S ovim online kalkulator možete pronaći liniju presjeka ravnina. Dano je detaljno rješenje s obrazloženjima. Da biste pronašli jednadžbu presjecišta ravnina, unesite koeficijente u jednadžbe ravnina i kliknite na gumb "Riješi". U nastavku pogledajte teorijski dio i numeričke primjere.
×
Upozorenje
Očistiti sve ćelije?
Zatvori Clear
Upute za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalni (npr. 67., 102,54 itd.) ili razlomci. Razlomak se mora unijeti u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimale. Primjeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.
Sjecište ravnina - teorija, primjeri i rješenja
Dvije ravnine u prostoru mogu biti paralelne, podudarati se ili se sijeći. U ovom članku ćemo definirati međusobni dogovor dvije ravnine, a ako se te ravnine sijeku, izvodimo jednadžbu presječne linije ravnina.
Neka kartezijanac pravokutni sustav koordinate Oxyz a ravnine neka su navedene u ovom koordinatnom sustavu α 1 i α 2:
Budući da vektori n 1 i n 2 su kolinearni, onda postoji takav broj λ ≠0, da je jednakost zadovoljena n 1 =λ n 2, tj. A 1 =λ A 2 , B 1 =λ B 2 , C 1 =λ C 2 .
Množenje jednadžbe (2) sa λ , dobivamo:
Ako je jednakost D 1 =λ D 2, zatim avion α 1 i α 2 podudaraju se, ako D 1 ≠λ D 2 zatim avioni α 1 i α 2 su paralelne, odnosno ne sijeku se.
2. Normalni vektori n 1 i n 2 aviona α 1 i α 2 nisu kolinearni (sl. 2).
Ako vektori n 1 i n 2 nisu kolinearni, tada rješavamo sustav linearne jednadžbe(1) i (2). Da bismo to učinili, prenosimo slobodne članove na desnu stranu jednadžbi i sastavljamo odgovarajuću matričnu jednadžbu:
Gdje x 0 , g 0 , z 0 , m, p, l realni brojevi i t− varijabla.
Jednakost (5) se može napisati na sljedeći način:
Primjer 1. Odredite presjek ravnina α 1 i α 2:
| α 1: x+2g+z+54=0. | (7) |
Riješimo sustav linearnih jednadžbi (9) s obzirom na x, y, z. Da bismo riješili sustav, konstruiramo proširenu matricu:
Druga faza. Obrnuti Gaussov pomak.
Isključimo elemente 2. stupca matrice iznad elementa a 22. Da biste to učinili, zbrojite liniju 1 s linijom 2 pomnoženom s −2/5:
Dobijamo rješenje:
Dobili smo jednadžbu presječne linije ravnina α 1 i α 2 u parametarskom obliku. Napišimo to u kanonskom obliku.
Odgovor. Jednadžba pravca presjeka ravnina α 1 i α 2 izgleda ovako:
| (15) |
α 1 ima normalni vektor n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 )=(1, 2, 7). Avion α 2 ima vektor normale n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={2, 4, 14}.
n 1 i n 2 kolinearni ( n 1 se može dobiti množenjem n 2 brojem 1/2), zatim ravnina α 1 i α 2 su paralelni ili podudarni.
α 2 pomnoženo s brojem 1/2:
| (18) |
Riješenje. Odredimo najprije relativni položaj tih ravnina. Avion α 1 ima normalni vektor n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 )=(5, −2, 3). Avion α 2 ima vektor normale n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={15, −6, 9}.
Budući da su vektori smjera n 1 i n 2 kolinearni ( n 1 se može dobiti množenjem n 2 brojem 1/3), zatim ravnina α 1 i α 2 su paralelni ili podudarni.
Kada pomnožite jednadžbu s brojem koji nije nula, jednadžba se ne mijenja. Transformirajmo jednadžbu ravnine α 2 pomnoženo s brojem 1/3:
| (19) |
Budući da se normalni vektori jednadžbi (17) i (19) podudaraju, a slobodni članovi jednaki, tada ravnine α 1 i α 2 utakmica.
KUT IZMEĐU RAVNINA
Razmotrimo dvije ravnine α 1 i α 2, definirane redom jednadžbama:
Pod, ispod kut između dvije ravnine razumjet ćemo jedan od diedarskih kutova koje čine te ravnine. Očito je da je kut između normalnih vektora i ravnina α 1 i α 2 jednak jednom od naznačenih susjednih diedarskih kutova odn. 
. Zato 
. Jer 
I 
, To
.
Primjer. Odredite kut između ravnina x+2g-3z+4=0 i 2 x+3g+z+8=0.
Uvjet paralelnosti dviju ravnina.
Dvije ravnine α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori paralelni, pa prema tome 
.
Dakle, dvije ravnine su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti odgovarajućih koordinata proporcionalni:
ili
Uvjet okomitosti ravnina.
Jasno je da su dvije ravnine okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, pa prema tome, ili .
Tako, .
Primjeri.
RAVNO U PROSTORU.
VEKTORSKA JEDNADŽBA ZA PRAVAC.
PARAMETRIJSKE DIREKTNE JEDNADŽBE
Položaj pravca u prostoru potpuno je određen zadavanjem bilo koje njegove fiksne točke M 1 i vektor paralelan s tim pravcem.
Vektor paralelan s pravcem nazivamo vodiči vektor ove linije.
Pa neka ravna linija l prolazi kroz točku M 1 (x 1 , g 1 , z 1), koji leži na liniji paralelnoj s vektorom .
Promotrimo proizvoljnu točku M(x,y,z) na ravnoj liniji. Iz slike je jasno da 
.
Vektori i su kolinearni, pa postoji takav broj t, što , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju brojčanu vrijednost ovisno o položaju točke M na ravnoj liniji. Faktor t naziva parametar. Označivši radijus vektore točaka M 1 i M redom, kroz i , dobivamo . Ova se jednadžba zove vektor jednadžba ravne linije. Pokazuje da za svaku vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke točke M, ležeći na ravnoj liniji.
Zapišimo ovu jednadžbu u koordinatnom obliku. Primijeti da , 
a odavde
Dobivene jednadžbe nazivaju se parametarski jednadžbe ravne linije.
Prilikom promjene parametra t promjene koordinata x, g I z i točka M kreće se pravocrtno.
KANONIČKE JEDNADŽBE DIREKTNE
Neka M 1 (x 1 , g 1 , z 1) – točka koja leži na pravoj liniji l, I 
je njegov vektor smjera. Uzmimo ponovno proizvoljnu točku na pravcu M(x,y,z) i razmotriti vektor .
Jasno je da su vektori također kolinearni, pa im odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle,
– kanonski jednadžbe ravne linije.
Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednadžbe pravca mogu dobiti iz parametarskih eliminacijom parametra t. Doista, iz parametarskih jednadžbi dobivamo 
ili .
Primjer. Zapiši jednadžbu pravca 
u parametarskom obliku.
Označimo 
, odavde x = 2 + 3t, g = –1 + 2t, z = 1 –t.
Napomena 2. Neka je pravac okomit na jednu od koordinatnih osi, npr. os Vol. Tada je vektor smjera pravca okomit Vol, stoga, m=0. Posljedično, parametarske jednadžbe pravca će poprimiti oblik
Isključivanje parametra iz jednadžbi t, dobivamo jednadžbe pravca u obliku
Međutim, iu ovom slučaju pristajemo formalno napisati kanonske jednadžbe pravca u obliku 
. Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, to znači da je pravac okomit na odgovarajuću koordinatnu os.
Slično kanonskim jednadžbama 
odgovara ravnoj liniji okomitoj na osi Vol I Joj ili paralelno s osi Oz.
Primjeri.
OPĆE JEDNADŽBE RAVNE CRTE KAO SJEČIŠTA DVIJE RAVNINE
Kroz svaku ravnu liniju u prostoru prolaze bezbrojne ravnine. Bilo koja dva od njih, sijekući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednadžbe bilo koje dvije takve ravnine, promatrane zajedno, predstavljaju jednadžbe ove linije.
Općenito, date bilo koje dvije neparalelne ravnine opće jednadžbe
odrediti ravnu liniju njihova sjecišta. Ove se jednadžbe nazivaju opće jednadžbe ravno.
Primjeri.
Konstruirajte pravac zadan jednadžbama 
Za konstruiranje pravca dovoljno je pronaći bilo koje dvije njegove točke. Najlakši način je odabrati točke sjecišta pravca s koordinatnim ravninama. Na primjer, točka presjeka s ravninom xOy dobivamo iz jednadžbi ravne linije, uz pretpostavku z= 0:
Nakon što smo riješili ovaj sustav, nalazimo poantu M 1 (1;2;0).
Slično, pod pretpostavkom g= 0, dobivamo točku presjeka pravca s ravninom xOz:
Od općih jednadžbi pravca može se prijeći na njegove kanoničke ili parametarske jednadžbe. Da biste to učinili, morate pronaći neku točku M 1 na pravcu i vektor smjera pravca.
Koordinate točke M 1 dobivamo iz ovog sustava jednadžbi, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora 
I 
. Prema tome, izvan vektora smjera prave l možeš uzeti vektorski proizvod normalni vektori:
.
Primjer. Navedite opće jednadžbe pravca 
kanonskom obliku.
Nađimo točku koja leži na pravcu. Da bismo to učinili, odabiremo proizvoljno jednu od koordinata, na primjer, g= 0 i riješite sustav jednadžbi:
Normalni vektori ravnina koje definiraju pravac imaju koordinate 
Stoga će vektor smjera biti ravan
. Stoga, l: 
.
KUT IZMEĐU RAVNICA
Kut između linija u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjedni uglovi, koju čine dvije ravne crte povučene kroz proizvoljnu točku paralelnu s podacima.
Neka su u prostoru zadane dvije linije:
Očito, kut φ između ravnih pravaca može se uzeti kao kut između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda pomoću formule za kosinus kuta između vektora dobivamo
Neka su kanonske jednadžbe pravca
koeficijent je različit od nule, tj. pravac nije paralelan s ravninom xOy. Napišimo ove jednadžbe zasebno u ovom obliku:
Pod našim uvjetom, jednadžbe (6) u potpunosti definiraju ravnu liniju. Svaki od njih pojedinačno izražava ravninu, pri čemu je prvi paralelan s osi Oy, a drugi s osi
Dakle, predstavljajući ravnu liniju s jednadžbama oblika (6), smatramo je sjecištem dviju ravnina koje projiciraju ovu ravnu liniju na koordinatnu ravninu xOz i yOz. Prva od jednadžbi (6), razmatrana u ravnini, određuje projekciju dane ravne linije na tu ravninu; na isti način, druga od jednadžbi (6), razmatrana u ravnini, određuje projekciju dane ravne crte na ravninu yOz. Dakle, možemo reći da dati jednadžbe pravca u obliku (6) znači dati njegovu projekciju na koordinatnu ravninu xOz i yOz.
Kad bi vodeći koeficijent bio nula, tada bi barem jedan od druga dva koeficijenta, na primjer, bio različit od nule, tj. pravac ne bi bio paralelan s ravninom yOz. U ovom slučaju mogli bismo izraziti ravnu liniju
jednadžbe ravnina projicirajući ga na koordinatne ravnine zapisujući jednadžbe (5) u obliku
Dakle, svaka ravna crta može se izraziti jednadžbama dviju ravnina koje kroz nju prolaze i projiciraju je na koordinatne ravnine. Ali uopće nije potrebno definirati ravnu crtu samo takvim parom ravnina.
Kroz svaku ravnu liniju prolazi bezbroj ravnina. Bilo koja dva od njih, sijekući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednadžbe bilo koje dvije takve ravnine, promatrane zajedno, predstavljaju jednadžbe ove linije.
Općenito, bilo koje dvije ravnine koje nisu međusobno paralelne s općim jednadžbama
odrediti ravnu liniju njihova sjecišta.
Jednadžbe (7), promatrane zajedno, nazivaju se opće jednadžbe pravca.
Od općih jednadžbi pravca (7) možemo prijeći na njegove kanonske jednadžbe. U tu svrhu moramo znati neku točku na liniji i vektor smjera.
Lako možemo pronaći koordinate točke iz zadanog sustava jednadžbi proizvoljnim odabirom jedne od koordinata i zatim rješavanjem sustava dviju jednadžbi koristeći članove preostale dvije koordinate.
Da bismo pronašli vektor usmjeravanja ravne crte, napominjemo da ovaj vektor, usmjeren duž linije presjeka tih ravnina, mora biti okomit na oba normalna vektora tih ravnina. Obrnuto, svaki vektor okomit na paralelan je s obje ravnine, a time i s danom linijom.
Ali vektorski produkt također ima ovo svojstvo. Stoga se vektorski umnožak vektora normala tih ravnina može uzeti kao vektor usmjerivača pravca.
Primjer 1. Reducirajte jednadžbu pravca na kanonski oblik
Odaberimo proizvoljno jednu od koordinata. Neka, na primjer,. Zatim
odakle Dakle, pronašli smo točku (2, 0, 1) koja leži na liniji,
Sada pronalaženjem vektorskog umnoška vektora dobivamo vektor smjera ravne linije. Stoga će kanonske jednadžbe biti:
Komentar. Od općih ravnih jednadžbi oblika (7) možete prijeći na kanonske bez pribjegavanja vektorskoj metodi.
Zaustavimo se najprije malo detaljnije o jednadžbama
Izrazimo x i y iz njih kroz . Tada dobivamo:
gdje treba biti
Jednadžbe (6) nazivamo jednadžbama ravnih linija u projekcijama na ravninu
Idemo instalirati geometrijsko značenje konstante M i N: M predstavlja kutni koeficijent projekcije danog pravca na koordinatnu ravninu (tangens kuta te projekcije s osi Oz), a N je kutni koeficijent projekcije tog pravca na koordinatnu ravninu. koordinatna ravnina (tangenta kuta ove projekcije s osi Oz). Dakle, brojevi određuju smjerove projekcija zadane ravnice na dvije koordinatne ravnine, što znači da karakteriziraju i smjer same zadane ravnice. Stoga se brojevi M i N nazivaju kutni koeficijenti ovu liniju.
Da bismo saznali geometrijsko značenje konstanti, stavimo ravnu crtu u jednadžbe (6), tada dobivamo: to jest, točka leži na danoj pravoj liniji. Očigledno, ova točka je točka presjeka ove prave s ravninom, dakle, ovo su koordinate traga ove prave na koordinatnoj ravnini
Sada je lako prijeći s projekcijskih jednadžbi na kanonske. Neka su, na primjer, dane jednadžbe (6). Rješavajući ove jednadžbe za , nalazimo:
iz koje izravno dobivamo kanonske jednadžbe u obliku
Primjer 2. Navedite kanonske jednadžbe pravca
na jednadžbe u projekcijama na ravninu
Te jednadžbe prepisujemo u obliku
Rješavajući prvu od ovih jednadžbi za x, a drugu za y, nalazimo tražene jednadžbe u projekcijama:
Primjer 3. Navedite jednadžbe u ppojekcijama
kanonskom obliku.
Rješavajući ove jednadžbe za , dobivamo:
Pravac u prostoru može se definirati kao linija presjeka dviju neparalelnih ravnina, odnosno kao skup točaka koje zadovoljavaju sustav dviju linearnih jednadžbi
(V.5)
Vrijedi i obrnuta tvrdnja: sustav dviju neovisnih linearnih jednadžbi oblika (V.5) definira ravnu liniju kao crtu presjeka ravnina (ako one nisu paralelne). Jednadžbe sustava (V.5) nazivaju se opća jednadžba ravna linija u prostoru 
.
PrimjerV.12 . Sastavite kanoničku jednadžbu pravca zadanu općim jednadžbama ravnina
Riješenje. Da biste napisali kanoničku jednadžbu pravca ili, što je isto, jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke, trebate pronaći koordinate bilo koje dvije točke na pravcu. One mogu biti točke presjeka ravne crte s bilo koje dvije koordinatne ravnine, na primjer Oyz I Oxz.
Sjecište pravca i ravnine Oyz ima apscisu 
. Stoga, pod pretpostavkom u ovom sustavu jednadžbi 
, dobivamo sustav s dvije varijable:
Njezina odluka 
,
zajedno s 
definira točku 
željenu ravnu liniju. Pretpostavljajući u ovom sustavu jednadžbi 
, dobivamo sustav
čije rješenje 
,
zajedno s 
definira točku 
presjek pravca s ravninom Oxz.
Zapišimo sada jednadžbe pravca koji prolazi kroz točke 
I 
:
ili 
, Gdje 
bit će vektor smjera ove ravne linije.
PrimjerV.13.
Pravac je dan kanonskom jednadžbom 
. Napišite opću jednadžbu za ovaj pravac.
Riješenje. Kanonska jednadžba pravca može se napisati kao sustav dviju neovisnih jednadžbi:
Dobili smo opću jednadžbu ravne linije, koja je sada dana presjekom dviju ravnina, od kojih je jedna 
paralelno s osi Oz
(
), i drugi 
– sjekire OU
(
).
Ova se ravna crta može prikazati kao linija presjeka dviju drugih ravnina zapisivanjem njene kanonske jednadžbe u obliku drugog para neovisnih jednadžbi:
Komentar . Ista ravna crta može se definirati različitim sustavima dviju linearnih jednadžbi (odnosno sjecištem različitih ravnina, budući da se kroz jednu ravnu liniju može povući beskonačan broj ravnina), kao i različitim kanonskim jednadžbama (ovisno o izbor točke na pravoj liniji i njezin vektor smjera) .
Vektor različit od nule paralelan pravoj liniji, nazvat ćemo ga vektor vodiča .
Pustiti u trodimenzionalni prostor 
dana je ravna crta l, prolazeći kroz točku 
, i njegov vektor smjera 
.
Bilo koji vektor 
, Gdje 
, koji leži na liniji, kolinearan je s vektorom 
, pa su im koordinate proporcionalne, tj
. (V.6)
Ova se jednadžba naziva kanoničkom jednadžbom pravca. U posebnom slučaju kada je ﻉ ravnina, dobivamo jednadžbu pravca na ravnini
. (V.7)
PrimjerV.14.
Nađite jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije točke 
,
.
,
Gdje 
,
,
.
Pogodno je jednadžbu (V.6) napisati u parametarskom obliku. Budući da su koordinate vektora smjera paralelnih pravaca proporcionalne, onda, pod pretpostavkom
,
Gdje t
- parametar, 
.
Udaljenost od točke do linije
Razmotrimo dvodimenzionalni euklidski prostor ﻉ s Kartezijevim koordinatnim sustavom. Neka točka 
ﻉ i lﻉ. Nađimo udaljenost od ove točke do pravca. Stavimo 
, i ravno l zadan jednadžbom 
(Sl.V.8).
Udaljenost 
, vektor 
, Gdje 
– vektor normalne linije l,
I 
– kolinearni pa su im koordinate proporcionalne tj 
, stoga, 
,
.
Odavde 
ili množenjem ovih jednadžbi sa A I B respektivno, i dodajući ih, nalazimo 
, odavde
.
(V.8)
određuje udaljenost od točke 
na ravnu liniju 
.
PrimjerV.15.
Nađite jednadžbu pravca koji prolazi točkom 
okomito na ravnu liniju l:
i pronaći udaljenost od 
na ravnu liniju l.
Od sl. V.8 imamo 
, a vektor normale je ravan l
. Iz uvjeta okomitosti imamo
Jer 
, To
. (V.9)
Ovo je jednadžba pravca koji prolazi kroz točku 
, okomito na ravnu liniju 
.
Neka nam je jednadžba pravca (V.9) koji prolazi točkom 
, okomito na liniju l:
. Pronađite udaljenost od točke 
na ravnu liniju l, pomoću formule (V.8).
Da biste pronašli traženu udaljenost, dovoljno je pronaći jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije točke 
i točka 
koji leži na liniji na podnožju okomice. Neka 
, Zatim
Jer 
, i vektor 
, To
. (V.11)
Od točke 
leži na ravnoj liniji l, tada imamo još jednu jednakost 
ili
Svedimo sustav na oblik pogodan za primjenu Cramerove metode
Njegovo rješenje ima oblik
,
. (V.12)
Zamjenom (V.12) u (V.10) dobivamo izvornu udaljenost.
PrimjerV.16.
Točka je dana u dvodimenzionalnom prostoru 
i ravno 
. Pronađite udaljenost od točke 
na ravnu liniju; napiši jednadžbu pravca koji prolazi točkom 
okomito na zadani pravac i pronađite udaljenost od točke 
na osnovicu okomice na izvornu liniju.
Po formuli (V.8) imamo
Jednadžbu pravca koji sadrži okomicu nalazimo kao pravac koji prolazi kroz dvije točke 
I 
, koristeći formulu (V.11). Jer 
, zatim, uzimajući u obzir činjenicu da 
, A 
, imamo
.
Za pronalaženje koordinata 
imamo sustav uzimajući u obzir činjenicu da točka 
leži na izvornoj liniji
Stoga, 
,
, odavde.
Razmotrimo trodimenzionalni euklidski prostor ﻉ. Neka točka 
ﻉ i ravnina ﻉ. Nađimo udaljenost od ove točke 
na ravninu zadanu jednadžbom (slika V.9).
Analogno dvodimenzionalnom prostoru imamo 
i vektor 
, ah, odavde
. (V.13)
Jednadžbu pravca koji sadrži okomicu na ravninu zapisujemo kao jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije točke 
I 
, ležeći u avionu:
. (V.14)
Za pronalaženje koordinata točke 
bilo kojim dvjema jednakostima formule (V.14) dodajemo jednadžbu
Rješavajući sustav triju jednadžbi (V.14), (V.15), nalazimo 
,
,
– koordinate točke 
. Tada će jednadžba okomice biti zapisana u obliku
.
Da biste pronašli udaljenost od točke 
na ravninu umjesto formule (V.13) koristimo
Kanonske jednadžbe pravca u prostoru su jednadžbe koje definiraju pravac koji prolazi kroz zadanu točku kolinearno na vektor smjera.
Neka su zadani točka i vektor smjera. Proizvoljna točka leži na pravcu l samo ako su vektori i kolinearni, tj. za njih je zadovoljen uvjet:
.
Gornje jednadžbe su kanonske jednadžbe ravne linije.
Brojke m , n I str su projekcije vektora pravca na koordinatne osi. Budući da vektor nije nula, tada su svi brojevi m , n I str ne mogu istovremeno biti jednaki nuli. Ali jedan ili dva od njih mogu ispasti jednaka nuli. U analitička geometrija Na primjer, dopušten je sljedeći unos:
,
što znači da projekcije vektora na os Joj I Oz jednaki su nuli. Stoga su i vektor i pravac definirani kanonskim jednadžbama okomiti na osi Joj I Oz, odnosno aviona yOz .
Primjer 1. Napiši jednadžbe za pravac u prostoru okomit na ravninu 
i prolazi kroz točku presjeka ove ravnine s osi Oz
.
Riješenje. Nađimo točku presjeka ove ravnine s osi Oz. Budući da svaka točka koja leži na osi Oz, ima koordinate , tada, uz pretpostavku u danoj jednadžbi ravnine x = y = 0, dobivamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2. Prema tome, sjecišna točka ove ravnine s osi Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Budući da je tražena linija okomita na ravninu, ona je paralelna sa svojim normalnim vektorom. Prema tome, vektor usmjeravanja pravca može biti vektor normale 
dana ravnina.
Zapišimo sada tražene jednadžbe pravca koji prolazi točkom A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:
Jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke
Ravnu liniju mogu definirati dvije točke koje leže na njoj 
I 
U tom slučaju vektor usmjeravanja pravca može biti vektor . Tada kanonske jednadžbe pravca poprimaju oblik
.
Gornje jednadžbe određuju pravac koji prolazi kroz dvije zadane točke.
Primjer 2. Napišite jednadžbu pravca u prostoru koji prolazi kroz točke i .
Riješenje. Zapišimo tražene jednadžbe ravne linije u obliku koji je dat gore u teorijskoj referenci:
.
Budući da je tada željena ravna linija okomita na os Joj .
Ravna kao linija presjeka ravnina
Pravac u prostoru može se definirati kao linija presjeka dviju neparalelnih ravnina, tj. kao skup točaka koje zadovoljavaju sustav dviju linearnih jednadžbi.
Jednadžbe sustava nazivaju se i opće jednadžbe pravca u prostoru.
Primjer 3. Sastaviti kanonske jednadžbe pravca u prostoru zadanog općim jednadžbama
Riješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe pravca ili, što je isto, jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke, trebate pronaći koordinate bilo koje dvije točke na pravcu. One mogu biti točke presjeka ravne crte s bilo koje dvije koordinatne ravnine, na primjer yOz I xOz .
Sjecište pravca i ravnine yOz ima apscisu x= 0. Stoga, pod pretpostavkom u ovom sustavu jednadžbi x= 0, dobivamo sustav s dvije varijable:
Njezina odluka g = 2 , z= 6 zajedno s x= 0 definira točku A(0; 2; 6) željena linija. Tada pod pretpostavkom u zadanom sustavu jednadžbi g= 0, dobivamo sustav
Njezina odluka x = -2 , z= 0 zajedno s g= 0 definira točku B(-2; 0; 0) presjek pravca s ravninom xOz .
Zapišimo sada jednadžbe pravca koji prolazi kroz točke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :
,
ili nakon dijeljenja nazivnika s -2:
,