Najčešća pitanja
Da li je moguće izraditi pečat na ispravu prema priloženom uzorku? Odgovor Da, moguće je. Pošaljite skeniranu kopiju ili fotografiju na našu e-mail adresu dobre kvalitete, a mi ćemo izraditi potreban duplikat.
Koje vrste plaćanja prihvaćate?
Odgovor Dokument možete platiti po primitku od strane kurira, nakon provjere ispravnosti popunjavanja i kvalitete izrade diplome. To se također može učiniti u uredu poštanskih tvrtki koje nude usluge plaćanja pouzećem.
Svi uvjeti dostave i plaćanja dokumenata opisani su u odjeljku „Plaćanje i dostava“. Također smo spremni saslušati vaše prijedloge vezane uz uvjete dostave i plaćanja dokumenta.
Mogu li biti siguran da nakon narudžbe nećete nestati s mojim novcem? Odgovor Imamo dosta dugo iskustvo u području izrade diploma. Imamo nekoliko web stranica koje se stalno ažuriraju. Naši stručnjaci rade u različitim dijelovima zemlje, izrađujući više od 10 dokumenata dnevno. Tijekom godina naši su dokumenti pomogli mnogim ljudima da riješe probleme pri zapošljavanju ili pređu na bolje plaćena radna mjesta. Stekli smo povjerenje i priznanje među klijentima, tako da nema apsolutno nikakvog razloga da to činimo. Štoviše, to je jednostavno fizički nemoguće učiniti: narudžbu plaćate čim je primite u ruke, nema plaćanja unaprijed.
Mogu li naručiti diplomu bilo kojeg fakulteta? Odgovor Općenito, da. Na ovom polju radimo skoro 12 godina. Tijekom tog vremena formirana je gotovo cjelovita baza dokumenata koje izdaju gotovo sva sveučilišta u zemlji i šire. različite godine izdavanje. Sve što trebate je odabrati sveučilište, specijalnost, dokument i ispuniti narudžbenicu.
Što učiniti ako pronađete tipfelere i pogreške u dokumentu?
Odgovor Prilikom primanja dokumenta od naše kurirske ili poštanske tvrtke, preporučujemo da pažljivo provjerite sve detalje. Ako se otkrije tipfeler, pogreška ili netočnost, imate pravo ne preuzeti diplomu, ali uočene nedostatke morate osobno naznačiti dostavljaču ili pismeno slanjem pisma na elektronička pošta.
Dokument ćemo ispraviti u najkraćem mogućem roku i ponovno poslati na navedenu adresu. Naravno, dostavu će platiti naša tvrtka.
Kako bismo izbjegli takve nesporazume, prije ispunjavanja izvornog obrasca, kupcu e-poštom šaljemo mock-up budućeg dokumenta na provjeru i odobrenje konačne verzije. Prije slanja dokumenta kurirskom službom ili poštom, također snimamo dodatne fotografije i videozapise (uključujući ultraljubičasto svjetlo) kako biste imali jasnu predodžbu o tome što ćete na kraju dobiti.
Što trebam učiniti da naručim diplomu od vaše tvrtke?
Odgovor Za naručivanje dokumenta (svjedodžba, diploma, akademska svjedodžba i sl.) morate ispuniti online narudžbenicu na našoj web stranici ili dati svoj email kako bismo vam mogli poslati prijavnicu koju trebate ispuniti i poslati natrag nama.
Ako ne znate što navesti u bilo kojem polju narudžbenice/upitnika, ostavite ga prazna. Stoga ćemo sve informacije koje nedostaju razjasniti putem telefona.
Najnovije recenzije
Aleksej:
Trebala sam steći diplomu da bih dobila posao menadžera. I najvažnije je da imam i iskustvo i vještine, ali ne mogu dobiti posao bez dokumenta. Kad sam naišao na vašu stranicu, konačno sam odlučio kupiti diplomu. Diploma gotova za 2 dana!! Sada imam posao o kojem prije nisam ni sanjao!! Hvala!
Trigonometrija, kao znanost, nastala je na Starom istoku. Prve trigonometrijske omjere izveli su astronomi kako bi stvorili točan kalendar i orijentaciju prema zvijezdama. Ovi izračuni odnosili su se na sfernu trigonometriju, dok se u školskom tečaju proučava omjer stranica i kutova ravnog trokuta.
Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosima između stranica i kutova trokuta.
Tijekom procvata kulture i znanosti u 1. tisućljeću nove ere znanje se širilo iz Stari Istok u Grčku. Ali glavna otkrića trigonometrije zasluga su ljudi arapskog kalifata. Konkretno, turkmenistanski znanstvenik al-Marazwi uveo je funkcije kao što su tangens i kotangens i sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Pojmove sinusa i kosinusa uveli su indijski znanstvenici. Trigonometriji je posvećena velika pažnja u djelima velikih ličnosti antike kao što su Euklid, Arhimed i Eratosten.
Osnovne veličine trigonometrije
Osnovno trigonometrijske funkcije numerički argument je sinus, kosinus, tangens i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens i kotangens.
Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinom teoremu. Školarcima je poznatija u formulaciji: "Pitagorine hlače, jednake u svim smjerovima", budući da se dokaz daje na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.
Sinus, kosinus i drugi odnosi uspostavljaju odnos između oštrih kutova i stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta. Predstavimo formule za izračunavanje ovih veličina za kut A i pratimo odnose između trigonometrijskih funkcija:
Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako zamislimo krak a kao produkt sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, dobit ćemo sljedeće formule za tangens i kotangens:
Trigonometrijski krug
Grafički se odnos između navedenih veličina može prikazati na sljedeći način:
Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti kuta α - od 0° do 360°. Kao što se može vidjeti sa slike, svaka funkcija ima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α će imati znak “+” ako α pripada 1. i 2. četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0° do 180°. Za α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.
Pokušajmo sastaviti trigonometrijske tablice za određene kutove i saznati značenje količina.
Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih izračunavaju se i prikazuju u obliku posebnih tablica.
Ovi kutovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tablicama je za radijane. Rad je kut pod kojim duljina kružnog luka odgovara njegovom polumjeru. Ova je vrijednost uvedena kako bi se uspostavila univerzalna ovisnost; pri računanju u radijanima stvarna duljina polumjera u cm nije važna.
Kutovi u tablicama za trigonometrijske funkcije odgovaraju vrijednostima radijana:
Dakle, nije teško pogoditi da je 2π potpuni krug ili 360°.
Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus
Da bismo razmotrili i usporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. To se može učiniti u obliku krivulje koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu.
Razmotrite usporednu tablicu svojstava za sinus i kosinus:
| Sinusni val | Kosinus |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z | cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z |
| sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z | cos x = 1, pri x = 2πk, gdje je k ϵ Z |
| sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z | cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, tj. funkcija je neparna | cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna |
| funkcija je periodična, najmanji period je 2π | |
| sin x › 0, pri čemu x pripada I i II četvrtini ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, pri čemu x pripada I i IV četvrtini ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, pri čemu x pripada trećoj i četvrtoj četvrtini ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, pri čemu x pripada 2. i 3. četvrtini ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| raste u intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk] |
| opada na intervalima [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | smanjuje se u intervalima |
| izvod (sin x)' = cos x | izvod (cos x)’ = - sin x |
Određivanje je li neka funkcija parna ili nije vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa znakovima trigonometrijskih veličina i mentalno "presaviti" graf u odnosu na OX os. Ako se predznaci podudaraju, funkcija je parna; u protivnom je neparna.
Uvođenje radijana i navođenje osnovnih svojstava sinusnih i kosinusnih valova omogućuje nam da predstavimo sljedeći obrazac:
Vrlo je lako provjeriti je li formula točna. Na primjer, za x = π/2, sinus je 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti pregledom tablica ili praćenjem krivulja funkcija za dane vrijednosti.
Svojstva tangentoida i kotangensoida
Grafovi funkcija tangens i kotangens bitno se razlikuju od funkcija sinusa i kosinusa. Vrijednosti tg i ctg su recipročne vrijednosti jedna drugoj.
- Y = ten x.
- Tangens teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne doseže.
- Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
- Tg (- x) = - tg x, tj. funkcija je neparna.
- Tg x = 0, za x = πk.
- Funkcija se povećava.
- Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivacija (tg x)' = 1/cos 2 x.
Razmotrimo grafička slika kotangentoidi ispod u tekstu.
Glavna svojstva kotangentoida:
- Y = krevetić x.
- Za razliku od funkcija sinusa i kosinusa, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
- Kotangentoid teži vrijednostima y pri x = πk, ali ih nikada ne doseže.
- Najmanji pozitivni period kotangentoida je π.
- Ctg (- x) = - ctg x, tj. funkcija je neparna.
- Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
- Funkcija se smanjuje.
- Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivacija (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Točno
Referentni podaci za tangens (tg x) i kotangens (ctg x). Geometrijska definicija, svojstva, grafikoni, formule. Tablica tangensa i kotangenata, derivacije, integrali, proširenja nizova. Izrazi kroz kompleksne varijable. Veza s hiperboličkim funkcijama.
Geometrijska definicija
|BD|
- duljina kružnog luka sa središtem u točki A.
α je kut izražen u radijanima. Tangenta () tan α
je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu susjednog kraka |AB| .) Kotangens (
ctg α
je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu suprotnog kraka |BC| . Tangens
Gdje
.
;
;
.
n
- cijeli.
je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu suprotnog kraka |BC| . Tangens
U zapadnoj literaturi tangenta se označava na sljedeći način:
.
Graf funkcije tangensa, y = tan x
;
;
.
Kotangens
U zapadnoj literaturi kotangens se označava na sljedeći način:
Također su prihvaćene sljedeće oznake:
Graf kotangens funkcije, y = ctg x Svojstva tangensa i kotangensa Periodičnost Funkcije y = tg x
i y =
ctg x
su periodične s periodom π.
Paritet na duljinu suprotnog kraka |BC| . Funkcije tangens i kotangens su neparne.
| Područja definiranja i vrijednosti, povećanje, smanjenje Svojstva tangensa i kotangensa | Područja definiranja i vrijednosti, povećanje, smanjenje Funkcije y = | |
| Funkcije tangens i kotangens su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva tangensa i kotangensa prikazana su u tablici ( | ||
| - cijeli). | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| y= | - | |
| Opseg i kontinuitet | - | |
| Raspon vrijednosti | - | - |
| Povećavajući se 0 | ||
| Silazni 0 | Područja definiranja i vrijednosti, povećanje, smanjenje 0 | - |
Krajnosti
Nule, y =
;
;
;
;
;
Točke presjeka s osi ordinata, x =
Formule
Izrazi koji koriste sinus i kosinus
Formule za tangens i kotangens iz zbroja i razlike
Preostale formule lako je dobiti, na primjer 
Umnožak tangenti
Formula za zbroj i razliku tangensa
;
;
Ova tablica predstavlja vrijednosti tangensa i kotangenata za određene vrijednosti argumenta.
; .
.
Izrazi koji koriste složene brojeve
.
Izrazi preko hiperboličkih funkcija
Derivati
Derivacija n-tog reda u odnosu na varijablu x funkcije:
Izvođenje formula za tangentu >>>; za kotangens >>> Integrali Proširenja serije Da biste dobili proširenje tangente u potencije x, trebate uzeti nekoliko članova proširenja u niz potencija za funkcije grijeh x
I
cos x
i podijelite te polinome jedan s drugim, . Ovo proizvodi sljedeće formule. U .
;
;
u .
Gdje 
Bn
Inverzne funkcije tangensa i kotangensa su arktangens i arkotangens.
Arktangens, arctg
, Gdje na duljinu suprotnog kraka |BC| . Tangens
Arccotangens, arcctg
, Gdje na duljinu suprotnog kraka |BC| . Tangens
Korištena literatura:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.
G. Korn, Priručnik iz matematike za znanstvenike i inženjere, 2012.
Jedno od područja matematike s kojim se učenici najviše muče je trigonometrija. Nije iznenađujuće: da biste slobodno svladali ovo područje znanja, potrebno vam je prostorno razmišljanje, sposobnost pronalaženja sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa pomoću formula, pojednostavljivanje izraza i sposobnost korištenja broja pi u kalkulacije. Osim toga, potrebno je znati koristiti trigonometriju pri dokazivanju teorema, a to zahtijeva ili razvijenu matematičku memoriju ili sposobnost izvođenja složenih logičkih lanaca.
Porijeklo trigonometrije
Upoznavanje s ovom znanošću trebalo bi započeti s definicijom sinusa, kosinusa i tangensa kuta, no prvo morate razumjeti što trigonometrija uopće radi.
Povijesno gledano, glavni predmet proučavanja u ovoj grani matematičke znanosti bili su pravokutni trokuti. Prisutnost kuta od 90 stupnjeva omogućuje izvođenje različitih operacija koje omogućuju određivanje vrijednosti svih parametara predmetne figure pomoću dvije strane i jednog kuta ili dva kuta i jedne strane. U prošlosti su ljudi primijetili ovaj uzorak i počeli ga aktivno koristiti u izgradnji zgrada, navigaciji, astronomiji, pa čak iu umjetnosti.
Početna faza
U početku se o odnosu kutova i stranica govorilo isključivo na primjeru pravokutnih trokuta. Tada su otkrivene posebne formule koje su omogućile proširenje granica uporabe u svakodnevni život ovu granu matematike.
Učenje trigonometrije u školi danas počinje s pravokutnim trokutima, nakon čega učenici koriste stečena znanja u fizici i rješavanju apstraktnih problema. trigonometrijske jednadžbe, rad s kojim počinje u srednjoj školi.
Sferna trigonometrija
Kasnije, kada je znanost dosegla sljedeći stupanj razvoja, formule sa sinusom, kosinusom, tangensom i kotangensom počele su se koristiti u sfernoj geometriji, gdje vrijede drugačija pravila, a zbroj kutova u trokutu uvijek je veći od 180 stupnjeva. Ovaj odjeljak se ne uči u školi, ali je neophodno znati za njegovo postojanje, barem zato što je zemljina površina, kao i površina bilo kojeg drugog planeta, konveksna, što znači da će svaka površinska oznaka biti “lučna” u trodimenzionalni prostor.
Uzmi globus i konac. Pričvrstite konac na bilo koje dvije točke na globusu tako da bude zategnut. Napomena - poprimio je oblik luka. Takvim oblicima bavi se sferna geometrija koja se koristi u geodeziji, astronomiji i drugim teorijskim i primijenjenim područjima.
Pravokutni trokut
Nakon što smo malo naučili o načinima korištenja trigonometrije, vratimo se na osnovnu trigonometriju kako bismo dalje razumjeli što su sinus, kosinus, tangens, koji se proračuni mogu izvesti uz njihovu pomoć i koje formule koristiti.
Prvi korak je razumijevanje pojmova koji se odnose na pravokutni trokut. Prvo, hipotenuza je strana nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Najduži je. Sjećamo se da je prema Pitagorinom teoremu njegova brojčana vrijednost jednaka korijenu zbroja kvadrata druge dvije strane.
Na primjer, ako su dvije stranice 3 odnosno 4 centimetra, duljina hipotenuze bit će 5 centimetara. Inače, stari Egipćani su za to znali prije otprilike četiri i pol tisuće godina.
Dvije preostale stranice, koje tvore pravi kut, nazivaju se krakovi. Osim toga, moramo zapamtiti da je zbroj kutova u trokutu pravokutni sustav koordinate je 180 stupnjeva.
Definicija
Konačno, uz čvrsto razumijevanje geometrijske osnove, možemo se okrenuti definiciji sinusa, kosinusa i tangensa kuta.
Sinus kuta je omjer suprotnog kraka (tj. stranice nasuprot željenog kuta) i hipotenuze. Kosinus kuta je omjer susjedne stranice i hipotenuze.
Zapamtite da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedan! Zašto? Budući da je hipotenuza prema zadanim postavkama najduža, bez obzira na duljinu katete, bit će kraća od hipotenuze, što znači da će njihov omjer uvijek biti manji od jedan. Stoga, ako u svom odgovoru na problem dobijete sinus ili kosinus s vrijednošću većom od 1, potražite pogrešku u izračunima ili zaključivanju. Ovaj je odgovor očito netočan.
Konačno, tangens kuta je omjer suprotne strane prema susjednoj strani. Dijeljenje sinusa kosinusom dat će isti rezultat. Pogledajte: prema formuli, duljinu stranice podijelimo s hipotenuzom, zatim podijelimo s duljinom druge stranice i pomnožimo s hipotenuzom. Time dobivamo isti odnos kao u definiciji tangente.
Kotangens je, prema tome, omjer stranice koja je susjedna kutu i suprotne strane. Isti rezultat dobivamo dijeljenjem jedan s tangentom.
Dakle, pogledali smo definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa i možemo prijeći na formule.
Najjednostavnije formule
U trigonometriji ne možete bez formula - kako pronaći sinus, kosinus, tangens, kotangens bez njih? Ali to je upravo ono što se traži pri rješavanju problema.
Prva formula koju morate znati kada počnete proučavati trigonometriju kaže da je zbroj kvadrata sinusa i kosinusa kuta jednak jedan. Ova je formula izravna posljedica Pitagorinog teorema, ali štedi vrijeme ako trebate znati veličinu kuta, a ne stranice.
Mnogi se učenici ne mogu sjetiti druge formule, koja je također vrlo popularna pri rješavanju školskih zadataka: zbroj jedan i kvadrata tangente kuta jednak je jedinici podijeljen s kvadratom kosinusa kuta. Pogledajte bolje: ovo je ista tvrdnja kao u prvoj formuli, samo su obje strane identiteta podijeljene kvadratom kosinusa. Ispostavilo se da jednostavna matematička operacija čini trigonometrijsku formulu potpuno neprepoznatljivom. Upamtite: znajući što su sinus, kosinus, tangens i kotangens, pravila transformacije i nekoliko osnovnih formula, možete u bilo kojem trenutku samostalno izvesti potrebno više složene formule na komadu papira.
Formule za dvostruke kutove i zbrajanje argumenata
Još dvije formule koje trebate naučiti odnose se na vrijednosti sinusa i kosinusa za zbroj i razliku kutova. Predstavljeni su na slici ispod. Imajte na umu da se u prvom slučaju sinus i kosinus množe oba puta, au drugom se dodaje umnožak sinusa i kosinusa u paru.
Postoje i formule povezane s argumentima dvostrukog kuta. Oni su potpuno izvedeni iz prethodnih - kao praksu, pokušajte ih dobiti sami uzimajući alfa kut jednak beta kutu.
Konačno, imajte na umu da se formule dvostrukog kuta mogu preurediti kako bi se smanjila snaga sinusa, kosinusa, tangensa alfa.
Teoremi
Dva glavna teorema u osnovnoj trigonometriji su sinusni teorem i kosinusni teorem. Uz pomoć ovih teorema, možete lako razumjeti kako pronaći sinus, kosinus i tangens, a time i površinu figure, veličinu svake strane itd.
Sinusni teorem kaže da dijeljenje duljine svake stranice trokuta sa suprotnim kutom rezultira istim brojem. Štoviše, taj će broj biti jednak dvama radijusima opisane kružnice, odnosno kružnice koja sadrži sve točke danog trokuta.
Kosinusni teorem generalizira Pitagorin teorem, projicirajući ga na sve trokute. Ispada da od zbroja kvadrata dviju strana oduzmite njihov proizvod pomnožen s dvostrukim kosinusom susjednog kuta - dobivena vrijednost bit će jednaka kvadratu treće strane. Stoga se Pitagorin teorem ispostavlja kao poseban slučaj kosinusnog teorema.
Greške iz nepažnje
Čak i znajući što su sinus, kosinus i tangens, lako je pogriješiti zbog odsutnosti ili pogreške u najjednostavnijim izračunima. Kako bismo izbjegli takve pogreške, pogledajmo one najpopularnije.
Prvo, ne biste trebali pretvarati razlomke u decimale dok ne dobijete konačni rezultat - možete ostaviti odgovor kao obični razlomak, osim ako nije drugačije navedeno u uvjetima. Takva se transformacija ne može nazvati pogreškom, ali treba imati na umu da se u svakoj fazi problema mogu pojaviti novi korijeni, koji bi se, prema ideji autora, trebali smanjiti. U tom ćete slučaju gubiti vrijeme na nepotrebne matematičke operacije. To posebno vrijedi za vrijednosti kao što su korijen iz tri ili korijen iz dva, jer se one nalaze u problemima na svakom koraku. Isto vrijedi i za zaokruživanje "ružnih" brojeva.
Nadalje, imajte na umu da se kosinusni teorem odnosi na bilo koji trokut, ali ne i Pitagorin teorem! Ako greškom zaboravite oduzeti dva puta umnožak stranica pomnožen s kosinusom kuta između njih, ne samo da ćete dobiti potpuno pogrešan rezultat, već ćete također pokazati potpuno nerazumijevanje teme. Ovo je gore od greške iz nepažnje.
Treće, nemojte brkati vrijednosti za kutove od 30 i 60 stupnjeva za sinuse, kosinuse, tangente, kotangense. Zapamtite ove vrijednosti, jer je sinus od 30 stupnjeva jednak kosinusu od 60, i obrnuto. Lako ih je zbuniti, zbog čega ćete neizbježno dobiti pogrešan rezultat.
Primjena
Mnogi studenti ne žure početi proučavati trigonometriju jer ne razumiju njezino praktično značenje. Što je sinus, kosinus, tangens za inženjera ili astronoma? To su pojmovi koji omogućuju izračunavanje udaljenosti do dalekih zvijezda, predviđanje pada meteorita ili slanje istraživačke sonde na drugi planet. Bez njih je nemoguće izgraditi zgradu, dizajnirati automobil, izračunati opterećenje na površini ili putanju objekta. A ovo su samo najočitiji primjeri! Uostalom, trigonometrija se u ovom ili onom obliku koristi posvuda, od glazbe do medicine.
U zaključku
Dakle, vi ste sinus, kosinus, tangens. Možete ih koristiti u izračunima i uspješno rješavati školske zadatke.
Cijela poanta trigonometrije svodi se na činjenicu da pomoću poznatih parametara trokuta morate izračunati nepoznanice. Ukupno ima šest parametara: duljina tri stranice i veličina triju kutova. Jedina razlika u zadacima je u tome što su zadani različiti ulazni podaci.
Sada znate kako pronaći sinus, kosinus, tangens na temelju poznatih duljina kateta ili hipotenuze. Budući da ovi izrazi ne znače ništa više od omjera, a omjer je razlomak, glavni cilj Trigonometrijski problem postaje pronalaženje korijena obične jednadžbe ili sustava jednadžbi. I tu će vam pomoći redovna školska matematika.
Proučavanje trigonometrije započet ćemo s pravokutnim trokutom. Definirajmo što su sinus i kosinus, kao i tangens i kotangens oštrog kuta. Ovo su osnove trigonometrije.
Podsjetimo da pravi kut je kut jednak 90 stupnjeva. Drugim riječima, pola okrenutog kuta.
Oštar kut- manje od 90 stupnjeva.
Tupi kut- veći od 90 stupnjeva. U odnosu na takav kut, "tup" nije uvreda, već matematički pojam :-)
Nacrtajmo pravokutni trokut. Pravi kut obično se označava s . Imajte na umu da je strana nasuprot kutu označena istim slovom, samo malim. Dakle, stranica nasuprot kutu A je označena.
Kut je označen odgovarajućim grčkim slovom.
Hipotenuza pravokutnog trokuta je stranica nasuprot pravog kuta.
Noge- stranice koje leže nasuprot oštrih kutova.
Noga koja leži nasuprot kutu naziva se suprotan(u odnosu na kut). Drugi krak, koji leži na jednoj od stranica kuta, zove se susjedni.
Sinus Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne stranice i hipotenuze:
Kosinus oštri kut u pravokutnom trokutu - omjer susjedne noge i hipotenuze:
Tangens akutni kut u pravokutnom trokutu - omjer suprotne strane prema susjednoj:
Druga (ekvivalentna) definicija: tangens oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:
Kotangens akutni kut u pravokutnom trokutu - omjer susjedne strane prema suprotnoj (ili, što je isto, omjer kosinusa i sinusa):
Zabilježite osnovne odnose za sinus, kosinus, tangens i kotangens ispod. Oni će nam biti od koristi pri rješavanju problema.
Dokažimo neke od njih.
U redu, dali smo definicije i zapisali formule. Ali zašto nam još trebaju sinus, kosinus, tangens i kotangens?
Znamo to zbroj kutova bilo kojeg trokuta jednak je.
Znamo odnos između stranke pravokutni trokut. Ovo je Pitagorin teorem: .
Ispada da znajući dva kuta u trokutu, možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane pravokutnog trokuta, možete pronaći treću. To znači da kutovi imaju svoj omjer, a stranice svoj. Ali što biste trebali učiniti ako u pravokutnom trokutu znate jedan kut (osim pravog kuta) i jednu stranicu, ali trebate pronaći druge strane?
S tim su se ljudi u prošlosti susretali izrađujući karte područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće izravno izmjeriti sve strane trokuta.
Sinus, kosinus i tangens - oni se također nazivaju funkcije trigonometrijskog kuta- dati odnose između stranke Proširenja serije kutovi trokut. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente kutova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.
Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za "dobre" kutove od do.
Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tablici. Pri odgovarajućim vrijednostima kuta tangens i kotangens ne postoje.
Pogledajmo nekoliko trigonometrijskih problema iz FIPI banke zadataka.
1. U trokutu je kut , . pronaći .
Problem je riješen za četiri sekunde.
Od , .
2. U trokutu, kut je , , . pronaći .
Pronađimo ga pomoću Pitagorinog teorema.
Problem je riješen.
Često se u problemima nalaze trokuti s kutovima i ili s kutovima i. Zapamtite osnovne omjere za njih napamet!
Za trokut s kutovima i krakom nasuprot kutu na jednak je polovica hipotenuze.
Trokut s kutovima i jednakokračan je. U njemu je hipotenuza puta veća od katete.
Gledali smo probleme rješavanja pravokutnih trokuta – odnosno pronalaženje nepoznatih stranica ili kutova. Ali to nije sve! U Mogućnosti jedinstvenog državnog ispita u matematici postoje mnogi problemi u kojima se pojavljuje sinus, kosinus, tangens ili kotangens vanjskog kuta trokuta. Više o tome u sljedećem članku.