Već ste upoznati s mehaničkim radom (radom sile) iz predmeta fizika u osnovnoj školi. Prisjetimo se tamo navedene definicije mehaničkog rada za sljedeće slučajeve.
Ako je sila usmjerena u istom smjeru kao i kretanje tijela, tada je rad sile
U ovom slučaju, rad sile je pozitivan.
Ako je sila usmjerena suprotno gibanju tijela, tada je rad sile
U ovom slučaju, rad sile je negativan.
Ako je sila f_vec usmjerena okomito na pomak s_vec tijela, tada je rad sile jednak nuli:
Rad je skalarna veličina. Jedinica za rad naziva se joule (simbol: J) u čast engleskog znanstvenika Jamesa Joulea, koji je odigrao važnu ulogu u otkriću zakona održanja energije. Iz formule (1) slijedi:
1 J = 1 N * m.
1. Blok mase 0,5 kg pomaknut je po stolu 2 m, djelujući na njega elastičnom silom od 4 N (sl. 28.1). Koeficijent trenja između bloka i stola je 0,2. Koji je rad koji djeluje na blok?
a) gravitacija m?
b) normalne sile reakcije?
c) elastične sile?
d) sile trenja klizanja tr?
Ukupni rad nekoliko sila koje djeluju na tijelo može se izračunati na dva načina:
1. Nađite rad svake sile i zbrojite te radove vodeći računa o predznacima.
2. Odredite rezultantu svih sila koje djeluju na tijelo i izračunajte rad rezultante.
Obje metode dovode do istog rezultata. Da biste se u to uvjerili, vratite se na prethodni zadatak i odgovorite na pitanja u zadatku 2.
2. Čemu je jednako:
a) zbroj rada svih sila koje djeluju na blok?
b) rezultanta svih sila koje djeluju na blok?
c) rezultat rada? U općem slučaju (kada je sila f_vec usmjerena pod proizvoljnim kutom u odnosu na pomak s_vec) definicija rada sile je sljedeća.
Rad stalne sile A jednak je umnošku modula sile F s modulom pomaka s i kosinusa kuta α između smjera sile i smjera pomaka:
A = Fs cos α (4)
3. Pokažite da opća definicija rada dovodi do zaključaka prikazanih na sljedećem dijagramu. Formulirajte ih usmeno i zapišite u bilježnicu.
4. Na blok na stolu djeluje sila čiji je modul 10 N. Koliki je kut između te sile i gibanja bloka ako pri pomicanju bloka 60 cm po stolu ta sila čini rad: a) 3 J; b) –3 J; c) –3 J; d) –6 J? Napravite crteže s objašnjenjima.
2. Rad sile teže
Neka se tijelo mase m giba okomito od početne visine h n do konačne visine h k.
Ako se tijelo kreće prema dolje (h n > h k, sl. 28.2, a), smjer gibanja podudara se sa smjerom gravitacije, stoga je rad gravitacije pozitivan. Ako se tijelo pomakne prema gore (h n< h к, рис. 28.2, б), то работа силы тяжести отрицательна.
U oba slučaja radi se o radu gravitacije
A = mg(h n – h k). (5)
Nađimo sada rad gravitacije kada se krećemo pod kutom u odnosu na okomicu.
5. Mali blok mase m klizio je po kosoj ravnini duljine s i visine h (sl. 28.3). Kosa ravnina s okomicom zatvara kut α.
a) Koliki je kut između smjera sile teže i smjera kretanja bloka? Napravite objašnjavajući crtež.
b) Izrazite rad sile teže preko m, g, s, α.
c) Izrazi s preko h i α.
d) Izrazite rad sile teže preko m, g, h.
e) Koliki je rad gravitacije kada se blok giba prema gore cijelom istom ravninom?
Nakon što ste obavili ovaj zadatak, uvjerili ste se da se rad sile teže izražava formulom (5) čak i kada se tijelo giba pod kutom u odnosu na okomicu - i prema dolje i prema gore.
Ali tada formula (5) za rad gravitacije vrijedi kada se tijelo kreće duž bilo koje putanje, jer se bilo koja putanja (Sl. 28.4, a) može prikazati kao skup malih "nagnutih ravnina" (Sl. 28.4, b) . 
Tako,
rad gravitacije pri kretanju bilo kojom putanjom izražava se formulom
A t = mg(h n – h k),
gdje je h n početna visina tijela, h k njegova konačna visina.
Rad sile teže ne ovisi o obliku putanje.
Na primjer, rad sile teže pri pomicanju tijela iz točke A u točku B (sl. 28.5) duž putanje 1, 2 ili 3 je isti. Odavde, naime, slijedi da je sila teže pri kretanju po zatvorenoj putanji (kada se tijelo vraća u početnu točku) jednaka nuli. 
6. Kuglica mase m koja visi na niti duljine l otklonjena je za 90º držeći nit napetom i otpuštena bez guranja.
a) Koliki je rad sile teže za vrijeme dok se kuglica pomakne u ravnotežni položaj (sl. 28.6)?
b) Koliki rad izvrši sila elastičnosti niti za isto vrijeme?
c) Koliki rad izvrše rezultantne sile koje djeluju na loptu za isto vrijeme?
3. Rad elastične sile
Kada se opruga vrati u nedeformirano stanje, elastična sila uvijek vrši pozitivan rad: njen smjer se podudara sa smjerom gibanja (sl. 28.7). 
Nađimo rad elastične sile.
Modul te sile povezan je s modulom deformacije x relacijom (vidi § 15)
Rad takve sile može se pronaći grafički.
Najprije primijetimo da je rad konstantne sile brojčano jednak površini pravokutnika ispod grafa sile prema pomaku (slika 28.8). 
Slika 28.9 prikazuje graf F(x) za elastičnu silu. Podijelimo mentalno cijelo kretanje tijela na tako male intervale da se sila u svakom od njih može smatrati konstantnom. 
Tada je rad na svakom od ovih intervala numerički jednak površini figure ispod odgovarajućeg dijela grafikona. Sav rad jednak je zbroju rada u tim područjima.
Prema tome, u ovom slučaju, rad je brojčano jednak površini slike ispod grafikona ovisnosti F (x). 
7. Pomoću slike 28.10 dokažite to
rad elastične sile kada se opruga vrati u nedeformirano stanje izražava se formulom
A = (kx 2)/2. (7)
8. Pomoću grafa na slici 28.11 dokažite da se pri promjeni deformacije opruge od x n do x k rad elastične sile izražava formulom
Iz formule (8) vidimo da rad elastične sile ovisi samo o početnoj i konačnoj deformaciji opruge.Dakle, ako se tijelo prvo deformira, a zatim vrati u početno stanje, tada je rad elastične sile nula. Podsjetimo se da isto svojstvo ima i rad sile teže.
9. U početnom trenutku napetost opruge krutosti 400 N/m iznosi 3 cm Opruga se rasteže za još 2 cm.
a) Kolika je konačna deformacija opruge?
b) Koliki rad izvrši sila elastičnosti opruge?
10. U početnom trenutku opruga krutosti 200 N/m rastegnuta je za 2 cm, au krajnjem trenutku stisnuta za 1 cm.Koliki rad izvrši sila elastičnosti opruge?
4. Rad sile trenja
Pustite tijelo da klizi duž fiksne potpore. Sila trenja klizanja koja djeluje na tijelo uvijek je usmjerena suprotno od gibanja i stoga je rad sile trenja klizanja negativan u bilo kojem smjeru gibanja (slika 28.12). 
Stoga, ako blok pomaknete udesno, a klin za istu udaljenost ulijevo, tada, iako će se vratiti u početni položaj, ukupni rad sile trenja klizanja neće biti jednak nuli. To je najvažnija razlika između rada trenja klizanja i rada sile teže i elastičnosti. Podsjetimo se da je rad tih sila pri gibanju tijela po zatvorenoj putanji jednak nuli.
11. Blok mase 1 kg micao se po stolu tako da je njegova putanja kvadrat sa stranicom 50 cm.
a) Je li se blok vratio na početnu točku?
b) Koliki je ukupni rad sile trenja koja djeluje na blok? Koeficijent trenja između bloka i stola je 0,3.
5.Snaga
Često nije važan samo posao koji se obavlja, već i brzina kojom se posao obavlja. Karakterizira ga snaga.
Snaga P je omjer obavljenog rada A i vremenskog razdoblja t tijekom kojeg je taj rad obavljen:
(Ponekad se snaga u mehanici označava slovom N, a u elektrodinamici slovom P. Nama je zgodnije koristiti istu oznaku za snagu.)
Jedinica za snagu je vat (simbol: W), nazvan po engleskom izumitelju Jamesu Wattu. Iz formule (9) proizlazi da
1 W = 1 J/s.
12. Koju snagu razvija čovjek jednoliko podižući kantu s vodom težine 10 kg na visinu od 1 m tijekom 2 s?
Često je zgodno izraziti moć ne kroz rad i vrijeme, već kroz silu i brzinu.
Razmotrimo slučaj kada je sila usmjerena duž pomaka. Tada je rad sile A = Fs. Zamjenom ovog izraza u formulu (9) za snagu, dobivamo:
P = (Fs)/t = F(s/t) = Fv. (10)
13. Automobil se kreće vodoravnom cestom brzinom 72 km/h. Pritom njegov motor razvija snagu od 20 kW. Kolika je sila otpora gibanju automobila?
Trag. Kada se automobil kreće vodoravnom cestom stalnom brzinom, vučna sila je po veličini jednaka sili otpora kretanju automobila.
14. Koliko će vremena biti potrebno da se betonski blok težine 4 tone ravnomjerno podigne na visinu od 30 m ako je snaga motora dizalice 20 kW, a iskoristivost elektromotora dizalice 75%?
Trag. Učinkovitost elektromotora jednaka je omjeru rada podizanja tereta i rada motora. 
Dodatna pitanja i zadaci
15. Lopta mase 200 g bačena je s balkona visine 10 i kuta 45º u odnosu na horizontalu. Dostigavši maksimalnu visinu od 15 m u letu, lopta je pala na tlo.
a) Koliki je rad sile teže pri dizanju lopte?
b) Koliki je rad sile teže pri spuštanju lopte?
c) Koliki je rad sile teže tijekom cijelog leta lopte?
d) Ima li dodatnih podataka u uvjetu?
16. Kuglica mase 0,5 kg ovješena je o oprugu krutosti 250 N/m i nalazi se u ravnoteži. Kuglica se podiže tako da opruga postaje nedeformirana i otpušta se bez guranja.
a) Na koju je visinu podignuta lopta?
b) Koliki je rad sile teže za vrijeme dok se lopta giba u položaj ravnoteže?
c) Koliki je rad izvršila elastična sila za vrijeme dok se kuglica pomakne u položaj ravnoteže?
d) Koliki je rad izvršila rezultanta svih sila koje djeluju na kuglicu za vrijeme dok se kuglica gibala u položaj ravnoteže?
17. Sanjke mase 10 kg klize niz snježnu planinu s kutom nagiba α = 30º bez početne brzine i prijeđu određenu udaljenost po vodoravnoj površini (sl. 28.13). Koeficijent trenja između sanjki i snijega je 0,1. Duljina baze planine je l = 15 m. 
a) Kolika je sila trenja kada se sanjke gibaju po vodoravnoj površini?
b) Koliki je rad sile trenja kada se saonice gibaju po vodoravnoj površini na udaljenosti od 20 m?
c) Kolika je sila trenja kada se sanjke kreću uz planinu?
d) Koliki je rad sile trenja pri spuštanju saonica?
e) Koliki je rad sile teže pri spuštanju saonica?
f) Koliki je rad rezultantnih sila koje djeluju na sanjke dok se spuštaju s planine?
18. Automobil mase 1 tone giba se brzinom 50 km/h. Motor razvija snagu od 10 kW. Potrošnja benzina je 8 litara na 100 km. Gustoća benzina je 750 kg/m 3, a njegova specifična toplina izgaranja 45 MJ/kg. Koja je učinkovitost motora? Ima li dodatnih podataka u stanju?
Trag. Učinkovitost toplinskog stroja jednaka je omjeru rada koji motor izvrši i količine topline koja se oslobađa pri izgaranju goriva.
gdje je put koji prijeđe tijelo za vrijeme djelovanja sile.
Nakon zamjene brojčanih vrijednosti dobivamo:
Primjer 3. Lopta mase =100 g pala je s visine =2,5 m na vodoravnu ploču i od nje se odbila elastičnim udarcem bez gubitka brzine. Odredite prosječnu brzinu
Riješenje. Prema drugom Newtonovom zakonu, umnožak prosječne sile i vremena njezina djelovanja jednak je promjeni količine gibanja tijela uzrokovanoj tom silom, tj.
gdje su i brzine tijela prije i poslije djelovanja sile; - vrijeme tijekom kojeg je sila primijenjena.
Iz (1) dobivamo
Ako uzmemo u obzir da je brzina brojčano jednaka brzini i suprotna od nje u smjeru, tada će formula (2) imati oblik:
Budući da je lopta pala s visine, njezina brzina pri udaru je
Uzimajući ovo u obzir, dobivamo
Zamjenom brojčanih vrijednosti ovdje, nalazimo
Predznak minus pokazuje da je sila usmjerena suprotno od brzine pada kuglice.
Primjer 4. Za podizanje vode iz bunara dubine =20 m ugrađena je pumpa snage =3,7 kW. Odredite masu i volumen vode podignute u vremenu = 7 sati, ako je učinkovitost. pumpa =80%.
Riješenje. Poznato je da snaga pumpe uzimajući u obzir učinkovitost određuje se formulom
gdje se obavlja posao tijekom vremena; - faktor učinkovitosti.
Rad pri dizanju tereta bez ubrzanja na visinu jednak je potencijalnoj energiji koju teret ima na toj visini, tj.
gdje je akceleracija slobodnog pada.
Zamjenom izraza za rad prema (2) u (1) dobivamo
Izrazimo numeričke vrijednosti veličina uključenih u formulu (3) u SI jedinicama: =3,7 kW = 3,7 103 W; = 7 h = 2,52 104 s; =80%=0,8; =20 m.
kg kg m2 s2/(s3 m m), kg=kg
Idemo izračunati
kg=3,80 105 kg=380 t.
Da biste odredili volumen vode, morate njezinu masu podijeliti s njezinom gustoćom
Primjer 5. Umjetni Zemljin satelit giba se po kružnoj putanji na visini =700 km. Odredite brzinu njegova kretanja. Polumjer Zemlje = 6,37 106 m, njena masa = 5,98 1024 kg.
Riješenje. Na satelit, kao i na svako tijelo koje se kreće po kružnoj orbiti, djeluje centripetalna sila
gdje je masa satelita; V je brzina njegovog kretanja; - radijus zakrivljenosti putanje.
Ako zanemarimo otpor okoline i gravitacijske sile svih nebeskih tijela, onda možemo pretpostaviti da je jedina sila sila privlačenja između satelita i Zemlje. Ova sila igra ulogu centripetalne sile.
Prema zakonu univerzalne gravitacije
gdje je gravitacijska konstanta.
Izjednačujući desne strane (1) i (2), dobivamo
Otuda i brzina satelita
Zapišimo numeričke vrijednosti količina u SI: = 6,67*10-11 m3/(kg s2); =5,98 1024 kg; = 6,37 106 m; = 700 km = 7,105 m.
Provjerimo jedinice desne i lijeve strane formule za izračun (3) kako bismo bili sigurni da se te jedinice podudaraju. Da biste to učinili, zamijenite u formuli umjesto količina njihove dimenzije u međunarodnom sustavu:
Idemo izračunati
Primjer 6. Zamašnjak u obliku čvrstog diska mase m = 80 kg i polumjera = 50 cm počeo se jednoliko ubrzano okretati pod utjecajem momenta = 20 N m. Odredite: 1) kutnu akceleraciju; 2) kinetička energija koju je zamašnjak stekao tijekom vremena = 10 s od početka vrtnje.
Riješenje. 1. Iz osnovne jednadžbe dinamike rotacijskog gibanja,
gdje je moment tromosti zamašnjaka; - kutno ubrzanje, dobivamo
Poznato je da je moment tromosti diska određen formulom
Zamjenom izraza za iz (2) u (1) dobivamo
Izrazimo vrijednosti u SI jedinicama: = 20 N m; t = 80 kg; = 50 cm = 0,5 m.
Provjerimo jedinice desne i lijeve strane formule za izračun (3):
1/s2 = kg x m2/(s2x kg x m2) = 1/s2
Idemo izračunati
2. Kinetička energija rotirajućeg tijela izražava se formulom:
gdje je kutna brzina tijela.
Kod jednoliko ubrzane rotacije, kutna brzina povezana je s kutnom akceleracijom relacijom
gdje je kutna brzina u trenutku vremena; - početna kutna brzina.
Kako je prema uvjetima zadatka =0, iz (5) slijedi
Zamjenom izraza za iz (6), iz (2) u (4), dobivamo
Provjerimo jedinice desne i lijeve strane formule (7):
Idemo izračunati
Primjer 7. Jednadžba oscilirajuće točke ima oblik (pomak u centimetrima, vrijeme u sekundama). Odredite: 1) amplitudu vibracije, kružnu frekvenciju, period i početnu fazu; 2) pomak točke u trenutku s; 3) najveća brzina i maksimalno ubrzanje.
Riješenje. 1. Napišimo jednadžbu harmonijskog oscilatornog gibanja u općem obliku
gdje je x pomak oscilirajuće točke; A - amplituda vibracija; - kružna frekvencija; - vrijeme oscilacije; - početna faza.
Uspoređujući zadanu jednadžbu s jednadžbom (1), pišemo: A = 3 cm,
Period titranja određuje se iz relacije
Zamjenom vrijednosti u (2) dobivamo
2. Da bismo odredili pomak, zamijenimo vremensku vrijednost u danoj jednadžbi:
3. Brzinu titrajnog gibanja nalazimo uzimajući prvu derivaciju pomaka oscilirajuće točke:
(Brzina će imati najveću vrijednost pri =1:
Ubrzanje je prva derivacija brzine u odnosu na vrijeme:
Maksimalna vrijednost ubrzanja
Znak minus označava da je akceleracija usmjerena u smjeru suprotnom od pomaka.
1 Tako O.D. definira bit svog rada. Khvolson “Sila radi kada se njezina točka primjene pomiče... ...treba razlikovati dva slučaja proizvodnje rada: u prvom, bit rada leži u svladavanju vanjskog otpora kretanju, koji se događa bez povećanja brzina tijela; u drugom se rad otkriva povećanjem brzine kretanja, prema čemu je vanjski svijet ravnodušan. Zapravo, obično imamo kombinaciju oba slučaja: sila svladava svaki otpor i istodobno mijenja brzinu tijela.”Za izračun rada konstantne sile predlaže se formula:
Gdje S- kretanje tijela pod utjecajem sile F, a- kut između smjerova sile i pomaka. Istodobno kažu da “ako je sila okomita na pomak, tada je rad sile jednak nuli. Ako se unatoč djelovanju sile točka primjene sile ne pomiče, tada sila ne vrši nikakav rad. Na primjer, ako bilo koji teret nepomično visi na ovjesu, tada sila gravitacije koja djeluje na njega ne vrši nikakav rad.”
Također se kaže: “Pojam rada kao fizikalne veličine, uveden u mehaniku, samo je donekle u skladu s idejom rada u svakodnevnom smislu. Doista, na primjer, rad utovarivača pri dizanju utega ocjenjuje se to više, što je veći teret koji se podiže i što je veća visina koju treba podići. Međutim, s istog svakodnevnog stajališta, skloni smo nazvati “fizičkim radom” svaku ljudsku aktivnost u kojoj se ulažu određeni fizički napori. No, prema definiciji danoj u mehanici, ova aktivnost ne mora biti popraćena radom. U dobro poznatom mitu o Atlasu koji na svojim ramenima podupire nebeski svod, ljudi su govorili o naporima potrebnim za podnošenje goleme težine i smatrali su te napore kolosalnim radom. Ovdje nema posla za mehaničare, a Atlasove mišiće jednostavno bi mogao zamijeniti jak stup.”
Ovi argumenti podsjećaju na poznatu izjavu I.V. Staljin: "Ako postoji osoba, postoji problem, ako nema osobe, nema problema."
Udžbenik fizike za 10. razred nudi sljedeći izlaz iz ove situacije: „Kad osoba drži teret nepomično u zemljinom gravitacijskom polju, rad je obavljen i ruka doživljava zamor, iako je vidljivo kretanje tereta ravno nuli. Razlog tome je što ljudski mišići doživljavaju stalne kontrakcije i rastezanja, što dovodi do mikroskopskih pomaka tereta.” Sve je u redu, ali kako izračunati te kontrakcije i istezanja?
Ispada ova situacija: osoba pokušava pomaknuti ormarić na daljinu S zašto djeluje na silu? F za vrijeme t, tj. prenosi impuls sile. Ako je ormar male mase i nema sila trenja, tada se ormar pomiče i to znači da je rad obavljen. Ali ako je ormar velike mase i ima velike sile trenja, tada osoba, djelujući istim impulsom sile, ne pomiče ormar, tj. nema posla. Tu nešto ne štima s takozvanim zakonima očuvanja. Ili uzmite primjer prikazan na sl. 1. Ako snaga F a, To . Budući da se prirodno postavlja pitanje gdje je nestala energija jednaka razlici rada ()?
Slika 1. Sila F je usmjeren vodoravno (), tada je rad , a ako je pod kutom a, To
Navedimo primjer koji pokazuje da je rad obavljen ako tijelo ostane nepomično. Uzmimo električni krug koji se sastoji od izvora struje, reostata i ampermetra magnetoelektričnog sustava. Kad je reostat potpuno umetnut, jakost struje je infinitezimalna, a igla ampermetra je na nuli. Počinjemo postupno pomicati reohordu reostata. Igla ampermetra počinje odstupati, uvijajući spiralne opruge uređaja. To čini Amperova sila: sila interakcije između strujnog okvira i magnetskog polja. Ako zaustavite reohord, uspostavlja se stalna jakost struje i strelica se prestaje kretati. Kažu da ako je tijelo nepomično, onda sila ne vrši rad. Ali ampermetar, držeći iglu u istom položaju, još uvijek troši energiju, gdje U- napon koji se dovodi u okvir ampermetra, - jakost struje u okviru. Oni. Amperova sila, koja drži strijelu, još uvijek radi kako bi opruge ostale u uvijenom stanju.
Pokažimo zašto nastaju takvi paradoksi. Prvo, neka se općeprihvaćeni izraz za posao. Promotrimo rad akceleracije duž vodoravne glatke površine tijela mase koje je u početku nepokretno m zbog utjecaja horizontalne sile na njega F za vrijeme t. Ovaj slučaj odgovara kutu na sl. 1. Napišimo Newtonov II zakon u obliku. Pomnožite obje strane jednakosti s prijeđenom udaljenosti S: . Od , dobivamo ili . Imajte na umu da množenje obje strane jednadžbe sa S, time uskraćujemo rad onim silama koje ne pokreću tijelo (). Štoviše, ako sila F djeluje pod kutom a do horizonta, time poričemo rad sve moći F, “dopuštajući” rad samo njegovoj horizontalnoj komponenti: .
Provedimo još jedan izvod formule za rad. Napišimo Newtonov II zakon u diferencijalnom obliku
Lijeva strana jednadžbe je elementarni impuls sile, a desna je elementarni impuls tijela (količina gibanja). Imajte na umu da desna strana jednadžbe može biti jednaka nuli ako tijelo miruje () ili se giba jednoliko (), dok lijeva strana nije jednaka nuli. Posljednji slučaj odgovara slučaju jednolikog gibanja, kada sila uravnotežuje silu trenja 
.
Međutim, vratimo se našem problemu ubrzanja nepomičnog tijela. Nakon integriranja jednadžbe (2) dobivamo, tj. impuls sile jednak je impulsu (količini gibanja) koje tijelo prima. Kvadriranjem i dijeljenjem s obje strane jednadžbe, dobivamo
Na taj način dobivamo još jedan izraz za izračunavanje rada
(4)
gdje je impuls sile. Ovaj izraz nije povezan sa stazom S pređe tijelo u vremenu t, stoga se može koristiti za izračunavanje rada impulsa sile čak i ako tijelo ostaje nepomično.
U slučaju da moć F djeluje pod kutom a(sl. 1), onda je rastavljamo na dvije komponente: vučnu silu i silu, koju nazivamo sila levitacije, ona teži smanjenju sile gravitacije. Ako je jednak , tada će tijelo biti u kvazi bestežinskom stanju (stanje levitacije). Korištenje Pitagorine teoreme: 
, nađimo rad sile F
ili (5)
Kako je , i , tada se rad vučne sile može prikazati u općeprihvaćenom obliku: .
Ako je sila levitacije , tada će rad levitacije biti jednak
(6)
To je upravo posao koji je Atlas radio držeći nebeski svod na svojim ramenima.
Pogledajmo sada rad sila trenja. Ako je sila trenja jedina sila koja djeluje duž linije gibanja (npr. automobil koji se kreće vodoravnom cestom brzinom ugasio motor i počeo kočiti), tada će rad sile trenja biti jednak razlika u kinetičkim energijama i može se izračunati pomoću općeprihvaćene formule:
(7)
Međutim, ako se tijelo giba duž hrapave vodoravne površine određenom konstantnom brzinom, tada se rad sile trenja ne može izračunati pomoću općeprihvaćene formule, jer se u tom slučaju kretanja moraju smatrati kretanjem slobodnog tijela ( ), tj. kao kretanje po inerciji, a brzina V ne nastaje silom, stečena je ranije. Na primjer, tijelo se kretalo po savršeno glatkoj podlozi konstantnom brzinom, au trenutku ulaska u hrapavu podlogu aktivira se vučna sila. U tom slučaju put S nije povezan s djelovanjem sile. Ako idemo putem m, tada će pri brzini m/s vrijeme djelovanja sile biti s, pri m/s vrijeme će biti s, pri m/s vrijeme će biti s. Budući da se sila trenja smatra neovisnom o brzini, tada će, očito, na istom segmentu puta m sila obaviti mnogo veći rad za 200 s nego za 10 s, jer u prvom slučaju, impuls sile je , au drugom - . Oni. u ovom slučaju, rad sile trenja mora se izračunati pomoću formule:
(8)
Označavajući "običan" rad trenja kroz 
a uzimajući u obzir da , formula (8), izostavljajući znak minus, može se prikazati u obliku
Ostaje nam da razmotrimo rad treće mehaničke sile – sile trenja klizanja. U zemaljskim uvjetima sila trenja se u jednom ili drugom stupnju očituje tijekom svih kretanja tijela.
Sila trenja klizanja razlikuje se od sile gravitacije i sile elastičnosti po tome što ne ovisi o koordinatama i uvijek nastaje relativnim gibanjem tijela koja se dodiruju.
Promotrimo rad sile trenja kada se tijelo giba u odnosu na nepokretnu površinu s kojom dolazi u dodir. U tom je slučaju sila trenja usmjerena protiv gibanja tijela. Jasno je da u odnosu na smjer gibanja takvog tijela sila trenja ne može biti usmjerena ni pod kojim kutom osim pod kutom od 180°. Stoga je rad sile trenja negativan. Rad sile trenja mora se izračunati pomoću formule
gdje je sila trenja, duljina puta po kojem sila trenja djeluje
Kada na tijelo djeluje gravitacija ili elastična sila, ono se može kretati i u smjeru sile i suprotno od smjera sile. U prvom slučaju, rad sile je pozitivan, u drugom - negativan. Kada se tijelo kreće naprijed-natrag, ukupni rad je jednak nuli.
Isto se ne može reći za rad sile trenja. Rad sile trenja je negativan i pri kretanju “tamo” i pri kretanju natrag.” Stoga rad sile trenja nakon povratka tijela u početnu točku (pri gibanju po zatvorenoj stazi) nije jednak nuli.
Zadatak. Izračunajte rad sile trenja pri kočenju vlaka mase 1200 tona do potpunog zaustavljanja, ako je brzina vlaka u trenutku gašenja motora bila 72 km/h. Riješenje. Upotrijebimo formulu
Ovdje je masa vlaka, jednaka kg, konačna brzina vlaka, jednaka nuli, i njegova početna brzina, jednaka 72 km/h = 20 m/s. Zamjenom ovih vrijednosti dobivamo:
Vježba 51
1. Na tijelo djeluje sila trenja. Može li rad te sile biti jednak nuli?
2. Ako se tijelo na koje djeluje sila trenja nakon što prođe određenu putanju vrati u početnu točku, hoće li rad trenja biti jednak nuli?
3. Kako se mijenja kinetička energija tijela pri djelovanju sile trenja?
4. Saonice težine 60 kg, nakon što su se kotrljale niz planinu, vozile su duž vodoravne dionice ceste 20 m. Odredite rad sile trenja na ovoj dionici ako je koeficijent trenja klizača saonica na snijeg je 0.02.
5. Dio koji se želi oštriti pritisne se na brusni kamen polumjera 20 cm silom od 20 N. Odredi koliki rad izvrši motor za 2 minute ako brusni kamen ima 180 okretaja u minuti, a koeficijent trenja dijela o kamen je 0,3.
6. Vozač automobila gasi motor i počinje kočiti 20 m od semafora. Uz pretpostavku da je sila trenja jednaka 4000 k, odredite pri kojoj će se najvećoj brzini automobil imati vremena zaustaviti ispred semafora ako je masa automobila 1,6 tona?
1Ako na tijelu postoji masa m, koji se nalazi na glatkoj horizontalnoj površini, djeluje
stalna sila F, usmjeren pod određenim kutom α
prema horizontu i pritom se tijelo pomakne na određenu udaljenost S, onda kažu da snaga F obavio posao A. Količina rada određena je formulom:
A= F× S cos α (1)
Međutim, u prirodi nema savršeno glatkih površina, a sile trenja uvijek nastaju na dodirnoj površini dvaju tijela. O tome u udžbeniku piše: “Rad sile statičkog trenja je jednak nuli, jer nema kretanja. Kod klizanja čvrstih površina sila trenja je usmjerena protiv gibanja. Njezin učinak je negativan. Kao rezultat toga, kinetička energija tijela koja se trljaju pretvara se u unutarnju energiju - površine koje se trljaju se zagrijavaju.”
A TP = FTP × S = μNS (2)
Gdje μ - koeficijent trenja klizanja.
Samo u udžbeniku O.D. Khvolson je razmatrao slučaj UBRZANOG GIBANJA u prisutnosti sila trenja: “Dakle, treba razlikovati dva slučaja proizvodnje rada: u prvom, bit rada leži u svladavanju vanjskog otpora kretanju, koji se događa bez povećanja brzine kretanja. tijelo; u drugom se rad otkriva povećanjem brzine kretanja, prema čemu je vanjski svijet ravnodušan.
Zapravo obično imamo VEZA OBA SLUČAJA: sila f svladava svaki otpor i ujedno mijenja brzinu tijela.
Pretpostavimo da f" nejednak f, naime, to f"< f. U tom slučaju na tijelo djeluje sila
f- f“, Posao ρ
što uzrokuje povećanje brzine tijela. Imamo ρ
=(f- f")S,
gdje
fS= f"S+ ρ (*)
Posao r= fS sastoji se od dva dijela: f"S troši se na svladavanje vanjskog otpora, ρ povećati brzinu tijela."
Zamislimo to u modernoj interpretaciji (slika 1). Po tjelesnoj masi m vučna sila koja djeluje F T koja je veća od sile trenja F TP = μN = μmg. Rad vučne sile u skladu s formulom (*) može se napisati na sljedeći način
A=F T S=F TP S+F a S= A TP+ A a(3)
Gdje F a=F T - F T - sila koja uzrokuje ubrzano gibanje tijela u skladu s Newtonovim II zakonom: F a= ma. Rad sile trenja je negativan, ali ćemo ovdje i dalje koristiti silu trenja i modul rada trenja. Za daljnje obrazloženje potrebna je numerička analiza. Uzmimo sljedeće podatke: m=10 kg; g=10 m/s2; F T= 100 N; μ = 0,5; t=10 s. Izvodimo sljedeće izračune: F TP= μmg= 50 N; F a= 50 N; a=F a/m=5 m/s2; V= na= 50 m/s; K= mV 2/2 =12,5 kJ; S= na 2/2 = 250 m; A a= F a S=12,5 kJ; A TP=F TP S=12,5 kJ. Dakle, ukupni rad A= A TP+ A a=12,5 +12,5 = 25 kJ
Sada izračunajmo rad vučne sile F T za slučaj kada nema trenja ( μ =0).
Provodeći slične izračune, dobivamo: a =10 m/s2; V=100m/s; K = 50 kJ; S = 500 m; A = 50 kJ. U potonjem slučaju, u istih 10 s dobili smo dvostruko više posla. Može se prigovoriti da je put duplo duži. No, bez obzira na to što oni govore, pojavljuje se paradoksalna situacija: snage koje razvija ista sila razlikuju se faktor dva, iako su impulsi sila isti ja =F T t =1 kN.s. Kako je napisao M.V Lomonosov još 1748. godine: “... ali sve promjene koje se događaju u prirodi događaju se na takav način da što god se nečemu doda, isto toliko će se drugome oduzeti...”. Stoga, pokušajmo dobiti drugi izraz za definiranje rada.
Napišimo Newtonov II zakon u diferencijalnom obliku:
F. dt = d(mV ) (4)
te razmotriti problem ubrzanja inicijalno nepokretnog tijela (nema trenja). Integrirajući (4), dobivamo: F × t = mV . Na kvadrat i podijeljeno s 2 m obje strane jednakosti, dobivamo:
F 2 t 2 / 2m = mV 2 / 2 A= K (5)
Tako smo dobili još jedan izraz za izračunavanje rada
A=F 2 t 2 / 2m = I 2/2m (6)
Gdje ja = F × t - impuls sile. Ovaj izraz nije povezan sa stazom S pređe tijelo u vremenu t, tj. može se koristiti za izračunavanje rada impulsa sile čak i ako tijelo ostane nepomično, iako, kao što je navedeno u svim tečajevima fizike, u ovom slučaju nema rada.
Prelazeći na naš problem ubrzanog gibanja s trenjem, zapisujemo zbroj impulsa sile: I T = I a + I TP, Gdje I T = F T t; Ia= F a t; ITP = F TP t. Kvadriranjem zbroja impulsa dobivamo:
F T 2 t 2= F a 2 t 2+ 2F a F TP t 2 + F TP 2 t 2
Dijeljenje svih članova jednadžbe s 2m, dobivamo:
ili A= A a + A UT + A TP
Gdje A a=F a 2 t 2 / 2 m- rad utrošen na ubrzanje; A TP = F TP 2 t 2 /2 m - rad utrošen na svladavanje sile trenja pri jednolikom gibanju i A UT =F a F TP t 2 / m- rad utrošen na svladavanje sile trenja pri ubrzanom gibanju. Numerički proračun daje sljedeći rezultat:
A=A a +AUt + A TP = 12,5 + 25 +12,5 = 50 kJ,
oni. dobili smo istu količinu posla od strane sile F T u nedostatku trenja.
Razmotrimo općenitiji slučaj gibanja tijela uz trenje, kada na tijelo djeluje sila F, usmjeren pod kutom α do horizonta (slika 2). Sada vučna sila F T = F cos α, i snagu F L= F grijeh α - nazovimo to silom levitacije, ona smanjuje silu gravitacije P=mg, i u slučaju F L = mg tijelo neće vršiti pritisak na oslonac i bit će u kvazi bestežinskom stanju (stanje levitacije). Sila trenja F TP = μ N = μ (P - F L) . Vučnu silu možemo napisati u obliku F T= F a+ F TP, a iz pravokutnog trokuta (sl. 2) dobivamo: F 2 =F T 2 + F L 2 . Množenje zadnjeg omjera sa t 2 , dobivamo ravnotežu impulsa sile i dijeljenjem sa 2m, dobivamo bilancu energije (work-bot):
Predstavimo numerički izračun za silu F = 100 N i α = 30o pod istim uvjetima (m = 10 kg; μ = 0,5; t = 10 S). Rad sile F bit će jednaki A=F 2 t 2 /2m= 50, a formula (8) daje sljedeći rezultat (točno na treću decimalu):
50=15,625+18,974-15,4-12,5+30,8+12,5 kJ.
Kako proračuni pokazuju, sila F = 100 N, koja djeluje na tijelo mase m = 10 kg pod bilo kojim kutom α za 10 s izvrši isti rad od 50 kJ.
Posljednji član u formuli (8) predstavlja rad sile trenja pri jednolikom gibanju tijela po horizontalnoj površini brzinom V
Dakle, bez obzira pod kojim kutom ova sila djeluje F za dato tijelo mase m, sa ili bez trenja, u vremenu t izvršit će se isti rad (čak i ako je tijelo nepomično):
Sl. 1
sl.2
BIBLIOGRAFIJA
- Matveev A.N. mehanike i teorije relativnosti. Udžbenik za fizička i stručna sveučilišta. -M .: Viša škola, 1986.
- Strelkov SP. Mehanika. Tečaj opće fizike. T. 1. - M.: GITTL, 1956.
- Khvolson O.D. Tečaj fizike. T. 1. Državna izdavačka kuća RSFSR, Berlin, 1923.
Bibliografska poveznica
IVANOV E.M. RAD U GIBANJU TIJELA UZ TRENJE // Suvremeni problemi znanosti i obrazovanja. – 2005. – br. 2.;URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=1468 (datum pristupa: 14.07.2019.). Predstavljamo vam časopise izdavačke kuće "Akademija prirodnih znanosti"