Funkcija izgradnje

Nudimo vam uslugu za izradu grafova funkcija na mreži, čija sva prava pripadaju tvrtki Desmos. Koristite lijevi stupac za unos funkcija. Možete unijeti ručno ili pomoću virtualne tipkovnice na dnu prozora. Da biste povećali prozor s grafikonom, možete sakriti lijevi stupac i virtualnu tipkovnicu.

Prednosti online crtanja grafikona

• Vizualni prikaz unesenih funkcija
• Izgradnja vrlo složenih grafikona
• Konstrukcija grafova navedenih implicitno (na primjer, elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Mogućnost spremanja grafikona i primanja poveznice na njih, koja postaje dostupna svima na Internetu
• Kontrola mjerila, boja linije
• Mogućnost iscrtavanja grafova po točkama, korištenjem konstanti
• Iscrtavanje nekoliko grafova funkcija istovremeno
• Crtanje u polarnim koordinatama (koristite r i θ(\theta))

S nama je jednostavno izgraditi grafikone različite složenosti online. Izgradnja se vrši trenutno. Usluga je tražena za pronalaženje točaka sjecišta funkcija, za prikazivanje grafova za njihovo daljnje premještanje u Word dokument kao ilustracije pri rješavanju problema, za analizu karakteristika ponašanja grafova funkcija. Optimalan preglednik za rad s grafikonima na ovoj stranici web mjesta je Google Chrome. Ispravan rad nije zajamčen kada koristite druge preglednike.

Kako proučavati funkciju i izgraditi njezin graf?

Čini mi se da počinjem shvaćati duhovno pronicljivo lice vođe svjetskog proletarijata, autora sabranih djela u 55 svezaka... Dugo putovanje počelo je osnovnim informacijama o funkcije i grafove, a sada rad na radno intenzivnoj temi završava logičnim rezultatom - člankom o potpunoj studiji funkcije. Dugo očekivani zadatak formuliran je na sljedeći način:

Istražite funkciju pomoću metoda diferencijalni račun te na temelju rezultata istraživanja izgraditi grafikon

Ili ukratko: ispitajte funkciju i izgradite graf.

Zašto istraživati? U jednostavnim slučajevima, neće nam biti teško razumjeti elementarne funkcije i nacrtati graf dobiven pomoću elementarne geometrijske transformacije i tako dalje. Međutim, svojstva i grafičke slike više složene funkcije daleko su od očitih, zbog čega je potrebna cijela studija.

Glavni koraci rješenja sažeti su u referentnom materijalu Shema proučavanja funkcija, ovo je vaš vodič kroz odjeljak. Lutkani trebaju objašnjenje teme korak po korak, neki čitatelji ne znaju odakle započeti ili kako organizirati svoje istraživanje, a napredne studente može zanimati samo nekoliko točaka. Ali tko god da ste, dragi posjetitelju, predloženi sažetak s naputcima na razne lekcije brzo će vas orijentirati i voditi u smjeru koji vas zanima. Roboti liju suze =) Priručnik je postavljen kao pdf datoteka i zauzeo je svoje pravo mjesto na stranici Matematičke formule i tablice.

Navikao sam raščlaniti istraživanje funkcije u 5-6 točaka:

6) Dodatni bodovi i grafikon na temelju rezultata istraživanja.

Što se tiče završne akcije, mislim da je svima sve jasno - bit će vrlo razočaravajuće ako se za nekoliko sekundi precrta i zadatak vrati na doradu. ISPRAVAN I TOČAN CRTEŽ glavni je rezultat rješenja! Vjerojatno će “prikriti” analitičke pogreške, dok će netočan i/ili nemaran raspored uzrokovati probleme čak i uz savršeno provedeno istraživanje.

Treba napomenuti da se u drugim izvorima broj istraživačkih točaka, redoslijed njihove provedbe i stil dizajna mogu značajno razlikovati od sheme koju sam predložio, ali u većini slučajeva sasvim je dovoljno. Najjednostavnija verzija problema sastoji se od samo 2-3 faze i formulirana je otprilike ovako: "istražite funkciju pomoću derivacije i izgradite graf" ili "istražite funkciju pomoću 1. i 2. derivacije, izgradite graf."

Naravno, ako vaš priručnik detaljno opisuje neki drugi algoritam ili vaš nastavnik striktno zahtijeva da se pridržavate njegovih predavanja, tada ćete morati unijeti neke prilagodbe u rješenje. Ništa teže od zamjene vilice motorne pile žlicom.

Provjerimo funkciju za par/nepar:

Nakon toga slijedi predložak odgovora:
, što znači da ova funkcija nije parna ni neparna.

Budući da je funkcija kontinuirana na , nema vertikalnih asimptota.

Nema ni kosih asimptota.

Bilješka : Podsjećam da je viši red rasta, nego , stoga je konačna granica točno “ plus beskonačnost."

Otkrijmo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti:

Drugim riječima, ako idemo udesno, tada graf ide beskonačno daleko gore, ako idemo ulijevo, ide beskonačno daleko dolje. Da, također postoje dva ograničenja pod jednim unosom. Ako imate poteškoća s dešifriranjem znakova, posjetite lekciju o infinitezimalne funkcije.

Dakle funkcija nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo. S obzirom da nemamo prijelomnih točaka, postaje jasno raspon funkcija: – također bilo koji realni broj.

KORISNA TEHNIČKA TEHNIKA

Svaka faza zadatka donosi nove informacije o grafu funkcije, stoga je tijekom rješenja prikladno koristiti neku vrstu LAYOUT-a. Nacrtajmo Kartezijev koordinatni sustav na nacrtu. Što se već pouzdano zna? Prvo, graf nema asimptote, stoga nema potrebe crtati ravne linije. Drugo, znamo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti. Prema analizi, izvlačimo prvu aproksimaciju:

Imajte na umu da zbog kontinuiteta funkcija uključena i činjenica da graf mora prijeći os barem jednom. Ili možda postoji nekoliko točaka sjecišta?

3) Nule funkcije i intervali konstantnog predznaka.

Najprije pronađimo točku presjeka grafa s osi ordinata. Jednostavno je. Potrebno je izračunati vrijednost funkcije pri:

Jedan i pol iznad razine mora.

Da bismo pronašli sjecišne točke s osi (nulte točke funkcije), potrebno je riješiti jednadžbu i tu nas čeka neugodno iznenađenje:

Na kraju vreba slobodni član, što znatno otežava zadatak.

Takva jednadžba ima barem jedan realan korijen, a najčešće je taj korijen iracionalan. U najgoroj bajci čekaju nas tri praščića. Jednadžba je rješiva ​​pomoću tzv Cardano formule, ali oštećenje papira usporedivo je s gotovo cijelom studijom. S tim u vezi, pametnije je pokušati odabrati barem jedan, usmeno ili u nacrtu. cijeli korijen. Provjerimo jesu li ovi brojevi:
– nije prikladno;
- Tamo je!

Sretno ovdje. U slučaju neuspjeha, također možete testirati , a ako ti brojevi ne odgovaraju, bojim se da su vrlo male šanse za isplativo rješenje jednadžbe. Tada je bolje potpuno preskočiti točku istraživanja - možda će nešto postati jasnije u posljednjem koraku, kada se probiju dodatne točke. A ako je korijen(i) očito "loš", onda je bolje skromno šutjeti o intervalima postojanosti znakova i crtati pažljivije.

Međutim, imamo prekrasan korijen, pa dijelimo polinom bez ostatka:

Algoritam za dijeljenje polinoma polinomom detaljno je objašnjen u prvom primjeru lekcije Složena ograničenja.

Kao rezultat toga, lijeva strana izvorne jednadžbe razlaže se u proizvod:

A sada malo o tome zdravživot. Ja to, naravno, razumijem kvadratne jednadžbe treba rješavati svaki dan, ali danas ćemo napraviti iznimku: jednadžbu ima dva prava korijena.

Nacrtajmo pronađene vrijednosti na brojevnu liniju I metoda intervala Definirajmo predznake funkcije:


og Dakle, na intervalima raspored se nalazi
ispod x-osi i u intervalima – iznad ove osi.

Nalazi nam omogućuju da poboljšamo naš izgled, a druga aproksimacija grafikona izgleda ovako:

Imajte na umu da funkcija mora imati barem jedan maksimum na intervalu i barem jedan minimum na intervalu. Ali još ne znamo koliko puta, gdje i kada će se raspored ponavljati. Usput, funkcija može imati beskonačno mnogo krajnosti.

4) Rast, opadanje i ekstremi funkcije.

Pronađimo kritične točke:

Ova jednadžba ima dva prava korijena. Stavimo ih na brojevnu crtu i odredimo predznake izvoda:


Stoga se funkcija povećava za a smanjuje se za .
U točki funkcija doseže svoj maksimum: .
U trenutku kada funkcija dosegne minimum: .

Utvrđene činjenice guraju naš predložak u prilično krut okvir:

Nepotrebno je reći da je diferencijalni račun moćna stvar. Hajde da konačno shvatimo oblik grafikona:

5) Konveksnost, konkavnost i točke infleksije.

Nađimo kritične točke druge derivacije:

Definirajmo znakove:


Graf funkcije je konveksan na , a konkavan na . Izračunajmo ordinatu točke infleksije: .

Gotovo sve je postalo jasno.

6) Ostaje pronaći dodatne točke koje će vam pomoći da točnije konstruirate grafikon i izvršite samotestiranje. U ovom slučaju ih je malo, ali ih nećemo zanemariti:

Napravimo crtež:

zelena Točka infleksije je označena, a dodatne točke su označene križićima. Graf kubične funkcije je simetričan oko svoje točke infleksije, koja se uvijek nalazi strogo u sredini između maksimuma i minimuma.

Kako je zadatak napredovao, dao sam tri hipotetska privremena crteža. U praksi je dovoljno nacrtati koordinatni sustav, označiti pronađene točke i nakon svake točke istraživanja mentalno procijeniti kako bi graf funkcije mogao izgledati. Studentima s dobrom razinom pripreme neće biti teško provesti takvu analizu samo u svojim glavama bez uključivanja nacrta.

Za neovisna odluka:

Primjer 2

Istražite funkciju i izgradite grafikon.

Ovdje je sve brže i zabavnije, približan primjer konačnog dizajna na kraju lekcije.

Proučavanje frakcijskih racionalnih funkcija otkriva mnoge tajne:

Primjer 3

Koristite metode diferencijalnog računa za proučavanje funkcije i na temelju rezultata istraživanja konstruirajte njezin graf.

Riješenje: prva faza studije ne ističe se ničim značajnim, s izuzetkom rupe u području definicije:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijelom brojevnom pravcu osim točke, domena: .

, što znači da ova funkcija nije parna ni neparna.

Očito, funkcija je neperiodična.

Graf funkcije predstavlja dvije kontinuirane grane smještene u lijevoj i desnoj poluravnini - to je možda i najvažniji zaključak točke 1.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

a) Koristeći jednostrane granice, ispitujemo ponašanje funkcije u blizini sumnjive točke, gdje bi trebala jasno postojati okomita asimptota:

Doista, funkcije traju beskrajni jaz u točki
a pravac (os) je vertikalna asimptota grafička umjetnost .

b) Provjerimo postoje li kose asimptote:

Da, ravno je kosa asimptota grafika ako .

Limese nema smisla analizirati jer je već jasno da funkcija obuhvaća svoju kosu asimptotu nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo.

Druga točka studije donijela je mnogo važna informacija o funkciji. Napravimo grubu skicu:

Zaključak br. 1 odnosi se na intervale konstantnog predznaka. Na "minus beskonačno" graf funkcije jasno se nalazi ispod x-osi, a na "plus beskonačno" je iznad ove osi. Osim toga, jednostrane granice su nam rekle da je i lijevo i desno od točke funkcija također veća od nule. Imajte na umu da u lijevoj poluravnini grafikon mora prijeći x-os barem jednom. U desnoj poluravnini ne smije postojati nula funkcija.

Zaključak br. 2 je da funkcija raste na i lijevo od točke (ide “odozdo prema gore”). Desno od ove točke funkcija se smanjuje (ide "odozgo prema dolje"). Desna grana grafa svakako mora imati barem jedan minimum. Na lijevoj strani, ekstremi nisu zajamčeni.

Zaključak br. 3 daje pouzdanu informaciju o konkavnosti grafa u blizini točke. Ne možemo još ništa reći o konveksnosti/konkavnosti u beskonačnosti, budući da se crta može pritisnuti prema svojoj asimptoti i odozgo i odozdo. Općenito govoreći, postoji analitički način da se to shvati upravo sada, ali će oblik grafikona postati jasniji u kasnijoj fazi.

Zašto toliko riječi? Za kontrolu naknadnih točaka istraživanja i izbjegavanje pogrešaka! Daljnji izračuni ne bi trebali biti u suprotnosti s izvedenim zaključcima.

3) Točke presjeka grafa s koordinatnim osima, intervali konstantnog predznaka funkcije.

Graf funkcije ne siječe os.

Intervalnom metodom određujemo predznake:

, Ako ;
, Ako .

Rezultati ove točke u potpunosti su u skladu sa Zaključkom br. 1. Nakon svake faze pogledajte nacrt, mentalno provjerite istraživanje i dovršite graf funkcije.

U primjeru koji razmatramo, brojnik je pojam po pojam podijeljen nazivnikom, što je vrlo korisno za razlikovanje:

Zapravo, to je već učinjeno kod pronalaženja asimptota.

- kritična točka.

Definirajmo znakove:

povećava se za a smanjuje se za

U trenutku kada funkcija dosegne minimum: .

Sa Zaključkom br. 2 također nije bilo odstupanja i najvjerojatnije smo na dobrom putu.

To znači da je graf funkcije konkavan u cijeloj domeni definicije.

Sjajno - i ne morate ništa crtati.

Nema točaka infleksije.

Konkavnost je u skladu sa zaključkom br. 3, štoviše, ukazuje da se u beskonačnosti (i tamo i tamo) nalazi graf funkcije viši njegovu kosu asimptotu.

6) Zadatak ćemo savjesno prikvačiti dodatnim bodovima. Tu ćemo se morati jako potruditi, jer iz istraživanja znamo samo dvije točke.

I slika koju su mnogi vjerojatno davno zamislili:

Tijekom izvršenja zadatka morate pažljivo osigurati da nema proturječja između faza istraživanja, ali ponekad je situacija hitna ili čak očajnički slijepa. Analitika se "ne zbraja" - to je sve. U ovom slučaju preporučujem hitnu tehniku: pronađemo što više točaka koje pripadaju grafu (koliko strpljenja imamo) i označimo ih na koordinatnoj ravnini. Grafička analiza pronađenih vrijednosti će vam u većini slučajeva reći gdje je istina, a gdje laž. Osim toga, grafikon se može unaprijed izgraditi pomoću nekog programa, na primjer, u Excelu (naravno, to zahtijeva vještine).

Primjer 4

Koristite metode diferencijalnog računa za proučavanje funkcije i konstruiranje njezina grafikona.

Ovo je primjer koji sami trebate riješiti. U njemu je samokontrola pojačana paritetom funkcije - graf je simetričan oko osi, a ako postoji nešto u vašem istraživanju što je u suprotnosti s tom činjenicom, potražite pogrešku.

Čak ili neparna funkcija može se istražiti samo na , a zatim koristiti simetriju grafa. Ovo rješenje je optimalno, ali, po mom mišljenju, izgleda vrlo neobično. Osobno gledam cijeli brojevni pravac, ali i dalje nalazim dodatne točke samo s desne strane:

Primjer 5

Provedite cjelovitu studiju funkcije i konstruirajte njezin graf.

Riješenje: stvari su postale teške:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijelom brojevnom pravcu: .

To znači da je ova funkcija neparna, njen graf je simetričan oko ishodišta.

Očito, funkcija je neperiodična.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

Budući da je funkcija kontinuirana na , nema vertikalnih asimptota

Za funkciju koja sadrži eksponent, to je tipično odvojiti proučavanje “plus” i “minus beskonačnosti”, međutim, život nam olakšava simetrija grafa - ili postoji asimptota i lijevo i desno, ili je nema. Stoga se obje beskonačne granice mogu napisati pod jednim unosom. Tijekom otopine koju koristimo L'Hopitalovo pravilo:

Pravac (os) je horizontalna asimptota grafa na .

Imajte na umu kako sam lukavo izbjegao puni algoritam za pronalaženje kose asimptote: granica je potpuno legalna i pojašnjava ponašanje funkcije u beskonačnosti, a horizontalna asimptota je otkrivena "kao da je u isto vrijeme."

Iz kontinuiteta na i postojanja horizontalne asimptote slijedi da funkcija omeđen iznad I omeđeno ispod.

3) Točke presjeka grafa s koordinatnim osima, intervali konstantnog predznaka.

Ovdje također skraćujemo rješenje:
Graf prolazi kroz ishodište.

Ne postoje druge sjecišne točke s koordinatnim osima. Štoviše, intervali konstantnosti predznaka su očiti, a os nije potrebno povlačiti: , što znači da predznak funkcije ovisi samo o “x”:
, Ako ;
, Ako .

4) Rast, opadanje, ekstremi funkcije.


– kritične točke.

Točke su simetrične oko nule, kao što bi i trebalo biti.

Odredimo predznake izvoda:


Funkcija raste na intervalu, a opada na intervalima

U točki funkcija doseže svoj maksimum: .

Zbog imovine (neparnost funkcije) minimum se ne mora izračunati:

Budući da funkcija opada tijekom intervala, tada se, očito, graf nalazi na "minus beskonačno" pod, ispod njegovu asimptotu. Tijekom intervala funkcija također opada, ali ovdje je suprotno - nakon što prođe kroz maksimalnu točku, linija se približava osi odozgo.

Iz navedenog također proizlazi da je graf funkcije konveksan u “minus beskonačno” i konkavan u “plus beskonačno”.

Nakon ove točke proučavanja, nacrtan je raspon vrijednosti funkcije:

Ako imate bilo kakvih nesporazuma oko bilo koje točke, još jednom vas pozivam da nacrtate koordinatne osi u svoju bilježnicu i s olovkom u rukama ponovno analizirate svaki zaključak zadatka.

5) Konveksnost, konkavnost, pregibi grafa.

– kritične točke.

Simetrija točaka je očuvana i, najvjerojatnije, ne griješimo.

Definirajmo znakove:


Graf funkcije je konveksan na a konkavno na .

Potvrđena je konveksnost/konkavnost u ekstremnim intervalima.

U svim kritičnim točkama postoje krivulje na grafu. Nađimo ordinate točaka infleksije i ponovno smanjimo broj izračuna koristeći neparnost funkcije:

Proces istraživanja funkcije sastoji se od nekoliko faza. Za najpotpunije razumijevanje ponašanja funkcije i prirode njezina grafa potrebno je pronaći:

Područje postojanja funkcije.

Ovaj koncept uključuje i domenu vrijednosti i domenu definicije funkcije.

Prijelomne točke. (Ako je dostupno).

Intervali povećanja i opadanja.

Maksimalni i minimalni broj bodova.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na njezinoj domeni definicije.

Područja konveksnosti i konkavnosti.

Točke infleksije (ako postoje).

Asimptote (ako postoje).

Izgradnja grafa.

Pogledajmo primjenu ove sheme na primjeru.

Primjer. Istražite funkciju i konstruirajte njezin graf.

Nalazimo domenu postojanja funkcije. Očito je da domena definicije funkcija je površina (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).

S druge strane, jasno je da su ravne linije x = 1, x = -1 vertikalne asimptote iskrivljena.

Raspon vrijednosti ove funkcije je interval (-; ).

Prijelomne točke funkcije su točke x = 1, x = -1.

Pronašli smo kritične točke.

Nađimo izvod funkcije

Kritične točke: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.

Nađimo drugu derivaciju funkcije

Odredimo konveksnost i konkavnost krivulje u intervalima.

- < x < -,y < 0, кривая выпуклая

-

1 < x < 0, y >0, konkavna krivulja

0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая

1 < x < ,y >0, konkavna krivulja

< x < , y >0, konkavna krivulja

Pronalaženje praznina povećavajući se I silazni funkcije. Da bismo to učinili, odredimo predznake izvoda funkcije na intervalima.

- < x < -,y >0, funkcija raste

-

1 < x < 0, y < 0, функция убывает

0 < x < 1, y < 0, функция убывает

1 < x < ,y < 0, функция убывает

< x < , y >0, funkcija raste

Vidi se da je točka x = - točka maksimum, a točka x = je točka minimum. Vrijednosti funkcije u tim točkama jednake su 3/2 odnosno -3/2.

O vertikali asimptote već je gore rečeno. Hajdemo sada pronaći kose asimptote.

Ukupno, jednadžba kose asimptote je y = x.

Hajdemo graditi raspored Značajke:

U nastavku ćemo razmotriti nekoliko primjera istraživanja pomoću metoda diferencijalnog računa različitih vrsta funkcija.

Primjer: Metode diferencijalnog računa

1. Područje definiranja ove funkcije su svi realni brojevi (-; ).

3. Sjecišta s koordinatnim osima: s osi Oy: x = 0; y = 1;

s osi Ox: y = 0; x = 1;

4. Prijelomne točke i asimptote: nema okomitih asimptota.

Nagnute asimptote: opća jednadžba y = kx + b;

Ukupno: y = -x – kosa asimptota.

5. Rastuća i padajuća funkcija, točke ekstrema.

Vidi se da je y 0 za bilo koji x  0, dakle, funkcija opada u cijeloj domeni definicije i nema ekstrema. U točki x = 0, prva derivacija funkcije jednaka je nuli, ali u ovoj točki smanjenje se ne mijenja u povećanje, stoga u točki x = 0 funkcija najvjerojatnije ima infleksiju. Da bismo pronašli točke infleksije, nalazimo drugu derivaciju funkcije.

y = 0 za x =0 i y =  za x = 1.

Točke (0,1) i (1,0) su točke infleksije, jer y(1-h)< 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0; y(h)< 0 для любого h > 0.

6. Izgradimo graf funkcije.

Primjer: Istražite funkciju i konstruirajte njezin graf.

1. Domena definicije funkcije su sve vrijednosti x osim x = 0.

2. Funkcija je funkcija opći pogled u značenju par i nepar.

3. Sječne točke s koordinatnim osima: s osi Ox: y = 0; x =

s Oy osi: x = 0; y – ne postoji.

4. Točka x = 0 je točka diskontinuiteta, dakle, pravac x = 0 je vertikalna asimptota.

Trazimo kose asimptote u obliku: y = kx + b.

Kosa asimptota y = x.

5. Pronađite točke ekstrema funkcije.

; y = 0 za x = 2, y =  za x = 0.

y > 0 za x  (-, 0) – funkcija raste,

y< 0 при х  (0, 2) – функция убывает,

y > 0 za x  (2, ) – funkcija raste.

Dakle, točka (2, 3) je minimalna točka.

Da bismo odredili prirodu konveksnosti/konkavnosti funkcije, nalazimo drugu derivaciju.

> 0 za bilo koji x  0, dakle, funkcija je konkavna kroz cijelu domenu definicije.

6. Izgradimo graf funkcije.

Primjer: Istražite funkciju i konstruirajte njezin graf.

Područje definiranja ove funkcije je interval x  (-, ).

U parnom i neparnom smislu funkcija je funkcija općeg oblika.

Sjecišta s koordinatnim osima: s osi Oy: x = 0, y = 0;

s osi Ox: y = 0, x = 0, x = 1.

Asimptote krivulje.

Nema okomitih asimptota.

Pokušajmo pronaći kose asimptote u obliku y = kx + b.

- nema kosih asimptota.

Pronalaženje ekstremnih točaka.

Da biste pronašli kritične točke, trebate riješiti jednadžbu 4x 3 – 9x 2 + 6x –1 = 0.

Da bismo to učinili, faktorizirajmo ovaj polinom trećeg stupnja.

Odabirom možemo utvrditi da je jedan od korijena ove jednadžbe broj

x = 1. Tada je:

4x 3 – 9x 2 + 6x – 1 x - 1

 4x 3 – 4x 2 4x 2 – 5x + 1

Tada možemo napisati (x – 1)(4x 2 – 5x + 1) = 0. Konačno, dobivamo dvije kritične točke: x = 1 i x = ¼.

Bilješka. Operaciju dijeljenja polinoma mogli bismo izbjeći ako bismo pri pronalaženju derivacije koristili formulu za derivaciju umnoška:

Nađimo drugu derivaciju funkcije: 12x 2 – 18x + 6. Izjednačavanjem s nulom nalazimo:

Sistematizirajmo primljene informacije u tablici:

	problem dolje		povećava se problem dolje		povećava se izdati se		povećava se problem dolje

Izgradimo graf funkcije.

Zadatak je provesti cjelovitu studiju funkcije i izgraditi njezin graf.

Svaki učenik prošao je slične zadatke.

Daljnje izlaganje pretpostavlja dobro poznavanje. Preporučujemo da pogledate ovaj odjeljak ako imate bilo kakvih pitanja.

Algoritam istraživanja funkcije sastoji se od sljedećih koraka.

Pronalaženje domene definicije funkcije.

Ovo je vrlo važan korak u proučavanju funkcije, budući da će se sve daljnje radnje provoditi na domeni definicije.

U našem primjeru trebamo pronaći nule nazivnika i isključiti ih iz područja realnih brojeva.



(U drugim primjerima mogu postojati korijeni, logaritmi, itd. Podsjetimo se da se u ovim slučajevima domena definicije pretražuje na sljedeći način:
za korijen parnog stupnja, na primjer, domena definicije nalazi se iz nejednakosti ;
za logaritam - domena definicije nalazi se iz nejednakosti ).

Proučavanje ponašanja funkcije na granici domene definicije, pronalaženje vertikalnih asimptota.

Na granicama domene definicije funkcija ima vertikalne asimptote, ako je na tim graničnim točkama beskonačno.

U našem primjeru, granične točke domene definicije su .

Ispitajmo ponašanje funkcije pri približavanju tim točkama s lijeve i desne strane, za koje nalazimo jednostrane granice:


Budući da su jednostrane granice beskonačne, ravne linije su vertikalne asimptote grafa.

Ispitivanje funkcije na parnost ili neparnost.

Funkcija je čak, Ako . Paritet funkcije označava simetriju grafa u odnosu na ordinatu.

Funkcija je neparan, Ako . Neparnost funkcije označava simetriju grafa u odnosu na ishodište.

Ako nijedna od jednakosti nije zadovoljena, tada imamo funkciju općeg oblika.

U našem primjeru jednakost vrijedi, dakle naša je funkcija parna. To ćemo uzeti u obzir prilikom konstruiranja grafa - on će biti simetričan u odnosu na os oy.

Određivanje intervala rastućih i padajućih funkcija, točaka ekstrema.

Intervali rastućih i opadajućih rješenja su nejednadžbi, odnosno.

Točke u kojima derivacija nestaje nazivaju se stacionarni.

Kritične točke funkcije nazvati unutarnje točke domene definicije u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji.

KOMENTAR(da li uključiti kritične točke u intervale porasta i opadanja).

Kritične točke uključit ćemo u rastuće i padajuće intervale ako pripadaju domeni funkcije.

Tako, odrediti intervale rastuće i opadajuće funkcije

• prvo, nalazimo izvod;
• drugo, nalazimo kritične točke;
• treće, domenu definicije kritičnim točkama dijelimo na intervale;
• četvrto, određujemo predznak derivacije na svakom od intervala. Znak plus će odgovarati intervalu povećanja, znak minus intervalu smanjenja.

Ići!

Derivaciju nalazimo na domeni definicije (ako se pojave poteškoće, vidi odjeljak).


Nalazimo kritične točke za to:

Te točke crtamo na brojevnoj osi i određujemo predznak derivacije unutar svakog rezultirajućeg intervala. Alternativno, možete uzeti bilo koju točku u intervalu i izračunati vrijednost derivacije u toj točki. Ako je vrijednost pozitivna, stavljamo znak plus preko ove praznine i prelazimo na sljedeću, ako je negativna, stavljamo znak minus itd. npr. , dakle, stavljamo plus iznad prvog intervala s lijeve strane.


Zaključujemo:

Shematski, plusevi/minusi označavaju intervale u kojima je derivacija pozitivna/negativna. Strelice za povećanje/spuštanje pokazuju smjer povećanja/smanjenja.

Točke ekstrema funkcije su točke u kojima je funkcija definirana i prolazeći kroz koje derivacija mijenja predznak.

U našem primjeru, točka ekstrema je x=0. Vrijednost funkcije u ovom trenutku je . Budući da derivacija mijenja predznak s plusa na minus kada prolazi kroz točku x=0, tada je (0; 0) točka lokalnog maksimuma. (Ako bi derivacija promijenila predznak s minusa na plus, tada bismo imali lokalnu minimalnu točku).

Određivanje intervala konveksnosti i konkavnosti funkcije i točaka infleksije.

Intervali konkavnosti i konveksnosti funkcije nalaze se rješavanjem nejednadžbi, odnosno.

Ponekad se konkavnost naziva konveksno prema dolje, a konveksna se naziva konveksna prema gore.

Ovdje također vrijede napomene slične onima iz paragrafa o intervalima povećanja i smanjenja.

Tako, odrediti intervale konkavnosti i konveksnosti funkcije:

• prvo, nalazimo drugu derivaciju;
• drugo, nalazimo nule brojnika i nazivnika druge derivacije;
• treće, domenu definiranosti dobivenim točkama dijelimo na intervale;
• četvrto, određujemo predznak druge derivacije na svakom od intervala. Znak plus će odgovarati intervalu konkavnosti, znak minus konveksnom intervalu.

Ići!

Drugu derivaciju nalazimo na domeni definicije.


U našem primjeru nema nula u brojniku, već nula u nazivniku.

Nacrtamo te točke na brojevnoj crti i odredimo predznak druge derivacije unutar svakog rezultirajućeg intervala.



Zaključujemo:

Točka se zove točka infleksije, ako u danoj točki postoji tangenta na graf funkcije i druga derivacija funkcije mijenja predznak prolazeći kroz .

Drugim riječima, točke infleksije mogu biti točke kroz koje druga derivacija mijenja predznak; u samim točkama ona je ili nula ili ne postoji, ali su te točke uključene u domenu definicije funkcije.

U našem primjeru nema infleksijskih točaka, budući da druga derivacija mijenja predznak prolazom kroz točke, te one nisu uključene u domenu definiranja funkcije.

Određivanje horizontalnih i kosih asimptota.

Horizontalne ili kose asimptote treba tražiti samo kada je funkcija definirana u beskonačnosti.

Kose asimptote traže se u obliku ravnih linija, gdje su i .

Ako k=0 i b nije jednako beskonačno, tada će kosa asimptota postati horizontalna.

Tko su uopće te asimptote?

To su pravci kojima se graf funkcije približava u beskonačnosti. Stoga su od velike pomoći u crtanju funkcije.

Ako nema horizontalnih ili kosih asimptota, ali je funkcija definirana na plus beskonačno i (ili) minus beskonačno, tada biste trebali izračunati granicu funkcije na plus beskonačno i (ili) minus beskonačno kako biste imali ideju o ponašanje grafa funkcije.

Za naš primjer

- horizontalna asimptota.

Time završavamo proučavanje funkcije; nastavljamo s crtanjem grafikona.

Izračunavamo vrijednosti funkcije u srednjim točkama.

Za točniju konstrukciju grafa preporučujemo pronalaženje nekoliko vrijednosti funkcije u međutočkama (to jest, u bilo kojoj točki iz domene definicije funkcije).

Za naš primjer, pronaći ćemo vrijednosti funkcije u točkama x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Zbog parnosti funkcije, ove vrijednosti će se poklapati s vrijednostima u točkama x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Izgradnja grafa.

Prvo konstruiramo asimptote, crtamo točke lokalnih maksimuma i minimuma funkcije, točke infleksije i međutočke. Radi praktičnosti konstruiranja grafikona, također možete shematski označiti intervale povećanja, smanjenja, konveksnosti i konkavnosti, nismo uzalud proučavali funkciju =).


Preostaje nacrtati linije grafa kroz označene točke, približavajući se asimptotama i prateći strelice.


Ovo remek djelo vizualne umjetnosti zadatak potpunog ispitivanja funkcije i iscrtavanja grafa je završen.

Neke karte elementarne funkcije mogu se konstruirati pomoću grafova osnovnih elementarnih funkcija.

Jedan od najvažnijih zadataka diferencijalnog računa je razvoj općih primjera proučavanja ponašanja funkcija.

Ako je funkcija y=f(x) neprekidna na intervalu , a njezina je derivacija pozitivna ili jednaka 0 na intervalu (a,b), tada y=f(x) raste za (f"(x)0) . Ako je funkcija y=f (x) neprekidna na segmentu , a njezina derivacija negativna ili jednaka 0 na intervalu (a,b), tada y=f(x) opada za (f"(x)0 )

Intervali u kojima funkcija ne opada niti raste nazivaju se intervali monotonosti funkcije. Monotonost funkcije može se promijeniti samo u onim točkama njezine domene definicije u kojima se mijenja predznak prve derivacije. Točke u kojima prva derivacija funkcije nestaje ili ima diskontinuitet nazivamo kritičnim.

Teorem 1 (1. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka je funkcija y=f(x) definirana u točki x 0 i neka postoji susjedstvo δ>0 tako da je funkcija kontinuirana na intervalu i diferencijabilna na intervalu (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , a njegova derivacija zadržava konstantan predznak na svakom od tih intervala. Tada ako su na x 0 -δ,x 0) i (x 0 , x 0 +δ) predznaci derivacije različiti, tada je x 0 točka ekstrema, a ako se poklapaju, onda x 0 nije točka ekstrema. . Štoviše, ako pri prolasku kroz točku x0 derivacija promijeni predznak iz plus u minus (lijevo od x 0 f"(x)>0 je zadovoljeno, tada je x 0 najveća točka; ako derivacija promijeni predznak iz minus do plus (desno od x 0 izvršeno f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Točke maksimuma i minimuma nazivaju se točkama ekstrema funkcije, a maksimumi i minimumi funkcije nazivaju se njezinim ekstremnim vrijednostima.

Teorem 2 (nužan znak lokalnog ekstrema).

Ako funkcija y=f(x) ima ekstrem u trenutnom x=x 0, tada ili f’(x 0)=0 ili f’(x 0) ne postoji.
U točkama ekstrema diferencijabilne funkcije tangenta na njezin graf je paralelna s osi Ox.

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1) Pronađite izvod funkcije.
2) Pronađite kritične točke, tj. točke u kojima je funkcija kontinuirana, a derivacija nula ili ne postoji.
3) Razmotrite okolicu svake točke i ispitajte predznak derivacije lijevo i desno od te točke.
4) Odredite koordinate ekstremnih točaka; za to zamijenite vrijednosti kritičnih točaka u ovu funkciju. Koristeći dovoljne uvjete za ekstrem, izvucite odgovarajuće zaključke.

Primjer 18. Ispitajte funkciju y=x 3 -9x 2 +24x za ekstrem

Riješenje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Izjednačavanjem izvoda s nulom nalazimo x 1 =2, x 2 =4. U ovom slučaju, derivat je definiran posvuda; To znači da osim dvije nađene točke nema drugih kritičnih točaka.
3) Predznak derivacije y"=3(x-2)(x-4) mijenja se ovisno o intervalu kao što je prikazano na slici 1. Prolaskom kroz točku x=2, derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, a pri prolasku kroz točku x=4 - iz minusa u plus.
4) U točki x=2 funkcija ima maksimum y max =20, a u točki x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (2. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka je f"(x 0) iu točki x 0 postoji f""(x 0). Tada ako je f""(x 0)>0, onda je x 0 točka minimuma, a ako je f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmentu funkcija y=f(x) može postići najmanju (y najmanje) ili najveću (y najveću) vrijednost bilo u kritičnim točkama funkcije koje leže u intervalu (a;b), ili na krajeve segmenta.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu:

1) Pronađite f"(x).
2) Pronađite točke u kojima f"(x)=0 ili f"(x) ne postoji i odaberite među njima one koje leže unutar segmenta.
3) Izračunajte vrijednost funkcije y=f(x) u točkama dobivenim u koraku 2), kao i na krajevima segmenta i odaberite najveću i najmanju od njih: one su, redom, najveće (y najveća) i najmanja (y najmanja) vrijednost funkcije na intervalu.

Primjer 19. Pronađite najveću vrijednost kontinuirane funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmentu.

1) Imamo y"=3x 2 -6x-45 na segmentu
2) Derivacija y" postoji za sve x. Nađimo točke u kojima je y"=0; dobivamo:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 = -3; x 2 =5
3) Izračunajte vrijednost funkcije u točkama x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Isječak sadrži samo točku x=5. Najveća od pronađenih vrijednosti funkcije je 225, a najmanja je broj 50. Dakle, y max = 225, y min = 50.

Proučavanje funkcije na konveksnosti

Na slici su prikazani grafovi dviju funkcija. Prvi od njih je konveksan prema gore, drugi je konveksan prema dolje.

Funkcija y=f(x) je kontinuirana na intervalu i diferencijabilna u intervalu (a;b), naziva se konveksnom prema gore (prema dolje) na tom intervalu ako, za axb, njezin graf ne leži više (ne niže) od tangenta povučena u bilo kojoj točki M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdje je axb.

Teorem 4. Neka funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju u bilo kojoj unutarnjoj točki x segmenta i neka je kontinuirana na krajevima tog segmenta. Tada ako nejednakost f""(x)0 vrijedi na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema dolje na intervalu ; ako nejednakost f""(x)0 vrijedi na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema gore na .

Teorem 5. Ako funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju na intervalu (a;b) i ako prolaskom kroz točku x 0 mijenja predznak, tada je M(x 0 ;f(x 0)) točka infleksije.

Pravilo za pronalaženje točaka infleksije:

1) Pronađite točke u kojima f""(x) ne postoji ili nestaje.
2) Ispitajte znak f""(x) lijevo i desno od svake točke pronađene u prvom koraku.
3) Na temelju teorema 4 izvedite zaključak.

Primjer 20. Odredite točke ekstrema i točke infleksije grafa funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očito, f"(x)=0 kada je x 1 =0, x 2 =1. Prolaskom kroz točku x=0 izvodnica mijenja predznak iz minus u plus, ali prolaskom kroz točku x=1 ne mijenja predznak. To znači da je x=0 točka minimuma (y min =12), a u točki x=1 nema ekstrema. Dalje, nalazimo . Druga derivacija nestaje u točkama x 1 =1, x 2 =1/3. Predznaci druge derivacije se mijenjaju na sljedeći način: Na zraku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) imamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Stoga je x= točka infleksije grafa funkcije (prijelaz iz konveksnosti prema dolje u konveksnost prema gore), a x=1 također je točka infleksije (prijelaz iz konveksnosti prema gore u konveksnost prema dolje). Ako je x=, tada je y=; ako, tada je x=1, y=13.

Algoritam za pronalaženje asimptote grafa

I. Ako je y=f(x) kao x → a, tada je x=a vertikalna asimptota.
II. Ako je y=f(x) kao x → ∞ ili x → -∞, tada je y=A horizontalna asimptota.
III. Za pronalaženje kose asimptote koristimo sljedeći algoritam:
1) Izračunajte. Ako granica postoji i jednaka je b, tada je y=b horizontalna asimptota; ako , prijeđite na drugi korak.
2) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je k, prijeđite na treći korak.
3) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je b, prijeđite na četvrti korak.
4) Zapišite jednadžbu kose asimptote y=kx+b.

Primjer 21: Pronađite asimptotu za funkciju

1)
2)
3)
4) Jednadžba kose asimptote ima oblik

Shema za proučavanje funkcije i konstruiranje njezina grafikona

I. Nađite domenu definicije funkcije.
II. Pronađite točke presjeka grafa funkcije s koordinatnim osima.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite moguće točke ekstrema.
V. Pronađite kritične točke.
VI. Pomoću pomoćne slike istražite predznak prve i druge derivacije. Odrediti područja rastuće i opadajuće funkcije, pronaći smjer konveksnosti grafa, točke ekstrema i točke infleksije.
VII. Konstruirajte grafikon, uzimajući u obzir istraživanje provedeno u odlomcima 1-6.

Primjer 22: Konstruirajte graf funkcije prema gornjem dijagramu

Riješenje.
I. Domena funkcije je skup svih realnih brojeva osim x=1.
II. Budući da jednadžba x 2 +1=0 nema realnih korijena, graf funkcije nema sjecišnih točaka s osi Ox, ali siječe os Oy u točki (0;-1).
III. Razjasnimo pitanje postojanja asimptota. Proučimo ponašanje funkcije u blizini točke diskontinuiteta x=1. Budući da je y → ∞ kao x → -∞, y → +∞ kao x → 1+, tada je pravac x=1 okomita asimptota grafa funkcije.
Ako je x → +∞(x → -∞), tada je y → +∞(y → -∞); dakle, graf nema horizontalnu asimptotu. Nadalje, iz postojanja granica

Rješavanjem jednadžbe x 2 -2x-1=0 dobivamo dvije moguće točke ekstrema:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2

V. Da bismo pronašli kritične točke, izračunavamo drugu derivaciju:

Budući da f""(x) ne nestaje, nema kritičnih točaka.
VI. Ispitajmo predznak prve i druge derivacije. Moguće točke ekstrema koje treba razmotriti: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podijelite domenu postojanja funkcije u intervale (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) i (1+√2;+∞).

U svakom od ovih intervala derivat zadržava svoj predznak: u prvom - plus, u drugom - minus, u trećem - plus. Niz predznaka prve derivacije bit će napisan na sljedeći način: +,-,+.
Nalazimo da funkcija raste na (-∞;1-√2), opada na (1-√2;1+√2) i ponovno raste na (1+√2;+∞). Točke ekstrema: maksimum na x=1-√2, a f(1-√2)=2-2√2 minimum na x=1+√2, te f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) graf je konveksan prema gore, a na (1;+∞) je konveksan prema dolje.
VII Napravimo tablicu dobivenih vrijednosti

VIII Na temelju dobivenih podataka konstruiramo skicu grafa funkcije