Formula za derivaciju funkcije specificirane na parametarski način. Dokaz i primjeri primjene ove formule. Primjeri izračuna derivacija prvog, drugog i trećeg reda.
Neka je funkcija specificirana na parametarski način:
(1)
gdje je neka varijabla koja se zove parametar. I neka funkcije imaju derivacije pri određenoj vrijednosti varijable. Štoviše, funkcija ima i inverznu funkciju u određenoj okolini točke. Tada funkcija (1) ima derivaciju u točki, koja je u parametarskom obliku određena formulama:
(2)
Ovdje su i derivacije funkcija i s obzirom na varijablu (parametar). Često se pišu na sljedeći način:
;
.
Tada se sustav (2) može napisati na sljedeći način:
Dokaz
Po uvjetu funkcija ima inverznu funkciju. Označimo to kao
.
Tada se izvorna funkcija može prikazati kao složena funkcija:
.
Nađimo njegovu derivaciju pomoću pravila za razlikovanje kompleksnih i inverznih funkcija:
.
Pravilo je dokazano.
Dokaz na drugi način
Nađimo derivaciju na drugi način, na temelju definicije derivacije funkcije u točki:
.
Uvedimo oznaku:
.
Tada prethodna formula ima oblik:
.
Iskoristimo činjenicu da funkcija ima inverznu funkciju u okolici točke.
Uvedimo sljedeću oznaku:
;
;
;
.
Podijelite brojnik i nazivnik razlomka s:
.
U , .
.
Pravilo je dokazano.
Zatim
Izvodnice višeg reda
(1)
Da bi se našle derivacije viših redova, potrebno je više puta izvršiti diferenciranje. Recimo da trebamo pronaći izvod drugog reda funkcije definirane parametarski, sljedećeg oblika:
(2)
Pomoću formule (2) nalazimo prvu derivaciju, koja je također određena parametarski:
.
Označimo prvu derivaciju varijablom:
(3)
Zatim, da biste pronašli drugu derivaciju funkcije s obzirom na varijablu, trebate pronaći prvu derivaciju funkcije s obzirom na varijablu. Ovisnost varijable o varijabli također je navedena na parametarski način:
Uspoređujući (3) s formulama (1) i (2), nalazimo:
.
Sada izrazimo rezultat kroz funkcije i . Da bismo to učinili, zamijenimo i primijenimo formulu izvedenog razlomka:
.
Zatim 
Odavde dobivamo drugu derivaciju funkcije u odnosu na varijablu:
.
Nastavljajući proces, možete dobiti izvode funkcija iz varijable trećeg i višeg reda.
Imajte na umu da ne moramo uvoditi oznaku za derivat. Možete to napisati ovako:
;
.
Primjer 1
Pronađite derivaciju funkcije definirane parametarski:
Riješenje
Nalazimo izvodnice u odnosu na .
Iz tablice izvedenica nalazimo:
;
.
Primjenjujemo:
.
ovdje .
.
ovdje .
Traženi izvod:
.
Odgovor
Primjer 2
Pronađite derivaciju funkcije izraženu kroz parametar:
Riješenje
Proširimo zagrade koristeći formule za funkcije snage i korijene:
.
Pronalaženje derivata:
.
Pronalaženje izvoda. Da bismo to učinili, uvodimo varijablu i primjenjujemo formulu za derivaciju složene funkcije.
.
Nalazimo željenu derivaciju:
.
Odgovor
Primjer 3
Pronađite izvodnice drugog i trećeg reda funkcije definirane parametrijski u primjeru 1:
Riješenje
U primjeru 1 pronašli smo izvod prvog reda:
Uvedimo oznaku. Tada je funkcija derivirana u odnosu na . Parametarski je navedeno:
Da bismo pronašli drugu derivaciju u odnosu na , trebamo pronaći prvu derivaciju u odnosu na .
Razlikujmo po.
.
Pronašli smo derivat u primjeru 1:
.
Derivacija drugog reda u odnosu na jednaka je derivaciji prvog reda u odnosu na:
.
Dakle, pronašli smo izvod drugog reda u odnosu na parametarski oblik:
Sada nalazimo izvod trećeg reda. Uvedimo oznaku. Zatim trebamo pronaći izvod prvog reda funkcije, koji je specificiran na parametarski način:
Pronađite derivaciju u odnosu na . Da bismo to učinili, prepisujemo ga u ekvivalentnom obliku:
.
Iz
.
Derivacija trećeg reda u odnosu na jednaka je derivaciji prvog reda u odnosu na:
.
Komentar
Ne morate unijeti varijable i , koje su izvedene od i , respektivno. Onda to možete napisati ovako:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Odgovor
U parametarskom prikazu derivacija drugog reda ima sljedeći pogled:
Izvod trećeg reda:
Razmotrite definiranje linije na ravnini u kojoj su varijable x, y funkcije treće varijable t (koja se naziva parametar):
Za svaku vrijednost t određene vrijednosti odgovaraju određenim vrijednostima iz određenog intervala x I y, a, dakle, određena točka M (x, y) ravnine. Kada t prolazi kroz sve vrijednosti iz zadanog intervala, zatim točku M (x, y) opisuje neku liniju L. Jednadžbe (2.2) nazivaju se jednadžbe parametarskih linija L.
Ako funkcija x = φ(t) ima inverz t = F(x), tada zamjenom ovog izraza u jednadžbu y = g(t) dobivamo y = g(F(x)), što određuje g kao funkcija x. U tom slučaju kažemo da jednadžbe (2.2) definiraju funkciju g parametarski.
Primjer 1. Neka M(x,y)– proizvoljna točka na kružnici polumjera R i centriran u ishodištu. Neka t– kut između osi Vol i radijus OM(vidi sliku 2.3). Zatim x, y izražavaju se kroz t:
Jednadžbe (2.3) su parametarske jednadžbe kružnice. Isključimo parametar t iz jednadžbi (2.3). Da bismo to učinili, kvadriramo svaku jednadžbu i zbrojimo je, dobivamo: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) ili x 2 + y 2 = R 2 – jednadžba kruga u kartezijskom koordinatni sustav. Definira dvije funkcije: Svaka od ovih funkcija dana je parametarskim jednadžbama (2.3), ali za prvu funkciju , a za drugu .
Primjer 2. Parametarske jednadžbe
definirati elipsu s poluosima a, b(Slika 2.4). Isključivanje parametra iz jednadžbi t, dobivamo kanonsku jednadžbu elipse:
Primjer 3. Cikloida je linija opisana točkom koja leži na kružnici ako se ova kružnica kotrlja bez klizanja po ravnoj liniji (slika 2.5). Uvedimo parametarske jednadžbe cikloide. Neka je polumjer kružnice koja se kotrlja a, točka M, opisujući cikloidu, na početku kretanja poklapao se s ishodištem koordinata. 
Odredimo koordinate x, y bodova M nakon što se kružnica zarotirala za kut t
(Sl. 2.5), t = ÐMCB. Dužina luka M.B. jednaka duljini segmenta O.B. budući da se krug kotrlja bez klizanja, dakle
OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),
y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – trošak).
Dakle, dobivene su parametarske jednadžbe cikloide:
Prilikom promjene parametra t od 0 do 2π kružnica se okrene za jedan krug, a točka M opisuje jedan luk cikloide. Jednadžbe (2.5) daju g kao funkcija x. Iako funkcija x = a(t – sint) ima inverznu funkciju, ali se ne izražava u smislu elementarne funkcije, dakle funkcija y = f(x) nije izražen kroz elementarne funkcije.
Promotrimo diferenciranje funkcije definirane parametrijski jednadžbama (2.2). Funkcija x = φ(t) na određenom intervalu promjene t ima inverznu funkciju t = F(x), Zatim y = g(F(x)). Neka x = φ(t), y = g(t) imaju izvedenice, i x"t≠0. Prema pravilu razlikovanja složena funkcija y"x=y"t×t"x. Prema pravilu za razlikovanje inverzne funkcije, dakle:
Dobivena formula (2.6) omogućuje pronalaženje derivacije za parametarski specificiranu funkciju.
Primjer 4. Neka funkcija g, ovisno o x, određuje se parametarski:
Riješenje. 
.
Primjer 5. Pronađite nagib k tangenta na cikloidu u točki M 0 koja odgovara vrijednosti parametra.
Riješenje. Iz cikloidnih jednadžbi: y" t = asint, x" t = a(1 – trošak), Zato 
Faktor nagiba tangenta u točki M0 jednaka vrijednosti at t 0 = π/4:
DIFERENCIJALNA FUNKCIJA
Neka funkcija u točki x 0 ima izvedenicu. A-prior: 
dakle, prema svojstvima granice (odjeljak 1.8), gdje a– infinitezimalno pri Δx → 0. Odavde
Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)
Kako je Δx → 0, drugi član u jednakosti (2.7) je infinitezimalan višeg reda, u usporedbi sa 
, stoga su Δy i f " (x 0)×Δx ekvivalentni, infinitezimalni (za f "(x 0) ≠ 0).
Dakle, prirast funkcije Δy sastoji se od dva člana, od kojih je prvi f "(x 0)×Δx glavni dio prirast Δy, linearan u odnosu na Δx (za f "(x 0)≠ 0).
Diferencijal poziva se funkcija f(x) u točki x 0 glavni dio prirasta funkcije i označava se sa: dy ili df(x0). Stoga,
df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)
Primjer 1. Pronađite diferencijal funkcije dy i prirast funkcije Δy za funkciju y = x 2 pri:
1) proizvoljna x i Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.
Riješenje
1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.
2) Ako je x 0 = 20, Δx = 0,1, tada je Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.
Zapišimo jednakost (2.7) u obliku:
Δy = dy + a×Δx. (2.9)
Povećanje Δy razlikuje se od diferencijala dy na infinitezimal višeg reda, u usporedbi s Δx, stoga se u približnim izračunima koristi aproksimativna jednakost Δy ≈ dy ako je Δx dovoljno malen.
Uzimajući u obzir da je Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), dobivamo približnu formulu:
f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)
Primjer 2. Izračunajte otprilike.
Riješenje. Smatrati:
Koristeći formulu (2.10), dobivamo:
Dakle, ≈ 2,025.
Razmotrimo geometrijsko značenje diferencijal df(x 0)(Slika 2.6). 
Povucimo tangentu na graf funkcije y = f(x) u točki M 0 (x0, f(x 0)), neka je φ kut između tangente KM0 i osi Ox, tada je f"( x 0) = tanφ Iz ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Ali PN je povećanje tangentne ordinate kako se x mijenja od x 0 do x 0 + Δx.
Prema tome, diferencijal funkcije f(x) u točki x 0 jednak je prirastu ordinate tangente.
Nađimo diferencijal funkcije
y = x. Budući da je (x)" = 1, onda je dx = 1×Δx = Δx. Pretpostavit ćemo da je diferencijal nezavisne varijable x jednak njezinom prirastu, tj. dx = Δx.
Ako je x proizvoljan broj, tada iz jednakosti (2.8) dobivamo df(x) = f "(x)dx, odakle 
.
Dakle, derivacija za funkciju y = f(x) jednaka je omjeru njenog diferencijala i diferencijala argumenta.
Razmotrimo svojstva diferencijala funkcije.
Ako su u(x), v(x) diferencijabilne funkcije, tada vrijede sljedeće formule:
Za dokaz ovih formula koriste se formule izvoda za zbroj, umnožak i kvocijent funkcije. Dokažimo, na primjer, formulu (2.12):
d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.
Promotrimo diferencijal složene funkcije: y = f(x), x = φ(t), tj. y = f(φ(t)).
Tada je dy = y" t dt, ali y" t = y" x ×x" t, pa je dy =y" x x" t dt. S obzirom,
da je x" t = dx, dobivamo dy = y" x dx =f "(x)dx.
Dakle, diferencijal kompleksne funkcije y = f(x), gdje je x =φ(t), ima oblik dy = f "(x)dx, isto kao u slučaju kada je x nezavisna varijabla. Ovo svojstvo Zove se nepromjenjivost oblika diferencijala A.
Nemojmo naglašavati, sve u ovom paragrafu također je vrlo jednostavno. Možete napisati opću formulu parametarski definirane funkcije, ali, da bi bilo jasno, odmah ću napisati konkretan primjer. U parametarskom obliku funkcija je dana s dvije jednadžbe: . Često se jednadžbe ne pišu u vitičastim zagradama, već u nizu: , .
Varijabla se naziva parametar i može poprimiti vrijednosti od "minus beskonačno" do "plus beskonačno". Razmotrimo, na primjer, vrijednost i zamijenimo je u obje jednadžbe: 
. Ili ljudskim rječnikom rečeno: "ako je x jednako četiri, onda je y jednako jedan." Možete označiti točku na koordinatnoj ravnini, a ta će točka odgovarati vrijednosti parametra. Slično, možete pronaći točku za bilo koju vrijednost parametra "te". Što se tiče "obične" funkcije, za američke Indijance parametarski definirane funkcije također se poštuju sva prava: možete izgraditi graf, pronaći derivacije itd. Usput, ako trebate iscrtati graf parametarski određene funkcije, preuzmite moj geometrijski program na stranici Matematičke formule i tablice.
U najjednostavnijim slučajevima moguće je eksplicitno prikazati funkciju. Izrazimo parametar iz prve jednadžbe: 
– i zamijenite ga u drugu jednadžbu: 
. Rezultat je obična kubna funkcija.
U "težim" slučajevima ovaj trik ne pali. Ali to nije važno, jer postoji formula za pronalaženje derivacije parametarske funkcije:
Nalazimo izvod "igre s obzirom na varijablu te":
Sva pravila razlikovanja i tablica izvedenica vrijede, naravno, za slovo, dakle, nema novosti u procesu pronalaženja izvedenica. Samo mentalno zamijenite sve "X" u tablici slovom "Te".
Pronalazimo izvod od “x u odnosu na varijablu te”: 
Sada sve što preostaje je zamijeniti pronađene derivacije u našu formulu: 
Spreman. Derivacija, kao i sama funkcija, također ovisi o parametru.
Što se notacije tiče, umjesto da se upisuje u formulu, može se jednostavno pisati bez indeksa, budući da je ovo "regularna" derivacija "u odnosu na X". Ali u literaturi uvijek postoji opcija, pa neću odstupati od standarda.
Primjer 6
Koristimo formulu
U ovom slučaju:
Tako: 
Posebnost nalaženja derivacije parametarske funkcije je činjenica da u svakom koraku korisno je pojednostaviti rezultat što je više moguće. Dakle, u razmatranom primjeru, kada sam ga pronašao, otvorio sam zagrade ispod korijena (iako to možda nisam učinio). Postoji velika vjerojatnost da će se zamjenom u formulu mnoge stvari dobro smanjiti. Iako, naravno, ima primjera s nespretnim odgovorima.
Primjer 7
Naći derivaciju funkcije specificirane parametarski 
Ovo je primjer koji trebate sami riješiti.
U članku Najjednostavniji tipični problemi s izvedenicama pogledali smo primjere u kojima je trebalo pronaći drugu derivaciju funkcije. Za parametarski definiranu funkciju možete pronaći i drugu derivaciju, a ona se nalazi pomoću sljedeće formule: . Sasvim je očito da da biste pronašli drugu derivaciju, prvo morate pronaći prvu derivaciju.
Primjer 8
Odredite prvu i drugu derivaciju parametarski zadane funkcije
Prvo, pronađimo prvu derivaciju.
Koristimo formulu
U ovom slučaju: 
Zamjenjuje pronađene izvedenice u formulu. Radi pojednostavljenja koristimo trigonometrijsku formulu: 
Primijetio sam da je u problemu nalaženja derivacije parametarske funkcije dosta često u svrhu pojednostavljenja potrebno koristiti trigonometrijske formule . Zapamtite ih ili neka budu pri ruci i ne propustite priliku da pojednostavite svaki međurezultat i odgovore. Za što? Sada moramo uzeti izvod od , a to je očito bolje nego pronaći izvod od .
Nađimo drugu derivaciju.
Koristimo formulu: .
Pogledajmo našu formulu. Nazivnik je već pronađen u prethodnom koraku. Ostaje pronaći brojnik - derivaciju prve derivacije u odnosu na varijablu “te”:
Ostaje koristiti formulu: 
Za učvršćivanje gradiva nudim još par primjera koje možete sami riješiti.
Primjer 9
Primjer 10
Pronađite i za parametarski specificiranu funkciju 
Želim ti uspjeh!
Nadam se da je ova lekcija bila korisna i da sada možete lako pronaći izvedenice funkcija navedenih implicitno i iz parametarskih funkcija
Rješenja i odgovori:
Primjer 3: Rješenje:
Tako:
Funkcija se može odrediti na nekoliko načina. Ovisi o pravilu koje se koristi za određivanje. Eksplicitni oblik specificiranja funkcije je y = f (x). Postoje trenuci kada je njegov opis nemoguć ili nezgodan. Ako postoji mnogo parova (x; y) koje treba izračunati za parametar t u intervalu (a; b). Za rješavanje sustava x = 3 cos t y = 3 sin t s 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Definicija parametarske funkcije
Odavde imamo da su x = φ (t), y = ψ (t) definirani za vrijednost t ∈ (a; b) i imaju inverznu funkciju t = Θ (x) za x = φ (t), tada govorimo o specificiranju parametarske jednadžbe funkcije oblika y = ψ (Θ (x)) .
Postoje slučajevi kada je za proučavanje funkcije potrebno tražiti derivaciju u odnosu na x. Razmotrimo formulu za derivaciju parametarski definirane funkcije oblika y x " = ψ " (t) φ " (t), govorimo o derivaciji 2. i n-tog reda.
Derivacija formule za derivaciju parametarski definirane funkcije
Imamo da je x = φ (t), y = ψ (t), definirano i diferencijabilno za t ∈ a; b, gdje je x t " = φ " (t) ≠ 0 i x = φ (t), tada postoji inverzna funkcija oblika t = Θ (x).
Za početak, trebali biste prijeći s parametarskog zadatka na eksplicitni. Da biste to učinili, morate dobiti složenu funkciju oblika y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), gdje postoji argument x.
Na temelju pravila za pronalaženje derivacije složene funkcije dobivamo da je y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .
To pokazuje da su t = Θ (x) i x = φ (t) inverzne funkcije iz formule inverzne funkcije Θ " (x) = 1 φ " (t), zatim y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .
Prijeđimo na rješavanje nekoliko primjera pomoću tablice derivacija prema pravilu diferenciranja.
Primjer 1
Odredite izvod za funkciju x = t 2 + 1 y = t.
Riješenje
Po uvjetu imamo da je φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, odavde dobivamo da je φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Morate koristiti izvedenu formulu i napisati odgovor u obliku:
y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t
Odgovor: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
Kada radite s derivacijom funkcije h, parametar t specificira izraz argumenta x kroz isti parametar t, kako se ne bi izgubila veza između vrijednosti derivacije i parametarski definirane funkcije s argumentom za kojima te vrijednosti odgovaraju.
Da biste odredili derivaciju drugog reda parametarski zadane funkcije, trebate upotrijebiti formulu za derivaciju prvog reda na rezultirajućoj funkciji, tada dobivamo da
y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .
Primjer 2
Odredite izvodnice 2. i 2. reda zadane funkcije x = cos (2 t) y = t 2 .
Riješenje
Uvjetom dobivamo da je φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .
Zatim nakon transformacije
φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t
Slijedi da je y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
Dobivamo da je oblik derivacije 1. reda x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .
Za rješavanje morate primijeniti formulu derivacije drugog reda. Dobivamo izraz forme
y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Zatim određivanje derivacije 2. reda pomoću parametarske funkcije
x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Slično rješenje može se riješiti drugom metodom. Zatim
φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2
Odavde to dobivamo
y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Odgovor: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
Na sličan način pronalaze se derivacije višeg reda s parametarski definiranim funkcijama.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Do sada smo razmatrali jednadžbe pravaca na ravnini koje izravno povezuju trenutne koordinate točaka tih pravaca. Međutim, često se koristi druga metoda definiranja linije, u kojoj se trenutne koordinate smatraju funkcijama treće varijable.
Neka su zadane dvije funkcije varijable
uzeti u obzir za iste vrijednosti t. Tada bilo koja od ovih vrijednosti t odgovara određenoj vrijednosti i određenoj vrijednosti y, a time i određenoj točki. Kada varijabla t prolazi kroz sve vrijednosti iz domene definiranja funkcija (73), točka opisuje određenu liniju C u ravnini, jednadžbe (73) se nazivaju parametarske jednadžbe te linije, a varijabla se zove parametar.
Pretpostavimo da funkcija ima inverznu funkciju. Zamjenom te funkcije u drugu od jednadžbi (73) dobivamo jednadžbu
izražavajući y kao funkciju
Složimo se reći da je ova funkcija parametarski dana jednadžbama (73). Prijelaz s ovih jednadžbi na jednadžbu (74) naziva se eliminacija parametra. Kada se razmatraju funkcije definirane parametarski, isključivanje parametra ne samo da nije potrebno, nego također nije uvijek praktično moguće.
U mnogim slučajevima mnogo je prikladnije, s obzirom na različite vrijednosti parametra, izračunati, koristeći formule (73), odgovarajuće vrijednosti argumenta i funkcije y.
Pogledajmo primjere.
Primjer 1. Neka je proizvoljna točka na kružnici sa središtem u ishodištu i radijusom R. Kartezijeve koordinate x i y te točke izražene su kroz njezin polarni radijus i polarni kut, koje ovdje označavamo s t, kako slijedi ( vidi Poglavlje I, § 3, stavak 3):
Jednadžbe (75) nazivamo parametarskim jednadžbama kružnice. Parametar u njima je polarni kut, koji varira od 0 do .
Ako se jednadžbe (75) kvadrira član po član i zbroji, tada se na temelju identiteta parametar eliminira i dobiva se jednadžba kružnice u Kartezijevom koordinatnom sustavu, koja definira dvije elementarne funkcije:
Svaka od ovih funkcija određena je parametarski jednadžbama (75), ali su rasponi parametara za te funkcije različiti. Za prvu od njih; Graf ove funkcije je gornji polukrug. Za drugu funkciju, njen graf je donji polukrug.
Primjer 2. Razmotrimo istovremeno elipsu
i kružnica sa središtem u ishodištu i polumjerom a (slika 138).
Svakoj točki M elipse pridružujemo točku N kružnice koja ima istu apscisu kao točka M i nalazi se s njom na istoj strani osi Ox. Položaj točke N, a time i točke M, u potpunosti je određen polarnim kutom t točke. U ovom slučaju za njihovu zajedničku apscisu dobivamo sljedeći izraz: x = a. Ordinatu u točki M nalazimo iz jednadžbe elipse:
Predznak je odabran jer ordinata točke M i ordinata točke N moraju imati iste predznake.
Tako se za elipsu dobivaju sljedeće parametarske jednadžbe:
Ovdje parametar t varira od 0 do .
Primjer 3. Promotrimo kružnicu sa središtem u točki a) i polumjerom a, koji očito dodiruje x-os u ishodištu (slika 139). Pretpostavimo da se ovaj krug kotrlja bez klizanja po x-osi. Tada točka M kružnice, koja se u početnom trenutku poklapa s ishodištem koordinata, opisuje pravac koji se naziva cikloida.
Izvedimo parametarske jednadžbe cikloide, uzimajući kao parametar t kut MSV zakreta kružnice pri pomicanju njene fiksne točke iz položaja O u položaj M. Tada za koordinate i y točke M dobivamo sljedeće izraze:
Zbog činjenice da se kružnica kotrlja po osi bez klizanja, duljina odsječka OB jednaka je duljini luka BM. Kako je duljina luka BM jednaka umnošku polumjera a i središnjeg kuta t, tada je . Zato . Ali stoga,
Ove jednadžbe su parametarske jednadžbe cikloide. Kada se parametar t promijeni s 0 na krug će napraviti jedan puni krug. Točka M će opisivati jedan luk cikloide.
Isključivanje parametra t ovdje dovodi do glomaznih izraza i praktički je nepraktično.
Parametarska definicija linija posebno se često koristi u mehanici, a ulogu parametra ima vrijeme.
Primjer 4. Odredimo putanju projektila ispaljenog iz topa početnom brzinom pod kutom a u odnosu na horizontalu. Zanemarujemo otpor zraka i dimenzije projektila, smatrajući ga materijalnom točkom.
Odaberimo koordinatni sustav. Uzmimo točku polaska projektila iz cijevi za ishodište koordinata. Usmjerimo os Ox vodoravno, a os Oy okomito, postavljajući ih u istu ravninu s cijevi pištolja. Kad ne bi bilo sile gravitacije, projektil bi se kretao pravocrtno, zaklapajući kut a s osi Ox, a za vrijeme t prešao bi udaljenost projektila u trenutku t do: . Zbog gravitacije, projektil se do tog trenutka mora okomito spustiti za određeni iznos. Dakle, u stvarnosti, u trenutku t, koordinate projektila su određene formulama:
Ove jednadžbe sadrže konstantne veličine. Kada se t promijeni, promijenit će se i koordinate u točki putanje projektila. Jednadžbe su parametarske jednadžbe putanje projektila, u kojima je parametar vrijeme
Izražavanje iz prve jednadžbe i njezina zamjena u
druga jednadžba, dobivamo jednadžbu putanje projektila u obliku Ovo je jednadžba parabole.