoljne vrijednosti argumenta x 1 i x 2 i neka je x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Zadnja nejednakost znači da je f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Dakle, od x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), što znači da je zadana funkcija padajuća (na cijelom brojevnom pravcu).

Definicija 3.

Kaže se da je funkcija y - f(x) ograničena odozdo na skup X s D(f) ako su sve vrijednosti funkcije na skupu X veće od određenog broja (drugim riječima, ako postoji broj m takav da za bilo koju vrijednost x ê X vrijedi nejednakost f( x) >m).

Definicija 4.

Kaže se da je funkcija y = f(x) ograničena odozgo na skup X s D(f) ako su sve vrijednosti funkcije manje od određenog broja (drugim riječima, ako postoji broj M kao da za bilo koju vrijednost x ê X vrijedi nejednakost f(x).< М).

Ako skup X nije specificiran, podrazumijeva se da je riječ o ograničenosti funkcije odozdo ili odozgo u cijeloj domeni definicije.

Ako je funkcija ograničena i odozdo i odozgo, naziva se ograničena.

Ograničenost funkcije lako se očitava iz njezina grafa: ako je funkcija omeđena odozdo, tada se njezin graf u cijelosti nalazi iznad određene horizontalne crte y = m (sl. 57); ako je funkcija ograničena odozgo, tada se njezin graf u cijelosti nalazi ispod neke horizontalne crte y = M (slika 58).

Primjer 2. Ispitati ograničenost funkcije
Riješenje. S jedne strane, nejednakost je sasvim očita (po definiciji korijen To znači da je funkcija ograničena odozdo. S druge strane, imamo i stoga
To znači da je funkcija gornje granice. Sada pogledajte grafikon dana funkcija(slika 52 iz prethodnog odlomka). Ograničenje funkcije i gore i ispod može se vrlo lako očitati iz grafikona.

Definicija 5.

Broj m naziva se najmanja vrijednost funkcije y = f(x) na skupu X C D(f) ako je:

1) u X postoji točka x 0 takva da je f(x 0) = m;

2) za sve x iz X vrijedi nejednakost m>f(x 0).

Definicija 6.

Broj M nazivamo najvećom vrijednošću funkcije y = f(x) na skupu X C D(f), ako je:
1) u X postoji točka x 0 takva da je f(x 0) = M;
2) za sve x iz X nejednakost
Najmanju vrijednost funkcije smo iu 7. i 8. razredu označavali simbolom y, a najveću simbolom y.

Ako skup X nije naveden, tada se pretpostavlja da je riječ o pronalaženju najmanjeg odn najveća vrijednost funkcionira kroz cijelu domenu definicije.

Sljedeće korisne izjave su sasvim očite:

1) Ako funkcija ima Y, tada je ograničena odozdo.
2) Ako funkcija ima Y, onda je ograničena odozgo.
3) Ako funkcija nije ograničena odozdo, tada Y ne postoji.
4) Ako funkcija nije omeđena odozgo, tada Y ne postoji.

Primjer 3.

Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije
Riješenje.

Sasvim je očito, pogotovo ako koristite graf funkcije (sl. 52), da je = 0 (funkcija postiže ovu vrijednost u točkama x = -3 i x = 3), a = 3 (funkcija postiže ovu vrijednost u točkama x = 0.
U 7. i 8. razredu spomenuli smo još dva svojstva funkcija. Prvo se naziva svojstvo konveksnosti funkcije. Smatra se da je funkcija konveksna prema dolje na intervalu X ako, spajanjem bilo koje dvije točke njezina grafa (s apscisama iz X) ravnim odsječkom, nađemo da relevantni dio grafika se nalazi ispod nacrtanog segmenta (slika 59). kontinuitet Funkcija je konveksna prema gore na intervalu X ako spajanjem bilo koje dvije točke njezina grafa (s apscisama iz X) funkcije ravnim odsječkom utvrdimo da odgovarajući dio grafa leži iznad nacrtanog odsječka ( slika 60).

Drugo svojstvo - neprekidnost funkcije na intervalu X - znači da je graf funkcije na intervalu X kontinuiran, tj. nema uboda niti skokova.

Komentar.

Zapravo, u matematici je sve, kako kažu, "upravo suprotno": graf funkcije prikazan je kao puna linija (bez uboda ili skokova) samo kada se dokaže kontinuitet funkcije. Ali formalna definicija kontinuiteta funkcije, koja je prilično složena i suptilna, još nije u našim mogućnostima. Isto se može reći i za konveksnost funkcije. Kada raspravljamo o ova dva svojstva funkcija, nastavit ćemo se oslanjati na vizualne i intuitivne koncepte.

Sada provjerimo svoje znanje. Prisjećajući se funkcija koje smo učili u 7. i 8. razredu, pojasnimo kako izgledaju njihovi grafovi i nabrojimo svojstva funkcije, pridržavajući se određenog redoslijeda, na primjer ovo: domena definicije; monotonija; ograničenje; , ; kontinuitet; opseg; konveksan.

Nakon toga će se pojaviti nova svojstva funkcija, a popis svojstava će se promijeniti u skladu s tim.

1. Funkcija konstante y = C

Graf funkcije y = C prikazan je na sl. 61 - ravna linija, paralelna s osi x. To je toliko nezanimljiva značajka da nema smisla navoditi njena svojstva.

Graf funkcije y = kx + m je pravac (sl. 62, 63).

Svojstva funkcije y = kx + m:

1)
2) raste ako je k > 0 (slika 62), smanjuje se ako je k< 0 (рис. 63);

4) ne postoji ni najveći ni najniže vrijednosti;
5) funkcija je neprekidna;
6)
7) o konveksnosti nema smisla govoriti.

Graf funkcije y = kx 2 je parabola s vrhom u ishodištu i s granama usmjerenim prema gore ako je k > O (sl. 64), odnosno prema dolje ako je k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Svojstva funkcije y - kx 2:

Za slučaj k> 0 (slika 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = ne postoji;
5) kontinuirani;
6) E(f) = funkcija opada, a na intervalu opada na zraku;
7) konveksno prema gore.

Graf funkcije y = f(x) iscrtava se točku po točku; Što više točaka oblika (x; f(x)) uzmemo, dobit ćemo točniju predodžbu o grafu. Ako uzmete mnogo ovih točaka, dobit ćete potpuniju sliku grafikona. Upravo u ovom slučaju intuicija nam govori da bi grafikon trebao biti prikazan kao puna linija (u ovom slučaju u obliku parabole). A onda, čitajući graf, donosimo zaključke o kontinuitetu funkcije, o njenoj konveksnosti prema dolje ili prema gore, o rasponu vrijednosti funkcije. Morate shvatiti da su od navedenih sedam svojstava samo svojstva 1), 2), 3), 4) “legitimna” - “legitimna” u smislu da ih možemo opravdati pozivajući se na precizne definicije. Imamo samo vizualne i intuitivne ideje o preostalim svojstvima. Usput, nema ništa loše u ovome. Iz povijesti razvoja matematike poznato je da je čovječanstvo često i dugo koristilo različita svojstva pojedinih objekata, ne znajući točne definicije. Onda, kada su se takve definicije mogle formulirati, sve je sjelo na svoje mjesto.

Graf funkcije je hiperbola, koordinatne osi služe kao asimptote hiperbole (sl. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) ako je k > 0, tada funkcija opada na otvorenoj zraci (-oo, 0) i na otvorenoj zraci (0, +oo) (sl. 66); ako se< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nije ograničen ni odozdo ni odozgo;
4) ne postoji ni najmanja ni najveća vrijednost;
5) funkcija je neprekidna na otvorenoj zraci (-oo, 0) i na otvorenoj zraci (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U (0,+oo);
7) ako je k > 0, tada je funkcija konveksna prema gore u x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, tj. na otvorenoj gredi (0, +oo) (slika 66). Ako se< 0, то функция выпукла вверх при х >O i konveksan prema dolje na x< О (рис. 67).
Graf funkcije je grana parabole (slika 68). Svojstva funkcije:
1) D(f) = , raste na zraku. Na ovom segmentu $16-x^2≤16$ ili $\sqrt(16-x^2)≤4$, ali to znači ograničeno odozgo.
Odgovor: naša je funkcija ograničena na dvije ravne crte $y=0$ i $y=4$.

Najveća i najniža vrijednost

Najmanja vrijednost funkcije y= f(x) na skupu X⊂D(f) je neki broj m takav da je:

b) Za bilo koje hϵH vrijedi $f(x)≥f(x0)$.

Najveća vrijednost funkcije y=f(x) na skupu X⊂D(f) je neki broj m takav da je:
a) Postoji neki x0 takav da je $f(x0)=m$.
b) Za bilo koji hϵH vrijedi $f(x)≤f(x0)$.

Najveće i najmanje vrijednosti obično se označavaju s y max. i y ime .

Pojmovi ograničenosti i najveće s najmanjom vrijednošću funkcije usko su povezani. Sljedeće izjave su istinite:
a) Ako postoji minimalna vrijednost za funkciju, onda je ona ograničena ispod.
b) Ako funkcija ima najveću vrijednost, onda je ograničena odozgo.
c) Ako funkcija nije omeđena odozgo, tada najveća vrijednost ne postoji.
d) Ako funkcija nije ograničena odozdo, tada najmanja vrijednost ne postoji.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Rješenje: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Za $h=4$ $f(4)=5$, za sve ostale vrijednosti funkcija ima manje vrijednosti ili ne postoji, odnosno ovo je najveća vrijednost funkcije.
Prema definiciji: $9-4x^2+16x≥0$. Nađimo korijene kvadratnog trinoma $(2x+1)(2x-9)≥0$. Na $x=-0,5$ i $x=4,5$ funkcija nestaje; u svim ostalim točkama je veća od nule. Tada je po definiciji najmanja vrijednost funkcije jednaka nuli.
Odgovor: y max. =5 i y ime. =0.

Ljudi, također smo proučavali koncept konveksnosti funkcije. Prilikom rješavanja nekih problema, možda će nam trebati ovo svojstvo. Ovo se svojstvo također lako utvrđuje pomoću grafikona.

Funkcija je konveksna prema dolje ako su bilo koje dvije točke na grafu izvorne funkcije spojene i graf funkcije se nalazi ispod linije spajanja točaka.

Funkcija je konveksna prema gore ako su bilo koje dvije točke na grafu izvorne funkcije povezane i graf funkcije se nalazi iznad linije spajanja točaka.

Funkcija je kontinuirana ako graf naše funkcije nema prekida, na primjer, kao gornji graf funkcije.

Ako trebate pronaći svojstva funkcije, redoslijed traženja svojstava je sljedeći:
a) Domena definicije.
b) Monotonija.
c) Ograničenje.
d) Najveća i najmanja vrijednost.
d) Kontinuitet.
e) Raspon vrijednosti.

Pronađite svojstva funkcije $y=-2x+5$.
Riješenje.
a) Domena definicije D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonija. Provjerimo bilo koje vrijednosti x1 i x2 i pustimo x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Od x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Ograničenje. Očito funkcija nije ograničena.
d) Najveća i najmanja vrijednost. Budući da je funkcija neograničena, ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost.
d) Kontinuitet. Graf naše funkcije nema prekida, tada je funkcija kontinuirana.
e) Raspon vrijednosti. E(y)=(-∞;+∞).

Zadaci o svojstvima funkcije za samostalno rješavanje

Funkciju y=f(x) ćemo nazvati GORNJE OGRANIČENO (DNO) na skupu A iz domene definicije D(f) ako takav broj postoji M , da je za bilo koji x iz ovog skupa uvjet zadovoljen

Koristeći logičke simbole, definicija se može napisati kao:

f(x) – omeđen iznad na skupu

(f(x) – omeđen odozdo na setu

Također se uvode u razmatranje funkcije ograničene modulom ili jednostavno ograničene.

Nazvati ćemo funkciju OGRANIČENOM na skupu A iz domene definicije ako postoji pozitivan broj M takav da

Jezikom logičkih simbola

f(x) – ograničen na setu

Funkcija koja nije ograničena naziva se neograničena. Znamo da definicije dane negacijom imaju malo sadržaja. Da bismo ovu tvrdnju formulirali kao definiciju, koristimo se svojstvima kvantifikatorskih operacija (3.6) i (3.7). Tada će negiranje ograničenosti funkcije u jeziku logičkih simbola dati:

f(x) – ograničen na setu

Dobiveni rezultat omogućuje nam da formuliramo sljedeću definiciju.

Funkcija se naziva NEOGRANIČENOM na skupu A koji pripada domeni definicije funkcije ako na tom skupu za bilo koji pozitivan broj M postoji takva vrijednost argumenta x , da će vrijednost ipak premašiti vrijednost M tj.

Kao primjer, razmotrite funkciju

Definirana je na cijeloj realnoj osi. Ako uzmemo segment [–2;1] (skup A), tada će na njemu biti ograničen i odozgo i odozdo.

Doista, da bismo pokazali da je ograničen odozgo, moramo razmotriti predikat

i pokazati da postoji (postoji) takvo M da će za sve x uzeto na intervalu [–2;1] vrijediti

Pronaći takav M nije teško. Možemo pretpostaviti da je M = 7, kvantifikator postojanja uključuje pronalaženje barem jedne vrijednosti M. Prisutnost takvog M potvrđuje činjenicu da je funkcija na intervalu [–2;1] ograničena odozgo.

Da bismo dokazali da je ograničen odozdo, moramo razmotriti predikat

Vrijednost M koja osigurava istinitost danog predikata je, na primjer, M = –100.

Može se dokazati da će funkcija također biti ograničena u modulu: za sve x iz intervala [–2;1], vrijednosti funkcije se podudaraju s vrijednostima od , pa kao M možemo uzeti, za na primjer, prethodna vrijednost M = 7.

Pokažimo da će ista funkcija, ali na intervalu, biti neograničena, tj

Da bismo pokazali da takav x postoji, razmotrimo izjavu

Tražeći tražene vrijednosti x među pozitivnim vrijednostima argumenta, dobivamo

To znači da bez obzira koji pozitivni M uzmemo, vrijednosti x koje osiguravaju ispunjenje nejednakosti

dobivaju se iz relacije .

Razmatrajući funkciju na cijeloj realnoj osi, može se pokazati da je ona neograničena u apsolutnoj vrijednosti.

Doista, iz nejednakosti

To jest, bez obzira koliko je velik pozitivan M, ili će osigurati ispunjenje nejednakosti.

EKSTREMNA FUNKCIONALNOST.

Funkcija ima u točki S lokalni maksimum (minimum), ako postoji takva okolina ove točke da za x¹ S iz ove okoline vrijedi nejednakost

posebno da točka ekstrema može biti samo unutarnja točka intervala i f(x) na njoj mora nužno biti definiran. Mogući slučajevi nepostojanja ekstremuma prikazani su na sl. 8.8.

Ako funkcija raste (opada) na određenom intervalu i opada (raste) na određenom intervalu, tada točka S je lokalna maksimalna (minimalna) točka.

Odsutnost maksimuma funkcije f(x) u točki S može se formulirati ovako:

_______________________

f(x) ima maksimum u točki c

To znači da ako točka c nije lokalna maksimalna točka, tada će bez obzira na susjedstvo koje uključuje točku c kao unutarnju, postojati barem jedna vrijednost x koja nije jednaka c za koju . Prema tome, ako u točki c nema maksimuma, tada u ovoj točki možda uopće nema ekstrema ili to može biti točka minimuma (slika 8.9).

Koncept ekstrema daje komparativnu procjenu vrijednosti funkcije u bilo kojoj točki u odnosu na obližnje. Slična usporedba vrijednosti funkcije može se provesti za sve točke određenog intervala.

NAJVEĆA (NAJMANJA) vrijednost funkcije na skupu je njezina vrijednost u točki iz tog skupa takva da je – na . Najveću vrijednost funkcija postiže u unutarnjoj točki segmenta, a najmanju – na njegovom lijevom kraju.

Za određivanje najveće (najmanje) vrijednosti funkcije navedene na intervalu, potrebno je odabrati najveći (najmanji) broj među svim vrijednostima njezinih maksimuma (minimuma), kao i prihvaćenih vrijednosti na krajevima intervala. To će biti najveća (najmanja) vrijednost funkcije. Ovo pravilo će biti razjašnjeno kasnije.

Problem pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije na otvorenom intervalu nije uvijek lako riješiti. Na primjer, funkcija

u intervalu (sl. 8.11) ih nema.

Uvjerimo se, na primjer, da ova funkcija nema najveći značaj. Zapravo, uzimajući u obzir monotonost funkcije, može se tvrditi da bez obzira koliko blizu vrijednosti x postavili lijevo od jedinice, postojat će drugi x u kojima će vrijednosti funkcije biti veći od njegovih vrijednosti u uzetim fiksnim točkama, ali ipak manji od jedan.